3. Cauchy-setningin og Cauchy-formúlan

A straight line may be the shortest distance between two points, but it is by no means the most interesting.

- The Doctor, Doctor Who

3.1. Vegheildi

3.1.1. Upprifjun úr Stærðfræðigreiningu II

Heildun eftir vegum er mjög mikilvæg í tvinnfallagreiningu. Fjallað var um vegheildi í Stærðfræðigreiningu II. Hér er sú umfjöllun rifjuð upp og sett í samhengi.

Samfelld vörpun \(\gamma:[a,b]\rightarrow {\mathbb{C}}\) kallast stikaferill. Myndmengi stikaferils, mengið \(\mbox{mynd}(\gamma)=\{\gamma(t)\mid t\in [a,b]\}\), kallast ferill.

Stikaferill sem er samfellt deildanlegur á köflum kallast vegur. (Stikaferill er samfellt deildanlegur á köflum ef til eru tölur \(a=b_0<b_1<\cdots<b_n=b\) þannig að stikaferillinn er samfellt diffranlegur á opnu bilunum \((b_i, b_{i+1})\) og báðar einhliða afleiður eru skilgreindar í punktunum \(b_i\).)

Stikaferill \(\gamma:[a,b]\rightarrow {\mathbb{C}}\) er sagður lokaður ef \(\gamma(a)=\gamma(b)\). Lokaður ferill, eða stikaferill, er sagður einfaldur ef hann sker ekki sjálfan sig nema í endapunktunum, þ.e.a.s. ekki eru til ólíkar tölur \(t_1\in (a,b)\) og \(t_2\in [a,b]\) þannig að \(\gamma(t_1)=\gamma(t_2)\).

Ef \(\gamma:[a,b]\rightarrow {\mathbb{C}}\) er vegur sem stikar feril \(C\) þá má skilgreina lengd ferilsins með formúlunni

\[L(C)=L(\gamma)=\int_a^b|\gamma'(t)|\,dt.\]

Ef \(f\) er samfellt tvinntölugilt fall á \(C\) þá er heildi \(f\) með tilliti til bogalengdar skilgreint sem

\[\int_C f\,ds=\int_a^b f(\gamma(t))|\gamma'(t)|\,dt.\]

Líka táknað

\[\int_\gamma f\,ds, \qquad \int_C f\,|dz|,\qquad \int_\gamma f\,|dz|.\]

Heildi með tilliti til bogalengdar eru óháð vali á stikun og stefnu stikunar.

Heildi vigursviðs \(\mathbf{F}:{\mathbb R}^2\rightarrow {\mathbb R}^2\) eftir veg \(\gamma:[a,b]\rightarrow {\mathbb R}^2\) er skilgreint sem heildið

\[\int_\gamma \mathbf{F}\cdot d\gamma=\int_a^b\mathbf{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt.\]

Ef við ritum \(\mathbf{F}(x,y)=(f(x,y),g(x,y))\) og \(\gamma(t)=(\alpha(t), \beta(t))\) þá má líka rita heildið sem

\[\int_C f\,dx+g\,dy=\int_a^b f(\alpha(t), \beta(t))\alpha'(t)\,dt+g(\alpha(t), \beta(t))\beta'(t)\,dt.\]

Heildi vigursviðs yfir veg er háð stikun að því marki að ef stefnu stikunar er breytt breytist formerki heildis.

3.1.2. Skilgreining (Sjá §3.1)

Ritum \(z=x+iy\) og látum \(f\) vera fall af \(z\). Látum \(\gamma: [a,b]\rightarrow {\mathbb{C}}\) vera veg sem stikar feril \(C\) og ritum \(\gamma(t)=\alpha(t)+i\beta(t)\). Heildi \(f\) yfir \(C\) er skilgreint sem

\[\int_C f\,dz=\int_\gamma f\,dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt.\]

Ritum nú \(f(z)=u(z)+iv(z)\) og fáum þá að

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_C f\,dz&=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt\\ &=\int_a^b f(\gamma(t)(\alpha'(t)+i\beta'(t))\,dt\\ &=\int_a^b f(\gamma(t))\alpha'(t)\,dt +if(\gamma(t))\beta'(t)\,dt\\ &= \int_C f\,dx+if\,dy.\end{aligned}\end{split}\]

Athugið að ef stefnu stikunar er breytt þá breytist formerki á heildi.

3.1.3. Dæmi.

Línustrikið frá \(z_0\) til \(z_1\) má stika með stikaferli \(\gamma:[0,1]\rightarrow {\mathbb{C}}\) þannig að

\[\gamma(t)=z_0+t(z_1-z_0)=(1-t)z_0+tz_1.\]

Hring með miðju í punkti \(\alpha\) og geisla \(r\) má stika með stikaferli \(\gamma:[0,2\pi]\rightarrow {\mathbb{C}}\) þannig að

\[\gamma(t)=m+re^{i\theta}=m+r(\cos\theta+i\sin\theta).\]

3.1.4. Setning (Sjá §3.1)

\[\left|\int_C f(z)\,dz\right|\leq \int_C |f(z)|\, |dz|\leq \max_{z\in C}|f(z)|\int_C|dz|= \max_{z\in C}|f(z)|L(C).\]

3.1.5. Setning (Sjá Setningu 3.1.2)

Gerum ráð fyrir að \(X\) sé opið mengi og \(f\in C(X)\). Ef \(f\) hefur stofnfall \(F\), þ.e.a.s. ef til er fall \(F\in {\cal O}(X)\) þannig að \(F'=f\), þá er

\[\int_\gamma f(z)\, dz = F(e_\gamma)-F(u_\gamma)\]

fyrir sérhvern veg \(\gamma\) í \(X\) þar sem \(u_\gamma\) er upphafspunktur \(\gamma\) og \(e_\gamma\) er endapunkturinn. Sérstaklega gildir

\[\int_\gamma f(z)\, dz = 0\]

fyrir sérhvern lokaðan veg \(\gamma\) í \(X\).

3.1.6. Fylgisetning. (Sjá Setning 3.1.2)

Látum \(X\) vera svæði í \({\mathbb{C}}\) (\(X\) er opið samanhangandi hlutmengi í \({\mathbb{C}}\)). Ef \(f\) er fágað á \(X\) og \(f'(z)=0\) fyrir öll \(z\in X\), þá er \(f\) fastafall.

3.1.7. Setning Green (Upprifjun úr Stærðfræðigreiningu II)

Látum \(\Omega\) vera opið mengi í planinu með jaðar \(\partial \Omega\) sem við gerum ráð fyrir að samanstandi af endanlega mörgum lokuðum ferlum sem hver um sig er samfellt deildanlegur á köflum. Áttum jaðarinn jákvætt þannig að ef gengið er eftir jaðri samkvæmt gefinni stefnu þá er \(\Omega\) á vinstri hönd. Ef \(f\) og \(g\) eru samfellt deildanleg föll þá er

\[\int_{\partial \Omega} f\,dx+g\,dy=\int\!\!\int_\Omega \left(\partial_x g-\partial_y f\right)\,dx\,dy.\]

Föllin \(f\) og \(g\) mega líka vera tvinntölugild því þá reiknar maður raun- og þverhluta heildis sitt í hvoru lagi og setningin gildir um hvort tveggja.

3.1.8. Skilgreining og upprifjun. (Sjá §2.2)

Ritum \(z=x+iy\) og \(f=u+iv\). Setjum nú

\[\partial_x f=\partial_x u+i\partial_xv\qquad\mbox{ og }\qquad \partial_y f=\partial_y u+i\partial_yv.\]

Rifjum upp að Wirtinger-afleiðurnar eru skilgreindar með formúlunum

\[\partial_z f=\tfrac{1}{2}(\partial_xf-i\partial_yf)\qquad\mbox{ og }\qquad \partial_{\overline{z}} f=\tfrac{1}{2}(\partial_xf+i\partial_yf).\]

Cauchy-Riemann jöfnurnar \(\partial_xu=\partial_yv\) og \(\partial_yu=-\partial_xv\) jafngilda því að

\[\partial_{\overline{z}} f=\tfrac{1}{2}(\partial_xf+i\partial_yf)=0.\]

3.1.9. Cauchy-setning. (Sjá Setning 3.3.1)

Látum \(X\) vera opið hlutmengi í \({\mathbb{C}}\). Gerum ráð fyrir að \(\Omega\) sé opið hlutmengi af \(X\) og að \(\partial \Omega\subseteq X\). Gerum enn fremur ráð fyrir að jaðarinn \(\partial \Omega\) samanstandi af endanlega mörgum sundurlægum lokuðum einföldum vegum sem eru áttaðir jákvætt með tilliti til \(\Omega\). Ef \(f\in C^1(X)\), þá er

\[\int_{\partial\Omega}f\, dz = i\iint_\Omega (\partial_xf+i\partial_yf)\, dxdy.\]

Ef \(f\in {\cal O}(X)\), þá er

\[\int_{\partial\Omega}f\, dz = 0.\]

3.1.10. Skilgreining (Sjá Skilgreiningu 3.3.2)

Opið mengi \(X\) kallast stjörnusvæði með tilliti til punktsins \(\alpha\in X\), ef línustrikið \(\langle \alpha, z \rangle\) er innihaldið í \(X\) fyrir sérhvert \(z\in X\). Við segjum að \(X\) sé stjörnusvæði ef það er stjörnusvæði með tilliti til einhvers punkts.

3.1.11. Setning (Sjá Setningu 3.3.3)

Ef \(X\) er stjörnusvæði með tilliti til punktsins \(\alpha\), þá hefur sérhvert \(f\in {\cal O}(X)\) stofnfall \(F\) (þ.e.a.s. \(F'=f\)), sem gefið er með formúlunni

\[F(z)=\int_{\langle \alpha, z\rangle} f(\zeta)\, d\zeta, \qquad z\in X.\]

og þar með gildir

\[\int_\gamma f\, dz =0\]

fyrir sérhvern lokaðan veg \(\gamma\) í \(X\).

3.1.12. Cauchy-formúlan. (Sjá Setningu 3.3.4)

Gerum ráð fyrir sömu forsendum og í Cauchy-setningunni. Ef \(f\in C^1(X)\), þá gildir um sérhvert \(z\in \Omega\) að

\[\begin{split}\begin{aligned} f(z)=&\dfrac 1{2 \pi i}\int_{\partial\Omega}\dfrac {f(\zeta)}{\zeta-z}\, d\zeta \\ &-\dfrac 1{2\pi}\iint_{\Omega} \dfrac{(\partial_\xi+i\partial_\eta)f(\zeta)} {\zeta-z}\, d\xi d\eta, \end{aligned}\end{split}\]

þar sem breytan í heildinu er \({\zeta}={\xi}+i\eta\). Ef \(f\in {\cal O}(X)\), þá er

\[f(z)=\dfrac 1{2 \pi i}\int_{\partial\Omega}\dfrac {f(\zeta)}{\zeta-z}\, d\zeta.\]

3.2. Afleiðingar Cauchy-setningarinnar

3.2.1. Meðalgildissetning (Sjá Setningu 3.3.5)

Látum \(X\) vera opið mengi í \({\mathbb{C}}\), \(f\in {\cal O}(X)\), \(z\in X\) og gerum ráð fyrir að \(\overline S(z,r)\subset X\). Þá gildir

\[f(z)=\dfrac 1{2\pi} \int_0^{2\pi}f(z+re^{it})\, dt.\]

3.2.2. Setning (Sjá Setningu 3.3.6)

Gerum ráð fyrir að forsendur Cauchy-setningarinnar séu uppfylltar og að \(Q\) sé margliða með einfaldar núllstöðvar \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) og að engin þeirra liggi á \(\partial\Omega\). Þá er

\[\int_{\partial\Omega} \dfrac{f(z)}{Q(z)} \, dz = 2\pi i\sum_{\alpha_j\in \Omega} \dfrac{f(\alpha_j)}{Q'(\alpha_j)}.\]

3.2.3. Setning Morera (Sjá Setningu 3.4.5)

Látum \(X\) vera opið mengi í \({\mathbb{C}}\), \(f\in C(X)\) og gerum ráð fyrir að

\[\int_{\partial\Omega} f\, dz =0\]

fyrir sérhvert þríhyrningssvæði \(\Omega\) þannig að \(\Omega\cup \partial \Omega\subset X\). Þá er \(f\in {\cal O}(X)\).

3.2.4. Setning Goursat

Látum \(f\) vera tvinntölugilt fall skilgreint á opnu mengi \(X\) í \({\mathbb{C}}\). Gerum ráð fyrir að \(f\) sé \({\mathbb{C}}\)-deildanlegt í sérhverjum punkti í \(X\). Þá er \(f\) fágað á \(X\).

3.2.5. Cauchy-formúlur fyrir afleiður. (Sjá Setningu 3.4.1)

Látum \(X\) og \(\Omega\) vera eins og í Cauchy-setningunni og tökum \(z\in \Omega\). Þá er sérhvert \(f\) í \({\cal O}(X)\) óendanlega oft deildanlegt á \(X\), allar hlutafleiður af \(f\) eru fáguð föll og

\[f^{(n)}(z)= \dfrac {n!}{2\pi i}\int_{\partial\Omega} \dfrac {f(\zeta)}{(\zeta-z)^ {n+1}}\, d\zeta.\]

3.2.6. Cauchy-ójöfnur. (Sjá Fylgisetningu 3.4.2)

Ef \(X\) er opið hlutmengi af \({\mathbb{C}}\), \(\bar S(\alpha,\varrho)\subset X\), \(f\in {\cal O}(X)\) og \(|f(z)|\leq M\) fyrir öll \(z\in \partial S(\alpha,\varrho)\), þá er

\[|f^{(n)}(\alpha)|\leq Mn!/\varrho^ n.\]

3.2.7. Setning Liouville (Sjá Setningu 3.4.6)

Látum \(f\in {\cal O}({\mathbb{C}})\) og gerum ráð fyrir að \(f\) sé takmarkað fall (þ.e.a.s. til er fasti \(M\) þannig að \(|f(z)|\leq M\) fyrir öll \(z\in {\mathbb{C}}\)) . Þá er \(f\) fasti.

3.2.8. Undirstöðusetning algebrunnar (Sjá Setningu 3.4.7)

Sérhver margliða af stigi \(\geq 1\) hefur núllstöð í \({\mathbb{C}}\).

3.3. Fleiri afleiðingar Cauchy-setningarinnar

3.3.1. Fræðilegur bakgrunnur. (Sjá §3.5)

Nú munum við fást við spurninguna um hvenær má víxla röðinni á diffrun og summu og heildun og summu þegar fengist er við veldaraðir. Svarið er ekki augljóst og til að gera þetta almennilega þarf ný hugtök og þónokkra vinnu.

Látum \(A\subseteq {\mathbb{C}}\) og \(f_n:A\rightarrow{\mathbb{C}}\) vera föll.

Segjum að \(f_n\rightarrow f\) með \(f:A\rightarrow{\mathbb{C}}\) ef fyrir sérhvert \(z\in A\) gildir að \(f_n(z)\rightarrow f(z)\), þ.e.a.s. ef \(z\in A\) þá er til fyrir sérhvert \(\epsilon>0\) tala \(N_z\) (hugsanlega háð \(z\)) þannig að ef \(n\geq N_z\) þá er \(|f(z)-f_n(z)|<\epsilon\).

Segjum að \(f_n\rightarrow f\) í jöfnum mæli þar sem \(f:A\rightarrow{\mathbb{C}}\) ef fyrir sérhvert \(\epsilon>0\) er til tala \(N\) þannig að ef \(n\geq N\) þá er \(|f(z)-f_n(z)|<\epsilon\) fyrir öll \(z\in A\). (Sama \(N\) dugar fyrir öll \(z\in A\).)

Látum nú \(X\) vera opið mengi í \({\mathbb{C}}\) og \(f_n:X\rightarrow {\mathbb{C}}\) vera föll. Ef \(f_n\rightarrow f\) í jöfnum mæli á sérhverju lokuðuð takmörkuðu hlutmengi í \(X\) og föllin \(f_n\) eru öll samfelld þá er markgildið \(f\) líka samfellt á \(X\).

Ef \(\gamma\) er vegur í \(X\) þá er

\[\lim_{n\rightarrow \infty}\int_\gamma f_n(z)\,dz= \int_\gamma \left(\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(z)\right)\,dz=\int_\gamma f(z)\,dz.\]

Ef föllin \(f_n\) eru öll fáguð þá er markgildið \(f\) líka fágað og \(f_n'\rightarrow f'\) (í jöfnum mæli á lokuðum takmörkuðum hlutmengjum í \(X\)).

(\(M\)-próf Weierstrass) Látum \(f_n\) vera runu falla sem öll eru skilgreind á mengi \(A\). Gerum ráð fyrir að \(M_k\) sé tala þannig að \(|f_k(z)|\leq M_k\) fyrir öll \(z\in A\) og að röðin \(\sum_{n=0}^\infty M_k\) sé samleitin. Þá er röðin \(\sum_{n=0}^\infty f_n\) samleitin í jöfnum mæli á \(A\) að fallinu \(f(z)=\sum_{n=0}^\infty f_n(z)\). (Þ.e.a.s. fallarunan \(g_k=\sum_{n=0}^k f_n\) stefnir á \(f\) í jöfnum mæli á \(A\).)

3.3.2. Setning Abels.

Skoðum veldaröð \(\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n\) með samleitnigeisla \(\varrho>0\). Ef \(0<r<\varrho\) þá er veldaröðin samleitin í jöfnum mæli á opnu hringskífunni \({S}(\alpha,r)\).

Samkvæmt ofangreindu gildir að ef \(f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n\) þá er

\[f'(z)=\sum_{n=1}^\infty na_n(z-\alpha)^{n-1}\]

fyrir öll \(x\in S(\alpha,\varrho)\) og ef \(\gamma\) er vegur í \(S(\alpha, \varrho)\) þá er

\[\int_\gamma f(z)\,dz =\int_\gamma \left(\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n\right)\,dz =\sum_{n=0}^\infty\int_\gamma a_n(z-\alpha)^n\,dz.\]

3.3.3. Skilgreining (Sjá Skilgreiningu 3.6.2)

Ef \(X\) er opið hlutmengi af \({\mathbb{C}}\), \(\alpha\in X\) og \(f\in {\cal O}(X)\), þá kallast veldaröðin

\[\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(\alpha)}{n!}(z-\alpha)^n,\]

Taylor-röð fágaða fallsins \(f\) í punktinum \(\alpha\). Ef \(\alpha=0\), þá kallast hún Maclaurin-röð fágaða fallsins \(f\).

3.3.4. Setning (Sjá Setningu 3.6.1)

Látum \(X\) vera opið hlutmengi af \({\mathbb{C}}\), \(\alpha\in X\), \(\overline S(\alpha,\varrho)\subset X\) og \(f\in {\cal O}(X)\), þá er unnt að setja \(f\) fram með samleitinni veldaröð á skífunni \(S(\alpha,\varrho)\),

\[f(z)=\sum_{n=0}^ \infty a_n(z-\alpha)^ n, \qquad z\in S(\alpha,\varrho),\]

þar sem stuðlarnir \(a_n\) eru ótvírætt ákvarðaðir og eru gefnir með

\[a_n=\dfrac {f^{(n)}(\alpha)}{n!}.\]

Samleitnigeisli raðarinnar er stærri en eða jafn fjarlægðinni frá \(\alpha\) út á jaðar \(X\).

Fyrir \(z\in S(\alpha, \varrho)\) er

\[f'(z)= \sum_{n=1}^\infty na_n(z-\alpha)^{n-1}.\]

3.3.5. Skilgreining (Sjá Skilgreiningu 3.6.3)

Látum \(f\in {\cal O}(X)\). Segjum að \(\alpha\) sé núllstöð \(f\) af stigi \(m\) (eða núllstöð af margfeldni \(m\)) ef \(f(\alpha)=f'(\alpha)=\cdots=f^{(m-1)}(\alpha)=0\) en \(f^{(m)}(\alpha)\neq 0\).

3.3.6. Setning (Sjá Setningu 3.6.4)

Fall \(f\in {\cal O}(X)\) hefur núllstöð af stigi \(m>0\) í punktinum \(\alpha\in X\) þá og því aðeins að til sé \(g\in {\cal O}(X)\) þannig að \(g(\alpha)\neq 0\) og

\[f(z)=(z-\alpha)^ mg(z), \qquad z\in X.\]

3.3.7. Samsendarsetning I (Sjá Setningu 3.7.1)

Ef \(X\) er svæði í \({\mathbb{C}}\), \(f,g\in {\cal O}(X)\) og til er punktur \({\alpha}\) í \(X\) þannig að \(f^{(n)}({\alpha})=g^{(n)}({\alpha})\) fyrir öll \(n\geq 0\), þá er \(f(z)=g(z)\) fyrir öll \(z\in X\).

3.3.8. Fylgisetning. (Sjá Setningu 3.7.2)

Ef \(X\) er svæði og \(f\in {\cal O}(X)\) er ekki núllfallið, þá er núllstöðvamengi \({\cal N}(f)=\{z\in X; f(z)=0\}\) fallsins \(f\) dreift hlutmengi af \(X\). (Þ.e.a.s. fyrir sérhvern punkt \(\alpha\in X\) er til tala \(\varrho>0\) þannig að hringskífan \(S(\alpha,\varrho)\) inniheldur enga núllstöð \(f\), nema hugsanlega \(\alpha\).)

3.3.9. Samsemdarsetning II. (Sjá Setningu 3.7.3)

Ef \(X\) er svæði, \(f,g\in {\cal O}(X)\) og \(f(a_j)=g(a_j)\) þar sem \(\{a_j\}\) er runa af ólíkum punktum, sem hefur markgildi \(a\in X\), þá er \(f(z)=g(z)\) fyrir öll \(z\in X\).

3.3.10. Hágildislögmál I (Sjá Setningu 3.8.1)

Ef \(X\) er svæði og \(f\in {\cal O}(X)\), þá getur \(|f(z)|\) ekki haft staðbundið hágildi í \(X\) nema \(f\) sé fastafall.

3.3.11. Hágildislögmál II (Sjá Setning 3.8.2)

Látum \(X\) vera takmarkað svæði og \(f\in {\cal O}(X)\cap C(\overline X)\) (samfellt á lokuninni \(\overline X\)). Þá tekur \(|f(z)|\) hágildi á jaðri svæðisins \(\partial X\).