4. Eigingildisverkefni

4.1. Eigingildi og eiginföll

4.1.1. Upprifjun úr línulegri algebru

Við skulum byrja á því að rifja upp nokkur hugtök úr línulegri algebru. Látum \(V\) vera vigurrúm með tvinntalanmargföldun og \(T:V\to V\) vera línulegan virkja. Tvinntalan \(\lambda\) er sögð vera eigingildi virkjans \(T\) er til er \(v\neq 0\) í \(V\) þannig að

\[Tv=\lambda v.\]

Ef þessi jafna gildir, þá segjum við að \(v\) sé eiginvigur, sem svarar til eigingildisins \(\lambda\). Einnig segjum við að \(v\) sé eiginvigur með eigingildið \(\lambda\).

Fyrir sérhvert \(\lambda\in {{\mathbb C}}\) er mengið \(E_\lambda=\{v\in V \,;\, Tv=\lambda v\}\) hlutrúm í \(V\). Talan \(\lambda\) er eigingildi ef og aðeins ef þetta hlutrúm samanstendur af fleiri stökum en núllvigrinum einum saman. Ef \(\lambda\) er eigingildi, þá nefnist \(E_\lambda\) eiginrúmið sem svarar til eigingildisins \(\lambda\). Ef \(V\) er rúm sem samanstendur af föllum, þá segjum við að \(v\)eiginfall sem svarar til eigingildisins \(\lambda\).

4.1.2. Mikilvægi eigingilda

Eigingildi og eiginvigrar skipta miklu málið þegar verið að leysa alls konar jöfnur. Hugsum okkur að við þurfum að leysa jöfnuna \(Tu=f\) þar sem hægt er að liða hægri hlið jöfnunnar í línulega samatekt eiginvigra \(f=\sum_j c_j v_j\), þar sem \(Tv_j=\lambda_j v_j\) og \(\lambda_j\neq 0\) fyrir öll \(j\). Þá fæst lausnin \(u\) með formúlunni

\[u=\sum_j \dfrac{c_j}{\lambda_j} v_j.\]

Þetta sést einfaldlega með því að nýta það að \(T\) er línulegur virki og hann getur því verkað á summuna lið fyrir lið,

\[Tu=\sum_j \dfrac{c_j}{\lambda_j} Tv_j =\sum_j \dfrac{c_j}{\lambda_j} \lambda_jv_j =\sum_j c_jv_j=f.\]

4.1.3. Mikilvægi veldisvísisfallsins

Nú skulum við taka \(V=C^\infty({{\mathbb R}})\) og setja \(u(x)=e^{\alpha x}\) með \(\alpha\in {{\mathbb C}}\). Ef við látum deildavirkjana \(D\), \(D^2\), \(\dots\) verka á \(u(x)\), þá fáum við

\[\begin{split}\begin{aligned} Du(x)&=u'(x)=\alpha e^{\alpha x}=\alpha u(x),\\ D^2u(x)&=u''(x)=\alpha^2 e^{\alpha x}=\alpha^2u(x),\\ \vdots & \qquad \qquad \vdots \qquad \qquad \vdots\\ D^ku(x)&=u^{(k)}(x)=\alpha^k e^{\alpha x}=\alpha^ku(x),\end{aligned}\end{split}\]

sem segir okkur að \(u(x)\) sé eiginfall virkjanna \(D,D^2,\dots,D^k\) með eigingildin \(\alpha,\alpha^2,\dots,\alpha^k\).

Ef við tökum almennan afleiðuvirkja með fastastuðla \(P(D)=a_mD^m+\cdots+a_1D+a_0\), þá fáum við

\[P(D)u(x)=(a_m\alpha^m+\cdots+a_1\alpha+a_0)e^{\alpha x} =P(\alpha)u(x),\]

sem segir okkur að fallið \(u\) sé eiginfall virkjans \(P(D)\) með eigingildið \(\lambda=P(\alpha)\).

Þetta notuðum við til þess að finna sérlausnir á afleiðujöfnum, en hugmyndin er að finna lausn á jöfnunni \(P(D)u=f\), þar sem fallið \(f\) er af gerðinni

\[f(x)=\sum_j c_je^{\alpha_j x}\]

og \(P(\alpha_j)\neq 0\) fyrir öll \(j\), með því að taka eins summu

\[u(x)=\sum_j \dfrac{c_j}{P(\alpha_j)} e^{\alpha_j x}\]

4.2. Eigingildisverkefni fyrir afleiðuvirkja

Það verkefni að leysa afleiðujöfnu af taginu

\[a_m(x)u^{(m)}+\cdots+a_1(x)u{{^{\prime}}}+a_0(x)u=\lambda u, \qquad x\in I,\]

þar sem \(\lambda\) er tvinntala og \(I\) er eitthvert bil á rauntalnaásnum, með skilyrðum á lausnina í endapunktum bilsins \(I\), kallast eigingildisverkefnien: eigenvalue problem.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
. Verkefnið er fólgið í því að finna öll \(\lambda\in {{\mathbb C}}\) þannig að jafnan hafi lausn \(u_\lambda\), sem er ekki núllfallið. Slík gildi \(\lambda\) kallast eigingildien: characteristic value.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
verkefnisins og lausnir \(u_\lambda\neq 0\) á jöfnunni kallast eiginföllen: eigenfunction.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.

Nú ætlum við að leysa nokkur eigingildisverkefni með virkjann \(P(D)u=-u''\) með mismunandi jaðarskilyrðum:

4.2.1. Fallsjaðarskilyrði í báðum endapunktum

4.2.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

4.2.2. Afleiðujaðarskilyrði í báðum endapunktum

4.2.2.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

4.2.3. Fallsjaðarskilyrði í öðrum endapunkti og afleiðuskilyrði í hinum

4.2.3.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

4.2.4. Blönduð jaðarskilyrði í báðum endapunktum

4.2.4.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

4.3. Aðskilnaður breytistærða

4.3.1. Aðskilnaður breytistærða

Algengt er að eigingildisverkefni komi upp þegar verið er að leysa hlutafleiðujöfnur með aðferð, sem kallast aðskilnaður breytistærða. Það er lang best að skoða hana með dæmum:

4.3.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

4.3.1.2. Sýnidæmi

Sýna dæmi

4.4. Virkjar af Sturm–Liouville–gerð

4.4.1. Virkjar af Sturm–Liouville–gerð

Við ætlum nú að fjalla um eigingildisverkefni fyrir annars stigs línulega afleiðuvirkja \(L=P(x,D)\) á lokuðu og takmörkuðu bili \([a,b]\)

\[Lu=P(x,D)u= a_2(x) u{{^{\prime\prime}}}+a_1(x)u{{^{\prime}}}+ a_0(x)u,\]

þar sem \(a_0,a_1,a_2\in C[a,b]\) og \(a_2(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\in [a,b]\). Í útreikningum okkar hentar betur að setja virkjann fram með öðrum hætti,

\[Lu ={{\dfrac {1}{\varrho} \bigg(-\dfrac d{dx}\bigg(p\dfrac {du}{dx}\bigg)+qu\bigg)}}.\]

Sambandið milli þessara tveggja framsetninga er einfalt. Við tökum

\[p(x)=\exp\bigg(C +\int_a^x\dfrac{a_1({\xi})}{a_2({\xi})}\, d{\xi}\bigg), \quad q(x)=\dfrac{-a_0(x)p(x)}{a_2(x)}, \quad {\varrho}(x)=\dfrac{-p(x)}{a_2(x)},\]

þar sem \(C\) er einhver ótiltekinn fasti. Það er rétt að rifja það upp á þessu stigi að formúlan

\[W(t)=W(a)\exp\bigg(-\int_a^ t\dfrac{a_{1}(\tau)}{a_2(\tau)}\, d\tau\bigg)\]

segir okkur að fallið

\[[a,b]\ni x\mapsto p(x)W(u_1,u_2)(x)\]

er fasti, ef \(u_1\) og \(u_2\) eru í núllrúmi virkjans \(L\).

4.4.1.1. Skilgreining

Við segjum að virkinn \(L\) sé af Sturm–Liouville–gerð ef hann er settur fram með formúlunni

\[Lu ={{\dfrac {1}{\varrho} \bigg(-\dfrac d{dx}\bigg(p\dfrac {du}{dx}\bigg)+qu\bigg)}}.\]

Við ætlum að takmarka okkur við að stuðlarnir séu raungildir. Fyrst \(a_2(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\in [a,b]\), þá má gera ráð fyrir að \(a_2(x)<0\). Það segir okkur að

\[\begin{split}p\in C^1[a,b], \quad p(x)>0, \quad q,{\varrho}\in C[a,b], \quad q(x)\in {{\mathbb R}}, \quad {\varrho}(x)>0, \quad x\in [a,b].\end{split}\]

4.4.1.2. Skilgreining

Við segjum að virki \(L\) af Sturm–Liouville–gerð sé reglulegur ef föllin \(p\), \(q\) og \({\varrho}\) uppfylla þessi skilyrði.


Á rúmið \(C[a,b]\) skilgreinum við formið

\[{{\langle u,v\rangle}} =\int_a^b u(x)\overline{v(x)}{\varrho}(x)\, dx, \qquad u,v\in C[a,b],\]

og á rúmið \(C^1[a,b]\) skilgreinum við formið

\[{{\langle u,v\rangle}}_L =\int_a^b \bigg(p(x)u{{^{\prime}}}(x)\overline{v{{^{\prime}}}(x)} +q(x)u(x)\overline{v(x)}\bigg) \, dx, \qquad u,v\in C^1[a,b].\]

Bæði eru þessi form línuleg í fyrri breytistærðinni, en andlínuleg í þeirri síðari. Það þýðir að

\[\begin{split}\begin{aligned} {{\langle \alpha u+\beta v,w\rangle}} &= \alpha{{\langle u,v\rangle}} + \beta{{\langle u,w\rangle}},\\ {{\langle u,\alpha v+\beta w\rangle}}&=\bar\alpha{{\langle u,v\rangle}} +\bar\beta {{\langle u,w\rangle}},\end{aligned}\end{split}\]

fyrir öll \(u,v\in C[a,b]\), \(\alpha,\beta\in {{\mathbb C}}\). Fyrst \({\varrho}>0\), þá er formið \({{\langle \cdot,\cdot\rangle}}\) innfeldi og tilheyrandi staðallen: absolute value.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
táknum við með \(\|\cdot\|\),

\[\|u\|= {{\langle u,u\rangle}} ^{\frac 12}, \qquad u\in C[a,b].\]

Nú skulum við líta á sambandið á milli þessara tveggja forma. Með hlutheildun fáum við

\[\begin{split}\begin{aligned} {{\langle Lu,v\rangle}} &= \int_a^b \dfrac {1}{\varrho(x)} \bigg(-\dfrac d{dx}\bigg(p(x)\dfrac {du}{dx}(x)\bigg)+q(x)u(x)\bigg) \overline{v(x)}{\varrho}(x)\, dx \\ &=\bigg[-p(x)u{{^{\prime}}}(x)\overline{v(x)}\bigg]_a^b + \int_a^b \bigg(p(x)u{{^{\prime}}}(x)\overline{v{{^{\prime}}}(x)} +q(x)u(x)\overline{v(x)}\bigg) \, dx\nonumber\\ &=-\big(p(b)u{{^{\prime}}}(b)\overline{v(b)} -p(a)u{{^{\prime}}}(a)\overline{v(a)} \big)+{{\langle u,v\rangle}}_L,\nonumber\end{aligned}\end{split}\]
\[\begin{split}\begin{aligned} {{\langle u,Lv\rangle}} &= \int_a^b u(x)\dfrac {1}{\varrho(x)} \bigg(-\dfrac d{dx}\bigg(p(x)\dfrac {d\bar v}{dx}(x)\bigg)+q(x)\bar v(x)\bigg) {\varrho}(x)\, dx \\ &=\bigg[-p(x)u(x)\overline{v{{^{\prime}}}(x)}\bigg]_a^b + \int_a^b \bigg(p(x)u{{^{\prime}}}(x)\overline{v{{^{\prime}}}(x)} +q(x)u(x)\overline{v(x)}\bigg) \, dx\nonumber\\ &=-\big(p(b)u(b)\overline{v{{^{\prime}}}(b)} -p(a)u(a)\overline{v{{^{\prime}}}(a)} \big)+{{\langle u,v\rangle}}_L.\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

Við tökum nú mismuninn af þessum tveimur jöfnum og fáum formúlu Greens

\[\begin{split}\begin{aligned} {{\langle Lu,v\rangle}} -{{\langle u,Lv\rangle}} &= \left[p(x)\big(u(x)\overline{v{{^{\prime}}}(x)}-u{{^{\prime}}}(x)\overline{v(x)}\big) \right]_a^b \\ &=p(b)\left| \begin{matrix} u(b) & u{{^{\prime}}}(b) \\ \bar v(b) &\bar v{{^{\prime}}}(b) \end{matrix}\right| - p(a)\left| \begin{matrix} u(a) & u{{^{\prime}}}(a) \\ \bar v(a) &\bar v{{^{\prime}}}(a) \end{matrix}\right|.\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

Jaðargildisvirkinn \(B\) er af gerðinni

\[\begin{split}\begin{cases} B:C^1[a,b]\to {{\mathbb C}}^2, \qquad Bu=(B_1u,B_2u),\\ B_ju=\alpha_{j1}u(a)+\alpha_{j2}u{{^{\prime}}}(a) +\beta_{j1}u(b)+\beta_{j2}u{{^{\prime}}}(b), &j=1,2, \end{cases}\end{split}\]

þar sem stuðlarnir \(\alpha_{jk}\) og \(\beta_{jk}\) eru rauntölur. Við gerum ráð fyrir að þetta séu eiginleg skilyrði þannig að í hvorum virkja sé að minnsta kosti einn stuðull frábrugðinn núlli. Rúmið \(C^2_B[a,b]\) er skilgreint sem mengi allra \(u\in C^2[a,b]\) sem uppfylla óhliðruðu jaðarskilyrðin \(Bu=0\).

4.4.1.3. Skilgreining

Við segjum að virkinn \(L\)samhverfur á \(C^2_B[a,b]\) eða samhverfur með tilliti til jaðarskilyrðanna \(Bu=0\) ef

\[{{\langle Lu,v\rangle}} ={{\langle u,Lv\rangle}}, \qquad u,v\in C^2_B[a,b].\]

Út frá formúlu Greens sjáum við að \(L\) er samhverfur á \(C^2_B[a,b]\) þá og því aðeins að

\[\begin{split}p(b)\left| \begin{matrix} u(b) & u{{^{\prime}}}(b) \\ \bar v(b) &\bar v{{^{\prime}}}(b) \end{matrix}\right| = p(a)\left| \begin{matrix} u(a) & u{{^{\prime}}}(a) \\ \bar v(a) &\bar v{{^{\prime}}}(a) \end{matrix}\right|\end{split}\]

fyrir öll \(u,v\in C^2_B[a,b]\). Það eru einkum tvö tilfelli sem við höfum áhuga á:

4.4.1.4. Setning

(i) Ef jaðarskilyrðinen: boundary condition.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eru aðskilin , þ.e.a.s.

\[B_1u=\alpha_1u(a)-\beta_1u{{^{\prime}}}(a), \qquad B_2u=\alpha_2u(b)+\beta_2u{{^{\prime}}}(b),\]

þar sem \(\alpha_1, \beta_1, \alpha_2, \beta_2\in {{\mathbb R}}\), \((\alpha_1,\beta_1)\neq (0,0)\) og \((\alpha_2,\beta_2)\neq (0,0)\), þá er \(L\) samhverfur á \(C^2_B[a,b]\).

(ii) Ef \(p(a)=p(b)\) og jaðarskilyrðin eru lotubundin, þ.e.a.s.

\[B_1u=u(a)-u(b), \qquad B_2u=u{{^{\prime}}}(a)-u{{^{\prime}}}(b),\]

þá er \(L\) samhverfur á \(C^2_B[a,b]\).

4.4.1.5. Sönnun

Sýna sönnun

4.5. Eigingildisverkefni af Sturm–Liouville–gerð

4.5.1. Eigingildisverkefni af Sturm–Liouville–gerð

Nú tökum við fyrir eigingildisverkefnið

\[Lu= {\lambda} u , \qquad Bu=0,\]

þar sem \(L\) er virki af Sturm–Liouville–gerð og \(B\) er almennur jaðargildisvirki. Talan \({\lambda}\in {{\mathbb C}}\) kallast eigingildien: characteristic value.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
virkjans \(L\) á \(C^2_B[a,b]\) ef til er lausn \(u\) á \(Lu = \lambda u\) sem er ekki núllfallið og sérhver slík lausn kallast eiginfallen: eigenfunction.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
. Línulega rúmið sem spannað er af öllum eiginföllum með tilliti til eigingildisins \({\lambda}\) köllum við eiginrúmiðen: characteristic space.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
með tilliti til eigingildisins \({\lambda}\) og við táknum það með \(E_{\lambda}\).

4.5.1.1. Skilgreining

Ef \(L\) er reglulegur virki af Sturm–Liouville–gerð, þá segjum við að eigingildisverkefnið sé reglulegt.

4.5.1.2. Setning

Gerum ráð fyrir að virkinn \(L\) af Sturm–Liouville–gerð sé samhverfur á \(C^2_B[a,b]\). Þá eru öll eigingildin rauntölur og eiginföllin sem svara til ólíkra eigingilda eru innbyrðis hornrétt.

4.5.1.3. Sönnun

Sýna sönnun

Athugum nú að fyrir samhverfan virkja \(L\) með eigingildi \({\lambda}\) og eiginfall \(u=v+iw\) gildir

\[Lv+iLw=Lu={\lambda}u={\lambda}v+i{\lambda}w.\]

Þetta segir okkur að bæði raunhluti og þverhluti \(u\) séu eiginföll ef þeir eru báðir frábrugðnir núllfallinu. Við getum því alltaf tekið raungild föll sem grunn fyrir eiginrúmið \(E_{\lambda}\). Gerum nú ráð fyrir að \(u\) sé raungilt eiginfall sem svarar til eigingildisins \({\lambda}\) og gerum ráð fyrir að \(\|u\|=1\). Þá fæst

\[\begin{split}\begin{aligned} {\lambda}& ={\lambda}{{\langle u,u\rangle}} = {{\langle Lu,u\rangle}} = \bigg[-p(x)u(x)u{{^{\prime}}}(x)\bigg]_a^b +{{\langle u,u\rangle}}_L \\ &= p(a)u(a)u{{^{\prime}}}(a)-p(b)u(b)u{{^{\prime}}}(b) +{{\langle u,u\rangle}}_L\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

Ef jaðarskilyrðin eru aðskilin eins og í setningunni í síðustu grein, þá uppfyllir \(u\) jöfnurnar

\[\alpha_1u(a)-\beta_1u{{^{\prime}}}(a)=0, \qquad\text{ og } \qquad \alpha_2u(b)+\beta_2u{{^{\prime}}}(b)=0,\]

og þar með er

\[{\lambda}=\alpha p(a)u(a)^2+\beta p(b)u(b)^2 +\int_a^b\bigg(p(x)u{{^{\prime}}}(x)^2+q(x)u(x)^2\bigg) \, dx,\]

þar sem við höfum sett \(\alpha=\alpha_1/\beta_1\) ef \(\beta_1\neq 0\), \(\alpha=0\) ef \(\beta_1=0\), \(\beta=\alpha_2/\beta_2\) ef \(\beta_2\neq 0\) og \(\beta=0\) ef \(\beta_2=0\). Athugið að \(\beta_1=0\) hefur í för með sér að \(u(a)=0\) og \(\beta_2=0\) hefur í för með sér að \(u(b)=0\). Þessi útreikningur gefur:

4.5.1.4. Setning

Öll eigingildin eru \(\geq 0\) í tilfellunum:

(i) \(q(x)\geq 0\) fyrir öll \(x\in [a,b]\), jaðarskilyrðin eru aðskilin, \(B_1u=\alpha_1u(a)-\beta_1u{{^{\prime}}}(a)=0\), \(B_2u=\alpha_2u(b)+\beta_2u{{^{\prime}}}(b)=0\), \(\alpha_1\geq 0\), \(\beta_1\geq 0\), \(\alpha_2\geq 0\) og \(\beta_2\geq 0\).

(ii) \(q(x)\geq 0\) fyrir öll \(x\in [a,b]\), \(p(a)=p(b)\) og jaðarskilyrðin eru lotubundin, \(B_1u=u(a)-u(b)=0\) og \(B_2u=u{{^{\prime}}}(a)-u{{^{\prime}}}(b)=0\).


Meginniðurstaða kaflans er:

4.5.1.5. Setning

Gerum ráð fyrir að

\[Lu={\lambda} u, \qquad Bu=0,\]

sé reglulegt Sturm–Liouville–eigingildisverkefni og að \(L\) sé samhverfur með tilliti til jaðarskilyrðanna \(Bu=0\). Þá er til óendanleg runa \({\lambda}_0<{\lambda}_1<{\lambda}_2\cdots \to +{\infty}\) af eigingildum og tilsvarandi raungildum eiginföllum \(u_0,u_1,u_2,\dots\), sem uppfylla

\[\begin{split}{{\langle u_j,u_k\rangle}}=\begin{cases} 1, &j=k,\\0, &j\neq k,\end{cases}\end{split}\]

og sérhvert fall \(u\in C^2_B[a,b]\) er unnt að liða í eiginfallaröð

\[u(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n(u)u_n(x), \qquad x\in [a,b],\]

sem er samleitin í jöfnum mæli á \([a,b]\) og stuðlarnir eru gefnir með formúlunni

\[c_n(u)={{\langle u,u_n\rangle}}= \int_a^bu(x)u_n(x){\varrho}(x)\, dx.\]

Þetta er erfið setning að sanna og við höfum engin tök á að gera það.

4.5.1.6. Sýnidæmi

Sýna dæmi

4.5.1.7. Skilgreining

Fyrir sérhvert heildanlegt fall \(f\) á \([a,b]\), þá skilgreinum við Fourier–stuðul fallsins \(f\) með tilliti til eiginfallsins \(u_n\) með

\[c_n(f)= {{\langle f,u_n\rangle}} =\int_a^b f(x) u_n(x){\varrho}(x)\, dx\]

og eiginfallaröðina af \(f\) með tilliti til eiginfallanna \((u_n)_{n=0}^{\infty}\) með

\[\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n(f)u_n(x).\]

4.5.1.8. Sýnidæmi

Sýna dæmi

4.6. Green-föll fyrir jaðargildisverkefni

4.6.1. Green-föll fyrir jaðargildisverkefni

Látum nú \(P(x,D)\) vera línulegan afleiðuvirkja af gerðinni

\[P(x,D)=a_m(x)D^m+\cdots+a_1(x)D+a_0(x)\]

með \(a_0,\dots,a_m\in C[a,b]\) og \(a_m(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\in [a,b]\). Við athugum að það er alltaf hægt að stækka skilgreiningarsvæði fallanna \(a_0,\dots,a_m, f\in C[a,b]\) þannig að þau verði samfelld á opnu bili \(I\) sem inniheldur \([a,b]\) og \(a_m(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\in I\). Sérhver lausn á \(P(x,D)u=f\) á opna bilinu \(]a,b[\) er tvisvar samfellt deildanleg á grennd um lokaða bilið \([a,b]\) og þar með eru gildin \(u(a)\), \(u{{^{\prime}}}(a),\dots,u^{(m-1)}(a)\), \(u(b)\), \(u{{^{\prime}}}(b),\dots,u^{(m-1)}(b)\) vel skilgreind og óháð því hvernig föllin eru skilgreind á \(I\setminus [a,b]\).

Við látum \(B\) vera línulegan jaðargildisvirkja á \([a,b]\) af gerðinni

\[\begin{split}\begin{cases} B:C^{m-1}[a,b]\to {{\mathbb C}}^m, \qquad Bu=(B_1u,\dots,B_mu),\\ B_ju=\sum\limits_{l=1}^m \alpha_{jl}u^{(l-1)}(a)+ \beta_{jl}u^{(l-1)}(b). \end{cases}\end{split}\]

Við gerum ráð fyrir því að fyrir sérhvert \(j\) sé að minnsta kosti ein talnanna \(\alpha_{jl}\), \(\beta_{jl}\), \(l=1,\dots,m\) frábrugðin \(0\). Við látum \(C^m_B[a,b]\) tákna rúm allra \(u\in C^m[a,b]\) sem uppfylla óhliðruðu jaðarskilyrðin \(Bu=0\). Við höfum séð fullkomna lýsingu á því hvenær jaðargildisverkefnið \(P(x,D)u=f\), \(Bu=c\) hefur ótvírætt ákvarðaða lausn fyrir sérhvert \(f\in C[a,b]\) og sérhvert \(c\in {{\mathbb C}}\).

Nú ætlum við að ákvarða lausnarformúlu fyrir lausn \(P(x,D)u=f\) með óhliðruðum jaðarskilyrðum \(Bu=0\). Við beitum hliðstæðum aðferðum og þegar við reiknuðum út lausnarformúluna fyrir lausn upphafsgildisverkefnisins \(P(x,D)u=f\), \(u(a)=u{{^{\prime}}}(a)=\cdots=u^{(m-1)}(a)=0\). Við byrjum á tveimur léttum sýnidæmum:

4.6.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

4.6.1.2. Sýnidæmi

Sýna dæmi

Nú skulum við gera ráð fyir því að \({\lambda}=0\) sé ekki eigingildi virkjans \(P(x,D)\) á \(C_B[a,b]\). Samkvæmt tilvistarsetningu fyrir línulegar afleiðujöfnur hefur jaðargildisverkefnið \(P(x,D)u=f\), \(Bu=0\) ótvírætt ákvarðaða lausn. Við getum við skrifað hana á forminu

\[u(x)=c_1u_1(x)+\cdots+c_mu_m(x) + \int_a^x G(x,{\xi})f({\xi})\, d{\xi},\]

þar sem \(u_1,\dots,u_m\) er grunnur í \({\cal N}(P(x,D))\) og \(G\) táknar Green-fall virkjans. Aleiðan af stigi \(k\) er

\[u^{(k)}(x)=c_1u^{(k)}_1(x)+\cdots+c_mu^{(k)}_m(x) +\int_a^x {\partial}_x^{k}G(x,{\xi})f({\xi})\, d{\xi},\]

fyrir öll \(k=0,\dots,m-1\). Nú látum við jaðargildisvirkjana \(B_1,\dots,B_m\) verka á \(u\) og fáum

\[B_ju=c_1B_ju_1+\cdots+c_mB_ju_m + \int_a^b \sum\limits_{l=1}^m \beta_{jl}{\partial_x^{l-1}} G(b,{\xi})f({\xi})\, d{\xi}=0.\]

Nú er hyggilegt að innleiða fallið

\[\begin{split}F(x,{\xi}) = \begin{cases} G(x,{\xi}), &a\leq{\xi}\leq x\leq b,\\ 0, &a\leq x\leq{\xi} \leq b.\end{cases}\end{split}\]
:math:`F(x,\xi)`

Mynd: \(F(x,\xi)\)

Þá er greinilegt að \({\partial}_x^{l-1}F(a,{\xi})=0\) fyrir öll \(l=1,\dots,m\) og \({\xi}\in ]a,b[\), svo

\[B_ju=c_1B_ju_1+\cdots+c_mB_ju_m + \int_a^b \sum\limits_{l=1}^m \beta_{jl}{\partial_x^{l-1}} G(b,{\xi})f({\xi})\, d{\xi}=0\]

jafngildir jöfnuhneppinu

\[\big(B_ju_1\big)c_1+\cdots+\big(B_ju_m\big)c_m= -\int_a^b B_jF(\cdot,{\xi})f({\xi}) \, d{\xi},\]

þar sem \(B_jF(\cdot,{\xi})\) táknar að \(B_j\) verki á fallið \(F\) með tilliti til fyrri breytistærðarinnar. Við fáum nú:

4.6.1.3. Hjálparsetning

Fallið \(F\) sem skilgreint er með

\[\begin{split}F(x,{\xi}) = \begin{cases} G(x,{\xi}), &a\leq{\xi}\leq x\leq b,\\ 0, &a\leq x\leq{\xi} \leq b.\end{cases}\end{split}\]

uppfyllir:

(i) Hlutafleiðurnar \({\partial}_x^kF(x,{\xi})\), \(k=0,\dots,m-2\) eru til í sérhverjum punkti á \([a,b]\times [a,b]\) og þær eru samfelldar.

(ii) Hlutafleiðan \({\partial}_x^{m-1}F(x,{\xi})\) er til í öllum punktum á \([a,b]\times [a,b]\) utan línunnar \(x={\xi}\). Í punktum á línunni \(x={\xi}\) tekur afleiðan stökkið \(1/a_m({\xi})\). Nánar tiltekið, þá eru markgildin \({\partial}_x^{m-1}F({\xi}\pm,{\xi})=\lim\limits_{x\to{\xi}\pm} {\partial}_x^{m-1}F(x,{\xi})\) til og

\[{\partial}_x^{m-1}F({\xi}+,{\xi})- {\partial}_x^{m-1}F({\xi}-,{\xi})=1/a_m({\xi}).\]

(iii) \(P(x,D_x)F(x,{\xi})=0\) ef \(x\neq {\xi}\).


Jöfnuhneppið

\[\begin{split}\left[\begin{matrix} B_1u_1 & B_1u_2 & \cdots & B_1u_m\\ B_2u_1 & B_2u_2 & \cdots & B_2u_m\\ \vdots& \vdots &\ddots & \vdots \\ B_mu_1 & B_mu_2 & \cdots & B_mu_m\\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} d_1({\xi}) \\ d_2({\xi}) \\ \vdots \\d_m({\xi}) \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} -B_1F(\cdot,{\xi}) \\ -B_2F(\cdot,{\xi}) \\ \vdots \\ -B_mF(\cdot,{\xi}) \\ \end{matrix}\right]\end{split}\]

hefur ótvírætt ákvarðaða lausn \(d({\xi})=(d_1({\xi}),\dots,d_m({\xi}))\). Hún er samfellt fall af \({\xi}\) á \([a,b]\), því

\[B_jF(\cdot,{\xi}) = \sum\limits_{l=1}^m \beta_{jl}{\partial}_x^{l-1} G(b,{\xi}) \qquad {\xi}\in ]a,b[\]

og við höfum markgildi af þessari stærð ef \({\xi}\to a\) og \({\xi}\to b\). Ef við setjum nú

\[c_j=\int_a^b d_j({\xi})f({\xi})\, d{\xi},\]

og skilgreinum \(G_B\) með formúlunni

\[G_B(x,{\xi}) = u_1(x)d_1({\xi})+\cdots+u_m(x)d_m({\xi})+ F(x,{\xi}).\]

Þá er lausnin fundin:

4.6.1.4. Setning

Látum \(P(x,D)=a_m(x)D^m+\cdots+a_1(x)D+a_0(x)\) vera afleiðuvirkja á \([a,b]\) með samfellda stuðla, gerum ráð fyrir að \(a_m(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\in [a,b]\), látum \(B:C^{m-1}[a,b]\to {{\mathbb C}}^m\) vera jaðargildisvirkja og gerum ráð fyrir að \({\lambda}=0\) sé ekki eigingildi \(P(x,D)\) á \(C^m_B[a,b]\). Þá hefur jaðargildisverkefnið

\[P(x,D)u=f(x), \qquad Bu=0,\]

ótvírætt ákvarðaða lausn sem uppfyllir

\[u(x) = \int_a^b G_B(x,{\xi})f({\xi})\, d{\xi},\]

þar sem fallið \(G_B\) hefur eftirtalda eiginleika:

(i) \({\partial}_x^{k}G_B(x,{\xi})\) er samfellt á \([a,b]\times [a,b]\) fyrir \(k=0,\dots,m-2\).

(ii)\({\partial}_x^{m-1}G_B(x,{\xi})\) er samfellt í öllum punktum á \([a,b]\times [a,b]\) fyrir utan línuna \(x={\xi}\) og tekur stökkið \(1/a_m({\xi})\) yfir hana.

(iii) \(P(x,D_x)G_B(x,{\xi})=0\) ef \(x\neq {\xi}\).

(iv) \(BG_B(\cdot,{\xi})=0\) ef \({\xi}\in ]a,b[\), þ.e. \(G_B\) uppfyllir óhliðruð jaðarskilyrði, sem fall af fyrri breytistærðinni.

Skilyrðin (i)-(iv) ákvarða fallið \(G_B\) ótvírætt.

4.6.1.5. Sönnun

Sýna sönnun

4.6.1.6. Sýnidæmi

Sýna dæmi

Þetta dæmi er einfalt að alhæfa:

4.6.1.7. Setning

Látum \(P(x,D)=a_2(x)D^2+a_1(x)D+a_0(x)\) vera annars stigs afleiðuvirkja, þar sem \(a_2(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\in [a,b]\), og gerum ráð fyrir að jaðarskilyrðin séu aðskilin, þ.e.a.s.

\[B_1u=\alpha_1u(a)-\beta_1u{{^{\prime}}}(a), \quad B_2u=\alpha_2u(b)+\beta_2u{{^{\prime}}}(b),\]

og \((\alpha_1,\beta_1)\neq(0,0)\), \((\alpha_2,\beta_2)\neq (0,0)\). Gerum ráð fyrir að \(u_1\) og \(u_2\) myndi grunn í núllrúmi virkjans og

\[B_1u_1=0, \qquad B_2u_2=0.\]

Þá er Green-fallið fyrir jaðargildisverkefnið

\[P(x,D)u=f(x), \qquad Bu=0,\]

gefið með formúlunni

\[\begin{split}G_B(x,{\xi}) = \begin{cases} \dfrac{u_1({\xi})u_2(x)} {a_2({\xi})W(u_1,u_2)({\xi})}, &a\leq {\xi}\leq x\leq b,\\ \dfrac{u_1(x)u_2({\xi})} {a_2({\xi})W(u_1,u_2)({\xi})}, &a\leq x\leq {\xi}\leq b, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(W(u_1,u_2)\) er Wronski-ákveða fallanna \(u_1\) og \(u_2\).

4.6.1.8. Sönnun

Sýna sönnun

4.7. Eiginfallaliðun og Green–föll

4.7.1. Eiginfallaliðun og Green–föll

Í greininni um eigingildisverkefni af Sturm-Liouville gerð sáum við að eiginfallaröð fallsins \(f\) er samleitin í jöfnum mæli á \([a,b]\) ef \(f\in C^2_B[a,b]\). Við höfum einnig andhverfuformúlu fyrir eiginfallaraðir af föllum sem eru samfellt deildanleg á köflum:

4.7.1.1. Setning

Ef \(f\in PC^1[a,b]\), þá er

\[\dfrac 12\big( f(x+)+f(x-)\big) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(f)u_n(x), \qquad x\in]a,b[\]

og í punktum \(x\) þar sem \(f\) er samfellt gildir

\[f(x)= \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(f)u_n(x), \qquad x\in]a,b[.\]

Með því að hliðra punktinum \(a\) í \(0\), þá getum við alltaf gert ráð fyrir að bilið sé \([0,L]\). Þá fæst

4.7.1.2. Setning

(Samleitnisetning Sturms).   Látum \(f\) vera heildanlegt fall á bilinu \([0,L]\), látum \(c_n(f)\) vera Fourier-stuðla \(f\) með tilliti til eiginfallarununnar \((u_n)\) og \(a_n(f)\) tákna Fourier–kósínus–stuðla \(f\). Þá eru raðirnar

\[\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(f)u_n(x) \qquad \text{ og } \qquad \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(f)\cos(n{\pi}x/L)\]

samleitnar í sömu punktum og í sérhverjum samleitnipunkti eru markgildi þeirra þau sömu.


Það er mjög erfitt að sanna þessa setningu og við getum ekki fengist við það hér.

Lítum nú aftur á jaðargildisverkefnið

\[Lu=f(x), \qquad x\in ]a,b[, \qquad Bu=0,\]

þar sem \(L\) er virki af Sturm–Liouville–gerð og gerum ráð fyrir að hann sé reglulegur og samhverfur með tilliti til jaðarskilyrðanna \(Bu=0\). Í því tilfelli að \({\lambda}=0\) er eigingildi, þá gerum við ráð fyrir að \(f\) sé hornrétt á eiginrúmið \(E_0\). Við athugum nú að lausnin \(u\) er gefin með formúlunni

\[u(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac {c_n(f)}{\lambda_n}u_n(x)\]

ef þessi röð er nógu hratt samleitin til þess að við megum láta virkjann \(L\) verka lið fyrir lið í summunni. Þetta sjáum við með

\[Lu(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{c_n(f)}{\lambda_n}Lu_n(x) =\sum\limits_{n=0}^{\infty} {c_n(f)}u_n(x)=f(x).\]

Í því tilfelli að \({\lambda}_n=0\) fyrir eitthvert \(n\), þá setjum við inn \(0\) í stað \(c_n(f)/{\lambda}_n\) í formúlunni fyrir \(u(x)\). Nú stingum við inn formúlunni fyrir stuðlana \(c_n(f)\) og skiptum á óendanlegu summunni og heildinu

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x)&= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac 1{\lambda_n} \bigg(\int_a^b f({\xi})u_n({\xi}){\varrho}({\xi})\, d{\xi}\bigg) u_n(x)\\ &=\int_a^b{\varrho}({\xi})\bigg(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{u_n(x)u_n({\xi})} {\lambda_n}\bigg) f({\xi})\, d{\xi}.\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

Við vitum að Green–fallið fyrir jaðargildisverkefnið er ótvírætt ákvarðað, svo við höfum

\[G(x,{\xi})={\varrho}({\xi})\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{u_n(x)u_n({\xi})}{\lambda_n}.\]

4.8. Æfingardæmi

4.8.1. Æfingardæmi

4.8.1.1. Dæmi

Umritið eftirfarandi afleiðuvirkja yfir á Sturm–Liouville–gerð:

\[\begin{split}\begin{aligned} \text{(Bessel)} \qquad & \qquad P(x,D_x)u = -\dfrac{d^ 2 u}{dx^ 2} -\dfrac 1x \dfrac{du}{dx} - \bigg(1-\dfrac {n^ 2}{x^ 2}\bigg)u \\ \text{(Chebychev)}\qquad & \qquad P(x,D_x)u = -(1-x^2)\dfrac{d^ 2 u}{dx^ 2} +x\dfrac{du}{dx} - n^2u \\ \text{(Hermite )}\qquad & \qquad P(x,D_x)u = -\dfrac{d^ 2 u}{dx^ 2} +2x \dfrac{du}{dx} - 2nu \\ \text{(Laguerre)}\qquad & \qquad P(x,D_x)u = -x\dfrac{d^ 2 u}{dx^ 2} - (1-x)\dfrac{du}{dx} - nu \\ \text{(Legendre)} \qquad & \qquad P(x,D_x)u = -(1-x^ 2)\dfrac{d^ 2 u}{dx^ 2} +2x \dfrac{du}{dx} - n(n+1)u \end{aligned}\end{split}\]

4.8.1.2. Dæmi

Látum \(L\) vera virkja af Sturm-Liouville-gerð með \(p(a)=p(b)\). Ákvarðið skilyrði, sem stuðlarnir \(\alpha\), \(\beta\), \({\gamma}\) og \({\delta}\) þurfa að uppfylla, til þess að \(L\) sé samhverfur með tilliti til jaðarskilyrðanna

\[\begin{split}\begin{gathered} B_1u=\alpha u(a)+\beta u{{^{\prime}}}(a)+u(b)=0,\\ B_2u={\gamma}u(a)+{\delta}u{{^{\prime}}}(a)+u{{^{\prime}}}(b)=0.\end{gathered}\end{split}\]

4.8.1.3. Dæmi

Látum \(L\) tákna afleiðuvirkjann

\[Lu=P(x,D)u=-x^{-2}u{{^{\prime\prime}}}+x^{-3}u{{^{\prime}}}.\]

Sýnið að \(Le^{i\beta x^2}=4\beta^2e^{i\beta x^2}\) gildi um sérhverja tvinntölu \(\beta\). Notið þetta til þess að finna almenna lausn á jöfnunni \(Lu={\lambda}u\) og leysið síðan eigingildisverkefnið

\[Lu={\lambda}u, \qquad u(1)=u(2)=0.\]

Í hvaða innfeldi eru eiginföllin innbyrðis hornrétt?

4.8.1.4. Dæmi

Leysið eigingildisverkefnið

\[-u{{^{\prime\prime}}}={\lambda}u, \qquad u{{^{\prime}}}(0)+u(0)=0, \qquad u{{^{\prime}}}(1)-u(1)=0.\]

[Það dugir að sýna fram á tilvist eigingilda með því að teikna mynd.]

4.8.1.5. Dæmi

(i) Leysið eigingildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} -(1+x)^ 2 u{{^{\prime\prime}}}= \lambda u, & 0<x<1,\\ u(0)=u(1)=0. \end{cases}\end{split}\]

(ii) Notið lausnina úr (i) til þess að finna lausnarformúlu fyrir jaðargildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} \partial_t^ 2w(x,t) -(1+x)^ 2\partial_x^ 2w(x,t)=f(x,t), &0<x<1,\quad t>0,\\ w(x,0)=\varphi(x), \ \partial_tw(x,0)=\psi(x), & 0<x<1,\\ w(0,t)=w(1,t)=0, & t>0. \end{cases}\end{split}\]

4.8.1.6. Dæmi

(i) Leysið eigingildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} -\dfrac d{dx}\bigg( (1+x)^ 2 \dfrac{du}{dx}\bigg) = \lambda u, & 0<x<1,\\ u{{^{\prime}}}(0)=u(1)=0. \end{cases}\end{split}\]

(ii) Notið lausnina úr (i) til þess að finna lausnarformúlu fyrir jaðargildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} \partial_t w(x,t) -\partial_x\big((1+x)^ 2 \partial_xw(x,t)\big) =f(x,t), &0<x<1,\quad t>0,\\ w(x,0)=\varphi(x), & 0<x<1,\\ \partial_xw(0,t)=w(1,t)=0, & t>0. \end{cases}\end{split}\]

4.8.1.7. Dæmi

Sýnið að jaðargildisverkefnin:

(i) \(-u{{^{\prime\prime}}}={\lambda}u\), \(B_1u=u(0)-u({\pi})=0\), \(B_2u=u{{^{\prime}}}(0)+u{{^{\prime}}}({\pi})=0\),

(ii) \(-u{{^{\prime\prime}}}={\lambda}u\), \(B_1u=2u(0)-u({\pi})=0\), \(B_2u=2u{{^{\prime}}}(0)+u{{^{\prime}}}({\pi})=0\),

séu ekki samhverf, að allar tvinntölur séu eigingildi í (i) og að (ii) hafi engin eigingildi.

4.8.1.8. Dæmi

Látum \(L=P(x,D)\) vera afleiðuvirkja af Sturm-Liouville-gerð, sem er samhverfur með tilliti til jaðarskilyrðanna \(Bu=0\), þar sem \(B\) er almennur jaðargildisvirki á bilinu \([a,b]\). Notið eiginfallaliðun til þess að finna lausnarformúlu fyrir eftirfarandi verkefni, ef gefið er fall \(w(x,t)\), sem uppfyllir hliðruðu jaðarskilyrðin,

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial} u}{{\partial}t}+P(x,D_x)u=0, &a<x<b, \ t>0,\\ u(x,0)=0, & a<x<b,\\ B_1u(\cdot,t)=g(t), \quad B_2u(\cdot,t)=h(t). \end{cases}\end{split}\]

Hér táknar \(B_ju(\cdot,t)\) að jaðargildisvirkinn \(B_j\) eigi að verka á \(u\) sem fall af \(x\) fyrir fast \(t\).

4.8.1.9. Dæmi

Beitið eiginfallaliðun til þess að finna lausn á jaðargildisverkefninu

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial} u}{\partial t} -{\kappa}\dfrac{{\partial}^2 u}{\partial x^2}=0, &0<x<L, \ t>0,\\ u(x,0)=\varphi(x), &0<x<L,\\ {\partial}_xu(0,t)=hu(L,t)+{\partial}_xu(L,t)=0, &t>0, \ h>0. \end{cases}\end{split}\]

4.8.1.10. Dæmi

Beitið eiginfallaliðun til þess að finna lausn á jaðargildisverkefninu

\[\begin{split}\begin{cases} {\Delta}u=\dfrac{{\partial}^2 u}{\partial x^2}+ \dfrac{{\partial}^2 u}{\partial y^2}=0, &0<x<L, \ 0<y<L,\\ {\partial}_yu(x,0)=hu(x,L)+{\partial}_yu(x,L)=0, &0<x<L,\\ u(L,y)=0, \, u(0,y)=g(y), &0<y<L. \end{cases}\end{split}\]

4.8.1.11. Dæmi

Ákvarðið Green-föllin til úrlausnar á jaðargildisverkefnunum:

(i) \(-u{{^{\prime\prime}}}=f(x)\), \(x\in [0,1]\), \(u(0)=u{{^{\prime}}}(1)=0\).

(ii) \(-u{{^{\prime\prime}}}=f(x)\), \(x\in [0,1]\), \(u(0)=u{{^{\prime}}}(1)+hu(1)=0\), \(h>0\).

(iii) \(-u{{^{\prime\prime}}}-\omega^2u=f(x)\), \(x\in [0,1]\), \(u(0)=u{{^{\prime}}}(1)=0\).

(iv) \(-u{{^{\prime\prime}}}+\omega^2u=f(x)\), \(x\in [0,1]\), \(u(0)=u(1)=0\).

(v) \(-u{{^{\prime\prime}}}+\omega^2u=f(x)\), \(x\in [0,1]\), \(u(0)=u{{^{\prime}}}(1)+hu(1)=0\), \(h>0\).

4.8.1.12. Dæmi

Ákvarðið Green-fallið fyrir jaðargildisverkefnið

\[u{{^{\prime\prime\prime}}}=f(x), \quad x\in [0,1], \qquad u(0)=u{{^{\prime\prime}}}(0)=u{{^{\prime}}}(1)=0.\]

4.8.1.13. Dæmi

Ákvarðið Green-fallið fyrir jaðargildisverkefnið

\[u{{^{\prime\prime}}}-\dfrac 2xu{{^{\prime}}}+\dfrac 2{x^2}u=f(x), \quad x\in[1,2], \qquad u(1)=u(2)=0.\]

4.8.1.14. Dæmi

(Tvöfaldar eiginfallaraðir.) Látum \(P(x,D_x)\) og \(Q(y,D_y)\) vera tvo afleiðuvirkja af Sturm-Liouville gerð og lítum á jaðargildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac {\partial u}{{\partial}t}+P(x,{\partial}_x)u +Q(y,{\partial}_y)u=0, &0<x<L, \ 0<y<M, \ t>0,\\ B_1^1u(\cdot,y,t)=B_2^1u(\cdot,y,t)=0, &0<y<M,\ t>0,\\ B_1^2u(x,\cdot,t)=B_2^2u(x,\cdot,t)=0, &0<x<L,\ t>0,\\ u(x,y,0)={\varphi}(x,y), &0<x<L, \ 0<y<M, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(B^1=(B_1^1,B_2^1)\) og \(B^2=(B_1^2,B_2^2)\) eru aðskildir jaðargildisvirkjar á bilunum \([0,L]\) og \([0,M]\). Finnið lausnarformúlu fyrir þetta verkefni með þeirri lausnartilgátu að hægt sé að liða \(u\) í tvöfalda eiginfallaröð með stuðlum sem eru háðir \(t\).