9. LÍNULEG AFLEIÐUJÖFNUHNEPPI

9.1. Tilvist og ótvíræðni lausna

9.1.1. Tilvist og ótvíræðni lausna

Viðfangsefni þessa kafla eru línuleg afleiðujöfnuhneppi af gerðinni

\[u{{^{\prime}}}=A(t)u+f(t),\]

þar sem \(A\in C(I,{{\mathbb C}}^{m\times m})\) er fylkjafall og \(f\in C(I,{{\mathbb C}}^m)\) er vigurfall sem er skilgreint á opnu bili \(I\) á \({{\mathbb R}}\). Ef við skrifum upp hnitin þá verður hneppið

\[\begin{aligned} u_1{{^{\prime}}}&=a_{11}(t)u_1+\cdots+a_{1m}(t)u_m+f_1(t),\\ u_2{{^{\prime}}}&=a_{21}(t)u_1+\cdots+a_{2m}(t)u_m+f_2(t),\\ &\qquad \qquad \vdots\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots\\ u_m{{^{\prime}}}&=a_{m1}(t)u_1+\cdots+a_{mm}(t)u_m+f_m(t).\end{aligned}\]

Hneppið er sagt vera óhliðraðen: homogeneous
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef fallið \(f\) er núllfallið, en hliðraðen: inhomogeneous
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
annars. Upphafsgildisverkefnið

\[u{{^{\prime}}}=A(t)u+f(t), \qquad u(a)=b,\]

hefur ótvírætt ákvarðaða lausn, þar sem \(a\) er einhver gefinn punktur í \(I\) og \(b\) er einhver gefinn vigur í \({{\mathbb C}}^m\).

9.1.1.1. Skilgreining

Línulega rúmið, sem samanstendur af öllum lausnum á óhliðruðu jöfnunni \(u{{^{\prime}}}=A(t)u\), kallast núllrúm línulega jöfnuhneppisins. Við táknum það með \(\mathcal{N}(A)\).

9.1.1.2. Setning

Látum \(I\subset {{\mathbb R}}\) vera bil og \(A\in C(I,{{\mathbb C}}^ {m\times m})\). Þá hefur núllrúmið \(\mathcal{N}(A)\) víddina \(m\).


Við athugum nú að ef \(v\) og \(w\) eru tvær lausnir á hliðruðu jöfnunni \(u{{^{\prime}}}=A(t)u+f(t)\), þá er mismunurinn \(v-w\) í núllrúminu, því

\[(v-w){{^{\prime}}}=v{{^{\prime}}}-w{{^{\prime}}}=A(t)v+f(t)-A(t)w-f(t)=A(t)(v-w).\]

Þetta gefur okkur því:

9.1.1.3. Setning

Látum \(I\) vera bil á rauntalnaásnum, \(A\in C(I,{{\mathbb C}}^ {m\times m})\) og \(f\in C(I,{{\mathbb C}}^ m)\). Þá er sérhver lausn á \(u'=A(t)u+f(t)\) af gerðinni

\[u(t)=c_1u_1(t)+\cdots+c_mu_m(t)+u_p(t),\]

þar sem \(u_1,\dots,u_m\) er einhver grunnur í \(\mathcal{N}(A)\), \(c_1,\dots,c_m\in{{\mathbb C}}\) og \(u_p\) er einhver lausn á hliðruðu jöfnunni.

9.1.2. Jöfnur af hærri stigum og jafngild hneppi

við vitum að línuleg \(m\)–ta stigs afleiðujafna

\[P(t,D)v= v^{(m)}+a_{m-1}(t)v^{(m-1)}+\cdots+a_1(t)v{{^{\prime}}}+a_0(t)v=g(t), \qquad t\in I,\]

er jafngild hneppinu

\[\begin{aligned} u_1{{^{\prime}}}&= u_2,\quad u_2{{^{\prime}}}= u_3,\quad \dots, \quad u_{m-1}{{^{\prime}}}= u_m\\ u_m{{^{\prime}}}&=-a_0(t)u_1-a_1(t)u_2-\cdots-a_{m-1}(t)u_m+g(t). \end{aligned}\]

í þeim skilningi að \(v\) er lausn á afleiðujöfnunni þá og því aðeins að \(u=[v,v{{^{\prime}}},\dots,v^{(m-1)}]^t\) sé lausn á hneppinu. Fylkið \(A(t)\) og vigurinn \(f(t)\) verða í þessu tilfelli

\[\begin{aligned}A(t)=\left[\begin{matrix} 0&1&0&\dots&0\\ 0&0&1&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\dots&1\\ -a_0(t)&-a_1(t)&-a_2(t)&\dots&-a_{m-1}(t) \end{matrix}\right], \qquad f(t)=\left[\begin{matrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ g(t) \end{matrix}\right].\end{aligned}\]

9.1.2.1. Setning

Látum \(P(t,D)=D^ m+a_{m-1}(t)D^{m-1}+\cdots+a_1(t)D+a_0(t)\) vera línulegan afleiðuvirkja og skilgreinum \(A(t)\) sem fylkið hér að ofan. Þá er

\[\det(\lambda I-A(t))=P(t,\lambda),\]

þ.e.a.s. kennimargliðaen: characteristic polynomial
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(A(t)\) er kennimargliða virkjans \(P(t,D)\).

9.2. Hneppi með fastastuðla

9.2.1. Hneppi með fastastuðla

Nú ætlum við að byrja á því að reikna út lausnir á línulegum afleiðujöfnuhneppum. Við lítum á óhliðrað línulegt jöfnuhneppi \(u{{^{\prime}}}=Au\) og gerum ráð fyrir að stuðlarnir í fylkinu \(A\) séu fastaföll.

9.2.1.1. Hjálparsetning

Látum \(A\) vera \(m\times m\) fylki og \(\varepsilon\) vera eiginvigur eiginviguren: characteristic vector
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
þess með tilliti til eigingildisinsen: characteristic value
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(\lambda\). Þá uppfyllir vigurfallið \(u(t)=e^{\lambda t}\varepsilon\) jöfnuna \(u{{^{\prime}}}=Au\).


Þessi einfalda hjálparsetning gefur okkur að í því tilfelli að hægt er að liða \(b\) og \(f(t)\) í línulegar samantektir af eiginvigrunum, þá leysist jöfnuhneppið upp í óháðar jöfnur sem við getum leyst hverja fyrir sig:

9.2.1.2. Setning

Látum \(A\) vera \(m\times m\) fylki og gerum ráð fyrir að \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_\ell\) séu eiginvigrar þess með tilliti til eigingildanna \(\lambda_1,\dots,\lambda_\ell\). Ef \(a \in I\), \(b\in {{\mathbb C}}^m\) og unnt er að skrifa \(b=\beta_1\varepsilon_1+\cdots+\beta_\ell\varepsilon_\ell\) og \(f(t)=g_1(t)\varepsilon_1+\cdots+g_\ell(t)\varepsilon_\ell\), þá er lausnin á upphafsgildisverkefninu upphafsgildisverkefnien: Cauchy problem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.

\[u{{^{\prime}}}=Au+f(t), \qquad \qquad u(a)=b,\]

gefin með \(u(t)=v_1(t)\varepsilon_1+\cdots+v_\ell(t)\varepsilon_\ell\), þar sem stuðullinn \(v_j\) uppfyllir

\[v_j{{^{\prime}}}(t)=\lambda_jv_j(t)+g_j(t), \qquad v_j(a)=\beta_j,\]

og er þar með

\[v_j(t)=\beta_je^{\lambda_j(t-a)}+e^{\lambda_jt}\int_a^t e^{-\lambda_j \tau}g_j(\tau) \, d\tau.\]

9.2.2. Úrlausn með gefinn eiginvigragrunn

Nú skulum við gera ráð fyrir því að fylkið \(A\) hafi eiginvigragrunn \(\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_m\) með eigingildin \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\). Þá getum við þáttað fylkið \(A\) í

\[A=T\Lambda T^{-1},\]

þar sem eiginvigrarnir eru dálkar fylkisins \(T\) og \(\Lambda={{\operatorname{diag}}}(\lambda_1,\dots,\lambda_m)\) er hornalínufylki með tilsvarandi eigingildi á hornalínunni,

\[\begin{aligned}T=\left[\begin{matrix} \varepsilon_{11}&\varepsilon_{12}&\dots&\varepsilon_{1m}\\ \varepsilon_{21}&\varepsilon_{22}&\dots&\varepsilon_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \varepsilon_{m1}&\varepsilon_{m2}&\dots&\varepsilon_{mm} \end{matrix}\right],\qquad \Lambda =\left[\begin{matrix} \lambda_1&0&\dots&0\\ 0&\lambda_2&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\lambda_m \end{matrix}\right].\end{aligned}\]

Hér skrifum við \(\varepsilon_j=[\varepsilon_{1j},\dots,\varepsilon_{mj}]^t\). Hér mikilvægt að minnast þess að ef \(b\) er vigur í \({{\mathbb C}}^m\), þá eru hnit hans \(\beta=[\beta_1,\dots,\beta_m]^t\) miðað við grunninn \(\{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m\}\) gefin með jöfnunni \({\beta}=T^{-1}b\).

Nú skulum við skoða aftur lausnina á upphafsgildisverkefninu. Við látum \(v(t)=[v_1(t),\dots,v_m(t)]^t\) vera hnit \(u(t)\), \(g(t)=[g_1(t),\dots,g_m(t)]^t\) vera hnit \(f(t)\) og \(\beta=[\beta_1,\dots,\beta_m]^t\) vera hnit \(b\) miðað við grunninn \(\{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m\}\), þ.e. \(v=T^{-1}u\), \(g=T^{-1}f\) og \(\beta=T^{-1}b\). Við reiknum nú afleiðuna af \(v\) og notum \(A=T\Lambda T^{-1}\)

\[\begin{aligned}\begin{gathered} v{{^{\prime}}}=T^{-1}u{{^{\prime}}}=T^{-1}(Au+f(t))= T^{-1}T\Lambda T^{-1}u+T^{-1}f(t)=\Lambda v+g(t), \qquad t\in I,\\ v(a)=T^{-1}u(a)=T^{-1}b=\beta \end{gathered}\end{aligned}\]

Nú er \(\Lambda v=(\lambda_1v_1,\dots,\lambda_mv_m)\), svo við höfum fengið upphafsgildisverkefni fyrir \(v\). Lausnin er gefin í setningunni hér að framan.

Nú skulum við líta á þessa formúlu ögn nánar. Við skilgreinum fylkjafallið

\[\begin{aligned}{{\operatorname{diag}}}(e^{\lambda_1t},\dots,e^{\lambda_mt})= \left[\begin{matrix} e^{\lambda_1t}&0&\dots&0\\ 0&e^{\lambda_2t}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&e^{\lambda_mt} \end{matrix}\right],\end{aligned}\]

og athugum síðan að \(T{{\operatorname{diag}}}(e^{\lambda_1t},\dots,e^{\lambda_mt})\) hefur dálkana \(e^{\lambda_1t}\varepsilon_1,\dots,e^{\lambda_mt}\varepsilon_m\) og því er

\[\begin{aligned}\begin{gathered} \beta_1e^{\lambda_1(t-a)}\varepsilon_1+ \cdots+\beta_me^{\lambda_m(t-a)}\varepsilon_m= T{{\operatorname{diag}}}(e^{\lambda_1(t-a)},\dots,e^{\lambda_m(t-a)})\beta,\\ e^{\lambda_1(t-\tau)}g_1(\tau)\varepsilon_1 +\cdots+ e^{\lambda_m(t-\tau)}g_m(\tau)\varepsilon_m= T{{\operatorname{diag}}}(e^{\lambda_1(t-\tau)},\dots,e^{\lambda_m(t-\tau)})g(\tau).\end{gathered}\end{aligned}\]

Nú er \(\beta=T^{-1}b\) og \(g(\tau)=T^{-1}f(\tau)\), svo við fáum umritaðun á framsetningu á setningunni hér að framan.

9.2.2.1. Setning

Látum \(A\) vera \(m\times m\) fylki og gerum ráð fyrir að hægt sé að þátta \(A\) í \(A=T\Lambda T^{-1}\) þar sem \(\Lambda\) er hornalínufylki með hornalínustökin \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\). Látum \(I\) vera bil á \({{\mathbb R}}\), \(a\in I\), \(f\in C(I,{{\mathbb C}}^m)\) og \(b\in {{\mathbb C}}^m\). Þá hefur upphafsgildisverkefnið

\[u{{^{\prime}}}=Au+f(t), \qquad u(a)=b\]

ótvírætt ákvarðaða lausn á \(I\), sem gefin er með formúlunni

\[\begin{aligned} u(t)&=T{{\operatorname{diag}}}(e^{\lambda_1(t-a)},\dots,e^{\lambda_m(t-a)})T^{-1}b\\ &+\int_a^t T{{\operatorname{diag}}}(e^{\lambda_1(t-\tau)},\dots,e^{\lambda_m(t-\tau)}) T^{-1}f(\tau)\, d\tau.\end{aligned}\]

9.2.3. Annars stigs hneppi

Aðferðinni sem við höfum verið að lýsa er oft hægt að beita á annars stigs hneppi, til að leysa upphafsgildisverkefni af gerðinni

\[u{{^{\prime\prime}}}=Au+f(t), \qquad u(a)=b, \quad u{{^{\prime}}}(a)=c,\]

í því tilfelli að hægt er að skrifa

\[b=\beta_1\varepsilon_1+\cdots+\beta_\ell\varepsilon_\ell, \quad c=\gamma_1\varepsilon_1+\cdots+\gamma_\ell\varepsilon_\ell,\quad f(t)=g_1(t)\varepsilon_1+\cdots+g_\ell(t)\varepsilon_\ell.\]

Lausnin verður þá einfaldlega af gerðinni

\[u(t)=v_1(t)\varepsilon_1+\cdots+v_\ell(t)\varepsilon_\ell,\]

þar sem \(v_j\) er lausnin á upphafsgildisverkefninu

\[v_j{{^{\prime\prime}}}=\lambda_j v_j +g_j(t), \qquad v_j(a)=\beta_j, \quad v_j{{^{\prime}}}(a)=\gamma_j.\]

Þessi formúla er staðfest með beinum útreikningi. Ef við gerum ráð fyrir því að öll eigingildin séu neikvæð \(\lambda_j=-\omega_j^2\), þá notfærum við okkur að \(\cos {\omega}_j t\) og \(\sin {\omega}_jt\) er lausnargrunnur fyrir óhliðruðu jöfnuna og \(\sin({\omega}_j(t-{\tau}))/{\omega}_j\) er Green–fall virkjans. Þar með er lausnin

\[v_j(t)=\beta_j \cos(\omega_j(t-a))+ (\gamma_j/\omega_j)\sin (\omega_j(t-a)) + \int_a^t\dfrac{\sin (\omega_j(t-\tau))}{\omega_j}g_j(\tau) \, d\tau.\]

Í því tilfelli að hneppið er hreyfijöfnur einhvers eðlisfræðilegs kerfis, þá kallast liðirnir \(v_j(t)\varepsilon_j\) í lausnarformúlunni sveifluhættir kerfisins. Þeir eru innbyrðis óháðir eins og jöfnurnar. Stærðin \({\omega}_j\) nefnist tíðni sveifluháttarins \(v_j(t)\varepsilon_j\).

9.3. Grunnfylki

9.3.1. Grunnfylki

Lítum á óhliðrað línulegt afleiðujöfnuhneppi

\[u{{^{\prime}}}=A(t)u, \qquad t\in I,\]

þar sem \(A\in C(I,{{\mathbb C}}^{m\times m})\), \(A(t)=(a_{jk}(t))_{j,k=1}^ m\).

Mengi allra lausna myndar línulegt rúm af vídd \(m\).

9.3.1.1. Hjálparsetning

Látum \(u_1,\dots,u_m\) vera föll í \(\mathcal{N}(A)\). Þá eru eftirfarandi skilyrði jafngild:

(i) Vigurföllin \(u_1,\dots,u_m\) eru línulega óháð á bilinu \(I\).

(ii) Vigrarnir \(u_1(t),\dots,u_m(t)\) eru línulega óháðir í \({{\mathbb R}}^ m\) (eða \({{\mathbb C}}^ m\)) fyrir sérhvert \(t\in I\).

(iii) Vigrarnir \(u_1(a),\dots,u_m(a)\) eru línulega óháðir í \({{\mathbb R}}^ m\) (eða \({{\mathbb C}}^ m\)) fyrir eitthvert \(a\in I\).

9.3.1.2. Skilgreining

Fylki af gerðinni

\[\Phi(t)=[u_1(t),\dots,u_m(t)], \qquad t\in I,\]

þar sem dálkavigrarnir \(u_1,\dots,u_m\) mynda grunn í núllrúminu \(\mathcal{N}(A)\) fyrir afleiðujöfnuhneppið \(u{{^{\prime}}}=A(t)u\), kallast grunnfylki fyrir afleiðujöfnuhneppið.


Samkvæmt hjálparsetningunni eru dálkarnir í \(\Phi(t)\) línulega óháðir fyrir öll \(t\in I\) og þar með er andhverfan \(\Phi(t)^{-1}\) til í sérhverjum punkti \(t\in I\). Við sjáum jafnframt að

\[\begin{aligned} \Phi{{^{\prime}}}(t)&= [u_1{{^{\prime}}}(t),\dots,u_m{{^{\prime}}}(t)]=\\ &=[A(t)u_1(t),\dots,A(t)u_m(t)]=\\ &=A(t)\Phi(t).\end{aligned}\]

Af hjálparsetningunni leiðir einnig að ef \(m\times m\) fylkjafallið \(\Phi\) uppfyllir \(\Phi{{^{\prime}}}=A(t)\Phi\) og \(\Phi(a)\) hefur andhverfu fyrir eitthvert \(a\in I\), þá er \(\Phi(t)\) grunnfylki fyrir afleiðujöfnuhneppið \(u{{^{\prime}}}=A(t)u\).

9.3.1.3. Setning

Látum \(\Phi\) og \(\Psi\) vera tvö grunnfylki fyrir jöfnuhneppið \(u{{^{\prime}}}=A(t)u\). Þá er til andhverfanlegt fylki \(B\) þannig að

\[\Psi(t)=\Phi(t)B.\]

9.3.2. Upphafsgildisverkefni fyrir grunnfylki

Við fáum nú lýsingu á lausn upphafsgildisverkefnisins með grunnfylkjum:

9.3.2.1. Setning

Látum \(\Phi(t)\) vera grunnfylki fyrir jöfnuhneppið \(u{{^{\prime}}}=A(t)u\).

(i) Sérhvert stak í \(\mathcal{N}(A)\) er af gerðinni \(u(t)=\Phi(t)c\), þar sem \(c\) er vigur í \({{\mathbb C}}^ m\).

(ii) Vigurfallið \(u_p\), sem gefið er með formúlunni

\[u_p(t)=\Phi(t)\int_a^ t \Phi(\tau)^{-1}f(\tau)\, d\tau,\]

uppfyllir \(u{{^{\prime}}}=A(t)u+f(t)\) og \(u(a)=0\).

(iii) Lausnin á upphafsgildisverkefninu \(u{{^{\prime}}}=A(t)u+f(t)\), \(u(a)=b\) er gefin með formúlunni

\[u(t)=\Phi(t)\Phi(a)^{-1}b+ \Phi(t)\int_a^ t \Phi(\tau)^{-1}f(\tau)\, d\tau.\]

Nú getum við beitt setningunni á dálkana í \(m\times m\) fylkinu \(U(t)\) og fengið eftirfarandi tilvistarsetningu:

9.3.2.2. Setning

Látum \(A, F\in C(I,{{\mathbb C}}^ {m\times m})\) og látum \(\Phi\) vera grunnfylki fyrir \(A\). Þá hefur \(m\times m\) fylkjaafleiðujafnan

\[U{{^{\prime}}}=A(t)U+F(t), \qquad U(a)=B,\]

ótvírætt ákvarðaða lausn \(U(t)\), sem gefin er með formúlunni

\[U(t)=\Phi(t)\Phi(a)^{-1}B + \Phi(t)\int_a^ t \Phi(\tau)^ {-1}F(\tau) \, d\tau.\]

9.3.3. Hneppi með fastastuðla

Gerum nú ráð fyrir því að \(A\) hafi fastastuðla og að eiginvigrar þess myndi grunn í \({{\mathbb C}}^ m\). Eins og við höfum áður sannfært okkur um, þá er það jafngilt því að unnt sé að þátta fylkið \(A\) í

\[A=T\Lambda T^{-1},\]

þar sem \(\Lambda\) er hornalínufylki með eigingildin á hornalínunni,

\[\begin{aligned}\Lambda={{\operatorname{diag}}}(\lambda_1,\dots,\lambda_m)=\left[\begin{matrix} \lambda_1&0&\dots&0\\ 0&\lambda_2&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\lambda_m\end{matrix}\right].\end{aligned}\]

Lítum á fylkið

\[\Phi(t)=T{{\operatorname{diag}}}(e^{t\lambda_1},\dots,e^{t\lambda_m})T^{-1}.\]

Það uppfyllir

\[\begin{aligned} \Phi{{^{\prime}}}(t) &=T{{\operatorname{diag}}}(\lambda_1e^{t\lambda_1},\dots,\lambda_me^{t\lambda_m})T^{-1}=\\ &=T{{\operatorname{diag}}}(\lambda_1,\dots,\lambda_m) {{\operatorname{diag}}}(e^{t\lambda_1},\dots,e^{t\lambda_m})T^{-1}=\\ &=T\Lambda T^{-1} T {{\operatorname{diag}}}(e^{t\lambda_1},\dots,e^{t\lambda_m})T^{-1}=\\ &=A\Phi(t), \end{aligned}\]

með upphafsskilyrðinu

\[\Phi(0)=I.\]

Þar með er \(\Phi\) grunnfylki fyrir hneppið \(u{{^{\prime}}}=Au\). Hér er komin grunnlausnin sem við notuðum í fyrri útleiðslu okkar.

9.4. Fylkjamargliður og fylkjaveldaraðir

Ef \(A\) er \(m\times m\) fylki og \(p(\lambda)\) er margliða af tvinnbreytistærðinni \(\lambda\),

\[p(\lambda)=a_0+a_1\lambda+\cdots+a_n\lambda^n,\]

þá getum við skilgreint fylkjamargliðuna \(p(A)\) með formúlunni

\[p(A)=a_0 I+a_1A+\cdots+a_n A^n,\]

þar sem \(I\) táknar \(m\times m\)–einingarfylkið. Hér höfum við einfaldlega skipt á veldum \(\lambda^k\) af \(\lambda\) og veldum \(A^k\) af \(A\) og jafnframt margfaldað fastaliðinn með einingarfylkinu \(I\). Til þess að geta stungið \(A\) inn í óendanlegar veldaraðir, þá þurfum við að skilgreina samleitni:

9.4.1. Samleitnar fylkjarunur

9.4.1.1. Skilgreining

Runa \(\{C_n\}_{n=0}^\infty\), af \(\ell\times m\) fylkjum \(C_n=\big(c_{jkn}\big)_{j=1,k=1}^{\ell, m}\) er sögð vera samleitin ef allar stuðlarunurnar

\[\{c_{jkn}\}_{n=0}^\infty, \qquad j=1,\dots,\ell, \quad k=1,\dots, m.\]

eru samleitnar. Fylkið \(C=\big(c_{jk}\big)_{j=1,k=1}^{\ell, m}\) sem hefur stuðlana

\[c_{jk}=\lim\limits_{n\to\infty}c_{jkn}, \qquad j=1,\dots,\ell, \quad k=1,\dots, m,\]

kallast markgildi rununnar \(\{C_n\}_{n=0}^\infty\) og við táknum það með

\[C=\lim\limits_{n\to \infty}C_n.\]

Óendanleg summa \(\sum_{n=0}^\infty C_n\) af \(\ell\times m\) fylkjum er sögð vera samleitin, ef runan af hlutsummum \(\{\sum_{n=0}^N C_n\}_{N=0}^\infty\) er samleitin. Við táknum markgildið einnig með \(\sum_{n=0}^\infty C_n\),

\[\sum_{n=0}^\infty C_n= \lim\limits_{N\to \infty} \sum_{n=0}^N C_n.\]

Ef \(C_n=a_n A^n\) og \(A^0=I\), þá er \(\sum_{n=0}^\infty C_n=\sum_{n=0}^\infty a_nA^n\) veldaröð.

9.4.2. Fylkjastaðall

Til þess að geta skorið úr um samleitni veldaraða þá þurfum við að tengja fylkið við samleitnigeisla raðarinnar. Til þess innleiðum við:

9.4.2.1. Skilgreining

(Fylkjastaðall).   Ef \(A\) er \(\ell\times m\) fylki, \(A=(a_{jk})\), með tvinntölustök, þá skilgreinum við staðalinnen: absolute value
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(\|A\|\) af \(A\) með formúlunni

\[\|A\|=\sum_{j=1}^ \ell \sum_{k=1}^ m |a_{jk}|.\]

Við köllum töluna \(\|A\|\) einnig lengd fylkisins \(A\).

9.4.2.2. Setning

(Reiknireglur um fylkjastaðal).

(i) Ef \(A\) og \(B\) eru \(\ell\times m\) fylki með stök í \({{\mathbb C}}\) og \(c\in {{\mathbb C}}\), þá er

\[\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\| \qquad \text{og} \qquad \|cA\|=|c|\|A\|.\]

(ii) Ef \(A\) er \(\ell\times m\) fylki og \(B\) er \(m\times n\) fylki, þá er

\[\|AB\|\leq \|A\|\|B\|.\]

(iii) Ef \(A\) er \(m\times m\) fylki, þá er

\[\|A^ n\|\leq \|A\|^ n.\]

9.4.3. Samleitnar fylkjaraðir

9.4.3.1. Setning

(Samleitnipróf fyrir fylkjaraðir).   Látum \(\{C_n\}\) vera runu af \(\ell\times m\) fylkjum þannig að talnaröðin \(\sum_{n=0}^ \infty\|C_n\|\) sé samleitin. Þá er fylkjaröðin \(\sum_{n=0}^ \infty C_n\) samleitin.

9.4.3.2. Fylgisetning

Látum \(\sum_{n=0}^ \infty c_nz^ n\) vera veldaröð með tvinntölustuðla og gerum ráð fyrir að samleitnigeisli hennar sé \({\varrho}>0\). Ef \(A\) er \(m\times m\) fylki með tvinntölustuðla og \(\|A\|<{\varrho}\), þá er fylkjaveldaröðin \(\sum_{n=0}^ \infty c_nA^ n\) samleitin.


Hugsum okkur nú að \(f:S(0,\varrho)\to {{\mathbb C}}\) sé fágað fall sem gefið er með

\[f(z)=\sum_{n=0}^ \infty c_n z^ n, \qquad z\in S(0,\varrho).\]

Ef \(A\) er \(m\times m\) fylki og \(\|A\|< \varrho\), þá getum við skilgreint \(m\times m\) fylkið \(f(A)\) með því að stinga \(A\) inn í veldaröðina fyrir fágaða fallið \(f\),

\[f(A)=\sum_{n=0}^ \infty c_nA^ n,\]

því fylkjaveldaröðin í hægri hliðinni er samleitin. Við skilgreinum \(A^0=I\). Ef við vitum að \(f\) er fágað fall á öllu \({{\mathbb C}}\) þá þurfum við engar áhyggjur að hafa af samleitninni og við getum sett hvaða \(m\times m\) fylki sem er inn í röðina. Sem dæmi um fylkjaföll getum við tekið

\[\begin{aligned} e^A&=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac 1{n!}{A^n} =I+A+\dfrac {1}{2!}A^2+\dfrac{1}{3!}A^3+\cdots,\\ \cos A&= \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n)!}A^{2n} =I-\dfrac{1}{2!}A^2+\dfrac{1}{4!}A^4-\cdots,\\ \sin A &=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}A^{2n+1} = A-\dfrac {1}{3!}A^3+\dfrac{1}{5!}A^5-\cdots,\\ \cosh A&=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{1}{(2n)!}A^{2n} =I+\dfrac{1}{2!}A^2+\dfrac{1}{4!}A^4+\cdots,\\ \sinh A &=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{1}{(2n+1)!}A^{2n+1} = A+\dfrac {1}{3!}A^3+\dfrac{1}{5!}A^5+\cdots,\\ \ln (I+A) &= \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}A^n =A-\dfrac{1}{2}A^2+\frac{1}3A^3-\cdots,\\ (I-A)^{-1}&=\sum\limits_{n=0}^\infty A^n =I+A+A^2+\cdots, \\ (I+A)^\alpha&= I+\alpha A+ \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}A^2 + \dfrac {\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}A^3+\cdots.\end{aligned}\]

Fyrstu fimm raðirnar eru vel skilgreindar fyrir öll \(m\times m\) fylki, en hinar þrjár eru vel skilgreindar ef \(\|A\|<1\).

9.5. Veldisvísisfylkið

9.5.1. Veldisvísisfylkið

Nú ætlum við að finna almenna formúlu fyrir grunnfylki fyrir línulegt jöfnuhneppi með fastastuðla. Við höfum séð hvernig grunnfylkið lítur út í því tilfelli að eiginvigrar stuðlafylkisins myndi grunn í \({{\mathbb C}}^ m\). Við byrjum á því að skoða rununa \({{\{u_n\}}}\) sem skilgreind var í aðferð Picards. Hún er

\[\begin{aligned}\begin{gathered} u_0(t)=b,\\ u_1(t)=b+\int_0^ t Ab \, d\tau = (I+tA)b,\\ u_2(t)=b+\int_0^ t A(I+\tau A)b \, d\tau = (I+tA+\dfrac 12(tA)^ 2)b,\\ u_3(t)=b+\int_0^ t A(I+\tau A + \dfrac{\tau^ 2}2A^ 2)b \, d\tau = (I+tA+\dfrac 12(tA)^ 2+\dfrac 1{3!}(tA)^ 3)b,\\ u_n(t)= (I+tA+\dots+\dfrac 1{n!}(tA)^ n)b.\end{gathered}\end{aligned}\]

Í sönnun okkar á tilvistarsetningunni sýndum við fram á að þessi runa er samleitin í jöfnum mæli á sérhverju takmörkuðu bili á rauntalnaásnum \({{\mathbb R}}\). Með því að velja vigurinn \(b\) sem grunnvigrana

\[[1,0,\dots,0]^t, \ [0,1,0,\dots,0]^t\ \dots, \ [0,\dots,0,1]^t,\]

þá fáum við út úr aðferð Picards að fylkjaröðin \(\sum_{n=0}^ \infty \dfrac 1{n!}(tA)^ n\) er samleitin. Við sjáum að hér er komin veldaröðin fyrir veldisvísisfallið og sem grunnfylki fyrir jöfnuhneppið \(u{{^{\prime}}}=Au\) fáum við síðan \(\Phi(t)=e^ {tA}\).

9.5.1.1. Setning

Fylkjafalliðen: matrix function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(\Phi(t)= e^{tA}\) er hin ótvírætt ákvarðaða lausn upphafsgildisverkefnisins

\[\Phi{{^{\prime}}}(t) = A\Phi(t), \qquad t\in {{\mathbb R}}, \qquad \Phi(0)=I.\]

Hægt er að nota tilvistarsetninguna fyrir línuleg hneppi til þess að sanna samlagningarformúluna fyrir fylkjaveldisvísisfallið:

9.5.1.2. Setning

Ef \(A\) og \(B\) eru \(m\times m\) fylki og \(AB=BA\), þá er

\[e^{A+B}=e^ Ae^ B=e^Be^A.\]

9.5.1.3. Fylgisetning

Fylkið \(e^ {tA}\) hefur andhverfuna \(e^{-tA}\).


Setninguna hér að framan er ekki nokkur vandi að alhæfa:

9.5.1.4. Setning

Ef \(A\) og \(B\) eru \(m\times m\) fylki og \(AB=BA\), \(f\) og \(g\) eru fáguð föll á \(S(0,\varrho)\), \(\|A\|< \varrho\) og \(\|B\|<\varrho\), þá er

\[f(A)g(B)=g(B)f(A).\]

9.5.1.5. Setning

Ef \(A=TBT^{-1}\), \(f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) er fágað fall, gefið með veldaröð sem hefur samleitnigeisla \(>\|A\|\), þá er \(f(A)=Tf(B)T^{-1}\).


Látum nú \(A\) vera \(m\times m\) fylki og gerum ráð því að eiginvigrarnir \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m\) með tilliti til eigingildanna \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\) myndi grunn í \({{\mathbb C}}^ m\). Það er jafgilt því að unnt sé að þátta fylkið \(A\) í

\[A=T\Lambda T^{-1},\]

þar sem \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m\) mynda dálkana í \(T\) og \(\Lambda={{\operatorname{diag}}}(\lambda_1,\dots,\lambda_m)\). Setningin gefur nú

\[e^{t A}=Te^{t\Lambda} T^{-1}.\]

9.6. Cayley–Hamilton–setningin

9.6.1. Cayley–Hamilton–setningin

Veldisvísisfylkið \(e^ {tA}\) af \(m\times m\) fylki \(A\), er gefið með óendanlegri veldaröð, sem ekki er árennileg við fyrstu sýn. Við ætlum nú að sýna fram á að ætíð sé unnt að skrifa \(e^{tA}\) á forminu

\[e^{tA}= f_0(t)I+f_1(t)A+\cdots+f_{m-1}(t)A^{m-1},\]

þar sem föllin \(f_0,\dots,f_{m-1}\) eru gefin með samleitnum veldaröðum á \({{\mathbb R}}\). Veldisvísisfallið \(e^{tA}\) er sem sagt margliða í \(A\) af stigi \(\leq (m-1)\) með tvinntölustuðla sem eru háðir \(t\).

9.6.1.1. Skilgreining

Ef \(A\) er \(m\times m\) fylki með stuðla í \({{\mathbb C}}\), þá táknum við kennimargliðu þess með \(p_A(\lambda)\),

\[p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A).\]

Við getum skrifað

\[p_A(\lambda)=a_0+a_1\lambda+\cdots+a_{m-1}\lambda^{m-1}+\lambda^ m\]

og jafnframt myndað fylkjamargliðuna \(p_A(A)\), sem er \(m\times m\) fylki, með því að setja \(A\) inn í þessa formúlu,

\[p_A(A)=a_0I+a_1A+\cdots+a_{m-1}A^{m-1}+A^ m.\]

9.6.1.2. Setning

(Cayley–Hamilton). Ef \(A\) er \(m\times m\) fylki, þá er \(p_A(A)=0\).


Við athugum fyrst að setningin er algerlega augljós ef eiginvigrar \(A\) mynda grunn í \({{\mathbb C}}^ m\), því þá er unnt að þátta fylkið \(A\) í \(A=T\Lambda T^{-1}\), þar sem \(\Lambda={{\operatorname{diag}}}(\lambda_1,\dots,\lambda_m)\) er hornalínufylkið með eigingildin á hornalínunni og

\[p_A(A)=Tp_A(\Lambda)T^{-1}= T{{\operatorname{diag}}}(p_A(\lambda_1),\dots,p_A(\lambda_m))T^{-1}=0\]

því eigingildin \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\) eru núllstövar kennimargliðunnar \(p_A\).

Nú skulum við athuga hvaða þýðingu setning Cayley–Hamilton hefur. Ef við skrifum

\[p_A(\lambda)=\lambda^ m+a_{m-1}\lambda^{m-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0,\]

þá gefur hún að

\[A^ m=-a_0I-a_1A-\cdots-a_{m-1}A^ {m-1}.\]

Með þrepun fáum við síðan að fyrir sérhvert \(n\geq m\) eru til stuðlar \(c_{jn}\) þannig að

\[\dfrac 1{n!}A^ n= c_{0n}I+c_{1n}A+\cdots+c_{m-1,n}A^{m-1}.\]

Þegar við stingum þessu inn í veldaröðina fyrir \(e^{tA}\), þá fáum við

\[e^ {tA}= \sum_{j=0}^ {m-1}\bigg( \sum_{n=0}^\infty c_{jn}t^ n\bigg)A^ j.\]

Þessi formúla er alls ekki svo fráleit til útreikninga á tölvu, því við fáum rakningarformúlur fyrir stuðlana út frá \(A^ m=-a_0I-a_1A-\cdots-a_{m-1}A^ {m-1}\) og

\[\begin{aligned}\begin{gathered} \dfrac 1{(n+1)!}A^{n+1} =\dfrac 1{n+1}A\cdot\dfrac 1{n!}A^ n=\\ =\dfrac{c_{0n}}{n+1}A+\dfrac{c_{1n}}{n+1}A^ 2+\cdots +\dfrac{c_{m-1,n}}{n+1}A^ m=\\ =\dfrac{-c_{m-1,n}a_0}{n+1}I+\dfrac{c_{0n}-c_{m-1,n}a_1}{n+1}A+ \cdots+\dfrac{c_{m-2,n}-c_{m-1,n}a_{m-1}}{n+1}A^{m-1}.\end{gathered}\end{aligned}\]

Stuðlarnir með númer \(n=0,\dots,m-1\) eru gefnir með

\[\begin{aligned}\begin{matrix} & c_{0n}& c_{1n}&\dots&c_{(m-1),n}\\ n=0&1/0!&0&\dots&0\\ n=1&0&1/1!&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ n=m-1&0&0&\dots&1/n!. \end{matrix}\end{aligned}\]

Rakningarformúlurnar fyrir stuðlana með númer \(n\geq m\) verða síðan

\[\begin{aligned} c_{0,n+1}&= \dfrac{-c_{m-1,n}a_0}{n+1},\\ c_{j,n+1}&= \dfrac{c_{j-1,n}-c_{m-1,n}a_j}{n+1}, \qquad j=1,\dots,m-1.\end{aligned}\]

Það er greinilega auðvelt að forrita þetta í tölvu. Lausnin á upphafsgildisverkefninu \(u{{^{\prime}}}=Au\), \(u(0)=b\) er síðan

\[u(t) =e^{tA}b = \bigg( \sum_{n=0}^\infty c_{0n}t^ n\bigg) b_0+\cdots+ \bigg( \sum_{n=0}^ \infty c_{m-1,n}t^ n\bigg) b_{m-1},\]

þar sem vigrarnir \(b_0,\dots, b_{m-1}\) eru reiknaðir út frá

\[b_0=b, \qquad b_1=Ab, \qquad b_2=A^ 2b=Ab_1, \dots, b_{m-1}=A^{m-1}b=Ab_{m-2}.\]

9.7. Newton-margliður

9.7.1. Brúunarverkefni

Látum \(f\in {\mathcal{O}}({{\mathbb C}})\) vera gefið fall, látum \(\alpha_1,\dots,\alpha_\ell\) vera ólíka punkta í \({{\mathbb C}}\), látum \(m_1,\dots,m_\ell\) vera jákvæðar heiltölur og setjum \(m=m_1+\cdots+m_\ell\). Nú ætlum við að sýna fram á að það verkefni að finna margliðu \(r\) af stigi \(<m\), sem uppfyllir

\[f^{(j)}(\alpha_k) = r^{(j)}(\alpha_k), \qquad j=0,\dots,m_k-1, \quad k=1,\dots, \ell,\]

hafi ótvírætt ákvarðaða lausn \(r\) og við ætlum jafnframt að finna formúlu fyrir margliðuna \(r\). Verkefni af þessu tagi nefnist brúunarverkefni.

Síðan munum við sjá hvernig þessar formúlur eru notaðar til þess að reikna út veldisvísisfylkið \(e^{tA}\).

9.7.2. Úrlausn á brúunarverkefninu

Við skilgreinum rununa \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\) með því að telja \(\alpha_1,\dots,\alpha_\ell\) með margfeldni, þannig að fyrstu \(m_1\) gildin á \(\lambda_j\) séu \(\alpha_1\), næstu \(m_2\) gildin á \(\lambda_j\) séu \(\alpha_2\) o.s.frv. Við skilgreinum síðan

\[p(z)=(z-\alpha_1)^{m_1}\cdots(z-\alpha_\ell)^{m_\ell} =(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m).\]

Athugum sértilfellið þegar \(\ell=1\). Þá getum við skrifað lausnina \(r\) beint niður því hún er Taylor-margliða fallsins \(f\) í punktinum \(\alpha_1\) númer \(m-1\),

\[r(z)=f(\alpha_1)+f'(\alpha_1)(z-\alpha_1)+\cdots + \frac {f^{(m-1)}(\alpha_1)}{(m-1)!}(z-\alpha_1)^{m-1}.\]

Almenna niðurstaðan er:

9.7.2.1. Setning

Látum \(f\in {\mathcal{O}}({{\mathbb C}})\), \(\alpha_1,\dots,\alpha_\ell\) vera ólíka punkta í \({{\mathbb C}}\), \(m_1,\dots,m_\ell\) vera jákvæðar heiltölur, setjum \(m=m_1+\cdots+m_\ell\) og skilgreinum \(p(z)\) eins og hér að framan. Þá er til margliða \(r\) af stigi \(<m\) og \(g\in {\mathcal{O}}({{\mathbb C}})\) þannig að

\[f(z)=r(z)+p(z)g(z), \qquad z\in {{\mathbb C}}.\]

Margliðan \(r\) er lausn á brúunarverkefninu. Bæði \(r\) og \(g\) eru ótvírætt ákvörðuð og eru gefin með formúlunum

\[\begin{aligned} r(z)=f[\lambda_1]&+f[\lambda_1,\lambda_2](z-\lambda_1)+\cdots\\ &+ f[\lambda_1,\dots,\lambda_m](z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_{m-1})\end{aligned}\]

og

\[g(z)=f[\lambda_1,\dots,\lambda_m,z](z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m),\]

þar sem mismunakvótarniren: difference quotient
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eru skilgreindir með

\[\begin{aligned}f[\lambda_i,\dots,\lambda_{i+j}]= \begin{cases}\dfrac{f^{(j)}(\lambda_i)}{j!},& \lambda_i=\cdots=\lambda_{i+j}, \\ \dfrac{f[\lambda_i,\dots,\lambda_{i+j-1}]-f[\lambda_{i+1},\dots,\lambda_{i+j}]} {\lambda_i-\lambda_{i+j}},&\lambda_i\neq \lambda_{i+j}, \end{cases}\end{aligned}\]

fyrir \(i=1,\dots,m\) og \(j=0,\dots,m-i\).


Framsetningin á brúunarmargliðunni \(r\), sem við notum hér, er kennd við Newton. Í þessari útleiðslu höfum við gert ráð fyrir því að \(f\) sé fágað á öllu \({{\mathbb C}}\). En með því að huga vel að valinu á veginum sem heildað er yfir, þá er hægt að sýna fram á að þessar formúlur gildi í hvaða svæði sem er.

9.7.3. Newton-margliður

Nú segir setning Cayley–Hamilton okkur að sérhvert veldi \(A^ n\) af \(m\times m\) fylkinu \(A\) með \(n\geq m\) megi skrifa sem línulega samantekt af \(I,A,\dots, A^ {m-1}\), og af því leiðir að fylkjafall \(f(A)\), sem gefið er með samleitinni veldaröð, er í raun margliða í \(A\) af stigi \(\leq (m-1)\). Nú viljum við reikna út þessa margliðu og nota til þess fallgildin \(f(z)\). Í tilfellinu \(m=4\) þurfum við fyrst að reikna út mismuakvótatöfluna

\[\begin{aligned}\begin{matrix} f[\lambda_1]\\ &f[\lambda_1,\lambda_2]\\ f[\lambda_2]& &f[\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3]\\ &f[\lambda_2,\lambda_3]& &f[\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4]\\ f[\lambda_3]& &f[\lambda_2, \lambda_3, \lambda_4]\\ &f[\lambda_3,\lambda_4]\\ f[\lambda_4] \end{matrix}\end{aligned}\]

þar sem \(\lambda_1,\dots,\lambda_4\) er upptalning með margfeldni á núllstöðvum kennimargliðu \(A\). Margliðan \(r(z)\) er síðan reiknuð út frá hornalínustökunum

\[\begin{aligned} r(z)&=f[\lambda_1]+f[\lambda_1,\lambda_2](z-\lambda_1) +f[\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3](z-\lambda_1)(z-\lambda_2)\\ &+f[\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3,\lambda_4] (z-\lambda_1)(z-\lambda_2)(z-\lambda_3).\end{aligned}\]

Fylkið \(f(A)\) fæst nú með því að stinga \(A\) inn í formúluna í stað breytunnar \(z\) og setja \(I\) inn í stað allra fastaliða í margliðuþáttum,

\[\begin{aligned} f(A)&=f[\lambda_1]I+f[\lambda_1,\lambda_2](A-\lambda_1I) +f[\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3](A-\lambda_1I)(A-\lambda_2I)\\ &+f[\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3,\lambda_4] (A-\lambda_1I)(A-\lambda_2I)(A-\lambda_3I).\end{aligned}\]

9.7.4. Veldisvísisfylkið

Við fórum út í þetta æfintýri til þes að reikna út margliðuna \(e^{tA}\), sem byggir á fallinu \(f(z)=e^{tz}\), þar sem \(t\) er raunbreytistærð. Afleiðurnar eru

\[f{{^{\prime}}}(z)=te^{tz}, \qquad f{{^{\prime\prime}}}(z)=t^2e^{tz}, \qquad f{{^{\prime\prime\prime}}}(z)=t^3e^{tz}, \qquad \dots.\]

Margliðan \(p\) verður síðan kennimargliða fylkisins \(A\).

9.7.4.1. Sýnidæmi

(i) Gerum ráð fyrir að \(A\)\(2\times 2\) fylki með ólík eigingildi \(\alpha_1\) og \(\alpha_2\). Þá er kennimargliðan \(p_A(z)=(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\) og mismunakvótataflan

\[\begin{aligned}\begin{matrix} e^{t\alpha_1}\\ &\dfrac{e^{t\alpha_1}-e^{t\alpha_2}}{\alpha_1-\alpha_2}\\ e^{t\alpha_2} \end{matrix}\end{aligned}\]

og við fáum

\[e^{tz} = e^{t\alpha_1}+ \dfrac{e^{t\alpha_1}-e^{t\alpha_2}}{\alpha_1-\alpha_2} (z-\alpha_1) +(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)g(z),\]

sem gefur okkur formúluna fyrir \(e^{tA}\),

\[e^{tA}=e^{t\alpha_1}I+\dfrac{e^{t\alpha_1}-e^{t\alpha_2}} {\alpha_1-\alpha_2}(A-\alpha_1I).\]

(ii) Ef hins vegar \(A\) er \(2\times 2\) fylki með aðeins eitt eigingildi \(\alpha_1\), þá verður mismunakvótataflan

\[\begin{aligned}\begin{matrix} e^{t\alpha_1}\\ &te^{t\alpha_1}\\ e^{t\alpha_1} \end{matrix}\end{aligned}\]

og við fáum

\[e^{tz}=e^{t\alpha_1}+te^{t\alpha_1}(z-\alpha_1)+(z-\alpha_1)^ 2g(z).\]

Veldisvísisfylkið verður því

\[e^{tA}=e^{t\alpha_1}I+te^{t\alpha_1}(A-\alpha_1I).\]

(iii) Ef \(A\) er \(3\times 3\) fylki með þrjú ólík eigingildi, \({\alpha}_1,{\alpha}_2,{\alpha}_3\) þá verður mismunakvótataflan

\[\begin{aligned}\begin{matrix} e^{t{\alpha}_1}\\ &\dfrac{e^{t\alpha_1}-e^{t\alpha_2}}{\alpha_1-\alpha_2}\\ e^{t\alpha_2}& &\dfrac1{\alpha_1-\alpha_3}\left\{ \dfrac{e^{t\alpha_1}-e^{t\alpha_2}}{\alpha_1-\alpha_2}- \dfrac{e^{t\alpha_2}-e^{t\alpha_3}}{\alpha_2-\alpha_3} \right\}\\ &\dfrac{e^{t\alpha_2}-e^{t\alpha_3}}{\alpha_2-\alpha_3}\\ e^{t\alpha_3}\\ \end{matrix}\end{aligned}\]

og formúlan fyrir \(e^{tA}\) verður

\[\begin{aligned}\begin{gathered} e^{tA}=e^{t\alpha_1}I+\dfrac{e^{t\alpha_1}-e^{t\alpha_2}} {\alpha_1-\alpha_2}(A-\alpha_1I)+\\ +\dfrac1{\alpha_1-\alpha_3}\left\{ \dfrac{e^{t\alpha_1}-e^{t\alpha_2}}{\alpha_1-\alpha_2}- \dfrac{e^{t\alpha_2}-e^{t\alpha_3}}{\alpha_2-\alpha_3} \right\} (A-\alpha_1I)(A-\alpha_2I).\end{gathered}\end{aligned}\]

(iv) Ef \(A\) er \(3\times 3\) fylki með tvö ólík eigingildi, \(\alpha_1\) tvöfalt og \(\alpha_2\) einfalt, þá verður mismunakvótataflan

\[\begin{aligned}\begin{matrix} e^{t\alpha_1}\\ &te^{t\alpha_1}\\ e^{t\alpha_1}& &\dfrac1{\alpha_1-\alpha_2}\left\{te^{t\alpha_1}- \dfrac{e^{t\alpha_1}-e^{t\alpha_2}}{\alpha_1-\alpha_2}\right\}\\ &\dfrac{e^{t\alpha_1}-e^{t\alpha_2}}{\alpha_1-\alpha_2}\\ e^{t\alpha_2}\\ \end{matrix}\end{aligned}\]

og formúlan verður

\[e^{tA}=e^{t\alpha_1}I+te^{t\alpha_1}(A-\alpha_1I)+ \dfrac1{\alpha_1-\alpha_2}\left\{te^{t\alpha_1}- \dfrac{e^{t\alpha_1}-e^{t\alpha_2}}{\alpha_1-\alpha_2}\right\} (A-\alpha_1I)^2.\]

(v) Að lokum skulum við líta á tilfellið að \(A\)\(3\times 3\) fylki með eitt eigingildi \(\alpha_1\). Mismunakvótataflan verður þá einfaldlega

\[\begin{aligned}\begin{matrix} e^{t\alpha_1}\\ &te^{t\alpha_1}\\ e^{t\alpha_1}& &\dfrac{t^2}{2}e^{t\alpha_1}\\ &te^{t\alpha_1}\\ e^{t\alpha_1}\\ \end{matrix}\end{aligned}\]

og veldisvísisfylkið verður

\[e^{tA}=e^{t\alpha_1}I+te^{t\alpha_1}(A-\alpha_1I)+ \dfrac{t^2}2e^{t\alpha_1}(A-\alpha_1I)^2.\]

Hugsum okkur nú að við séum að finna lausn á upphafsgildisverkefninu \(u{{^{\prime}}}=Au\), \(u(0)=b\), þar sem \(A\) er \(3\times 3\) fylki með eitt eigingildi \(\alpha_1\). Formúlan í sýnidæminu (v) hér að ofan gefur

\[e^{tA}b=e^{t\alpha_1}b_0+te^{t\alpha_1}b_1+\dfrac {t^2}2e^{t\alpha_1}b_2\]

þar sem

\[b_0=b, \qquad b_1=(A-\alpha_1I)b_0, \qquad b_2=(A-\alpha_1I)b_1.\]

Athugið að hér væri ákaflega heimskulegt að reikna fyrst út fylkið \((A-\alpha_1I)^2\) og margfalda það síðan með \(b\) til að fá \(b_2\), því það kostar almennt margfalt meiri vinnu en við þurfum að framkvæma í þeirri aðferð sem hér er lýst.