10. LAPLACE–UMMYNDUN

10.1. Skilgreiningar og reiknireglur

10.1.1. Skilgreiningar og reiknireglur

Látum \(f\) vera fall sem skilgreint er á \({{\mathbb R}}_+=\{t\in {{\mathbb R}}; t\geq 0\}\) með gildi í \({{\mathbb C}}\) og gerum ráð fyrir að \(f\) sé heildanlegt á sérhverju lokuðu og takmörkuðu bili \([0,b]\).

Laplace–mynd \(f\), sem við táknum með \({\mathcal{L}}f\) eða \({\mathcal{L}}\{f\}\), er skilgreind með formúlunni

\[{\mathcal{L}}f(s)=\int_0^ \infty e^{-st}f(t)\, dt.\]

Skilgreiningarmengi fallsins \({\mathcal{L}}f\) samanstendur af öllum tvinntölum \(s\) þannig að heildið í hægri hliðinni sé samleitið.

Laplace-ummyndun er vörpunin \({\mathcal{L}}\) sem úthlutar falli \(f\) Laplace-mynd sinni \({\mathcal{L}}f\).

10.1.1.1. Skilgreining

Við segjum að fallið \(f:{{\mathbb R}}_+\to {{\mathbb C}}\) sé af veldisvísisgerðen: exponential type
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef til eru jákvæðir fastar \(M\) og \(c\) þannig að

\[|f(t)|\leq Me^{c t}, \qquad t\in {{\mathbb R}}_+.\]

Ef \(f\) er heildanlegt á sérhverju takmörkuðu bili \([0,b]\) og uppfyllir ójöfnuna, þá er \({\mathcal{L}}f\) skilgreint fyrir öll \(s\in {{\mathbb C}}\) með \({{\operatorname{Re\, }}}s >c\). Við fáum að auki vaxtartakmarkanir á \({\mathcal{L}}f\),

\[|{\mathcal{L}}f(s) |\leq \int_0^\infty e^{-{{\operatorname{Re\, }}}st} Me^{c t} \, dt = \dfrac M{{{\operatorname{Re\, }}}\, s-c}, \qquad {{\operatorname{Re\, }}}\, s>c.\]

Það er augljóst að Laplace-ummyndun er línuleg vörpun, en það þýðir að

\[{\mathcal{L}}\{\alpha f+\beta g\}(s)=\alpha{\mathcal{L}}\{f\}(s)+\beta{\mathcal{L}}\{g\}(s)\]

ef \(f\) og \(g\) eru föll af veldisvísisgerð, \(\alpha\) og \(\beta\) eru tvinntölur og \(s\in {{\mathbb C}}\) liggur í skilgreiningarmengi fallanna \({\mathcal{L}}\{f\}\) og \({\mathcal{L}}\{g\}\).

Við þurfum að leiða út nokkrar reiknireglur fyrir Laplace-ummyndun. Sú fyrsta segir okkur að Laplace-myndir falla af veldisvísisgerð séu fáguð föll og hún segir okkur einnig að afleiður af Laplace-myndum af slíkum föllum séu einnig Laplace myndir:

10.1.1.2. Setning

Látum \(f:{{\mathbb R}}_+\to {{\mathbb C}}\) vera fall sem er heildanlegt á sérhverju bili \([0,b]\) til eru jákvæðir fastar \(M\) og \(c\) þannig að \(|f(t)|\leq Me^{c t}, t\in {{\mathbb R}}_+\).

Þá er \({\mathcal{L}}f\) fágað á menginu \(\{s\in {{\mathbb C}};{{\operatorname{Re\, }}}s>c\}\) og

\[\dfrac{d^k}{ds^k}{\mathcal{L}}\{f\}(s)= (-1)^k{\mathcal{L}}\{t^kf(t)\}(s), \qquad {{\operatorname{Re\, }}}s>c.\]

10.1.2. Nokkur mikilvæg dæmi

Reiknum nú út nokkrar Laplace-myndir:

Ef \(\alpha\in {{\mathbb R}}\) og \(\alpha>-1\), þá er

\[\begin{aligned} {\mathcal{L}}\{t^\alpha\}(s) &=\int_0^\infty e^{-st}t^\alpha \, dt = \dfrac 1{s^{\alpha+1}} \int_0^\infty e^{-st}(st)^\alpha \, s dt \\ &= \dfrac 1{s^{\alpha+1}} \int_0^\infty e^{-\tau}\tau^\alpha \, d\tau = \dfrac {\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}}.\end{aligned}\]

Ef \({\alpha}\) er heiltala, þá verður þessi formúla

\[{\mathcal{L}}\{t^\alpha\}(s) =\dfrac {\alpha!}{s^{\alpha+1}}.\]

Fyrir sérhvert \(\alpha\in {{\mathbb C}}\) gildir

\[{\mathcal{L}}\{e^{\alpha t}\}(s)= \int_0^{\infty}e^{-st}e^{\alpha t}\, dt = \int_0^{\infty}e^{-(s-\alpha)t}\, dt = \left[\dfrac {-e^{-(s-\alpha)t}} {s-\alpha}\right]_0^{\infty}= \dfrac 1{s-\alpha},\]

og í framhaldi af þessu fáum við

\[\begin{aligned} {\mathcal{L}}\{\cos\beta t\}(s) &= \frac 12 {\mathcal{L}}\{e^{i\beta t}\}(s) +\frac 12{\mathcal{L}}\{e^{-i\beta t}\}(s)\\ &=\frac 12\left[\dfrac 1{s-i\beta}+\dfrac 1{s+i\beta}\right] =\dfrac s{s^2+\beta^2},\\ {\mathcal{L}}\{\sin\beta t\}(s) &= \frac 1{2i}{\mathcal{L}}\{e^{i\beta t}\}(s) -\frac 1{2i}{\mathcal{L}}\{e^{-i\beta t}\}(s)\\ &=\frac 1{2i}\left[\dfrac 1{s-i\beta}-\dfrac 1{s+i\beta}\right] =\dfrac {\beta}{s^2+\beta^2},\\ {\mathcal{L}}\{\cosh \beta t\}(s) &= \frac 12 {\mathcal{L}}\{e^{\beta t}\}(s) +\frac 12{\mathcal{L}}\{e^{-\beta t}\}(s)\\ &=\frac 12\left[\dfrac 1{s-\beta}+\dfrac 1{s+\beta}\right] =\dfrac s{s^2-\beta^2},\\ {\mathcal{L}}\{\sinh \beta t\}(s) &= \frac 1{2}{\mathcal{L}}\{e^{\beta t}\}(s) -\frac 1{2}{\mathcal{L}}\{e^{-i\beta t}\}(s)\\ &=\frac 1{2}\left[\dfrac 1{s-\beta}-\dfrac 1{s+\beta}\right] =\dfrac \beta{s^2-\beta^2}.\end{aligned}\]

Við höfum almenna reiknireglu:

10.1.2.1. Setning

\({\mathcal{L}}\{e^{\alpha t}f\}(s) = {\mathcal{L}}\{f\}(s-\alpha)\).


Útreikninga okkar hér að framan getum við nú tekið saman í litla töflu:

\[\begin{aligned} {\mathcal{L}}\{e^{\alpha t}t^{\beta}\}(s) &=\dfrac{\Gamma(\beta+1)}{(s-\alpha)^{\beta+1}},\\ {\mathcal{L}}\{e^{\alpha t}\cos \beta t\}(s) &=\dfrac{s-\alpha}{(s-\alpha)^2+\beta^2},\\ {\mathcal{L}}\{e^{\alpha t}\sin \beta t\}(s) &=\dfrac{\beta}{(s-\alpha)^2+\beta^2},\\ {\mathcal{L}}\{e^{\alpha t}\cosh \beta t\}(s) &=\dfrac{s-\alpha}{(s-\alpha)^2-\beta^2},\\ {\mathcal{L}}\{e^{\alpha t}\sinh \beta t\}(s) &=\dfrac{\beta}{(s-\alpha)^2-\beta^2}.\end{aligned}\]

10.1.3. Laplace-ummyndun er eintæk vörpun

10.1.3.1. Setning

Gerum ráð fyrir að föllin \(f,g\in C({{\mathbb R}}_+)\) séu bæði af veldisvísisgerð og að til sé fasti \(c\) þannig að

\[{\mathcal{L}}f(s)={\mathcal{L}}g(s), \qquad s\in {{\mathbb C}}, \quad {{\operatorname{Re\, }}}s\geq c.\]

Þá er \(f(t)=g(t)\) fyrir öll \(t\in {{\mathbb R}}_+\).


Þessa setningu má einnig orða þannig að Laplace-ummyndun er eintæk vörpun á mengi allra samfelldra falla af veldisvísisgerð.

Ef við sjáum að eitthvert fall \(F(s)\) er Laplace-mynd af samfelldu falli \(f\), þá segir setningin okkur að \(f\) er ótvírætt ákvarðað og við köllum þá \(f\) andhverfa Laplace-mynd af fallinu \(F\) og skrifum \(f(t)={\mathcal{L}}^{-1}\{F\}(t)\).

10.1.4. Heaviside-fallið

Fallið \(H:{{\mathbb R}}\to {{\mathbb R}}\), sem skilgreint er með

\[\begin{aligned}H(t)=\begin{cases} 1, &t\geq 0,\\ 0, & t<0,\end{cases}\end{aligned}\]

kallast Heaviside–fall. Athugum að hliðrun þess \(H_a(t)=H(t-a)\) uppfyllir

\[\begin{aligned}H_a(t)=\begin{cases} 1, &t\geq a,\\ 0, & t<a,\end{cases}\end{aligned}\]

og því er Laplace-mynd þess

\[{\mathcal{L}}H_a(s)= \int_a^{\infty} e^{-st}\, dt= \dfrac{e^{-as}} s, \qquad a>0.\]

Við fáum reyndar almenna reiknireglu:

10.1.4.1. Setning

Látum \(f:{{\mathbb R}}_+\to {{\mathbb C}}\) vera fall af veldisvísisgerð. Þá gildir um sérhvert \(a\geq 0\)

\[{\mathcal{L}}\{H(t-a)f(t-a)\}(s) = e^{-as}{\mathcal{L}}\{f\}(s).\]

þar sem fallið \(t\mapsto H(t-a)f(t-a)\) tekur gildið \(0\) fyrir öll \(t<a\).

10.1.5. Laplace-ummyndun af vigur- og fylkjagildum vörpunum

Ef \(u=(u_1,\dots,u_m): {{\mathbb R}}_+\to {{\mathbb C}}^m\) er vigurgilt fall á jákvæða raunásnum, þá skilgreinum við Laplace-mynd \(u\) með því að taka Laplace-mynd af hnitaföllunum,

\[{\mathcal{L}}u(s)=({\mathcal{L}}u_1,\dots,{\mathcal{L}}u_m).\]

Við förum eins að við að skilgreina Laplace-mynd af \(p\times m\)-fylkjagildu falli \(U=(u_{jk})_{j,k=1}^{p,m}\), þar sem við skilgreinum \({\mathcal{L}}U(s)\) sem \(p\times m\) fylkjagilda fallið

\[{\mathcal{L}}U(s)=({\mathcal{L}}u_{jk}(s))_{j,k=1}^{p,m}.\]

Ef \(A\) er \(p\times m\) fylki, þá er

\[{\mathcal{L}}\{Au\}(s)=A{\mathcal{L}}u(s).\]

Þessa reglu sönnum við með því að líta á \(v=Au\), \(v_j=a_{j1}u_1+\cdots+a_{jm}u_m\) og notfæra okkur að Laplace-ummyndunin er línuleg vörpun. Það gefur okkur \({\mathcal{L}}v_j(s)=a_{j1}{\mathcal{L}}u_1(s)+\cdots+a_{jm}{\mathcal{L}}u_m(s)\). Vinstri hliðin í þessari jöfnu er þáttur númer \(j\) í vinstri hlið jöfnunnar, en hægri hliðin er þáttur númer \(j\) í hægri hlið hennar.

Ef hins \(A\) er eitthvert \(q\times p\) fylki, þá fæst reglan

\[{\mathcal{L}}\{AU\}(s)=A{\mathcal{L}}U(s).\]

10.2. Upphafsgildisverkefni

10.2.1. Upphafsgildisverkefni

Nú skulum við snúa okkur að kjarna málsins, en það er að taka fall \(f\in C^ 1({{\mathbb R}}_+)\) af veldisvísisgerð og reikna út heildið

\[\begin{aligned} \int_0^ b e^{-st}f{{^{\prime}}}(t)\, dt &= \left[e^{-st}f(t)\right]_0^ b+ \int_0^ b se^{-st}f(t)\, dt \\ &= s\int_0^ b e^{-st}f(t)\, dt -f(0)+e^{-sb}f(b).\end{aligned}\]

Ef \({{\operatorname{Re\, }}}s\) er nógu stórt, þá getum við látið \(b\to \infty\) og fáum því

\[{\mathcal{L}}\{f{{^{\prime}}}\}(s)=s{\mathcal{L}}\{f\}(s)-f(0).\]

Ef við gerum ráð fyrir að \(f\in C^2({{\mathbb R}}_+)\) og að bæði \(f\) og \(f{{^{\prime}}}\) séu af veldisvísisgerð, þá fáum við með því að beita þessari formúlu tvisvar að

\[{\mathcal{L}}\{f{{^{\prime\prime}}}\}(s)=s{\mathcal{L}}\{f{{^{\prime}}}\}(s)-f{{^{\prime}}}(0)=s^ 2{\mathcal{L}}\{f\}(s) -sf(0)-f{{^{\prime}}}(0),\]

og með þrepun fáum við síðan:

10.2.1.1. Setning

Ef \(f\in C^ m({{\mathbb R}}_+)\) og \(f, f{{^{\prime}}}, f{{^{\prime\prime}}}, \dots, f^{(m-1)}\), eru af veldisvísisgerð, þá er \({\mathcal{L}}\{f^{(m)}\}(s)\) skilgreint fyrir öll \(s\in {{\mathbb C}}\) með \({{\operatorname{Re\, }}}s\) nógu stórt og

\[{\mathcal{L}}\{f^{(m)}\}(s)=s^ m{\mathcal{L}}\{f\}(s)-s^{m-1}f(0)-\cdots-sf^{(m-2)}(0)-f^{(m-1)}(0).\]

Áður en við snúum okkur að því að leysa afleiðujöfnuhneppi með Laplace-ummyndun, skulum við líta á veldisvísisfylkið:

10.2.1.2. Setning

Um sérhvert \(m\times m\) fylki \(A\) gildir

\[{\mathcal{L}}\{e^{tA}\}(s) = (sI-A)^{-1}.\]

10.3. Green–fallið og földun

10.3.1. Green–fallið og földun

Lítum nú á afleiðujöfnu með fastastuðla

\[P(D)u=(a_mD^m+\cdots+a_1D+a_0)u=f(t),\]

með upphafsskilyrðunum

\[u(a)=b_0, u{{^{\prime}}}(a)=b_1,\ \dots, \ u^{(m-1)}(a)=b_{m-1}.\]

Með því að hliðra til tímaásnum, þ.e. skipta á fallinu \(u(t)\) og \(u(t-a)\), þá getum við gert ráð fyrir að \(a=0\).

Við höfum sýnt fram á að fallið \(u_p\) sem uppfyllir \(P(D)u=f(t)\), með óhliðruðu upphafsskilyrðunum \(b_0=\cdots=b_{m-1}=0\) er gefið með formúlunni

\[u_p(t)=\int_0^tG(t,\tau) f(\tau)\, d\tau,\]

þar sem \(G\) er Green–fall virkjans \(P(D)\). Við skulum nú reikna út \(U_p(s)={\mathcal{L}}\{u_p\}(s)\). Vegna þess að upphafsgildin eru öll \(0\), þá er

\[{\mathcal{L}}\{u_p{{^{\prime}}}\}(s)=sU_p(s), \quad {\mathcal{L}}\{u_p{{^{\prime\prime}}}\}(s)=s^2U_p(s),\dots, {\mathcal{L}}\{u_p^{(m)}\}(s)=s^mU_p(s).\]

Þetta gefur okkur að

\[{\mathcal{L}}\{P(D)u_p\}(s)=(a_ms^m+\cdots+a_1s+a_0)U_p(s)={\mathcal{L}}f(s),\]

sem er greinilega jafnan

\[P(s)U_p(s)={\mathcal{L}}f(s),\]

og við fáum

\[{\mathcal{L}}\{u_p\}(s)=\dfrac {{\mathcal{L}}f(s)}{P(s)}.\]

Nú er Green–fallið \(G(t,\tau)=g(t-\tau)\), þar sem \(g\) uppfyllir

\[P(D)g=0, \ g(0)=g{{^{\prime}}}(0)=\cdots=g^{(m-2)}(0)=0, \ g^{(m-1)}(0)=\dfrac 1{a_m}.\]

Ef við setjum \(U(s)={\mathcal{L}}g(s)\), þá fáum við

\[\begin{aligned} {\mathcal{L}}\{g{{^{\prime}}}\}(s) &= s{\mathcal{L}}\{g\}(s)-g(0)=sU(s),\\ {\mathcal{L}}\{g{{^{\prime\prime}}}\}(s) &= s^2{\mathcal{L}}\{g\}(s)-sg(0)-g{{^{\prime}}}(0)\\ &=s^2U(s),\\ &\qquad \vdots\qquad\qquad\vdots\qquad\qquad \vdots\\ {\mathcal{L}}\{g^{(m-1)}\}(s) &= s^{m-1}{\mathcal{L}}\{g\}(s)-s^{m-2}g(0)-\cdots-g^{(m-2)}(0)\\ &=s^{m-1}U(s),\\ {\mathcal{L}}\{g^{(m)}\}(s) &= s^m{\mathcal{L}}\{g\}(s)-s^{m-1}g(0)-\cdots-g^{(m-1)}(0)\\ &=s^mU(s)-\dfrac 1{a_m}.\end{aligned}\]

Við tökum nú Laplace-myndina af báðum hliðum jöfnunnar \(P(D)g=0\) og fáum

\[(a_ms^mU(s)-1)+a_{m-1}s^{m-1}U(s)+\cdots+a_1sU(s)+a_0U(s)=0,\]

og við fáum \(P(s)U(s)=1\), sem jafngildir

\[{\mathcal{L}}g(s)=\dfrac 1{P(s)}.\]

Við höfum því sýnt fram á að

\[{\mathcal{L}}\left\{\int_0^tg(t-\tau)f(\tau)\, d\tau\right\}(s)= {\mathcal{L}}\{u_p\}(s)= {\mathcal{L}}\{g\}(s){\mathcal{L}}\{f\}(s).\]

Þessi formúla er engin tilviljun, því við höfum:

10.3.1.1. Setning

Ef \(f\) og \(g\) eru föll af veldisvísisgerð og heildanleg á sérhverju bili \([0,b]\), þá er

\[{\mathcal{L}}\left\{\int_0^tf(t-\tau)g(\tau)\, d\tau\right\}(s)= {\mathcal{L}}\{f\}(s){\mathcal{L}}\{g\}(s).\]

Athugið að

\[\int_0^t f(t-\tau)g(\tau) \, d\tau= \int_0^t f(\tau)g(t-\tau) \, d\tau.\]

Með því að velja \(g(t)=1\) og nota að \({\mathcal{L}}\{1\}=1/s\), þá fæst:

10.3.1.2. Fylgisetning

Ef \(f\) er af veldisvísisgerð og heildanlegt á sérhverju bili \([0,b]\), þá er

\[{\mathcal{L}}\left\{\int_0^t f(\tau) \, d\tau\right\}(s) = \dfrac 1s {\mathcal{L}}\{f\}(s).\]

Földunen: convolution
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
tveggja falla \(f, g: {{\mathbb R}}\to {{\mathbb C}}\) er skilgreind með formúlunni

\[f\ast g(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t-\tau)g(\tau) \, d\tau,\]

og talan \(t\) liggur í skilgreiningarmengi \(f\ast g\) ef heildið er samleitið.

Ef \(f\) er til dæmis heildanlegt á \({{\mathbb R}}\) og \(g\) er takmarkað, þá er földunin vel skilgreind fyrir öll \(t\in {{\mathbb R}}\).

Ef föllin \(f\) og \(g\) eru bæði skilgreind og heildanleg á \({{\mathbb R}}_+\), þá getum við framlengt skilgreiningarsvæði þeirra yfir í allt \({{\mathbb R}}\) með því að setja \(f(t)=g(t)=0\) fyrir öll \(t<0\).

Þá er \(f\ast g(t)\) skilgreint fyrir öll \(t\in {{\mathbb R}}\) og

\[f\ast g(t)= \int_0^tf(t-\tau)g(\tau)\, d\tau.\]

Við getum því umritað síðustu setningu í

\[{\mathcal{L}}\{f\ast g\}={\mathcal{L}}\{f\}{\mathcal{L}}\{g\}.\]