6. UNDIRSTÖÐUATRIÐI UM AFLEIÐUJÖFNUR

6.1. Skilgreiningar á nokkrum hugtökum

6.1.1. Venjulegar afleiðujöfnur

Afleiðujafnaen: differential equation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er jafna sem lýsir sambandi milli fallgilda óþekkts falls og gilda á einstökum afleiðum þess.

Ef óþekkta fallið er háð einni breytistærð, þá kallast jafnan venjuleg afleiðujafnaen: ordinary differential equation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
en ef það er háð fleiri en einni breytistærð, þá kallast hún hlutafleiðujafnaEkki fannst þýðing á hugtakinu: hlutafleiðujafna.

Venjulega afleiðujöfnu er alltaf hægt að umrita yfir í jafngilda jöfnu af gerðinni

\[F(t,u,u',u{{^{\prime\prime}}},\dots,u^{(m)})=0\]

þar sem við hugsum okkur að \(t\) sé breytistærð, sem tekur gildi í einhverju hlutmengi \(A\) af \({{\mathbb R}}\) og að \(u\) sé óþekkt fall sem skilgreint er á \(A\) og tekur gildi í \({{\mathbb R}}\), \({{\mathbb C}}\) eða jafnvel \({{\mathbb R}}^m\).

Úrlausn jöfnunnar felst í því að finna opið bil \(I\subset A\) og öll föll \(u\) þannig að vigurinn

\[(t,u(t),u{{^{\prime}}}(t),\dots,u^{(m)}(t))\]

sé í skilgreiningarmengi fallsins \(F\) og uppfylli jöfnuna

\[F(t,u(t),u'(t),u{{^{\prime\prime}}}(t),\dots,u^{(m)}(t))=0, \qquad t\in I.\]

Við segjum þá að fallið \(u\) sé lausn á fyrstu afleiðujöfnunni hér að ofan. Stig er hæsta stig á afleiðu, sem kemur fyrir í jöfnunni. Við segjum að \(m\)-ta stigs afleiðujafnan hér að ofan sé á staðalformi þegar hún hefur verið umrituð yfir í jafngilda jöfnu af taginu

\[u^{(m)}=G(t,u,u',\dots,u^{(m-1)}).\]

6.1.2. Línulegar afleiðujöfnur

Afleiðujafna af gerðinni

\[a_m(t)u^{(m)}+a_{m-1}(t)u^{(m-1)}+\cdots+a_1(t)u'+a_0(t)u=f(t),\]

þar sem föllin \(a_0,\dots,a_m,f\) eru skilgreind á bili \(I\subset {{\mathbb R}}\), er sögð vera línulegen: linear differential equation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
. Ástæðan fyrir nafngiftinni er, að vinstri hliðin skilgreinir línulega vörpun

\[\begin{aligned}\begin{gathered} L:C^ m(I)\to C(I),\\ Lu(t)= a_m(t)u^{(m)}(t)+a_{m-1}(t)u^{(m-1)}(t)+ \cdots+a_1(t)u'(t)+a_0(t)u(t),\end{gathered}\end{aligned}\]

ef \(a_0,\dots,a_m\in C(I)\). Hér táknar \(C^m(I)\) línulegt rúm allra \(m\) sinnum samfellt deildanlegra falla á \(I\) og \(C(I)\) táknar rúm allra samfelldra falla á \(I\). Við segjum að línulega jafna sé óhliðruðen: homogeneous linear differential equation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef \(f\) er núllfallið. Annars segjum við að hún sé hliðruðen: inhomogeneous linear differential equation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.

6.1.3. Hlutafleiðujöfnur

Erfitt er að lýsa hlutafleiðujöfnum með almennum hætti eins, en sem dæmi um hlutafleiðujöfnur getum við tekið

\(\partial_xu+i\partial_yu=0\) (Cauchy-Riemann-jafna)
\(\partial_x^2u+\partial_y^2u=0\) (Laplace-jafna)
\(\partial_tu-\kappa(\partial_x^ 2u+\partial_y^ 2u+\partial_z^2u)=f(x,y,z,t)\) (varmaleiðnijafna)
\(\partial_t^2u-c^2(\partial_x^ 2u+\partial_y^ 2u+\partial_z^2u)=f(x,y,z,t)\) (bylgjujafna)

6.1.4. Tilvist og ótvíræðni lausna

Það eru margvíslegar spurningar sem menn leita svara við þegar afleiðujöfnur eru leystar.

Eðlilega fjallar fyrsta spurningin um tilvist á lausn. Ef henni er svarað játandi er eðlilegt að spyrja næst með hvaða skilyrðum lausn sé ótvírætt ákvörðuð og síðan hvernig ákvarða megi lausnir og finna nálganir á þeim.

Til þess að útskýra þetta skulum við líta á einföldustu afleiðujöfnu sem hugsast getur

\[u'=0.\]

Við vitum að öll fastaföll, \(u(t)=c\), \(t\in{{\mathbb R}}\), uppfylla þessa jöfnu og að sérhver lausn er fastafall. Spurningunni um tilvist er því svarað játandi, en spurningunni um ótvíræðni er svarað neitandi, því við höfum óendanlega margar lausnir. Lítum á aðeins flóknara dæmi, nefnilega jöfnuna

\[u'=f,\]

þar sem við hugsum okkur að fallið \(f\) sé samfellt á bilinu \(I\subset {{\mathbb R}}\). Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar segir okkur að sérhvert stofnfall \(f\) sé lausn. Jafnframt vitum við að mismunur tveggja stofnfalla er fastafall og því er sérhver lausn af gerðinni

\[u(t)=b+\int_a^ t f(\tau) \, d\tau, \qquad t,a\in I.\]

Ef við setjum nú það skilyrði að lausnin eigi að taka ákveðið gildi \(b\) í punktinum \(a\in I\),

\[u'=f(t), \qquad u(a)=b,\]

þá gefur undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar að til er ótvírætt ákvörðuð lausn og hún er sett fram með formúlunni hér að framan.

6.2. Fyrsta stigs jöfnur

6.2.1. Línulegar jöfnur

Fyrsta stigs línuleg afleiðujafna er af gerðinni

\[a_1(t)u'+a_0(t)u=f(t).\]

Við skulum rifja upp aðferðina til að leysa þessa jöfnu í því tilfelli að stuðlarnir eru samfelld föll á einhverju bili \(I\) og að \(a_1(t)\neq 0\) fyrir öll \(t\in I\). Með því að deila í gegnum jöfnuna með \(a_1(t)\), þá getum við gert ráð fyrir því að \(a_1\) sé fastafallið \(1\) og við ætlum því að leysa

\[u'+a_0(t)u=f(t).\]

Aðferðin gengur út á að skilgreina \(A\) sem eitthvert stofnfall \(a_0\),

\[A(t)=c+\int_a^t a_0({\tau})\, d{\tau}, \qquad t,a\in I,\]

og athuga að ef \(u\) er lausn, þá gildir

\[\dfrac d{dt} (e^{A(t)}u(t))=e^{A(t)}(u'(t)+a_0(t)u(t))=e^{A(t)}f(t).\]

Af þessari jöfnu leiðir síðan að

\[e^{A(t)}u=C+\int_a^t e^{A({\tau})}f({\tau}) \, d{\tau},\]

og þar með fæst almenna lausnarformúlan

\[u(t)=e^{-A(t)}(C+\int_a^t e^{A({\tau})}f({\tau}) \, d{\tau}),\]

þar sem \(C\) er einhver fasti. Þessi útreikningur okkar sýnir að sérhver lausn á jöfnunni hlýtur að vera af þessari gerð. Nú er hins vegar lauflétt að sýna að þetta er lausn, með því að stinga þessari formúlu inn í afleiðujöfnuna. Verkefnið

\[u'+a_0(t)u=f(t), \qquad u(a)=b,\]

hefur ótvírætt ákvarðaða lausn og hún er fundin með því að velja stofnfallið \(A\) þannig að \(A(a)=0\) og \(C=b\),

\[u(t)=e^{-A(t)}(b+\int_a^ t e^{A(\tau)}f(\tau) \, d\tau), \qquad A(t)=\int_a^ t a_0(\tau) \, d\tau.\]

6.2.2. Aðskiljanlegar jöfnur

Við segjum að fyrsta stigs afleiðujafna \(u'=f(t,u)\)aðskiljanleg ef hægt er að rita fallið \(f\) sem kvóta af gerðinni \(f(t,x)=g(t)/h(x)\). Til þess að leysa jöfnuna, þá skrifum við hana sem \(h(u)u'=g(t)\) og heildum síðan

\[\int h(u(t))u'(t) \, dt = c+\int g(t)\, dt,\]

þar sem \(c\) er heildunarfasti. Ef við viljum síðan leysa verkefnið

\[u'=f(t,u), \qquad u(a)=b,\]

þá veljum við stofnfall \(H\) fyrir \(h\) og heildum

\[H(u(t))-H(b)= \int_b^{u(t)} h(x) \, dx = \int_a^ t h(u({\tau}))u'({\tau}) \, d{\tau} = \int_a^ t g(\tau) \, d\tau.\]

Ef til er grennd um punktinn \(b\) þar sem fallið \(H\) hefur andhverfu, þá getum við skrifað lausnina sem

\[u(t) = H^{[-1]}\left( H(b)+G(t)\right), \qquad G(t)=\int_a^ t g(\tau)\, d\tau.\]

Í útreikningum á venjulegum dæmum borgar sig yfirleitt ekki að reikna út formúlu fyrir \(H^ {[-1]}\) og stinga síðan gildinu \(H(b)+G(t)\) inn í þá formúlu eins og lýst er hér. Þess í stað er betra að leysa \(u(t)\) úr jöfnunni \(H(u(t))-H(b)=G(t)\).

6.3. Afleiðujöfnuhneppi

Afleiðujöfnuhneppi er safn af jöfnum sem lýsa sambandi milli gilda óþekktra falla og gilda á einstökum afleiðum þeirra.

Ef óþekktu föllin eru háð einni breytistærð, þá kallast það venjulegt, en það kallast hlutafleiðujöfnuhneppi ef þau eru háð fleiri en einni breytistærð.

Venjulegt afleiðujöfnuhneppi er alltaf hægt að umrita yfir í jöfnur af gerðinni

\[F_j(t,u_1,\dots,u_k,u_1{{^{\prime}}},\dots,u_k{{^{\prime}}},\dots, u_1^{(m)},\dots,u_k^{(m)})=0, \qquad j=1,\dots,l,\]

þar sem \(t\) táknar breytistærðina, \(u_1,\dots,u_k\) eru óþekktu föllin og föllin \(F_1,\dots,F_l\) taka gildi í \({{\mathbb R}}\) eða \({{\mathbb C}}\).

Til þess að einfalda ritháttinn, þá skilgreinum við vigurgildu föllin \(u=(u_1,\dots,u_k)\) og \(F=(F_1,\dots,F_l)\). Þá eru jöfnurnar jafngildar vigurjöfnunni \(F(t,u,u{{^{\prime}}},\dots,u^{(m)})=0\) sem hefur sama útlit.

6.3.1. Staðalform hneppa

Við segjum að hneppið sé á staðalformi, ef fjöldi jafna og fjöldi óþekktra falla er sá sami og það er af gerðinni

\[u^{(m)}=G(t,u,u{{^{\prime}}},\dots,u^{(m-1)}).\]

Mikilvægustu hneppin sem við fáumst við eru fyrsta stigs venjuleg afleiðujöfnuhneppi á staðalformi

\[u{{^{\prime}}}=G(t,u).\]

Ef við skrifum upp hnitaföllin fyrir þetta hneppi, þá fáum við jöfnurnar

\[\begin{aligned} u_1{{^{\prime}}}&= G_1(t, u_1,\dots, u_m),\\ u_2{{^{\prime}}}&= G_2(t, u_1,\dots, u_m),\\ &\quad \vdots\\ u_m{{^{\prime}}}&= G_m(t, u_1,\dots, u_m),\end{aligned}\]

þar sem \(G_j:\Omega\to{{\mathbb R}}\), \(\Omega\subset {{\mathbb R}}\times{{\mathbb R}}^m\) eða \(G_j:\Omega\to{{\mathbb C}}\), \(\Omega\subset {{\mathbb R}}\times{{\mathbb C}}^m\) eftir því hvort við viljum að lausnin taki rauntölugildi eða tvinntölugildi.

Föllin \(u=(u_1,\dots,u_m)\) og \(G=(G_1,\dots,G_m)\) taka gildi í vigurrúminu \({{\mathbb R}}^ m\) eða \({{\mathbb C}}^ m\), eftir því hvort við hugsum okkur að lausnirnar eigi að taka rauntölugildi eða tvinntölugildi.

6.3.2. Línuleg afleiðujöfnuhneppi

Við segjum að fyrsta stigs jöfnuhneppi sé línulegt ef fallið \(G\) er af gerðinni

\[G(t,x)=A(t)x+f(t),\]

þar sem \(A(t)\) er \(m\times m\) fylki og \(f(t)\) er \(m\)–vigur. Ef við skrifum upp hnitin þá verður hneppið

\[\begin{aligned} u_1{{^{\prime}}}&=a_{11}(t)u_1+\cdots+a_{1m}(t)u_m+f_1(t),\\ u_2{{^{\prime}}}&=a_{21}(t)u_1+\cdots+a_{2m}(t)u_m+f_2(t),\\ &\qquad \qquad \vdots\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots\\ u_m{{^{\prime}}}&=a_{m1}(t)u_1+\cdots+a_{mm}(t)u_m+f_m(t).\end{aligned}\]

Hér eru föllin \(a_{jk}(t)\) stökin í fylkinu \(A(t)\). Við segjum að hneppið sé óhliðrað ef \(f\) er núllfallið og við segjum að það sé hliðrað annars.

6.3.3. Jöfnur af hærri stigum og jafngild hneppi

Lítum nú á venjulega \(m\)–ta stigs afleiðujöfnu á staðalformi

\[v^{(m)}=G(t,v,v{{^{\prime}}},\dots,v^{(m-1)}).\]

Ef við skilgreinum vigurfallið \(u=(u_1,\dots,u_m)\) með

\[u_1=v, \quad u_2=v{{^{\prime}}},\dots, \quad u_m=v^{(m-1)},\]

þá uppfyllir \(u\) jöfnuhneppið

\[u_1{{^{\prime}}}= u_2, \quad u_2{{^{\prime}}}= u_3, \quad\dots \quad u_{m-1}{{^{\prime}}}= u_m, \quad u_m{{^{\prime}}}=G(t, u_1,\dots,u_m).\]

Jafnan og jöfnuhneppið eru jafngild í þeim skilningi að sérhver lausn \(v\) á gefur lausn \(u=(v,v{{^{\prime}}},\dots,v^{(m-1)})\) á hneppinu og sérhver lausn \(u\) á hneppinu gefur lausnina \(v=u_1\) á jöfnunni.

Þessi einfalda staðreynd er mikilvæg, því einfalt reynist að sanna tilvist á lausnum á fyrsta stigs jöfnuhneppum á staðalformi.

Þá niðurstöðu er síðan hægt að nota til að sanna tilvist á lausnum á jöfnum af stigi stærra en \(1\).

Línulega afleiðujafnan

\[a_m(t)v^{(m)}+\cdots+a_1(t)v{{^{\prime}}}+ a_0(t)v=g(t)\]

er greinilega jafngild línulega hneppinu

\[\begin{aligned}\begin{gathered} u_1{{^{\prime}}}= u_2,\qquad u_2{{^{\prime}}}= u_3, \qquad \dots, \quad u_{m-1}{{^{\prime}}}= u_m\\ u_m{{^{\prime}}}=-(a_0(t)/a_m(t))u_1-\cdots-(a_{m-1}(t)/a_m(t))u_m+g(t)/a_m(t), \end{gathered}\end{aligned}\]

ef \(a_m(t)\neq 0\) fyrir öll \(t\in I\). Fylkið \(A\) og vigurinn \(f\) verða þá

\[\begin{aligned}A=\left[\begin{matrix} 0&1&\dots&0\\ 0&0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&1\\ -a_0/a_m&-a_1/a_m&\dots&-a_{m-1}/a_m \end{matrix}\right], \qquad f=\left[\begin{matrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ g/a_m \end{matrix}\right].\end{aligned}\]

6.4. Upphafsgildisverkefni

Oft hafa menn áhuga á að finna lausnir á afleiðujöfnum og afleiðujöfnuhneppum sem uppfylla einhverja ákveðna eiginleika.

Upphafsgildisverkefnien: Cauchy problem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
snúast um að leysa afleiðujöfnuhneppi með því hliðarskilyrði að lausnin og einhverjar afleiður hennar taki fyrirfram gefin gildi í ákveðnum punkti.

Upphafsgildisverkefni fyrir fyrsta stigs hneppi af staðalformi er til dæmis verkefnið

\[u{{^{\prime}}}=f(t,u), \quad t\in I, \qquad u(a)=b.\]

Hér er átt við að finna eigi lausn \(u=(u_1,\dots,u_m)\) á jöfnunni á bilinu \(I\), sem tekur gildið \(b=(b_1,\dots,b_m)\) í punktinum \(a\in I\). Upphafsgildisverkefni fyrir \(m\)-ta stigs línulega jöfnu er af gerðinni

\[\begin{aligned}\begin{cases} a_m(t)v^{(m)}+\cdots+a_1(t)v{{^{\prime}}}+a_0(t)v=g(t), & t\in I,\\ v(a)=b_0, \quad v{{^{\prime}}}(a)=b_1, \quad \dots \quad v^{(m-1)}(a)=b_{m-1}.& \end{cases}\end{aligned}\]

Ef \(a_m(t)\neq 0\) fyrir öll \(t\in I\), þá getum við deilt í gegnum jöfnuna með \(a_m(t)\) og umskrifað hana síðan yfir í jafngilt \(m\times m\) línulegt jöfnuhneppi með óþekkta vigurfallið \(u=(v,v{{^{\prime}}},\dots,v^{(m-1)})\).

6.5. Jaðargildisverkefni

Jaðargildisverkefnien: boundary value problem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
snúast um að leysa jöfnu

\[u^{(m)}=f(t,u,u{{^{\prime}}},\dots,u^{(m-1)})\]

af stigi \(m\) á takmörkuðu bili \(I=[a,b]\) með skilyrðum á

\[u(a), \ u'(a),\dots, \ u^{(m-1)}(a)\qquad \text{ og } \qquad u(b), \ u(b),\dots, \ u^{(m-1)}(b).\]

Þessi skilyrði eru venjulega sett fram þannig að ákveðnar línulegar samantektir af þessum fallgildum eigi að taka fyrirfram gefin gildi. Fyrir annars stigs jöfnu geta jaðarskilyrðinen: boundary condition
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
til dæmis verið

\[u(a)=0, \qquad u{{^{\prime}}}(b)=0.\]

Lotubundin jaðarskilyrði eru af gerðinni

\[u(a)=u(b), \qquad u{{^{\prime}}}(a)=u{{^{\prime}}}(b).\]

Almenn línuleg jaðarskilyrði fyrir annars stigs jöfnu eru

\[\begin{aligned} B_1u&={\alpha}_{11}u(a)+{\alpha}_{12}u{{^{\prime}}}(a) +{\beta}_{11}u(b)+{\beta}_{12}u{{^{\prime}}}(b)=c_1\\ B_2u&={\alpha}_{21}u(a)+{\alpha}_{22}u{{^{\prime}}}(a) +{\beta}_{21}u(b)+{\beta}_{22}u{{^{\prime}}}(b)=c_2,\end{aligned}\]

þar sem stuðlarnir \({\alpha}_{jk}\), \({\beta}_{jk}\), \(c_{j}\) eru gefnir fyrir \(j,k=1,2\). Almenn línuleg jaðarskilyrði fyrir \(m\)-ta stigs jöfnu eru af gerðinni

\[B_ju=\sum\limits_{l=1}^m \big({\alpha}_{jl}u^{(l-1)}(a) +{\beta}_{jl}u^{(l-1)}(b)\big)=c_j, \qquad j=1,2,\dots,m.\]

Við lítum á \(B_j\) sem línulega vörpun \(C^{m-1}[a,b]\to {{\mathbb C}}\) og skilgreinum jaðargildisvirkja \(B:C^{m-1}[a,b]\to {{\mathbb C}}^m\) með formúlunni \(Bu=(B_1u,\dots,B_mu)\). Almennt jaðargildisverkefni fyrir \(m\)-ta stigs línulega jöfnu er að leysa

\[\begin{aligned}\begin{cases} a_m(t)u^{(m)}+\cdots+a_1(t)u{{^{\prime}}}+a_0(t)u=f(t), &t\in ]a,b[\\ Bu=c, \qquad B_ju=\sum\limits_{l=1}^m \big({\alpha}_{jl}u^{(l-1)}(a) +{\beta}_{jl}u^{(l-1)}(b)\big), \end{cases}\end{aligned}\]

fyrir gefið fall \(f\in C[a,b]\) og gefinn vigur \(c\in {{\mathbb C}}^m\). Athugið að venjuleg upphafsskilyrði eru dæmi um almenn línuleg jaðarskilyrði, þar sem við setjum \({\beta}_{jl}=0\) fyrir öll \(j\) og \(l\), \({\alpha}_{jl}=1\) ef \(j=l\) og \({\alpha}_{jl}=0\) ef \(j\neq l\). Ef bilið \(I\) er ótakmarkað geta verið skilyrði á markgildin

\[\lim_{x\to\pm\infty}u(x), \qquad \lim_{x\to \pm\infty}u{{^{\prime}}}(x),\quad \dots\]

eftir því sem við á. Þessi skilyrði geta verið sams konar línulegar samantektir og við höfum verið að lýsa.

6.6. Tilvist og ótvíræðni lausna á afleiðujöfnum

6.6.1. Tilvist og ótvíræðni lausna á afleiðujöfnum

Í þessari grein ætlum við að fjalla um tilvist á lausn á upphafsgildisverkefninu

\[u{{^{\prime}}}=f(t,u), \qquad u(a)=b,\]

þar sem fallið \(f\in C(\Omega,{{\mathbb R}}^m)\) er skilgreint á einhverju hlutmengi \(\Omega\) í \({{\mathbb R}}\times {{\mathbb R}}^m\), \(a\) er gefin rauntala, \(b\) er gefinn vigur og \((a,b)\in \Omega\).

Tilfellið að \(f\) taki gildi í tvinntölurúminu \({{\mathbb C}}^m\) og að \(\Omega\) sé hlutmengi í \({{\mathbb R}}\times {{\mathbb C}}^m\) fæst síðan með því að líta á \({{\mathbb C}}^m\) sem vigurrúmið \({{\mathbb R}}^{2m}\).

Ef við ætlumst til þess að lausnin \(u\) hafi samfellda afleiðu, þá þurfum við auðvitað að gera ráð fyrir því að fallið \(f\) sé samfellt.

6.6.1.1. Setning

(Peano).   Gerum ráð fyrir að \(\Omega\) sé grennd um punktinn \((a,b)\in {{\mathbb R}}\times{{\mathbb R}}^m\) og að \(f\in C(\Omega,{{\mathbb R}}^m)\). Þá er til opið bil \(I\) sem inniheldur punktinn \(a\) og fall \(u:I\to {{\mathbb R}}^m\), þannig að \((t,u(t))\in \Omega\), \(u{{^{\prime}}}(t)=f(t,u(t))\) fyrir öll \(t\in I\) og \(u(a)=b\).


Setning Peano segir okkur einungis að til sé lausn en hún segir ekkert um það hvort lausnin er ótvírætt ákvörðuð.

Með auknum forsendum er hægt að sýna fram á ótvíræðni.

6.6.1.2. Sýnidæmi

Athugum upphafsgildisverkefnið \(u{{^{\prime}}}=3u^{2/3}\), \(u(0)=0\). Fyrir

sérhvert \(\alpha>0\) fáum við lausnina \(u_\alpha\), sem skilgreind er með

\[\begin{aligned}u_\alpha(t)=\begin{cases} (t+\alpha)^3, &t<-\alpha,\\ 0, &-\alpha\leq t<\alpha,\\ (t-\alpha)^3, &\alpha\leq t. \end{cases}\end{aligned}\]

Þetta dæmi sýnir okkur að til þess að fá ótvírætt ákvarðaða lausn þurfum við að setja einhver strangari skilyrði á \(f\) en samfelldni.

6.6.1.3. Skilgreining

(Lipschitz–skilyrði).   Látum \(f:\Omega\to{{\mathbb R}}^m\) vera fall, þar sem \(\Omega\subset {{\mathbb R}}\times {{\mathbb R}}^m\) og \(A\subset \Omega\). Ef til er fasti \(C\) þannig að

\[|f(t,x)-f(t,y)|\leq C|x-y|,\qquad (t,x), (t,y)\in A,\]

þá segjum við að \(f\) uppfylli Lipschitz–skilyrði í menginu \(A\).

6.6.1.4. Sýnidæmi

(i) Ef jöfnuhneppið er línulegt, \(f(t,x)=A(t)x+g(t)\), \(A\in C(I,{{\mathbb C}}^{m\times m})\) og \(g\in C(I,{{\mathbb C}}^m)\), þá uppfyllir \(f\) Lipschitz–skilyrði í \(J\times {{\mathbb C}}^m\) fyrir sérhvert lokað og takmarkað hlutbil \(J\subset I\). Þetta sést á því að

\[|f(t,x)-f(t,y)|=|A(t)(x-y)| \leq \sum\limits_{j,k=1}^m |a_{jk}(t)||x-y|\leq C|x-y|,\]

þar sem \(C=\sup\sum\limits_{j,k=1}^m |a_{jk}(t)|\) og efra markið er tekið yfir öll \(t\in J\).

(ii) Látum \(f\in C^{1}(\Omega,{{\mathbb R}}^m)\) og gerum ráð fyrir að \(\Omega\) sé þannig að fyrir sérhvert par af punktum \((t,x), (t,y)\) í \(\Omega\) liggi línustrikið milli þeirra í \(\Omega\). Línustrikið samanstendur af öllum punktum \((t,\tau x+(1-\tau)y)\), \(\tau\in [0,1]\).

Látum nú \(A\) vera lokað og takmarkað hlutmengi af \(\Omega\), sem hefur þann eiginleika að fyrir sérhvert par af punktum \((t,x), (t,y)\) í \(A\) liggur línustrikið á milli þeirra í \(A\). Þá er

\[\begin{aligned} |f(t,x)-f(t,y)|&=|\int_0^ 1\dfrac d{d\tau}f(t,(1-\tau)y+\tau x) \, d\tau|\\ &=|\int_0^ 1 \sum\limits_{j=1}^ m \partial_{x_j}f(t,(1-\tau)y+\tau x) (x_j-y_j) \, d\tau|\\ &\leq \sup\limits_{(\tau,\xi)\in A} \sum\limits_{j=1}^ m |\partial_{x_j}f(\tau,\xi)||x-y|,\end{aligned}\]

og þar með uppfyllir \(f\) Lipschitz–skilyrði í \(A\).

(iii) Lítum nú á fallið \(f(t,x)=x^ 2\), með \(\Omega={{\mathbb R}}\times {{\mathbb R}}\). Það uppfyllir

\[|f(t,x)-f(t,y)|=|x+y||x-y|,\]

en þetta gefur okkur að \(f\) uppfylli ekki Lipschitz–skilyrði í \(\Omega\), því þátturinn \(x+y\) er ekki takmarkaður. Ef við látum hins vegar \([\alpha,\beta]\) vera takmarkað bil og veljum \(A={{\mathbb R}}\times [\alpha,\beta]\), þá uppfyllir fallið \(f\) Lipschitz–skilyrði í \(A\) og við getum valið fastann \(C\) sem \(C=2(|\alpha|+|\beta|)\).

(iv) Fallið \(f(t,x)=3x^{2/3}\) er samfellt, en uppfyllir ekki Lipschitz–skilyrði í neinni grennd um \(0\), því \(|f(t,x)-f(t,0)|=x^{2/3}=x^{-1/3}|x-0|\) og \(x^{-1/3}\to \infty\) ef \(x\to 0\).


Nú kemur í ljós að Lipschitz–skilyrði tryggir að lausnin verður ótvírætt ákvörðuð:

6.6.1.5. Setning

(Picard; víðfeðm útgáfa).   Látum \(I\subset {{\mathbb R}}\) vera opið bil, \(a\in I\), \(b\in {{\mathbb R}}^ m\), \(f\in C(I\times {{\mathbb R}}^ m,{{\mathbb R}}^ m)\) og gerum ráð fyrir að \(f\) uppfylli Lipschitz–skilyrði í \(J\times {{\mathbb R}}^ m\) fyrir sérhvert lokað og takmarkað hlutbil \(J\) í \(I\). Þá er til ótvírætt ákvörðuð lausn \(u\in C^ 1(I,{{\mathbb R}}^ m)\) á upphafsgildisverkefninu

\[u{{^{\prime}}}=f(t,u), \qquad u(a)=b.\]

Eins og fram hefur komið kallast hún venjulega víðfeðm útgáfa af tilvistarsetningu fyrir fyrsta stigs hneppi. Ástæðan fyrir nafngiftinni er, að við fáum lausn á bili sem inniheldur öll \(t\)–gildi þar sem hægri hlið jöfnunnar er skilgreind.

Tökum nú fyrir tvær mikilvægustu afleiðingar setningarinnar. Við höfum séð að forsendurnar í setningunni eru uppfylltar fyrir línuleg jöfnuhneppi með samfellda stuðla. Við lítum á vigurrúmið \({{\mathbb C}}^m\) yfir tvinntölurnar sem \(2m\) víða rúmið \({{\mathbb R}}^{2m}\) yfir rauntölurnar og fáum:

6.6.1.6. Fylgisetning

Látum \(I\subset {{\mathbb R}}\) vera opið bil, \(a\in I\), \(b\in {{\mathbb C}}^ m\), \(A\in C(I,{{\mathbb C}}^{m\times m})\) og \(f\in C(I,{{\mathbb C}}^ m)\). Þá er til ótvírætt ákvörðuð lausn \(u\in C^ 1(I,{{\mathbb C}}^ m)\) á upphafsgildisverkefninu

\[u{{^{\prime}}}=A(t)u+f(t) \qquad u(a)=b.\]

Með umskrift á upphafsgildisverkefni fyrir \(m\)-ta stigs afleiðujöfnu yfir í jafngilt hneppi fáum við:

6.6.1.7. Fylgisetning

Látum \(I\subset {{\mathbb R}}\) vera opið bil, \(a\in I\), \(b_0,\dots,b_{m-1} \in {{\mathbb C}}\), \(a_0,\dots,a_m, g\in C(I)\) og \(a_m(t)\neq 0\) fyrir öll \(t\in I\). Þá er til ótvírætt ákvörðuð lausn \(u\in C^ m(I)\) á upphafsgildisverkefninu

\[\begin{aligned}\begin{gathered} a_m(t)u^ {(m)}+\cdots+a_1(t)u{{^{\prime}}}+a_0(t)u=g(t),\\ u(a)=b_0, u{{^{\prime}}}(a)=b_1,\dots, u^{(m-1)}(a)=b_{m-1}.\end{gathered}\end{aligned}\]

Nú setjum við fram aðra útgáfu sem venjulega kallast staðbundin útgáfa af tilvistarsetningu fyrir fyrsta stigs hneppi:

6.6.1.8. Setning

(Picard; staðbundin útgáfa).   Látum \(\Omega\) vera opið hlutmengi í \({{\mathbb R}}\times {{\mathbb R}}^{m}\), \(a\in {{\mathbb R}}\), \(b\in {{\mathbb R}}^ m\), \((a,b)\in \Omega\) og \(f\in C(\Omega,{{\mathbb R}}^ m)\). Gerum ráð fyrir að til sé grennd \(U\) um punktinn \((a,b)\) innihaldin í \(\Omega\) og að fallið \(f\) uppfylli Lipschitz–skilyrði í \(U\).

Þá er til opið bil \(I\) á \({{\mathbb R}}\) sem inniheldur \(a\) og ótvírætt ákvörðuð lausn \(u\in C^ 1(I, {{\mathbb R}}^m)\) á upphafsgildisverkefninu

\[u{{^{\prime}}}=f(t,u), \qquad u(a)=b.\]

Ástæðan fyrir því að þessi setning kallast staðbundin útgáfa af tilvistarsetningunni fyrir fyrsta stigs afleiðujöfnuhneppi er sú, að hún segir okkur einungis að til sé bil \(I\) þar sem lausnin er til. Í sönnuninni kemur fram hvernig bilið \(I\) er háð \(U\), Lipschitz–fasta fallsins \(f\) og upphafsgildinu \(b\).

6.6.1.9. Sýnidæmi

Við skulum taka eitt dæmi til þess að sjá hvernig skilgreiningarsvæði lausnarinnar er háð upphafsgildinu \(b\) og líta á verkefnið \(u'=u^ 2\), \(u(a)=b\), þar sem \(b\) er jákvæð rauntala. Lausnin er fallið

\[u(t)=\dfrac b{1-b(t-a)}, \qquad t\in I=]-\infty,a+1/b[.\]

Maður skyldi ætla að óreyndu, að svona einföld jafna hefði lausn, sem skilgreind er á öllum rauntalnaásnum, en svo er greinilega ekki. Skilgreiningarsvæðið minnkar eftir því sem upphafsgildið stækkar. Athugið að engu að síður hefur verkefnið lausn í grennd um \(a\) fyrir sérhvert val á \((a,b)\).


Aðferðin sem beitt er í sönnuninni á þessum setningum er kennd við franska stærðfræðinginn Émile Picard. Eins og áður hefur verið sagt framkvæmum við hana í smáatriðum í næstu grein. Við skulum nú líta á meginhugmyndina í sönnuninni á víðfeðmu útgáfunni af Picard–setningunni.

Við athugum fyrst, að

\[u\in C^ 1(I,{{\mathbb R}}^ m), \quad u{{^{\prime}}}=f(t,u),\quad t\in I, \quad u(a)=b\]

er jafngilt því að

\[u\in C(I,{{\mathbb R}}^ m),\quad u(t)=b+\int_a^ t f(\tau,u(\tau))\, d\tau, \qquad t\in I.\]

Okkur dugir því að sanna að til sé ótvírætt ákvarðað fall \(u\in C(I,{{\mathbb R}}^ m)\) sem uppfyllir heildisjöfnuna. Tilvistin er fengin með því að skilgreina runu \(\{ u_n\}\) af föllum í \(C(I,{{\mathbb R}}^ m)\) með formúlunni

\[u_0(t)=b, \qquad u_n(t)=b+\int_a^ t f(\tau,u_{n-1}(\tau))\, d\tau, \qquad t\in I,\]

og sýna síðan að þessi fallaruna sé samleitin að markfalli \(u\). Ekki er nóg að sýna að runan \(\{u_n(t)\}\) stefni á \(u(t)\) í sérhverjum punkti heldur þurfum við að sanna að \(\{u_n\}\) sé samleitin í jöfnum mælien: uniform convergence
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
á sérhverju lokuðu og takmörkuðu hlutbili \(J\) af \(I\). Það hefur í för með sér að markfallið \(u\) er í \(C(I,{{\mathbb R}}^ m)\). Lipschitz skilyrðið gefur að

\[|f(t,u_n(t))-f(t,u(t))|\leq C|u_n(t)-u(t)|, \qquad t\in J,\]

og þar með að runan \(f(t,u_n(t))\) stefnir á markfallið \(f(t,u(t))\) í jöfnum mæli á \(J\). Þá megum við skipta á heildi og markgildi og við fáum það sem sanna á,

\[\begin{aligned}\begin{gathered} u(t)= \lim\limits_{n\to +\infty} u_n(t) = b+\lim\limits_{n\to +\infty} \int_a^ t f(\tau,u_{n-1}(\tau)) \, d\tau =\\ = b+\int_a^ t \lim\limits_{n\to +\infty} f(\tau,u_{n-1}(\tau)) \, d\tau = b+ \int_a^ t f(\tau,u(\tau)) \, d\tau.\end{gathered}\end{aligned}\]

Tökum nú tvö dæmi, sem sýna hvers er að vænta um samleitni rununnar \(\{u_n\}\).