3. Fourier-raðir

3.1. Inngangur

Lítum nú enn einu sinni á það verkefni að finna sérlausnen: particular integral.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
á afleiðujöfnu

\[P(D)u=(a_mD^ m+a_{m-1}D^{m-1}+\cdots+a_1 D +a_0)u=f(x),\]

með fastastuðla. Fallið \(f:{{\mathbb R}}\to {{\mathbb C}}\) er sagt vera lotubundið með lotuna \(T\neq 0\) eða \(T\)-lotubundið, ef \(f(x+T)=f(x)\) fyrir öll \(x\in {{\mathbb R}}\). Það er einmitt mjög algengt að það sé áhugavert að leysa jöfnuna með \(T\)-lotubundið fall \(f\) fyrir eitthvert \(T>0\). Fallið \(f(x)=e^{in\omega x}\) með \(\omega=2\pi/T\) er dæmi um slíkt fall og við vitum að sérlausn er auðfundin, ef \(P(in\omega)\neq 0\), en hún er

\[u_n(x)= \dfrac {e^{in\omega x}}{P(in\omega)}.\]

Ef við gerum ráð fyrir að hægt sé að setja fallið \(f\) fram með óendanlegri röð

\[f(x)= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{in\omega x} =\lim_{N\to +\infty} \sum\limits_{n=-N}^{N} c_n e^{in\omega x}\]

og \(P(in\omega)\neq 0\) fyrir öll \(n=0,\pm 1,\pm 2,\dots\), þá getum við tekið sams konar óendanlega línulega samantekt á sérlausnunum \(u_n\) og fengið sérlausn

\[u(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \dfrac{c_n}{P(i n\omega )} e^{i n \omega x}.\]

Ef þessi röð er það vel samleitin að það megi deilda hana lið fyrir lið, þá fáum við

\[\begin{split}\begin{aligned} P(D)u(x)&=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \dfrac{c_n}{P(i n\omega )} P(D)e^{in\omega x}\\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{in\omega x} = f(x),\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

svo (\(u(x)\) er sérlausn á jöfnunni. Viðfangsefni þessa kafla er að finna skilyrði á lotubundið fall \(f\) sem tryggir að til sé framsetning á \(f\) með röð eins og hér að framan.

3.2. Fourier–raðir af \(2\pi\)-lotubundnum föllum

Athugið að um sérhvert \(T\)–lotubundið fall \(f\) gildir

\[f(x)=f(x\pm T)=f(x\pm 2T)=\cdots.\]

Ef \(f\) er \(T\)-lotubundið og \(S>0\) þá er fallið \(g(x)=f(Tx/S)\) \(S\)-lotubundið, því

\[g(x+S)=f(T(x+S)/S)=f(Tx/S+T)=f(Tx/S)=g(x).\]

Þessi einfalda staðreynd segir okkur að allar upplýsingar, sem við getum fundið um \(T\)–lotubundin föll, sé hægt að yfirfæra á \(S\)–lotubundin föll með því að setja \(Tx/S\) sem nýja breytu í stað \(x\).

3.2.1. \(2\pi\)-lotubundin föll

Við ætlum fyrst að líta á föll með lotuna \(T=2\pi\) og horntíðnina \(\omega=2\pi/T=1\) og nota formúlurnar hér að framan til þess að yfirfæra þekkingu okkar á almenn \(T\)-lotubundin föll. Föllin

\[\begin{split}\begin{gathered} 1,\quad \cos x, \quad \sin x, \quad \cos 2x, \quad \sin 2x, \quad \cos 3x, \quad \sin 3x, \quad \dots\\ e^{ix}, \quad e^{-ix}, \quad e^{2ix}, \quad e^{-2ix}, \quad e^{3ix}, \quad e^{-3ix}, \quad \dots,\end{gathered}\end{split}\]

eru öll \(2\pi\)–lotubundin. Sama er að segja um föll \(f\) sem eru línulegar samantektir af þeim og föll \(f\) sem eru sett fram með samleitnum röðum af gerðinni

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x)&= \tfrac 12 a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty \big( a_n \cos nx + b_n \sin nx\big )\\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{inx} = \lim\limits_{N\to \infty} \sum\limits_{n=-N}^{N} c_n e^{inx}.\nonumber\end{aligned}\end{split}\]

Athugum nú að

\[\begin{split}\int_{-\pi}^\pi e^{imx}e^{-inx}\, dx = \int_{-\pi}^\pi e^{i(m-n)x} \, dx = \begin{cases} 2\pi, & m=n,\\ \left[ \dfrac{e^{i(m-n)x}}{i(m-n)}\right]_{-\pi}^\pi=0, &m\neq n. \end{cases}\end{split}\]

Ef fallið \(f\) er gefið með óendanlegum röðum eins og hér að framan og raðirnar eru samleitnar í jöfnum mæli, þá getum við víxlað á heildi og óendanlegri summu, og það gefur okkur

\[\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-inx}\, dx = \sum\limits_{m=-\infty}^{+\infty} c_m\int_{-\pi}^\pi e^{imx}e^{-inx}\, dx = 2\pi c_n.\]

Þetta segir okkur að stuðullinn \(c_n\)ótvírætt ákvarðaður af formúlunni

\[c_n= \dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\, dx.\]

Formúlurnar

\[\begin{split}\begin{aligned} \cos(mx)\cos(nx) &=\tfrac12\big(\cos((m-n)x)+\cos((m+n)x)\big),\\ \sin(mx)\sin(nx) &=\tfrac12\big(\cos((m-n)x)-\cos((m+n)x)\big),\\ \sin(mx)\cos(nx) &=\tfrac12\big(\sin((m-n)x)+\sin((m+n)x)\big),\end{aligned}\end{split}\]

gefa okkur

\[\begin{split}\begin{gathered} \int_{-\pi}^\pi \cos nx \, dx = \int_{-\pi}^\pi \sin nx \, dx =0, \qquad n=1,2,\dots,\\ \int_{-\pi}^\pi \cos mx \cos nx \, dx = \int_{-\pi}^\pi \sin mx \sin nx \, dx = \begin{cases} \pi, & m=n,\\ 0, & m\neq n,\end{cases}, \ \ n,m=1,2,\dots,\\ \int_{-\pi}^\pi \cos mx \sin nx \, dx = 0, \qquad n,m=1,2,\dots.\end{gathered}\end{split}\]

Með því að heilda fyrri röðina \(\tfrac 12 a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty \big( a_n \cos nx + b_n \sin nx\big )\) lið fyrir lið og notfæra okkur þessar formúlur, þá fáum við að stuðlarnir \(a_n\) og \(b_n\) eru einnig ótvírætt ákvarðaðir

\[\begin{split}\begin{gathered} a_n=\dfrac 1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx \, dx, \quad n=0,1,2,\dots \\ b_n=\dfrac 1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx \, dx, \quad n=1,2,3,\dots.\label{8.2.5}\end{gathered}\end{split}\]

3.2.2. Skilgreining á Fourier-stuðlum og Fourier-röðum

3.2.2.1. Skilgreining

Ef \(f\in L^1([-\pi,\pi])\) er \(2\pi\)–lotubundið, þá skilgreinum við Fourier–stuðla fallsins \(f\) með

\[c_n= c_n(f)= \dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-in x}f(x)\, dx, \qquad n=0, \pm 1, \pm 2, \dots,\]

Fourier–kósínus–stuðla \(f\) með

\[a_n=a_n(f) =\dfrac 1{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx \, dx, \qquad n=0,1,2, \dots,\]

og Fourier–sínus–stuðla \(f\) með

\[b_n=b_n(f) =\dfrac 1{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx \, dx, \qquad n=1,2, \dots.\]

Raðirnar

\[\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{inx} \qquad \text{ og } \qquad \tfrac 12 a_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \big(a_n\cos nx+b_n \sin nx\big)\]

kallast Fourier–raðir fallsins \(f\). Til aðgreiningar köllum við síðari röðina hornafallaröðen: trigonometric series.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.


Athugið að fyrir \(T\)–lotubundið fall \(f\) þá er sama yfir hvaða bil af lengdinni \(T\) heildað er,

\[\int_{-T/2}^{T/2} f(x) \, dx = \int_0^T f(x) \, dx =\int_{\alpha}^{\alpha+T}f(x) \, dx, \qquad \text{ fyrir öll } \alpha\in {{\mathbb R}}.\]
Heildi yfir eina lotu

Mynd: Heildi yfir eina lotu

Þessa staðhæfingu er mjög auðvelt að sanna ef við gefum okkur að fallið \(f\) sé samfellt

\[\dfrac d{d\alpha}\bigg(\int_\alpha^{T+\alpha}f(x)\, dx\bigg) =\dfrac d{d\alpha}\bigg(\int_0^{T+\alpha}f(x)\, dx -\int_0^{\alpha}f(x)\, dx\bigg) =f(T+\alpha)-f(\alpha)=0.\]

Þetta segir okkur að í skilgreiningunni á Fourier–stuðlunum má heilda yfir hvaða bil sem er af lengdinni \(2\pi\).

3.2.3. Reiknireglur fyrir Fourier–stuðla

3.2.3.1. Setning

Látum \(f, g\in L^ 1([-\pi,\pi])\) vera \(2{\pi}\)–lotubundin föll.

(i) Fourier–stuðlarnir eru línulegar varpanir á \(L^ 1([-\pi,\pi])\),

\[\begin{split}\begin{gathered} a_n(\alpha f+\beta g)= \alpha a_n(f)+\beta a_n(g), \qquad b_n(\alpha f+\beta g)= \alpha b_n(f)+\beta b_n(g), \\ c_n(\alpha f+\beta g)= \alpha c_n(f)+\beta c_n(g).\end{gathered}\end{split}\]

(ii) Sambandið milli stuðlanna \(a_n(f)\), \(b_n(f)\) og \(c_n(f)\) er gefið með

\[\begin{split}\begin{gathered} a_0 = 2c_0, \qquad a_n= c_n+c_{-n}, \qquad b_n=i(c_n-c_{-n}),\\ c_0 = \tfrac 12 a_0, \qquad c_n=\tfrac 12(a_n-ib_n), \qquad c_{-n}=\tfrac 12 (a_n+ib_n).\end{gathered}\end{split}\]

(iii) Ef \(g(x)=f(x+\alpha)\), þar sem \(\alpha\in {{\mathbb R}}\), þá er \(c_n(g)=e^{in\alpha}c_n(f)\) fyrir öll \(n=0,\pm 1,\pm 2,\dots\).

(iv) Ef \(f\) er raungilt fall, þá eru \(a_n(f)\) og \(b_n(f)\) rauntölur og \(c_{-n}(f)=\overline{c_n(f)}\).

(v) Ef \(f\) er jafnstætt fall, þá er \(b_n(f)=0\) fyrir öll \(n=1,2,3,\dots\), og

\[a_n(f)=\dfrac 2\pi\int_0^ \pi f(x) \cos nx\, dx.\]

(vi) Ef \(f\) er oddstætt fall, þá er \(a_n(f)=0\) fyrir öll \(n=0,1,2,\dots\) og

\[b_n(f)= \dfrac 2\pi \int_0^ \pi f(x) \sin nx \, dx\]

(vii) Ef \(f\) og \(f{{^{\prime}}}\) eru í \(L^ 1([-\pi,\pi])\), þá er

\[c_n(f{{^{\prime}}})= inc_n(f), \qquad n\in {{\mathbb Z}}.\]

Ef \(f, f{{^{\prime}}}, \dots, f^{(m)}\) eru í \(L^ 1([-\pi,\pi])\), þá er

\[c_n(f^{(k)})= (in)^ kc_n(f), \qquad 0\leq k\leq m, \qquad n\in {{\mathbb Z}},\]

og um sérhvern afleiðuvirkja \(P(D)=a_mD^ m+\cdots+a_1D+a_0\) með fastastuðla gildir

\[c_n(P(D)f)= P(in)c_n(f), \qquad n\in {{\mathbb Z}}.\]

3.2.3.2. Sönnun

Sýna sönnun

3.2.4. Nokkur sýnidæmi

3.2.4.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

3.2.4.2. Sýnidæmi

Sýna dæmi

Þessi tvö sýnidæmi gefa okkur vísbendingar um að hlutsummur Fourier-raðar fallsins \(f\) stefni á \(f(x)\) í flestum punktum \(x\). Nú snúum við okkur að því að rannsaka samleitni Fourier-raða.

3.3. Innfeldi og Bessel–ójafnan

3.3.1. Innfeldi á \(L^2[-\pi,\pi]\)

Rifjum upp að \(L^2[-\pi,\pi]\) samanstendur af öllum föllum \(u\) á \([-\pi,\pi]\) þannig að

\[\begin{split}\int_{-\pi}^{\pi} |u(x)|^2\, dx <+\infty.\end{split}\]

Cauchy-Schwarz-ójafna segir að fyrir föllin \(u,v\in L^2[-\pi,\pi]\) gildi

\[\int_{-\pi}^\pi|u(x)v(x)|\, dx \leq \bigg(\int_{-\pi}^{\pi} |u(x)|^2\, dx\bigg)^{\frac 12} \bigg(\int_{-\pi}^{\pi} |v(x)|^2\, dx\bigg)^{\frac 12}\]

Ef \(u, v\in L^2[-\pi,\pi]\), þá skilgreinum við innfeldið af \(u\) og \(v\) með formúlunni

\[{{\langle u,v\rangle}} = \dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi u(x)\overline{v(x)}\, dx.\]

Við segjum að \(u\) og \(v\) séu hornrétten: normal.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef \({{\langle u,v\rangle}}=0\). Helstu reiknireglur fyrir innfeldi eru

\[\begin{split}\begin{gathered} {{\langle \alpha u + \beta v,w\rangle}}= \alpha{{\langle u,w\rangle}} + \beta {{\langle v,w\rangle}},\\ {{\langle u,\alpha v + \beta w\rangle}}= \overline\alpha {{\langle u,v\rangle}} + \overline \beta {{\langle u,w\rangle}},\\ {{\langle u,v\rangle}} = \overline{{{\langle v,u\rangle}}},\\ {{\langle u,u\rangle}}\geq 0.\end{gathered}\end{split}\]

Síðasta reglan leyfir okkur að skilgreina lengden: absolute value.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eða staðallen: absolute value.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fallsins \(u\) sem

\[\| u\|= \sqrt{{{\langle u,u\rangle}}}.\]

Af Cauchy-Schwarz-ójöfnunni leiðir

\[|{{\langle u,v\rangle}}|\leq \|u\|\|v\|.\]

3.3.2. Regla Pýþagórasar á \(L^2[-\pi,\pi]\) og Bessel-ójafna

3.3.2.1. Setning

(Pýþagóras).   Ef \(u, v\in L^2[-\pi,\pi]\) eru hornrétt, þá er

\[\| u+v\|^2 = \|u\|^2 + \| v\|^2.\]

3.3.2.2. Sönnun

Sýna sönnun

Fjölskylda \({\cal F}\) af innbyrðis hornréttum föllum á \([-\pi,\pi]\) er sögð vera einingarrétt ef \(\|u\|=1\) fyrir öll \(u\in {\cal F}\). Sem dæmi getum við tekið

\[{\cal F}=\{e_n(x)=e^{inx} \, ; \, n\in {{\mathbb Z}}\} \qquad \text{ og } \qquad {\cal F}=\{1\}\cup \{\tfrac 12 \cos(nx), \tfrac 12\sin(nx) \, ; \, n=1,2,3,\dots\}.\]

Athugum að fyrir \(2\pi\)–lotubundið fall \(f\in L^1([-\pi,\pi])\) gildir

\[c_n(f)=\dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-inx}\, dx = {{\langle f,e_n\rangle}}.\]

Nú ætlum við að kanna samleitni á Fourier–röðum og byrjum á því að líta á hlutsummuna

\[s_N(x)= \sum_{n=-N}^N c_n e^{inx}, \qquad c_n=c_n(f).\]

Ef \(-N\leq n\leq N\), þá er

\[{{\langle f-s_N,e_n\rangle}}={{\langle f,e_n\rangle}}-\sum\limits_{m=-N}^N c_m{{\langle e_m,e_n\rangle}} = c_n-c_n=0,\]

og af þessu leiðir síðan að

\[{{\langle f-s_N,s_N\rangle}}=\sum\limits_{n=-N}^N \overline{c_n}{{\langle f-s_N,e_n\rangle}}=0.\]

Athugum einnig að

\[\begin{split}\begin{aligned} \|s_N\|^2& ={{\langle \sum_{n=-N}^N c_n e^{inx},\sum_{m=-N}^N c_m e^{imx}\rangle}}\\ &=\sum_{n=-N}^N \sum_{m=-N}^N c_n \overline {c_m} {{\langle e^{inx},e^{imx}\rangle}} = \sum_{n=-N}^N |c_n|^2.\end{aligned}\end{split}\]

Fyrst \(s_N\) og \(f-s_N\) eru innbyrðis hornrétt, þá gefur setning Pýþagórasar

\[\sum\limits_{n=-N}^N |c_n|^2 = \|s_N\|^2 \leq \|s_N\|^2+\|f-s_N\|^2 = \|f\|^2 =\dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx.\]

Með því að láta \(N\to +\infty\), þá fæst

3.3.2.3. Setning

(Bessel–ójafnan).   Ef \(f\in L^2([-\pi,\pi])\) er \(2\pi\)–lotubundið og hefur Fourier-stuðla \(c_n=c_n(f)\), þá er

\[\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n|^2 \leq \dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2\, dx.\]

3.3.3. Fourier-raðir af föllum í \(PC^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\)

Nú skulum við gera ráð fyrir því að \(f\in PC^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\), þ.e. að \(f\) sé samfellt deildanlegt á köflum og samfellt á \({{\mathbb R}}\), og að fallið \(f\) sé einnig \(2\pi\)–lotubundið. Þá er til skipting

\[\begin{split}-\pi=a_0<a_1<\cdots < a_m=\pi\end{split}\]

á bilinu \([-\pi,\pi]\) þannig að \(f\) er samfellt deildanlegt á opnu bilunum \((a_{j-1},a_j)\) og hefur afleiðu frá hægri og vinstri í punktunum \(a_j\). Með hlutheildun fáum við

\[\begin{split}\begin{aligned} c_n(f{{^{\prime}}}) & =\dfrac 1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f{{^{\prime}}}(x) e^{-inx} \, dx = \sum\limits_{j=1}^m \dfrac 1{2\pi} \int_{a_{j-1}}^{a_j} f{{^{\prime}}}(x) e^{-inx}\, dx\\ &= \sum\limits_{j=1}^m \bigg[ \dfrac 1{2\pi} \bigg( f(a_j)e^{-ina_{j}} - f(a_{j-1})e^{-ina_{j-1}}\bigg) +\dfrac {in}{2\pi} \int_{a_{j-1}}^{a_j} f(x) e^{-inx}\, dx\bigg]\\ &= \dfrac 1{2\pi}\bigg(f(\pi)(-1)^n-f(-\pi)(-1)^n\bigg) +in c_n(f) = in c_n(f).\end{aligned}\end{split}\]

Af þessum útreikningi leiðir síðan:

3.3.3.1. Setning

Ef \(f\in PC^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\) er \(2\pi\)–lotubundið, þá er \(c_n(f{{^{\prime}}})=inc_n(f)\),

\[\begin{split}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n(f)|< +\infty,\end{split}\]

og þar með er Fourier–röðin \(\sum_{-\infty}^{+\infty}c_n(f)e^{inx}\) samleitin í jöfnum mæli á \({{\mathbb R}}\).

3.3.3.2. Sönnun

Sýna sönnun

3.4. Andhverfuformúla Fouriers

3.4.1. Andhverfuformúla Fouriers

Nú erum við komin að meginniðurstöðu kaflans:

3.4.1.1. Setning

(Andhverfuformúla Fouriers).   Ef \(f\in PC^1({{\mathbb R}})\) er \(2\pi\)–lotubundið fall með Fourier–stuðla \(c_n=c_n(f)\), Fourier-kósínus–stuðla \(a_n=a_n(f)\) og Fourier–sínus–stuðla \(b_n=b_n(f)\), þá gildir

\[\begin{split}\begin{aligned} \tfrac 12\big(f(x+)+f(x-)\big) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_ne^{inx} = \lim\limits_{N\to+\infty}\sum\limits_{n=-N}^{N} c_ne^{inx}\\ &=\tfrac 12 a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty \big(a_n \cos nx + b_n\sin nx\big).\end{aligned}\end{split}\]

Í punktum \(x\) þar sem \(f\) er samfellt gildir \(f(x)=\tfrac 12\big(f(x+)+f(x-)\big)\) og þar með er

\[f(x)= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_ne^{inx} =\tfrac 12 a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty \big(a_n \cos nx + b_n\sin nx\big).\]

Ef \(f\in PC^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\), þá eru raðirnar samleitnar í jöfnum mæli á \({{\mathbb R}}\).

3.4.1.2. Sönnun

Sýna sönnun

3.5. Fourier-raðir \(T\)-lotubundinna falla

3.5.1. Fourier-raðir \(T\)-lotubundinna falla

Gerum nú ráð fyrir að \(T>0\) og að fallið \(f\)\(T\)–lotubundið og heildanlegt á sérhverju lokuðu og takmörkuðu bili. Þá er fallið \(g(x)=f(Tx/2\pi)\) lotubundið með lotuna \(2\pi\) og Fourier–stuðlar þess verða

\[c_n= \dfrac 1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^ \pi f((T/2\pi)x) e^{-inx} \, dx = \dfrac 1{T} \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) e^{-i(2\pi/T)nx} \, dx.\]

Út frá þessari formúlu skilgreinum við Fourier–stuðla fyrir \(f\):

3.5.1.1. Skilgreining

Látum \(T>0\) og setjum \(\omega=2\pi/T\). Ef \(f\in L^1([-T/2,T/2])\) er \(T\)–lotubundið, þá skilgreinum við Fourier–stuðla fallsins \(f\) með

\[c_n=c_n(f) =\dfrac 1{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(x)e^{-in\omega x}\, dx, \qquad n=0, \pm 1, \pm 2, \dots,\]

Fourier–kósínus–stuðla \(f\) með

\[a_n=a_n(f) =\dfrac 2{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(x)\cos\big( n\omega x\big) \, dx, \qquad n=0,1,2, \dots,\]

og Fourier–sínus–stuðla \(f\) með

\[b_n=b_n(f) =\dfrac 2{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(x)\sin\big( n\omega x\big) \, dx, \qquad n=1,2, \dots.\]

Raðirnar

\[\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{in\omega x} \quad \text{ og } \quad \tfrac 12 a_0 +\sum\limits_{n=1}^{\infty} \big(a_n\cos\big(n\omega x\big)+b_n \sin \big( n\omega x\big)\big)\]

kallast Fourier–raðir fallsins \(f\) og til aðgreiningar köllum við þá síðari hornafallaröðen: trigonometric series.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.


Nú beitum við andhverfusetningu Fouriers á fallið \(g\) reiknað í punktinum \(\omega x\), \(f(x)=g(\omega x)\), og fáum þá að fyrir \(f\in PC^ 1({{\mathbb R}})\) gildir

\[\tfrac 12\big(f(x+)+f(x-)\big) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_ne^{in\omega x} =\tfrac 12 a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty \big(a_n\cos\big(n\omega x\big)+b_n \sin \big(n\omega x\big)\big),\]

ef \(f\) er samfellt í \(x\), þá er

\[f(x)= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_ne^{in\omega x} = \tfrac 12 a_0 + \sum\limits_{n=1}^\infty \big(a_n \cos \big( n\omega x\big) + b_n\sin \big(n\omega x\big)\big)\]

og fyrir \(f\in PC^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\), þá eru raðirnar samleitnar í jöfnum mæli á \({{\mathbb R}}\). Reiknireglurnar eru nánast eins of fyrir \(2{\pi}\)–lotubundin föll. Þær sem breytast eru:

3.5.1.2. Setning

Látum \(f,g\in L^1([-T/2,T/2])\) vera \(T\)–lotubundin föll og \(\omega=2\pi/T\).

(iii)’ Ef \(g(x)=f(x+\alpha)\), þar sem \({\alpha}\in {{\mathbb R}}\), þá er \(c_n(g)=e^{i\alpha n\omega}c_n(f)\).

(v)’ Ef \(f\) er jafnstætt fall, þá er \(b_n(f)=0\) fyrir öll \(n=1,2,3,\dots\) og

\[a_n(f)=\dfrac 4T\int_0^ {T/2} f(x) \cos(n\omega x)\, dx.\]

(vi)’ Ef \(f\) er oddstætt fall, þá er \(a_n(f)=0\) fyrir öll \(n=0,1,2,\dots\) og

\[b_n(f)= \dfrac 4 T \int_0^ {T/2} f(x) \sin(n \omega x) \, dx.\]

(vii)’ Ef \(f\) og \(f{{^{\prime}}}\) eru í \(L^ 1([-T/2,T/2])\), þá er

\[c_n(f{{^{\prime}}})= (in\omega)c_n(f).\]

Ef \(f, f{{^{\prime}}}, \dots, f^{(m)}\) eru í \(L^ 1([-T/2,T/2])\), þá er

\[c_n(f^{(k)})= \big(i n\omega \big)^ kc_n(f)\]

og um sérhvern afleiðuvirkja \(P(D)=a_mD^ m+\cdots+a_1D+a_0\) með fastastuðla gildir

\[c_n(P(D)f)= P(i n\omega )c_n(f).\]

3.6. Parseval–jafnan

3.6.1. Parseval–jafnan

Látum nú \(f\) vera \(T\)–lotubundið fall í \(L^1[-\tfrac 12 T,\tfrac 12 T]\). Við höfum séð að Fourier–röðin er samleitin og hefur markfallið \(f\), ef \(f\in PC^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\). Ef \(f\) er ekki samfellt í \(x\), þá er ekki víst að Fourier–röðin stefni á \(f(x)\). Í framhaldi af þessu er hægt að spyrja sig hvort engu að síður geti gilt

\[f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(f) e^{in \omega x},\]

í einhverjum öðrum skilningi, en að

\[f(x)=\lim_{N\to +\infty}\sum\limits_{n=-N}^{N}c_n(f) e^{in \omega x}, \qquad \text{ fyrir öll } x\in {{\mathbb R}}.\]

Hér að framan skilgreindum við innfeldi og lengd af föllum í \(L^2([-\pi, \pi])\) og við sáum að setning Pýþagórasar segir okkur að

\[\begin{split}\begin{gathered} \sum\limits_{n=-N}^N |c_n(f)|^2+ \dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)-s_N(x)|^2\, dx\\ =\|s_N\|^2+\|f-s_N\|^2 = \|f\|^2 =\dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx,\end{gathered}\end{split}\]

þar sem við skilgreindum hlutsummuna með formúlunni

\[s_N(x)= \sum_{n=-N}^N c_n e^{inx}, \qquad c_n=c_n(f).\]

Nú ætlum við að sýna að \(\|f-s_N\|\to 0\) ef \(N\to +\infty\). Til þess þurfum við:

3.6.1.1. Hjálparsetning

Látum \(V\) vera vigurrúm með tvinntalnamargföldun og innfeldi sem við táknum með \({{\langle u,v\rangle}}\), \(u,v\in V\), gerum ráð fyrir að \(M\) sé endanlegt mengi og að fjölskyldan \({{\cal F}}=\{e_k; k\in M\}\) sé einingarrétt. Fyrir sérhvert \(u\in V\) eru til ótvírætt ákvarðaðir vigrar \(u_1\) og \(u_2\), þannig að \(u_1\) sé línuleg samantekt af vigrunum í \({{\cal F}}\), \(u=u_1+u_2\) og \(u_2\) sé hornréttur á alla vigrana í \({{\cal F}}\). Vigurinn \(u_1\) er gefinn með formúlunni

\[u_1=\sum_{k\in M}{{\langle u,e_k\rangle}}e_k.\]

3.6.1.2. Sönnun

Sýna sönnun

3.6.1.3. Hjálparsetning

Ef \(V\) er vigurrúm með tvinntalnamargföldun og innfeldi, \(M\) er endanlegt mengi og \({{\cal F}}=\{e_k; k\in M\}\) er einingarrétt fjölskylda af vigrum í \(V\), þá tekur fallið

\[\| u-\sum\limits_{k\in M}a_ke_k\|\]

lægsta hugsanlega gildi þegar stuðlarnir eru valdir sem \(a_k={{\langle u,e_k\rangle}}\), \(k\in M\).

3.6.1.4. Sönnun

Sýna sönnun

Í því tilfelli að \(V\) samanstendur af öllum heildanlegum föllum á bilinu \([-\pi,\pi]\), með innfeldið

\[{{\langle u,v\rangle}} = \dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^ \pi u(x)\overline{v(x)}\, dx,\]

mengið \(M\) er valið sem \(M=\{n\in {{\mathbb Z}}; -N\leq n\leq N\}\) og \(e_n(x)=e^{inx}\), þá segir hjálparsetningin að heildið

\[\dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^ \pi |f(x)-\sum\limits_{n=-N}^ N a_ne^{inx}|^ 2 \, dx\]

taki lægsta gildi ef stuðlarnir \(a_n\) eru valdir sem Fourier–stuðlar fallsins \(f\),

\[a_n=c_n(f)=\dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^ \pi f(x)e^{-inx}\, dx.\]

Nú vitum við að í því tilfelli að \(f\in PC^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\), þá er Fourier–röð fallsins \(f\) samleitin í jöfnum mæli á \({{\mathbb R}}\) með markgildið \(f(x)\). Fyrir almennt fall \(f\) í \(L^1([-\pi,\pi])\) þurfum við að gera nálgun með föllum, sem eru samfellt deildanleg á köflum:

3.6.1.5. Hjálparsetning

Ef \(f\in L^2([-\pi,\pi])\) er \(2\pi\)–lotubundið og \(\varepsilon>0\), þá er til \(f_\varepsilon\in PC^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\) þannig að

\[\begin{split}\dfrac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)-f_\varepsilon(x)|^2 \, dx <\varepsilon.\end{split}\]

Við eftirlátum lesandanum sönnunina, en hún felst í því að nálga grafið af \(f\) með samfelldum ferli sem samanstendur af línustrikum.

3.6.2. Parseval-jafnan

3.6.2.1. Setning

Látum \(T>0\) og \(\omega=2\pi/T\). Ef \(f\in L^2[-T/2,T/2]\) er \(T\)–lotubundið, þá gildir

\[\|f-s_N\|^2=\dfrac 1{T}\int_{-T/2}^{T/2} |f(x)-\sum_{n=-N}^{N} c_n(f) e^{in \omega x}|^2\, dx \to 0, \qquad N\to +\infty.\]

og af þessu leiðir Parseval–jafna

\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n(f)|^2 = \dfrac 1{T}\int_{-T/2}^{T/2} |f(x)|^2 \, dx.\]

3.6.2.2. Sönnun

Sýna sönnun

3.7. Kósínus– og sínus–raðir á endanlegum bilum

3.7.1. Jafnstæð lotubundin framlenging

Nú ætlum við líta á fall \(f:[0,L]\to {{\mathbb C}}\) á takmörkuðu bili og fjalla um það hvernig hægt er að setja \(f\) fram með Fourier–röðum. Það er gert með því að framlengja skilgreiningarsvæði \(f\) yfir á allan rauntalnaásinn, þannig að út komi \(2L\)–lotubundið fall. Við skilgreinum

\[\begin{split}f_J(x)=\begin{cases} f(x), & x\in [0,L],\\ f(-x), & x\in [-L,0],\end{cases}\end{split}\]

og setjum \(f_J(x)=f_J(x-2nL)\) ef \(x\in [(2n-1)L,(2n+1)L]\). Þá er \(f_J\) greinilega jafnstætt fall og \(T\)–lotubundið með \(T=2L\).

Jafnstæð :math:`2L`-lotubundin framlenging :math:`f`.

Mynd: Jafnstæð \(2L\)-lotubundin framlenging \(f\).

Fourier-stuðlar \(f_J\) eru gefnir með

\[\begin{split}\begin{aligned} a_n(f_J)&=\dfrac 1L \int_{-L}^L f_J(x)\cos \dfrac {n\pi}L x \, dx\\ &=\dfrac 2L \int_{0}^L f_J(x)\cos \dfrac {n\pi}L x \, dx\\ &=\dfrac 2L \int_{0}^L f(x)\cos\dfrac {n\pi}L x \, dx, \qquad n=0,1,2,\dots,\\ b_n(f_J)&=0 \qquad \qquad \qquad\qquad n=1,2,3,\dots.\end{aligned}\end{split}\]

3.7.2. Oddstæð lotubundin framlenging

Við getum einnig skilgreint oddstætt \(T\)–lotubundið fall \(f_O\) með formúlunni

\[\begin{split}f_O(x)=\begin{cases} f(x), & x\in ]0,L[,\\ -f(-x), & x\in ]-L,0[,\\ 0, & x=nL, \quad n\in {{\mathbb Z}}.\end{cases}\end{split}\]

og \(f_O(x)=f_O(x-2nL)\) ef \(x\in [(2n-1)L,(2n+1)L]\). Þá er \(f_O\) oddstætt og \(T\)–lotubundið.

Oddstæð :math:`2L`-lotubundin framlenging :math:`f`.

Mynd: Oddstæð \(2L\)-lotubundin framlenging \(f\).

Fourier–stuðlarnir eru

\[\begin{split}\begin{aligned} a_n(f_O)&=0 \qquad\qquad\qquad \qquad n=0,1,2,\dots,\\ b_n(f_O)&=\dfrac 1L \int_{-L}^L f_O(x)\sin \dfrac {n\pi}L x \, dx\\ &=\dfrac 2L \int_{0}^L f_O(x)\sin \dfrac {n\pi}L x \, dx\\ &=\dfrac 2L \int_{0}^L f(x)\sin \dfrac {n\pi}L x \, dx, \qquad n=1,2,\dots.\\\end{aligned}\end{split}\]

3.7.3. Skilgreining á Fourier-stuðlum

3.7.3.1. Skilgreining

Látum \(f:[0,L]\to {{\mathbb C}}\) vera heildanlegt fall. Við skilgreinum Fourier–kósínus–stuðla fallsins \(f\) með

\[a_n=a_n(f)=\dfrac 2L \int_{0}^L f(x)\cos \dfrac {n\pi}Lx \, dx\]

og Fourier–sínus–stuðla \(f\) með

\[b_n=b_n(f)=\dfrac 2L \int_{0}^L f(x)\sin \dfrac {n\pi}Lx \, dx.\]

Röðin

\[\tfrac 12 a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos \dfrac {n\pi} L x\]

kallast Fourier–kósínus–röð fallsins \(f\) og röðin

\[\sum_{n=1}^\infty b_n\sin \dfrac {n\pi} L x\]

kallast Fourier–sínus–röð fallsins \(f\).

3.7.4. Andhverfuformúla Fouriers

Með því að beita andhverfusetningu Fouriers annars vegar á fallið \(f_J\) og hins vegar á fallið \(f_O\), þá fáum við:

3.7.4.1. Setning

(Andhverfuformúla Fouriers).   Ef \(f\in PC^1([0,L])\) hefur Fourier–kósínus–stuðla \(a_n=a_n(f)\) og Fourier–sínus–stuðla \(b_n=b_n(f)\), þá er

\[\tfrac 12(f(x+)+f(x-)) = \tfrac 12 a_0 +\sum\limits_{n=1}^\infty a_n \cos \dfrac {n\pi} L x = \sum\limits_{n=1}^\infty b_n \sin \dfrac {n\pi} L x , \qquad x\in ]0,L[.\]

Ef \(x\in ]0,L[\) og \(f\) er samfellt í \(x\), þá er

\[f(x) = \tfrac 12 a_0 +\sum\limits_{n=1}^\infty a_n \cos \dfrac {n\pi} L x = \sum\limits_{n=1}^\infty b_n \sin \dfrac {n\pi} L x .\]

Ef \(f\in PC^1([0,L])\cap C([0,L])\), þá er Fourier–kósínus–röðin samleitin í jöfnum mæli á \([0,L]\). Ef að auki gildir \(f(0)=f(L)=0\), þá er Fourier–sínus–röðin einnig samleitin í jöfnum mæli á \([0,L]\).

3.7.5. Sýnidæmi um lotubundnar framlengingar

3.7.5.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

3.8. Fourier–raðir og afleiðujöfnur

3.8.1. Fourier–raðir og afleiðujöfnur

Nú skulum við líta aftur á verkefnið að finna sérlausn á jöfnunni

\[P(D)u=(a_mD^ m+a_{m-1}D^{m-1}+\cdots+a_1 D +a_0)u=f(x),\]

þar sem fallið \(f\) er \(T\)–lotubundið. Til einföldunar skulum við setja \(\omega=2\pi/T\) og jafnframt gera ráð fyrir því að í punktum \(x\) þar sem \(f\) er ósamfellt gildi \(f(x)=\tfrac 12(f(x+)+f(x-))\). Ef \(f\in PC^1({{\mathbb R}})\), þá gefur andhverfuformúla Fouriers

\[f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(f)e^{in\omega x}, \qquad x\in {{\mathbb R}}\]

Ef til er \(T\)–lotubundin sérlausn \(u\) á (8.1.1), þá fæst sambandið milli Fourier–stuðla fallanna \(f\) og \(u\) úr formúlunni

\[c_n(f)=c_n(P(D)u) = P(in\omega)c_n(u).\]

Þetta segir okkur að til þess að \(T\)–lotubundin lausn sé til, þá verði \(P(in\omega)\neq 0\) að gilda, ef \(c_n(f)\neq 0\).

3.8.1.1. Setning

Látum \(P\) vera margliðu af stigi \(m\) og lítum á jöfnuna

\[P(D)u=(a_mD^m+a_{m-1}D^{m-1}+\cdots+a_1 D +a_0)u=f(x),\]

þar sem \(f\in PC^1({{\mathbb R}})\cap C({{\mathbb R}})\) er \(T\)–lotubundið fall og setjum \(\omega=2\pi/T\). Ef \(c_n(f)=0\) fyrir öll \(n\) þannig að \(P(in\omega)=0\), þá fæst \(T\)–lotubundin lausn af gerðinni

\[\begin{split}u(x)=\sum_{\substack{n=-\infty\\ P(in\omega)\neq 0}}^{+\infty} \dfrac{c_n(f)} {P(in\omega)} e^{in\omega x}, \qquad x\in {{\mathbb R}}.\end{split}\]

3.8.1.2. Sönnun

Sýna sönnun

3.8.1.3. Skilgreining

Látum \(f\in L^1([-T/2,T/2])\) vera \(T\)–lotubundið fall og setjum \(\omega=2\pi/T\). Ef \(c_n(f)=0\) fyrir öll \(n\) þannig að \(P(in\omega)= 0\), þá kallast fallið \(u\), í setningunni hér að ofan, formlega lotubundna lausnin á afleiðujöfnunni.

3.8.2. Sýnidæmi: Deyfðar sveifur með lotubundnum krafti

3.8.2.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Deyfð sveifla; framhald

3.8.2.2. Sýnidæmi

Sýna dæmi

3.8.3. Sveiflandi strengur

3.8.3.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Sveiflandi strengur; framhald

3.8.4. Sveiflandi festi

3.8.4.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Festi; framhald

3.8.5. Varmaleiðni

3.8.5.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Varmaleiðni

3.9. Æfingardæmi

3.9.1. Æfingardæmi

3.9.1.1. Dæmi

Ákvarðið Fourier-stuðla fallanna:

  1. \(f(x)=\cos^2 x\),
  2. \(f(x)=\sin x\),
  3. \(f(x)=\cos^4 x\),
  4. \(f(x)=\sin^2x\cos^2x\)
  5. \(f(x)=\cos^{20} x\).

3.9.1.2. Dæmi

Ákvarðið \(2{\pi}\)-lotubundna fallið sem hefur Fourier-stuðlana

\[\begin{split}c_n=\begin{cases} ne^{-n}, &n\geq 0,\\ 0, &n<0.\end{cases}\end{split}\]

3.9.1.3. Dæmi

Ákvarðið öll tvisvar samfelld deildanleg föll, sem eru \(2{\pi}\)-lotubundin og uppfylla

\[u{{^{\prime\prime}}}(x)=u(x+{\pi}), \qquad x\in{{\mathbb R}}.\]

3.9.1.4. Dæmi

Sýnið að:

  1. \(x\sin x=1-\frac 12\cos x-2\sum\limits_{k=2}^{\infty} \dfrac {(-1)^k}{k^2-1}\cos kx\),  \(|x|\leq{\pi}\).
  2. \(|\sin x|=\dfrac 2{\pi}\bigg(1+\big(\frac 13 -1\big)\cos 2x+ \big(\frac 15-\frac 13\big)\cos 4x +\big(\frac 17-\frac 15\big)\cos 6x +\cdots\bigg)\).

3.9.1.5. Dæmi

Látum \(u\) tákna \(2{\pi}\)-lotubundna fallið, sem gefið er með formúlunni

\[u(x)=\dfrac 12\big(e^x+e^{-x}\big)=\cosh x, \qquad |x|\leq {\pi}.\]

Liðið fallið \(u\) í Fourier-röð og notið hana til þess að reikna út summuna

\[\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac 1{k^2+1}.\]

3.9.1.6. Dæmi

Látum \(u\) tákna \(2{\pi}\)-lotubundna fallið, sem gefið er með formúlunni

\[u(x)=x^2, \qquad |x| \leq {\pi}.\]

Liðið \(u\) í Fourier-röð og setjið inn heppilegt gildi á \(x\) inn röðina til þess að sanna að

\[\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac {(-1)^{n+1}}{n^2}= 1-\dfrac 14+\dfrac 19-\dfrac 1{16}+\dfrac 1{25}-\cdots =\dfrac {{\pi}^2}{12}.\]

3.9.1.7. Dæmi

Látum \({\alpha}\) vera jákvæða rauntölu \({\alpha}\neq 1,2,3,\dots\), og lítum á \(2{\pi}\)-lotubundna fallið

\[f(x)=\cos {\alpha}x, \qquad |x|\leq {\pi}.\]

Liðið \(f\) í Fourier-röð og notið röðina til þess að sýna að

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac 1{n^2-{\alpha}^2} =\dfrac{1-{\pi}{\alpha}\cot {\pi}{\alpha}}{2{\alpha}^2}.\]

3.9.1.8. Dæmi

Liðið fallið

\[f(x)=\max\{\cos x, 0\}, \qquad x\in {{\mathbb R}},\]

í Fourier-röð og notið röðina til þess að reikna út

\[\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^k}{4k^2-1} \qquad \text{ og } \qquad \sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{4k^2-1}.\]

3.9.1.9. Dæmi

Beitið Parseval-jöfnunni á \(2{\pi}\)-lotubundna fallið, sem gefið er með formúlunni

\[f(x)=x^2, \qquad |x|\leq {\pi},\]

og notið niðurstöðuna til þess að ákvarða

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac 1{n^4}.\]

3.9.1.10. Dæmi

Liðið \(2{\pi}\)-lotubundna fallið \(f\), sem gefið er með

\[f(x)=x(x^2-{\pi}^2), \qquad |x|\leq {\pi},\]

í Fourier-röð og ákvarðið síðan

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac 1{n^6}.\]

3.9.1.11. Dæmi

Látum \({\alpha}\) vera jákvæða rauntölu, \({\alpha}\neq 1,2,3,\dots\), og \(f\) vera \(2{\pi}\)-lotubundna fallið, sem gefið er með

\[f(x)=e^{i{\alpha} x}, \qquad 0\leq x\leq 2{\pi}.\]

Ákvarðið Fourier-stuðla \(f\) og notið þá til þess að sýna fram á að

\[\sum\limits_{-{\infty}}^{+{\infty}} \dfrac{(-1)^n}{{\alpha}-n} =\dfrac {\pi}{\sin {\pi}{\alpha}} \qquad\text { og } \qquad \sum\limits_{-{\infty}}^{+{\infty}} \dfrac{1}{({\alpha}-n)^2} =\dfrac {\pi^2}{\sin^2 {\pi}{\alpha}}.\]

3.9.1.12. Dæmi

Í hægri hliðum jafnanna standa lotubundin föll. Liðið þau í Fourier-raðir og notið raðirnar til þess að finna sérlausnir með sömu lotu:

  1. \(u{{^{\prime\prime}}}+u =\cos^4 t\).
  2. \(u{{^{\prime\prime}}}-u=\sin\big(2{\pi} t\big)\).
  3. \(u{{^{\prime\prime}}}-2u{{^{\prime}}}+u=f(t)\), \(f(t)=|t|\), ef \(|t|\leq 1\) og \(f\) hefur lotu \(2\).
  4. \(u{{^{\prime\prime\prime}}}+u{{^{\prime\prime}}}-u{{^{\prime}}}-u=f(t)\), \(f(t)=2t\), ef \(0\leq t\leq \frac 12\), \(f(t)=2-2t\), ef \(\frac 12\leq t\leq 1\), \(f\) er oddstætt og \(2\)-lotubundið.

3.9.1.13. Dæmi

Fyrir hvaða gildi á \({\omega}\) hefur jafnan

\[u{{^{\prime\prime}}}+{\omega}^2u=\sin^2 t\cos ^2 t, \qquad t\in {{\mathbb R}},\]

\(2{\pi}\)-lotubundna sérlausn?

3.9.1.14. Dæmi

Liðið föllin \(f\), sem gefin eru í Fourier-sínus-röð eða Fourier-kósínus-röð, eftir því sem við á, og finnið síðan lausn á jaðargildisverkefnunum.

  1. \(u{{^{\prime\prime}}}+u =f(x)\), \(u(0)=u(1)=0\), \(f(x)=4x(1-x)\), \(0\leq x\leq 1\),
  2. \(u^{(4)}+u{{^{\prime\prime}}}+u =f(x)\), \(u(0)=u{{^{\prime\prime}}}(0)=u(1)=u{{^{\prime\prime}}}(1)=0\), \(f(x)=\sin({\pi} x)\), \(0\leq x\leq 1\),
  3. \(u{{^{\prime\prime}}}+u =f(x)\), \(u{{^{\prime}}}(0)=u{{^{\prime}}}(1)=0\), \(f(x)=1-x^2\), \(0\leq x\leq 1\),
  4. \(u^{(4)}-u{{^{\prime\prime}}}+u =f(x)\), \(u{{^{\prime}}}(0)=u{{^{\prime\prime\prime}}}(0)=u{{^{\prime}}}(1)=u{{^{\prime\prime\prime}}}(1)=0\), \(f(x)=\cos^2({\pi} x)\), \(0\leq x\leq 1.\)

3.9.1.15. Dæmi

Látum \(P\) vera fjórða stigs margliðu og \(f\in PC^1([0,L])\cap C([0,L])\) vera fall sem uppfyllir \(f(0)=f(L)=0\). Finnið skilyrði á \(P\), \(L\) og \(b_n(f)\), sem tryggja að jaðargildisverkefnið

\[P(D)u=f(x), \quad x\in ]0,L[, \qquad u(0)=u{{^{\prime\prime}}}(0)=u(L)=u{{^{\prime\prime}}}(L)=0,\]

hafi ótvírætt ákvarðaða lausn sem hægt er að setja fram með Fourier-sínus-röð.

3.9.1.16. Dæmi

Liðið fallið

\[\begin{split}\varphi(x)=\begin{cases} 2x, & 0\leq x\leq 1/2,\\ 2-2x, & 1/2\leq x\leq 1, \end{cases}\end{split}\]

í sínus–röð og notið röðina til þess að finna lausn á verkefninu

\[\begin{split}\begin{cases} {\partial}_t^2u+2{\partial}_tu-{\partial}_x^2u=0, &0<x<1,\ t>0,\\ u(x,0)=\varphi(x), \quad {\partial}_tu(x,0)=0, & 0<x<1,\\ u(0,t)=u(1,t)=0, & t>0. \end{cases}\end{split}\]

3.9.1.17. Dæmi

Leysið verkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial t} -{\kappa}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=0, &0<x<L,\\ {\partial}_xu(0,t)={\partial}_xu(L,t)=0, &t>0,\\ u(x,0)=T_0+(T_1-T_0)x/L, &0<x<L. \end{cases}\end{split}\]

með Fourier-röð. Leysið sama verkefni með upphafsskilyrðin

\[u(x,0)=T_0+(T_1-T_0)\big(1-|1-2x/L|\big).\]