2. Fyrsta stigs hlutafleiðujöfnur

2.1. Inngangur

Þessi örstutti kafli inniheldur tvær aðferðir til úrlausnar á línulegum fyrsta stigs jöfnum. Kennilínuaðferðin byggir á þeirri staðreynd að lausnir á jöfnum af gerðinni \(a(x,y){\partial}_xu+b(x,y){\partial}_yu=0\) taka fast gildi á ákveðnum ferlum, sem nefndir eru kennilínur og ákvarðast af stuðlunum \(a\) og \(b\). Við höfum séð hvernig hægt er að beita Laplace-ummyndun til þess að finna lausnir á venjulegum afleiðujöfnum og afleiðujöfnuhneppum. Hún kemur oft að góðu gangi við úrlausn á tímaháðum hlutafleiðujöfnum með upphafsskilyrðum, þar sem hægt er að taka Laplace-mynd með tilliti til tíma. Þá fæst oft fram venjuleg afleiðujafna eða hlutafleiðujafna í rúmbreytistærðunum, sem auðveldara er að leysa en upphaflegu jöfnuna.

2.2. Kennilínuaðferðin fyrir línulegar fyrsta stigs jöfnur

2.2.1. Kennilínuaðferðin fyrir línulegar fyrsta stigs jöfnur

Línuleg fyrsta stigs jafna af tveimur breytistærðum \((x,y)\) er af gerðinni

\[a(x,y)\dfrac{\partial u}{\partial x} + b(x,y)\dfrac{\partial u}{\partial y} + c(x,y) u = f(x,y).\]

Byrjum á því að skoða einfalt dæmi:

2.2.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Einfaldur massaflutningur

Það er auðvelt að finna lausn á fyrsta stigs línulegum jöfnum með fastastuðla á öllu rúminu:

2.2.1.2. Setning

Fall \(u\in C^1({{\mathbb R}}^2)\) er lausn á jöfnunni

\[a\dfrac{\partial u}{\partial x}+ b\dfrac{\partial u}{\partial y}=0,\]

þar sem \((a,b)\in {{\mathbb R}}^2\) og \((a,b)\neq (0,0)\), þá og því aðeins að \(u\) sé af gerðinni

\[u(x,y)=f(bx-ay),\]

með \(f\in C^1({{\mathbb R}})\).

2.2.1.3. Sönnun

Sýna sönnun

Lítum nú á tilfellið \(b\neq 0\) og tökum punkt \((x,y)\) í \((\xi,\eta)\)-plani. Línan gegnum punktinn \((x,y)\) með stefnuvigurinn \((a,b)\) hefur jöfnuna \(b\xi-a\eta=bx-ay\). Skurðpunktur hennar við \(\xi\)-ásinn er \((x-ay/b,0)\). Nú vitum við að gildi lausnarinnar \(u\) er það sama í öllum punktunum á þessari línu og þar með gildir:

2.2.1.4. Setning

Upphafsgildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} a\dfrac{\partial u}{\partial x}+b\dfrac{\partial u}{\partial y}=0, &(x,y)\in {{\mathbb R}}^2,\\ u(x,0)=\varphi(x), &x\in {{\mathbb R}}, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(\varphi \in C^1({{\mathbb R}})\) er gefið fall og \(b\neq 0\), hefur ótvírætt ákvarðaða lausn

\[u(x,y)=\varphi(x-ay/b).\]

2.2.1.5. Skilgreining

Lína sem hefur stefnuvigur samsíða \((a,b)\) nefnist kennilína afleiðuvirkjans \(a\partial_x+b\partial_y\).


Hugtakið kennilínu og aðferðina, sem við höfum verið að fjalla um er auðvelt að alhæfa yfir á jöfnu af gerðinni

\[a(x,y)\dfrac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\dfrac{\partial u}{\partial y}=0.\]

Í því tilfelli að \(a\) og \(b\) eru fastar og við stikum kennilínuna gegnum \((x,y)\) með \(t\mapsto (\xi(t), \eta(t))\), þar sem \(\xi(t)=x+at\) og \(\eta(t)=y+bt\), þá sjáum við að \((\xi(t),\eta(t))\) er lausn á upphafsgildisverkefninu

\[\xi{{^{\prime}}}(t)=a, \quad \eta{{^{\prime}}}(t)=b, \quad \xi(0)=x, \quad \eta(0)=y.\]

2.2.1.6. Skilgreining

Sérhver lausn \(t\mapsto (\xi(t),\eta(t))\) á afleiðujöfnuhneppinu

\[\xi{{^{\prime}}}=a(\xi,\eta), \qquad \eta{{^{\prime}}}=b(\xi,\eta),\]

nefnist kenniferill eða kennilína afleiðuvirkjans

\[a(x,y)\dfrac{\partial}{\partial x}+b(x,y)\dfrac{\partial}{\partial y}.\]

Gerum nú ráð fyrir að \(u\) sé lausn og að \(t\mapsto (\xi(t),\eta(t))\) sé kenniferill. Þá gefur keðjureglan

\[\begin{split}\begin{aligned} \dfrac d{dt} \bigg(u(\xi(t), \eta(t))\bigg) &= \dfrac{\partial u}{\partial x}(\xi(t),\eta(t))\xi{{^{\prime}}}(t) +\dfrac{\partial u}{\partial y}(\xi(t),\eta(t))\eta{{^{\prime}}}(t)\\ &=a(\xi(t),\eta(t))\dfrac{\partial u}{\partial x}(\xi(t),\eta(t)) +b(\xi(t),\eta(t))\dfrac{\partial u}{\partial y}(\xi(t),\eta(t))=0.\end{aligned}\end{split}\]

Þetta segir okkur að gildi lausnarinnar sé fast á sérhverjum kenniferli. Nú skulum við líta á upphafsgildisverkefnið

\[\begin{split}\begin{cases} a(x,y)\dfrac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\dfrac{\partial u}{\partial y}=0, &(x,y)\in {{\mathbb R}}^2,\\ u(x,0)=\varphi(x), &x\in {{\mathbb R}}. \end{cases}\end{split}\]

Við byrjum á því að taka punkt \((x,y)\) í \((\xi,\eta)\)-plani. Síðan leysum við verkefnið

\[\xi{{^{\prime}}}=a(\xi,\eta), \quad \eta{{^{\prime}}}=b(\xi,\eta), \quad \xi(0)=x, \quad \eta(0)=y.\]

Ef til er ótvírætt ákvörðuð lausn \(t\mapsto (\xi(t),\eta(t))\) á einhverju opnu bili fyrir sérhvert \((x,y)\) og ferillinn sker \(\xi\)-ásinn í nákvæmlega einum punkti \((s(x,y),0)\), þá er lausnin gefin með formúlunni

\[u(x,y)=\varphi(s(x,y)).\]

2.2.1.7. Sýnidæmi

Sýna dæmi

2.2.1.8. Sýnidæmi

Sýna dæmi

2.3. Úrlausn á fyrsta stigs jöfnum með Laplace-ummyndun

2.3.1. Úrlausn á fyrsta stigs jöfnum með Laplace-ummyndun

Laplace-ummyndunin er mikilvægt hjálpartæki við úrlausn á línulegum afleiðujöfnum og þá einkum til þess að leysa upphafsgildisverkefni. Hugsum okkur að \(u(x,t)\) sé fall af tveimur breytistærðum og látum \(U(x,s)\) vera Laplace-myndina af \(u\) með tilliti til tíma \(t\),

\[U(x,s)={{\cal L}}\{u(x,\cdot)\}(s)=\int_0^\infty e^{-st} u(x,t)\, dt.\]

Reiknireglan fyrir Laplace-mynd af afleiðum gefur okkur að

\[{{\cal L}}\{\partial_t^m u(x,\cdot)\}(s) =s^mU(x,s) -s^{m-1}u(x,0)-\cdots-s\partial_t^{m-2}u(x,0)-\partial_t^{m-1}u(x,0),\]

ef við gefum okkur að \(u\)\(m\) sinnum samfellt deildanlegt með tilliti til \(t\) fyrir fast \(x\) og að allar afleiður séu af veldisvísisgerð. Við gefur okkur einnig að það megi taka allar afleiður af \(u\) með tilliti til \(x\) fram fyrir Laplace-heildið,

\[{{\cal L}}\{\partial_x^ku(x,\cdot)\}(s) =\int_0^\infty e^{-st} \partial_x^ku(x,t)\, dt =\partial_x^k\int_0^\infty e^{-st} u(x,t)\, dt =\partial_x^kU(x,s).\]

Nú skulum við sjá hvernig þessum reglum er beitt til þess að leiða út lausnarformúlur á upphafsgildisverkefnum.

2.3.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi

2.4. Æfingardæmi

2.4.1. Æfingardæmi

2.4.1.1. Dæmi

Ákvarðið kennilínur virkjanna sem gefnir eru og kannið hvort jaðargildisverkefnin

\[\begin{split}\begin{cases} Lu =0 &(x,y)\in {{\mathbb R}}^2,\\ u(x,0)=\varphi(x), &x\in {{\mathbb R}},\end{cases} \qquad \text{og} \qquad \begin{cases} Lu =0 &(x,y)\in {{\mathbb R}}^2,\\ u(0,y)=\varphi(y), &y\in {{\mathbb R}},\end{cases}\end{split}\]

hafi ótvírætt ákvarðaða lausn fyrir sérhvert gefið fall \(\varphi\in C^1({{\mathbb R}})\).

  1. \(Lu= 2{\partial}_xu+3{\partial}_yu\),
  2. \(Lu= {\partial}_xu+y{\partial}_yu\),
  3. \(Lu= y{\partial}_xu-x{\partial}_yu\),
  4. \(Lu= y{\partial}_xu+x{\partial}_yu\).

2.4.1.2. Dæmi

Sýnið að sérhver lausn \(u\in C^1({{\mathbb R}}^2)\) á jöfnunni \(a{\partial}_xu+b{\partial}_yu+cu=0\), þar sem \(a\neq 0\), sé af gerðinni \(u(x,y)=e^{-cx/a}f(bx-ay)\), þar sem \(f\in C^1({{\mathbb R}})\).

2.4.1.3. Dæmi

Sýnið að almenn lausn hliðruðu jöfnunnar \(a{\partial}_xu+b{\partial}_yu=f(x,y)\), \((x,y)\in {{\mathbb R}}^2\) sé gefin með formúlunni

\[u(x,y)=(a^2+b^2)^{-\frac 12}\int_L f\, ds+g(bx-ay),\]

þar sem \(L\) táknar línustrikið á kennilínunni gegnum \((x,y)\) með endapunktana \((x,y)\) og skurðpunktinn við \(y\)-ásinn og \(g\) er fall af einni breytistærð.

2.4.1.4. Dæmi

Beitið Laplace-ummyndun til þess að ákvarða formúlu fyrir lausn verkefnisins

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{{\partial} u}{{\partial} t}+(x^2+1) \dfrac{\partial u}{{\partial} x}-u=0, &x>0, \ t>0,\\ u(x,0)=0, \ u(0,t)=g(t), &x>0, \ t>0, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(g\in C^1({{\mathbb R}}_+)\), \(g(0)=0\) og \(g{{^{\prime}}}(0)=0\).

2.4.1.5. Dæmi

Beitið Laplace-ummyndun til þess að ákvarða formúlu fyrir lausn verkefnisins

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}+x\dfrac{\partial u}{\partial t}=0, &x>0, \ t>0,\\ u(x,0)=0, u(0,t)=t, &x>0, \ t>0. \end{cases}\end{split}\]

2.4.1.6. Dæmi

Beitið Laplace-ummyndun til þess að ákvarða formúlu fyrir lausn verkefnisins

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x}+2x\dfrac{\partial u}{\partial t}=2x, &x>0, \ t>0,\\ u(x,0)=u(0,t)=1, &x>0, \ t>0. \end{cases}\end{split}\]

2.4.1.7. Dæmi

Beitið Laplace-ummyndun til þess að ákvarða formúlu fyrir lausn verkefnisins

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial t} -2\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0, &x\in {{\mathbb R}}, \ t>0,\\ u(x,0)=\partial_tu(x,0)=\lim_{x\to +\infty}u(x,t)=0, u(0,t)=f(t), &x>0, \ t>0, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(f\) er gefið fall á \({{\mathbb R}}_+\).

2.4.1.8. Dæmi

Beitið Laplace-ummyndun til þess að ákvarða formúlu fyrir lausn verkefnisins

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}-2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial t} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0, &0<x<1, \ t>0,\\ u(x,0)=\partial_tu(x,0)=0, &0<x<1,\\ u(0,t)=0, \ u(1,t)=f(t), &x>0, \ t>0, \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(f\) er gefið fall á \({{\mathbb R}}_+\).