4. Leifareikningur

Big flashy things have my name written all over them. Well… not yet, give me time and a crayon.

- The Doctor, Doctor Who

4.1. Laurent-raðir og sérstöðupunktar

4.1.1. Skilgreining (Sjá §4.1)

Mengi af gerðinni

$$A(\alpha,\varrho_1,\varrho_2)=\{z\in {\mathbb{C}}\mid \varrho_1<|z-\alpha|<\varrho_2\}$$

þar sem $0\leq\varrho_1<\varrho_2\leq +\infty$ kallast opinn hringkragi með miðju í $\alpha$, innri geisla $\varrho_1$, og ytri geisla $\varrho_2$.

4.1.2. Setning (Sjá Setningu 4.1.1) (Laurent)

Látum $X$ vera opið hlutmengi af ${\mathbb{C}}$ og gerum ráð fyrir að $A(\alpha,\varrho_1,\varrho_2)\subset X$. Ef $f\in {\cal O}(X)$, þá er unnt að skrifa $f$ sem

$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n, \qquad z\in A(\alpha,\varrho_1,\varrho_2),$$

stuðlar raðarinnar $a_n$ eru gefnir með formúlunni

$$a_n=\dfrac 1{2\pi i}\int_{\partial S(\alpha,r)} \dfrac{f(\zeta)} {(\zeta-\alpha)^{n+1}} \, d\zeta,$$

og $r$ getur verið hvaða tala sem er á bilinu $]\varrho_1,\varrho_2[$. Röðin

$$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n$$

er samleitin ef $|z-\alpha|<\varrho_2$ og röðin

$$\sum_{n=-\infty}^{-1}a_n(z-\alpha)^ n$$

er samleitin ef $|z-\alpha|>\varrho_1$. Báðar raðir eru samleitnar á opna hringkraganum $A(\alpha,\varrho_1, \varrho_2)$.

4.1.3. Skilgreining (Sjá Skilgreiningu 4.1.2)

Röð af gerðinni

$$\sum_{-\infty}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n$$

kallast Laurent-röð. Innri samleitnigeisli raðarinnar $\varrho_1$ er skilgreindur sem neðra mark yfir $\varrho=|z-\alpha|$ þannig að

$$\sum_{-\infty}^{-1} a_n(z-{\alpha})^ n$$

er samleitin, ytri samleitnigeisli raðarinnar $\varrho_2$ er skilgreindur sem efra mark yfir öll $\varrho=|z-\alpha|$ þannig að

$$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-{\alpha})^ n$$

er samleitin. Ef $\varrho_1<\varrho_2$ þá segjum við að Laurent-röðin sé samleitin.

4.1.4. Skilgreining (Sjá §4.2)

Gefin er Laurent-röð

$$\sum_{-\infty}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n$$

fyrir fágað fall $f$. Stuðullinn $a_{-1}$ kallast leif Laurent-raðarinnar eða leif $f$ í $\alpha$ og er táknaður $\operatorname{Res}(f,\alpha)$ og röðin

$$\sum_{n=-\infty}^{-1}a_n(z-{\alpha})^ n$$

kallast höfuðhluti Laurent-raðarinnar eða höfuðhluti fallsins $f$ í punktinum $\alpha$.

4.1.5. Skilgreining (Sjá §4.2)

Punktur $\alpha$ í mengi $A$ kallast einangraður punktur í $A$ ef til er opin hringskífa með miðju í $\alpha$ sem inniheldur engan punkt úr $A$ nema $\alpha$.

Látum $f\in{\cal O}(X)$. Ef $\alpha\in\mathbb{C}\setminus X$ er einangraður punktur í $A=\mathbb{C}\setminus X$ þá nefnist $\alpha$ einangraður sérstöðupunktur $f$.

4.1.6. Skilgreining (Sjá §4.2)

Látum $\alpha$ vera einangraðan sérstöðupunkt fyrir fágað fall $f$. Ritum Laurent-röð $f$ í $\alpha$ sem

$$\sum_{-\infty}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n.$$

1. $\alpha$ er sagður afmáanlegur sérstöðupunktur ef höfuðhluti Laurent-raðarinnar er $0$, þ.e.a.s. $a_n=0$ fyrir öll $n\leq -1$.

2. $\alpha$ er sagt vera skaut ef höfuðhluti Laurent-raðarinnar er endanlegur en ekki 0. Skautið er sagt hafa stig $m$ ef $a_{-m}\neq 0$ en $a_n=0$ fyrir öll $n<-m$.

3. $\alpha$ er sagt vera verulegur sérstöðupunktur ef höfuðhluti Laurent-raðarinnar er óendanlegur.

4.1.7. Setning (Sjá §4.2 og Setningu 4.2.1)

Einangraður sérstöðupunktur ${\alpha}$ fágaða fallsins $f$ sem skilgreint er á opnu mengi $X$ er afmáanlegur ef og aðeins ef til er $r>0$ og $g\in {\cal O}(S({\alpha},r))$ þannig að $S^*({\alpha},r)\subset X$ og $f(z)=g(z)$ fyrir öll $z\in S^*({\alpha},r)$.

4.1.8. Setning Riemanns.

Ef $\alpha$ er einangraður sérstöðupunktur fágaða fallsins $f$, og $\lim_{z\to \alpha}(z-\alpha)f(z)= 0$, þá er $\alpha$ afmáanlegur sérstöðupunktur.

4.1.9. Setning (Sjá §4.2)

Látum $f$ vera fágað fall á opnu mengi $X$ og $\alpha$ vera einangraðan sérstöðupunkt fallsins $f$. Sérstöðupunkturinn $\alpha$ er skaut af stigi $m>0$, ef og aðeins ef til er fágað fall $g\in {\cal O}(U)$, þar sem $U$ er grennd um $\alpha$, þannig að $g(\alpha)\neq 0$ og

$$f(z)=\dfrac{g(z)}{(z-\alpha)^ m}, \qquad z\in U\setminus\{\alpha\}.$$

4.1.10. Setning

Fall $f$ hefur skaut í $\alpha$ ef og aðeins ef $|f(z)|\to +\infty$ þegar $z\to \alpha$.

4.1.11. Setning (Stóra Picard-setningin.)

Ef $\alpha$ er verulegur sérstöðupunktur fágaðs falls $f$ þá gildir að fyrir sérhvert $\delta>0$ að mengið

$$f(S^*(\alpha, \delta))=\{f(z)\mid z\in S^*(\alpha, \delta)\}$$

er annaðhvort allt ${\mathbb{C}}$ eða til jafnt og ${\mathbb{C}}\setminus\{z_0\}$ þar sem $z_0$ er einhver föst tvinntala.

4.1.12. Setning (Sjá §4.4, jöfnur 4.4.3 og 4.4.4)

Látum $f$ vera fágað fall og $\alpha$ skaut $f$.

1. Ef skautið er einfalt (af stigi 1) þá er

$$\operatorname{Res}(f,\alpha)=\lim_{z\to \alpha}(z-\alpha)f(z).$$

2. Ef skautið er af stigi $m$ og við ritum $f(z)=g(z)/(z-\alpha)^m$ þannig að $g(\alpha)\neq 0$ þá er

$$\operatorname{Res}(f,\alpha)=\dfrac{g^{(m-1)}(\alpha)}{(m-1)!}.$$

4.2. Leifasetningin

4.2.1. Leifasetningin (Sjá Setningu 4.3.1)

Látum $X$ vera opið hlutmengi í ${\mathbb{C}}$ og látum $\Omega$ vera opið hlutmengi af $X$ sem uppfyllir sömu forsendur og í Cauchy-setningunni. Látum $A$ vera dreift hlutmengi af $X$ sem sker ekki jaðarinn $\partial\Omega$ á $\Omega$. Ef $f\in {\cal O}(X\setminus A)$, þá er

$$\int_{\partial\Omega}f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{\alpha\in \Omega\cap A} \operatorname{Res}(f,\alpha).$$

(Sjá §4.4, jöfnur 4.4.3 og 4.4.4) Látum $f$ vera fágað fall og $\alpha$ skaut $f$.

1. Ef skautið er einfalt (af stigi 1) þá er

$$\operatorname{Res}(f,\alpha)=\lim_{z\to \alpha}(z-\alpha)f(z).$$

2. Ef skautið er af stigi $m$ og við ritum $f(z)=g(z)/(z-\alpha)^m$ fyrir $z$ í gataðri grennd um $\alpha$ þannig að $g(\alpha)\neq 0$ þá er

$$\operatorname{Res}(f,\alpha)=\dfrac{g^{(m-1)}(\alpha)}{(m-1)!}.$$

4.2.2. Setning (Sjá §4.4, jöfnur 4.4.6 og 4.4.7)

Gerum ráð fyrir að $f(z)=g(z)/h(z)$ í grennd við punkt $\alpha$ þar sem $g(\alpha)\neq 0$ og $\alpha$ er $m$-föld núllstöð fallsins $h$ og $h(z)=(z-\alpha)^mh_1(z)$ þar sem $h_1(\alpha)\neq 0$. Þá er $f$ með skaut af stigi $m$ í $\alpha$.

Ef $m=1$ þá er

$$\operatorname{Res}(f,\alpha)=\frac{g(\alpha)}{h'(\alpha)}.$$

Ef $m>1$ þá er

$$\operatorname{Res}(f,\alpha)=\dfrac 1{(m-1)!}\cdot \left.\dfrac {d^{m-1}}{dz^{m-1}}\bigg(\dfrac {g(z)}{h_1(z)}\bigg)\right|_{z=\alpha}. \label{11.1.7}$$

4.2.3. Setning (Sjá §4.5)

Látum $f(x,y)$ vera fall af tveimur breytum sem er skilgreint á opnu mengi sem inniheldur einingarhringinn $x^2+y^2=1$. Gerum ráð fyrir að til sé dreift mengi $A$ sem inniheldur enga punkta úr einingarhringnum $\partial S(0,1)$ og opið mengi $X$ sem inniheldur $\overline{S}(0,1)$ þannig að fallið

$$g(z)=f\left(\frac{z^2+1}{2z}, \frac{z^2-1}{2iz}\right)\frac{1}{iz}$$

sé fágað á $X\setminus A$. Þá er

$$\begin{split}\int_0^{2\pi}f(\cos\theta, \sin\theta)\,d\theta =\int_{\partial S(0,1)}g(z)\,dz\\ = 2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap S(0,1)}\operatorname{Res}(g(z),\alpha).\end{split}$$

4.2.4. Setning (Sjá §4.5)

Látum $f$ vera fall sem er fágað á menginu ${\mathbb{C}}\setminus A$ þar sem $A$ er dreift mengi. Gerum ráð fyrir að í menginu $A$ séu engar rauntölur. Fyrir rauntölu $r>0$ látum við $\gamma_r(\theta)=re^{i\theta}$ með $0\leq\theta\leq \pi$ vera stikunn á hringboganum í efra hálfplaninu $H_+$ frá $r$ til $-r$. Ef

$$\int_{\gamma_r}f(z)\,dz\xrightarrow[r\rightarrow\infty]{} 0$$

þá er

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap H_+}\operatorname{Res}(f,\alpha).$$

(Efra hálfplanið $H_+$ er mengi allra tvinntalna $z$ þannig að $\operatorname{Im\, } z>0$. Hægt er að setja fram álíka setningu þar sem er tekinn sá hringbogi sem liggur í neðra hálfplaninu $H_-=\{z\in {\mathbb{C}}\mid \operatorname{Im\, } z<0\}$.)