7. LÍNULEGAR AFLEIÐUJÖFNUR

7.1. Línulegir afleiðuvirkjar

7.1.1. Kennimargliðan

Afleiðujafna af gerðinni

\[a_m(t)u^{(m)}+a_{m-1}(t)u^{(m-1)}+\cdots+a_1(t)u'+a_0(t)u=f(t),\]

þar sem föllin \(a_0,\dots,a_m,f\) eru skilgreind á bili \(I\subset {{\mathbb R}}\), er sögð vera línulegen: linear differential equation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, því vinstri hliðin skilgreinir línulega vörpun

\[\begin{aligned}\begin{gathered} L:C^ m(I)\to C(I),\\ Lu(t)= a_m(t)u^{(m)}(t)+a_{m-1}(t)u^{(m-1)}(t)+ \cdots+a_1(t)u'(t)+a_0(t)u(t),\end{gathered}\end{aligned}\]

ef \(a_0,\dots,a_m\in C(I)\). Línuleg vörpun af þessari gerð kallast afleiðuvirkien: differential operator
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
. Við segjum að jafnan sé óhliðruðen: homogeneous
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef \(f\) er núllfallið. Annars segjum við að hún sé hliðruðen: inhomogeneous
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
. Fyrir sérhvern punkt \(t\in I\) fáum við margliðu af einni breytistærð \(\lambda\),

\[P(t,\lambda)= a_m(t)\lambda^{m}+a_{m-1}(t)\lambda^{m-1}+\cdots+a_1(t)\lambda+a_0(t).\]

Þessa margliðu köllum við kennimargliðuen: characteristic polynomial
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
afleiðuvirkjans \(L\).

7.1.2. Afleiðuvirkinn \(D\)

Til þess að geta reiknað á auðveldan hátt með afleiðuvirkjum er venja að skilgreina virkjann \(D\) sem \(Du=u'\) og síðan veldi \(D^ k\) af \(D\) með

\[D^ 0u=u, \quad D^ 1u=u', \quad D^ 2u=DDu=u{{^{\prime\prime}}}, \quad \dots \quad D^ ku= D D^ {k-1}u=u^{(k)}.\]

Afleiðuvirkinn \(L\) er síðan skrifaður með formúlunni

\[P(t,D)=a_m(t)D^ m+\cdots+a_1(t)D+a_0(t).\]

Athugið að í síðasta liðnum höfum við sleppt því að skrifa \(D^ 0\), en þetta á að lesa þannig að þegar virkinn \(L\) er látinn verka á fallið \(u\), er margfaldað með \(a_0(t)\) í síðasta liðnum.

Ef allir stuðlarnir \(a_j\) eru fastaföll, þá segjum við að virkinn hafi fastastuðla og við skrifum þá einungis \(P(D)\) í stað \(P(t,D)\).

Þegar ekki er ljóst í formúlum með tilliti til hvaða breytistærðar er verið að deilda, þá tilgreinum við það með \(D_t\), \(D_x\), \(D_s\), …, í stað \(D\) í tákninu fyrir virkjann, þar sem lágvísirinn er táknið fyrir breytistærðina.

Línulega samantekt tveggja afleiðuvirkja \(P(t,D)\) og \(Q(t,D)\) með tvinntölunum \(\alpha\) og \(\beta\) táknum við með \(\alpha P(t,D)+\beta Q(t,D)\). Þetta er virkinn sem skilgreindur er með formúlunni

\[\big(\alpha P(t,D) + \beta Q(t,D)\big)u= \alpha P(t,D)u + \beta Q(t,D)u.\]

Samsetningu virkjanna \(P(t,D)\) og \(Q(t,D)\) táknum við með \(P(t,D)Q(t,D)\) og er hún skilgreind með

\[\big(P(t,D)Q(t,D)\big)u= P(t,D)\big(Q(t,D)u\big).\]

Sýnt er með dæmum að almennt er \(P(t,D)Q(t,D)\neq Q(t,D)P(t,D)\), með öðrum orðum, víxlreglan gildir ekki við samsetningu afleiðuvirkja. Hins vegar gildir hún ef virkjarnir hafa fastastuðla:

7.1.2.1. Setning

Ef \(P(D)\) og \(Q(D)\) eru línulegiren: linear
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
afleiðuvirkjarEkki fannst þýðing á hugtakinu: deildavirkjar með fastastuðla þá er

\[P(D)Q(D)=Q(D)P(D).\]

Nú skulum við líta á tilvist á lausnum á jaðargildisverkefnum. Í grein 6.5 skilgreindum við almennan jaðargildisvirkja með formúlunni

\[\begin{aligned}\begin{cases} B:C^{m-1}[a,b]\to {{\mathbb C}}^m, \qquad Bu=(B_1u,\dots,B_mu),\\ B_ju=\sum\limits_{l=1}^m {\alpha}_{jl}u^{(l-1)}(a) +{\beta}_{jl}u^{(l-1)}(b)=c_j, &j=1,2,\dots,m. \end{cases}\end{aligned}\]

Við höfum fullkomna lýsingu á því hvenær lausn fæst:

7.1.2.2. Setning

Látum \(I\) vera opið bil sem inniheldur \([a,b]\), \(P(t,D)\) vera línulegan afleiðuvirkja, \(a_m(t)\neq 0\) fyrir öll \(t\in I\) og \(B\) vera almennan jaðargildisvirkja. Þá eru eftirfarandi skilyrði jafngild

(i) Jaðargildisverkefnið \(P(t,D)u=f(t)\), \(Bu=c\), hefur ótvírætt ákvarðaða lausn \(u\in C^m(I)\) fyrir sérhvert \(f\in C(I)\) og sérhvert \(c\in {{\mathbb C}}^m\).

(ii) Jaðargildisverkefnið \(P(t,D)u=0\), \(Bu=0\), hefur einungis núllfallið sem lausn.

(iii) Ef \(u_1,\dots,u_m\) er grunnur í \(\mathcal{N}(P(t,D))\), þá er

\[\begin{aligned}\left|\begin{matrix} B_1u_1 & B_1u_2 & \cdots & B_1u_m\\ B_2u_1 & B_2u_2 & \cdots & B_2u_m\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ B_mu_1 & B_mu_2 & \cdots & B_mu_m \end{matrix}\right|\neq 0.\end{aligned}\]

Hugsum okkur nú að við þekkjum grunn \(u_1,\dots,u_m\) fyrir núllrúm virkjans \(P(t,D)\) og eina sérlausn \(u_p\) á \(P(t,D)u=f\). Þá er lausnin \(u\) á (i) af gerðinni \(u=d_1u_1+\cdots+d_mu_m+u_p\) þar sem stuðlarnir \(d_1,\dots,d_m\) eru lausnir jöfnuhneppisins

\[\begin{aligned}\left[\begin{matrix} B_1u_1 & B_1u_2 & \cdots & B_1u_m\\ B_2u_1 & B_2u_2 & \cdots & B_2u_m\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ B_mu_1 & B_mu_2 & \cdots & B_mu_m \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} d_1\\ d_2\\ \vdots \\ d_m\end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} c_1-B_1u_p\\ c_2-B_2u_p\\ \vdots \\ c_m-B_mu_p \end{matrix}\right].\end{aligned}\]

7.2. Línulegar jöfnur með fastastuðla

7.2.1. Línulegar jöfnur með fastastuðla

Við skulum nú líta á línulega afleiðujöfnuen: linear differential equation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.

\[P(D)u = (a_mD^m+\cdots+a_1D+a_0)u =f(t), \qquad t\in I,\]

þar sem við gerum ráð fyrir því að stuðlarnir \(a_j\) í virkjanum séu fastaföll, \(a_j\in {{\mathbb C}}\), og \(a_m\neq 0\). Kennimargliðanen: characteristic polynomial
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er þá

\[P(\lambda)=a_m\lambda^m+\cdots+a_1\lambda+a_0.\]

Fyrsta viðfangsefni okkar er að finna grunn fyrir núllrúmið \(\mathcal{N}(P(D))\) og fá þannig framsetningu á almennri lausnen: complete solution
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
óhliðruðuen: inhomogeneous
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
jöfnunnar \(P(D)u=0\). Við byrjum á því að láta afleiðuvirkjana \(D^ k\) verka á veldisvísisfallið \(e^{\alpha t}\), þar sem \(\alpha\) er einhver tvinntala. Þá fæst

\[De^{\alpha t}=\alpha e^{\alpha t},\quad D^2e^{\alpha t}=\alpha^2 e^{\alpha t},\quad \dots , \quad D^me^{\alpha t}=\alpha^m e^{\alpha t}.\]

Þetta gefur okkur síðan

\[\begin{aligned} P(D)e^{\alpha t}&=(a_mD^m+\cdots+a_1D+a_0)e^{\alpha t} \\ &=(a_m{\alpha}^m+\cdots+a_1{\alpha}+a_0)e^{\alpha t}=P(\alpha)e^{\alpha t}.\end{aligned}\]

Ef við veljum \(\alpha\) sem eina af núllstöðvum kennimargliðunnar \(P\), þá sjáum við að \(e^{\alpha t}\) er lausn á óhliðruðu jöfnunni. Undirstöðusetning algebrunnar gefur okkur, að við getum þáttað margliðuna \(P\) fullkomlega yfir tvinntölurnar og skrifað hana sem

\[P(\lambda)=a_m(\lambda-\lambda_1)^{m_1}\cdots (\lambda-\lambda_\ell)^{m_\ell},\]

þar sem \(\lambda_1,\dots,\lambda_\ell\in {{\mathbb C}}\) eru núllstöðvarnaren: null
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
og \(m_1,\dots,m_\ell\) er margfeldnien: degeneracy
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
þeirra, \(m_1+\cdots+m_\ell=m\). Með því að nota þessa framsetningu á kennimargliðunni getum við skrifað afleiðuvirkjann sem

\[P(D)=a_m(D-\lambda_1)^{m_1}\cdots(D-\lambda_\ell)^{m_\ell}.\]

Við fáum nú fullkomna lýsingu á núllrúmen: kernel
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
afleiðuvirkja með fastastuðla:

7.2.1.1. Setning

Gerum ráð fyrir að \(P(D)\) sé línulegur afleiðuvirki af stigi \(m\) með fastastuðla og að kennimargliðan \(P(\lambda)\) hafi \(\ell\) ólíkar núllstöðvar \(\lambda_1,\dots,\lambda_\ell\in {{\mathbb C}}\) með margfeldnina \(m_1,\dots,m_\ell\). Þá mynda föllin

\[\begin{aligned}\begin{gathered} e^{\lambda_1t}, te^{\lambda_1t},\dots, t^{m_1-1}e^{\lambda_1t},\\ e^{\lambda_2t}, te^{\lambda_2t},\dots, t^{m_2-1}e^{\lambda_2t},\\ \quad \vdots\qquad \vdots \qquad \qquad \vdots\\ e^{\lambda_\ell t}, te^{\lambda_\ell t},\dots, t^{m_\ell-1}e^{\lambda_\ell t},\end{gathered}\end{aligned}\]

grunn í núllrúmi virkjans \(P(D)\) og þar með má skrifa sérhvert stak í núllrúminu sem

\[q_1(t)e^{\lambda_1t}+\cdots+q_\ell(t)e^{\lambda_\ell t},\]

þar sem \(q_j\) eru margliður af stigi \(<m_j\), \(1\leq j\leq \ell\).

7.3. Euler-jöfnur

7.3.1. Euler-jöfnur

Afleiðujafna af gerðinni

\[P(x,D_x)u= a_mx^mu^{(m)}+\cdots+a_1xu{{^{\prime}}}+a_0u=0,\]

þar sem stuðlarnir \(a_j\) eru tvinntölur, \(a_m\neq 0\) og \(u\) er óþekkt fall af \(x\), nefnist Euler-jafna.

Til þess að fá almenna lýsingu á lausnum jöfnunnar á \({{\mathbb R}}\setminus{{\{0\}}}\) dugir okkur að finna almenna lausn á jákvæða raunásnum, því auðvelt er að sannfæra sig um að \(v(x)=u(|x|)\) er lausn á \({{\mathbb R}}\setminus{{\{0\}}}\) þá og því aðeins að \(u\) sé lausn á \(\{x\in {{\mathbb R}}; x>0\}\).

Athugið að veldið á \(x\) í hverjum lið er það sama og stigið á afleiðunni. Ef við stingum \(u(x)=x^r\) inn í afleiðuvirkjann, þá fæst

\[\begin{aligned} P(x,D_x)u &=a_mx^m r(r-1)\cdots(r-m+1)x^{r-m} +\cdots+a_1xrx^{r-1}+a_0x^r\\ &=\big(a_m r(r-1)\cdots(r-m+1)+ \cdots+a_1r+a_0\big)x^r.\end{aligned}\]

Þar með er \(u\) lausn þá og því aðeins að \(r\) sé núllstöð \(m\)-ta stigs margliðunnar \(Q\), sem skilgreind er með formúlunni

\[Q(r)=a_m r(r-1)\cdots(r-m+1)+\cdots+a_1r+a_0.\]

Lítum fyrst á tilfellið að þessi jafna hafi ólíkar núllstöðvar \(r_1,\dots, r_m\). Þá er auðvelt að sannfæra sig um að föllin \(x^{r_1},\dots,x^{r_m}\) eru línulega óháð og þar með er almenn lausn á Euler jöfnu af gerðinni

\[u(x)=c_1x^{r_1}+\cdots+c_mx^{r_m}.\]

Nú skulum við athuga tilfellið þegar \(Q(r)\) hefur margfaldar núllstöðvar. Þá skilgreinum við fallið \(v(t)=u(e^t)\) og sýnum fram á að \(v\) uppfylli \(Q(D)v=0\). Við þurfum þá að þekkja sambandið milli afleiða fallanna \(u\) og \(v\). Við höfum

\[\begin{aligned} u(x)&=v(\ln x),\\ u{{^{\prime}}}(x)&=v{{^{\prime}}}(\ln x)\cdot \dfrac 1x,\\ u{{^{\prime\prime}}}(x)&=v{{^{\prime\prime}}}(\ln x)\cdot \dfrac 1{x^2} -v{{^{\prime}}}(\ln x)\cdot \dfrac 1{x^2} = D(D-1)v(\ln x)\cdot \dfrac 1{x^2}.\end{aligned}\]

Með þrepun fæst síðan að

\[u^{(k)}(x)=D(D-1)\cdots(D-k+1)v(\ln x)\cdot \dfrac 1{x^k}.\]

Þetta gefur

\[\begin{aligned} P(x,D)u(x)&=\sum\limits_{k=0}^m a_kx^ku^{(k)}(x)\\ &=\sum\limits_{k=0}^m a_kD(D-1)\cdots(D-k+1)v(\ln x)\\ &=Q(D)v(\ln x).\end{aligned}\]

Þar með er \(u\) lausn á Euler-jöfnunni þá og því aðeins að \(v\) sé lausn á jöfnunni \(Q(D)v=0\). Nú hefur virkinn \(Q\) fastastuðla svo við getum beitt setningu 7.2.1:

7.3.1.1. Setning

Almenn lausn Euler-jöfnunnar á jákvæða raunásnum er línuleg samatekt fallanna

\[\begin{aligned}\begin{gathered} x^{r_1}, \big(\ln x \big) x^{r_1}, \dots, \big(\ln x\big)^{m_1-1}x^{r_1},\\ x^{r_2}, \big(\ln x\big)x^{r_2}, \dots, \big(\ln x \big)^{m_2-1} x^{r_2},\\ \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots\\ x^{r_\ell}, \big(\ln x \big)x^{r_\ell}, \dots, \big(\ln x\big)^{m_\ell-1} x^{r_\ell},\end{gathered}\end{aligned}\]

þar sem \(r_1,\dots,r_\ell\) eru ólíkar núllstöðvar margliðunnar \(Q\), sem gefin er með

\[Q(r)=a_m r(r-1)\cdots(r-m+1)+\cdots+a_1r+a_0\]

og margfeldni þeirra er \(m_1,\dots,m_\ell\).

7.4. Sérlausnir

Algengt er að ástandsjöfnur eðlisfræðilegra kerfa séu af gerðinni

\[P(D)u=f\]

þar sem \(P(D)\) er línulegur afleiðuvirki með fastastuðla og \(f\) er gefið fall á einhverju bili. Fallið \(f\) stendur oft fyrir ytra álag, örvun eða krafta, sem á kerfið verka, en lausnin er svörun kerfisins við þessu ytra álagi.

Til þess að skilja kerfið er nauðsynlegt að ráða yfir fjölbreytilegum aðferðum til þess að reikna út svörunina \(u\) þegar ytra álagið \(f\) er gefið.

Í þessari grein ætlum við að líta á tilfellið að \(f\) sé veldisvísisfall eða hornafall og athuga hvort hægt sé að finna sérlausn af sömu gerð. Í næstu grein munum við hins vegar fjalla um almenna aðferð til þess að finna sérlausn fyrir hvaða hægri hlið sem er.

Við höfum séð að \(P(D)e^{\alpha t}=P(\alpha)e^{\alpha t}\). Ef \(\alpha\) er núllstöð kennimargliðunnar \(P\), þá er veldisvísisfallið \(e^{\alpha t}\) lausn á óhliðruðu jöfnunni. Ef aftur á móti \(P(\alpha) \neq 0\), þá er

\[P(D)u_p=e^{\alpha t} \qquad\text{ ef } \qquad u_p(t)=\dfrac{e^{\alpha t}}{P(\alpha)}.\]

Ef \(\alpha\in {{\mathbb R}}\), \(P(i\alpha)\neq 0\) og \(P(-i\alpha)\neq 0\), þá fáum við með því að nota jöfnur Eulers að

\[ \begin{aligned}P(D)u_p=\cos \alpha t \qquad\text{ ef } \qquad u_p(t)=\\\dfrac{e^{i\alpha t}}{2P(i\alpha)}+ \dfrac{e^{-i\alpha t}}{2P(-i\alpha)},\end{aligned} \]

og

\[P(D)u_p=\sin \alpha t \qquad\text{ ef } \qquad u_p(t)=\dfrac{e^{i\alpha t}}{2iP(i\alpha)} -\dfrac{e^{-i\alpha t}}{2iP(-i\alpha)}.\]

Í því tilfelli að kennimargliðan hefur eingöngu rauntalnastuðla, þá verða lausnirnar í þessum tveimur dæmum

\[u_p(t)={{\operatorname{Re\, }}}\bigg(\dfrac{e^{i{\alpha}t}}{P(i{\alpha})}\bigg), \qquad \text{ og } \qquad u_p(t)={{\operatorname{Im\, }}}\bigg(\dfrac{e^{i{\alpha}t}}{P(i{\alpha})}\bigg).\]

Ef \(\alpha\in {{\mathbb R}}\), \(P(\alpha)\neq 0\) og \(P(-\alpha)\neq 0\), þá fáum við að

\[P(D)u_p=\cosh \alpha t \qquad\text{ ef }\qquad u_p(t)=\dfrac{e^{\alpha t}}{2P(\alpha)}+\dfrac{e^{-\alpha t}}{2P(-\alpha)},\]

og

\[P(D)u_p=\sinh \alpha t \qquad\text{ ef }\qquad u_p(t)=\dfrac{e^{\alpha t}}{2P(\alpha)}-\dfrac{e^{-\alpha t}}{2P(-\alpha)}.\]

7.4.1. Sérlausnir fundnar með virkjareikningi

Nú skulum við láta afleiðuvirkjann \(D-{\alpha}\) verka á margfeldi fallanna \(v\) og \(e^{{\alpha} t}\). Við fáum þá

\[(D-\alpha)(ve^{\alpha t}) =D(ve^{\alpha t})-\alpha ve^{\alpha t} = v{{^{\prime}}}e^{\alpha t}.\]

Af þessari formúlu fæst síðan með þrepun

\[(D-\alpha)^ m(ve^{\alpha t})= v^{(m)} e^{\alpha t}\qquad m\geq 1.\]

Ef við veljum nú \(v(t)=t^ k\), þá fáum við

\[\begin{aligned}(D-\alpha)^ m(t^ ke^{\alpha t})= \begin{cases} 0, &k<m,\\ k!e^{\alpha t},& k=m,\\ k(k-1)\cdots(k-m+1)t^{k-m}e^{\alpha t},& k>m. \end{cases}\end{aligned}\]

Hugsum okkur nú að \(\alpha\) sé núllstöð \(P\) af stigi \(k\). Þá er unnt að þátta margliðuna \(P\) í \(P(\lambda)=(\lambda-\alpha)^kQ(\lambda)\), þar sem \(Q(\lambda)\) er margliða af stigi \(m-k\) og \(Q(\alpha)\neq 0\). Samkvæmt jöfnunni hér að framan er

\[P(D)(t^ke^{\alpha t}) = Q(D)(D-\alpha)^k(t^ke^{\alpha t})= Q(D)(k!e^{\alpha t})=k!Q(\alpha)e^{\alpha t}.\]

Þetta gefur okkur að

\[P(D)u_p=e^{\alpha t} \qquad \text{ ef } \qquad u_p(t) = \dfrac{t^ke^{\alpha t}}{k!Q(\alpha)}.\]

Nú skulum við gera ráð fyrir því að \(i\alpha\) sé núllstöð \(P\) af stigi \(k\) og að \(-i\alpha\) sé núllstöð \(P\) af stigi \(l\). Þá getum við þáttað \(P\) á tvo mismunandi vegu í

\[P(\lambda)= (\lambda-i\alpha)^kQ(\lambda), \qquad P(\lambda)= (\lambda+i\alpha)^lR(\lambda),\]

þar sem \(Q\) og \(R\) eru margliður af stigi \(m-k\) og \(m-l\), \(Q(i\alpha)\neq 0\) og \(R(-i\alpha)\neq 0\). Þetta gefur að

\[P(D)u_p=\cos \alpha t \qquad\text{ ef } \qquad u_p(t)=\dfrac{t^ke^{i\alpha t}}{2(k!)Q(i\alpha)}+ \dfrac{t^le^{-i\alpha t}}{2(l!)R(-i\alpha)},\]

og

\[P(D)u_p=\sin \alpha t \qquad \text{ ef } \qquad u_p(t)=\dfrac{t^ke^{i\alpha t}}{2i(k!)Q(i\alpha)}- \dfrac{t^le^{-i\alpha t}}{2i(l!)R(-i\alpha)}.\]

7.5. Green-föll

7.5.1. Green-föll

Í síðustu grein skoðuðum við nokkrar einfaldar aðferðir til að finna sérlausnir á línulegum jöfnum með fastastuðla, þar sem hægri hlið jöfnunnar \(f(t)\) er veldisvísisfall eða eitthvert skylt fall. Núna ætlum við að kynna okkur almenna aðferð til þess að finna sérlausn á

\[P(t,D)u=(a_m(t)D^m+\cdots+a_1(t)D+a_0(t))u=f(t), \qquad t\in I,\]

þar sem \(I\) er eitthvert bil á rauntalnaásnum, föllin \(a_0, \dots,a_m,f\) eru í \(C(I)\) og \(a_m(t)\neq 0\) fyrir öll \(t\in I\).

Ef \(\tau\in I\) er einhver ótiltekinn punktur, þá segir fylgisetning 6.7.7 að til sé ótvírætt ákvörðuð lausn í \(C^m(I)\) á upphafsgildisverkefninu

\[P(t,D_t)u=0, \qquad u(\tau)=u{{^{\prime}}}(\tau)=\cdots=u^{(m-2)}(\tau)=0, \quad u^{(m-1)}(\tau)=1/a_m({\tau}).\]

Við táknum hana með \(G(t,\tau)\). Þar með ákvarðast fallið \(G\) af skilyrðunum

\[\begin{aligned}\begin{gathered} P(t,D_t)G(t,\tau)=0, \qquad t,\tau\in I,\\ G(\tau,\tau)=\partial_tG(\tau,\tau)=\cdots= \partial_t^{(m-2)}G(\tau,\tau)=0, \quad \partial_t^{(m-1)}G(\tau,\tau)=1/a_m({\tau}). \end{gathered}\end{aligned}\]

Nú tökum við \(a\in I\) og sýnum fram á að fallið

\[u_p(t) = \int_a^ t G(t,\tau)f(\tau) \, d\tau, \qquad t\in I,\]

uppfylli jöfnuna \(P(t,D)u=f(t)\), \(t\in I\). Til þess að ráða við þetta þurfum við að vita að fallið \(G(t,\tau)\) sé heildanlegt með tilliti til \(\tau\) og jafnframt hvernig á að deilda fall sem gefið er með svona formúlu:

7.5.1.1. Hjálparsetning

Ef \(I\) er bil á raunásnum, \(a\in I\), \(f\in C(I)\) og \(g\in C(I\times I)\), er samfellt deildanlegt fall af fyrri breytistærðinni, þ.e. \({\partial}_tg\in C(I\times I)\), þá er fallið \(h\), sem gefið er með formúlunni

\[h(t)=\int_a^ t g(t, \tau)f(\tau) \, d\tau, \qquad t\in I,\]

í \(C^ 1(I)\) og afleiða þess er

\[h{{^{\prime}}}(t)=g(t,t)f(t)+\int_a^ t \partial_tg(t,\tau)f(\tau) \, d\tau, \qquad t\in I.\]

Nú skulum við ganga út frá því að \(\partial_t^{j}G\in C(I\times I)\) fyrir \(j=0,\dots,m\) og líta aftur á fallið \(u_p\) sem skilgreint var með

\[u_p(t) = \int_a^ t G(t,\tau)f(\tau) \, d\tau, \qquad t\in I.\]

Með því að beita hjálparsetningunni, fáum við að \(u_p\in C^ 1(I)\) og

\[u_p{{^{\prime}}}(t) = G(t,t)f(t)+\int_a^ t \partial_t G(t,\tau)f(\tau) \, d\tau.\]

Nú er \(G(t,t)=0\) fyrir öll \(t\in I\) samkvæmt fyrsta upphafsskilyrðinu á \(G\), svo við fáum að \(u_p\in C^ 2(I)\) og

\[u_p{{^{\prime\prime}}}(t) = \partial_tG(t,t)f(t) +\int_a^ t \partial_t^2G(t,\tau)f(\tau) \, d\tau.\]

Ef \(m > 2\) þá er \(\partial_tG(t,t)=0\) fyrir öll \(t\in I\) og við getum haldið áfram að deilda fallið \(u_p\), þar til við fáum að \(u_p\in C^ m(I)\) og

\[u_p^{(m)}(t) = \partial_t^{m-1}G(t,t)f(t)+\int_a^ t \partial_t^mG(t,\tau)f(\tau) \, d\tau.\]

Nú er \(\partial_t^{m-1}G(t,t)=1/a_m(t)\) fyrir öll \(t\in I\). Við tökum saman liði og fáum

\[\begin{aligned} P(t,D_t)u_p(t)&= a_m(t)f(t)/a_m(t) +\sum\limits_{j=0}^ m a_j(t)\int_a^ t \partial_t^jG(t,\tau)f(\tau)\, d\tau=\\ &=f(t)+\int_a^ t P(t,D_t)G(t,\tau)f(\tau)\, d\tau=f(t),\end{aligned}\]

því \(P(t,D_t)G(t,\tau)=0\) fyrir öll \(\tau\in I\). Á jöfnunum fyrir afleiður \(u_p\) sjáum við að

\[u_p(a)=u_p{{^{\prime}}}(a)=\cdots=u_p^{(m-1)}(a)=0.\]

Við getum því tekið saman útreikninga okkar:

7.5.1.2. Setning

Látum \(I\) vera bil á rauntöluásnum, \(a\in I\) og \(P(t,D)\) vera línulegan afleiðuvirkja

\[P(t,D)u=(a_m(t)D^m+\cdots+a_1(t)D+a_0(t))u\]

með samfellda stuðla og \(a_m(t)\neq 0\) fyrir öll \(t\in I\). Fyrir sérhvert \(f\in C(I)\) er til ótvírætt ákvörðuð lausn \(u_p\in C^ m(I)\) á upphafsgildisverkefninu

\[P(t,D)u=f(t), \qquad u(a)=u{{^{\prime}}}(a)=\cdots=u^{(m-1)}(a)=0,\]

og er hún gefin með formúlunni

\[u_p(t) = \int_a^ t G(t,\tau)f(\tau) \, d\tau, \qquad t\in I,\]

þar sem \(G\), er lausnin á upphafsgildisverkefninu

\[\begin{aligned}\begin{gathered} P(t,D_t)G(t,\tau)=0, \qquad t,\tau\in I,\\ G(\tau,\tau)=\partial_tG(\tau,\tau)=\cdots= \partial_t^{(m-2)}G(\tau,\tau)=0, \quad \partial_t^{(m-1)}G(\tau,\tau)=1/a_m({\tau}). \end{gathered}\end{aligned}\]

Fallið \(G(t,\tau)\) er \(m\)-sinnum samfellt deildanlegt fall af \(t\) fyrir sérhvert \(\tau\in I\) og \(\partial_t^jG\in C(I\times I)\) fyrir \(j=0,\dots,m\).

7.5.1.3. Skilgreining

Fallið \(G(t,\tau)\) í síðustu setningu kallast Green-fall virkjans \(P(t,D)\). Við tölum einnig um fall Greens.


Mjög auðvelt er að ákvarða Green-fallið fyrir línulegan afleiðuvirkja með fastastuðla:

7.5.1.4. Fylgisetning

Gerum ráð fyrir að \(P(D)=a_mD^ m+\cdots+a_1D+a_0\) sé línulegur afleiðuvirki með fastastuðla. Látum \(g\in C^{\infty}({{\mathbb R}})\) vera fallið sem uppfyllir

\[P(D)g=0, \quad g(0)=g{{^{\prime}}}(0)=\cdots=g^{(m-2)}(0)=0, \quad g^{(m-1)}(0)=1/a_m.\]

Þá er \(G(t,\tau)=g(t-\tau)\) Green-fall virkjans \(P(D)\).

7.6. Wronski-fylkið og Wronski-ákveðan

7.6.1. Wronski-fylkið og Wronski-ákveðan

Nú skulum við láta \(G(t,\tau)\) tákna Green-fallið sem lýst er í setningu 7.5.2 og jafnframt gera ráð fyrir því að \(u_1,\dots, u_m\) sé grunnur í \(\mathcal{N}(P(t,D))\). Fyrst \(G(t,\tau)\) er lausn á óhliðruðu jöfnunni \(P(t,D_t)G(t,\tau)=0\) fyrir sérhvert \(\tau\in I\), þá getum við skrifað \(G(t,\tau)\) sem línulega samantekt af grunnföllunum með stuðlum sem eru háðir \(\tau\),

\[G(t,\tau)=c_1(\tau)u_1(t)+\cdots+c_m(\tau)u_m(t), \qquad t,\tau\in I.\]

Stuðlaföllin \(c_1,\dots,c_m\) ákvarðast síðan af upphafsskilyrðunum,

\[\begin{aligned} G(\tau,\tau) &= c_1(\tau)u_1(\tau)+\cdots+c_m(\tau)u_m(\tau)=0,\\ \partial_tG(\tau,\tau) &= c_1(\tau)u_1{{^{\prime}}}(\tau)+ \cdots+c_m(\tau)u_m{{^{\prime}}}(\tau)=0,\\ &\qquad\vdots\qquad\qquad\vdots\qquad\qquad\vdots\\ \partial_t^{m-2}G(\tau,\tau) &= c_1(\tau)u_1^{(m-2)}(\tau)+ \cdots+c_m(\tau)u_m^{(m-2)}(\tau)=0,\\ \partial_t^{m-1}G(\tau,\tau) &= c_1(\tau)u_1^{(m-1)}(\tau)+ \cdots+c_m(\tau)u_m^{(m-1)}(\tau)=1/a_m({\tau}).\end{aligned}\]

Á fylkjaformi verður þetta jöfnuhneppi

\[V(\tau)c(\tau)=a_m({\tau})^{-1}e_m,\]

þar sem \(V\in C(I,{{\mathbb C}}^{m\times m})\) er fylkjafallið

\[\begin{aligned}V(\tau)=V(u_1,\dots,u_m)(\tau)= \left[\begin{matrix} u_1(\tau)&\dots&u_m(\tau)\\ u_1{{^{\prime}}}(\tau)&\dots&u_m{{^{\prime}}}(\tau)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ u_1^{(m-1)}(\tau)&\dots&u_m^{(m-1)}(\tau) \end{matrix}\right]\end{aligned}\]

en \(c(\tau)=[c_1(\tau),\dots,c_m(\tau)]^t\) og \(e_m=[0,\dots,0,1]^t\).

7.6.1.1. Skilgreining

Látum \(I\) vera bil á \({{\mathbb R}}\) og \(u_1,\dots,u_m\) vera \(m-1\) sinnum deildanleg föll á \(I\). Þá nefnist fylkjagilda fallið \(V=V(u_1,\dots,u_m)\) Wronski-fylki fallanna \(u_1,\dots, u_m\). Ákveða þess kallast Wronski-ákveða fallanna \(u_1,\dots, u_m\) og hana táknum við með \(W=W(u_1,\dots,u_m)\).


Ef við þekkjum Wronski-ákveðuna af \(m\) lausnum á afleiðujöfnu í einum punkti, þá getum við reiknað hana út með því að leysa fyrsta stigs afleiðujöfnu:

7.6.1.2. Setning

Látum \(P(t,D)=a_m(t)D^ m+\cdots+a_1(t)D+a_0(t)\) vera afleiðuvirkja með samfellda stuðla, \(u_1,\dots,u_m\) vera lausnir á óhliðruðu jöfnunni \(P(t,D)u=0\) og táknum Wronski-ákveðu þeirra með \(W(t)\). Þá uppfyllir \(W\) fyrsta stigs afleiðujöfnuna

\[a_m(t) W{{^{\prime}}}+a_{m-1}(t)W=0\]

og þar með gildir formúlan

\[W(t)=W(a)\exp\bigg(-\int_a^ t\dfrac{a_{m-1}(\tau)}{a_m(\tau)}\, d\tau\bigg)\]

fyrir öll \(a\) og \(t\) á bili \(J\) þar sem \(a_m\) er núllstöðvalaust.


Formúluna fyrir Wronski-ákveðuna má nota á ýmsa vegu:

7.6.1.3. Setning

Látum \(u_1,\dots,u_m\) vera lausnir á óhliðruðu jöfnunni \(P(t,D)u=0\) og gerum ráð fyrir að \(a_m\) sé núllstöðvalaust á opnu bili \(J\subset I\). Þá eru eftirfarandi skilyrði jafngild:

(i) Föllin \(u_1,\dots,u_m\) eru línulega óháð á bilinu \(J\).

(ii) \(W(u_1,\dots,u_m)(t)\neq 0\) fyrir sérhvert \(t\in J\).

(iii) \(W(u_1,\dots,u_m)(a)\neq 0\) fyrir eitthvert \(a\in J\).

(iv) Dálkvigrarnir í Wronski-fylkinu \(V(u_1,\dots,u_m)(t)\) eru línulega óháðir fyrir sérhvert \(t\in J\).

(v) Dálkvigrarnir í Wronski-fylkinu \(V(u_1,\dots,u_m)(a)\) eru línulega óháðir fyrir eitthvert \(a\in J\).


Nú skulum við rifja það upp að \(n\times n\) fylki \(A\) hefur andhverfu þá og því aðeins að \(\det A\neq 0\). Andhverfuna er hægt að reikna út á ýmsa vegu, en til er formúla fyrir henni,

\[A^{[-1]}=\dfrac 1{\det A}B^ t,\]

þar sem \(B=(b_{jk})_{j,k=1}^ n\) táknar fylgiþáttafylki \(A\), sem er \(n\times n\) fylkið með stökin

\[b_{jk}=(-1)^{j+k}\det A_{jk},\]

þar sem \(A_{jk}\) er \((n-1)\times (n-1)\) fylkið, sem fæst með því að fella niður línu númer \(j\) og dálk númer \(k\) í fylkinu \(A\), og \(B^ t\) er fylkið \(B\) bylt, þar sem víxlað er á línum og dálkum í \(B\). Við höfum nú bætt miklu við þekkingu okkar á Green-föllum:

7.6.1.4. Setning

Látum \(I\) vera bil á \({{\mathbb R}}\) og \(P(t,D)=a_m(t)D^ m+\cdots+a_1(t)D+a_0(t)\) vera afleiðuvirkja með samfellda stuðla á \(I\) og \(u_1,\dots,u_m\) vera grunn í \(\mathcal{N}(P(t,D))\). Green-fallið er gefið með formúlunni

\[G(t,\tau)=c_1(\tau)u_1(t)+\cdots+c_m(\tau)u_m(t), \qquad t,\tau\in I,\]

þar sem vigurinn \(a_m({\tau})(c_1(\tau),\dots,c_m(\tau))\) myndar aftasta dálkinn í andhverfu Wronski-fylkisins \(V(u_1,\dots,u_m)(\tau)\),

\[c_j(\tau)=(-1)^{m+j} \dfrac{\det V_{mj}(u_1,\dots,u_m)(\tau)} {a_m({\tau})W(u_1,\dots, u_m)(\tau)},\]

þar sem \(V_{mj}(u_1,\dots,u_m)(\tau)\) táknar \((m-1)\times (m-1)\) fylkið sem fæst með því að fella niður neðstu línuna og dálk númer \(j\) í \(V(u_1,\dots,u_m)(\tau)\). Ef \(f\in C(I)\), þá hefur upphafsgildisverkefnið lausnina \(u_p\in C^ m(I)\) sem gefin er með

\[u_p(t)=v_1(t)u_1(t)+\cdots+v_m(t)u_m(t), \qquad t\in I,\]

þar sem stuðlaföllin \(v_j\) eru gefin með formúlunni

\[v_j(t)=\int_a^ t c_j(\tau)f(\tau) \, d\tau.\]

Við fáum nú beina formúlu fyrir Green-falli annars stigs virkja:

7.6.1.5. Fylgisetning

Látum \(P(t,D)=a_2(t)D^2+a_1(t)D+a_0(t)\) vera annars stigs afleiðuvirkja á bilinu \(I\) með samfellda stuðla og \(a_2(t)\neq 0\) fyrir öll \(t\in I\). Gerum nú ráð fyrir að \(u_1\) og \(u_2\) séu línulega óháðar lausnir á óhliðruðu jöfnunni \(P(t,D)u=0\). Þá er

\[\begin{aligned}G(t,\tau) =a_2(\tau)^{-1} \left|\begin{matrix} u_1(\tau) & u_1(t)\\ u_2(\tau) & u_2(t) \end{matrix}\right|\bigg / \left|\begin{matrix} u_1(\tau) & u_2({\tau})\\ u_1{{^{\prime}}}(\tau) & u_2{{^{\prime}}}({\tau}) \end{matrix}\right|.\end{aligned}\]