5. ÞÝÐ FÖLL OG FÁGAÐAR VARPANIR

5.1. Þýð föll

5.1.1. Laplace-virki, Laplace-jafna og þýð föll

Látum nú \(X\) tákna opið mengi í \({{\mathbb C}}={{\mathbb R}}^2\) og látum \(\varphi:X\to {{\mathbb R}}\) vera deildanlegt fall á \(X\). Munum að stigullen: gradient
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fallsins \(\varphi\) er vigursviðið

\[\nabla \varphi=\big(\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}, \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}\big).\]

Munum einnig að fyrir deildanlegt vigursvið \(\vec V=(p,q):X\to {{\mathbb R}}^ 2\) er sundurleitnien: divergence
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
þess skilgreind sem fallið

\[\nabla\cdot \vec V=\dfrac{\partial p}{\partial x}+\dfrac{\partial q}{\partial y}.\]

Ef við tengjum saman stigul og sundurleitni, þá fáum við

\[\nabla^2\varphi=\nabla\cdot (\nabla \varphi)= \dfrac {\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+ \dfrac {\partial^2 \varphi}{\partial y^2}.\]

5.1.1.1. Skilgreining

Látum \(\varphi:X\to {{\mathbb R}}\) vera tvisvar deildanlegt fall á opnu hlutmengi \(X\) í \({{\mathbb C}}\). Hlutafleiðuvirkinn

\[{\Delta}=\nabla^2=\dfrac {\partial^2 }{\partial x^2}+ \dfrac {\partial^2 }{\partial y^2}\]

nefnist Laplace-virki, óhliðraða hlutafleiðujafnan \({\Delta}\varphi=0\) nefnist Laplace-jafna og lausn \(\varphi:X\to {{\mathbb R}}\) á henni er sögð vera þýtt fallen: harmonic function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
á \(X\).

5.1.2. Wirtinger-afleiðuvirkjarnir

Rifjum nú upp skilgreininguna á Wirtinger-afleiðuvirkjunum:

\[\dfrac{\partial}{\partial z}=\dfrac 12\bigg(\dfrac{\partial }{\partial x}-i \dfrac{\partial}{\partial y}\bigg) \qquad \text{ og } \qquad \dfrac{\partial}{\partial \bar z}=\dfrac 12\bigg(\dfrac{\partial }{\partial x}+i \dfrac{\partial}{\partial y}\bigg)\]

Með smá útreikningi sjáum við að

\[\Delta u=4\dfrac{\partial^2 u}{\partial z\partial \bar z} =4\dfrac{\partial^2 u}{\partial \bar z\partial z}\]

og þar með er fallið \(u\) er þýtt þá og því aðeins að \(\partial^2 u/\partial z\partial\bar z =0\). Munum einnig að fall \(f\) er fágað þá og því aðeins að \(\partial f/\partial \bar z=0\).

5.1.3. Tengsl við fáguð föll

Látum \(f: X\to {{\mathbb C}}\), \(f=u+iv\) vera fágað fall þar sem \(u={{\operatorname{Re\, }}}f\) og \(v={{\operatorname{Im\, }}}f\) tákna raun- og þverhluta. Þá eru bæði \(u\) og \(v\) óendanlega oft deildanleg föll og þau uppfylla Cauchy-Riemann jöfnurnar

\[\dfrac{\partial u}{\partial x} =\dfrac{\partial v}{\partial y} \qquad \text{ og } \qquad \dfrac{\partial u}{\partial y} =-\dfrac{\partial v}{\partial x}.\]

Við getum nú skrifað Cauchy-Riemann jöfnurnar sem

\[\nabla u=\big(\dfrac{\partial v}{\partial y},-\dfrac{\partial v}{\partial x}\big) \qquad \text{ og } \qquad \nabla v=\big(-\dfrac{\partial u}{\partial y},\dfrac{\partial u}{\partial x}\big).\]

Af þessu leiðir að

\[\nabla u\cdot \nabla v=0,\]

sem segir okkur að stiglar \(u\) og \(v\) eru hornréttir.

Munum að raungilt fall á svæði \(X\) er fastafall þá og því aðeins að stigull þess sé núll í sérhverjum punkti. Cauchy-Riemann jöfnurnar segja okkur að \(u\) sé fastafall þá og því aðeins að \(v\) sé fastafall.

Af Cauchy-Riemann jöfnunum leiðir einnig

\[\dfrac {\partial^2 u}{\partial x^2}+ \dfrac {\partial^2 u}{\partial y^2} =\dfrac{\partial^2 v}{\partial x\partial y} -\dfrac{\partial^2 v}{\partial y\partial x}=0,\]

af því að \(v\) er óendanlega oft deildanlegt og \(\partial^2 v/\partial x\partial y=\partial^2 v/\partial y\partial x\), og einnig fæst að

\[\dfrac {\partial^2 v}{\partial x^2}+ \dfrac {\partial^2 v}{\partial y^2} =-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} +\dfrac{\partial^2 u}{\partial y\partial x}=0.\]

Við höfum því sannað:

5.1.3.1. Setning

Ef \(f\) er fágað fall á opnu mengi \(X\) í \({{\mathbb C}}\), þá eru \(u={{\operatorname{Re\, }}}f\) og \(v={{\operatorname{Im\, }}}f\) þýð föll og stiglar þeirra eru hornréttir í sérhverjum punkti í \(X\). Ef \(X\) er svæði og annað hvort \(u\) eða \(v\) er fastafall, þá er hitt fallið það líka.


Gerum nú aftur ráð fyrir að \(u\) sé þýtt fall á svæði \(X\) í \({{\mathbb C}}\) og athugum hvernig hægt er að finna \(v\) þannig að \(u+iv\) verði fágað fall. Gerum ráð fyrir að slíkt \(v\) sé til og setjum \(f=u+iv\). Þá er

\[f'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}\]

og fyrri Cauchy-Riemann-jafnan gefur að

\[f'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}-i\dfrac{\partial u}{\partial y} =2\dfrac{\partial u}{\partial z}.\]

Það er því nauðsynlegt skilyrði að afleiðan af \(f\) sé gefin með þessari formúlu. Athugum að fallið sem stendur í hægri hliðinni uppfyllir Cauchy-Riemann-jöfnurnar og er þar með fágað, því ef við látum virkjann \(\partial/\partial \bar z\) verka á hægri hliðina þá fáum við \(\partial^2u/\partial\bar z \partial z=0\).

Nú sjáum við að sérhvert þýtt fall á \(X\) er raunhluti af fáguðu falli þá og því aðeins að sérhvert fágað fall á \(X\) hafi stofnfall. Þetta er einkennandi eiginleiki einfaldlega samanhangandi svæða:

5.1.3.2. Setning

Látum \(X\) vera svæði í \({{\mathbb C}}\). Þá er sérhvert þýtt fall á \(X\) raunhluti af fáguðu falli þá og því aðeins að \(X\) sé einfaldlega samanhangandi. Ef \(a\in X\) er fastur punktur þá er fallið \(f\) gefið með formúlunni

\[f(z)=u(a)+ic+2\int_{\gamma_z} \dfrac{\partial u}{\partial \zeta}(\zeta) \, d\zeta,\]

þar sem \(\gamma_z\) er einhver vegur í \(X\) með upphafspunkt \(a\) og lokapunkt \(z\) og \(c\in {{\mathbb R}}\) er fasti.


Athugið að veginn í setningunni má velja sem línustrik, ef \(X\) er stjörnusvæði með tilliti til \(a\).

Gerum nú ráð fyrir að \(u\) sé þýtt fall á svæði \(Y\) og að \(g:X\to {{\mathbb C}}\) sé fágað fall á svæði \(X\subset {{\mathbb C}}\) þannig að \(g(X)\subset Y\).

Ef \(a\in X\) þá er til opin skífa með miðju í \(g(a)\) í \(Y\) þannig að \(u\) er raunhluti fágaðs falls á \(f\) á skífunni. Þá verður samskeytingin \(u\circ g\) raunhluti \(f\circ g\) sem er fágað fall í grennd um \(a\). Þetta segir okkur að samskeyting af þýðu falli við fágað fall er þýtt fall.

5.2. Hagnýtingar í straumfræði

5.2.1. Hagnýtingar í straumfræði

Látum nú \(\vec V\) vera vigursvið á opnu mengi \(X\) í \({{\mathbb R}}^2\). Við ætlum að líta á \(\vec V\) sem hraðasvið, sem er háð tveimur breytistærðum

\[\vec V(x,y)= (p(x,y), q(x,y)), \qquad (x,y)\in X.\]

Straumlínaen: flow line
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
vigursviðsins \(\vec V\) er ferillen: curve
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í \(X\) sem stikaður er með lausn \(\vec z:I\to {{\mathbb R}}^2\) á

\[\vec z\, {{^{\prime}}}(t)=\vec V(\vec z(t)), \qquad t\in I,\]

á einhverju bili \(I\) á \({{\mathbb R}}\). Þessi jafna jafngildir afleiðujöfnuhneppinu

\[x{{^{\prime}}}=p(x,y), \qquad y{{^{\prime}}}=q(x,y).\]

Vigursviðið getur átt sér eðlisfræðilega túlkun. Við getum til dæmis litið á \(\vec V\) sem hraðasvið fyrir streymi vökva eða lofts.

Gengið er út frá því að streymið sé óháð tíma og einni rúmbreytistærð og að það sé samsíða einhverju plani, sem við höfum valið sem \((x,y)\)-plan. Straumlínurnar eru þá brautir agnanna í vökvanum eða loftinu.

\(\vec V\) getur einnig verið hraðasvið rafstraums í þunnri plötu og þá er \(\vec V\) samsíða straumsviðinu í sérhverjum punkti.

Hugsum okkur nú að \({\Omega}\) sé hlutsvæði í \(X\) með jaðar \({\partial} {\Omega}\) í \(X\) og gerum ráð fyrir að hægt sé að stika \({\partial}{\Omega}\) með einföldum lokuðum ferli \({\gamma}\), sem er samfellt deildanlegur á köflum og \({\gamma}\) stikar \({\partial}{\Omega}\) í jákvæða stefnu, en það þýðir að svæðið \({\Omega}\) er vinstra megin við snertilínuna í \({\gamma}(t)\), ef horft er í stefnu snertilsins \({\gamma}{{^{\prime}}}(t)\).

Ef \((x,y)={\gamma}(t)\in {\partial}{\Omega}\) er punktur, þar sem \({\gamma}\) er deildanlegt fall, þá skilgreinum við einingarsnertil \(\vec T(x,y)\) í \((x,y)\), sem einingarvigurinn í stefnu \({\gamma}{{^{\prime}}}(t)\), \(\vec T(x,y)={\gamma}{{^{\prime}}}(t)/|{\gamma}'(t)|\), og ytri einingarþvervigur á \({\partial}{\Omega}\) sem einingarvigurinn \(\vec n(x,y)\) sem er hornréttur á \({\gamma}{{^{\prime}}}(t)\) og vísar út úr \({\Omega}\).

Við látum \(ds\) tákna bogalengdarfrymiðen: arc length element
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
. Með \({\gamma}\) sem stikun á \({\partial}{\Omega}\) er það gefið sem \(ds=|{\gamma}{{^{\prime}}}(t)|\, dt\).

Jaðar á svæði, snertill og þvervigur

Mynd: Jaðar á svæði, snertill og þvervigur

Gauss-setningin gefur nú

\[\begin{aligned} \int_{\partial\Omega}(\vec V\cdot\vec n)\, ds &=\int_{{\gamma}}(\vec V\cdot\vec n)\, ds =\iint\limits_{{\Omega}} {{\operatorname{div}}}\vec V\, dxdy\\ &=\iint\limits_{{\Omega}} \big({\partial}_xp(x,y)+{\partial}_yq(x,y)\big)\, dxdy.\end{aligned}\]

Heildið í vinstri hliðinne nefnist flæði vigursviðsinsen: flux
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(\vec V\) yfir jaðarinn \({\partial}{\Omega}\). Green-setningin gefur

\[\begin{aligned} \int_{\partial\Omega}(\vec V\cdot\vec T)\, ds &=\int_{{\gamma}}(\vec V\cdot\vec T)\, ds =\iint\limits_{{\Omega}} {{\operatorname{rot}}}\vec V\, dxdy\\ &=\iint\limits_{{\Omega}} \big({\partial}_xq(x,y)-{\partial}_yp(x,y)\big)\, dxdy.\end{aligned}\]

Heildið í vinstri hliðinni nefnist hringstreymi vigursviðsins \(\vec V\) eftir jaðrinum \({\partial}{\Omega}\). Við gefum okkur nú tvær forsendur um hraðasviðið \(\vec V\):

(i) Streymið er geymið: Fyrir sérhvert \({\Omega}\subset X\) er flæðið yfir \({\partial}{\Omega}\) jafnt \(0\). Þetta hefur í för með sér að

\[\dfrac{\partial p}{\partial x}(x,y)+ \dfrac{\partial q}{\partial y}(x,y)=0, \qquad (x,y)\in X.\]

Þessi jafna er oft nefnd samfelldnijafna. Þetta er lögmálið um varðveislu massans, ef \(\vec V\) er hraðasvið fyrir vökvastreymi, en lögmálið um varðveislu hleðslunnar, ef \(\vec V\) er hraðasvið rafstraums.

(ii) Streymið er án hvirfla: Fyrir sérhvert \({\Omega}\) er hringstreymi \(\vec V\) eftir jaðrinum \({\partial}{\Omega}\) jafnt \(0\). Þetta hefur í för með sér að

\[\dfrac{\partial q}{\partial x}(x,y)- \dfrac{\partial p}{\partial y}(x,y)=0, \qquad (x,y)\in X.\]

Ein mikilvæg afleiðing þessa skilyrðis er að í streyminu geta ekki verið hvirflar, en það eru lokaðar straumlínur, sem mynda jaðar á svæði \({\Omega}\subset X\). Hugsum okkur að \(\vec z:[a,b]\to {{\mathbb R}}^2\) væri slík straumlína. Þá er \(\vec T(\vec z(t))=\pm z{{^{\prime}}}(t)/|z{{^{\prime}}}(t)|\), \(\vec V(\vec z(t))= z{{^{\prime}}}(t)\), \(ds=|z{{^{\prime}}}(t)|\, dt\) og þar með

\[\int_{{\partial}{\Omega}} \vec V\cdot \vec T\, ds = \pm\int_a^b |z{{^{\prime}}}(t)|^2\, dt \neq 0.\]

Nú skulum við skrifa \(\vec V\) sem tvinnfall, \(V(z)=p(z)+iq(z)\). Hlutafleiðujöfnurnar hér að framan segja að \(\overline V=p-iq\) uppfylli Cauchy-Riemann-jöfnurnar og þar með er fallið \(\overline V\) fágað.

Hugsum okkur að \(\overline V\) hafi stofnfall, sem við táknum með \(f\). Ef \({\varphi}={{\operatorname{Re\, }}}f\) og \({\psi}={{\operatorname{Im\, }}}f\), þá leiðir af Cauchy-Riemann-jöfnunum að

\[f{{^{\prime}}}(z)=\partial_x\varphi(z)+i\partial_x\psi(z) =\partial_x\varphi(z)-i\partial_y\varphi(z) =p(z)-iq(z).\]

Við höfum því \({{\operatorname{grad}}}\varphi=\vec V=(p,q)\), svo straumlínurnar eru hornréttar á jafnhæðarlínurnaren: contour line
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(\{z; \varphi(z)=c\}\), þar sem \(c\) er fasti.

Nú gefa Cauchy-Riemann-jöfnurnar hins vegar að \({{\operatorname{grad}}}\psi=(\partial_x\psi, \partial_y\psi)\) er hornréttur á \({{\operatorname{grad}}}\varphi=(\partial_x\varphi, \partial_y\varphi)\) og þar með eru staumlínurnar fyrir vigursviðið \(\vec V\) gefnar sem jafnhæðarlínurnar \(\{z; \psi(z)=c\}\), þar sem \(c\) fasti.

Fallið \(f\) kallast tvinnmætti fyrir straumfallið \(V\), fallið \(\varphi\) kallast raunmætti fyrir \(V\) og fallið \(\psi\) kallast streymisfall.

Niðurstaða athugana okkar er því að straumlínur vigursviðsins \(\vec V\) eru jafnhæðarlínur streymisfallsins \(\psi\), þar sem \(\psi= {{\operatorname{Im\, }}}f\) og \(f{{^{\prime}}}= \overline V\). Ef við þekkjum streymisfallið \({\psi}\) og getum ákvarðað jafnhæðarlínur þess, þá höfum við ákvarðað brautir lausna afleiðujöfnuhneppisins

\[x{{^{\prime}}}=p(x,y), \qquad y{{^{\prime}}}=q(x,y).\]

án þess að leysa jöfnurnar.

5.2.1.1. Sýnidæmi

Lítum fyrst á hraðasviðið \(V\) sem gefið er með

\[V(z)=\dfrac a{\overline z}= a\dfrac {e^{i\theta}}r, \qquad z=re^{i\theta}, \quad z\in {{\mathbb C}}\setminus{{\{0\}}},\]

þar sem \(a\in {{\mathbb R}}\). Fallið \(\overline V\) hefur ekkert stofnfall á öllu \({{\mathbb C}}\setminus \{0\}\), en á menginu \(X={{\mathbb C}}\setminus {{\mathbb R}}_-\) getum við tekið

\[f(z)=a{{\operatorname{Log}}}z=a(\ln |z|+i\theta(z)), \qquad -\pi<\theta(z)<\pi,\]

fyrir stofnfall, þar sem \({{\operatorname{Log}}}\) táknar höfuðgrein lografallsins. Straumlínurnar verða þá jafnhæðarlínur fyrir hornið \(\{z; \theta(z)=c\}\), en þær eru geislar út frá \(0\). Heildarflæði straumfallsins gegnum hring með geislann \(r\) er

\[\int_{|z|=r}{{\langle\vec V,\vec n\rangle}} \, ds= \int_0^{2\pi}\dfrac ar \, rd\theta=2\pi a.\]

Ef \(a>0\) þá stefna straumlínurnar út frá \(0\) og þetta straumfall er til komið af uppsprettuen: source
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í punktinum \(0\) með styrkinn \(2\pi a\). Ef \(a<0\) þá er straumfallið til komið af svelgen: sink
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í punktinum \(0\) með styrkinn \(2\pi a\).

Punktuppspretta

Mynd: Punktuppspretta

5.2.1.2. Sýnidæmi

Lítum nú á fallið \(V\) sem gefið er með

\[V(z)=\dfrac {ib}{\overline z}= ib\dfrac {e^{i\theta}}r, \qquad z=re^{i\theta}, \quad z\in X={{\mathbb C}}\setminus{{\{0\}}},\]

þar sem \(b\in {{\mathbb R}}\). Hér er hraðavigurinn í stefnu \(ie^{i\theta}\) og þar með hornréttur á stöðuvigurinn. Á menginu \(X={{\mathbb C}}\setminus {{\mathbb R}}_-\) höfum við tvinnmættið

\[f(z)=-ib{{\operatorname{Log}}}z=b(\theta(z)-i\ln |z|).\]

Hér verða straumlínurnar \(\{z; \ln|z|=c\}\) hringir með miðju í \(0\). Hringstreymi vigursviðsins \(\vec V\) eftir hring með geisla \(r\) er

\[\int_{|z|=r}{{\langle\vec V,\vec T\rangle}} \, ds= \int_0^{2\pi}\dfrac br \, rd\theta=2\pi b.\]

Þetta mætti er sagt lýsa hringstreymi umhverfis hvirfilpunkt með styrk \(2\pi b\) í \(0\).

Hringstreymi

Mynd: Hringstreymi

5.2.1.3. Sýnidæmi

Lítum á enn eitt afbrigðið,

\[V(z)=\dfrac {(a+ib)}{\overline z}= (a+ib)\dfrac {e^{i\theta}}r, \qquad z=re^{i\theta}, \quad z\in {{\mathbb C}}\setminus{{\{0\}}},\]

þar sem \(a,b\in {{\mathbb R}}\). Hér tvinnmætti á menginu \({{\mathbb C}}\setminus {{\mathbb R}}_-\) gefið með

\[f(z)=(a-ib){{\operatorname{Log}}}z=(a\ln |z| + b\theta(z))+i(a\theta(z)-b\ln |z|).\]

Straumlínurnar eru \(\{z;a\theta(z)-b\ln |z|=c\}\). Í pólhnitum eru þær gefnar með jöfnunni \(r=e^{(a\theta-c)/b}\), en þetta eru skrúflínur eða iðustreymi út frá \(0\). Þetta mætti er myndað af straumuppsprettu með styrkinn \(2\pi a\) og hvirfilpunkti með styrkinn \(2\pi b\) í \(0\).

Iðustreymi

Mynd: Iðustreymi

5.2.1.4. Sýnidæmi

Lítum nú á dæmið þar sem tvær uppsprettur með styrk \(2\pi a\) eru í punktunum \(\alpha\) og \(-\alpha\) á raunásnum. Straumfallið verður þá

\[V(z)= \dfrac a{\overline z+\alpha}+\dfrac a{\overline z-\alpha},\]

og sem tvinnmætti á \({{\mathbb C}}\setminus\{x\in {{\mathbb R}}; x\leq \alpha\}\) getum við tekið

\[\begin{aligned} f(z)&= a{{\operatorname{Log}}}(z+\alpha)+a{{\operatorname{Log}}}(z-\alpha) \\ &= a(\ln|z+\alpha|+\ln|z-\alpha|)+ia(\theta(z+\alpha)+\theta(z-\alpha)).\end{aligned}\]

Við sjáum vð þverásinn er straumlína, því þar er \(\theta(iy+\alpha)+\theta(iy-\alpha)={\pi}\), ef \(y>0\) og \(\theta(iy+\alpha)+\theta(iy-\alpha)=-{\pi}\), ef \(y<0\). Straumvigurinn er í stefnu þverássins, upp ef \(y>0\) og niður ef \(y<0\), því

\[V(z)=\dfrac{2a\overline z}{\overline z^ 2-\alpha^ 2},\qquad V(iy)=\dfrac{2ayi}{y^ 2+\alpha^ 2}.\]

Við getum einnig notað þetta fall til þess að lýsa streymi út frá uppsprettu í punktinum \(\alpha\) af styrk \(2\pi a\) í hálfplaninu \(\{z\in {{\mathbb C}}; {{\operatorname{Re\, }}}z>0\}\), þar sem litið er á þverásinn sem vegg.

Straumuppspretta við vegg

Mynd: Straumuppspretta við vegg

5.2.1.5. Sýnidæmi

Lítum nú á mættið sem til er komið vegna uppsprettu af styrk \(2\pi a\) í punktinum \(\alpha\) og svelgs af styrk \(2\pi a\) í punktinum \(-\alpha\). Straumfallið verður

\[V(z)=\dfrac {a}{\overline z-\alpha}-\dfrac a{\overline z+\alpha}.\]

Tvinnmættið á \({{\mathbb C}}\setminus\{x\in {{\mathbb R}}; x\leq \alpha\}\) getum við valið sem

\[f(z)=a{{\operatorname{Log}}}(z-\alpha)-a{{\operatorname{Log}}}(z+\alpha)= a\ln\bigg|\dfrac{z-\alpha}{z+\alpha} \bigg | +ia\theta\bigg(\dfrac{z-\alpha}{z+\alpha}\bigg).\]

Talan \(\theta((z-\alpha)/(z+\alpha))\) er hornið sem bilið \([-\alpha,\alpha]\) sést undir miðað við punktinn \(z\). Við getum lýst straumlínu \(\{z\in {{\mathbb C}}; \theta((z-\alpha)/(z+\alpha))=c\}\) fyrir þetta streymi, sem mengi allra punkta sem eru þannig að bilið \([-\alpha,\alpha]\) sést undir horninu \(c\) frá \(z\). Við sjáum að

\[w=\dfrac{z-\alpha}{z+\alpha} \qquad \Leftrightarrow \qquad z=\dfrac {\alpha w+\alpha}{-w+1}=-\alpha\dfrac{w+1}{w-1}.\]

Straumlínurnar eru gefnar sem \(\theta(w)=c\), sem eru hálflínur út frá \(0\) í \(w\)-planinu með stefnuvigur \(e^{ic}\). Við sjáum að \(w=0 \Leftrightarrow z=\alpha\) og \(w=\infty \Leftrightarrow z=-\alpha\). Straumlínurnar eru því hringbogar frá \(\alpha\) til \(-\alpha\). Jafnmættislínurnar eru síðan gefnar með jöfnum af gerðinni

\[\bigg| \dfrac{z-{\alpha}}{z+{\alpha}} \bigg|^2=c,\]

þar sem \(c>0\). Ef \(c=1\), þá er þetta þverásinn, en fyrir \(c\neq 1\) er þetta hringur.

Straumuppspretta í :math:`-\alpha` og svelgur í :math:`+\alpha`

Mynd: Straumuppspretta í \(-\alpha\) og svelgur í \(+\alpha\)

5.2.1.6. Sýnidæmi

Lítum nú á fallið \(f:X\to {{\mathbb C}}\),

\[f(z)=\arcsin z, \qquad z\in X={{\mathbb C}}\setminus\{x\in {{\mathbb R}}; |x|\geq 1\}.\]

sem tvinnmætti. Við skrifum \(w=\arcsin z\), \(z=x+iy\) og \(w=u+iv\). Þá er \(-{\pi}/2<u<{\pi}/2\) og

\[\begin{aligned} z&=x+iy=\sin w=\sin(u+iv)\\ &=\sin u\cos(iv)+\cos u\sin(iv)\\ &=\sin u\cosh v+i\cos u\sinh v.\end{aligned}\]

Straumlínurnar eru því gefnar sem \({\psi}(z)={{\operatorname{Im\, }}}\arcsin z=v=\text{fasti}\) og við sjáum að jöfnur þeirra í \(z\)-planinu eru

\[\dfrac{x^2}{\cosh^2 v}+\dfrac{y^2}{\sinh^2 v}= \sin^2u+\cos^2u=1.\]

Þetta eru sporbaugar með hálfásana \(a=\cosh v\) og \(b=\sinh v\). Jafnmættislínurnar eru hins vegar gefnar sem \({\varphi}(z)={{\operatorname{Re\, }}}\arcsin z=u=\text{fasti}\) og jöfnur þeirra í \(z\)-planinu eru

\[\dfrac{x^2}{\sin^2 u}-\dfrac{y^2}{\cos^2 u}= \cosh^2v-\sinh^2v=1.\]

Þetta eru jöfnur fyrir breiðboga.

Tvinnmættið :math:`f(z)=\arcsin z`

Mynd: Tvinnmættið \(f(z)=\arcsin z\)

Ef við lítum á fallið \(g(z)=-i\arcsin z\), þá skipta straumlínur og jafnmættislínur um hlutverk og breiðbogarnir verða straumlínur. Við tökum eftir því að þverásinn er straumlína. Við getum því túlkað þetta sem mætti fyrir streymi gegnum hlið.

Streymi gegnum hlið

Mynd: Streymi gegnum hlið