1. Nokkur undirstöðuatriði um hlutafleiðujöfnur

1.1. Nokkur atriði um hlutafleiður og hlutafleiðujöfnur

Hlutafleiðujafna er jafna sem tjáir samband fallgilda og gilda á hlutafleiðum einhvers falls sem háð er fleiri en einni breytistærð. Stig jöfnunnar er hæsta stig á hlutafleiðu, sem kemur fyrir í jöfnunni. Það er til margs konar ritháttur til þess að tákna hlutafleiður og sem dæmi getum við tekið hlutafleiðu af fallinu \(u\) með tilliti til breytistærðarinnar \(x_j\). Hún getur verið skrifuð sem

\[\partial_ju, \quad \dfrac{\partial u}{\partial x_j}, \quad \partial _{x_j}u, \quad u'_{x_j} \quad \text{ eða } u_{x_j}.\]

Í þessum fyrirlestrum notum við þrjár fyrstu aðferðirnar til þess að tákna hlutafleiður, en ekki fjórðu og fimmtu aðferðina, því þær koma illa heim og saman við annan rithátt hjá okkur. Ef við veljum fyrsta ritháttinn þá getum við alltaf skrifað fyrsta stigs jöfnu af tveimur breytistærðum með jöfnu af gerðinni

\[F(x_1,x_2,u(x_1,x_2), \partial _1 u(x_1, x_2), \partial _2 u (x_1, x_2)) = 0.\]

Til þess að stytta jöfnuna er sleppt að skrifa inn punktinn \((x_1, x_2)\) þar sem fallgildin eru tekin og þannig fæst jafnan

\[F(x_1,x_2,u,\partial _1 u, \partial _2 u) = 0.\]

Annars stigs jafna af tveimur breytistærðum er af gerðinni

\[F(x_1,x_2,u, \partial _1 u, \partial _2 u, \partial _1^2u, \partial _1 \partial _2 u, \partial_2^2 u) = 0.\]

1.1.1. Fjölvísar – einföldun á rithætti

Á þessu einfalda dæmi sjáum við að hlutafleiðunum fjölgar hratt um leið og breytistærðunum fjölgar. Til þess að geta ritað flóknar hlutafleiðujöfnur með auðveldum hætti er nauðsynlegt að velja góðan rithátt. Það er best gert með því að skilgreina fyrst virkjann

\[\partial = (\partial _1, \dots , \partial _n) = \text{grad} = \nabla,\]

sem úthlutar falli \(u\) af \(n\) breytistærðum \(x=(x_1,\dots,x_n)\) stigli sínum,

\[\partial u = (\partial _1u, \partial _2u, \dots , \partial _nu) = \text{grad }u = \nabla u.\]

Vigur af gerðinni \(\alpha = (\alpha _1, \dots , \alpha _n)\) þar sem \(\alpha _j\) eru heiltölur \(\geq 0\) kallast fjölvísir eða fjölnúmer. Fyrir sérhvern fjölvísi \(\alpha\) skilgreinum við hlutafleiðuvirkjann

\[\partial ^{\alpha} = \partial _1^{\alpha _1} \dots \partial _n^{\alpha _n},\]

en hann úthlutar fallinu \(u\) hlutafleiðunni

\[\partial ^{\alpha} u = \partial _1^{\alpha _1} \partial _2^{\alpha _2} \dots \partial _n^{\alpha _n} u.\]

Til þess að átta okkur á þessum rithætti skulum við líta á fall \(u\) af þremur breytistærðum \(x = (x_1, x_2, x_3)\). Við höfum þá

\[\begin{split}\begin{aligned} \partial ^{\alpha} u &= u \, , &\qquad & \text{ef} \quad \alpha = (0,0,0) \, , \\ \partial ^{\alpha} u &= \frac{{\partial}^2 u} {{\partial}x_1^2} \, , &\qquad & \text{ef} \quad \alpha = (2,0,0) \, , \\ \partial ^{\alpha} u &= \frac{{\partial}^6 u} {{\partial}x_1 {\partial}x_2^2 {\partial}x_3^3} \, , &\qquad & \text{ef} \quad \alpha = (1,2,3) \, , \\ \partial ^{\alpha} u &= \frac{{\partial}^8 u} {{\partial}x_1^3 {\partial}x_2^2 {\partial}x_3^3} \, , &\qquad & \text{ef} \quad \alpha = (3,2,3) \, . \end{aligned}\end{split}\]

Stig hlutafleiðunnar \(\partial^\alpha u\) er \(|\alpha |= \alpha_1 + \dots + \alpha_n\).

1.1.2. Línulegar hlutafleiðujöfnur

Hlutafleiðujafna af stigi \(m\) er sögð vera línuleg ef hægt er að umrita hana yfir í jafngilda jöfnu af gerðinni

\[L u = f,\]

þar sem \(f\) er gefið fall á einhverju opnu mengi \(X\) í \({{\mathbb R}}^n\) og \(L\) er línuleg vörpun sem úthlutar fallinu \(u\) línulegri samantekt af \(u\) og hlutafleiðum \(u\) upp að stigi \(m\) með stuðlum sem eru háðir \(x\in X\). Línuleg vörpun af þessu tagi nefnist línulegur hlutafleiðuvirki og við getum skrifað hana á forminu

\[L u(x) = \sum _{|\alpha |\leq m} \, a_{\alpha} (x) \partial ^{\alpha} u(x), \qquad x\in X,\]

þar sem stuðullinn \(a_{\alpha}\) er háður fjölvísinum \({\alpha} = (\alpha _1 , \dots , \alpha _n )\) og punktinum \(x = (x_1, \dots , x_n)\). Jafnan \(L u = f\) er sögð vera óhliðruð ef \(f\) er núllfallið, en hliðruð annars.

Allar hlutafleiðujöfnur sem við fjöllum um eru línulegar. Ef stuðlarnir \(a_{\alpha}\) eru samfelld föll, sem skilgreind eru á opnu mengi \(X\) í \({{\mathbb R}}^n\), þá getum við litið á \(L\) sem vörpun \(L:C^m(X)\to C(X)\). Vörpunin \(L\) er greinilega línuleg, því

\[L(u+v)=Lu+Lv \qquad \text { og } \qquad L(cu)=cLu, \qquad u,v\in C^m(X), \quad c\in {{\mathbb C}}.\]

Við gerum alltaf ráð fyrir að föllin \(u\) geti verið tvinngild. Kjarni eða núllrúm línulegs hlutafleiðuvirkja \(L\) samanstendur af öllum lausnum \(u\in C^m(X)\), á óhliðruðu jöfnunni \(Lu=0\). Núllrúmið er línulegt rúm. Ef \(u_p\) er lausn á \(Lu=f\), þá er sérhver önnur lausn \(u\) á \(Lu=f\) af gerðinni \(u=v+u_p\), þar sem \(v\) er í núllrúminu.

Í mörgum útleiðslum á lausnarformúlum fyrir hlutafleiðujöfnur munum við notfæra okkur það sem kallað er samlagningarlögmál línulegra hlutafleiðuvirkja (e. superposition principle), en það segir að ef \(Lu_j=f_j\), þar sem \(u_j\in C^m(X)\) og \(f_j\in C(X)\), \(j=1,2,3,\dots\) og við setjum \(u=\sum_ju_j\) og \(f=\sum_jf_j\), þá er \(Lu=f\). Hér er gert ráð fyrir að það megi láta hlutafleiðuvirkjann \(L\) verka lið fyrir lið í summunni fyrir \(u\). Það er að sjálfsögðu hægt ef summan hefur endanlega marga liði. Samlagningarlögmálið er bein afleiðing af því að virkinn \(L\) er línulegur,

\[Lu=\sum_jLu_j=\sum_jf_j=f.\]

1.1.3. Kennimargliða og kennijafna

Alveg eins og fyrir venjulega afleiðuvirkja þá skilgreinum við kennimargliðu virkjans \(L\) sem

\[P (x, \xi ) = \sum _{|\alpha |\leq m} a_{\alpha} (x) \xi ^{\alpha},\]

þar sem \(\xi = (\xi_1 , \dots , \xi_n)\) og \(\xi ^{\alpha} = \xi_1^{\alpha_1} \xi_2^{\alpha_2} \dots \xi_n^{\alpha_n}\). Þetta er margliða af \(n\) breytistærðum af stigi \(\leq m\) með stuðlum sem breytast með \(x\). Hliðstætt við ritháttinn fyrir venjulega afleiðuvirkja er hlutafleiðuvirkinn einnig táknaður með

\[P(x, \partial ) = \sum _{|\alpha |\leq m} a_{\alpha} (x) \partial ^{\alpha}.\]

Lítum nú á veldisvísisfallið \(u(x)=e^{{{\langle x,\zeta\rangle}}}\), þar sem \({{\langle x,\zeta\rangle}}=x_1\zeta_1+\cdots+x_n\zeta_n\) er innfeldi \(x\in {{\mathbb R}}^n\) og \(\zeta\in {{\mathbb C}}^n\). Þá er \(\partial_{x_j}e^{{{\langle x,\zeta\rangle}}} =\zeta_je^{{{\langle x,\zeta\rangle}}}\) og um hærri afleiður gildir \(\partial^\alpha e^{{{\langle x,\zeta\rangle}}}=\zeta^\alpha e^{{{\langle x,\zeta\rangle}}}\). Eftir að hafa tekið línulegar samantektir af hlutafleiðunum, þá fáum við að

\[P(x,\partial)e^{{{\langle x,\zeta\rangle}}}=\sum\limits_{|\alpha|\leq m}a_\alpha(x)\zeta^\alpha e^{{{\langle x,\zeta\rangle}}}=P(x,\zeta)e^{{{\langle x,\zeta\rangle}}}, \qquad x\in {{\mathbb R}}^n.\]

Ef virkinn hefur fastastuðla, \(P(x,\partial)=P(\partial)\), þá sést að \(u(x)=e^{{{\langle x,\zeta\rangle}}}\) er í núllrúminu ef \(\zeta\) er núllstöð kennimargliðunnar, \(P(\zeta)=0\). Núllstöðvamengi margliðu af mörgum breytistærðum er alltaf óendanlegt og föllin \(e^{{{\langle x,\zeta\rangle}}}\), \(\zeta\in {{\mathbb C}}^n\) eru línulega óháð. Þar með sjáum við að núllrúmið er óendanlega vítt.

1.1.4. Hlutafleiðujöfnur með hliðarskilyrðum

Lausn á venjulegri línulegri afleiðujöfnu af stigi \(m\) ákvarðast ótvírætt af \(m\) skilyrðum á lausnina í einum punkti, svokölluðum upphafsskilyrðum. Einnig gátum við fengið ótvírætt ákvarðaða lausn með því að setja \(m\) skilyrði á lausnina í tveimur punktum, svokölluð jaðarskilyrði. Lausnir \(u\) á línulegum hlutafleiðujöfnum ákvarðast ekki ótvírætt af gildum \(u\) og \(\partial^\alpha u\), \(|\alpha|\leq m\) í endanlega mörgum punktum og því eru hliðarskilyrði sett á lausnina á óendanlegum mengjum, sem oftast eru jaðrar á opnum hlutmengjum í \({{\mathbb R}}^n\). Þessi skilyrði nefnast ýmist upphafsskilyrði eða jaðarskilyrði og eru krafa um að lausnin og ákveðnar afleiður hennar taki fyrirfram gefin gildi á ákveðnum mengjum.

Þegar fjallað er um almenna eiginleika lausna á hlutafleiðujöfnum, er einfaldast að nota þann rithátt sem við höfum verið að lýsa. Flestar af þeim jöfnum, sem við munum fjalla um eru upprunnar í eðlisfræði og lausnirnar lýsa þá ástandi eðlisfræðilegra kerfa. Í eðlisfræði ráða fastar venjur um tákn á breytistærðum. Það er hyggilegt að fylgja þeim venjum og tákna breyturnar með \(x,y,z,t,\dots\), í stað \(x_1,x_2,x_3,\dots\). Þannig er \(t\) notað til þess að tákna tíma og \((x,y,z)\) notað til að tákna staðarvigur í rétthyrndum hnitum. Pólhnit í plani eru táknuð með \((r,\theta)\). Kúluhnit í þrívíðu rúmi eru táknuð með \((r,\theta,\phi)\).

1.2. Hlutafleiðujöfnur í eðlisfræði

Hlutafleiðujöfnur koma fyrir í ótal tilbrigðum í eðlisfræði. Lausnir þeirra lýsa ástandi eðlisfræðilegra kerfa eða eru nálganir á ástandsstærðum. Við munum nú taka nokkur dæmi um slíkar hlutafleiðujöfnur. Við nefnum helstu eðlisfræðilögmál, sem til grundvallar liggja, en förum ekki út í ítarlegar útskýringar á þeim. Til þess að kafa dýpra í lögmálin, þarf lesandinn að taka fram bækur um efnið, sem lesnar eru í eðlis- og verkfræðinámskeiðum. Hér einbeitum við okkur að stærðfræðilega hluta útleiðslanna í þeim tilgangi að sýna hversu fjölbreytileg þessi fræði eru.

1.2.1. Hitastig í föstu efni – varmaleiðnijafna

1.2.1.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Hitastig;varmaleiðnijafna

1.2.2. Samhverfa – varmaleiðnijafna í einni og tveimur rúmvíddum

1.2.2.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Einfaldanir á varmaleiðnijöfnu

1.2.3. Varmajafnvægi – Laplace-jafna og Poisson-jafna

1.2.3.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Varmajafnvægi

1.2.4. Sveiflandi strengur – bylgjujafna í einni rúmvídd

1.2.4.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Strengur;bylgjujafna

1.2.5. Tromma – bylgjujafna í tveimur rúmvíddum

1.2.5.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Tromma; tvívíða bylgjujafnan

1.2.6. Sveiflur í bitum – bitajafna

1.2.6.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Sveiflur í bitum

1.2.7. Sveiflur í plötum

1.2.7.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Sveiflur í plötum

1.2.8. Rafsegulfræði – Maxwell-jöfnur

1.2.8.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Maxwell-jöfnurnar

1.2.9. Rafstöðufræði – Laplace-jafna og Poisson-jafna

1.2.9.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Rafstöðufræði; Laplace-jafna og

1.2.10. Rafsegulbylgjur – bylgjujafna í þremur rúmvíddum

1.2.10.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Rafsegulbylgjur; þrívíða

1.2.11. Skammtafræði –Schrödinger-jafna

1.2.11.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Schrödinger-jafna

1.3. Hliðarskilyrði og vel framsett verkefni

Í síðustu grein sáum við nokkur dæmi um línulegar hlutafleiðujöfnur, sem lýsa ástandi eðlisfræðilegra kerfa. Þær eru flestar háðar einni, tveimur eða þremur rúmbreytistærðum og tíma. Lausnin ákvarðast ekki ótvírætt af jöfnunni einni saman, en ef sett eru eðlileg hliðarskilyrði á lausnina, þá fæst ótvírætt ákvörðuð lausn.

1.3.1. Upphafsskilyrði

Hugsum okkur að \(u\) sé fall á menginu

\[\overline X\times \overline I=\{(x,t); x=(x_1,\dots,x_n)\in \overline X, t\in\overline I \},\]

þar sem \(X\) er opið mengi í \({{\mathbb R}}^n\), \(I\) er opið bil í \({{\mathbb R}}\) og \(\overline X\) og \(\overline I\) tákna lokanir þeirra og að \(u\) uppfylli einhverja hlutafleiðujöfnu á \(X\times I\). Ef lausnin er tímaháð, þá er eðlilegt að setja upphafsskilyrði á hana með því að tilgreina gildi hennar og einhverra tímaafleiða hennar \({\partial}_tu, {\partial}_t^2u,\dots\), fyrir eitthvert ákveðið gildi \(t_0\) á tímanum \(t\),

\[u(x,t_0)={\varphi}_0(x), \qquad {\partial}_tu(x,t_0)={\varphi}_1(x), \qquad\dots, \qquad x\in X.\]

Ef \(m\) er hæsta stig á afleiðu, sem fyrir kemur í jöfnunni, þá dugir oft að tilgreina gildi á \(u\) og tímaafleiðum \({\partial}_t^ku\) af stigi \(k\leq m-1\).

1.3.2. Jaðarskilyrði

Jaðarskilyrði eru sett á lausnina með því að tilgreina gildi \(u\) og einhverra hlutafleiða af \(u\) í punktum \((x,t)\), þar sem \(x\) er á jaðrinum \({\partial}X\) og \(t\) er í \(I\). Skilyrði af gerðinni

\[u(x,t)=h(x,t), \qquad x\in \partial X, \quad t\in I,\]

þar sem \(h\) er gefið fall á \({\partial} X\times I\), nefnist fallsjaðarskilyrði. Skilyrði af gerðinni

\[\dfrac{\partial u}{\partial n}(x,t)=h(x,t), \qquad x\in \partial X, \quad t\in I,\]

nefnist flæðisskilyrði og skilyrði af gerðinni

\[a(x,t)\dfrac{\partial u}{\partial n}(x,t) +b(x,t)u(x,t)=h(x,t), \qquad x\in \partial X, \quad t\in I,\]

nefnist blandað jaðarskilyrði. Nokkrar tegundir af skilyrðum, sem sett eru á lausnir hlutafleiðujafna, bera nöfn sem vert er að leggja á minnið:

(i) Cauchy-skilyrði: Lausnin \(u\) og einhverjar tímaafleiður hennar \(\partial_tu\), \(\partial_t^2u\), …, eru tilgreindar á einhverjum tíma \(t=t_0\). Samheiti er upphafsskilyrði.

(ii) Dirichlet-skilyrði: Lausnin \(u\) er tilgreind á jaðri svæðis. Samheiti er fallsjaðarskilyrði.

(iii) Neumann-skilyrði: Þverafleiðan \(\partial u/\partial n\) er tilgreind á jaðri svæðis. Samheiti er flæðisskilyrði.

(iv) Robin-skilyrði: Línuleg samantekt af þverafleiðu og falli, \(\partial u/\partial n+au\), er tilgreind á jaðri svæðis. Samheiti er blandað jaðarskilyrði.

Oft er jaðri svæðis skipt í parta og ólík skilyrði sett á lausnina á hinum ýmsu pörtum. Til dæmis getur verið eðlilegt að hugsa sér að á hluta jaðarsins sé sett fallsjaðarskilyrði en annars staðar flæðisskilyrði. Jaðarskilyrðið verður þá

\[\begin{split}\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial n}(x,t)=g(x,t), &x\in A, \ t\in I,\\ u(x,t)=h(x,t), &x\in B, \ t\in I,\end{cases}\end{split}\]

þar sem \(\partial X=A\cup B\) er skipting á jaðrinum í tvö sundurlæg mengi.

1.3.3. Upphafs- og jaðarskilyrði fyrir streng og himnu

1.3.3.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Strengur og himna

1.3.4. Upphafs- og jaðargildisverkefni

1.3.4.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Varmaleiðni

1.3.5. Vel framsett verkefni

Úrlausn á hlutafleiðujöfnu með hliðarskilyrðum nefnist vel framsett verkefni, ef eftirfarandi þrjú skilyrði eru uppfyllt:

(i) Tilvist: Til er lausn sem uppfyllir jöfnuna og öll hliðarskilyrðin.

(ii) Ótvíræðni: Aðeins ein lausn er til.

(iii) Stöðugleiki: Lausnin er stöðug í þeim skilningi að lítilsháttar frávik frá hliðarskilyrðum kemur fram í lítilsháttar fráviki frá lausninni. Í hverju verkefni um sig þarf að skigreina hvaða mælikvarði er lagður á frávik í hliðarskilyrðum og í lausn.

Þegar verið er að sýna fram á að ákveðið verkefni sé vel framsett, þá er venjulega byrjað á að ganga út frá því að til sé lausn og síðan er formúla fyrir lausnina leidd út. Þá þarf að staðfesta að sérhvert fall sem skilgreint er með lausnarformúlunni uppfylli bæði hlutafleiðujöfnuna og öll hliðarskilyrðin. Þá er tilvistin sönnuð.

Í næsta skrefi er gengið út frá því að verkefnið hafi tvær lausnir \(u_1\) og \(u_2\) og síðan er sýnt fram á að í raun sé \(u_1=u_2\). Sannanir af þessu tagi eru mjög fjölbreytilegar. Til grundvallar eru stundum lögð varðveislulögmál, en þau geta til dæmis sagt að ákveðin orkuheildi séu minnkandi sem föll af tíma eða breytist ekki með tíma. Einnig getur verið að lausnir uppfylli há- og lággildislögmál. Með þessu er ótvíræðnin sönnuð.

Í síðasta skrefinu þarf fyrst að ákveða einhvern mælikvarða á frávik. Þá eru oft skilgreindir staðlar (norm) á línulegu fallarúmin þar sem hliðarskilyrðin og lausnirnar eru skilgreindar. Sem dæmi um slíka staðla getum við tekið

\[\|u\|_{\infty,X}=\max\limits_{x\in X} |u(x)|, \qquad \|u\|_{1,X}=\int_X|u(x)|\, dx, \qquad \|u\|_{2,X}=\bigg(\int_X|u(x)|^2\, dx\bigg)^\frac 12.\]

Frávik \(u_1\) frá \(u_2\), eða öllu heldur fjarlægðin milli \(u_1\) og \(u_2\), er þá \(\|u_1-u_2\|\). Til þess að útskýra þetta nánar skulum við líta á:

1.3.6. Stöðugleiki Dirichlet-verkefnisins

1.3.6.1. Sýnidæmi

Sýna dæmi: Dirichlet-verkefnið fyrir Laplace-jöfnuna

1.4. Flokkun á annars stigs jöfnum

1.4.1. Flokkun á annars stigs jöfnum

Eins og við höfum séð, þá eru annars stigs hlutafleiðujöfnur með fastastuðla mjög mikilvægar í eðlisfræði. Í tveimur breytistærðum er línuleg óhliðruð annars stigs jafna með fastastuðla af gerðinni

\[a_{11}\partial^2_{x_1}u +2a_{12}\partial^2_{x_1x_2}u +a_{22}\partial^2_{x_2}u+a_1\partial_{x_1}u+a_2\partial_{x_2}u+a_0u=0.\]

1.4.1.1. Skilgreining

Hlutafleiðuvirkinn og hlutafleiðujafnan eru sögð vera sporger eða elliptísk ef \(a_{12}^2<a_{11}a_{22}\), þau eru sögð vera breiðger eða hýperbólsk ef \(a_{12}^2>a_{11}a_{22}\), og þau eru sögð vera fleygger eða parabólsk ef \(a_{12}^2=a_{11}a_{22}\).


Þessar nafngiftir tengjast keilusniðunum í tveimur breytistærðum. Við lítum þannig á ferningsjöfnuna

\[a_{11}{\xi}_1^2+2a_{12}{\xi}_1{\xi}_2+a_{22}{\xi}_2^2=1.\]

Hún skilgreinir sporbaug ef \(a_{12}^2<a_{11}a_{22}\), breiðboga ef \(a_{12}^2>a_{11}a_{22}\) og fleygboga ef \(a_{12}^2=a_{11}a_{22}\). Athugið að með þessum rithætti er Laplace-jafnan \(\partial^2_{x_1}u+\partial^2_{x_2}u=0\) sporger, bylgjujafnan \(\partial^2_{x_1}u-\partial^2_{x_2}u=0\), (\(c=1\)), breiðger og varmaleiðnijafnan \(\partial^2_{x_1}u-\partial_{x_2}u=0\), (\(\kappa=1\)), er fleygger. Þegar fram í sækir munum við sjá að eiginleikar lausna þessara þriggja jafna eru mjög ólíkir. Hins vegar eru eiginleikar hverrar um sig einkennandi fyrir flokkinn sem hún tilheyrir. Það liggur í þeirri staðreynd að hægt er að framkvæma línuleg hnitaskipti \(y=Bx\), \(v(y)=u(B^{-1}y)=u(x)\), þannig að sporger jafna jafngildi

\[\partial^2_{y_1}v+\partial^2_{y_2}v +\alpha_1\partial_{y_1}v+\alpha_2\partial_{y_2}v+\alpha_0v=0,\]

breiðger jafna jafngildi

\[\partial^2_{y_1}v-\partial^2_{y_2}v +\alpha_1\partial_{y_1}v+\alpha_2\partial_{y_2}v+\alpha_0v=0,\]

og fleygger jafna jafngildi

\[\partial^2_{y_1}v +\alpha_1\partial_{y_1}v+\alpha_2\partial_{y_2}v+\alpha_0v=0.\]

Þetta má alhæfa yfir á annars stigs línulegar jöfnur með fastastuðla í \(n\) breytistærðum \(x=(x_1,\dots,x_n)\),

\[\sum_{j,k=1}^n a_{jk} \partial_{x_j}{\partial}_{x_k}u +\sum_{j=1}^n a_j\partial_{x_j}u+a_0u=0.\]

Hér táknum við stuðlafylkið við annars stigs liðina með \(A=\big(a_{jk}\big)_{j,k=1}^n\). Ef við innleiðum nú línuleg hnitaskipti \(y=Bx\), \(y_l=\sum_{j=1}^nb_{lj}x_j\), þar sem \(B=\big(b_{jk}\big)_{j,k=1}^n\) er \(n\times n\) fylki og setjum \(v(y)=u(B^{-1}y)=u(x)\), þá gefur keðjureglan okkur

\[\dfrac{\partial u}{\partial x_j} =\sum_{l=1}^n\dfrac{\partial v}{\partial y_l} \dfrac{\partial y_l}{\partial x_j} =\sum_{l=1}^nb_{lj}\dfrac{\partial v}{\partial y_l}.\]

Af þessari formúlu leiðir síðan að

\[\sum\limits_{j,k=1}^n a_{jk}\partial_{x_j}{\partial}_{x_k}u =\sum\limits_{l,m=1}^n \bigg(\sum\limits_{j,k=1}^n b_{lj}a_{jk}b_{mk}\bigg) \partial_{y_l}{\partial}_{y_m}v,\]

þar sem vinstri hliðin er fall af \(x\) en hægri hliðin er fall af \(y\). Nú segir rófsetningin úr línulegri algebru okkur að koma megi sérhverju samhverfu fylki yfir á hornalínuform, \(A=T\Lambda T^t\), þar sem \(T\) er hornrétt fylki, en það þýðir að \(TT^t=I\), og \(\Lambda={{\operatorname{diag}}}\big(\lambda_1,\dots,\lambda_n\big)\) er hornalínufylki, þar sem eigingildin talin með margfeldni standa á hornalínunni. Ef öll eigingildin eru jákvæð og við skilgreinum \(B\) sem

\[B=\Lambda^{-\frac 12}T^t ={{\operatorname{diag}}}\big(1/\sqrt{\lambda_1},\dots,1/\sqrt{\lambda_n}\big)T^t,\]

þá er greinilegt að \(B AB^t=I\), þar sem \(I\) táknar \(n\times n\) einingarfylkið. Athugið að \(\sum_{j,k=1}^n b_{lj}a_{jk}b_{mk}\) er stak í sæti \((l,m)\) í fylkinu \(B AB^t\) og þar með fæst með þessu vali á \(B\)

\[\sum\limits_{j,k=1}^n a_{jk}\partial_{x_j}{\partial}_{x_k}u =\sum_{l=1}^n \partial^2_{y_l}v=\Delta v.\]

Ef öll eigingildin eru neikvæð, þá getum við margfaldað í gegnum jöfnuna með \(-1\) og litið á \(-A\) í stað \(A\).

Lítum nú á sértilfellið \(n=2\) aftur. Kennijafna fylkisins \(A\) er

\[\begin{split}\left |\begin{matrix} \lambda-a_{11} & -a_{12}\\ -a_{12} & \lambda -a_{22} \end{matrix}\right| = \lambda^2-(a_{11}+a_{22})\lambda+a_{11}a_{22}-a_{12}^2=0,\end{split}\]

og \(\lambda_1\lambda_2=a_{11}a_{22}-a_{12}^2\). Virkinn er því sporger þá og því aðeins að bæði eigingildin hafi sama formerki, hann er breiðger þá og því aðeins að eigingildin hafi ólík formerki og hann er fleygger þá og því aðeins að annað eigingildið sé \(0\). Við getum nú alhæft hugtökin sporger, breiðger og fleygger yfir á \(n\) breytistærðir.

1.4.1.2. Skilgreining

Hlutafleiðuvirkinn og hlutafleiðujafnan

\[\sum_{j,k=1}^n a_{jk} \partial_{x_j}{\partial}_{x_k}u +\sum_{j=1}^n a_j\partial_{x_j}u+a_0u=0.\]

eru sögð vera sporger ef öll eigingildi stuðlafylkisins \(A\) eru jákvæð eða ef þau eru öll neikvæð. Þau eru sögð vera breiðger ef öll eigingildin eru frábrugðin \(0\) og eitt þeirra hefur öfugt formerki við hin \(n-1\). Þau eru sögð vera fleygger ef nákvæmlega eitt eigingildi er \(0\) og öll hin hafa sama formerki.


Við höfum séð að sporger jafna ummyndast með hnitaskiptunum \(y=Bx\) og \(v({y})=u(x)\) í

\[\Delta v+\sum\limits_{j=1}^n \alpha_j\partial_{y_j}v+\alpha_0v=0.\]

Ef við lítum á breiðgera jöfnu og númerum eigingildin þannig að \(\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1}>0\) og \(\lambda_n<0\), þá fæst með sama hætti og hér að framan að hún varpast í

\[\partial^2_{y_1}v+\cdots+\partial^2_{y_{n-1}}v-\partial^2_{y_n}v +\sum\limits_{j=1}^n \alpha_j\partial_{y_j}v+\alpha_0v=0.\]

Að lokum, ef við lítum á fleyggera jöfnu með \(\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1}>0\) og \(\lambda_n=0\), þá sést með sama hætti og hér að framan að hún varpast yfir í

\[\partial^2_{y_1}v+\cdots+\partial^2_{y_{n-1}}v +\sum\limits_{j=1}^n \alpha_j\partial_{y_j}v+\alpha_0v=0.\]

Af þessu sést að hægt er að alhæfa ýmsa eiginleika lausna á Laplace-jöfnunni yfir á lausnir á sporgerum jöfnum, eiginleika lausna á bylgjujöfnunni yfir á lausnir á breiðgerum jöfnum og eiginleika lausna varmaleiðnijöfnunnar yfir á lausnir á fleyggerum jöfnum. Það er því eðlilegt að leggja höfuðáherslu á þessar þrjár tilteknu jöfnur og tilsvarandi virkja.

Við munum fjalla um fjölbreytileg verkefni um hlutafleiðujöfnur. Þau eru nánast öll vel framsett og við munum einbeita okkur að því að sýna fram á tilvist á lausnum með því að leiða út lausnarformúlur fyrir verkefnin. Við leggjum hins vegar litla áherslu á að sýna fram á að verkefnin hafi ótvírætt ákvarðaða lausn og að lausnin sé stöðug. Fourier-greiningin er helsta hjálpartæki okkar við úrlausn á verkefnunum. Við byrjum á því að líta á verkefni þar sem lausnin er skilgreind á takmörkuðu bili í einni rúmvídd og rétthyrningum í tveimur rúmvíddum. Þá er hægt að beita Fourier-röðum og eiginfallaröðum til þess að setja lausnirnar fram. Ef lausnin er skilgreind á hálfás með tilliti til tíma, þá er oft hægt að nota Laplace-ummyndun til þess að leiða út lausnarformúlur. Ef lausnin er skilgreind á öllu rúminu, þá er oft hægt að finna lausn með því að beita Fourier-ummyndun. Við útskýrum lausnaraðferðirnar að verulegu leyti í reiknuðum sýnidæmum og þau eru flest upprunin úr eðlisfræði.

1.5. Æfingardæmi

1.5.1. Æfingardæmi

1.5.1.1. Dæmi

Símajafnan: Hugsum okkur að \(i(x,t)\) og \(u(x,t)\) tákni straum og spennu í rafstreng, til dæmis símalínu, þar sem \(x\) táknar fjarlægð frá einhverjum viðmiðunarpunkti á strengnum og \(t\) táknar tíma. Út frá Maxwell-jöfnunum er leitt sambandið

\[L{\partial}_ti+Ri+{\partial}_xu=0, \qquad {\partial}_xi+C{\partial}_tu+Gu=0,\]

þar sem \(C\) táknar rýmd strengsins á lengdareiningu, \(G\) táknar lekaleiðni á lengdareiningu, \(R\) táknar viðnám á lengdareiningu og \(L\) táknar sjálfspan á lengdareiningu. Sýnið að bæði \(u\) og \(i\) uppfylli símajöfnuna

\[LC{\partial}_t^2v-{\partial}_x^2v+(RC+LG){\partial}_tv+RGv=0.\]

1.5.1.2. Dæmi

Skrifið upp Laplace-virkjann í pólhnitum \((x,y)=(r\cos {\theta},r\sin {\theta})\) og ákvarðið síðan allar lausnir Laplace jöfnunnar \(\Delta u=0\) af gerðinni \(u(x,y)=f(r)\) og allar lausnir af gerðinni \(u(x,y)=g({\theta})\). (Sjá viðauka D.)

1.5.1.3. Dæmi

Skrifið upp Laplace-virkjann í kúluhnitum \((r,{\theta},\phi)\), þar sem \(r\) táknar lengd, \({\theta}\) pólhorn og \(\phi\) áttarhorn. Ákvarðið síðan allar lausnir Laplace-jöfnunnar \(\Delta u=0\) af gerðinni \(u(x,y,z)=f(r)\) og allar lausnir af gerðinni \(u(x,y,z)=g(\phi)\). (Sjá viðauka D.)

1.5.1.4. Dæmi

Notið pólhnitaframsetningu á Laplace-virkjanum í tveimur víddum til þess að ákvarða allar lausnir tvíþýðu jöfnunnar \(\Delta^2u=0\) af gerðinni \(u(x,y)=f(r)\). Leysið sams konar verkefni í þremur víddum.

1.5.1.5. Dæmi

Æstæða bitajafnan: Ef við gerum ráð fyrir því að ytri krafturinn í bitajöfnunni sé tímaóháður og að bitinn sé í kyrrstöðu við þetta álag, þá fáum við æstæðu bitajöfnuna \(EIv^{(4)}(x)=F(x)\).

(i) Ef gert er ráð fyrir því að bæði færslan og beygjuvægið í endapunktunum sé núll, þá fást jaðarskilyrðin

\[v(0)=v(L)=v{{^{\prime\prime}}}(0)=v{{^{\prime\prime}}}(L)=0,\]

en þetta tilfelli er nefnt einfaldlega undirstuddur biti. Ákvarðið Green-fallið fyrir jaðargildisverkefnið sem hér fæst og skrifið færsluna \(v\) sem

\[v(x)=\int_0^L G_B(x,{\xi})F({\xi})\, d{\xi}, \qquad 0\leq x\leq L.\]

(ii) Ef gert er ráð fyrir því að færslan sé núll í öðrum endapunktinum og að bitinn sé láréttur þar, þá er sagt að bitinn sé innspenntur í þeim punkti. Ef punkturinn er \(x=0\), þá fæst þar jaðarskilyrðið \(v(0)=v{{^{\prime}}}(0)\). Ef ekki eru settar neinar skorður á færslu og halla bitans í endapunkti, þá er hann sagður vera frjáls í þeim punkti. Þá gildir sjálfkrafa að beygjuvægið og skerkrafturinn þar eru núll. Ef punkturinn er \(x=L\), þá fáum við jaðarskilyrðið \(v{{^{\prime\prime}}}(L)=v{{^{\prime\prime\prime}}}(L)=0\). Ákvarðið lausnina fyrir jaðargildisverkefnið sem hér fæst með sama hætti og í (i).

1.5.1.6. Dæmi

Varmajafnvægi: Látum \(T\) tákna hitastig í rúmskika \(X\) og gerum ráð fyrir að \(T\) sé lausn á æstæðu varmaleiðnijöfnunni \(-{\lambda}\Delta T=F\) á \(X\) með flæðisskilyrðinu \(-{\lambda}{\partial}T/{\partial}n=g\) á jaðrinum \({\partial}X\). Sýnið að þá gildi

\[\iiint\limits_X F\, dV=\iint\limits_{{\partial} X} g\, dA,\]

þar sem \(dV\) er rúmmálsfrymi í \({{\mathbb R}}^3\) og \(dA\) er flatarmálsfrymið á jaðrinum \({\partial}X\). Hver er eðlisfræðileg merking þessarar jöfnu.

1.5.1.7. Dæmi

Kannið hvort eftirfarandi virkjar eru sporgerir, breiðgerir eða fleyggerir og innleiðið hnitaskipti þannig að þeir verði að Laplace-virkja, bylgjuvirkja eða varmaleiðnivirkja að viðbættum fyrsta stigs liðum,

\[{\partial}_{x_1}{\partial}_{x_2}, \qquad {\partial}_{x_1}^2-2{\partial}_{x_1}{\partial}_{x_2}+{\partial}_{x_1}^2, \qquad {\partial}_{x_1}^2+{\partial}_{x_1}{\partial}_{x_2}+{\partial}_{x_1}^2.\]