8. VELDARAÐALAUSNIR Á AFLEIÐUJÖFNUM

8.1. Raunfáguð föll

8.1.1. Raunfáguð föll og fágaðar útvíkkanir

8.1.1.1. Skilgreining

Fall \(f:X\to {{\mathbb C}}\) skilgreint á opnu mengi \(X\) á raunásnum, er sagt vera raunfágaðen: real analytic
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
á \(X\) ef hægt er að skrifa \(X\) sem sammengi af opnum bilum \(]a-\varrho,a+\varrho[\) og fyrir sérhvert þessara bila er til samleitin veldaröð \(\sum_{n=0}^\infty c_nx^n\) þannig að

\[f(x)= \sum\limits_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n, \qquad x\in ]a-\varrho,a+\varrho[.\]

Ef \(f\) er fall sem sett fram með veldaröð á bilinu \(]a-\varrho,a+\varrho[\), þá framlengist \(f\) sjálfkrafa í fágað fall á skífunni opnu \(S(a,\varrho)\) og gildi þess eru gefin með

\[f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(z-a)^ n, \qquad z\in S(a,\varrho).\]

Af þessu leiðir að um sérhvert raunfágað fall \(f\) á opnu mengi \(X\) í \({{\mathbb R}}\) gildir að til er fágað fall \(F\) á opnu mengi \(Y\) í \({{\mathbb C}}\) sem inniheldur \(X\) þannig að \(F(x)=f(x)\) fyrir öll \(x\in X\). Fallið \(F\) er þá nefnt fáguð útvíkkun eða fáguð framlengingen: analytic continuation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
af \(f\) yfir á \(Y\).

Ef \(Y\) er svæði og \(F_1\) og \(F_2\) eru tvær fágaðar útvíkkanir af \(f\) yfir á \(Y\), þá gefur samsemdarsetningin að \(F_1=F_2\). Þetta segir okkur að fágaðar útvíkkanir yfir á svæði séu ótvírætt ákvarðaðar og því notum við bókstafinn \(f\) líka fyrir útvíkkunina.

Ef fallið \(f\) er raunfágað á menginu \(X\) og \(f\) er gefið með veldaröðinni hér að framan á bilinu \(I=]a-{\varrho},a+{\varrho}[\), þá er \(f\in C^{\infty}(I)\) og afleiður \(f\) eru reiknaðar með því að deilda röðina lið fyrir lið,

\[f{{^{\prime}}}(x)= \sum\limits_{n=1}^\infty nc_n(x-a)^{n-1} = \sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)c_{n+1}(x-a)^n.\]

Athugið að í seinni summunni hliðruðum við til númeringu liðanna með því að setja \(k=n-1\) í stað \(n\). Þá svarar \(n=1\) til \(k=0\) og \(n\) svarar til \(k+1\). Þetta þurfum við oft að gera í útreikningum í þessu kafla. Hærri afleiður eru nú reiknaðar á sama hátt

\[\begin{aligned} f{{^{\prime\prime}}}(x)&= \sum\limits_{n=2}^\infty n(n-1)c_n(x-a)^{n-2} = \sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)(n+2)c_{n+2}(x-a)^n,\\ f^{(k)}(x)&= \sum\limits_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots (n-k+1)c_n(x-a)^{n-k}\\ &= \sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)(n+2)\cdots(n+k)c_{n+k}(x-a)^n.\end{aligned}\]

Út frá þessu sést að veldaröðin er Taylor-röð fallsins \(f\) í punktinum \(a\)

\[f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}.\]

Við þekkjum ótal dæmi um raunfáguð föll sem gefin eru með Taylor-röðum og við fengumst við fágaðar útvíkkanir þeirra í kafla 2,

\[\begin{aligned} e^x&=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac 1{n!}{x^n} =1+x+\dfrac {x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots,\\ \cos x&= \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} =1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots,\\ \sin x &=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} = x-\dfrac {x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots,\\ \cosh x&=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{1}{(2n)!}x^{2n} =1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots,\\ \sinh x &=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1} = x+\dfrac {x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots,\\ \ln (1+x) &= \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}x^n =x-\dfrac{x^2}{2}+\frac{x^3}3-\cdots,\\ \dfrac 1{1-x}&=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n =1+x+x^2+\cdots, \\ (1+x)^\alpha&= 1+\alpha x+ \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dfrac {\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots.\end{aligned}\]

Í veldaraðarframsetningum af þessu tagi setjum við alltaf \(0!=1\) og \(x^0=1\) fyrir öll \(x\). Fimm fyrstu raðirnar eru samleitnar á öllu \({{\mathbb R}}\) en hinar eru samleitnar á \(]-1,1[\).

8.1.2. Aðgerðir á veldaröðum

Framsetning á föllum með veldaröðum er sérstaklega þægileg vegna þess að aðgerðir á þeim eru nánast þær sömu og aðgerðir á margliðum. Gerum nú ráð fyrir því að föllin \(f\) og \(g\) séu gefin með veldaröðum á bilinu \(]a-{\varrho},a+{\varrho}[\),

\[f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n,\qquad g(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n(x-a)^n.\]

Þá er summa þeirra gefin með veldaröðinni

\[f(x)+g(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (a_n+b_n)(x-a)^n,\]

og margfeldið er gefið með röðinni

\[f(x)g(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n, \qquad c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0.\]

Ef \(g(a)=b_0\neq 0\), þá er til \({\varrho}_1\leq {\varrho}\) þannig að \(g(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\) á bilinu \(]a-{\varrho}_1,a+{\varrho}_1[\). Kvótinn \(f(x)/g(x)\) er þá gefinn með veldaröð \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} d_n(x-a)^n\). Til þess að reikna út stuðlana \(d_n\) þá notum við formúluna hér að framan á margfeldið

\[\sum\limits_{n=0}^{\infty} d_n(x-a)^n \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n(x-a)^n =\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n.\]

Formúlan fyrir stuðlana í margfeldinu gefur

\[d_0b_0=a_0, \quad d_0b_1+d_1b_0=a_1, \quad \dots, \quad d_0b_n+d_1b_{n-1}+\cdots+d_nb_0=a_n.\]

Við fáum því rakningarformúlu fyrir stuðlana

\[\begin{aligned} f(x)/g(x)&=\sum\limits_{n=0}^{\infty} d_n(x-a)^n\\ d_0&=a_0/b_0,\\ d_1&=(a_1-d_0b_1)/b_0,\\ &\quad \vdots\qquad\qquad \vdots\\ d_n&=(a_n-d_0b_n-d_1b_{n-1}-\cdots-d_{n-1}b_1)/b_0. \end{aligned}\]

8.2. Raðalausnir umhverfis venjulega punkta

Nú skulum við snúa okkur að almennum afleiðuvirkja.

Við vitum að ef öll stuðlaföllin \(a_0(x),\dots,a_{m}(x)\) eru raunfáguð á bilinu \(I\) og \(a_m(x)\neq 0\) fyrir öll \(x\in I\), þá hefur afleiðujafnan \(P(x,D)u=0\) \(m\) línulega óháðar lausnir, sem eru fágaðar á \(I\) og unnt er að ákvarða stuðlana í veldaraðarframsetningu þessara falla út frá stuðlunum í veldaraðarframsetningu \(a_0,\dots,a_{m-1}\).

Við ætlum nú að ganga út frá þessari setningu og reikna út lausnir með veldaröðum.

8.2.1. Nokkur dæmi um veldaraðalausnir

Hugmyndin bakvið veldaraðalausnir á afleiðujöfnum er einföld. Við göngum út frá þeirri lausnartilgátu að til sé lausn sem gefin er með veldaröð,

\[u(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n.\]

Síðan stingum við röðinni inn í jöfnuna og leiðum út formúlu fyrir stuðlana \(c_n\).

8.2.2. Einangraðir sérstöðupunktar

Við rifjum nú upp þekkt hugtök fyrir fáguð föll:

8.2.2.1. Skilgreining

Látum \(f\) vera raunfágað fall á opnu mengi \(X\) í \({{\mathbb R}}\), \(a\in X\), gerum ráð fyrir að punkturinn \(a\in X\) sé núllstöð fallsins \(f\) og

\[f(x)=\sum_{n=0}^ \infty c_n(x-a)^ n.\]

Þá kallast minnsta gildið á \(n\) þannig að \(c_n\neq 0\) margfeldnien: degeneracy
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eða stigen: degree
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(a\).


Ef \(a\) er núllstöð fallsins \(f\) af stigi \(N\) og við setjum \(b_n=c_{N+n}\), þá er \(b_0\neq 0\) og

\[f(x)=\sum_{n=N}^ \infty c_n(x-a)^ n= (x-a)^ N\sum_{n=N}^ \infty c_n(x-a)^ {n-N} = (x-a)^ N\sum_{n=0}^ \infty b_n(x-a)^ n.\]

Það er því greinilega jafngilt að fallið \(f\) hafi núllstöð af stigi \(N\) í punktinum \(a\) og að hægt sé að skrifa \(f\) í grennd um \(a\) með formúlu af gerðinni

\[f(x)=(x-a)^ N\sum_{n=0}^ \infty b_n(x-a)^ n,\]

þar sem \(b_0\neq 0\).

8.2.2.2. Skilgreining

Látum \(f\) vera raunfágað fall á opnu mengi \(X\) í \({{\mathbb R}}\), gerum ráð fyrir að \(a\not\in X\) og að \(\{x; 0<|x-a|<r\}\subset X\) fyrir eitthvert \(r>0\).

Þá kallast punkturinn \(a\) einangraður sérstöðupunkturEkki fannst þýðing á hugtakinu: einangraður sérstöðupunktur raunfágaða fallsins \(f\). Við segjum að einangraður sérstöðupunktur sé afmáanlegur sérstöðupunkturEkki fannst þýðing á hugtakinu: afmáanlegur sérstöðupunktur ef til er \(\varrho>0\), þannig að \(\{x; 0<|x-a|<{\varrho}\}\subset X\) og raunfágað fall \(g\) á \(\{x; |x-a|<{\varrho}\}\) þannig að \(f(x)=g(x)\) ef \(0<|x-a|<{\varrho}\).


Skilgreiningin segir að \(a\) sé afmáanlegur sérstöðupunktur raunfágaða fallsins \(f\) þá og því aðeins að hægt sé að bæta punktinum \(a\) við skilgreiningarsvæði \(f\) þannig að \(f\) verði raunfágað á \(X\cup {{\{a\}}}\).

8.2.3. Venjulegir punktar

Nú skulum við líta á jöfnuna

\[a_2(x)u{{^{\prime\prime}}}+a_1(x)u{{^{\prime}}}+a_0(x)u=0,\]

þar sem föllin \(a_0\), \(a_1\) og \(a_2\) eru raunfáguð á bili \(I\) á \({{\mathbb R}}\). Það þýðir að fyrir sérhvern punkt \(a\in I\) má skrifa föllin með veldaröðum í \((x-a)\), sem eru samleitnar í grennd um punktinn \(a\),

\[a_j(x)=\sum_{n=0}^ \infty a_{jn}(x-a)^ n, \qquad j=0,1,2.\]

Við skilgreinum nú

\[P(x)=\dfrac{a_1(x)}{a_2(x)}, \qquad Q(x)=\dfrac{a_0(x)}{a_2(x)}.\]

Þessi föll eru greinilega vel skilgreind í sérhverjum punkti þar sem \(a_2(x)\neq 0\), en í núllstöðvunum þurfa þau ekki að vera skilgreind. Þar sem föllin \(P\) og \(Q\) eru skilgreind fáum við jafngilda afleiðujöfnu

\[u{{^{\prime\prime}}}+P(x)u{{^{\prime}}}+Q(x)u=0,\]

8.2.3.1. Skilgreining

Við segjum að punkturinn \(a\in I\)venjulegur punkturen: ordinary point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
annars stigs afleiðujöfnu, ef \(a_2(a)\neq 0\) eða \(a_2(a)=0\) og \(a\) er afmáanlegur sérstöðupunktur fallanna \(P\) og \(Q\). Ef \(a\) er ekki venjulegur punktur, þá kallast \(a\) sérstöðupunktur jöfnunnar.


Lítum nú á afleiðujöfnuna, umritum hana eins og hér að framan og gerum ráð fyrir að stuðlarnir \(P(x)\) og \(Q(x)\) hafi veldaraðaframsetningu

\[P(x)=\dfrac{a_1(x)}{a_2(x)}= \sum_{n=0}^ \infty P_n(x-a)^ n, \qquad Q(x)=\dfrac{a_0(x)}{a_2(x)}= \sum_{n=0}^ \infty Q_n(x-a)^ n,\]

Við göngum út frá þeirri lausnartilgátu að \(u\) sé gefið með veldaröð umhverfis punktinn \(a\),

\[u(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(x-a)^ n, \ u'(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)c_{n+1}(x-a)^ n, \ u{{^{\prime\prime}}}(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)c_{n+2}(x-a)^ n.\]

Ef við stingum þessum röðum inn í afleiðujöfnuna, þá fáum við

\[0= \sum_{n=0}^ \infty (n+2)(n+1)c_{n+2}(x-a)^ n + P(x)\sum_{n=0}^ \infty (n+1)c_{n+1}(x-a)^ n + Q(x)\sum_{n=0}^ \infty c_n(x-a)^ n.\]

Með því að margfalda saman raðirnar fyrir \(P\) og \(u{{^{\prime}}}\) annars vegar og \(Q\) og \(u\) hins vegar þá fáum við

\[\begin{aligned}\begin{gathered} P(x)\sum_{n=0}^ \infty (n+1)c_{n+1}(x-a)^ n= \sum_{n=0}^\infty \bigg(\sum_{k=0}^ n (k+1)P_{n-k}c_{k+1}\bigg)(x-a)^ n,\\ Q(x)\sum_{n=0}^ \infty c_n(x-a)^ n= \sum_{n=0}^\infty \bigg( \sum_{k=0}^ n Q_{n-k}c_k\bigg) (x-a)^ n,\end{gathered}\end{aligned}\]

svo afleiðujafnan verður

\[0= \sum_{n=0}^ \infty \bigg((n+2)(n+1)c_{n+2} + \sum_{k=0}^{n} \big((k+1)P_{n-k}c_{k+1}+ Q_{n-k} c_k\big)\bigg)(x-a)^ n.\]

Val okkar á \(c_0\) og \(c_1\) er frjálst og við fáum rakningarformúluna

\[c_{n+2} = \dfrac{-1}{(n+2)(n+1)} \sum_{k=0}^ n \big[(k+1)P_{n-k}c_{k+1} + Q_{n-k}c_k\big],\]

fyrir \(n=0,1,2,\dots\).

8.2.3.2. Setning

Gerum ráð fyrir að \(a\) sé venjulegur punktur afleiðujöfnunnar

\[a_2(x)u{{^{\prime\prime}}}+a_1(x)u{{^{\prime}}}+a_0(x)u=0,\]

og látum föllin \(P(x)=a_1(x)/a_2(x)\) og \(Q(x)=a_0(x)/a_2(x)\) vera gefin með veldaröðunum \(P(x)=\sum_{n=0}^ \infty P_n(x-a)^ n\) og \(Q(x)= \sum_{n=0}^ \infty Q_n(x-a)^ n\). Þá eru sérhver lausn \(u\) á afleiðujöfnunni gefin með veldaröð

\[u(x)=\sum_{n=0}^ \infty c_n(x-a)^ n\]

þar sem stuðlarnir \(c_n\) uppfylla rakningarformúluna. Samleitnigeislinn er að minnsta kosti jafn stór og minni samleitnigeisli raðanna tveggja.


Útreikningar okkar hér að framan byggðu á þeirri lausnartilgátu að \(u\) væri raunfágað.

8.2.3.3. Sýnidæmi

(Jafna Legendre). Gerum ráð fyrir að jafnan

\[\dfrac {d}{dx}((1-x^ 2)\dfrac{du}{dx})+\lambda u= (1-x^ 2)u{{^{\prime\prime}}}-2xu{{^{\prime}}}+\lambda u=0\]

hafi veldaraðalausn umhverfis punktinn \(a=0\),

\[\begin{aligned}\begin{gathered} u(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_nx^ n, \quad u{{^{\prime}}}(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty nc_nx^{n-1}, \quad xu{{^{\prime}}}(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty nc_nx^ n, \quad \\ u{{^{\prime\prime}}}(x) =\sum\limits_{n=2}^\infty n(n-1)c_nx^ {n-2}= \sum\limits_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)c_{n+2}x^ n,\\ x^ 2u{{^{\prime\prime}}}(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty n(n-1)c_nx^ n.\end{gathered}\end{aligned}\]

Við stingum síðan þessum röðum inn í afleiðujöfnuna og fáum

\[\begin{aligned} 0&= \sum\limits_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)c_{n+2}x^ n - \sum\limits_{n=0}^\infty n(n-1)c_nx^ n\\ &-2\sum\limits_{n=0}^\infty nc_nx^ n+ \lambda\sum\limits_{n=0}^\infty c_nx^ n \\ &=\sum\limits_{n=0}^\infty ((n+2)(n+1)c_{n+2} +(\lambda-n(n-1)-2n)c_n)x^ n.\end{aligned}\]

Stuðlarnir verða því að uppfylla

\[c_{n+2}=- \dfrac{\lambda-(n+1)n}{(n+2)(n+1)}c_n.\]

Valið á fyrstu tveimur stuðlunum er frjálst og við fáum

\[\begin{aligned}\begin{gathered} c_2= -\dfrac{\lambda}{2\cdot 1}c_0, \quad c_4= \dfrac{(\lambda-3\cdot 2)\lambda}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}c_0,\quad \dots, \\ c_{2k}=(-1)^ k\dfrac{(\lambda-(2k-1)(2k-2))(\lambda-(2k-3)(2k-4))\cdots (\lambda-3\cdot 2)\lambda}{(2k)!}c_0\\ c_3=- \dfrac{\lambda-2\cdot 1}{3\cdot 2}c_1, \quad c_5= \dfrac{(\lambda-4\cdot 3)(\lambda-2\cdot 1)}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2} c_1,\quad \dots,\\ c_{2k+1}=(-1)^ k\dfrac{(\lambda-2k(2k-1))(\lambda-(2k-2)(2k-3))\cdots (\lambda-2\cdot 1)}{(2k+1)!}c_1.\end{gathered}\end{aligned}\]

Ef við skrifum \(\lambda=\alpha(\alpha+1)\) og notfærum okkur að

\[\alpha(\alpha+1)-n(n+1)=(\alpha-n)(\alpha+n+1),\]

þá verður rakningarformúlan fyrir röðina

\[c_{n+2}= -\dfrac{(\alpha-n)(\alpha+n+1)}{(n+2)(n+1)}c_n\]

og almenn lausn jöfnunnar verður því

\[\begin{aligned}\begin{gathered} u(x) = c_0\sum\limits_{k=0}^\infty a_{2k} x^{2k} + c_1\sum\limits_{k=0}^\infty a_{2k+1} x^ {2k+1},\\ a_0=a_1=1,\\ \\ a_{2k}= (-1)^ k \dfrac{\alpha(\alpha-2)\cdots(\alpha-2k+2) (\alpha+1)(\alpha+3)\cdots(\alpha+2k-1)}{(2k)!},\\ a_{2k+1}= (-1)^ k \dfrac{(\alpha-1)(\alpha-3)\cdots(\alpha-2k+1) (\alpha+2)(\alpha+4)\cdots(\alpha+2k)}{(2k+1)!}.\end{gathered}\end{aligned}\]

Nú tökum við eftir því að ef \(\alpha\) er jöfn heiltala þá eru allir liðir í fyrri summunni með númer \(2k\geq \alpha+2\) jafnir núll og fyrri summan er því margliða af stigi \(\alpha\). Ef hins vegar \(\alpha\) er oddatala þá er seinni veldaröðin margliða.

Við fáum því að fyrir sérhvert \(n\) er til margliðulausn á jöfnu Legendre, ef \(\lambda\) er valið sem \(\lambda=n(n+1)\). Venja er að skilgreina Legendre–margliðurnar sem þessar lausnir eftir að hafa valið ákveðin gildi á stuðlunum \(c_0\) og \(c_1\).

Legendre–margliðurnar koma fyrir í ýmsum útreikningum, meðal annars í rafsegulfræði. Við höfum ekki tök á því að gera þeim nein skil hér.


8.2.3.4. Sýnidæmi

(Jafna Hermite).   Við lítum nú á afleiðujöfnuna \(u{{^{\prime\prime}}}-2xu{{^{\prime}}}+\lambda u=0\) og leysum hana með því að gera ráð fyrir að lausnin sé gefin með veldaröð. Við notum formúlurnar fyrir \(u{{^{\prime\prime}}}\) og \(xu{{^{\prime}}}\) úr sýnidæminu hér að framan. Til einföldunar setjum við \(\lambda=2\alpha\). Það gefur okkur

\[\begin{aligned} 0&= \sum\limits_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)c_{n+2}x^ n -2\sum\limits_{n=0}^\infty nc_nx^ n+ 2\alpha\sum\limits_{n=0}^\infty c_nx^ n= \\ &=\sum\limits_{n=0}^\infty ((n+2)(n+1)c_{n+2} +2(\alpha-n)c_n)x^ n.\end{aligned}\]

Stuðlarnir verða því að uppfylla

\[c_{n+2}=- \dfrac{2(\alpha-n)}{(n+2)(n+1)}c_n.\]

Við fáum nú formúlu fyrir lausnina

\[u(x) = c_0\sum\limits_{k=0}^\infty a_{2k} x^{2k} + c_1\sum\limits_{k=0}^\infty a_{2k+1} x^ {2k+1},\]

þar sem stuðlarnir \(a_k\) eru gefnir með formúlunum

\[\begin{aligned}\begin{gathered} a_0=a_1=1,\\ a_2=-2\dfrac{\alpha}{2\cdot 1}, \qquad a_4=4\dfrac{(\alpha-2)\alpha}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}, \quad\dots, \\ a_{2k}=(-1)^ k 2^ k \dfrac{(\alpha-2k+2)\cdots(\alpha-2)\alpha}{(2k)!},\\ a_3=-2\dfrac{(\alpha-1)}{3\cdot 2}, \qquad a_5=4\dfrac{(\alpha-3)(\alpha-1)}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}, \quad\dots,\\ a_{2k+1}= (-1)^ k 2^ k \dfrac{(\alpha-2k+1)\cdots(\alpha-3)(\alpha-1)}{(2k+1)!}.\end{gathered}\end{aligned}\]

Við sjáum nú að ef \(\alpha\) er heiltala \(>0\) þá fæst lausn sem er margliða. Fyrir ákveðið val á \(c_0\) og \(c_1\) fæst runa af margliðum, en þær nefnast Hermite–margliður.

8.3. \(\Gamma\)–fallið

Þegar rakningarformúlur eru notaðar til að finna beinar formúlur fyrir stuðlana í raðalausnum afleiðujafna koma endurtekin margfeldi oft fyrir. Þá er þægilegt að grípa til \(\Gamma\)–fallsins, en það er skilgreint með formúlunni

\[\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}\, dt, \qquad z\in {{\mathbb C}}, \quad {{\operatorname{Re\, }}}z>0.\]

Greinilegt er að fyrir þessi gildi á \(z\) er heildið alsamleitið. Athugum nú að hlutheildunin

\[\int_0^\infty e^{-t}t^{z}\, dt =\left[ -e^{-t}t^z\right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-t}zt^{z-1}\, dt= z\int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}\, dt\]

gefur okkur formúluna

\[\Gamma(z+1)=z\Gamma(z),\]

og með þrepun fáum við síðan

\[\Gamma(z+n)= z(z+1)\cdots(z+n-1)\Gamma(z), \qquad n=1,2,3,\dots.\]

Þessa formúlu getum við síðan notað til að framlengja skilgreiningarsvæði \(\Gamma\) yfir á mengið

\[{{\mathbb C}}\setminus\{0,-1, -2, -3,\dots\}.\]

Við veljum \(n\) það stórt að \({{\operatorname{Re\, }}}z+n>0\) og notum

\[\Gamma(z)=\dfrac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)\cdots(z+n-1)},\]

til að skilgreina \({\Gamma}(z)\) fyrir \(z\) með \({{\operatorname{Re\, }}}z\leq 0\).

Við getum auðveldlega reiknað út \(\Gamma(1)\), því

\[\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-t}\, dt=\left[-e^{-t}\right]_0^\infty=1,\]

en formúlan hér að framan gefur okkur síðan

\[\Gamma(n)=(n-1)!\]

Niðurstaðan er því sú að \({\Gamma}\) er framlenging á fallinu \(n\mapsto (n-1)!\) frá mengi náttúrlegra talna \(\{1,2,3,\dots\}\) yfir á mengið \({{\mathbb C}}\setminus\{0,-1, -2, -3,\dots\}\).

Við getum líka reiknað út \(\Gamma(1/2)\), en það er gert með því að skipta fyrst um breytistærð í heildinu

\[\Gamma(1/2)=\int_0^\infty e^{-t}t^{-1/2}\, dt = 2\int_0^\infty e^{-x^2}\, dx= \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx.\]

Síðan athugum við að \(\Gamma(1/2)^2\) má skrifa sem tvöfalt heildi

\[\Gamma(1/2)^2= \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\,dy= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}\, dxdy.\]

Næsta skref er að skipta yfir í pólhnit

\[\Gamma(1/2)^2=\int_0^\infty\int_0^{2\pi}e^{-r^2} \, rdrd\theta = \pi \int_0^\infty e^{-r^2} \, 2rdr= \pi\left[-e^{-r^2}\right]_0^\infty=\pi.\]

Við höfum því

\[\Gamma(1/2)=\sqrt\pi, \qquad \Gamma(-1/2)=-2\sqrt\pi,\]

og í framhaldi af því

\[\Gamma(n+1/2) =\frac 12\frac 32\cdots (n-\frac 12)\sqrt \pi= \dfrac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt \pi.\]
Gamma–fallið.

Mynd: Gamma–fallið.

8.4. Aðferð Frobeniusar

8.4.1. Reglulegir sérstöðupunktar

Í þessari grein ætlum við að líta á raðalausnir á jöfnunni

\[a_2(x)u{{^{\prime\prime}}}+a_1(x)u{{^{\prime}}}+a_0(x) u=0\]

í grennd um sérstöðupunkta. Ef \(a\) er sérstöðupunktur, þá kemur í ljós að ekki er alltaf hægt að skrifa lausnirnar sem veldaraðir. Hins vegar er stundum hægt að skrifa þær sem margfeldi af veldaröð og veldisfalli

\[u(x)= |x-a|^ r\sum_{n=0}^ \infty c_n(x-a)^ n.\]

Aðferð Frobeniusar gengur út á að leita að lausn af þessari gerð og ákvarða bæði veldið \(r\) og stuðlana \(c_n\) út frá veldaröðum stuðlafallanna í afleiðujöfnunni.

8.4.1.1. Skilgreining

Látum \(f\) vera raunfágað fall á opnu mengi \(X\) í \({{\mathbb R}}\). Við segjum að einangraður sérstöðupunktur \(a\) raunfágaða fallsins \(f\)skauten: pole
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
af stigi* \(m>0\), ef til er \(\varrho>0\) og raunfágað fall \(g\) á \(\{x; |x-a|<\varrho\}\), þannig að \(\{x; 0<|x-a|<{\varrho}\}\subset X\), \(g(a)\neq 0\) og

\[f(x)=\dfrac {g(x)}{(x-a)^m}\qquad 0<|x-a|<\varrho.\]

Látum \(a\) vera sérstöðupunkt fyrir afleiðujöfnuna og skrifum

\[P(x)=\dfrac{a_1(x)}{a_2(x)}=\dfrac{p(x)}{x-a}, \qquad Q(x)=\dfrac{a_0(x)}{a_2(x)}=\dfrac{q(x)}{(x-a)^2}.\]

8.4.1.2. Skilgreining

Við segjum að \(a\)reglulegur sérstöðupunkturen: inessential singularity
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
afleiðujöfnunnar, ef \(a\) er sérstöðupunktur jöfnunnar, fallið \(P\) hefur annað hvort afmáanlegan sérstöðupunkt í \(a\) eða skaut af stigi \(\leq 1\) og \(Q\) hefur annað hvort afmáanlegan sérstöðupunkt í \(a\) eða skaut af stigi \(\leq 2\).


Punkturinn \(a\) er reglulegur sérstöðupunktur afleiðujöfnunnar þá og því aðeins að föllin \(p\) og \(q\), sem skilgreind eru hér fyrir ofan, séu bæði fáguð í grennd um \(a\).

8.4.2. Útfærsla á aðferð Forbeniusar

Nú skulum við gera ráð fyrir að við höfum afleiðujöfnu með reglulegan sérstöðupunkt \(a\) og að við umritum hana yfir á formið

\[(x-a)^2u{{^{\prime\prime}}}+(x-a)p(x)u{{^{\prime}}}+q(x)u=0,\]

þar sem föllin \(p\) og \(q\) eru sett fram með veldaröðum

\[p(x)= \sum_{n=0}^\infty p_n(x-a)^n, \quad q(x)= \sum_{n=0}^\infty q_n(x-a)^n.\]

Við gerum ráð fyrir því að unnt sé að skrifa lausnina sem

\[u(x)= (x-a)^r\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n= \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^{n+r}, \qquad a<x<a+\varrho.\]

Við stingum röðinni inn í jöfnuna og fáum

\[\begin{aligned}\begin{gathered} \sum_{n=0}^\infty (n+r)(n+r-1)a_n(x-a)^{n+r} + p(x)\sum_{n=0}^\infty (n+r)a_n(x-a)^{n+r} \\ + q(x)\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^{n+r} = 0.\end{gathered}\end{aligned}\]

Við stingum nú röðunum fyrir \(p\) og \(q\) inn í jöfnuna og margföldum síðan raðirnar saman

\[\begin{aligned}\begin{gathered} p(x)\sum_{n=0}^\infty (n+r)a_n(x-a)^{n+r}= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n(k+r)p_{n-k}a_{k} (x-a)^{n+r},\\ q(x)\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^{n+r}= \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n q_{n-k}a_{k} (x-a)^{n+r}.\end{gathered}\end{aligned}\]

Til þess að jafnan gildi, þá þurfa stuðlarnir við öll veldin í liðuninni að vera núll, en það jafngildir

\[(n+r)(n+r-1)a_n+\sum_{k=0}^n\big((k+r)p_{n-k}+q_{n-k}\big)a_k=0, \qquad n=0,1,2,\dots.\]

Athugum nú sérstaklega tilfellið \(n=0\), en það er jafnan

\[(r(r-1)+p_0r+q_0)a_0=0.\]

Til þess að við getum valið stuðulinn \(a_0\) frjálst, þá þarf talan \(r\) að uppfylla annars stigs jöfnuna

\[r(r-1)+p_0r+q_0=r(r-1)+ p(a)r+q(a)=0.\]

8.4.2.1. Skilgreining

Gerum ráð fyrir að \(a\) sé reglulegur sérstöðupunktur afleiðujöfnunnar

\[(x-a)^2u{{^{\prime\prime}}}+(x-a)p(x)u{{^{\prime}}}+q(x)u=0.\]

Þá kallast margliðan

\[\varphi(\lambda)=\lambda(\lambda-1)+p(a)\lambda+q(a)\]

vísamargliða afleiðujöfnunnar í punktinum \(a\), jafnan \(\varphi(\lambda)=0\) kallast vísajafna afleiðujöfnunnar í punktinum \(a\). Núllstöðvar hennar kallast vísar jöfnunnar í punktinum \(a\).


Við höfum sem sagt komist að því í útreikningum okkar, að til þess að fallið \(u(x)\) sem gefið er með formúlunni, geti verið lausn á afleiðujöfnunni, þá þarf talan \(r\) að vera vísir jöfnunnar í punktinum \(a\).

Lítum nú á jöfnuna aftur í tilfellinu \(n>0\), en hún er

\[\begin{aligned}\begin{gathered} (n+r)(n+r-1)a_n+\sum_{k=0}^n\big((k+r)p_{n-k}+q_{n-k}\big)a_k\\ =\big((n+r)(n+r-1)+p_0(n+r)+q_0 \big)a_n +\sum_{k=0}^{n-1}\big((k+r)p_{n-k}+q_{n-k}\big)a_k\\ = \varphi(n+r)a_n + \sum_{k=0}^{n-1}\big((k+r)p_{n-k}+q_{n-k}\big)a_k=0.\end{gathered}\end{aligned}\]

Ef \(r\) er vísir jöfnunnar og \(\varphi(n+r)\neq 0\) fyrir öll \(n>0\), þá fáum við rakningarformúluna

\[a_n=\dfrac{-1}{\varphi(r+n)}\sum_{k=0}^{n-1}\big((k+r)p_{n-k}+q_{n-k}\big)a_k.\]

Við erum nú komin að meginniðurstöðu kaflans:

8.4.2.2. Setning

(Frobenius).   Gerum ráð fyrir því að \(a\) sé reglulegur sérstöðupunktur afleiðujöfnunnar

\[(x-a)^2u{{^{\prime\prime}}}+ (x-a)p(x)u{{^{\prime}}}+q(x)u=0\]

og gerum ráð fyrir að föllin \(p\) og \(q\) séu sett fram með veldaröðunum

\[p(x)=\sum_{n=0}^\infty p_n(x-a)^n, \qquad q(x)=\sum_{n=0}^\infty q_n(x-a)^n,\]

og að þær séu samleitnar ef \(|x-a|<\varrho\). Látum \(r_1\) og \(r_2\) vera núllstöðvar vísajöfnunnar

\[\varphi(\lambda)=\lambda(\lambda-1)+p(a)\lambda+q(a)=0\]

og gerum ráð fyrir að \({{\operatorname{Re\, }}}r_1\geq {{\operatorname{Re\, }}}r_2\). Þá gildir:

(i) Til er lausn \(u_1\) á afleiðujöfnunni sem gefin er með

\[u_1(x)=|x-a|^{r_1}\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n.\]

Röðin er samleitin fyrir öll \(x\) sem uppfylla \(0<|x-a|<\varrho\). Valið á \(a_0\) er frjálst, en hinir stuðlar raðarinnar fást með rakningarformúlunni

\[a_n=\dfrac{-1}{\varphi(n+r_1)} \sum_{k=0}^{n-1}((k+r_1)p_{n-k}+q_{n-k})a_k, \qquad n=1,2,3,\dots.\]

(ii) Ef \(r_1-r_2\neq 0,1,2,\dots\), þá er til önnur línulega óháð lausn \(u_2\), sem gefin er með

\[u_2(x)=|x-a|^{r_2}\sum_{n=0}^\infty b_n(x-a)^n.\]

Röðin er samleitin fyrir öll \(x\) sem uppfylla \(0<|x-a|<\varrho\). Valið á \(b_0\) er frjálst, en hinir stuðlar raðarinnar fást með rakningarformúlunni

\[b_n=\dfrac{-1}{\varphi(n+r_2)} \sum_{k=0}^{n-1}((k+r_2)p_{n-k}+q_{n-k})b_k, \qquad n=1,2,3,\dots.\]

(iii) Ef \(r_1-r_2=0\), þá er til önnur línulega óháð lausn \(u_2\), sem gefin er með

\[u_2(x)=|x-a|^{r_1+1}\sum_{n=0}^\infty b_n(x-a)^n+ u_1(x)\ln|x-a|.\]

Röðin er samleitin fyrir öll \(x\) sem uppfylla \(0<|x-a|<\varrho\) og stuðlar raðarinnar fást með innsetningu í jöfnuna.

(iv) Ef \(r_1-r_2=N\), þar sem \(N\) er jákvæð heiltala, þá er til önnur línulega óháð lausn, sem gefin er með

\[u_2(x)=|x-a|^{r_2}\sum_{n=0}^\infty b_n(x-a)^n+ \gamma u_1(x)\ln|x-a|.\]

Röðin er samleitin fyrir öll \(x\) sem uppfylla \(0<|x-a|<\varrho\). Stuðlar raðarinnar og \(\gamma\) fást með innsetningu í jöfnuna.

8.5. Bessel–jafnan

8.5.1. Bessel–jafnan

Við skulum nú taka fyrir aðferð Frobeniusar til þess að leysa Bessel–jöfnuna

\[P(x,D)u=x^2u{{^{\prime\prime}}}+xu{{^{\prime}}}+(x^2-\alpha^2)u=0\]

í grennd um reglulega sérstöðupunktinn \(a=0\). Hér er \(p(x)=1\) og \(q(x)=x^2-\alpha^2\), svo vísajafnan er

\[\varphi(\lambda)=\lambda(\lambda-1)+\lambda-\alpha^2= \lambda^2-\alpha^2=0\]

og núllstöðvar hennar eru \(r_1=\alpha\) og \(r_2=-\alpha\). Við hugsum okkur að \({{\operatorname{Re\, }}}\alpha\geq 0\). Setning Frobeniusar segir okkur að við fáum lausn af gerðinni

\[u_1(x)=|x|^\alpha\sum_{n=0}^\infty a_n x^n,\]

þar sem við getum valið stuðulinn \(a_0\) frjálst og hina stuðlana út frá rakningarformúlunni

\[\varphi(\alpha+1)a_1=0, \qquad \varphi(\alpha+n)a_n=-a_{n-2}.\]

Þar sem \(\varphi(\alpha+1)\neq 0\) þá verður \(a_1=0\) og í framhaldi af því fæst \(0=a_3=a_5=\cdots\). Til þess að finna formúluna fyrir \(a_{2k}\) þá athugum við að

\[\varphi(\alpha+2k)=(\alpha+2k)^2-\alpha^2= 4k\alpha+4k^2= 2^2k(\alpha+k),\]

og þar með verður

\[\begin{aligned}\begin{gathered} a_2=\dfrac{-a_0}{2^2(\alpha+1)}, \quad a_4=\dfrac{a_0}{2^42(\alpha+1)(\alpha+2)}, \dots \\ a_{2k}=\dfrac{(-1)^ka_0}{2^{2k}k!(\alpha+1)\cdots(\alpha+k)}.\end{gathered}\end{aligned}\]

Athugum nú að

\[(\alpha+1)\cdots(\alpha+k)={\Gamma}({\alpha}+k+1)/{\Gamma}({\alpha}+1).\]

Það er því eðlilegt að velja

\[a_0=\dfrac 1{2^\alpha\Gamma(\alpha+1)}.\]

8.5.1.1. Skilgreining

Lausnin á Bessel–jöfnunni \(x^2u{{^{\prime\prime}}}+xu{{^{\prime}}}+(x^2-\alpha^2)u=0\), sem gefin er með formúlunni

\[J_\alpha(x)=\left|\dfrac x2\right|^\alpha\sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{k!\Gamma(\alpha+k+1)}\left( \dfrac x2\right)^{2k}\]

er kölluð fall Bessels af fyrstu gerð með vísi \(\alpha\).


Nú þurfum við að finna línulega óháða lausn og skiptum í tilfelli:

Talan \(-{\alpha}\) er vísir Bessel-jöfnunnar og með því að skipta á \({\alpha}\) og \(-{\alpha}\) í rakningarformúlunum hér að framan, þá fáum við aðra línulega óháða lausn

\[J_{-\alpha}(x)=\left|\dfrac x2\right|^{-\alpha}\sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{k!\Gamma(-\alpha+k+1)}\left( \dfrac x2\right)^{2k}\]

og sérhverja lausn má síðan skrifa sem línulega samantekt af \(J_{\alpha}\) og \(J_{-\alpha}\).

Bessel-jafnan í tilfellinu \({\alpha}=0\) er jafngild jöfnunni

\[xu{{^{\prime\prime}}}+u{{^{\prime}}}+xu=0,\]

og við erum búin að finna eina lausn á henni

\[u_1(x)=J_0(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^k}{2^{2k}(k!)^2}x^{2k}.\]

Samkvæmt tilfelli (iii) í setningu Frobeniusar vitum við að til er önnur línulega óháð lausn \(u_2\), sem gefin er á jákvæða raunásnum með formúlu af gerðinni

\[u_2(x)=J_0(x)\ln x+x\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_nx^n =J_0(x)\ln x+\sum\limits_{m=1}^{\infty} A_mx^m.\]

Við reiknum út afleiðurnar af \(u_2\)

\[\begin{aligned} u_2{{^{\prime}}}(x)&=J_0{{^{\prime}}}(x)\ln x +\dfrac{J_0(x)}x+ \sum\limits_{m=1}^{\infty} mA_mx^{m-1},\\ u_2{{^{\prime\prime}}}(x)&= J_0{{^{\prime\prime}}}(x)\ln x+\dfrac{2J_0{{^{\prime}}}(x)}x-\dfrac{J_0(x)}{x^2} +\sum\limits_{m=1}^{\infty} m(m-1)A_mx^{m-2},\end{aligned}\]

stingum þeim inn í afleiðujöfnuna og notfærum okkur að \(J_0\) er lausn. Þá fáum við

\[2J_0{{^{\prime}}}(x)+\sum\limits_{m=1}^{\infty} m(m-1)A_mx^{m-1} +\sum\limits_{m=1}^{\infty} mA_mx^{m-1} +\sum\limits_{m=1}^{\infty} A_mx^{m+1}=0.\]

Til þess að fá formúlu fyrir stuðlana \(A_m\), þá verðum við að stinga röðinni fyrir \(J_0{{^{\prime}}}\) inn í þessa jöfnu,

\[J_0{{^{\prime}}}(x)=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^k2k}{2^{2k}(k!)^2}x^{2k-1} =\sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^kx^{2k-1}}{2^{2k-1}k!(k-1)!}\]

og taka summurnar þrjár saman í eina. Við fáum þá jöfnuna

\[A_1x^0+4A_2x+\sum\limits_{m=2}^{\infty} \big((m+1)^2A_{m+1}+A_{m-1}\big)x^m =\sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}x^{2k-1}}{2^{2k-2}k!(k-1)!}.\]

Nú eru allir stuðlarnir í hægri hliðinni við slétt veldi af \(x\) jafnir \(0\) og því fáum við

\[A_1=0, \qquad (2k+1)^2A_{2k+1}+A_{2k-1}=0.\]

Þessar jöfnur gefa að \(A_m=0\) ef \(m\) er oddatala. Snúum okkur nú að \(A_m\) þar sem \(m\) er slétt tala. Við höfum

\[4A_2=1, \qquad (2k)^2A_{2k}+A_{2k-2}= \dfrac{(-1)^{k-1}}{2^{2k-2}k!(k-1)!}.\]

Með þrepun fæst síðan formúlan

\[A_{2k}=\dfrac{(-1)^{k-1}}{2^{2k}(k!)^2} h_k, \qquad k=1,2,3,\dots,\]

þar sem \(h_k=1+1/2+1/3+\cdots+1/k\). Við getum því skrifað lausnina sem

\[u_2(x)= J_0(x)\ln x+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}h_k}{2^{2k}(k!)^2} x^{2k}.\]

Það er venja að nota annað fall en \(u_2\) sem grunnfall:

8.5.1.2. Skilgreining

Fallið \(Y_0\), sem skilgreint er með

\[Y_0(x)=\dfrac 2{\pi}\left[J_0(x)\bigg(\ln \dfrac {|x|}2+{\gamma}\bigg) +\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}h_k}{2^{2k}(k!)^2} x^{2k}\right],\]

þar sem \(h_k=1+1/2+1/3+\cdots+1/k\) og \({\gamma}\) táknar fasta Eulers

\[\begin{aligned} {\gamma}&=\lim\limits_{k\to {\infty}} \big(1+1/2+\cdots+1/k-\ln k\big) \\ &\approx 0.577 \, 215 \, 644 \, 90 \dots,\end{aligned}\]

nefnist fall Bessels af annarri gerð með vísi \(0\).


Það er ljóst að föllin \(J_0\) og \(Y_0\) eru línulega óháð, svo sérhverja lausn á Bessel-jöfnunni með vísi \({\alpha}=0\) er unnt að skrifa sem línulega samantekt af þeim.

Hér er gengið út frá lausnarformúlunni í tilfelli (iv) í setningu Frobeniusar. Lausnaraðferðin er sú sama og í tilfellinu \({\alpha}=0\), en útfærslan er töluvert snúnari og förum við ekki út í hana hér. Niðurstaðan er alla vega sú, að til sögunnar kemur nýtt fall:

8.5.1.3. Skilgreining

Fallið \(Y_{\alpha}\), \({\alpha}=1,2,3,\dots\) sem skilgreint er með

\[\begin{aligned} Y_{\alpha}(x)=\dfrac 2{\pi}\bigg[ J_{\alpha}(x)\bigg(\ln \dfrac {|x|}2+{\gamma}\bigg) &+x^{\alpha}\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}\big(h_k+h_{k+\alpha}\big)} {2^{2k+\alpha+1}k!(k+{\alpha})!} x^{2k}\\ &-x^{-\alpha}\sum\limits_{k=0}^{\alpha-1} \dfrac{(\alpha-k-1)!}{2^{2k-\alpha+1}k!}x^{2k}\bigg], \end{aligned}\]

þar sem \(h_k=1+1/2+1/3+\cdots+1/k\) og \({\gamma}\) táknar fasta Eulers, nefnist fall Bessels af annarri gerð með vísi \({\alpha}\).


Almenn lausn á Bessel-jöfnunni með vísi \({\alpha}\) er línuleg samantekt af \(J_{\alpha}\) og \(Y_{\alpha}\), \({\alpha}=1,2,3,\dots\). Það er hægt að skilgreina \(Y_{\alpha}\) fyrir önnur gildi á \({\alpha}\). Það er gert með formúlunni

\[Y_{\alpha}(x)=\dfrac 1{\sin {\alpha}{\pi}}\left[ J_{\alpha}(x)\cos{\alpha}{\pi} -J_{-{\alpha}}(x) \right], \qquad {\alpha}\in {{\mathbb C}}, \ {{\operatorname{Re\, }}}{\alpha}\geq 0, {\alpha}\neq 1,2,3,\dots.\]

Þá fæst nokkuð merkileg formúla

\[Y_{\alpha}(x)=\lim_{{\beta}\to {\alpha}} Y_{\beta}(x), \qquad {\alpha}=1,2,3,\dots .\]

Við höldum ekki lengra inn á þessa braut og endum kaflann með gröfum fallanna \(J_0\), \(Y_0\), \(J_1\), \(Y_1\), \(J_2\) og \(Y_2\).