5. Raðalausnir á hlutafleiðujöfnum

5.1. Inngangur

Í þessum kafla kynnumst við ýmsum aðferðum til þess að leiða út formúlur fyrir lausnir á hlutafleiðujöfnum með hliðarskilyrðum. Aðferðirnar eiga það sammerkt að gengið er út frá lausnartilgátum sem segja að hægt sé að liða lausnina í eiginfallaröð með tilliti til einnar breytistærðar með stuðlum sem eru háðir öðrum breytistærðum. Eiginfallaröðin ákvarðast af hliðarskilyrðunum, sem oftast eru jaðarskilyrði, en gildin á stuðlum raðarinnar ákvarðast af hlutafleiðujöfnunni og einhverjum hliðarskilyrðum, sem ýmist eru upphafs- eða jaðarskilyrði.

Hugmyndin að baki þessara lausnaraðferða hefur þegar komið fram í nokkrum sýnidæmum í kaflanum um Fourier-raðir. Í sýnidæmi fjölluðum við um sveiflur strengs, þar sem frávikið frá jafnvægisstöðu \(u(x,t)\) uppfyllir bylgjujöfnuna,

\[\begin{split}\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2}- c^2\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}x^2}=0, \qquad 0<x<L, \quad t>0.\end{split}\]

Ef strengurinn er festur niður í báðum endapunktum, þá fáum við jaðarskilyrðið

\[u(0,t)=u(L,t)=0, \qquad t\geq 0.\]

Þetta segir okkur að eðlileg lausnartilgáta sé að hægt sé að liða \(u(x,t)\) í Fourier-sínusröð með tilliti til \(x\) með stuðlum sem eru háðir tíma,

\[u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(t)\sin(n{\pi}x/L), \quad u_n(t)= \dfrac 2L\int_0^L u(x,t)\sin(n{\pi}x/L)\, dx.\]

Með því að láta bylgjuvirkjann \({\partial}_t^2-c^2{\partial}_x^2\) verka lið fyrir lið summunni og setja ákveðin upphafsskilyrði um stöðu og hraða strengsins við tímann \(t=0\), sáum við að Fourier-stuðullinn \(u_n(t)\) væri lausn á ákveðnu upphafsgildisverkefni sem auðvelt var að leysa.

Í sýnidæmi fjölluðum við um hitastig \(u(x,t)\) í stöng af lengd \(L\), þar sem varmamyndun á massa- og lengdareiningu er \(f(x,t)\), en \(u(x,t)\) uppfyllir þá varmaleiðnijöfnuna

\[\begin{split}\dfrac{{\partial} u}{{\partial}t}-{\kappa} \dfrac{{\partial}^2 u}{{\partial}x^2}=f(x,t), \qquad 0<x<L, \quad t>0.\end{split}\]

Ef gert er ráð fyrir að endar stangarinnar séu einangraðir, þá fáum við jaðarskilyrðið

\[\begin{split}{\partial}_xu(0,t)={\partial}_xu(L,t)=0, \qquad t>0.\end{split}\]

Á því sjáum við að eðlilegt er að setja fram þá lausnartilgátu að hægt sé að liða \(u(x,t)\) í Fourier-kósínusröð með tilliti til \(x\)

\[u(x,t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} u_n(t)\cos(n{\pi}x/L),\]

og gefa sér að Fourier-kósínusstuðlar fallsins \(f\) séu þekktir

\[f(x,t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} f_n(t)\cos(n{\pi}x/L).\]

Með því að beita varmaleiðnivirkjanum \({\partial}_t-{\kappa}{\partial}_x^2\) lið fyrir lið í summunni fyrir \(u(x,t)\), þá fengum við að \(u_n\) verður að uppfylla jöfnuna \(u_n{{^{\prime}}}(t)+{\kappa}(n{\pi}/L)^2u_n(t)=f_n(t)\) og út frá henni ákvarðast \(u_n(t)\).

Við ætlum nú að útfæra þessa hugmynd í mörgum afbrigðum til þess að leiða út lausnarformúlur fyrir ýmsar hlutafleiðujöfnur eins og bylgjujöfnuna, varmaleiðnijöfnuna og Laplace-jöfnuna með hliðarskilyrðum.

5.2. Laplace-virkinn í rétthyrndum hnitum

Dirichlet-verkefni fyrir Laplace-virkjann í plani er:

\[\begin{split}\begin{cases} \Delta u=\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+ \dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}=0, &(x,y)\in X,\\ u(x,y)={\varphi}(x,y), &(x,y)\in {\partial}X, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(X\) er opið svæði í \({{\mathbb R}}^2\) með jaðar \({\partial}X\) og \({\varphi}\) er gefið fall á \({\partial}X\). Í eðlisfræðinni er þetta verkefni mjög mikilvægt. Lausnin getur til dæmis verið hitastig í þunnri plötu, sem er í varmajafnvægi, (\({\partial}u/{\partial}t=0\)). Fallið \(u\) getur einnig verið rafstöðumætti í þunnri leiðandi plötu. Nú skulum við líta á tilfellið þegar \(X\) er rétthyrnd plata:

\[\begin{split}\begin{cases} \Delta u=0, &0<x<L, \ 0<y<M,\\ u(x,0)=\varphi_1(x), \ u(x,M)=\varphi_2(x), &0<x<L,\\ u(0,y)=\psi_1(y), \ u(L,y)=\psi_2(y), &0<y<M. \end{cases}\end{split}\]
Dirichlet verkefnið á ferhyrningi

Mynd: Dirichlet verkefnið á ferhyrningi

Við skiptum verkefninu í fjóra hluta

\[\begin{split}\begin{cases} \Delta u_1=0,\\ u_1(x,0)=\varphi_1(x), \ u_1(x,M)=0,\\ u_1(0,y)=u_1(L,y)=0, \end{cases}\qquad \begin{cases} \Delta u_2=0,\\ u_2(x,0)=0, u_2(x,M)=\varphi_2(x),\\ u_2(0,y)=u_2(L,y)=0, \end{cases}\end{split}\]
\[\begin{split}\begin{cases} \Delta u_3=0,\\ u_3(x,0)=u_3(x,M)=0,\\ u_3(0,y)=\psi_1(y), \ u_3(L,y)=0, \end{cases} \qquad \begin{cases} \Delta u_4=0,\\ u_4(x,0)=u_4(x,M)=0,\\ u_4(0,y)=0, u_4(L,y)=\psi_2(y). \end{cases}\end{split}\]
Liðun á Dirichlet verkefninu í fernt

Mynd: Liðun á Dirichlet verkefninu í fernt

Ef við getum sýnt fram á að lausnirnar \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) og \(u_4\) á þessum verkefnunum eru til og leitt út formúlur fyrir þeim, þá segir samlagningarlögmálið að lausnin \(u\) á Dirichlet-verkefninu á ferhyrningi sé \(u(x,y)=u_1(x,y)+u_2(x,y)+u_3(x,y)+u_4(x,y)\).

Nú snúum við okkur að verkefnunum fjórum. Skilyrðin \(u_1(0,y)=u_1(L,y)=0\) segja okkur að eðlilegt sé að ganga út frá þeirri lausnartilgátu að hægt sé að liða \(u_1(x,y)\) í Fourier-sínusröð,

\[\begin{split}\begin{gathered} u_1(x,y)=\sum\limits_{n=1}^\infty u_{1n}(y)\sin\big(n\pi x/L\big), \\ u_{1n}(y)=b_n(u_1(\cdot,y)) =\dfrac 2L\int_0^Lu_1(x,y)\sin\big(n\pi x/L\big)\, dx.\end{gathered}\end{split}\]

Til þess að ákvarða stuðlana \(u_{1n}(y)\), þá látum við Laplace-virkjann verka lið fyrir lið í summunni og stingum inn jaðarskilyrðunum,

\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta u_1(x,y)&= \sum\limits_{n=1}^\infty \bigg(\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+ \dfrac{\partial^2}{\partial y^2}\bigg) u_{1n}(y)\sin\big(n\pi x/L\big)\\ &= \sum\limits_{n=1}^\infty \big(-(n\pi/L)^2 u_{1n}(y)+ u_{1n}{{^{\prime\prime}}}(y) \big)\sin\big(n\pi x/L\big)=0,\\ u_1(x,0)&=\sum\limits_{n=1}^\infty u_{1n}(0)\sin\big(n\pi x/L\big)\\ &=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n(\varphi_1) \sin\big(n\pi x/L\big) =\varphi_1(x),\\ u_1(x,M)&=\sum\limits_{n=1}^\infty u_{1n}(M)\sin\big(n\pi x/L\big)=0.\end{aligned}\end{split}\]

Út úr þessum jöfnum lesum við nú að \(u_{1n}\) verður að vera lausn á jaðargildisverkefninu

\[\begin{split}\begin{cases} u_{1n}{{^{\prime\prime}}}(y)-(n\pi/L)^2 u_{1n}(y)=0, &0<y<M,\\ u_{1n}(0)=b_n(\varphi_1), \quad u_{1n}(M)=0. \end{cases}\end{split}\]

Almenn lausn á þessari afleiðujöfnu er

\[u_{1n}(y)=A_n\cosh\big(n\pi y/L\big)+B_n\sinh\big(n\pi y/L\big),\]

og jaðarskilyrðin gefa

\[\begin{split}\begin{aligned} u_{1n}(0)&=A_n=b_n(\varphi_1),\\ u_{1n}(M)&=A_n\cosh\big(n\pi M/L\big)+B_n\sinh\big(n\pi M/L\big)=0.\end{aligned}\end{split}\]

Þar með er

\[\begin{split}\begin{aligned} u_{1n}(y)&=b_n(\varphi_1)\cosh\big(n\pi y/L\big)- b_n(\varphi_1) \dfrac{\cosh\big(n\pi M/L\big)}{\sinh\big(n\pi M/L\big)} \sinh\big(n\pi y/L\big)\\ &=b_n(\varphi_1)\dfrac {\sinh\big(n\pi M/L\big) \cosh\big(n\pi y/L\big) -\cosh\big(n\pi M/L\big) \sinh\big(n\pi y/L\big)} {\sinh\big(n\pi M/L\big)}\\ &=b_n(\varphi_1)\dfrac {\sinh\big(n\pi (M-y)/L\big)} {\sinh\big(n\pi M/L\big)}.\end{aligned}\end{split}\]

Við höfum því ákvarðað fyrsta liðinn \(u_1\) í framsetningu okkar á \(u\). Til þess að finna \(u_2\) skiptum við einungis á \(y\) og \(M-y\) og til þess að ákvarða \(u_3\) og \(u_4\), þá skiptum við einfaldlega á hlutverkum \(x\) og \(y\). Útkoman verður því

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x,y)&=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n(\varphi_1) \dfrac{\sinh\big(n\pi(M-y)/L\big)}{\sinh\big(n\pi M/L\big)} \sin\big(n\pi x/L\big)\\ &+\sum\limits_{n=1}^\infty b_n(\varphi_2) \dfrac{\sinh\big(n\pi y/L\big)}{\sinh\big(n\pi M/L\big)} \sin\big(n\pi x/L\big)\nonumber\\ &+\sum\limits_{n=1}^\infty b_n(\psi_1) \dfrac{\sinh\big(n\pi (L-x)/M\big)}{\sinh\big(n\pi L/M\big)} \sin\big(n\pi y/M\big)\nonumber\\ &+\sum\limits_{n=1}^\infty b_n(\psi_2) \dfrac{\sinh\big(n\pi x/M\big)}{\sinh\big(n\pi L/M\big)} \sin\big(n\pi y/M\big).\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

Hér er rétt að lesandinn staldri við og sannfæri sig um að föllin, sem summurnar fjórar skilgreina séu lausnirnar á jaðargildisverkefnunum fjórum hér að ofan.

Í þessari úrlausn sáum við að það er mikilvægt að föllin \(x\mapsto \sin(n{\pi}x/L)\) uppfylla gefnu jaðarskilyrðin í \(x=0\) og \(x=L\) og jafnframt að það er lykilatriði að þau eru eiginföll fyrri liðarins í Laplace-virkjanum, þ.e.

\[-\dfrac{d^2}{dx^2} \sin(n{\pi} x/L)= \big(n{\pi}/L\big)^2 \sin(n{\pi} x/L).\]

5.3. Laplace-virkinn í pólhnitum

Í þessari grein höldum við áfram með Dirichlet-verkefnið fyrir Laplace-virkjann, en nú leysum við það á hringskífu

\[\begin{split}\begin{cases} \Delta u= \dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+ \dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}=0, &x^2+y^2<a^2,\\ u(x,y)=\varphi(x,y), &x^2+y^2=a^2. \end{cases}\end{split}\]

Hér er \(\varphi\) gefið fall á jaðri hringskífunnar \(D_a=\{(x,y); x^2+y^2<a^2\}\). Til þess að leysa verkefnið skiptum við yfir í pólhnit og setjum \(v(r,\theta)=u(r\cos \theta,r\sin \theta)\) og \({\psi}(\theta)=\varphi(a\cos \theta,a\sin \theta)\). Í viðauka D er leidd út formúla fyrir Laplace-virkjann í pólhnitum,

\[\Delta = \dfrac 1r\dfrac{\partial}{\partial r} \bigg(r\dfrac{\partial }{\partial r}\bigg) +\dfrac 1{r^2}\dfrac{\partial^2 }{\partial\theta^2},\]

svo verkefnið verður

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac 1r\dfrac{\partial}{\partial r} \bigg(r\dfrac{\partial v}{\partial r}\bigg) +\dfrac 1{r^2}\dfrac{\partial^2 v}{\partial\theta^2}=0, &r<a, \ {\theta}\in {{\mathbb R}},\\ v(a,\theta)={\psi}(\theta), &{\theta}\in {{\mathbb R}}. \end{cases}\end{split}\]

Nú er ljóst að bæði \(v\) og \({\psi}\) eru \(2\pi\)-lotubundin föll af \(\theta\) og því er eðlileg lausnartilgáta að setja þau fram með Fourier-röðum með tilliti til \({\theta}\)

\[v(r,\theta)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} v_n(r)e^{in\theta}, \qquad {\psi}(\theta)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} {\psi}_n e^{in\theta},\]

þar sem \(v_n(r)=c_n(v(r,\cdot))\) er Fourier-stuðull \(v\), þar sem litið er á \(v\) sem fall af \(\theta\) fyrir fast \(r\) og \({\psi}_n=c_n({\psi})\). Nú látum við Laplace-virkjann verka lið fyrir lið í röðinni fyrir \(v\) og lítum einnig á jaðarskilyrðin:

\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta v(r,\theta)&=\dfrac 1{r^2}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \bigg(r\partial_r\big(r\partial_r\big) +\partial_\theta^2\bigg)v_n(r)e^{in\theta}\\ &=\dfrac 1{r^2}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \bigg(r\big(rv_n{{^{\prime}}}(r)\big){{^{\prime}}}-n^2v_n(r)\bigg)e^{in\theta}=0,\\ v(a,\theta)&=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}v_n(a)e^{in{\theta}}= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} {\psi}_ne^{in\theta}={\psi}(\theta).\end{aligned}\end{split}\]

Af þessum tveimur jöfnum sjáum við að stuðlafallið \(v_n\) verður að vera lausn á jaðargildisverkefninu

\[\begin{split}\begin{cases} r\dfrac d{dr}\bigg(r\dfrac{dv_n}{dr}\bigg)-n^2v_n=0, &r<a,\\ v_n(a)={\psi}_n, \quad v_n(r) \text{ takmarkað ef } r\to 0. \end{cases}\end{split}\]

Þetta er Euler-jafna og því leitum við að lausn af gerðinni \(v_n(r)=r^\alpha\) og sjáum að \(\alpha\) verður þá að uppfylla

\[r\dfrac d{dr}\bigg( r\dfrac d{dr}r^\alpha\bigg)=\alpha^2r^\alpha= n^2r^\alpha.\]

Þetta segir okkur að \(\alpha=\pm n\) og að almenn lausn afleiðujöfnunar sé

\[\begin{split}v_n(r)= \begin{cases} A_nr^{|n|}+B_nr^{-|n|}, &n\neq 0\\ A_0+B_0\ln r, &n=0. \end{cases}\end{split}\]

Til þess að lausnin geti verið takmörkuð í \(r=0\), þá verðum við að útiloka liðina með neikvæðum veldisvísi og logrann. Skilyrðið \(v_n(a)={\psi}_n\) gefur að \(A_n={\psi}_n/a^{|n|}\). Þar með er lausnin fundin

\[v(r,\theta)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n({\psi}) \bigg(\dfrac r a\bigg)^{|n|}e^{in\theta}.\]

Það er auðveld æfing að sannfæra sig um að þetta sé lausn á Laplace-jöfnunni með gefnum jaðarskilyrðum. Hér er mikilvægt að taka eftir því að ástæðan fyrir því að þessi lausnaraðferð virkar svona vel er að fallið \(e^{in\theta}\) er eiginfall seinni liðarins í Laplace-virkjanum, þ.e.

\[-\dfrac{d^2}{d\theta^2}e^{in\theta}=n^2 e^{in\theta}, \qquad \theta\in {{\mathbb R}}.\]

5.4. Varmaleiðniverkefni og Fourier-raðir

Við skulum nú reikna út hitastig í jarðvegi sem fall af tíma \(t\) og dýpi \(x\) með hitastigið á yfirborði gefið sem fall af tíma \(f(t)\). Það er eðlilegt að gefa sér að \(f\)\(T\)-lotubundið fall, þar sem lotan \(T\) getur til dæmis verið \(1\) ár. Við þurfum þá að leysa jaðargildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial t}-\kappa \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0, &x>0, \ t\in {{\mathbb R}},\\ u(0,t)=f(t), &t\in {{\mathbb R}},\\ u(x,t) \text{ takmarkað ef } & x\to +\infty. \end{cases}\end{split}\]

Það er eðlileg lausnartilgáta að gefa sér að \(u(x,t)\)\(T\)-lotubundið fall af \(t\) fyrir fast \(x\). Við liðum því \(u\) í Fourier-röð

\[u(x,t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} u_n(x)e^{in\omega t}, \qquad \omega=2\pi/T,\]

því \(f\) er af sömu gerð

\[f(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(f)e^{in\omega t}.\]

Til þess að ákvarða stuðlana \(u_n(x)\), þá stingum við röðinni fyrir \(u\) inn í varmaleiðnijöfnuna og setjum fram jaðarskilyrðið með röðum,

\[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac{\partial u}{\partial t}-\kappa \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}&= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\bigg( \dfrac{\partial }{\partial t}-\kappa \dfrac{\partial^2 }{\partial x^2}\bigg)u_n(x)e^{in\omega t}\\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\bigg( in\omega u_n(x)-{\kappa}u_n{{^{\prime\prime}}}(x)\bigg)e^{in\omega t}=0,\\ u(0,t)&=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} u_n(0)e^{in\omega t} =\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(f)e^{in\omega t}=f(t).\end{aligned}\end{split}\]

Þar með verður \(u_n\) að uppfylla

\[\begin{split}\begin{cases} u_n{{^{\prime\prime}}}(x)-\dfrac{in\omega}\kappa u_n(x)=0,\\ u_n(0)=c_n(f),\\ u_n(x) \text{ er takmarkað ef } x \to +\infty. \end{cases}\end{split}\]

Kennijafna afleiðujöfnunnar er

\[\lambda^2-\dfrac{in\omega}\kappa=0\]

og núllstöðvar hennar eru \(\lambda=\pm k_n\), þar sem

\[\begin{split}k_n= \begin{cases} \bigg(\dfrac 1{\sqrt 2}+\dfrac i{\sqrt 2}\bigg) \sqrt{n\omega/\kappa}, &n>0,\\ 0, &n=0,\\ \bigg(\dfrac 1{\sqrt 2}-\dfrac i{\sqrt 2}\bigg) \sqrt{|n|\omega/\kappa}, &n<0. \end{cases}\end{split}\]

Lausnin er því

\[\begin{split}u_n(x)=\begin{cases} A_ne^{-k_nx}+B_ne^{k_nx}, &n\neq 0\\ A_0+B_0x, &n=0. \end{cases}\end{split}\]

Til þess að lausnin haldist takmörkuð ef \(x\to +\infty\), þá verður \(B_n=0\) að gilda fyrir öll \(n\). Jaðarskilyrðið \(u_n(0)=c_n(f)\) gefur að \(A_n=c_n(f)\). Við höfum því að

\[u_n(x)=c_n(f)e^{-\sqrt{|n|\omega/2\kappa}\, x} e^{-i{{\operatorname{sign}}}(n)\sqrt{|n|\omega/2\kappa}\, x},\]

og þar með er lausnin fundin

\[u(x,t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(f)e^{-\sqrt{|n|\omega/2\kappa}\, x} e^{i(n\omega t-{{\operatorname{sign}}}(n)\sqrt{|n|\omega/2\kappa}\, x)}.\]

Við sjáum að sveifluvíddin og fasahliðrunin í liðnum \(u_n(x)e^{in\omega t}\) í lausninni eru háð dýpi og tíðninni \(n\omega\).

5.5. Aðskilnaður breytistærða

5.5.1. Aðskilnaður breytistærða

Í öllum þeim sýnidæmum sem við höfum fjallað um í þessum kafla höfum við gengið út frá lausnartilgátum sem segja að hægt sé að liða lausn á hlutafleiðujöfnu með hliðarskilyrðum í einhvers konar röð. Annað sjónarhorn á þessar lausnaraðferðir er oft nefnt aðskilnaður breytistærða. Við skulum nú leysa nokkur verkefni með þeirri aðferð.

5.5.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Strengur; framhald

5.5.1.2. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Dirichlet-verkefnið á ferhyrningi

5.5.1.3. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Dirichlet-verkefnið á hringskífu

5.6. Tvöfaldar Fourier-raðir

5.6.1. Tvöfaldar Fourier-raðir

Látum \({\varphi}:\overline D\to {{\mathbb C}}\) vera samfellt deildanlegt á \(D=\{(x,y); 0<x<L, 0<y<M\}\) og samfellt á lokuninni \(\overline D\). Ef \({\varphi}\) er jafnt \(0\) á jaðrinum \({\partial}D\), þá getum við liðað \({\varphi}\) í Fourier-sínusröð með tilliti til \(y\)

\[{\varphi}(x,y)= \sum\limits_{m=1}^{\infty} {\varphi}_m(x)\sin\big(m{\pi}y/M\big),\]

þar sem \({\varphi}_m\) er \(m\)-ti Fourierstuðull fallsins \(y\mapsto {\varphi}(x,y)\),

\[{\varphi}_m(x)= \dfrac 2M \int_0^M {\varphi}(x,y)\sin\big(m{\pi}y/M\big)\, dy.\]

Nú er fallið \({\varphi}_m\) samfellt deildanlegt og tekur gildið \(0\) í \(x=0\) og \(x=L\), svo við getum liðað það í Fourier-sínusröð. Ef við látum \(b_{n,m}\) tákna \(n\)-ta Fourier-sínusstuðul fallsins \({\varphi}_m\),

\[b_{n,m}({\varphi}) = \dfrac 4{LM} \int_0^L\int_0^M {\varphi}(x,y) \sin\big(n{\pi}x/L\big)\sin\big(m{\pi}y/M\big) \, dxdy,\]

þá fáum við framsetningu á \({\varphi}\) með tvöfaldri Fourier-röð,

\[{\varphi}(x,y)=\sum\limits_{n=1}^{{\infty}} \sum\limits_{m=1}^{{\infty}} b_{n,m}({\varphi}) \sin\big(n{\pi}x/L\big)\sin\big(m{\pi}y/M\big).\]

5.6.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Poisson-jafnan á ferhyrningi

Ef við breytum jaðarskilyrðinu þannig að \({\partial}\varphi/{\partial} n=0\) á öllum jaðrinum nema í hornpunktunum, þá er hægt með nákvæmlega sömu röksemdafærslu og hér að framan að liða \(\varphi\) í tvöfalda Fourier-kósínusröð,

\[{\varphi}(x,y)=\sum\limits_{n=0}^{{\infty}} \sum\limits_{m=0}^{{\infty}} a_{n,m}({\varphi}) \cos\big(n{\pi}x/L\big)\cos\big(m{\pi}y/M\big),\]

þar sem

\[a_{n,m}({\varphi}) = \dfrac {{\alpha}_{n,m}}{LM} \int_0^L\int_0^M {\varphi}(x,y) \cos\big(n{\pi}x/L\big)\cos\big(m{\pi}y/M\big) \, dxdy.\]

og \({\alpha}_{0,0}=1\), \({\alpha}_{0,m}={\alpha}_{n,0}=2\), \({\alpha}_{n,m}=4\), \(n,m=1,2,3,\dots\).

5.6.1.2. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Varmaleiðni í plötu

5.6.1.3. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Rétthyrnd tromma

5.7. Eiginfallaraðir

5.7.1. Eiginfallaraðir

Gerum ráð fyrir að \(P(x,D_x)\) sé venjulegur afleiðuvirki af Sturm-Liouville-gerð á bilinu \([a,b]\),

\[P(x,D_x)v=\dfrac 1{\varrho(x)}\bigg( -\dfrac d{dx}\bigg(p(x)\dfrac{dv}{dx}\bigg)+q(x)v \bigg),\qquad x\in [a,b],\]

\(B=(B_1,B_2)\) sé almennur jaðargildisvirki á \([a,b]\),

\[B_jv=\alpha_{j1}v(a)+\alpha_{j2}v{{^{\prime}}}(a)+ \beta_{j1}v(b)+\beta_{j2}v{{^{\prime}}}(b), \qquad j=1,2,\]

\(P(x,D_x)\) sé samhverfur með tilliti til jaðarskilyrðanna \(Bv=0\) og að \(P(x,D_x)\) sé reglulegur virki, samkvæmt skilgreiningum okkar í síðasta kafla. Þá hefur eigingildisverkefnið

\[P(x,D_x)v=\lambda v, \qquad Bv=0,\]

óendanlega runu af eigingildum

\[\begin{split}\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2\cdots \to +\infty\end{split}\]

og tilsvarandi runu af raungildum eiginföllum

\[u_0,u_1,u_2,\dots.\]

Eiginföllin eru innbyrðis hornrétt í þeim skilningi að

\[{{\langle u_j,u_k\rangle}}=\int_a^bu_j(x)u_k(x)\varrho(x)\, dx=0, \qquad j\neq k.\]

Ef \(v\) er tvisvar samfellt deildanlegt og uppfyllir óhliðruðu jaðarskilyrðin \(Bv=0\), þá er

\[v(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_nu_n(x),\]

þar sem Fourier-stuðlar \(v\) með tilliti til eiginfallanna eru

\[c_n=\int_a^bv(x)u_n(x)\varrho(x)\, dx \bigg/ \int_a^bu_n(x)^2\varrho(x)\, dx.\]

Oft er hægt að leysa hlutafleiðujöfnur með jaðarskilyrðum með því að gefa sér liðun á lausninni í eiginfallaröð með tilliti til einnar breytistærðar með stuðlum sem eru háðir hinum.

5.7.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Varmaleiðni

5.7.1.2. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Bylgjujafna

5.7.1.3. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Laplace-jafna

Látum \(P(x,D_x)\), \(x\in [a,b]\), og \(Q(y,D_y)\), \(y\in [c,d]\), vera tvo afleiðuvirkja af Sturm-Liouville gerð og \(B^1=(B_1^1,B_2^1)\) og \(B^2=(B_1^2,B_2^2)\) vera almenna jaðargildisvirkja á bilunum \([a,b]\) og \([c,d]\). Gerum ráð fyrir að virkjarnir séu reglulegir og samhverfir með tilliti til jaðarskilyrðanna. Lítum síðan á eigingildisverkefnin

\[\begin{split}\begin{gathered} P(x,D_x)u={\lambda}u, \quad x\in [a,b], \qquad B_1^1u=B_2^1u=0, \\ Q(y,D_y)v={\mu}v, \quad y\in [c,d], \qquad B_1^2v=B_2^2v=0.\end{gathered}\end{split}\]

Við táknum eigingildin og eiginföllin úr þeim með \(({\lambda}_n,u_n)\) og \(({\mu}_n,v_n)\) og gerum ráð fyrir að þeir myndi einingarréttan grunn með tilliti til innfeldanna sem virkjarnir skilgreina og lýst er í síðasta kafla. Táknum vægisföllin í þessum innfeldum með \({\varrho}\) og \({\sigma}\). Látum nú \({\varphi}\) vera tvisvar samfellt deildanlegt á rétthyrningnum \(D=\{(x,y); a<x<b, c<y<d\}\), samfellt deildanlegt á lokuninni \(\overline D\) og gerum ráð fyrir að \({\varphi}\) uppfylli jaðarskilyrðin

\[\begin{split}\begin{gathered} B_1^1{\varphi}(\cdot,y)=B_2^1{\varphi}(\cdot,y)=0, \qquad y\in [c,d],\\ B_1^2{\varphi}(x,\cdot)=B_2^2{\varphi}(x,\cdot)=0, \qquad x\in [a,b]. \end{gathered}\end{split}\]

Þá gefur sama röksemdafærsla og við beittum á tvöföldu Fourier-raðirnar að hægt er að liða \({\varphi}\) í tvöfalda eiginfallröð

\[{\varphi}(x,y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty} c_{n,m}({\varphi})u_n(x)v_m(y),\]

þar sem stuðlarnir eru gefnir með formúlunni

\[c_{n,m}({\varphi}) =\int_a^b\int_c^d {\varphi}(x,y)u_n(x)v_m(y){\varrho}(x){\sigma}(y)\, dxdy.\]

5.7.1.4. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Varmaleiðni

5.8. Æfingardæmi

5.8.1. Æfingardæmi

5.8.1.1. Dæmi

Leysið hliðruðu bylgjujöfnuna með óhliðruðum hliðarskilyrðum,

\[{\partial}^2_tu-c^2 {\partial}^2_x u=f(x,t), \qquad u(0,t)=u(L,t)=0, \qquad u(x,0)={\partial}_tu(x,0)=0,\]

\(0<x<L\), \(t>0\), með því að liða fallið \(f\) í Fourier-sínusröð með tilliti til \(x\) og ganga út frá sams konar liðun á lausninni \(u\). [Leiðbeining: Skoðið sýnidæmi og sýnidæmi.]

5.8.1.2. Dæmi

Leysið bylgjujöfnuna með hliðruðum jaðarskilyrðum og óhliðruðum upphafsskilyrðum

\[{\partial}^2_t u-c^2 {\partial}^2_x u=0, \qquad u(0,t)=g(t), \ u(L,t)=h(t), \qquad u(x,0)={\partial}_tu(x,0)=0,\]

\(0<x<L\), \(t>0\), þar sem föllin \(g\) og \(h\) eru tvisvar samfellt deildanleg á \({{\mathbb R}}_+\). Gangið út frá því að gefið sé fall \(w(x,t)\), sem uppfyllir jaðarskilyrðin, þ.e. \(w(0,t)=g(t)\) og \(w(L,t)=h(t)\). Skrifið \(u(x,t)=w(x,t)+v(x,t)\) og sýnið fram á að þá uppfylli \(v\) hliðraða bylgjujöfnu með hliðruðum upphafsskilyrðum, en óhliðruðum jaðarskilyrðum. Notið síðan niðurstöðuna úr dæmi 1 og sýnidæmi til þess að skrifa upp lausnarformúlu fyrir \(u\).

5.8.1.3. Dæmi

(i) Skrifið upp lausnarformúluna í síðasta dæmi í því sértilfelli að \(w(x,t)=g(t)(L-x)/L+h(t)x/L\). Reiknið út Fourier-sínusraðir fallanna \(x\mapsto x/L\) og \(x\mapsto (L-x)/L\).

(ii) Skoðið sértilfellið þegar föllin \(g\) og \(h\) eru fastar.

5.8.1.4. Dæmi

Leysið dæmi 2 í því sértilfelli að \(g(t)=0\) og \(h(t)=\sin ({\omega} t)\). Fyrir hvaða gildi á \({\omega}\) fæst herma í sveiflunni?

5.8.1.5. Dæmi

Leysið verkefnið í dæmi 1 í því sértilfelli að \(f\) er einungis háð \(x\) en ekki \(t\) með eftirfarandi aðferð: Finnið fyrst lausnina \(w\) sem uppfyllir \(-c^2w{{^{\prime\prime}}}(x)=f(x)\), \(w(0)=0\) og \(w(L)=0\). Skrifið \(u(x,t)=w(x)+v(x,t)\) og sýnið að \(v\) sé þá lausn á verkefni, sem leyst var í sýnidæmi. Notið þá lausnarformúlu til þess að ákvarða \(u\).

5.8.1.6. Dæmi

Ákvarðið lausnarformúlu fyrir varmaleiðniverkefni með hliðruðum jaðarskilyrðum

\[{\partial}_t u-{\kappa} {\partial}^2_x u =0, \quad {\partial}_x u(0,t)=g(t), \quad {\partial}_xu(L,t)=h(t), \quad u(x,0)=0,\]

\(0<x<L\), \(t>0\), þar sem föllin \(g\) og \(h\) eru samfellt deildanleg á \({{\mathbb R}}_+\). Gangið út frá því að gefið sé fallið \(w(x,t)\) sem uppfylli jaðarskilyrðin \({\partial}_xw(0,t)=g(t)\) og \({\partial}_xw(L,t)=h(t)\). Skrifið \(u(x,t)=w(x,t)+v(x,t)\) og sýnið fram á að \(v\) uppfylli hliðraða varmaleiðnijöfnu með hliðruðum upphafsgildum en óhliðruðum jaðargildum. Notið niðurstöðuna úr sýnidæmi til þess að skrifa upp lausnarformúlu fyrir \(u\).

5.8.1.7. Dæmi

(i) Skrifið upp lausnarformúluna í síðasta dæmi í því sértilfelli að \(w(x,t)=g(t)x(L-x)^2/L^2-h(t)(L-x)x^2/L^2\). Reiknið út Fourier-kósínusraðir fallanna \(x\mapsto x(L-x)^2/L^2\) og \(x\mapsto (L-x)x^2/L^2\).

(ii) Skoðið sértilfellið þegar föllin \(g\) og \(h\) eru fastar.

5.8.1.8. Dæmi

Liðið fallið \({\varphi}\) sem skilgreint er með \(\varphi(x)=2x\), ef \(0\leq x\leq 1/2\), og \({\varphi}(x)=2-2x\), ef \(1/2\leq x\leq 1\), í sínusröð og notið röðina til þess að finna lausn á verkefninu

\[{\partial}_t^2u+2{\partial}_tu-{\partial}_x^2u=0, \quad u(x,0)=\varphi(x), \quad {\partial}_tu(x,0)=0, \quad u(0,t)=u(1,t)=0,\]

þar sem \(0<x<1\), \(t>0\).

5.8.1.9. Dæmi

Leysið jaðargildisverkefnið

\[{\partial}_x^2u+{\partial}_y^2u=0, \quad u(0,y)=u(L,y)=0, \quad u(x,0)=0, \quad u(x,M)=x(L-x),\]

þar sem \(0<x<L\), \(0<y<M\), \(L>0\) og \(M>0\).

5.8.1.10. Dæmi

Notið Fourier-raðir til þess að leysa verkefnið

\[\partial^2_xu +\partial^2_yu+u=0, \quad u(0,y)=0, \quad u(\pi,y)=y(\pi-y), \quad u(x,0)=0, \quad u(x,\pi)=0,\]

þar sem \(0<x<\pi\) og \(0<y<\pi\).

5.8.1.11. Dæmi

Leysið jaðargildisverkefnið

\[\Delta u=0, \quad u(0,y)=u(L,y)=0, \quad \lim\limits_{y\to +{\infty}} u(x,y)=0,\quad u(x,0)=\varphi(x),\]

þar sem \(0<x<L\), \(y>0\) og \(\varphi\) er gefið fall á \([0,L]\).

5.8.1.12. Dæmi

Leysið Dirichlet-verkefnið í hringkraga með því að skipta yfir í pólhnit og setja lausnina fram með Fourier-röð:

\[\begin{split}\begin{cases} \Delta u=0, &0<a^2<x^2+y^2<b^2,\\ u(x,y)={\varphi}(x,y), &x^2+y^2=a^2,\\ u(x,y)={\psi}(x,y), &x^2+y^2=b^2. \end{cases}\end{split}\]

5.8.1.13. Dæmi

Leysið Dirichlet-verkefnið utanvert við hring og setjið lausnina fram með Fourier-röð:

\[\begin{split}\begin{cases} \Delta u=0, &x^2+y^2>a^2>0,\\ u(x,y)={\varphi}(x,y), &x^2+y^2=a^2,\\ u(x,y) \text{ takmarkað í ${\infty}$}. \end{cases}\end{split}\]

5.8.1.14. Dæmi

Finnið lausnina á Robin-verkefninu

\[\Delta u=0, \quad \text{ á } D_a, \qquad \dfrac{{\partial}u}{{\partial} n}+{\alpha}u=h, \quad \text{ á } {\partial} D_a,\]

þar sem \(D_a=\{(x,y); x^2+y^2<a^2\}\), \({\alpha}\) er fasti og \(h\) er gefið samfellt fall á jaðri skífunnar.

5.8.1.15. Dæmi

Ákvarðið lausn á jaðargildisverkefninu

\[\begin{split}\begin{cases} \Delta u= \dfrac 1r\dfrac{{\partial}}{{\partial} r} \bigg(r\dfrac{{\partial}u}{{\partial} r}\bigg) +\dfrac 1{r^2}\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}{\theta}^2}=0, & 1<r<2, \ 0<{\theta}<{\pi}/4,\\ u(1,{\theta})=0, \ u(2,{\theta})={\theta}({\pi}/4-{\theta}), &0\leq {\theta}\leq {\pi}/4,\\ u(r,0)=u(r,{\pi}/4)=0, &1\leq r\leq 2, \end{cases}\end{split}\]

með því að ganga út frá þeirri lausnartilgátu að hægt sé að setja lausnina fram með Fourier-sínusröð í \(\theta\) með stuðlum sem eru háðir \(r\).

5.8.1.16. Dæmi

Látum fallið \(f\) vera gefið með formúlunni

\[f(t)=\tfrac 12(T_0+T_1)+\tfrac 12(T_1-T_0)\cos\big({\omega} t\big), \qquad t\in {{\mathbb R}},\]

þar sem \({\omega}=2{\pi}/T\), \(T_1>T_0\). Reiknið út lausnina \(u(x,t)\) á

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial t}-\kappa \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0, &x>0, \ t\in {{\mathbb R}},\\ u(0,t)=f(t), &t\in {{\mathbb R}},\\ u(x,t) \text{ takmarkað ef } & x\to +\infty. \end{cases}\end{split}\]

í þessu tilfelli.

5.8.1.17. Dæmi

Látum \(f\) vera gefið með formúlunni í síðasta dæmi og gefum okkur gildin \(T=1\text{ár}\approx \,3\cdot 10^7 s\), \({\kappa}= 10^6\) fyrir klöpp og \({\kappa}= 1.5\cdot 10^6\) fyrir sand, \(T_1=11^\circ C\), \(T_0=-1^\circ C\). Teiknið upp lausnina \(u(x,t)\) á verkefninu í síðasta dæmi yfir eina lotu með tilliti til tíma fyrir nokkur gildi á \(x\). Fyrir hvaða gildi á \(x\) er fasahliðrunin \(\frac 12\) ár? Fyrir hvaða gildi á \(x\) er árssveiflan í hitastiginu orðin \(1\%\) af árssveiflunni á yfirborðinu?

5.8.1.18. Dæmi

Beitið aðskilnaði breytistærða til þess að ákvarða sveiflur strengs, þar sem tekið er tillit til núnings,

\[{\partial}^2_tu-c^2{\partial}^2_xu+a{\partial}_tu=0, \qquad u(0,t)=u(L,t)=0, \qquad u(x,0)={\varphi}(x),\]

\(0<x<L\) og \(t>0\).

5.8.1.19. Dæmi

Beitið aðskilnaði breytistærða til þess að ákvarða sveiflur strengs, þar sem tekið er tillit til fjöðrunar,

\[{\partial}^2_tu-c^2{\partial}^2_xu+ku=0, \qquad u(0,t)=u(L,t)=0, \qquad u(x,0)={\varphi}(x),\]

\(0<x<L\) og \(t>0\).

5.8.1.20. Dæmi

Beitið aðskilnaði breytistærða til þess að leysa bitajöfnuna með einfaldlega undirstuddum endum, en það er verkefnið

\[\begin{split}\begin{gathered} {\partial}^2_tu+a^4{\partial}_x^4u=0, \quad u(x,0)={\varphi}(x), \quad {\partial}_tu(x,0)={\psi}(x), \\ u(0,t)={\partial}^2_xu(0,t)=u(L,t)={\partial}_x^2u(L,t)=0, \quad\end{gathered}\end{split}\]

þar sem \(0<x<L\), \(t>0\) og \(a=\root 4 \of {EI/{\varrho}A}\) og stærðirnar eru skilgreindar í sýnidæmi. Hver er grunntíðni sveiflunnar?

5.8.1.21. Dæmi

Leysið bitajöfnuna í dæmi 3, en gerið ráð fyrir því að bitinn sé einfaldlega undirstuddur í punktinum \(x=0\) en innspenntur í \(x=L\). Það þýðir að jaðarskilyrðin breytast í

\[u(0,t)={\partial}^2_xu(0,t)=u(L,t)={\partial}_xu(L,t)=0.\]

Athugið að hér fæst eigingildisverkefni þar sem afleiðujafnan er af stigi \(4\). Gefið ykkur að eiginföllin myndi grunn þannig að hægt sé að liða sérhvert fall, sem er samfellt deildanlegt á köflum og samfellt, í eiginfallaröð.

5.8.1.22. Dæmi

Leysið bitajöfnuna í dæmi 3, en gerið ráð fyrir því að bitinn sé einfaldlega undirstuddur í punktinum \(x=0\) en frjáls í punktinum \(x=L\). Það þýðir að jaðarskilyrðin breytast í

\[u(0,t)={\partial}^2_xu(0,t)={\partial}_x^2u(L,t)={\partial}_x^3u(L,t)=0.\]

5.8.1.23. Dæmi

Leysið hliðruðu bylgjujöfnuna á ferhyrningi

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial}^2 u}{{\partial} t^2} -c^2\bigg(\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2} +\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}\bigg)=f(x,y,t), &0<x<L, 0<y<M, t>0,\\ u(0,y,t)=u(L,y,t)=0, &0<y<M, t>0,\\ u(x,0,t)=u(x,M,t)=0, &0<x<L, t>0,\\ u(x,y,0)={\partial}_tu(x,y,0)=0, &0<x<L, 0<y<M. \end{cases}\end{split}\]

5.8.1.24. Dæmi

Færsla efnispunkta í rétthyrndri þunnri plötu, sem er einfaldlega undirstudd á jaðrinum uppfyllir jaðargildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial}^2 w}{{\partial} t^2} +a^4\Delta ^2w=0,\\ w(0,y,t)=w(L,y,t)={\partial}^2_xw(0,y,t)={\partial}^2_xw(L,y,t)=0,\\ w(x,0,t)=w(x,M,t)={\partial}^2_yw(x,0,t)={\partial}^2_yw(x,M,t)=0,\\ w(x,y,0)=\varphi(x,y), \quad {\partial}_tw(x,y,0)={\psi}(x,y), \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(0<x<L\), \(0<y<M\) og \(t>0\). Athugið að jaðarskilyrðin segja að færslan og beygjuvægið séu núll á jaðrinum. Finnið formúlu fyrir lausn þessa verkefnis.

5.8.1.25. Dæmi

(Dirichlet-verkefni á teningi.) Setjum \(D=\{(x,y); 0<x<L, 0<y<M\}\) og látum \(T\) vera teninginn \(\{(x,y,z); 0<x<L, 0<y<M, 0<z<N\}\). Finnið formúlu fyrir lausn verkefnisins

\[\begin{split}\begin{cases} \Delta u= \dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}x^2}+ \dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}y^2}+ \dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}z^2}=0 &(x,y,z)\in T,\\ u(x,y,0)=0,\ u(x,y,N)=\varphi(x,y), &(x,y)\in D,\\ u(x,y,z)=0, &(x,y)\in {\partial}D, \ 0<z<N. \end{cases}\end{split}\]

með því að ganga út frá þeirri lausnartilgátu að hægt sé að liða \(u\) í tvöfalda Fourier-röð með Fourier-stuðla, sem eru háðir \(z\). Hvernig verður lausnarformúlan ef sett eru almenn Dirichlet skilyrði á allan jaðarinn?

5.8.1.26. Dæmi

(Þrefaldar Fourier-raðir.) Látum \(T\) vera teninginn \(\{(x,y,z); 0<x<L, 0<y<M, 0<z<N\}\) og \({\varphi}:\overline T\to {{\mathbb C}}\) vera fall sem er samfellt deildanlegt á \(T\). Sýnið að ef \({\varphi}\) tekur gildið \(0\) á \({\partial} T\), þá sé hægt að liða \({\varphi}\) í þrefalda Fourier-sínusröð. Ákvarðið formúlu fyrir stuðlana í röðinni.

5.8.1.27. Dæmi

(Poisson-jafnan á teningi.) Látum \(T\) vera teninginn \(\{(x,y,z); 0<x<L, 0<y<M, 0<z<N\}\). Finnið formúlu fyrir lausn verkefnisins

\[\begin{split}\begin{cases} \Delta u= \dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}x^2}+ \dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}y^2}+ \dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}z^2}=f(x,y,z) &(x,y,z)\in T,\\ u(x,y,z)=0, &(x,y,z)\in {\partial}T, \end{cases}\end{split}\]

með því að ganga út frá þeirri lausnartilgátu að hægt sé að liða \(u\) í þrefalda Fourier-sínusröð.

5.8.1.28. Dæmi

Leysið bylgjujöfnuna með hliðarskilyrðum

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2} -c^2\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}x^2}=f(x,t), &0<x<L, \ t>0,\\ u(x,0)={\varphi}(x),\ {\partial}_tu(x,0)={\psi}(x), &0<x<L,\\ u(0,t)={\partial}_xu(L,t)=0, &t>0. \end{cases}\end{split}\]

5.8.1.29. Dæmi

Leysið verkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial}u}{{\partial} t}-{\kappa} \dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}x^2}=f(x,t), &x\in ]0,L[, \ t>0,\\ u(x,0)={\varphi}(x), &x\in ]0,L[,\\ u(0,t)={\partial}_xu(0,t)=0, &t>0. \end{cases}\end{split}\]

5.8.1.30. Dæmi

Leysið jaðargildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} {\partial}_x^2u+{\partial}_y^2u=0, &0<x<L, \ 0<y<M,\\ u(0,y)={\partial}_xu(L,y)=0, &0<y<M,\\ u(x,0)=0, \quad u(x,M)=x(2L-x), &0<x<L, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(L\) og \(M\) eru jákvæðar rauntölur.

5.8.1.31. Dæmi

Látum \(L=P(x,D_x)\) vera afleiðuvirkja af Sturm-Liouville-gerð, sem er samhverfur með tilliti til jaðarskilyrðanna \(Bu=0\), þar sem \(B\) er almennur jaðargildisvirki á bilinu \([a,b]\). Notið eiginfallaliðun til þess að finna lausnarformúlu fyrir eftirfarandi verkefni, ef gefið er fall \(w(x,t)\), sem uppfyllir hliðruðu jaðarskilyrðin,

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial} u}{{\partial}t}+P(x,D_x)u=0, &a<x<b, \ t>0,\\ u(x,0)=0, & a<x<b,\\ B_1u(\cdot,t)=g(t), \quad B_2(\cdot,t)=h(t). \end{cases}\end{split}\]

Hér táknar \(B_ju(\cdot,t)\) að jaðargildisvirkinn \(B_j\) eigi að verka á \(u\) sem fall af \(x\) fyrir fast \(t\).

5.8.1.32. Dæmi

Beitið eiginfallaliðun til þess að finna lausn á jaðargildisverkefninu

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial} u}{\partial t} -{\kappa}\dfrac{{\partial}^2 u}{\partial x^2}=0, &0<x<L, \ t>0,\\ u(x,0)=\varphi(x), &0<x<L,\\ {\partial}_xu(0,t)=hu(L,t)+{\partial}_xu(L,t)=0, &t>0. \end{cases}\end{split}\]

5.8.1.33. Dæmi

Leysið eigingildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} -(1+x)^2v{{^{\prime\prime}}}={\lambda}v, &0<x<1,\\ v(0)=v(1)=0, \end{cases}\end{split}\]

og notið lausnina til þess að finna formúlu fyrir lausn verkefnisins

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2} -(1+x)^2\dfrac{{\partial}^2u}{{\partial}x^2}=0, &0<x<1, \ t>0,\\ u(x,0)={\varphi}(x),\ {\partial}_tu(x,0)={\psi}(x), &0<x<1,\\ u(0,t)=u(1,t)=0, &t>0. \end{cases}\end{split}\]

5.8.1.34. Dæmi

Látum \(L\) tákna afleiðuvirkjann, sem skilgreindur er með

\[Lu=P(x,D)u=-(1+x^2)\dfrac{d}{dx}\bigg((1+x^2)\dfrac{du}{dx}\bigg).\]

Sýnið að \(L e^{i{\beta}\arctan x}={\beta}^2e^{i{\beta}\arctan x}\) og notið niðurstöðuna til þess að ákvarða lausn á eiginigildisverkefninu

\[Lu={\lambda}u, \qquad u(0)=0, \quad u{{^{\prime}}}(1)=0.\]

Notið síðan eiginföllin til þess að ákvarða formúlu fyrir lausnina á verkefninu

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial}^2 w}{{\partial} t^2}+P(x,{\partial}_x)w=0, &0<x<1, \ t>0,\\ w(0,t)={\partial}_xw(1,t)=0, &t>0,\\ w(x,0)={\varphi}(x), &0<x<1,\\ {\partial}_tw(x,0)={\psi}(x), &0<x<1. \end{cases}\end{split}\]

5.8.1.35. Dæmi

Leysið æstæðu varmaleiðnijöfnuna \(-{\kappa}\Delta u=f\) á \(D=\{(x,y);0<x<L, 0<y<M\}\) þar sem hitastigið \(u(x,y)\) er \(T_0\), ef \(x=0\), og sá hluti jaðarsins, sem gefinn er með jöfnunum \(x=L\), \(y=0\) og \(y=M\), er varmaeinangraður.

5.8.1.36. Dæmi

Leysið varmaleiðnijöfnuna \({\partial}_tu-{\kappa}\Delta u=0\) á \(D=\{(x,y);0<x<L, 0<y<M\}\) og fyrir \(t>0\) með upphafsgildunum \({\varphi}(x,y)\) og þeim jaðarskilyrðum að hitastigið \(u(x,y)\)\(T_0\), ef \(x=0\) eða \(y=0\), og að sá hluti jaðarsins, sem gefinn er með jöfnunum \(x=L\) og \(y=M\), sé varmaeinangraður.