6. Fourier–ummyndun

Samantekt. Í þessum kafla fjöllum við um frumatriði um Fourier–ummyndun, en hagnýtingar hennar í eðlisfræði og verkfræði eru ótalmargar, til dæmis í rafsegulfræði, skammtafræði, tímaraðagreiningu og upplýsinga- og merkjafræði. Við tökum fyrir það verkefni að finna sérlausnir á afleiðujöfnum með fastastuðla, þar sem hægri hliðin er heildanlegt fall á öllu \({{\mathbb R}}\). Við sjáum hvernig Fourier-ummyndun tengist Laplace-ummyndun og leiðum út formúlu fyrir andhverfa Laplace-ummyndun. Við tengjum Fourier-ummyndun við leifareikning og sjáum hvernig andhverf Laplace-ummyndun á sér einfalda formúlu þegar Laplace-mynd falls er fágað fall utan við endanlegt mengi.

6.1. Inngangur

Byrjum á því að líta enn einu sinni á vandamálið að að finna sérlausnen: particular integral.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
á venjulegri afleiðujöfnu með fastastuðla

\[P(D)u=(a_mD^ m+\cdots+a_1D+a_0)u=f(x).\]

Við sáum í kaflanum um Fourier-raðir hvernig hægt er að fá lausn \(u(x)\) sem gefin er með Fourier-röð ef fallið \(f\) er lotubundið og gefið með Fourier-röð. Nú ætlum við að gefa okkur að fallið \(f\) sé gefið með heildi,

\[f(x)= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{ix\xi}F(\xi) \, d\xi,\]

þar sem \(|F|\) er heildanlegt á \({{\mathbb R}}\). Þá er eðlilegt að leita að lausn af sömu gerð

\[u(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{ix\xi} U(\xi)\, d\xi.\]

Ef við gefum okkur að við megum taka afleiður af \(u\) með því að deilda undir heildið, þá fáum við

\[u{{^{\prime}}}(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(i\xi) e^{ix\xi} U(\xi)\, d\xi, \ \ u''(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(i\xi)^2 e^{ix\xi} U(\xi)\, d\xi, \dots, u^{(k)}(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(i\xi)^ k e^{ix\xi} U(\xi)\, d\xi.\]

Þar með

\[\begin{split}\begin{aligned} P(D)u(x) &=a_mu^{(m)}(x)+\cdots+a_1u'(x)+a_0u(x)\\ &= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \big(a_m(i{\xi})^m+\cdots+a_1(i{\xi})+a_0\big)e^{ix\xi}U({\xi})\, d{\xi}\\ &=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{ix\xi} P(i\xi)U(\xi)\, d\xi =\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{ix\xi} F(\xi)\, d\xi = f(x).\end{aligned}\end{split}\]

Af þessu er ljóst að við eigum að taka

\[U(\xi)=\dfrac {F(\xi)}{P(i\xi)}, \qquad \xi\in {{\mathbb R}}.\]

Þessi formúla hefur merkingu í sérhverjum punkti \(\xi\) þar sem \(P(i\xi)\neq 0\) og einnig í punktum \(\xi=\alpha\) þar sem \(P(i\alpha)=0\), \(P(i{\xi})=({\xi}-{\alpha})^kQ({\xi})\), \(Q({\alpha})\neq 0\) og markgildið

\[\lim_{{\xi}\to{\alpha}} \dfrac{F(\xi)}{(\xi-{\alpha})^k}\]

er til. Hér höfum við fundið samband milli fallanna \(F\) og \(U\) og formúlu fyrir lausninni

\[u(x)= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{ix\xi} \dfrac {F(\xi)}{P(i\xi)}\, d{\xi}, \qquad x\in {{\mathbb R}}.\]

Viðfangsefni kaflans er að finna samband milli fallanna \(f\) og \(F\) og jafnframt að kanna skilyrði á \(f\) sem gefa okkur framsetningu af gerðinni

\[f(x)= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{ix\xi}F(\xi) \, d\xi.\]

6.2. Skilgreiningar og nokkrar reiknireglur

6.2.1. Rúm heildanlegra falla \(L^1({{\mathbb R}})\)

Við látum \(L^1({{\mathbb R}})\) tákna mengi allra falla \(f\) þannig að \(|f|\) er heildanlegt á \({{\mathbb R}}\). Af formúlunum

\[\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)+g(x)|\, dx \leq \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|\, dx + \int_{-\infty}^{+\infty}|g(x)|\, dx\]

og

\[\int_{-\infty}^{+\infty}|\alpha f(x)|\, dx = |\alpha|\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|\, dx\]

leiðir að \(L^1({{\mathbb R}})\) er vigurrúm.

6.2.2. Skilgreining á Fourier-ummyndun

Fyrir sérhvert fall \(f\in L^1({{\mathbb R}})\) skilgreinum við fallið

\[{{\cal F}}f(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\xi}f(x) \, dx, \qquad \xi\in {{\mathbb R}}.\]

Fallið \({{\cal F}}f\) köllum við Fourier–mynd fallsins \(f\) og táknum hana einnig með \(\widehat f\) og \({{\cal F}}{{\{f\}}}\). Vörpunina \({{\cal F}}\) sem skilgreind er á \(L^1({{\mathbb R}})\) og úthlutar fallinu \(f\) Fourier-mynd sinni \({{\cal F}}f\) köllum við Fourier–ummyndun. Hún er einnig kölluð Fourier–færsla og Fourier–vörpun.

Því miður er skilgreiningin á Fourier–ummyndun ekki stöðluð. Ef lesandinn opnar einhverja bók um efnið getur hann átt von á því að sjá hana skilgreinda með einni af formúlunum

\[\begin{split}\begin{gathered} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix\xi}f(x) \, dx, \quad \dfrac 1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix\xi}f(x) \, dx,\quad \dfrac 1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix\xi}f(x) \, dx,\quad\\ \dfrac 1{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix\xi}f(x) \, dx, \quad \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2\pi ix\xi}f(x) \, dx,\end{gathered}\end{split}\]

eða jafnvel á einhvern enn annan hátt. Ef tekin er önnur skilgreining á Fourier-mynd en sú sem við höfum, þá verða reiknireglur og setningar að sjálfsögðu að einhverju leyti öðruvísi en hjá okkur. Auðvelt er að átta sig á því í hverju munurinn liggur.

6.2.3. Nokkur sýnidæmi

6.2.3.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

6.2.4. Fourier-mynd þéttifalls stöðluðu normaldreifingarinnar

Rifjum upp að

\[\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^ 2}\, dx =\sqrt \pi.\]

Með skipti á breytistærðum \(y=\sqrt \alpha x\) fáum við síðan að

\[\sqrt{\tfrac \alpha\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^ 2}\, dx =1\]

fyrir öll \(\alpha>0\). Rifjum upp að fallið \(\varphi_{0,1}\) sem gefið er með

\[\varphi_{0,1}(x)=\dfrac{e^{-\frac 12 x^2}}{\sqrt{2\pi}}, \qquad x\in {{\mathbb R}},\]

er þéttifall stöðluðu normaldreifingarinnar og

\[\varphi_{\mu,\sigma}(x)=\dfrac {e^{-\frac 12 (x-\mu)^2/\sigma^2}}{\sqrt{2\pi}\, \sigma}, \qquad x\in {{\mathbb R}},\]

er þéttifall normaldreifingar með væntigildi \(\mu\) og staðalfrávik \(\sigma\).

6.2.4.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

6.2.5. Regla (i): Fourier-ummyndun er línuleg vörpun.

Tökum tvö föll \(f,g\in L^1({{\mathbb R}})\) og tvær tölur \(\alpha,\beta\in {{\mathbb C}}\). Heildun er línuleg aðgerð og því fáum við

\[\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\xi}\big(\alpha f(x)+\beta g(x)\big)\, dx = \alpha \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\xi} f(x) \, dx +\beta \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\xi} g(x)\, dx.\]

Samkvæmt skilgreiningunni á Fourier-myndum falla er þetta formúlan

\[{{\cal F}}\{\alpha f+\beta g\}(\xi)=\alpha{{\cal F}}\{f\}(\xi)+\beta{{\cal F}}\{g\}(\xi), \qquad f,g\in L^1({{\mathbb R}}), \quad \alpha,\beta\in{{\mathbb C}},\]

og hún segir að Fourier-ummyndun \({{\cal F}}\) sé línuleg vörpun frá \(L^1({{\mathbb R}})\) með gildi í rúmi allra tvinngildra falla á \({{\mathbb R}}\).

6.2.6. Regla (ii): \({{\cal F}}\{f(\alpha x)\}(\xi)= (1/{|\alpha|}){{\cal F}}\{f\}(\xi/\alpha)\)\(\alpha\in {{\mathbb R}}\)  \(\alpha\neq 0\), \(\xi\in {{\mathbb R}}\).

Tökum nú \(\alpha\in {{\mathbb R}}\), \(\alpha\neq 0\). Breytistærðaskiptin \(y=\alpha x\) í heildinu fyrir Fourier-mynd fallsins \(f(\alpha x)\) eru

\[\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\xi}f(\alpha x) \, dx =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i(y/\alpha)\xi}f(y) \tfrac 1{|\alpha|}\, dx =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-iy(\xi/\alpha)}f(y) \tfrac 1{|\alpha|}\, dy\]

sem er ekkert annað en formúlan

\[{{\cal F}}\{f(\alpha x)\}(\xi)= (1/{|\alpha|}){{\cal F}}\{f\}(\xi/\alpha), \qquad \xi\in {{\mathbb R}}.\]

6.2.6.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

6.2.7. Regla (iii): \({{\cal F}}\{f(x-\alpha)\}(\xi) =e^{-i\alpha\xi}{{\cal F}}\{f\}(\xi)\), \(\alpha\in {{\mathbb R}}\), \(\xi\in {{\mathbb R}}\).

Tökum \(\alpha\in {{\mathbb R}}\), hliðrum fallinu \(f\) um \(\alpha\) og reiknum síðan út Fourier-mynd,

\[\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\xi}f(x-\alpha) \, dx =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i(y+\alpha)\xi}f(y) \, dy = e^{-i\alpha\xi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i y\xi}f(y) \, dy.\]

Hér stendur formúlan

\[{{\cal F}}\{f(x-\alpha)\}(\xi)= e^{-i\alpha\xi}{{\cal F}}\{f\}(\xi), \qquad \xi\in {{\mathbb R}}.\]

6.2.7.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

6.2.8. Regla (iv): \({{\cal F}}\{e^{i\alpha x}f(x)\}(\xi)={{\cal F}}\{f\}(\xi-\alpha)\), \(\alpha\in {{\mathbb R}}\), \(\xi\in {{\mathbb R}}\).

Tökum \(\alpha\in {{\mathbb R}}\) og lítum á Fourier-mynd fallsins \(e^{i\alpha x}f(x)\),

\[{{\cal F}}\{e^{i\alpha x}f(x)\}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\xi}e^{i\alpha x}f(x) \, dx =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix(\xi-\alpha)}f(x) \, dx ={{\cal F}}\{f\}(\xi-\alpha).\]

6.2.9. Regla (v): \({{\cal F}}\{\overline{f(x)}\}(\xi) =\overline{{{\cal F}}\{f\}(-\xi)}\), \(\xi\in {{\mathbb R}}\).

Nú tökum við Fourier-myndina af \(\overline {f(x)}\),

\[{{\cal F}}\{\overline{f(x)}\}(\xi) =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\xi}\overline{f(x)} \, dx =\int_{-\infty}^{+\infty} \overline{e^{ix\xi}f(x)} \, dx =\overline{\int_{-\infty}^{+\infty} e^{ix\xi}f(x)} \, dx =\overline{{{\cal F}}\{f\}(-\xi)}.\]

6.2.10. Regla (vi): \({{\cal F}}f(\xi)=\overline{{{\cal F}}f(-\xi)}\), \(\xi\in{{\mathbb R}}\), ef \(f\) er raungilt.

Fall \(f\) er raungilt þá og því aðeins að \(f(x)=\overline{f(x)}\) gildi um öll \(x\in {{\mathbb R}}\). Við fáum því sem sértilfelli af reglu (v) að

\[{{\cal F}}f(\xi)=\overline{{{\cal F}}f(-\xi)}, \qquad \xi\in{{\mathbb R}}.\]

6.2.11. Regla (vii): \(\displaystyle{{\cal F}}f(\xi) =2\int_0^{+\infty}\cos(x\xi)f(x)\, dx\), \(\xi\in {{\mathbb R}}\), ef \(f\) er jafnstætt.

Við höfum

\[{{\cal F}}f({\xi})= \widehat f(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} \cos(x\xi) f(x) \, dx -i\int_{-\infty}^{+\infty} \sin (x\xi) f(x) \, dx.\]

Ef \(f\) er jafnstætt, þá er seinni heildisstofninn oddstætt fall af \(x\), því \(\sin\) er oddstætt. Þar með er seinna heildið 0. Fyrri heildisstofninn er hins vegar jafnstætt fall og því er heildið yfir \({{\mathbb R}}\) tvöfalt heildið yfir \({{\mathbb R}}_+\),

\[{{\cal F}}f(\xi) =2\int_0^{+\infty}\cos(x\xi)f(x)\, dx, \qquad \xi\in {{\mathbb R}}.\]

6.2.12. Regla (viii): \(\displaystyle{{\cal F}}f(\xi) =-2i\int_0^{+\infty}\sin(x\xi)f(x)\, dx\), ef \(f\) er oddstætt.

Ef við gerum ráð fyrir að \(f\) sé oddstætt og lítum aftur á heildin í reglu (vii), þá sjáum við að fyrri heildistofninn er oddstætt fall af \(x\) en sá seinni jafnstætt fall. Fyrra heildið er því \(0\) og seinna heildið er tvöfalt heildið yfir \({{\mathbb R}}_+\),

\[{{\cal F}}f(\xi) =-2i\int_0^{+\infty}\sin(x\xi)f(x)\, dx, \qquad \xi\in {{\mathbb R}}.\]

6.2.13. Regla (ix): \({{\cal F}}\{f^{(k)}\}(\xi)=(i\xi)^k{{\cal F}}\{f\}(\xi)\).

Gerum nú ráð fyrir að \(f\) sé samfellt deildanlegt og að bæði \(f\) og \(f{{^{\prime}}}\) séu í \(L^1({{\mathbb R}})\). Við þurfum þá að draga þá ályktun að \(\lim_{|x|\to +\infty} f(x)=0\). Við athugum að til er fasti

\[f(x)=C+\int_{-\infty}^x f'(y)\, dy,\]

þar sem \(C\) er fasti, því föllin sitt hvoru megin jafnaðarmerkisins hafa sömu afleiðu. Fastinn getur ekki verið neitt annað en \(0\), því fyrst \(f'\) er heildanlegt, þá stefnir heildið í hægri hliðinni á \(0\) ef \(x\to -\infty\) og þar með er \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=C\). Ef \(C\neq 0\), þá er til \(R_0\) þannig að \(|f(x)|\geq \tfrac 12 |C|\) ef \(x\leq R_0\). Þar með er

\[\int_{-R}^{R_0}|f(x)|\, dx \geq \tfrac 12 |C|\int_{-R}^{R_0}\, dx =\tfrac 12 |C|(R_0+R)\]

Ef til látum \(R\to +\infty\), þá stefnir vinstri hliðin á heildið af \(|f|\) yfir \(]-\infty,R_0]\), en hægri hliðin á \(+\infty\). Það er mótsögn við það að \(f\) er heildanlegt og því verður \(C=0\) að gilda. Niðurstaðan verður síðan að \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=0\).

Við höfum einnig að

\[f(x)=C-\int_x^{+\infty} f'(y)\, dy.\]

og með sömu rökum og hér að framan ályktum við að \(C=0\) og \(\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\).

Við beitum nú hlutheildun

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix\xi}f{{^{\prime}}}(x) \, dx =\bigg[e^{-ix\xi}f(x)\bigg]_{-\infty}^{+\infty}- \int_{-\infty}^{+\infty}(-i\xi)e^{-ix\xi}f(x) \, dx.\end{aligned}\]

Fyrst \(\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=0\), þá leiðir af þessu að

\[{{\cal F}}\{f{{^{\prime}}}\}(\xi)=i\xi{{\cal F}}\{f\}(\xi), \qquad \xi\in {{\mathbb R}}.\]

Ef \(f\in C^m({{\mathbb R}})\) og \(f,f{{^{\prime}}},\dots,f^{(m)}\in L^1({{\mathbb R}})\), þá fæst að fyrir \(k=0,1,2,\dots,m\)

\[{{\cal F}}\{f^{(k)}\}(\xi)= (i\xi){{\cal F}}\{f^{(k-1)}\}(\xi)=\cdots =(i\xi)^k{{\cal F}}\{f\}(\xi), \qquad \xi\in {{\mathbb R}},\]

Af þessari formúlu leiðir síðan að um sérhvern afleiðuvirkja \(P(D)=a_mD^ m+\cdots+a_1D+a_0\) með fastastuðla gildir

\[{{\cal F}}\{P(D)f\}(\xi)= P(i\xi){{\cal F}}\{f\}(\xi), \qquad \xi\in {{\mathbb R}}.\]

6.2.14. Regla (x): \({\cal F}\{x^jf(x)\}(\xi)=i^j\dfrac{d^j}{d\xi^j}{\cal F}\{f\}(\xi)\), \(\xi\in {\mathbb R}\).

Gerum nú ráð fyrir að föllin \(f\) og \(xf\) séu í \(L^1({{\mathbb R}})\) og lítum á fallið \(\varphi(x,\xi)=e^{-ix\xi}f(x)\). Afleiða þess með tilliti til \(\xi\) uppfyllir

\[\begin{split}|\partial_\xi\varphi(x,\xi)|=|xf(x)|\leq \begin{cases} |f(x)|, & |x|\leq 1,\\ |x||f(x)|, & |x|\geq 1. \end{cases}\end{split}\]

Hægri hliðin er í \(L^1({{\mathbb R}})\) og því gefur Lebesgue–setningin í viðauka C að \({{\cal F}}f(\xi)\) er deildanlegt og

\[\begin{aligned} i\dfrac{d}{d\xi}{{\cal F}}\{f\}(\xi)= \int_{-\infty}^{+\infty}i\partial_\xi e^{-ix\xi}f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix\xi} xf(x) \, dx= {{\cal F}}\{ xf(x)\}(\xi).\end{aligned}\]

Við getum ítrekað þessa jöfnu, því ef við gefum okkur að \(f\) og \(x^jf\) séu heildanleg föll, þá eru öll föllin \(f,xf,\dots,x^jf\) heildanleg og

\[\begin{aligned} i^j\dfrac{d^j}{d\xi^j}{{\cal F}}\{f\}(\xi)= \int_{-\infty}^{+\infty}i^j\partial_\xi^j e^{-ix\xi}f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix\xi} x^jf(x) \, dx= {{\cal F}}\{x^jf(x)\}(\xi).\end{aligned}\]

6.2.14.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

6.2.14.2. Sýnidæmi

Sýna dæmi

6.2.14.3. Sýnidæmi

Sýna dæmi

6.3. Andhverf Fourier–ummyndun

6.3.1. Andhverf Fourier–ummyndun

Fram til þessa höfum við aðeins sagt að Fourier mynd falls \(f\) í \(L^1({{\mathbb R}})\) er fall á \({{\mathbb R}}\) en ekkert sagt nánar um hvaða eiginleika hún hefur. Hér kemur niðurstaða sem bætir úr þessu:

6.3.1.1. Hjálparsetning

(Riemann–Lebesgue).   Ef \(f\in L^1({{\mathbb R}})\), þá er \({{\cal F}}f\in C({{\mathbb R}})\) og

\[\lim_{\xi\to \pm \infty}{{\cal F}}f(\xi)=0.\]

6.3.1.2. Sönnun

Sýna sönnun

Setjum nú \(C_0({{\mathbb R}})=\{F\in C({{\mathbb R}})\,;\, \lim_{|\xi|\to +\infty}F(\xi)=0\}\). Þá er ljóst að \(C_0({{\mathbb R}})\) er hlutrúm í \(C({{\mathbb R}})\). Riemann-Lebesgue-hjálparsetningin segir okkur að Fourier-ummyndun \({{\cal F}}\) varpi rúminu \(L^1({{\mathbb R}})\) inn í \(C_0({{\mathbb R}})\). Hægt er að sýna fram á að til eru föll \(F\in C_0({{\mathbb R}})\) sem ekki eru Fourier-myndir af föllum í \(L^1({{\mathbb R}})\), en það er jafngilt því að segja að Fourier-ummyndunin \({{\cal F}}:L^1({{\mathbb R}})\to C_0({{\mathbb R}})\) sé ekki átæk vörpun.

Nú skulum við gera ráð fyrir því að bæði föllin \(f\) og \({{\cal F}}f\) séu í \(L^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\) og reikna út Fourier–myndina af \({{\cal F}}f\). Þetta fall er gefið með formúlunni

\[\begin{split}\begin{aligned} ({{\cal F}}{{\cal F}}f)(x) &= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix\xi} \bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-iy\xi}f(y) \, dy\bigg)\, d\xi\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i(x+y)\xi}f(y) \, dy\bigg)\, d\xi\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-it\xi}f(t-x) \, dt\bigg)\, d\xi.\end{aligned}\end{split}\]

Nú viljum við skipta á röð heildanna, en það getum við ekki, því \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-it\xi} \, d\xi\) er ósamleitið. Við snúum okkur út úr þeim vandræðum með því að smeygja fallinu \(e^{-\varepsilon|x|}\) undir heildið og láta síðan \(\varepsilon\to 0+\). Við fáum þá,

\[\begin{split}\begin{aligned} ({{\cal F}}{{\cal F}}f)(x)&=\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\varepsilon|\xi|} \bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-it\xi}f(t-x) \, dt\bigg)\, d\xi\\ &=\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{-\infty}^{+\infty}f(t-x) \bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-it\xi}e^{-\varepsilon|\xi|} \, d\xi\bigg) \, dt\\ &=\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{-\infty}^{+\infty}f(t-x) {{\cal F}}\{e^{-\varepsilon|\xi|}\}(t) \, dt\\ &=\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{-\infty}^{+\infty}f(t-x) {{\cal F}}\{e^{-|\xi|}\}(t/\varepsilon) \varepsilon^{-1}\, dt\\ &=\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{-\infty}^{+\infty}f(\varepsilon t-x) {{\cal F}}\{e^{-|\xi|}\}(t) \, dt\\ &=f(-x)\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac 2{1+t^2} \, dt= 2\pi f(-x).\end{aligned}\end{split}\]

Hér skulum við staldra ögn við og huga að því hvaða reiknireglum við höfum beitt. Fyrst skiptum við á röð heildanna og við réttlætum það með setningu Fubinis í viðauka C. Í næsta skrefi tökum við eftir því að innra heildið er Fourier–mynd. Þar á eftir beitum við reiknireglu (ii) og skiptum síðan á breytistærðum. Í síðasta skrefinu notfærum við okkur sýnidæmi hér fyrir framan og tökum markgildi undir heildið. Til þess að réttlæta að það megi, þá athugum við að fallið \(f\) er takmarkað, \(|f(x)|\leq C\), \(x\in {{\mathbb R}}\). Þar með er

\[|f(\varepsilon t-x){{\cal F}}\{e^{-|\xi|}\}(t)|\leq \dfrac {2C}{1+t^2}, \qquad t\in {{\mathbb R}}.\]

Í hægri hlið þessarar ójöfnu stendur fall í \(L^1({{\mathbb R}})\) sem er óháð \(\varepsilon\) og því segir setning Lebesgues að það megi taka markgildi þegar \({\varepsilon}\to 0\) undir heildið.

Niðurstaðan sem við höfum sannað er:

6.3.1.3. Setning

(Andhverfuformúla Fouriers).

Látum \(f\in L^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\) og gerum ráð fyrir að \({{\cal F}}f=\widehat f\in L^1({{\mathbb R}})\). Þá er

\[f(x) =\dfrac 1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix\xi}\widehat f(\xi) \, d\xi = \dfrac 1{2\pi}({{\cal F}}{{\cal F}}f)(-x), \qquad x\in {{\mathbb R}}.\]

Andhverfuformúla Fouriers hefur geysimikla þýðingu. Hún segir okkur að fallið \(f(x)\) sé samantekt, sem gefin er með óendanlegu heildi, af hreintóna sveiflum. Þessum hreintóna sveiflum er lýst með föllunum

\[{{\mathbb R}}\ni x\mapsto e^{ix\xi}=\cos(x\xi)+i\sin(x\xi), \qquad \xi\in {{\mathbb R}},\]

sveifluhæðin er \((2\pi)^{-1}|\widehat f(\xi)|\) og fasahornið er \(\arg \widehat f(\xi)\).

Við stöndum hér við upphafið að mikilli fræðigrein, sem kennd er við upphafsmann sinn Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), og kölluð er Fourier–greining. Í örfáum orðum sagt, þá snýst hún um að rannsaka eiginleika fallsins \(f(x)\) út frá eiginleikum Fourier–myndarinnar \(\widehat f(\xi)\).

Í sönnun okkar á andhverfuformúlu Fouriers, gengum við út frá því að Fourier–myndin væri heildanleg. Það gildir ekki almennt. Það eina sem við vitum almennt um Fourier-myndina er það sem Riemann-Lebesgue-hjálparsetningin segir, \(\widehat f\in C_0({{\mathbb R}})\).

Í sumum tilfellum er hægt að draga þá ályktun að Fourier–myndin sé heildanleg út frá ýmsum eiginleikum fallanna \(f\) og \(\widehat f\).

6.3.1.4. Setning

Gerum ráð fyrir því að \(f\) sé takmarkað fall í \(L^1({{\mathbb R}})\) og að \(\widehat f({\xi})\geq 0\) fyrir öll \({\xi}\in {{\mathbb R}}\). Þá er \(\widehat f\in L^1({{\mathbb R}}).\)

6.3.1.5. Sönnun

Sýna sönnun

Við getum nú sannað aðra útgáfu af andhverfuformúlu Fouriers, þar sem við setjum einungis skilyrði á fallið \(f\) en engin skilyrði á \(\widehat f\):

6.3.1.6. Setning

(Andhverfuformúla Fouriers).

Gerum ráð fyrir að \(f\in PC^1({{\mathbb R}})\cap L^1({{\mathbb R}})\), þ.e. að fallið \(f\) sé samfellt deildanlegt á köflum og að \(|f|\) sé heildanlegt. Þá er

\[\dfrac 12(f(x+)+f(x-))=\lim_{R\to +\infty} \tfrac 1{2\pi}\int_{-R}^{R}e^{ix\xi}\widehat f(\xi) \, d\xi, \qquad x\in {{\mathbb R}}.\]

Ef \(f\) er samfellt í punktinum \(x\), þá er

\[f(x)=\lim_{R\to +\infty} \dfrac 1{2\pi}\int_{-R}^{R}e^{ix\xi}\widehat f(\xi) \, d\xi, \qquad x\in {{\mathbb R}}.\]

Meðalgildi af markgildum frá hægri og vinstri

Mynd: Meðalgildi af markgildum frá hægri og vinstri

6.3.1.7. Sönnun

Sýna sönnun

6.4. Földun og Fourier–ummyndun

6.4.1. Földun

Látum \(f\) og \(g\) vera tvö föll á \({{\mathbb R}}\) og lítum á földunen: convolution.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
þeirra \(f\ast g\), sem skilgreind er með

\[f\ast g(x)= \int_{-\infty}^{+\infty}f(x-t)g(t) \, dt\]

fyrir öll \(x\in {{\mathbb R}}\) þannig að heildið sé samleitið. Með því að innleiða breytuskiptin \(\tau=x-t\), þá sjáum við að

\[f\ast g(x)= \int_{-\infty}^{+\infty}f(x-t)g(t) \, dt= \int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(x-\tau) \, d\tau=g\ast f(x).\]

Ef annað fallið er í \(L^1({{\mathbb R}})\) og hitt fallið er takmarkað, þá er földunin skilgreind fyrir öll \(x\in {{\mathbb R}}\). Ef bæði föllin eru í \(L^1({{\mathbb R}})\), þá er \(f\ast g\in L^1({{\mathbb R}})\), því setning Fubinis gefur okkur

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}|f\ast g(x)| \, dx&= \int_{-\infty}^{+\infty}|\int_{-\infty}^{+\infty}f(x-t)g(t) \, dt|\,dx\\ &\leq \int_{-\infty}^{+\infty} \bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x-t)| \, dx\bigg) |g(t)|\, dt\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| \, dx \int_{-\infty}^{+\infty}|g(t)|\, dt<+\infty.\end{aligned}\end{split}\]

Lítum nú aftur á \(f \ast g\) og gerum ráð fyrir að \(f\in C^ 1({{\mathbb R}})\) og að bæði \(f\) og \(f{{^{\prime}}}\) séu takmörkuð föll. Þá megum við deilda undir heildið og fáum að \(f\ast g\in C^ 1({{\mathbb R}})\) með \((f\ast g){{^{\prime}}}(x)=(f{{^{\prime}}}\ast g)(x)\). Með þrepun fáum við síðan að fyrir \(f\in C^ m({{\mathbb R}})\) með föllin \(f,f{{^{\prime}}},\dots,f^{(m)}\) takmörkuð, er \(f\ast g\in C^ m({{\mathbb R}})\) og

\[( f\ast g)^{(k)}(x)=(f^{(k)}\ast g)(x), \qquad x\in {{\mathbb R}}, \quad k=0,\dots,m.\]

6.4.2. Regla (xi): \({{\cal F}}\{f\ast g\}(\xi)={{\cal F}}f(\xi){{\cal F}}g(\xi)\), \(\xi\in {{\mathbb R}}\), \(f,g\in L^1({{\mathbb R}})\).

Fourier–myndin af \(f\ast g\) er auðreiknanleg, því setnig Fubinis í viðauka C leyfir okkur að skipta á röð heildanna

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix\xi}(f\ast g)(x) \, dx &= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix\xi} \bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x-t)g(t) \, dt\bigg)\, dx\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i(x-t)\xi}f(x-t) e^{-it\xi}g(t) \, dt\bigg)\, dx\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i(x-t)\xi}f(x-t) \, dx \bigg)e^{-it\xi}g(t) \, dt\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ix\xi}f(x) \, dx \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-it\xi}g(t) \, dt.\end{aligned}\end{split}\]

Niðurstaðan er því

\[{{\cal F}}\{f\ast g\}(\xi)={{\cal F}}f(\xi){{\cal F}}g(\xi), \qquad \xi\in {{\mathbb R}}, \quad f, g\in L^1({{\mathbb R}})\]

6.5. Afleiðujöfnur og Fourier–ummyndun

6.5.1. Sérlausnir á afleiðujöfnum reiknaðar með Fourier-ummyndun

Nú skulum við víkja aftur að því verkefni að finna sérlausnen: particular integral.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
á jöfnunni

\[P(D)u=(a_mD^ m+\cdots+a_1D+a_0)u=f(x),\]

sem við fjölluðum um í upphafi kaflans. Við göngum út frá því að \(f\in L^ 1({{\mathbb R}})\) og sömuleiðis að \(u,u{{^{\prime}}},\dots,u^{(m)}\in L^ 1({{\mathbb R}})\). Nú tökum við Fourier–myndina af föllunum sem standa beggja vegna jafnaðarmerkisins og notum reiknireglu (ix). Þá fæst

\[P(i\xi) \widehat u(\xi) = \widehat f(\xi), \qquad \xi\in {{\mathbb R}}.\]

Þessi jafna gefur okkur sambandið milli \(\widehat u\) og \(\widehat f\),

\[\widehat u(\xi)= \dfrac{\widehat f({\xi})}{P(i\xi)}, \qquad \xi\in {{\mathbb R}}.\]

Hægri hliðin í þessari jöfnu skilgreinir samfellt fall í grennd um sérhvern punkt \(\alpha\) þar sem \(P(i\alpha)\neq 0\). Ef hins vegar \(P(i\alpha)=0\), \(P(i\xi)=(\xi-\alpha)^ kQ(\xi)\), þar sem \(Q\) er margliða \(Q(\alpha)\neq 0\), þá skilgreinir hægri hliðin í jöfnunni fall sem er samfellt í \(\alpha\) ef markgildið

\[\lim\limits_{\xi\to \alpha} \dfrac {\widehat f(\xi)}{(\xi-\alpha)^ k}\]

er til. Niðurstaðan er því:

6.5.1.1. Setning

Gerum ráð fyrir því að \(f\in L^ 1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\) og \(\widehat f\in L^ 1({{\mathbb R}})\) og jafnframt að \(\widehat f(\xi)/P(i\xi)\) skilgreini samfellt fall á \({{\mathbb R}}\). Þá hefur afleiðujafnan \(P(D)u=f\) lausn \(u\in L^ 1({{\mathbb R}})\cap C^ m({{\mathbb R}})\) sem gefin er með formúlunni

\[u(x)=\dfrac 1{2\pi}\int_{-\infty}^ {+\infty} e^{ix\xi} \dfrac{\widehat f(\xi)}{P(i\xi)}\, d\xi, \qquad x\in {{\mathbb R}}.\]

6.5.1.2. Sönnun

Sýna sönnun

Í sumum dæmum er auðvelt að reikna út andhverfu Fourier-myndina af fallinu \(\widehat f(\xi)/P(i\xi)\):

6.5.1.3. Sýnidæmi

Sýna dæmi

6.5.2. Stofnbrotaliðun ræðra falla og andhverf Fourier-ummyndun

Nú skulum við hugsa okkur að \({{\operatorname{stig}}}P\geq 2\) og að fallið \(P(i\xi)\) sé núllstöðvalaust á öllum rauntalnaásnum. Þá er fallið \(1/P(i\xi)\) í \(L^ 1({{\mathbb R}})\) og við getum skilgreint andhverfu Fourier–mynd þess,

\[E(x)= \dfrac 1{2\pi}\int_{-\infty}^ {+\infty} e^{ix\xi} \dfrac{d\xi}{P(i\xi)}, \qquad x\in {{\mathbb R}}.\]

Fallið \(E\) er samfellt samkvæmt Riemann-Lebesgue-hjálparsetningu og formúlan fyrir lausninni í síðustu setningu er einfaldlega

\[\widehat u(\xi) = \widehat E(\xi) \widehat f(\xi), \qquad \xi\in {{\mathbb R}}.\]

Nú getum við notfært okkur reiknireglu (xi) og fáum framsetningu á lausninni sem földunarheildi,

\[u(x)=E\ast f(x)=\int_{-\infty}^ {+\infty} E(x-t) f(t)\, dt =\int_{-\infty}^ {+\infty} E(t) f(x-t)\, dt.\]

Það reynist vera auðvelt að reikna út fallið \(E\) ef við þekkjum stofnbrotaliðun ræða fallsins \(\zeta\mapsto 1/P(\zeta)\):

6.5.2.1. Setning

Gerum ráð fyrir að \(P\) sé margliða af stigi \(m\) með ólíkar núllstöðvar \({\lambda}_1,\dots,{\lambda}_\ell\) með margfeldni \(m_1,\dots,m_\ell\), að \(P(i{\xi})\) hafi enga núllstöð á \({{\mathbb R}}\), að \(Q\) sé margliða af stigi \(\leq m-1\) og að stofnbrotaliðun á ræða fallinu \(Q/P\) sé gefin með

\[\dfrac {Q(\zeta)}{P({\zeta})} =\sum\limits_{k=1}^\ell \sum\limits_{j=1}^{m_k} \dfrac{A_{jk}}{({\zeta}-{\lambda}_k)^j}.\]

Þá er andhverfa Fourier-mynd fallsins \({\xi}\mapsto Q(i\xi)/P(i{\xi})\) gefin með formúlunni

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x)&= \sum_{\substack{{{\operatorname{Re\, }}}{\lambda}_k<0}} \sum\limits_{j=1}^{m_k} A_{jk} \tfrac 1{(j-1)!}H(x)x^{j-1}e^{{\lambda}_kx}\\ &-\sum_{\substack{{{\operatorname{Re\, }}}{\lambda}_k>0}} \sum\limits_{j=1}^{m_k} A_{jk} \tfrac 1{(j-1)!} H(-x)x^{j-1}e^{{\lambda}_kx}, \qquad x\neq 0.\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

6.5.2.2. Sönnun

Sýna sönnun

6.5.3. Deyfðar sveiflur

6.5.3.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Deyfð sveifla; framhald

6.6. Plancherel–jafnan

Nú höldum við áfram að bæta við reiknireglum í safnið okkar:

6.6.1. Regla (xii): \(\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \widehat f(x) g(x)\, dx = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) \widehat g(x)\, dx\), \(f,g\in L^1({{\mathbb R}})\).

Athugum að Riemann-Lebesgues-hjálparsetning gefur okkur að \(\widehat f\) og \(\widehat g\) eru samfelld föll sem stefna á \(0\) í \(\pm{\infty}\). Því eru bæði föllin \(f\widehat g\) og \(\widehat f g\) heildanleg og setning Fubinis í viðauka C gefur að við megum skipta á röð ítrekaðra heilda með tilliti til tveggja breytistærða

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\widehat f(\xi)g(\xi)\, d\xi = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix{\xi}}f(x)g({\xi}) \, dxd{\xi} =\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\widehat g(x)\, dx.\]

Við höfum sannað reglur Plancherel og Parseval fyrir Fourier-raðir og fáum nú hliðstæðar reglur fyrir Fourier-ummyndun. Fyrst kemur Plancherel-jafna:

6.6.2. Regla (xiii): \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)|^2\, dx = \dfrac 1{2{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} |\widehat f(\xi)|^2 \, d\xi\), \(f\in L^1({{\mathbb R}})\), \(|f|\leq C\).

Gerum nú ráð fyrir að \(f\in L^1({{\mathbb R}})\) og að \(f\) sé takmarkað. Þá gildir \(|f(x)|^2\leq C|f(x)|\) fyrir öll \(x\in {{\mathbb R}}\), þar sem \(C\) er fasti og fallið \(|f|^2\) er því heildanlegt Til þess að sýna að jákvæða fallið \(|\widehat f|^2=\widehat f \overline{\widehat f}\) sé heildanlegt, þá dugir að sanna að það sé Fourier–myndin af falli \(g\in L^1({{\mathbb R}})\) sem er bæði samfellt og takmarkað. Við sjáum að

\[\overline{\widehat f(\xi)} = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ix\xi}\overline {f(x)} \, dx =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-iy\xi} \overline{f(-y)}\, dy,\]

og þetta segir okkur að \(\overline{{\widehat f}(\xi)}= {{\cal F}}\{\overline{f(-x)}\}(\xi)\). Ef við setjum nú

\[g(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-y) \overline{f(-y)}\, dy,\]

þá er \(g\in L^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\) og

\[\widehat g(\xi)={{\cal F}}g(\xi) = {{\cal F}}f(\xi){{\cal F}}\{\overline{f(-x)}\}(\xi)=|\widehat f(\xi)|^2.\]

Ef við setjum nú \(x=0\) inn í andhverfuformúluna, þá fæst

\[\int_{-\infty}^{+\infty} |f(y)|^2 \, dy = g(0) = \frac 1{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} g(\xi) \, d\xi = \frac 1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |\widehat f(\xi)|^2 \, d\xi.\]

Þetta er Plancherel-jafna.

6.6.3. Regla (xiv) \(\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) \overline{g(x)}\, dx =\dfrac 1{2{\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \widehat f({\xi}) \overline{\widehat g({\xi})}\, d{\xi}\).

Tökum nú tvö föll \(f,g\in L^1({{\mathbb R}})\) og gerum ráð fyrir að þau séu takmörkuð. Þá er \(|f+\alpha g|^2\) heildanlegt fyrir sérhverja tvinntölu \(\alpha\) samkvæmt reglu (xiii). Ef við tökum hvaða tvær tvinntölur \(a\) og \(b\) sem er, þá gildir

\[a\bar b= \dfrac 14\big( |a+b|^2-|a-b|^2+i|a+ib|^2-i|a-ib|^2\big).\]

Til þess að sanna að fallið \(\widehat f\overline{\widehat g}\) sé heildanlegt, þá athugum við fyrst að

\[\widehat f \overline{\widehat g} = \dfrac 14\big(|\widehat f +\widehat g|^2 -|\widehat f -\widehat g|^2 +i|\widehat f +i\widehat g|^2 -i|\widehat f-i\widehat g|^2\big),\]

og síðan að samkvæmt reglu (xiii) eru allir liðirnir í hægri hlið þessarar jöfnu heildanleg föll. Nú skiptum við á hlutverki \(\widehat f, \widehat g\) og \(f,g\) í þessari jöfnu

\[f \overline{g} = \dfrac 14\big(|f+g|^2- |f-g|^2+i |f+ig|^2-i|f-ig|^2 \big).\]

Nú fáum við Parseval-jöfnu

\[\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) \overline{g(x)}\, dx = \dfrac 1{2{\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \widehat f({\xi}) \overline{\widehat g({\xi})}\, d{\xi}\]

með því að bera saman hægri hliðar þessara tveggja jafna og beita reglu (xiii) á hvern lið.

6.6.3.1. Setning

Ef \(f,f{{^{\prime}}}\in L^1({{\mathbb R}})\), þá er \(\widehat f\in L^1({{\mathbb R}})\).

6.6.3.2. Sönnun

Sýna sönnun

6.7. Leifareikningur og Fourier–ummyndun

6.7.1. Fourier-myndir reiknaðar með leifareikningi.

Hugsum okkur nú að \(f\in {{\cal O}}({{\mathbb C}}\setminus A)\), þar sem \(A\) er dreift mengi og skilgreinum vegina \(\gamma_r\) og \(\beta_r\) eins og í leifareikningnum, \(\gamma_r(\theta)=re^{i\theta}\), \(\beta_r(\theta)=re^{-i\theta}\), \(\theta\in [0,\pi]\).

Hálfskífur í efra og neðra hálfplani

Mynd: Hálfskífur í efra og neðra hálfplani

Ef \(A\) sker ekki hringinn \(\{z\in {{\mathbb C}}\,;\, |z|=r\}\), þá fáum við

\[\begin{split}\begin{gathered} \int_{-r}^{r}e^{-ix\xi}f(x)\, dx +\int_{\gamma_r}e^{-iz\xi}f(z)\, dz = 2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap \Omega_r}{{\operatorname{Res}}}(e^{-iz\xi}f(z),\alpha),\\ \int_{-r}^{r}e^{-ix\xi}f(x)\, dx +\int_{\beta_r}e^{-iz\xi}f(z)\, dz = -2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap \widetilde\Omega_r}{{\operatorname{Res}}}(e^{-iz\xi}f(z),\alpha),\end{gathered}\end{split}\]

Athugum nú að

\[|e^{-iz\xi}|=e^{{{\operatorname{Re\, }}}(-i z\xi)}=e^{y\xi} \leq 1, \quad\text{ ef } y\geq 0 \text{ og } \xi\leq 0 \quad \text{ eða } \quad y\leq 0 \text { og } \xi\geq 0.\]
\[\begin{split}\begin{aligned} \big|\int_{\gamma_r}e^{-iz\xi}f(z)\, dz\big| &\leq \max_{|z|=r}|f(z)| \int_{\gamma_r}|e^{-iz\xi}|\, |dz|, \qquad \xi<0 ,\label{16.7.4a}\\ \big|\int_{\beta_r}e^{-iz\xi}f(z)\, dz\big| &\leq \max_{|z|=r}|f(z)| \int_{\beta_r}|e^{-iz\xi}|\, |dz|, \qquad \xi > 0.\label{16.7.5a}\end{aligned}\end{split}\]

6.7.1.1. Hjálparsetning

(Jordan).   Við höfum að

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_{\gamma_r}|e^{-iz\xi}|\, |dz| &=\int_0^\pi e^{\xi r\sin \theta}\, rd\theta <\dfrac\pi{-\xi}, \quad \xi<0,\\ \int_{\beta_r}|e^{-iz\xi}|\, |dz| &=\int_0^\pi e^{-\xi r\sin \theta}\, rd\theta <\dfrac\pi{\xi}, \quad \xi>0.\end{aligned}\end{split}\]

6.7.1.2. Sönnun

Sýna sönnun

Hjálparsetning Jordan og jöfnurnar fyrir framan hana gefa:

6.7.1.3. Setning

Látum \(f\in L^1({{\mathbb R}})\cap {{\cal O}}({{\mathbb C}}\setminus A)\), þar sem \(A\) er endanlegt mengi og gerum ráð fyrir að \(\max_{|z|=r}|f(z)|\to 0\) ef \(r\to +\infty\). Þá er

\[\begin{split}\widehat f(\xi) = \begin{cases} 2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap H_+} {{\operatorname{Res}}}(e^{-iz\xi}f(z),\alpha), & \xi < 0,\\ -2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap H_-} {{\operatorname{Res}}}(e^{-iz\xi}f(z),\alpha), & \xi > 0, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(H_+=\{z\in {{\mathbb C}}; {{\operatorname{Im\, }}}z>0\}\) táknar efra hálfplanið og \(H_-=\{z\in {{\mathbb C}}; {{\operatorname{Im\, }}}z<0\}\) táknar neðra hálfplanið.


Áður en við byrjum að beita leifaformúlunni til þess að reikna út Fourier-myndir þá skulum við staldra við og rifja það upp að Fourier-mynd af jafnstæðu fallið er jafnstætt fall. Hugsum okkur að \(f\) sé jafnstætt og að við höfum komist að því að \(\widehat f(\xi)=g(\xi)\) þar sem \(g\) er fall á jákvæða ásnum \({{\mathbb R}}_+\). Þá þurfum við ekki að reikna neitt meira því við höfum \(\widehat f(\xi)=g(|\xi|)\) fyrir öll \(\xi\in{{\mathbb R}}\). Ef við höfum reiknað út \(\widehat f(\xi)=h(\xi)\) þar sem \(h\) er fall á neikvæða ásnum \({{\mathbb R}}_-\), þá fáum við að \(\widehat f(\xi)=h(-|\xi|)\) fyrir öll \(\xi\in {{\mathbb R}}\).

Við vitum líka að Fourier-mynd af oddstæðu falli er oddstæð. Hugsum okkur því að \(f\) sé oddstætt og að við höfum að \(\widehat f(\xi)=g(\xi)\) þar sem \(g\) er fall á jákvæða ásnum \({{\mathbb R}}_+\). Þá gildir \(\widehat f(\xi)={{\operatorname{sign}}}(\xi)g(|\xi|)\) fyrir öll \(\xi\in {{\mathbb R}}\). Ef við höfum reiknað út \(\widehat f(\xi)=h(\xi)\) þar sem \(h\) er fall á neikvæða ásnum \({{\mathbb R}}_-\), þá fáum við að \(\widehat f(\xi)={{\operatorname{sign}}}(\xi)h(-|\xi|)\) fyrir öll \(\xi\in {{\mathbb R}}\).

6.7.1.4. Sýnidæmi

Sýna dæmi

6.7.1.5. Sýnidæmi

Sýna dæmi

6.7.2. Andhverfar Fourier-myndir reiknaðar með leifareikningi.

Hugsum okkur nú að \(f\in L^1({{\mathbb R}})\) og að við getum sýnt fram á að Fourier-myndin \(\widehat f\) eigi sér fágaða framlengingu yfir í fall \(\widehat f\in {{\cal O}}({{\mathbb C}}\setminus A)\), þar sem \(A\) er dreift mengi og skilgreinum vegina \(\gamma_r\) og \(\beta_r\) eins og áður.

Hálfskífur í efra og neðra hálfplani

Mynd: Hálfskífur í efra og neðra hálfplani

Ef \(A\) sker ekki hringinn \(\{z\in {{\mathbb C}}\,;\, |z|=r\}\), þá fáum við

\[\begin{split}\begin{gathered} \dfrac 1{2\pi}\int_{-r}^{r}e^{ix\xi}\widehat f(\xi)\, d\xi +\dfrac 1{2\pi}\int_{\gamma_r}e^{ix\zeta}\widehat f(\zeta)\, d\zeta = i\sum_{\alpha\in A\cap \Omega_r}{{\operatorname{Res}}}(e^{ix\zeta}\widehat f(\zeta),\alpha),\\ \dfrac 1{2\pi}\int_{-r}^{r}e^{ix\xi}\widehat f(\xi)\, d\xi +\dfrac 1{2\pi}\int_{\beta_r}e^{ix\zeta}\widehat f(\zeta)\, d\zeta = -i\sum_{\alpha\in A\cap \widetilde\Omega_r}{{\operatorname{Res}}}(e^{ix\zeta}\widehat f(\zeta),\alpha),\end{gathered}\end{split}\]

Matið á veldisvísisfallinu verður nú fyrir \(\zeta=\xi+i\eta\),

\[|e^{ix\zeta}| =e^{{{\operatorname{Re\, }}}(ix\zeta)}=e^{-x\eta} \leq 1, \quad\text{ ef } \eta\geq 0 \text{ og } x\geq 0 \quad \text{ eða } \quad \eta\leq 0 \text { og } x\leq 0.\]

Hjálparsetning Jordan gefur

\[\begin{split}\int_{\gamma_r}|e^{ix\zeta}|\, |d\zeta| <\dfrac\pi{x}, \quad x>0, \qquad \text{ og } \qquad \int_{\beta_r}|e^{ix\zeta}|\, |d\zeta| <\dfrac\pi{-x}, \quad x<0,\end{split}\]

og við fáum matið

\[\begin{split}\begin{aligned} \big|\int_{\gamma_r}e^{ix\zeta}\widehat f(\zeta)\, d\zeta\big| &\leq \dfrac \pi x \, \max_{|\zeta|=r}|\widehat f(\zeta)|, \qquad x>0 ,\label{16.7.8a}\\ \big|\int_{\beta_r}e^{ix\zeta}\widehat f(\zeta)\, d\zeta\big| &\leq \dfrac \pi {(-x)} \, \max_{|\zeta|=r}|\widehat f(\zeta)|, \qquad x<0.\label{16.7.9a}\end{aligned}\end{split}\]

Niðurstaðan verðu því:

6.7.2.1. Setning

Gerum ráð fyrir því að \(f\in L^1({{\mathbb R}})\cap PC^1({{\mathbb R}})\), að það sé hægt að framlengja skilgreiningarsvæði Fourier–myndarinnar \(\widehat f\), þannig að \(\widehat f\in {{\cal O}}({{\mathbb C}}\setminus A)\), þar sem mengið \(A\) er endanlegt, og \(\max_{|\zeta|=r}|\widehat f(\zeta)|\to 0\), \(r\to +\infty\). Þá er

\[\begin{split}\tfrac 12 (f(x+)+f(x-))=\begin{cases} i\sum\limits_{\alpha\in A\cap H_+}{{\operatorname{Res}}}\big(e^{ix\zeta}\widehat f(\zeta),\alpha\big), & x>0\\ -i\sum\limits_{\alpha\in A\cap H_-}{{\operatorname{Res}}}\big(e^{ix\zeta}\widehat f(\zeta),\alpha\big), & x<0. \end{cases}\end{split}\]

6.7.2.2. Sýnidæmi

Sýna dæmi

6.8. Andhverf Laplace–ummyndun

6.8.1. Andhverf Laplace–ummyndun

Nú skulum við sjá samhengið milli Fourier- og Laplace-ummynda. Látum \(f\) vera fall á \({{\mathbb R}}_+=\{t\in {{\mathbb R}}; t\geq 0\}\) af veldisvísisgerð, en samkvæmt skilgreiningu þýðir það að til eru jákvæðir fastar \(M\) og \(c\) þannig að

\[|f(t)|\leq Me^{c t}, \qquad t\in {{\mathbb R}}_+.\]

Við sönnuðum við að Laplace–myndin \({{\cal L}}f({\zeta})\) er fágað fall á hálfplaninu \(\{{\zeta}\in {{\mathbb C}}; {{\operatorname{Re\, }}}{\zeta}>c\}\). Við framlengjum skilgreiningarsvæði fallsins \(f\) yfir á allan ásinn með því að setja \(f(t)=0\) fyrir öll \(t<0\) og sjáum þá að

\[\begin{split}\begin{aligned} {{\cal L}}f(\zeta)&= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(\xi+i\eta)x} f(x) \, dx= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\eta}e^{-\xi x} f(x) \, dx \\ &= {{\cal F}}\{e^{-\xi x}f(x)\}(\eta). \nonumber \end{aligned}\end{split}\]

Nú festum við gildið á \(\xi\) og lítum á þetta sem fall af \(\eta\) og fáum þá sem beina afleiðingu af andhverfuformúlu Fouriers:

6.8.1.1. Setning

(Andhverfuformúla Fourier–Mellin).   Ef \(f:{{\mathbb R}}_+\to {{\mathbb C}}\) er samfellt deildanlegt á köflum og uppfyllir \(|f(t)|\leq Me^{ct}\), \(t\in {{\mathbb R}}_+\), þar sem \(M\) og \(c\) eru jákvæðir fastar, þá gildir um sérhvert \(\xi>c\) og sérhvert \(t>0\)

\[\begin{split}\begin{aligned} \label{7.2.2} \tfrac 12(f(t+)+f(t-))& = \lim_{R\to +\infty} \dfrac 1{2\pi} \int_{-R}^{+R}e^{(\xi+i\eta)t}{{\cal L}}f(\xi+i\eta) \, d\eta \\ &= \lim_{R\to +\infty} \dfrac 1{2\pi i} \int_{\xi-iR}^{\xi+iR}e^{\zeta t}{{\cal L}}f(\zeta) \, d\zeta,\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

þar sem \(\int_{\xi-iR}^{\xi+iR}\) táknar að heildað sé eftir línustrikinu með upphafspunktinn \(\xi-iR\) og lokapunktinn \(\xi+iR\). Ef \({{\cal L}}f(\xi+i\eta)\) er í \(L^ 1({{\mathbb R}})\) sem fall af \(\eta\), þá er \(f\) samfellt í \(t\) og

\[\begin{split}\begin{aligned} f(t)&= \dfrac 1{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{(\xi+i\eta)t}{{\cal L}}f(\xi+i\eta) \, d\eta \\ &= \dfrac 1{2\pi i} \int_{\xi-i\infty}^{\xi+i\infty}e^{\zeta t}{{\cal L}}f(\zeta) \, d\zeta,\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

þar sem \(\int_{\xi-i\infty}^{\xi+i\infty}\) táknar að heildað sé eftir línunni \(\{\xi+i\eta; \eta\in {{\mathbb R}}\}\) í stefnu vaxandi \(\eta\).

6.8.1.2. Sönnun

Sýna sönnun

Sem beina afleiðingu af andhverfuformúlunni fáum við nú að samfellt fall er ótvírætt ákvarðað af Laplace–mynd sinni. Við athugum að setningin gildir ekki ef sleppt er þeirri forsendu að föllin \(f\) og \(g\) séu samfelld. Ástæðan er einfaldlega sú að Laplace mynd falls breytist ekki við það að gildum þess sé breytt í einstökum punktum.

Sem eitt dæmi um gildi samsemdarsetningarinnar skulum við taka:

6.8.1.3. Setning

Látum \(f\) og \(g\) vera tvö samfelld föll af veldisvísisgerð á \({{\mathbb R}}\), sem uppfylla \(|f(t)|\leq Me^{ct}\) og \(|g(t)|\leq Me^{ct}\) fyrir \(t\in {{\mathbb R}}_+\), og gerum ráð fyrir að \({{\cal L}}f(\alpha_j)={{\cal L}}g(\alpha_j)\), þar sem \(\{\alpha_j\}\) er runa af ólíkum punktum, \(\alpha_j\to \alpha\), \({{\operatorname{Re\, }}}\alpha_j >c\) og \({{\operatorname{Re\, }}}\alpha >c\). Þá er \(f(t)=g(t)\) fyrir öll \(t\in {{\mathbb R}}_+\).

6.8.1.4. Sönnun

Sýna sönnun

6.9. Andhverf Laplace-ummyndun og leifareikningur

6.9.1. Andhverf Laplace-ummyndun og leifareikningur

Í útreikningum okkar höfum við oft séð dæmi þess að unnt er að útvíkka skilgreiningarmengi \({{\cal L}}f(\zeta)\) frá hálfplaninu \(H_c\) yfir á allt planið utan við dreift mengi \(A\) af sérstöðupunktum. Sem dæmi getum við nefnt

\[{{\cal L}}\{\cos \beta t\}(\zeta) =\dfrac {\zeta}{\zeta^ 2+\beta^ 2}, \qquad {{\cal L}}\{\sin \beta t\}(\zeta) =\dfrac {\beta}{\zeta^ 2+\beta^ 2},\]

en báðar þessar Laplace-myndir eru skilgreindar á \({{\mathbb C}}\setminus\{\pm i\beta\}\). Sjálfsagt er að beita leifareikningi til að reikna út andhverfar Laplace–myndir með andhverfuformúlu Fourier-Mellin. Við skulum nú sjá hvernig þetta er framkvæmt.

Hálfhringur með upphafspunkt :math:`\xi+ir` og lokapunkt :math:`\xi-ir`

Mynd: Hálfhringur með upphafspunkt \(\xi+ir\) og lokapunkt \(\xi-ir\)

Við látum \(M_r\) vera hálfhringinn sem stikaður er með \(\gamma_r(\theta)=\xi+ire^{i\theta}\), \(\theta\in [0,\pi]\) og \(A_r=\{z\in{{\mathbb C}}; |z-\xi|<r, {{\operatorname{Re\, }}}z<\xi\}\) vera mengið sem hann afmarkar ásamt línustrikinu milli endapunkta hans. Ef engir sérstöðupunktar liggja á \(M_r\), þá gefur leifasetningin okkur

\[\dfrac 1{2\pi i}\int_{\xi-ir}^{\xi+ir}e^{\zeta t}{{\cal L}}f(\zeta)\, d\zeta +\dfrac 1{2\pi i}\int_{\gamma_r}e^{\zeta t}{{\cal L}}f(\zeta)\, d\zeta= \sum_{\alpha\in A_r}{{\operatorname{Res}}}(e^{\zeta t}{{\cal L}}f(\zeta),\alpha).\]

Nú viljum við vita hvenær heildið yfir hálfhringinn stefnir á núll ef \(r\to +\infty\). Í þessu tilfelli gefur hjálparsetning Jordan matið

\[\begin{split}\int_{\gamma_r}|e^{\zeta t}||d\zeta|\leq \dfrac{\pi e^{\xi t}}{t}, \qquad t>0,\end{split}\]

og af því leiðir

\[|\int_{\gamma_r}e^{\zeta t}{{\cal L}}f(\zeta)\, d\zeta|\leq \int_{\gamma_r}|e^{\zeta t}||d\zeta| \max_{\zeta\in M_r}|{{\cal L}}f(\zeta)| \leq \dfrac{\pi e^{\xi t}}{t} \max_{\zeta\in M_r}|{{\cal L}}f(\zeta)|\]

Út frá andhverfuformúlu Fourier–Mellin fáum við:

6.9.1.1. Setning

Látum \(f:{{\mathbb R}}_+\to {{\mathbb C}}\) vera samfellt deildanlegt á köflum og af veldisvísisgerð, með \(|f(t)|\leq Me^{ct}\), \(t>0\), og gerum ráð fyrir að hægt sé að framlengja \({{\cal L}}f\) yfir í fágað fall á \({{\mathbb C}}\setminus A\), þar sem \(A\) er endanlegt mengi. Ef \(\xi>c\), \(M_r\) táknar hálfhringinn sem stikaður er með \(\gamma_r(\theta)=\xi+ire^{i\theta}\), \(\theta\in [0,\pi]\) og

\[\max_{\zeta\in M_r}|{{\cal L}}f(\zeta)|\to 0, \qquad r\to +\infty,\]

þá er

\[\begin{split}\frac 12(f(t+)+f(t-))= \sum_{\alpha\in A}{{\operatorname{Res}}}(e^{\zeta t}{{\cal L}}f(\zeta),\alpha) \qquad t>0.\end{split}\]

Ef \(f\) er samfellt í \(t\), þá gildir

\[f(t)= \sum_{\alpha\in A}{{\operatorname{Res}}}(e^{\zeta t}{{\cal L}}f(\zeta),\alpha).\]

Unnt er að skrifa Green–fallið \(G(t,\tau)\), til þess að leysa jöfnuna

\[P(D)u=(D^m+a_{m-1}D^{m-1}+\cdots+a_1D+a_0)u=f(t),\]

með upphafsskilyrðum, á forminu \(G(t,\tau)=g(t-\tau)\), þar sem Laplace–mynd fallsins \(g\) er gefin með

\[{{\cal L}}g(\zeta)=\dfrac 1{P(\zeta)}.\]

Setning beint fyrir ofan gefur okkur þá að

\[g(t)= \sum\limits_{\alpha\in{\cal N}(P)} {{\operatorname{Res}}}\bigg( \dfrac {e^{t\zeta}}{P(\zeta)},\alpha\bigg).\]

6.9.1.2. Sýnidæmi

Sýna dæmi

6.9.1.3. Sýnidæmi

Sýna dæmi

6.9.1.4. Sýnidæmi

Sýna dæmi

6.10. Sínus– og kósínus–ummyndanir

6.10.1. Sínus– og kósínus–ummyndanir

Í reiknireglum (vii) og (viii) sáum við að

\[{{\cal F}}f(\xi)=2\int_0^{+\infty}\cos(x\xi)f(x)\, dx,\]

ef fallið \(f\) er jafnstætt og

\[{{\cal F}}f(\xi)=-2i\int_0^{+\infty}\sin(x\xi)f(x)\, dx,\]

ef fallið \(f\) er oddstætt. Ef fallið \(f\) er ekki skilgreint á öllum ásnum \({{\mathbb R}}\) heldur einungis á \({{\mathbb R}}_+=\{x\in {{\mathbb R}}; x\geq 0\}\), þá eru heildin í hægri hliðinni notuð til að skilgreina nýjar ummyndanir:

6.10.1.1. Skilgreining

Ef \(f\in L^ 1({{\mathbb R}}_+)\), þá kallast föllin

\[{{\cal F}}_c f(\xi)=\int_0^{+\infty}\cos(x\xi)f(x)\, dx \ \ \text{ og } \ \ {{\cal F}}_s f(\xi)=\int_0^{+\infty}\sin(x\xi)f(x)\, dx, \ \ \xi\in {{\mathbb R}}\]

kósínus–mynd og sínus-mynd fallsins \(f\) og varpanirnar \({{\cal F}}_c\) og \({{\cal F}}_s\) sem úthluta sérhverju falli \(f\in L^ 1({{\mathbb R}}_+)\) samfelldu föllunum \({{\cal F}}_cf\) og \({{\cal F}}_sf\) kallast kósínus–ummyndun og sínus–ummyndun.


Við fáum hér enn eitt afbrigðið af andhverfuformúlunni:

6.10.1.2. Setning

(Andhverfuformúla Fouriers ).   Gerum ráð fyrir að \(f\in L^ 1({{\mathbb R}}_+)\) og að \({{\cal F}}_cf, {{\cal F}}_sf\in L^ 1({{\mathbb R}}_+)\). Þá er

\[\begin{split}\begin{gathered} f(x) = \dfrac 2\pi\int_0^ {+\infty} \cos(x\xi) {{\cal F}}_cf(\xi)\, d\xi, \qquad x > 0,\\ f(x) = \dfrac 2\pi\int_0^ {+\infty} \sin(x\xi) {{\cal F}}_sf(\xi)\, d\xi, \qquad x> 0.\end{gathered}\end{split}\]

Ef \(f\in L^ 1({{\mathbb R}}_+)\cap PC^1({{\mathbb R}}_+)\), þá gildir

\[\begin{split}\begin{gathered} \tfrac 12(f(x+)+f(x-)) = \lim_{R\to +\infty} \dfrac 2\pi\int_0^ {R} \cos(x\xi) {{\cal F}}_cf(\xi)\, d\xi, \qquad x > 0,\\ \tfrac 12(f(x+)+f(x-)) = \lim_{R\to +\infty} \dfrac 2\pi\int_0^ {R} \sin(x\xi) {{\cal F}}_sf(\xi)\, d\xi, \qquad x> 0.\end{gathered}\end{split}\]

6.10.1.3. Sönnun

Sýna sönnun

6.11. Æfingardæmi

6.11.1. Æfingardæmi

6.11.1.1. Dæmi

Teiknið upp gröf eftirfarandi falla og reiknið út Fourier-myndir þeirra:

\[\begin{split}\begin{aligned} \text{a.}\quad f(x)&=\begin{cases} 1, &|x|\leq 1,\\ 0, &|x|>1,\end{cases} & \qquad\text{b.} \quad f(x)&=\begin{cases} x, &0\leq x\leq 1,\\ 0, &\text{annars},\end{cases} \\ \text{c.} \quad f(x)&=\begin{cases} 1-x, &0\leq x\leq 1,\\ 0, &\text{annars},\end{cases} & \qquad \text{d.} \quad f(x)&=\begin{cases} 1-|x|, &|x|\leq 1,\\ 0, &|x|>1,\end{cases} \\ \text{e.}\quad f(x)& =\begin{cases} 1-x^2, &|x|\leq 1,\\ 0, &|x|>1.\end{cases} & \qquad \text{f.} \quad f(x)&=\begin{cases} c, &x\in [a,b],\\ 0, &x\not\in [a,b],\end{cases} \\ \text {g.} \quad f(x)&=\begin{cases} (x-a)/(c-a), &x\in [a,c],\\ (b-x)/(b-c), &x\in [c,b],\\ 0, &x\not\in [a,b].\end{cases} & &\end{aligned}\end{split}\]

6.11.1.2. Dæmi

Sannið reiknireglur (i)–(vi) og (viii).

6.11.1.3. Dæmi

Notið niðurstöðuna úr sýnidæmi og andhverfuformúluna til þess að sýna að:

\[\begin{split}\dfrac 2{\pi} \int\limits_{0}^{+\infty} \dfrac {1-\cos {\xi}}{{\xi}^2} \cos (x{\xi})\, d{\xi} = \begin{cases} 1-|x|, &|x|\leq 1, \\ 0, & |x|>1.\end{cases}\end{split}\]
\[\begin{split}\dfrac 2{\pi} \int\limits_{0}^{+\infty} \dfrac {\sin {\xi}}{\xi} \cos (x{\xi})\, d{\xi} = \begin{cases} 1, &|x|< 1, \\ 1/2, & |x|=1,\\ 0, & |x|>1.\end{cases}\end{split}\]
\[\int_0^{+{\infty}} \dfrac {\sin^2{\xi}}{\xi^2}\, d{\xi} = \dfrac {\pi}2.\]
\[\int_0^{+{\infty}} \dfrac {\cos(x{\xi})}{1+{\xi}^2} \, d{\xi} =\dfrac {\pi}2 e^{-|x|}.\]

6.11.1.4. Dæmi

Notið niðurstöðurnar úr sýnidæmunum, reiknireglurnar og andhverfuformúluna til þess að reikna út Fourier-myndir fallanna:

a. \(f(x)= \dfrac{e^{ix}}{1+2x^2}\), b. \(f(x)= x^4e^{-x^2}\),
c. \(f(x)= e^{-{\alpha}x^2-{\beta}x}\), \({\alpha},{\beta}\in {{\mathbb R}}\), \({\alpha}>0\), d. \(f(x)= xe^{-|x|}\),
e. \(f(x)= \dfrac{x}{1+x^2}\), f. \(f(x)= \dfrac{x^2}{(1+x^2)^2}\),
g. \(f(x)= \dfrac{1}{(1+x^2)^2}\), h. \(f(x)=e^{-|x|}\cos x\),
i. \(f(x)=e^{-|x|}\sin |x|\), j. \(f(x)=1/(x^4+4)\).

6.11.1.5. Dæmi

Beitið andhverfuformúlunni og reiknireglunum til þess að ákvarða fallið \(f\), þar sem:

a. \(\widehat f({\xi})= e^{2i{\xi}-4|{\xi}|}\), b. \(\widehat f({\xi})= {\xi}e^{-({\xi}-3)^2}\), c. \(\widehat f({\xi})= |{\xi}|e^{-|{\xi}|}\).

6.11.1.6. Dæmi

Ljúkið við sönnunina á hjálparsetningu Riemanns og Lebesgues með því að sanna:

(i) Fyrir sérhvert \(a,b\in {{\mathbb R}}\), \(a<b\), gildir

\[\int_a^b e^{-ix{\xi}}\, dx\to 0, \qquad {\xi}\to\pm{\infty}.\]

(ii) Fyrir sérhvert þrepafall \(v\) á bilinu \([-a,a]\), \(a>0\), gildir

\[\int_{-a}^a e^{-ix{\xi}}v(x) \, dx\to 0, \qquad {\xi}\to\pm{\infty},\]

(iii) Ef \(f\in L^1({{\mathbb R}})\) og \(\varepsilon>0\), þá er til \(a>0\) og þrepafall \(v\) þannig að

\[\begin{split}\int_{|x|\geq a} |f(x)|\, dx <\varepsilon \qquad \text{ og } \qquad \int_{-a}^a |f(x)-v(x)|\, dx <\varepsilon.\end{split}\]

Notið þessar niðurstöður til þess að ljúka sönnuninni.

6.11.1.7. Dæmi

Er til fall \(f\in L^1({{\mathbb R}})\) þannig að \(\widehat f({\xi})=1-\sin {\xi}\)?

6.11.1.8. Dæmi

Látum \(f_n, f\in L^1({{\mathbb R}})\), \(n=1,2,3,\dots\), og gerum ráð fyrir að

\[\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} |f_n(x)-f(x)|\, dx \to 0, \qquad n\to +{\infty}.\]

Sýnið að \(\widehat f_n\to \widehat f\) í jöfnum mæli á \({{\mathbb R}}\).

6.11.1.9. Dæmi

Beitið leifareikningi til þess að ákvarða Fourier–myndir:

a. \(f(x)=\dfrac 1{(1+x^2)^3}\), b. \(f(x)=\dfrac 1{1+x^6}\),
c. \(f(x)=\dfrac x{(x^2-2x+2)^2}\), d. \(f(x)=\dfrac{1+x^2}{1+x^4}\),
e. \(f(x)=\dfrac {x^3}{1+x^6}\), f. \(f(x)=\dfrac 1{1+x+x^2+x^3+x^4}\).

[Leiðbeining: Í f)-lið eru skautin fimmtu rætur af \(1\).]

6.11.1.10. Dæmi

Reiknið út andhverfar Fourier-myndir fallanna:

a. \(F({\xi})=\dfrac {\xi}{\xi^2+2{\xi}+2}\), b. \(F({\xi})=\dfrac {\xi^3}{({\xi}^2+4{\xi}+5)^2}.\)

6.11.1.11. Dæmi

Leysið földunarjöfnurnar:

\[\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} u(x-y)e^{-2y^2}\, dy = e^{-x^2},\]
\[\int_{-\infty}^{+\infty}u(x-t)u(t)\, dt = e^{-x^2}.\]
\[u(x)+\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} e^{-|x-y|}u(y)\, dy =xe^{-|x|}.\]

6.11.1.12. Dæmi

Setjum \(f(x)=1/(1+x^2)\).

  1. Reiknið út \(f\ast f\) með því að beita Fourier–ummyndun.
  2. Reiknið út \(f\ast \cdots\ast f\), þar sem þættirnir eru \(n\) talsins.

6.11.1.13. Dæmi

Reiknið út heildið

\[\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} \dfrac{dy}{(1+4(x-y)^2)(1+y^2)}.\]

6.11.1.14. Dæmi

Látum \(f\in L^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\) og gerum ráð fyrir að \(\widehat f({\xi})=0\) ef \(|{\xi}|\geq 1\). Sýnið að \(f\)eiginfallen: eigenfunction.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
földunarvirkjans \(T\), sem skilgreindur er með formúlunni

\[Tu(x)=\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} \dfrac{\sin(x-y)}{x-y} u(y)\, dy\]

Hvert er eigengildiðen: characteristic value.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
?

6.11.1.15. Dæmi

Látum \(f\) vera fallið sem hefur Fourier-myndina

\[\begin{split}\widehat f({\xi})=\begin{cases} \sqrt{1-{\xi}^2}, &|{\xi}|\leq 1,\\ 0, &|{\xi}|>1.\end{cases}\end{split}\]

Sýnið að \(f\) uppfyllið afleiðujöfnuna

\[t f{{^{\prime\prime}}}+3f{{^{\prime}}}+tf=0.\]

Setjið \(f\) fram með veldaröð.

6.11.1.16. Dæmi

Jafnan

\[f{{^{\prime}}}(x)+f(x)+f(x+2) =\dfrac 1{1+x^2}, \qquad x\in {{\mathbb R}},\]

hefur heildanlega lausn. Ákvarðið Fourier-mynd hennar.

6.11.1.17. Dæmi

Reiknið út andhverfu Fourier-myndina \(E\) af fallinu \({\xi}\mapsto 1/P(i{\xi})\), skrifið lausnina \(u\) á jöfnunni \(P(D)u=f\) sem földunarheildi og reiknið það út í sértilfellinu \(f(x)=H(x)xe^{-x}\).

a. \(P({\zeta})={\zeta}^2+2{\zeta}+1\), b. \(P({\zeta})={\zeta}^2-1\),
c. \(P({\zeta})={\zeta}^3+{\zeta}^2-{\zeta}-1\), d. \(P({\zeta})={\zeta}^2+2{\zeta}+5\).

6.11.1.18. Dæmi

Skrifið upp Plancherel-formúluna fyrir fallið \(f(x)=1/(1+x^2)\) og notið hana til þess að ákvarða heildið

\[\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} \dfrac {dx}{(1+x^2)^2}.\]

6.11.1.19. Dæmi

Notið niðurstöðuna úr sýnidæmi, andhverfuformúlu Fouriers og Plancherel–jöfnuna til þess sýna að

\[\int_0^{+\infty} \dfrac {\sin x}x \, dx=\dfrac {\pi}2, \qquad \int_0^{+\infty} \dfrac {\sin^ 2 x}{x^ 2} \, dx=\dfrac {\pi}2, \qquad \int_0^{+\infty} \dfrac {\sin^ 4 x}{x^ 4} \, dx=\dfrac {\pi}3.\]

6.11.1.20. Dæmi

Notið formúlu Parsevals til þess að reikna út heildið

\[\int_{-{\infty}}^{+{\infty}} \dfrac{\sin x} x e^{-|x|} \, dx.\]

6.11.1.21. Dæmi

Flokkið sérstöðupunkta fallanna sem gefin eru og reiknið út andhverfa Laplace–mynd þeirra með leifareikningi:

  1. \(F({\zeta})=\dfrac 1{({\zeta}+3)}-\dfrac 2{({\zeta}+3)^2} +\dfrac 1{({\zeta}+3)^3}\),
  2. \(F({\zeta})=\dfrac 1{\zeta^3({\zeta}^2+1)}\),
  3. \(F({\zeta})=\dfrac{{\zeta}-2} {({\zeta}^2-3{\zeta}+2)({\zeta}-1)({\zeta}^2+1)}\),

6.11.1.22. Dæmi

Notið Laplace–ummyndun og leifareikning til þess að finna Green–föll virkjanna:

a. \(D^ 2+\omega^ 2\), b. \((D^ 2+4)(D^ 2+9)\),
c. \(D^3+D^2+3D-5\), d. \(D^4-D^2+2D+2\),
e. \((D^2+1)(D-1)(D-2)\), f. \(D^4-2D^3+2D^2-2D+1\).
g. \(D^2+4D+8\), h. \(D^3-4D^2+5D-2\),
i. \(D^4-D^2+2D+2\).