4. LEIFAREIKNINGUR

4.1. Samleitnar Laurent-raðir

Fyrir sérhvert fall \(f\in {\mathcal{O}}(X)\) og sérhvern punktur í \(\alpha\in X\) fæst veldaraðarframsetning á fallinu \(f\) og röðin er samleitin á sérhverri skífu \(S(\alpha,\varrho)\subset X\). Þessi setning á sér alhæfingu jafnvel fyrir punkta \(\alpha\) utan \(X\), ef hægt er að koma fyrir opnum hringkraga með miðju í \(\alpha\) inni í \(X\)

4.1.1. Hringkragar

Mengi af gerðinni

\[A(\alpha,\varrho_1,\varrho_2)=\{z\in {{\mathbb C}}\,;\, \varrho_1<|z-\alpha|<\varrho_2\}\]

þar sem \(0\leq\varrho_1<\varrho_2\leq +\infty\) kallast opinn hringkragien: annulus
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
með miðju í \(\alpha\), innri geisla \(\varrho_1\), og ytri geisla \(\varrho_2\), og mengi af gerðinni

\[\bar A(\alpha,\varrho_1,\varrho_2)=\{z\in {{\mathbb C}}\,;\, \varrho_1\leq|z-\alpha|\leq\varrho_2\}\]

þar sem \(0<\varrho_1<\varrho_2\leq +\infty\) kallast lokaður hringkragien: annulus
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
með miðju í \(\alpha\), innri geisla \(\varrho_1\), og ytri geisla \(\varrho_2\).

Hringkragi

Mynd: Hringkragi

4.1.2. Laurent-setningin

Fágað fall á skífu er hægt að setja fram með veldaröð. Ef fall er fágað á hringkraga þá koma til sögunnar veldaraðir með neikvæða veldisvísa:

4.1.2.1. Setning

(Laurent).   Látum \(X\) vera opið hlutmengi af \({{\mathbb C}}\) og gerum ráð fyrir að \(A(\alpha,\varrho_1,\varrho_2)\subset X\), þar sem \(0\leq \varrho_1<\varrho_2\leq +\infty\). Ef \(f\in {\mathcal{O}}(X)\), þá er unnt að skrifa \(f\) sem

\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n, \qquad z\in A(\alpha,\varrho_1,\varrho_2).\]

Stuðlar raðarinnar \(a_n\) eru gefnir með formúlunni

\[a_n=\dfrac 1{2\pi i}\int_{\partial S(\alpha,r)} \dfrac{f(\zeta)} {(\zeta-\alpha)^{n+1}} \, d\zeta,\]

og heildið er óháð því hvaða tala \(r\in ]\varrho_1,\varrho_2[\) er valin. Röðin

\[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n\]

er samleitin ef \(|z-\alpha|<\varrho_2\) og röðin

\[\sum_{n=-\infty}^{-1}a_n(z-\alpha)^ n\]

er samleitin ef \(|z-\alpha|>\varrho_1\).

4.1.3. Laurent-raðir

4.1.3.1. Skilgreining

Röð af gerðinni

\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n\]

kallast Laurent-röð. Innri samleitnigeisli raðarinnar \(\varrho_1\) er skilgreindur sem neðra mark yfir \(\varrho=|z-\alpha|\) þannig að

\[\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n(z-{\alpha})^ n\]

er samleitin, ytri samleitnigeisli raðarinnar \(\varrho_2\) er skilgreindur sem efra mark yfir öll \(\varrho=|z-\alpha|\) þannig að

\[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-{\alpha})^ n\]

er samleitin. Ef \(\varrho_1<\varrho_2\) þá segjum við að Laurent-röðin sé samleitin. Stuðullinn \(a_{-1}\) kallast leifen: deviation from regression
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Laurent-raðarinnar og röðin

\[\sum_{n=-\infty}^{-1}a_n(z-{\alpha})^ n\]

kallast höfuðhlutien: meromorphic part
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
hennar.


Ef Laurent-röð \(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n\) er samleitin og \(\varrho_1\) og \(\varrho_2\) tákna innri og ytri samleitnigeisla hennar, þá skilgreinir hún fágað fall á hringkraganum \(A(\alpha,\varrho_1,\varrho_2)\) með formúlunni

\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n.\]

Hugsum okkur nú að \(\gamma\) sé lokaður vegur sem liggur í \(A(\alpha,\varrho_1,\varrho_2)\) og lítum á heildið

\[\int_{\gamma} f(z)\, dz= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n \int_{\gamma} (z-\alpha)^ n\, dz.\]

Hér höfum við notfært okkur að röðin er samleitin í jöfnum mæli á veginum \(\gamma\) til þess að flytja heildið inn fyrir summutáknið. Nú athugum við að allir liðirnir í summunni hafa stofnfall nema sá með númerið \(n=-1\). Þar með er

\[\int_{\gamma} f(z)\, dz= a_{-1} \int_{\gamma} \dfrac {dz}{z-\alpha}.\]

Ef nú \(\gamma\) er einfaldur lokaður vegur, sem stikar jaðarinn \(\partial\Omega\) á svæðinu \(\Omega\) í jákvæða stefnu, þá segir Cauchy-formúlan að síðasta heildið sé \(2\pi i\) ef \(\alpha\) er inni í svæðinu, en Cauchy-setningin segir að það sé \(0\) ef \(\alpha\) er utan þess. Þar með er

\[\begin{aligned}\int_\gamma f(z) \, dz =\begin{cases} 2\pi i\, a_{-1}, &\alpha\in \Omega,\\ 0, & \alpha\not\in \overline \Omega.\end{cases}\end{aligned}\]

Í tilfellinu að \(A(\alpha,\varrho_1,\varrho_2)\subset S(\alpha,\varrho_2)\subset X\), þ.e. þegar fallið \(f\) er fágað á svæði sem inniheldur alla hringskífuna \(S(\alpha,\varrho_2)\), þá eru föllin

\[\zeta\mapsto \dfrac {f(\zeta)}{(\zeta-\alpha)^{n+1}}=(\zeta-\alpha)^{-n-1}f({\zeta}),\]

fáguð í \(S(\alpha,\varrho_2)\) fyrir öll \(n<0\). Cauchy-setninginn segir okkur þá að \(a_n=0\) ef \(n<0\) og Cauchy-formúlan fyrir afleiður gefur okkur

\[a_n=\dfrac{f^{(n)}(\alpha)}{n!}, \qquad n\geq 0.\]

Ef \(A(\alpha,\varrho_1,\varrho_2)\subset S(\alpha,\varrho_2)\subset X\), þá þýðir þetta sem sagt að Laurent-röð fallsins \(f\) í \({\alpha}\) sé Taylor-röð þess.

4.2. Einangraðir sérstöðupunktar

4.2.1. Einangraðir punktar og dreifð mengi

Látum nú \(A\) vera hlutmengi í \({{\mathbb C}}\). Rifjum það upp að punktur \(\alpha\in A\) kallast einangraður punkturen: isolated point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í \(A\) ef til er \(\varepsilon>0\) þannig að \(\alpha\) er eini punkturinn í \(A\) sem liggur í opnu skífunni \(S(\alpha,\varepsilon)\). Við segjum að mengið \(A\)dreift ef sérhver punktur í því er einangraður.

4.2.2. Höfuðhluti og leif

4.2.2.1. Skilgreining

Látum \(X\) vera opið mengi, \(\alpha\in \partial X\) og \(f\in {\mathcal{O}}(X)\).

(i) Punkturinn \(\alpha\) er sagður vera einangrður sérstöðupunkturEkki fannst þýðing á hugtakinu: einangrður sérstöðupunktur fágaða fallsins \(f\) ef \(\alpha\) er einangraður punktur í jaðrinum \(\partial X\).

(ii) Samkvæmt Laurent-setningunni getum við skrifað

\[f(z)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^ n, \qquad z\in S^\ast(\alpha,\varepsilon)=A(\alpha,0,\varepsilon),\]

þar sem stuðlarnir \(a_n\) eru ótvírætt ákvarðaðir. Við köllum þessa röð Laurent-röð fágaða fallsins \(f\) í punktinum \(\alpha\).

(iii) Við köllum höfuðhlutaen: meromorphic part
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
raðarinnar höfuðhluta fágaða fallsins \(f\) í punktinum \(\alpha\).

(iv) Við köllum leifen: deviation from regression
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
raðarinnar leif fallsins \(f\) í punktinum \(\alpha\) og við táknum hana með

\[{{\operatorname{Res}}}(f,\alpha).\]

(v) Punkturinn \({\alpha}\) er sagður vera afmáanlegurEkki fannst þýðing á hugtakinu: afmáanlegur sérstöðupunktur, ef \(a_n=0\) fyrir öll \(n<0\), sem jafngildir því að segja að höfuðhluti Laurent-raðarinnar sé núllröðin.

(vi) Punkturinn \(\alpha\) er sagður vera skauten: pole
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef til er \(m>0\) þannig að \(a_{-m}\neq 0\) og \(a_n=0\) ef \(n<-m\). Talan \(m\) nefnist þá stig skautsins \(\alpha\).

(vii) Punkturinn \(\alpha\) kallast verulegur sérstöðupunkturen: essential singular point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, ef til eru óendanlega mörg gildi á \(n<0\) þannig að \(a_n\neq 0\), en það jafngildir því að segja að \(\alpha\) sé hvorki afmáanlegur sérstöðupunktur né skaut.

4.2.3. Afmáanlegir sérstöðupunktar

Ef \(\alpha\) er afmáanlegur, þá er Laurent-röð \(f\) í \(\alpha\) veldaröð

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n, \qquad z\in S^\ast(\alpha,\varepsilon).\]

Þar með er \(\lim_{z\to \alpha}f(z)=a_0\), svo við skilgreinum \(f(\alpha)=a_0\). Veldaröðin skilgreinir fágað fall í samleitniskífu sinni sem er grennd um \(\alpha\). Þetta segir okkur að \(\alpha\) sé afmáanlegur sérstöðupunktur þá og því aðeins að \(f\) framlengist í fágað fall í grennd um \(\alpha\).

Ef \(f\) er núllfallið á \(S(\alpha,\varepsilon)\) þá eru allir stuðlar veldaraðarinnar \(0\), en ef \(f\) er ekki núllfallið, þá er til \(m\geq 0\) þannig að \(a_m\neq 0\) og \(a_n=0\) ef \(0\leq n<m\) og veldaraðarframsetning \(f\) í \(\alpha\) er

\[\begin{aligned} f(z)&=\sum_{n=m}^\infty a_n(z-\alpha)^n\\ &=a_{m}(z-\alpha)^{m}+a_{m+1}(z-\alpha)^{m+1}+a_{m+2}(z-\alpha)^{m+2}+\cdots \\ &=(z-\alpha)^{m}\sum_{k=0}^\infty a_{m+k} (z-\alpha)^k =(z-\alpha)^{m}g(z), \qquad z\in S(\alpha,\varepsilon), \end{aligned}\]

þar sem fallið \(g\in {\mathcal{O}}(X\cup\{\alpha\})\) er skilgreint með

\[\begin{aligned}g(z)=\begin{cases} &\dfrac{f(z)}{(z-\alpha)^m},& z\in X,\\ a_m=&\dfrac{f^{(m)}(\alpha)}{m!},&z=\alpha. \end{cases}\end{aligned}\]

Niðurstaðan er því:

4.2.3.1. Setning

Einangraður sérstöðupunktur \(\alpha\) fallsins \(f\) er afmáanlegurEkki fannst þýðing á hugtakinu: afmáanlegur ef og aðeins ef til er heiltala \(m\geq 0\) og fágað fall \(g\in {\mathcal{O}}(U)\) á grennd \(U\) um \(\alpha\), þannig að \(g(\alpha)\neq 0\) og

\[f(z)=(z-\alpha)^m g(z), \qquad z\in U.\]

Við getum einkennt afmáanlega sérstöðupunkta á annan hátt:

4.2.3.2. Setning

(Riemann).   Gerum ráð fyrir að \(\alpha\) sé einangraður sérstöðupunktur fágaða fallsins \(f\). Þá er \(\alpha\) afmáanlegur sérstöðupunktur ef og aðeins ef

\[\lim_{z\to \alpha}(z-\alpha)f(z)= 0.\]

4.2.4. Skaut

Ef \(\alpha\) er skaut af stigi \(m\), þá getum við skrifað

\[\begin{aligned} f(z)&=\sum_{n=-m}^\infty a_n(z-\alpha)^n\\ &=a_{-m}(z-\alpha)^{-m}+a_{m+1}(z-\alpha)^{-m+1}+a_{m+2}(z-\alpha)^{-m+2}+\cdots \\ &=(z-\alpha)^{-m}\sum_{k=0}^\infty a_{-m+k} (z-\alpha)^k =\dfrac{g(z)}{(z-\alpha)^m}, \qquad z\in S^\ast(\alpha,\varepsilon), \end{aligned}\]

þar sem fallið \(g\in {\mathcal{O}}(X\cup\{\alpha\})\) er skilgreint með

\[\begin{aligned}g(z)=\begin{cases} (z-\alpha)^m f(z),& z\in X,\\ a_{-m},&z=\alpha. \end{cases}\end{aligned}\]

Þessi framsetning á fallinu \(f\) í grennd um \(\alpha\) auðkennir skaut af stigi \(m\):

4.2.4.1. Setning

Einangraður sérstöðupunktur \(\alpha\) fallsins \(f\) er skauten: pole
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
af stigi \(m\) ef og aðeins ef til er fágað fall \(g\in {\mathcal{O}}(U)\) á grennd \(U\) um \(\alpha\), þannig að \(g(\alpha)\neq 0\) og

\[f(z)=\dfrac{g(z)}{(z-\alpha)^ m}, \qquad z\in U\setminus{{\{\alpha\}}}.\]

Við höfum einfalda einkenningu á skautum í líkingu við setningu Riemanns:

4.2.4.2. Setning

Fall \(f\) hefur skaut í \(\alpha\) ef og aðeins ef \(|f(z)|\to +\infty\) þegar \(z\to \alpha\).


Hugsum okkur nú að fallið \(f\) hafi skaut í punktinum \(\alpha\) af stigi \(m\). Þá er fallið sett fram með Laurent-röð af gerðinni

\[f(z)=\sum\limits_{n=-m}^{+\infty} a_n(z-\alpha)^n,\]

í grennd um \(\alpha\). Ef höfuðhlutinn er táknaður með \(h(z)\), þá er \(\alpha\) afmáanlegur sérstöðupunktur mismunarins

\[f(z)-h(z) =f(z)-\sum\limits_{n=-m}^{-1} a_n(z-\alpha)^n = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n.\]

4.2.5. Stofnbrotaliðun

Í grein 1.5 gengum við út frá því sem vísum hlut, að það væri alltaf hægt að liða rætt fall í stofnbroten: partial fraction
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
. Nú skulum við sanna þetta og leiða út formúlurnar fyrir stuðlunum í stofnbrotaliðuninnien: expansion in partial fractions
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.

Látum \(R=P/Q\) vera rætt fall og gerum ráð fyrir að \({{\operatorname{stig}}}P<{{\operatorname{stig}}}Q\). Látum \(\alpha_1,\dots,\alpha_k\) vera ólíkar núllstöðvar \(Q\), látum \(m_1,\dots,m_k\) vera margfeldni þeirra og setjum \(m={{\operatorname{stig}}}Q=m_1+\cdots+m_k\). Þá er greinilegt að fallið \(R\) hefur skaut af stigi \(\leq m_j\) í \(\alpha_j\) og ef við látum

\[h_j(z)=\dfrac{A_{j,0}}{(z-\alpha_j)^{m_j}}+\cdots+ \dfrac{A_{j,m_j-1}}{(z-\alpha_j)}\]

tákna höfuðhluta fallsins \(R\) í punktinum \(\alpha_j\), þá hefur fallið

\[f(z)= R(z)-h_1(z)-\cdots-h_k(z)\]

afmáanlega sérstöðupunkta í \(\alpha_1,\dots,\alpha_k\). Við setjum \(f(\alpha_j)=\lim_{z\to \alpha_j}f(z)\), og fáum að \(f\in {\mathcal{O}}({{\mathbb C}})\). Fyrst \({{\operatorname{stig}}}P <{{\operatorname{stig}}}Q\), þá sjáum við að fallið sem stendur hægra megin jafnaðarmerkisins stefnir á \(0\) ef \(|z|\to +\infty\). Setning Liouville segir okkur nú að \(f\) sé núllfallið. Þar með er

\[R(z)=h_1(z)+\cdots+h_k(z).\]

Ef við styttum þáttinn \((z-\alpha_j)^{m_j}\) út úr margliðunni \(Q(z)\) þá fáum við margliðu og getum skrifað fallið \(R\) sem

\[R(z)=\dfrac{f_j(z)}{(z-\alpha_j)^{m_j}}, \qquad f_j(z)=\dfrac{P(z)}{q_j(z)}, \quad q_j(z)=\dfrac{Q(z)}{(z-\alpha_j)^{m_j}} =\prod\limits_{\scriptstyle \ell=1 \atop\scriptstyle \ell\neq j}^k (z-\alpha_\ell)^{m_\ell}.\]

Fallið \(f_j\) er fágað í grennd um \(\alpha_j\) og stuðlarnir í stofnbrotaliðun \(R\) í \(\alpha_j\) eru \(m_j\) fyrstu liðir í Taylor-röð \(f_j\) í \(\alpha_j\),

\[A_{j,\ell}=\dfrac {f_j^{(\ell)}(\alpha_j)}{\ell!} \qquad \ell=0,\dots,m_j-1.\]

4.2.6. Verulegir sérstöðupunktar

Hegðun fágaðra falla í grennd um verulega sérstöðupunkta er lýst með:

4.2.6.1. Setning

(Casorati-Weierstrass).   Gerum ráð fyrir að \(\alpha\) sé einangraður sérstöðupunktur fallsins \(f\in {\mathcal{O}}(X)\). Þá er \(\alpha\) verulegur þá og því aðeins að

\[f(S^\ast(\alpha,\varepsilon))\cap S(\beta,\delta)\neq \varnothing\]

fyrir sérhvert \(\varepsilon>0\) þannig að \(S^\ast(\alpha,\varepsilon)\subset X\), sérhvert \(\beta\in {{\mathbb C}}\), og sérhvert \(\delta>0\).


Setningunar má túlka þannig að hegðun falls í gataðri grennd um verulegan sérstöðupunkt sé mjög villt, þannig að sama hversu lítil götuð grennd um punktinn er tekin, fallið \(f\) varpar henni um allt planið þannig að mynd grenndarinnar skeri allar opnar skífur.

Til er miklu nákvæmari setning sem er einnig miklu erfiðara að sanna:

4.2.6.2. Setning

(Picard-setning hin meiri).   Gerum ráð fyrir að \(\alpha\) sé einangraður sérstöðupunktur fallsins \(f\in {\mathcal{O}}(X)\). Punkturinn \(\alpha\) er verulegur sérstöðupunktur þá og því aðeins að fyrir sérhvert \(\varepsilon>0\) er myndmengið \(f(S^\ast(\alpha,\varepsilon))\) allt tvinntalanplanið \({{\mathbb C}}\) með í hæsta lagi tveimur undantekningum.

4.3. Leifasetning

4.3.1. Leifasetning

Við sáum í síðasta kafla hvernig hægt er að hagnýta Cauchy-formúluna og Cauchy-formúluna fyrir afleiður til þess að reikna út ákveðin heildi. Við ætlum nú að beita Cauchy-setningunni til þess að alhæfa þessar formúlur fyrir heildi yfir lokaða vegi. Við höfum séð að það er einstaklega auðvelt að reikna út vegheildi af föllum, sem gefin eru með samleitnum Laurent-röðum yfir lokaða vegi, því við getum alltaf heildað röðina lið fyrir lið og allir liðirnir hafa stofnfall nema sá með númerið \(-1\).

4.3.1.1. Setning

(Leifasetningen: residue theorem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
).   Látum \(X\) vera opið hlutmengi í \({{\mathbb C}}\) og látum \(\Omega\) vera opið hlutmengi af \(X\) sem uppfyllir sömu forsendur og í Cauchy-setningunni. Látum \(A\) vera dreift hlutmengi af \(X\) sem sker ekki jaðarinn \(\partial\Omega\) á \(\Omega\). Ef \(f\in {\mathcal{O}}(X\setminus A)\), þá er

\[\int_{\partial\Omega}f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{\alpha\in \Omega\cap A} {{\operatorname{Res}}}(f,\alpha).\]

4.4. Útreikningur á leifum

4.4.1. Cauchy-formúla og leifasetning

Látum \(X\) vera opið hlutmengi af \({{\mathbb C}}\) og \(\Omega\) vera opið hlutmengi af \(X\), þannig að jaðarinn \(\partial\Omega\) af \(\Omega\) sé einnig innihaldinn í \(X\). Við hugsum okkur jafnframt að \(\partial\Omega\) sé stikaður af endanlega mörgum vegum \(\gamma_1,\dots,\gamma_N\), sem skerast aðeins í endapunktum, og að þeir stiki \(\partial\Omega\) í jákvæða stefnu, sem þýðir að svæðið sé vinstra megin við snertilínuna í punkti \(\gamma_j(t)\), ef horft er í stefnu \(\gamma_j{{^{\prime}}}(t)\). Hér höfum við verið að telja upp þann hluta af forsendum Cauchy–setningarinnar sem lýsa stikun á jaðri. Til viðbótar gerum við ráð fyrir að \(A\) sé dreift hlutmengi af \(X\) og að \(f\in {\mathcal{A}}(X\setminus A)\). Þá eru allir punktarnir í \(A\) einangraðir sérstöðupunktar fallsins \(f\) og leifasetningin segir okkur að

\[ \begin{aligned}\int _{\partial {\Omega}} f(\zeta)\, d\zeta =2\pi i\\\sum\limits_{\alpha\in A\cap \Omega} {{\operatorname{Res}}}(f,\alpha).\end{aligned} \]

Ef \(A\cap \Omega=\varnothing\), þá er summan sett \(0\), eins og alltaf þegar summa yfir tóma mengið er tekin. Þetta er í fullu samræmi við Cauchy–setninguna, því í þessu tilfelli er \(f\) fágað í grennd um \(\overline\Omega=\partial\Omega\cup \Omega\) og þá er heildið í vinstri hliðinni jafnt \(0\).

Cauchy–formúlan er líka sértilfelli af leifasetningunni, því ef \(z\in \Omega\) og \(\Omega\cap A=\varnothing\), þá hefur fallið \(\zeta\mapsto f(\zeta)/(\zeta-z)\) eitt skaut \(z\) af stigi \(\leq 1\) í \(\Omega\) og leifasetningin segir okkur að

\[\dfrac 1{2\pi i}\int_{\partial\Omega} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, d\zeta = {{\operatorname{Res}}}\bigg( \dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z},z\bigg)=f(z).\]

4.4.2. Leif í einföldu skauti

Nú skulum við huga að því, hvernig farið er að því að reikna út leif \({{\operatorname{Res}}}(f,\alpha)\) fallsins \(f\) í einangraða sérstöðupunktinum \(\alpha\). Samkvæmt skilgreiningu er \({{\operatorname{Res}}}(f,\alpha)=a_{-1}\), þar sem

\[ \begin{aligned}f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-\alpha)^n,\\\qquad z\in S^\ast(\alpha,\varepsilon),\end{aligned} \]

er framsetning á \(f\) með Laurent–röð.

Ef við höfum skaut af stigi \(1\) í punktinum \(\alpha\), þá eru \(a_n=0\) fyrir öll \(n<-1\), í Laurent–röðinnni og við fáum

\[(z-\alpha)f(z)=a_{-1}+a_0(z-\alpha)+a_1(z-\alpha)^2+\cdots.\]

Af þessari formúlu leiðir síðan

\[{{\operatorname{Res}}}(f,\alpha)=a_{-1}=\lim_{z\to \alpha}(z-\alpha)f(z).\]

4.4.3. Leif í skauti af stigi \(m>1\)

Við skulum gera ráð fyrir að \(f\) hafi skaut af stigi \(m>0\) í punktinum \(\alpha\). Við látum \(g\) vera fallið sem skilgreint með

\[\begin{aligned}g(z)=\begin{cases} (z-\alpha)^m f(z),& z\in X,\\ a_{-m},&z=\alpha. \end{cases}\end{aligned}\]

Við sjáum að stuðlar \(b_n\) í Taylor–röð fallsins \(g\) í punktinum \(\alpha\) gefnir með \(b_n=a_{-m+n}\) og því er

\[{{\operatorname{Res}}}(f,\alpha)=a_{-1}=b_{m-1}=\dfrac{g^{(m-1)}(\alpha)}{(m-1)!}.\]

Sértilfellið að \(\alpha\) sé skaut af fyrsta stigi er einfaldast,

\[{{\operatorname{Res}}}(f,\alpha)= g(\alpha), \qquad\qquad m=1.\]

4.4.4. Cauchy-formúla fyrir afleiður og leifasetning

Cauchy–formúlan fyrir afleiður er einnig sértilfelli af leifasetningunni, því ef \(A\cap \Omega=\varnothing\) og \(z\in \Omega\) þá hefur fallið \(\zeta\mapsto f(\zeta)/(\zeta-z)^{n+1}\) skaut af stigi \(\leq n+1\) í punktinum \(z\) og samkvæmt formúlunni hér að framan er

\[\dfrac{n!}{2\pi i} \int_{\partial\Omega}\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\, d\zeta = {n!} {{\operatorname{Res}}}\bigg(\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}},z\bigg) = f^{(n)}(z).\]

4.4.5. Leif af kvóta tveggja falla

Nú skulum við hugsa okkur að \(f\) hafi skaut af stigi \(m\) í \(\alpha\) og að \(f\) sé gefið í grennd um \(\alpha\) sem \(f(z)=g(z)/h(z)\), þar sem \(g(\alpha)\neq 0\) og \(h(\alpha)=0\). Þá getum við skrifað \(h(z)=(z-\alpha)^mh_1(z)\) þar sem \(h_1(z)\) er fágað í grennd um \(\alpha\) og \(h_1(\alpha)=h^{(m)}(\alpha)/m!\neq 0\). Ef \(f\) hefur skaut af fyrsta stigi, þá er leifin

\[{{\operatorname{Res}}}(f,\alpha)= \lim_{z\to \alpha}(z-\alpha) f(z) =\lim_{z\to \alpha} \dfrac{(z-\alpha)g(z)}{h(z)-h(\alpha)}=\dfrac{g(\alpha)}{h{{^{\prime}}}(\alpha)}.\]

Þetta segir okkur, að formúlan sem við leiddum út í síðasta kafla er ekkert annað en sértilfelli af leifasetningunni, því þar gerðum við ráð fyrir að núllstöðvar \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) margliðunnar \(Q\) væru einfaldar og því gefur leifasetningin

\[\int_{\partial\Omega}\dfrac{f(\zeta)}{Q(\zeta)}\, d\zeta = 2\pi i\sum_{\alpha_j\in \Omega} {{\operatorname{Res}}}\bigg(\dfrac{f(\zeta)}{Q(\zeta)}, \alpha_j\bigg) = 2\pi i\sum_{\alpha_j\in \Omega} \dfrac{f(\alpha_j)}{Q{{^{\prime}}}(\alpha_j)}.\]

Ef \(f(z)=g(z)/h(z)\), þar sem \(g(\alpha)\neq 0\) og \(h\) hefur núllstöð af stigi \(m>1\) og við skrifum \(h(z)=(z-{\alpha})^mh_1(z)\), þá er

\[{{\operatorname{Res}}}(f,\alpha)=\dfrac 1{(m-1)!}\cdot \left.\dfrac {d^{m-1}}{dz^{m-1}}\bigg(\dfrac {g(z)}{h_1(z)}\bigg)\right|_{z=\alpha}.\]

4.4.6. Stofnbrotaliðun og leifasetning

Í þessu samhengi er skemmtilegt að nefna, að formúlan fyrir stofnbrotaliðun, sem við settum fram í grein 1.5 og leiddum út í grein 4.2, leiðir beint af leifasetninunni og formúlunni hér að framan. Við gerðum ráð fyrir að \({{\operatorname{stig}}}\, P<{{\operatorname{stig}}}\, Q\), að \(Q\) hefði núllstöðvar \(\alpha_1,\dots,\alpha_k\) af stigi \(m_1,\dots,m_k\), \(m={{\operatorname{stig}}}\, Q=m_1+\cdots+m_k\), og við skrifuðum \(Q(z)=(z-\alpha_j)^{m_j}q_j(z)\), þar sem \(q_j\) er margliða af stigi \(m-m_j\). Við veljum nú hringinn \(\gamma_r\), með miðju í \(0\) og geislann \(r\) það stóran að \(\alpha_1,\dots,\alpha_k\) og \(z\) liggi innan hans. Leifasetningin gefur okkur þá

\[\begin{aligned} \dfrac 1{2\pi i}\int_{\gamma_r}\dfrac{P(\zeta)}{Q(\zeta)(\zeta-z)}\, d\zeta &={{\operatorname{Res}}}\bigg(\dfrac{P(\zeta)}{Q(\zeta)(\zeta-z)},z\bigg) + \sum_{j=1}^k {{\operatorname{Res}}}\bigg(\dfrac{P(\zeta)}{Q(\zeta)(\zeta-z)},\alpha_j\bigg)\\ &=\dfrac{P(z)}{Q(z)} +\sum\limits_{j=1}^k \dfrac 1{(m_j-1)!}\cdot \left.\dfrac{d^{m_j-1}}{d{\zeta}^{m_j-1}} \bigg(\dfrac{P(\zeta)}{q_j(\zeta)(\zeta-z)}\bigg)\right|_{\zeta=\alpha_j}.\end{aligned}\]

Fyrst \({{\operatorname{stig}}}\, P <{{\operatorname{stig}}}\, Q\), þá er til fasti \(C\) þannig að \(|P(\zeta)/Q(\zeta)|\leq C/r\) ef \(|\zeta|=r\) og \(r\) er nógu stórt. Heildið í vinstri hlið jöfnunnar er óháð tölunni \(r\) og við getum því metið það með \(2\pi rC/r(r-|z|)\to 0\), \(r\to +\infty\). Heildið er því \(0\) og við fáum

\[\dfrac{P(z)}{Q(z)} =\sum\limits_{j=1}^k \dfrac1{(m_j-1)!}\cdot \left.\dfrac{d^{m_j-1}}{d{\zeta}^{m_j-1}} \bigg(\dfrac{P(\zeta)}{q_j(\zeta)(z-\zeta)}\bigg)\right|_{\zeta=\alpha_j}.\]

Til þess að komast á leiðarenda með þessa formúlu þurfum við að nota alhæfinguna fyrir formúlu Leibniz fyrir \(n\)-tu afleiðu af margfeldi tveggja falla. Venjulega er hún skrifuð

\[(\varphi\psi)^{(n)}(\zeta)=\sum_{\ell=0}^n \binom n\ell \varphi^{(n-\ell)}(\zeta)\psi^{(\ell)}(\zeta), \qquad \binom n\ell=\dfrac {n!}{\ell!(n-\ell)!}.\]

Ef við deilum öllum liðum með \(n!\) þá má skrifa hana

\[\dfrac 1{n!}(\varphi\psi)^{(n)}(\zeta)= \sum_{\ell=0}^n \dfrac 1{(n-\ell)!} \varphi^{(n-\ell)}(\zeta)\cdot \dfrac 1{\ell!}\psi^{(\ell)}(\zeta).\]

Nú setjum við \(n=m_j-1\), \(\varphi(\zeta)=(z-\zeta)^{-1}\), \(\psi(\zeta)=P(\zeta)/q_j(\zeta)= f_j(\zeta)\) og skilgreinum stuðlana \(A_{j,\ell}=f_j^{(\ell)}(\alpha_j)/\ell!\). Þá fáum við með ítrun

\[\begin{aligned} \begin{gathered} \varphi(\zeta)=(z-\zeta)^{-1}, \quad \varphi'(\zeta)=1\cdot(z-\zeta)^{-2}, \quad \varphi''(\zeta)=1\cdot2\cdot (z-\zeta)^{-3},\\ \quad \dots, \quad \varphi^{(\ell)}(\zeta)=\ell! \cdot (z-\zeta)^{-\ell-1}. \end{gathered}\end{aligned}\]

og

\[\begin{aligned}\begin{gathered} \dfrac1{(m_j-1)!}\cdot \left.\dfrac{d^{m_j-1}}{d{\zeta}^{m_j-1}} \bigg(\dfrac{P(\zeta)}{q_j(\zeta)(z-\zeta)}\bigg)\right|_{\zeta=\alpha_j}\\ =\sum_{\ell=0}^{m_j-1}(z-\alpha_j)^{-(m_j-\ell)} \cdot \dfrac{f_j^{(\ell)}(\alpha_j)}{\ell!} = \dfrac{A_{j,0}}{(z-\alpha_j)^{m_j}}+\cdots+\dfrac{A_{j,m_j-1}}{(z-\alpha_j)} \end{gathered}\end{aligned}\]

Niðurstaðan er sú sama og við höfum áður séð,

\[\dfrac{P(z)}{Q(z)} =\sum\limits_{j=1}^k \dfrac{A_{j,0}}{(z-\alpha_j)^{m_j}}+\cdots+\dfrac{A_{j,m_j-1}}{(z-\alpha_j)}, \quad A_{j,\ell}=\dfrac{f_j^{(\ell)}(\alpha_j)}{\ell!}, \quad f_j(z)=\dfrac{(z-\alpha_j)^{m_j}P(z)}{Q(z)}.\]

4.4.7. Leifar reiknaðar út frá stuðlum í veldaröðum

Nú skulum við gera ráð fyrir að \(f=g/h\),

\[f(z)=\sum\limits_{n=-m}^{\infty}a_n(z-\alpha)^n, \quad g(z)=\sum\limits_{n=k}^{\infty}b_n(z-\alpha)^n, \quad h(z)=\sum\limits_{n=l}^{\infty}c_n(z-\alpha)^n,\]

hugsum okkur að stuðlarnir \(b_n\), \(c_n\) séu gefnir, \(c_l\neq 0\), \(b_k\neq 0\) og að við viljum reikna út leifina \({{\operatorname{Res}}}(f,\alpha)=a_{-1}\). Taylor–röð \(g\) er þá gefin sem margfeldi af Laurent–röð \(f\) og Taylor–röð \(h\),

\[\sum\limits_{n=-m}^{\infty}a_n(z-\alpha)^n \sum\limits_{n=l}^{\infty}c_n(z-\alpha)^n= \sum\limits_{n=k}^{\infty}b_n(z-\alpha)^n.\]

Þetta segir okkur að \(-m+l=k\) og að við fáum sambandið milli stuðlanna með því að margfalda saman raðirnar í vinstri hliðinni

\[\begin{aligned}\begin{gathered} a_{-m}c_l=b_k,\\ a_{-m+1}c_l+a_{-m}c_{l+1}=b_{k+1},\\ a_{-m+2}c_l+a_{-m+1}c_{l+1}+a_{-m}c_{l+2}=b_{k+2},\\ \qquad \vdots\qquad\qquad\qquad\vdots\\ a_{-2}c_l+a_{-3}c_{l+1}+\cdots+a_{-m}c_{l+m-2}=b_{k+m-2}\\ a_{-1}c_l+a_{-2}c_{l+1}+\cdots+a_{-m}c_{l+m-1}=b_{k+m-1}.\end{gathered}\end{aligned}\]

Fyrst \(c_l\neq 0\), þá fáum við \(m\) skrefa rakningarformúlu fyrir \(a_{-m}, a_{-m+1},\dots, a_{-1}\) og í síðasta skrefinu er leif \(f\) í \(\alpha\) fundin,

\[\begin{aligned} a_{-m}&=c_l^{-1}b_k,\\ a_{-m+1}&=c_l^{-1}\big(b_{k+1} -a_{-m}c_{l+1}\big),\\ a_{-m+2}&=c_l^{-1}\big(b_{k+2} -a_{-m+1}c_{l+1}-a_{-m}c_{l+2}\big),\\ &\qquad \vdots\qquad\qquad\qquad\vdots\\ a_{-2}&=c_l^{-1}\big(b_{k+m-2} -a_{-3}c_{l+1}-\cdots-a_{-m}c_{l+m-2}\big)\\ {{\operatorname{Res}}}(f,\alpha)=a_{-1}&=c_l^{-1}\big( b_{k+m-1}-a_{-2}c_{l+1}-\cdots-a_{-m}c_{l+m-1}\big). \end{aligned}\]

Ef engin af aðferðunum, sem við höfum verið að fjalla um hér, dugir til að finna leifina þá er ekkert annað að gera en að reikna hana út frá formúlunni sem við leiddum út í Laurent–setningunni,

\[{{\operatorname{Res}}}(f,\alpha) = \dfrac 1{2\pi i}\int_{\partial S(\alpha,\varepsilon)} f(\zeta)\, d\zeta,\]

þar sem við veljum geislann \(\varepsilon\) í hringnum nógu lítinn.

4.5. Heildi yfir einingarhringinn

Við skulum gera ráð fyrir að \(f\) sé fall af tveimur breytistærðum \((x,y)\) og að \(f\) sé skilgreint í grennd um einingarhringinn, \(x^ 2+y^ 2=1\). Við fáum nú endurbót á aðferðinni til að reikna út ákveðin heildi yfir einingarhringinn í síðasta kafla. Eins og þar athugum við, að ef \(z\) er á einingarhringnum, \(z=e^{i\theta}\), þá er

\[\begin{aligned}\begin{gathered} \cos\theta=\dfrac 12(e^{i\theta}+e^{-i\theta}) =\dfrac12(z+\dfrac 1z)=\dfrac{z^ 2+1}{2z},\\ \sin\theta=\dfrac 1{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta}) =\dfrac1{2i}(z-\dfrac 1z)=\dfrac{z^ 2-1}{2iz},\\ dz=ie^{i\theta}d\theta, \qquad d\theta=\dfrac 1{iz}dz.\end{gathered}\end{aligned}\]

Við getum því reiknað heildið út með leifareikningi

\[\begin{aligned} \int_0^ {2\pi}f(\cos\theta,\sin \theta)\, d\theta &= \int_{\partial S(0,1)}f\big(\dfrac{z^ 2+1}{2z},\dfrac{z^ 2-1}{2iz}\big) \dfrac 1{iz}\, dz\\ &=2\pi i \sum_{\alpha\in A\cap S(0,1)} {{\operatorname{Res}}}\bigg( f\big(\dfrac{z^ 2+1}{2z},\dfrac{z^ 2-1}{2iz}\big)\dfrac 1{iz},\alpha \bigg),\end{aligned}\]

ef til er opin grennd \(X\) um lokuðu einingarskífuna \(\overline S(0,1)\) og dreift mengi \(A\) þannig að fallið \(z\mapsto f\big({(z^ 2+1)}/{(2z)},{(z^ 2-1)}/{(2iz)}\big)/(iz)\) sé fágað á \(X\setminus A\).

4.6. Heildi yfir raunásinn

Nú ætlum við að snúa okkur að heildum af gerðinni

\[I=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \, dx\]

þar sem fallið \(f\) er fágað í grennd um \({{\mathbb R}}\). Hugsum okkur fyrst að \(f\in {\mathcal{O}}({{\mathbb C}}\setminus A)\), þar sem \(A\) er dreift mengi. Aðferðin byggir á því að athuga að

\[I=\lim_{r\to +\infty}\int_{-r}^ r f(x)\, dx,\]

ef heildið er samleitið. Leifasetningin gefur okkur þá

\[\int_{-r}^{r}f(x)\, dx +\int_{\gamma_r}f(z)\, dz = 2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap \Omega_r}{{\operatorname{Res}}}(f,\alpha)\]

og jafnframt

\[\int_{-r}^{r}f(x)\, dx +\int_{\beta_r}f(z)\, dz = -2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap \widetilde\Omega_r}{{\operatorname{Res}}}(f,\alpha),\]

þar sem \(\Omega_r\) og \(\widetilde\Omega_r\) eru hálfskífurnar á myndinni.

Hálfskífur í efra og neðra hálfplani

Mynd: Hálfskífur í efra og neðra hálfplani

Ef unnt er að sýna fram á að önnur hvor summan í hægri hliðunum hafi markgildi ef \(r\to +\infty\) og að tilsvarandi vegheildi

\[\int_{\gamma_r}f(z)\, dz \qquad \text{ eða } \qquad \int_{\beta_r}f(z)\, dz\]

stefni á núll, þá verður

\[I=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\, dx = 2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap H_+}{{\operatorname{Res}}}\big(f,\alpha)\]

eða

\[I=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\, dx = -2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap H_-}{{\operatorname{Res}}}\big(f,\alpha)\]

þar sem \(H_+=\{z\in {{\mathbb C}}; {{\operatorname{Im\, }}}z>0\}\) táknar efra hálfplanið og \(H_-=\{z\in {{\mathbb C}}; {{\operatorname{Im\, }}}z<0\}\) táknar neðra hálfplanið.

4.6.1. Heildi af ræðum föllum yfir raunásinn

Aðferðin sem við vorum að lýsa gengur alltaf ef fallið \(f\) er rætt. Lítum nú á \(f=P/Q\), þar sem \(P(z)=\sum_{j=0}^ka_jz^j\) og \(Q(z)=\sum_{j=0}^mb_jz^j\) eru margliður með \(k={{\operatorname{stig}}}\, P\leq {{\operatorname{stig}}}\, Q-2=m-2\), og gerum ráð fyrir að að \(Q\) hafi engar núllstöðvar á \({{\mathbb R}}\). Þá er

\[f(z)=\dfrac{a_k}{b_mz^{m-k}}\cdot \dfrac{1+(a_{k-1}/a_k)z^{-1}+\cdots +(a_0/a_k)z^{-k}} {1+(b_{m-1}/b_m)z^{-1}+\cdots +(b_0/b_m)z^{-m}}.\]

Brotið í hægri hliðinni stefnir á \(1\) ef \(r\to +\infty\) og því fáum við að

\[|f(z)|\leq \dfrac {2|a_k|/|b_m|}{r^{m-k}},\]

ef \(|z|=r\) og \(r\) er það stórt að allar núllstöðvar \(Q\) liggja í \(S(0,r-1)\). Lengd veganna \(\gamma_r\) og \(\beta_r\) er \(\pi r\), og \(m-k\geq 2\) og því stefna heildin af \(f(z)\) yfir vegina \(\gamma_r\) og \(\beta_r\) bæði á \(0\) ef \(r\to +\infty\). Við höfum því:

4.6.1.1. Setning

Látum \(f=P/Q\), þar sem \(P\) og \(Q\) eru margliður með \({{\operatorname{stig}}}\, P\leq {{\operatorname{stig}}}\, Q-2\), og gerum ráð fyrir að að \(Q\) hafi engar núllstöðvar á \({{\mathbb R}}\). Þá er

\[\int\limits_{-\infty}^ {+\infty} f(x)\, dx = 2\pi i\sum_{\alpha\in \mathcal{N}(Q)\cap H_+}{{\operatorname{Res}}}\big(f,\alpha) =-2\pi i\sum_{\alpha\in \mathcal{N}(Q)\cap H_-}{{\operatorname{Res}}}\big(f,\alpha),\]

þar sem \(\mathcal{N}(Q)\) táknar núllstöðvamengi \(Q\), \(H_+\) táknar efra hálfplanið og \(H_-\) táknar neðra hálfplanið.

4.7. Leifareikningur og Fourier–ummyndun

Oft þarf að reikna út heildi af gerðinni

\[\int_{-\infty}^{+\infty} F(x,\xi)\, dx, \qquad \xi\in X\subset {{\mathbb C}},\]

og rannsaka það sem fall af breytunni \(\xi\). Ef fallið \(F\) á sér fágaða framlengingu sem fall af \(x\) yfir svæði sem inniheldur rauntalnalínuna, þá er stundum hægt að beita leifareikningi til þess að reikna út heildið.

Lang mikilvægustu dæmin um svona heildi eru Fourier-myndir. Við látum \(L^1({{\mathbb R}})\) tákna mengi allra tvinngildra falla \(f\) á \({{\mathbb R}}\) þannig að bæði \(f\) og \(|f|\) eru heildanleg föll. Þá er Fourier-mynd \(f\) skilgreind með

\[\widehat f(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\xi} f(x)\, dx, \qquad \xi\in {{\mathbb R}}.\]

Vörpunin \({\mathcal{F}}\) sem úthlutar fallinu \(f\) Fourier-mynd sinni, \({\mathcal{F}}(f)=\widehat f\), nefnist Fourier-ummyndun. Við munum fjalla skipulega um Fourier-ummyndun í 16. kafla og sýna hvernig þeim er beitt til þess að leysa afleiðujöfnur og hlutafleiðujöfnur.

4.7.1. Fourier-myndir reiknaðar með leifareikningi.

Hugsum okkur nú að \(f\in {\mathcal{O}}({{\mathbb C}}\setminus A)\), þar sem \(A\) er dreift mengi og skilgreinum vegina \(\gamma_r\) og \(\beta_r\) eins og áður, \(\gamma_r(\theta)=re^{i\theta}\), \(\beta_r(\theta)=re^{-i\theta}\), \(\theta\in [0,\pi]\).

Hálfskífur í efra og neðra hálfplani

Mynd: Hálfskífur í efra og neðra hálfplani

Ef \(A\) sker ekki hringinn \(\{z\in {{\mathbb C}}\,;\, |z|=r\}\), þá fáum við

\[\begin{aligned}\begin{gathered} \int_{-r}^{r}e^{-ix\xi}f(x)\, dx +\int_{\gamma_r}e^{-iz\xi}f(z)\, dz = 2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap \Omega_r}{{\operatorname{Res}}}(e^{-iz\xi}f(z),\alpha),\\ \int_{-r}^{r}e^{-ix\xi}f(x)\, dx +\int_{\beta_r}e^{-iz\xi}f(z)\, dz = -2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap \widetilde\Omega_r}{{\operatorname{Res}}}(e^{-iz\xi}f(z),\alpha),\end{gathered}\end{aligned}\]

Athugum nú að fyrir \(z=x+iy\)

\[|e^{-iz\xi}|=e^{{{\operatorname{Re\, }}}(-i z\xi)}=e^{y\xi} \leq 1, \quad\text{ ef } y\geq 0 \text{ og } \xi\leq 0 \quad \text{ eða } \quad y\leq 0 \text { og } \xi\geq 0.\]

Við fáum því matið

\[\begin{aligned} \big|\int_{\gamma_r}e^{-iz\xi}f(z)\, dz\big| &\leq \max_{|z|=r}|f(z)| \int_{\gamma_r}|e^{-iz\xi}|\, |dz|, \qquad \xi<0 ,\\ \big|\int_{\beta_r}e^{-iz\xi}f(z)\, dz\big| &\leq \max_{|z|=r}|f(z)| \int_{\beta_r}|e^{-iz\xi}|\, |dz|, \qquad \xi > 0.\end{aligned}\]

4.7.1.1. Hjálparsetning

(Jordan).   Við höfum að

\[\begin{aligned} \int_{\gamma_r}|e^{-iz\xi}|\, |dz| &=\int_0^\pi e^{\xi r\sin \theta}\, rd\theta <\dfrac\pi{-\xi}, \quad \xi<0,\\ \int_{\beta_r}|e^{-iz\xi}|\, |dz| &=\int_0^\pi e^{-\xi r\sin \theta}\, rd\theta <\dfrac\pi{\xi}, \quad \xi>0.\end{aligned}\]

Af hjálparsetningu Jordan og ójöfnunum hér fyrir framan leiðir nú:

4.7.1.2. Setning

Látum \(f\in L^1({{\mathbb R}})\cap {\mathcal{O}}({{\mathbb C}}\setminus A)\), þar sem \(A\) er endanlegt mengi með engan punkt á \({{\mathbb R}}\) og gerum ráð fyrir að \(\max_{|z|=r}|f(z)|\to 0\) ef \(r\to +\infty\). Þá er

\[\begin{aligned}\widehat f(\xi) = \begin{cases} 2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap H_+} {{\operatorname{Res}}}(e^{-iz\xi}f(z),\alpha), & \xi < 0,\\ -2\pi i\sum_{\alpha\in A\cap H_-} {{\operatorname{Res}}}(e^{-iz\xi}f(z),\alpha), & \xi > 0, \end{cases}\end{aligned}\]

þar sem \(H_+=\{z\in {{\mathbb C}}\,;\, {{\operatorname{Im\, }}}z>0\}\) táknar efra hálfplanið og \(H_-=\{z\in {{\mathbb C}}\,;\, {{\operatorname{Im\, }}}z<0\}\) táknar neðra hálfplanið.


Við höfum \(e^{-ix\xi}=\cos(x\xi)-i\sin (x\xi)\) og því er

\[\widehat f(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x\xi) f(x)\, dx -i\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x\xi)f(x)\, dx, \qquad \xi\in {{\mathbb R}}.\]

Ef \(f\) er jafnstætt fall af \(x\), sem þýðir að \(f(-x)=f(x)\) fyrir öll \(x\), þá er \(\cos(x\xi)f(x)\) jafnstætt fall af \(x\) og \(\sin(x\xi)f(x)\) oddstætt af \(x\). Þá er síðara heildið \(0\) fyrir öll \(\xi\) og við höfum

\[\widehat f(\xi)=2\int_0^{+\infty}\cos(x\xi)f(x) \, dx, \qquad \xi\in\]

Þar sem \(\cos(x\xi)\) er jafnstætt fall af \(\xi\) sýnir þetta að \(\widehat f(\xi)\) er jafnstætt fall af \(\xi\).

Hugsum okkur að \(f\) sé jafnstætt og að við höfum komist að því að \(\widehat f(\xi)=g(\xi)\) þar sem \(g\) er fall á jákvæða ásnum \({{\mathbb R}}_+\). Þá þurfum við ekki að reikna neitt meira því við höfum \(\widehat f(\xi)=g(|\xi|)\) fyrir öll \(\xi\in{{\mathbb R}}\). Ef við höfum reiknað út \(\widehat f(\xi)=h(\xi)\) þar sem \(h\) er fall á neikvæða ásnum \({{\mathbb R}}_-\), þá fáum við að \(\widehat f(\xi)=h(-|\xi|)\) fyrir öll \(\xi\in {{\mathbb R}}\).

Ef hins vegar \(f\) er oddstætt fall af \(x\), sem þýðir að \(f(-x)=-f(x)\) fyrir öll \(x\), þá er \(\cos(x\xi)f(x)\) oddstætt fall af \(x\) og \(\sin(x\xi)f(x)\) jafnstætt af \(x\). Þá er fyrra heildið \(0\) fyrir öll \(\xi\) og við höfum

\[\widehat f(\xi)=-2i\int_0^{+\infty}\sin(x\xi)f(x) \, dx, \qquad \xi\in\]

Þar sem \(\sin(x\xi)\) er oddstætt fall af \(\xi\) sýnir þetta að \(\widehat f(\xi)\) er oddstætt fall af \(\xi\).

Hugsum okkur því að \(f\) sé oddstætt og að við höfum að \(\widehat f(\xi)=g(\xi)\) þar sem \(g\) er fall á jákvæða ásnum \({{\mathbb R}}_+\). Þá gildir \(\widehat f(\xi)={{\operatorname{sign}}}(\xi)g(|\xi|)\) fyrir öll \(\xi\in {{\mathbb R}}\). Ef við höfum reiknað út \(\widehat f(\xi)=h(\xi)\) þar sem \(h\) er fall á neikvæða ásnum \({{\mathbb R}}_-\), þá fáum við að \(\widehat f(\xi)={{\operatorname{sign}}}(\xi)h(-|\xi|)\) fyrir öll \(\xi\in {{\mathbb R}}\), þar sem \({{\operatorname{sign}}}\) táknar formerkisfallið \({{\operatorname{sign}}}(\xi)=1\) ef \(\xi>0\), \({{\operatorname{sign}}}(-\xi)=-1\) ef \(\xi<0\) og \({{\operatorname{sign}}}(0)=0\).