3. CAUCHY-SETNINGIN OG CAUCHY-FORMÚLAN

3.1. Vegheildun

3.1.1. Ferlar og vegir

Ferill í \({{\mathbb C}}\) er myndmengi samfellds falls \(\gamma:[a,b]\to {{\mathbb C}}\), þar sem gefin er stefnan frá upphafspunkti \(u_\gamma=\gamma(a)\) til lokapunkts \(e_\gamma=\gamma(b)\) ferilsins.

Ef \(u_\gamma=e_\gamma\), þá segjum við að ferilinn sé lokaðuren: closed curve
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.

Við segjum að ferillinn sé einfaldur ef \(\gamma(t_1)\neq \gamma(t_2)\) fyrir \(t_1\neq t_2\), með hugsanlegri undantekningu að \(\gamma(a)=\gamma(b)\). Að ferillinn sé einfaldur þýðir nákvæmlega að hann skeri ekki sjálfan sig, hugsanlega með þeirri undantekningu að upphafs- og lokapunkturinn sé sá sami.

Þó svo að ferillinn sé myndmengi samfellda fallsins \(\gamma\), þá lítum við oft svo á að ferilinn sé fallið sjálft og köllum hann þá stikaferil. Stöku sinnum viljum við þó gera greinarmun á þessu tvennu og þá notum við táknið \({{{\operatorname{mynd}(\gamma)}}}=\{\gamma(t); t\in [a,b]\}\) til að tákna ferilinn og segjum að ferillinn sé stikaður með \(\gamma\).

Vegir.

Mynd: Vegir.

Ferill sem er samfellt deildanlegur á köflum kallast veguren: edge sequence
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.

Þetta þýðir að til er skipting \(a=t_0<t_1\cdots<t_n=b\) á bilinu \([a,b]\) þannig að \(\gamma\) sé samfellt deildanlegt á opnu bilunum \(]t_{j-1},t_j[\), \(j=1,\dots, n\) og að í endapunktum bilanna séu bæði hægri og vinstri afleiða til,

\[\begin{aligned}\begin{gathered} \lim_{h\to 0+}\dfrac{\gamma(t_j+h)-\gamma(t_j)}h, \qquad j=0,\dots,n-1,\\ \lim_{h\to 0-}\dfrac{\gamma(t_j+h)-\gamma(t_j)}h, \qquad j=1,\dots,n.\end{gathered}\end{aligned}\]

3.1.2. Lengd vega

Ef \(\gamma\) er vegur, þá er unnt að skilgreina lengd hans sem

\[L(\gamma)=\lim \sum_{j=1}^ N |\gamma(\tau_j)-\gamma(\tau_{j-1})|,\]

þar sem markgildið er tekið þegar fínleiki skiptingarinnar \(a=\tau_0<\tau_1<\cdots<\tau_N=b\) stefnir á núll. Með því að líta á hægri hliðina í þessari jöfnu sem Riemann-summu, þá fáum við

\[L(\gamma)=\int_a^ b |\gamma{{^{\prime}}}(t)| \, dt.\]

Heildið er vel skilgreint, því \(\gamma\) er samfellt deildanlegt á köflum og því er afleiðan samfelld alls staðar nema í endanlega mörgum punktum, en í grennd um þá punkta er \(\gamma{{^{\prime}}}\) takmarkað.

3.1.3. Heildi með tilliti til bogalengdar

Látum nú \(C\) vera veg og \(f\) vera samfellt fall á \(C\). Við skilgreinum heildið af \(f\) yfir \(C\) með tilliti til bogalengdaren: arc length
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
sem

\[\int_Cf \, ds = \int_a^ b f(\gamma(t)) |\gamma{{^{\prime}}}(t)|\, dt.\]

Við notum líka táknin

\[\int_\gamma f\, ds, \quad \int_C f\, |dz| \quad \text { og } \quad \int_\gamma f\, |dz|\]

fyrir þetta heildi, ef vegurinn \(C\) er stikaður með \(\gamma\). Við sjáum að heildið er óháð stikuninni, því ef við stikum veginn með \(\gamma_1=\gamma\circ h\), þar sem \(h:[c,d]\to [a,b]\), þá fáum við

\[\begin{aligned} \int_c^ d f(\gamma_1(t)) |\gamma_1{{^{\prime}}}(t)|\, dt&= \int_c^ d f(\gamma(h(t))) |\gamma{{^{\prime}}}(h(t))h{{^{\prime}}}(t)|\, dt\\ &= \int_a^ bf(\gamma(\tau))|\gamma{{^{\prime}}}(\tau)| \, d\tau.\end{aligned}\]

Á þessari sömu formúlu sjáum við að heildið er jafnframt óháð stefnunni á veginum.

3.1.4. Vegheildi

Ef \(f\) er skrifað sem fall af \(z=x+iy\) og \(\gamma(t)=\alpha(t)+i\beta(t)\), þá skilgreinum við heildið af \(f\) yfir \(C\) með tilliti til \(x\) sem

\[\int_C f \, dx =\int_\gamma f\, dx = \int_a^ b f(\gamma(t)) \alpha{{^{\prime}}}(t) \, dt\]

og heildið af \(f\) yfir \(C\) með tilliti til \(y\) sem

\[\int_C f \, dy =\int_\gamma f\, dy = \int_a^ b f(\gamma(t)) \beta{{^{\prime}}}(t) \, dt.\]

Ef \(f\) og \(g\) eru samfelld föll á \(C\), þá setjum við

\[\int_C f\, dx +g \, dy = \int_C f\, dx + \int_C g\, dy.\]

Eðlilegt er að skilgreina heildið af \(f\) yfir veginn \(C\) með tilliti til \(z\) og \(\bar z\) með formúlunum

\[\begin{aligned}\begin{gathered} \int_C f\, dz =\int_\gamma f\, dz= \int_\gamma f\, dx +if\, dy = \int_a^bf(\gamma(t))\gamma{{^{\prime}}}(t) \, dt,\\ \int_C f\, d\bar z =\int_\gamma f\, d\bar z= \int_\gamma f\, dx -if\, dy = \int_a^bf(\gamma(t))\overline{\gamma{{^{\prime}}}(t)} \, dt.\end{gathered}\end{aligned}\]

Við athugum nú að öll þessi heildi eru háð stefnunni á \(C\).

3.1.5. Heildi yfir öfugan veg

Við skilgreinum öfuga veginn \(\gamma_-\) við \(\gamma\) með formúlunni

\[\gamma_-(t)=\gamma(a+b-t), \qquad t\in [a,b].\]

Öfugi vegurinn \({\gamma}_-\) við \({\gamma}\) stikar sama mengi og \({\gamma}\), en farið er yfir mengið í öfuga stefnu, þ.e. \(u_{\gamma_-}=e_{\gamma}\) og \(e_{\gamma_-}=u_{\gamma}\). Við fáum því

\[\begin{aligned} \int_a^ b f(\gamma_-(t))\alpha_-{{^{\prime}}}(t) \, dt &= \int_a^ b f(\gamma(a+b-t))(-\alpha{{^{\prime}}}(a+b-t)) \, dt \\ &= -\int_a^ b f(\gamma(t))\alpha{{^{\prime}}}(t) \, dt.\end{aligned}\]

Þar með er

\[\int_{\gamma_-}f\, dx = -\int_\gamma f\, dx,\]

og á sama hátt fáum við

\[\int_{\gamma_-}f\, dy = -\int_\gamma f\, dy, \quad \int_{\gamma_-}f\, dz = -\int_\gamma f\, dz \quad \text{ og } \quad \int_{\gamma_-}f\, d\bar z = -\int_\gamma f\, d\bar z.\]

3.1.6. Mat á heildum

Við þurfum oft að meta heildi og notfærum okkur þá oftast formúluna

\[| \int_C f(z)\, dz| \leq \int_\gamma |f(z)|\, |dz|\leq \max_{z\in C} |f(z)| \int_\gamma |dz|= \max_{z\in C}|f(z)|L(C).\]

3.1.7. Heildi yfir línustrik og hringboga

Mikilvægustu vegheildin, sem við þurfum að reikna út, eru tekin yfir hringbogaen: arc
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
og línustriken: line segment
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
. Við skulum líta á stikanir á þessum ferlum. Ef \(\alpha\) og \(\beta\) eru tveir punktar í \({{\mathbb C}}\), þá látum við \({{\langle\alpha,\beta\rangle}}\) tákna línustrikið á milli þeirra. Það er gefið með stikuninni

\[\gamma:[0,1]\to {{\mathbb C}}, \qquad \gamma(t)=(1-t)\alpha+t\beta, \qquad \gamma{{^{\prime}}}(t)= (\beta-\alpha), \qquad t\in [0,1],\]

og þar með er

\[\int_{{{\langle\alpha,\beta\rangle}}} f \, dz = (\beta-\alpha)\int_0^ 1 f((1-t)\alpha+t\beta)\, dt.\]

Boginn af hringnum \(\partial S(\alpha,r)\), sem liggur milli horngildanna \(t=a\) og \(t=b\), \(b-a\leq 2{\pi}\), er stikaður með

\[\gamma:[a,b]\to {{\mathbb C}}, \qquad \gamma(t)= \alpha+re^{it}, \qquad \gamma{{^{\prime}}}(t)= ire^{it}, \qquad t\in [a,b],\]

og við fáum

\[\int_\gamma f \, dz = \int_a^ b f(\alpha+re^{it})ire^{it}\, dt = ir \int_a^ b f(\alpha+re^{it})e^{it}\, dt.\]

Auðvelt er að sýna fram á, að opið mengi \(X\) er svæði þá og því aðeins að hægt sé að tengja sérhverja tvo punkta saman með vegi, sem samanstendur af línustrikum. Einnig er auðvelt að sýna að alltaf sé hægt að velja ferilinn einfaldan og strikin samsíða hnitaásunum.

3.1.8. Stofnföll

Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar gefur okkur

3.1.8.1. Setning

Gerum ráð fyrir að \(X\) sé opið mengi og \(f\in C(X)\). Ef \(f\) hefur stofnfallen: antiderivative
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(F\), þ.e.a.s. ef til er fall \(F\in {\mathcal{O}}(X)\) þannig að \(F{{^{\prime}}}=f\) þá er

\[\int_\gamma f(z)\, dz = F(e_\gamma)-F(u_\gamma)\]

fyrir sérhvern veg \(\gamma\) í \(X\). Sérstaklega gildir

\[\int_\gamma f(z)\, dz = 0\]

fyrir sérhvern lokaðan veg \(\gamma\) í \(X\). Ef \(X\) er svæði og \(f{{^{\prime}}}(z)=0\) fyrir öll \(z\in X\), þá er \(f\) fastafall.

3.2. Green-setningin

Við látum \(X\) vera opið hlutmengi af \({{\mathbb C}}\), \(\Omega\) vera opið hlutmengi af \(X\) þannig að jaðarinn \(\partial\Omega\) á \(\Omega\) sé í \(X\) og gerum ráð fyrir að \(\partial\Omega\) sé einfaldur lokaður vegur sem stikaður er í jákvæða stefnu miðað við \(\Omega\). Þetta þýðir að

\[\partial\Omega={{{\operatorname{mynd}(\gamma)}}}=\{\gamma(t); t\in [a,b]\}\]

þar sem \(\gamma(a)=\gamma(b)\), \(\gamma(t_1)\neq \gamma(t_2)\) ef \(t_1\neq t_2\), \(t_1,t_2\in ]a,b[\) og í punktum þar sem \(\gamma\) er deildanlegt, þá liggur \(\Omega\) á vinstri hönd ef staðið er í \(\gamma(t)\) og horft er í stefnu \(\gamma{{^{\prime}}}(t)\).

Stikun á jaðri

Mynd: Stikun á jaðri

Þá segir Green-setningin að um sérhver \(f,g\in C^ 1(X)\) gildi

\[\int_{\partial\Omega} f\, dx +g \, dy =\iint_\Omega(\partial_x g-\partial_y f)\, dxdy.\]

Þegar þessi regla hefur verið sönnuð fyrir raungild föll \(f\) og \(g\), þá er alveg ljóst að hún gildir fyrir tvinnföll einnig, því við tökum heildin af raun- og þverhlutum fyrir hvort um sig.

Green-setningin gildir fyrir almennari svæði en þetta, nefnilega svæði \(\Omega\) þar sem jaðarinn \(\partial\Omega\) samanstendur af einföldum vegum \(\gamma_j:[a_j,b_j]\to {{\mathbb C}}\), \(j=1,\dots,N\), sem skerast einungis í endapunktum og hafa jákvæða stefnu miðað við \(\Omega\). Þetta þýðir að

\[\partial\Omega=\bigcup\limits_{j=1}^N\operatorname{mynd} (\gamma_j)= \bigcup\limits_{j=1}^N \{\gamma_j(t); t\in [a_j,b_j]\},\]

og að í punktunum \(\gamma_j(t)\), þar sem vegirnir eru deildanlegir, er \(\Omega\) á vinstri hönd ef staðið er í \(\gamma(t)\) og horft er í stefnu \(\gamma{{^{\prime}}}(t)\).

Stikun á jaðri sem myndaður er úr fjórum vegum

Mynd: Stikun á jaðri sem myndaður er úr fjórum vegum

Við skilgreinum heildið af \(f\) með tilliti til \(x\) og \(g\) með tilliti til \(y\) yfir jaðarinn \(\partial\Omega\) með formúlunni

\[\int_{\partial\Omega}f\, dx + g\, dy =\sum_{j=1}^N \int_{\gamma_j}f \, dx + g\, dy\]

og Green-setningin fær þá sama form og áður

\[\int_{\partial\Omega}f\, dx+g\, dy =\iint_\Omega (\partial_xg-\partial_yf)\, dxdy.\]

3.3. Cauchy-setningin og Cauchy-formúlan

3.3.1. Cauchy-setningin

Nú skulum við gera ráð fyrir því að \(X\) sé opið hlutmengi í \({{\mathbb C}}\) og að \(\Omega\subset X\) uppfylli forsendur Green-setningarinnar. Við tökum \(f\in C^ 1(X)\), \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\), \(z=x+iy\), þar sem \(u\) og \(v\) eru raun- og þverhluti \(f\). Þá gefur Green-setningin,

\[\begin{aligned} \int_{\partial\Omega} f\, dz &=\int_{\partial\Omega} (u+iv)\, (dx+idy)\\ &=\int_{\partial\Omega} u\, dx - v\, dy +i\int_{\partial\Omega} v\, dx + u\, dy\\ &=\iint_{\Omega}\big(-\partial_x v-\partial_y u\big) \, dxdy +i\iint_{\Omega}\big(\partial_x u-\partial_y v\big) \, dxdy\\ &=\iint_{\Omega}i\big(\partial_x u+i\partial_x v\big)- \big(\partial_y u+i\partial_y v \big) \, dxdy \\ &=i\iint_{\Omega}\big(\partial_x f+i\partial_y f\big) \, dxdy =2i\iint_{\Omega}\partial_{\bar z} f \, dxdy. \end{aligned}\]

Nú erum við komin að undirstöðusetningu tvinnfallagreiningarinnar:

3.3.1.1. Setning

(Cauchy-setningin).   Látum \(X\) vera opið hlutmengi af \({{\mathbb C}}\), \(\Omega\subset X\) vera opið, þannig að \(\partial\Omega\subset X\) og gerum ráð fyrir að \(\partial\Omega\) samanstandi af endanlega mörgum vegum, sem skerast aðeins í endapunktum og hafa jákvæða stefnu miðað við \({\Omega}\). Ef \(f\in C^1(X)\), þá er

\[\int_{\partial\Omega}f\, dz = 2i\iint_{\Omega}\partial_{\bar z} f \, dxdy.\]

Ef \(f\in {\mathcal{O}}(X)\), þá er

\[\int_{\partial\Omega}f\, dz = 0.\]

3.3.2. Stjörnusvæði

Á sumum tegundum svæða fáum við miklu almennari útgáfu af Cauchy-setningunni en hér hefur verið sönnuð:

3.3.2.1. Skilgreining

Opið mengi \(X\) kallast stjörnusvæði með tilliti til punktsins \(\alpha\in X\), ef línustrikið \({{\langle\alpha,z\rangle}}\) er innihaldið í \(X\) fyrir sérhvert \(z\in X\). Við segjum að \(X\)stjörnusvæðien: star domain
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef það er stjörnusvæði með tilliti til einhvers punkts í \(X\).

Dæmi um stjörnusvæði.

Mynd: Dæmi um stjörnusvæði.

3.3.2.2. Setning

Ef \(X\) er stjörnusvæði með tilliti til punktsins \(\alpha\), þá hefur sérhvert \(f\in {\mathcal{O}}(X)\) stofnfall, sem gefið er með formúlunni

\[F(z)=\int_{{{\langle\alpha,z\rangle}}} f(\zeta)\, d\zeta, \qquad z\in X.\]

og þar með gildir

\[\int_\gamma f\, dz =0\]

fyrir sérhvern lokaðan veg \(\gamma\) í \(X\).

3.3.3. Cauchy-formúlan

Nú ætlum við að beita Cauchy setningunni á fallið \(\zeta\mapsto f(\zeta)/(\zeta-z)\) þar sem \(z\) er punktur í svæðinu \(\Omega\). Þá fæst:

3.3.3.1. Setning

(Cauchy-formúlan).   Gerum ráð fyrir sömu forsendum og í Cauchy -setningunni. Ef \(f\in C^1(X)\), þá gildir um sérhvert \(z\in \Omega\)

\[f(z)=\dfrac 1{2 \pi i}\int_{\partial\Omega}\dfrac {f(\zeta)}{\zeta-z}\, d\zeta -\dfrac 1{2\pi}\iint_{\Omega} \dfrac{(\partial_\xi+i\partial_\eta)f(\zeta)} {\zeta-z}\, d\xi d\eta,\]

þar sem breytan í heildinu er \({\zeta}={\xi}+i\eta\). Ef \(f\in {\mathcal{O}}(X)\), þá er

\[f(z)=\dfrac 1{2 \pi i}\int_{\partial\Omega}\dfrac {f(\zeta)}{\zeta-z}\, d\zeta.\]

3.3.4. Meðalgildissetning

Í sértilfellinu að \(\Omega\) sé hringskífa, þá gefur Cauchy-formúlan:

3.3.4.1. Setning

(Meðalgildissetning).   Látum \(X\) vera opið mengi í \({{\mathbb C}}\), \(f\in {\mathcal{O}}(X)\), \(z\in X\) og gerum ráð fyrir að \(\overline S(z,r)\subset X\). Þá gildir

\[f(z)=\dfrac 1{2\pi} \int_0^{2\pi}f(z+re^{it})\, dt.\]

Setningin segir okkur að meðalgildi fágaðs falls yfir jaðar hringskífu er jafnt gildi fallsins í miðpunkti skífunnar.

3.3.5. Útreikningur á heildum

Nú skulum við kanna, hvernig hægt er að beita Cauchy-formúlunni til þess að reikna út ýmis ákveðin heildi.

Til undirbúnings á því hugsum við okkur að forsendurnar í Cauchy-setningunni séu uppfylltar og að \(Q(z)\) sé margliða af stigi \(m\) með einfaldar núllstöðvar \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) og að engin þeirra liggi á \(\partial\Omega\).

Við skrifum upp stofnbrotaliðun á \(1/Q(z)\) og fáum

\[\dfrac 1{Q(z)} = \dfrac 1{Q{{^{\prime}}}(\alpha_1)(z-\alpha_1)}+\cdots+ \dfrac 1{Q{{^{\prime}}}(\alpha_m)(z-\alpha_m)}.\]

Þá getum við liðað heildið

\[\int_{\partial\Omega}\dfrac{f(z)}{Q(z)}\, dz = \dfrac 1{Q{{^{\prime}}}(\alpha_1)}\int_{\partial\Omega}\dfrac{f(z)}{z-\alpha_1}\, dz +\cdots+ \dfrac 1{Q{{^{\prime}}}(\alpha_m)}\int_{\partial\Omega}\dfrac{f(z)}{z-\alpha_m}\, dz.\]

Ef \(\alpha_j\in \Omega\), þá gefur Cauchy-formúlan

\[\int_{\partial\Omega}\dfrac{f(z)}{z-\alpha_j}\, dz = 2\pi i f(\alpha_j).\]

Ef aftur á móti \(\alpha_j\not\in\Omega\), þá er fallið \(f(z)/(z-\alpha_j)\) fágað í grennd um \(\Omega\cup\partial\Omega\), svo Cauchy-setningin segir okkur að heildi þess með tilliti til \(z\) yfir \(\partial\Omega\)\(0\). Niðurstaða þessa útreiknings er því:

3.3.5.1. Setning

Gerum ráð fyrir að forsendur Cauchy-setningarinnar séu uppfylltar og að \(Q\) sé margliða með einfaldar núllstöðvar \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) og að engin þeirra liggi á \(\partial\Omega\). Þá er

\[\int_{\partial\Omega} \dfrac{f(z)}{Q(z)} \, dz = 2\pi i\sum_{\alpha_j\in \Omega} \dfrac{f(\alpha_j)}{Q{{^{\prime}}}(\alpha_j)}.\]

3.3.6. Heildi yfir hring

Látum nú \(R(x,y)=p(x,y)/q(x,y)\) vera rætt fall af tveimur raunbreytistærðum og gerum ráð fyrir að \(q(x,y)\neq 0\) ef \(x^ 2+y^ 2=1\). Lítum á heildið

\[\int_0^{2\pi} R(\cos\theta,\sin \theta) \, d\theta.\]

Við athugum að ef \(z\) er á einingarhringnum og við skrifum \(z=e^{i\theta}\), þá er

\[\begin{aligned}\begin{gathered} \cos\theta=\dfrac 12(e^{i\theta}+e^{-i\theta}) =\dfrac12(z+\dfrac 1z)=\dfrac{z^ 2+1}{2z},\\ \sin\theta=\dfrac 1{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta}) =\dfrac1{2i}(z-\dfrac 1z)=\dfrac{z^ 2-1}{2iz},\\ dz=ie^{i\theta}d\theta, \qquad d\theta=\dfrac 1{iz}dz. \end{gathered}\end{aligned}\]

Heildið sem við viljum reikna er vegheildi

\[\int_0^ {2\pi}R(\cos\theta,\sin \theta)\, d\theta = \int_{\partial S(0,1)}R\big(\dfrac{z^ 2+1}{2z},\dfrac{z^ 2-1}{2iz}\big) \dfrac 1{iz}\, dz.\]

Það er alltaf hægt að umrita heildisstofninn í síðasta heildinu yfir á \(f(z)/Q(z)\), þar sem \(Q\) er margliða. Í því tilfelli að \(Q\) hefur einungis einfaldar núllstöðvar, þá getum við beitt síðustu setningu.

3.3.7. Heildi yfir rauntalnalínuna

Nú skulum við líta á heildi af gerðinni

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{f(x)}{Q(x)}\, dx,\]

þar sem \(f\) er fágað í grennd um \({{\mathbb R}}\cup H_+\), þar sem \(H_+=\{z\in {{\mathbb C}}; {{\operatorname{Im\, }}}z>0\}\) táknar efra hálfplanið og \(Q(z)\) er margliða sem hefur einungis einfaldar núllstöðvar í efra hálfplaninu og engar núllstöðvar á \({{\mathbb R}}\).

Nú lítum við á svæðið \(\Omega_r=\{z\in {{\mathbb C}}; {{\operatorname{Im\, }}}z>0, |z|<r\}\), sem er hálf hringskífa. Jaðar hennar samanstendur af línustrikinu \({{\langle-r,r\rangle}}\) og hálfhringnum \(\gamma_r(t)=re^{it}\), \(t\in [0,\pi]\).

Ef við veljum nú \(r\) það stórt að allar núllstöðvar \(Q\) í \(H_+\) séu innihaldnar í \(\Omega_r\), þá gefur síðasta setning okkur að

\[\int_{\partial\Omega_r} \dfrac {f(z)}{Q(z)}\, dz =\int_{-r}^ r \dfrac {f(x)}{Q(x)}\, dx + \int_{\gamma_r}\dfrac{f(z)}{Q(z)}\, dz = 2\pi i\sum_{\alpha_j\in H_+} \dfrac{f(\alpha_j)}{Q{{^{\prime}}}(\alpha_j)}.\]
Lokuð hálfskífa

Mynd: Lokuð hálfskífa

Ef heildið yfir \({\gamma}_r\) stefnir á \(0\) þegar \(r\to+{\infty}\), þá fæst niðurstaðan

\[\int_{-\infty}^ {+\infty} \dfrac {f(x)}{Q(x)}\, dx= 2\pi i\sum_{\alpha_j\in H_+} \dfrac{f(\alpha_j)}{Q{{^{\prime}}}(\alpha_j)}.\]

3.4. Cauchy-formúlan fyrir afleiður

3.4.1. Cauchy-formúlan fyrir afleiður

Hugsum okkur nú að forsendur Cauchy-setningarinnar séu uppfylltar og að \(\partial\Omega\) sé stikað af vegunum \(\gamma_j:[a_j,b_j]\to {{\mathbb C}}\), \(j=1,\dots,N\). Ef við beitum Cauchy-formúlunni og skrifum upp stikunina á heildinu, þá fæst

\[f(x+iy)=\dfrac 1{2\pi i}\sum_{j=1}^ N \int_{a_j}^ {b_j} \dfrac {f(\gamma_j(t))}{\gamma_j(t)-x-iy}\gamma_j{{^{\prime}}}(t)\, dt, \qquad f\in {\mathcal{O}}(X).\]

Nú er heildisstofninn óendanlega oft deildanlegt fall af \((x,y)\) á \(\Omega\), samfelldur á köflum sem fall af \(t\) á \([a_j,b_j]\) og þar að auki fágað fall af \(z=x+iy\). Við megum því deilda fallið \(f\) með því að taka afleiður undir heildið,

\[f{{^{\prime}}}(z)=\partial_xf(z)= \dfrac 1{2\pi i}\sum_{j=1}^ N \int_{a_j}^ {b_j} \dfrac {f(\gamma_j(t))}{(\gamma_j(t)-x-iy)^ 2}\gamma_j{{^{\prime}}}(t)\, dt\]

fyrir öll \(z\in \Omega\). Á þessari formúlu sjáum við síðan að \(f{{^{\prime}}}\) er fágað fall og að við megum beita hlutafleiðunum undir heildið og fáum að afleiðan \(f{{^{\prime\prime}}}\) af \(f{{^{\prime}}}\) er

\[f{{^{\prime\prime}}}(z)=\partial_x^ 2f(z)= \dfrac 2{2\pi i}\sum_{j=1}^ N \int_{a_j}^ {b_j} \dfrac {f(\gamma_j(t))}{(\gamma_j(t)-x-iy)^ 3}\gamma_j{{^{\prime}}}(t)\, dt.\]

Með því að velja \(\Omega\) sem opnar skífur sem þekja \(X\), þá fáum við að \(f\in C^{\infty}(X)\) og að allar afleiður af \(f\) eru fáguð föll. Þegar við fjölluðum um Taylor-raðir , þá skilgreindum við hærri \({{\mathbb C}}\)-afleiður \(f^{(n)}\) af \(f\) með

\[f^{(0)}=f, \qquad f^{(n)}=\big(f^{(n-1)}){{^{\prime}}}, \quad n\geq 1.\]

Með þrepun fáum við nú:

3.4.1.1. Setning

(Cauchy-formúlan fyrir afleiður).   Látum \(X\) og \(\Omega\) vera eins og í Cauchy-setningunni og tökum \(z\in \Omega\). Þá er sérhvert \(f\) í \({\mathcal{O}}(X)\) óendanlega oft deildanlegt á \(X\), allar hlutafleiður af \(f\) eru fáguð föll og

\[f^{(n)}(z)= \dfrac {n!}{2\pi i}\int_{\partial\Omega} \dfrac {f(\zeta)}{(\zeta-z)^ {n+1}}\, d\zeta.\]

3.4.2. Cauchy-ójöfnur

Með því að skrifa \(\Omega\) sem hringskífu, þá fáum við:

3.4.2.1. Fylgisetning

(Cauchy-ójöfnur). Ef \(X\) er opið hlutmengi af \({{\mathbb C}}\), \(\bar S(\alpha,\varrho)\subset X\), \(f\in {\mathcal{O}}(X)\) og \(|f(z)|\leq M\) fyrir öll \(z\in \partial S(\alpha,\varrho)\), þá er

\[|f^{(n)}(\alpha)|\leq Mn!/\varrho^ n.\]

3.4.3. Setning Morera

Eftirfarandi setning er andhverfa Cauchy-setningarinnar:

3.4.3.1. Setning

(Morera).   Látum \(X\) vera opið mengi í \({{\mathbb C}}\), \(f\in C(X)\) og gerum ráð fyrir að

\[\int_{\partial\Omega} f\, dz =0\]

fyrir sérhvert þríhyrningssvæði \(\Omega\) þannig að \(\Omega\cup \partial \Omega\subset X\). Þá er \(f\in {\mathcal{O}}(X)\).


Ein áhugaverð afleiðing af Cauchy-ójöfnunum er:

3.4.4. Setning Liouville

3.4.4.1. Setning

(Liouville). Látum \(f\in {\mathcal{O}}({{\mathbb C}})\) og gerum ráð fyrir að \(f\) sé takmarkað fall. Þá er \(f\) fasti.

3.4.5. Undirstöðusetning algebrunnar

3.4.5.1. Setning

(Undirstöðusetning algebrunnaren: fundamental theorem of algebra
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
).   Sérhver margliða af af stigi \(n\geq 1\) með stuðla í \({{\mathbb C}}\) hefur núllstöð í \({{\mathbb C}}\).

3.5. Samleitni í jöfnum mæli

Í útreikningum okkar þurfum við oft að vita hvort formúlur eins og

\[\begin{aligned}\begin{gathered} \lim_{t\to \alpha}\lim_{n\to+\infty}f_n(t)= \lim_{n\to+\infty}\lim_{t\to \alpha}f_n(t),\\ \lim_{t\to \alpha}\sum_{n=0}^\infty f_n(t)=\sum_{n=0}^\infty \lim_{t\to \alpha}f_n(t)\\ \lim_{n\to\infty}\ \int_a ^ b f_n(t) \, dt= \int_a ^ b \lim_{n\to\infty}\ f_n(t) \, dt,\\ \sum_{n=0}^{\infty}\ \int_a ^ b f_n(t) \, dt= \int_a ^ b \bigg(\sum_{n=0}^{\infty}\ f_n(t)\bigg) \, dt,\\ \dfrac d{dt} \lim_{n\to \infty} f_n(t) =\lim_{n\to\infty} \dfrac d{dt} f_n(t),\\ \dfrac d{dt} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(t) =\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac d{dt} f_n(t),\end{gathered}\end{aligned}\]

gildi, þar sem \(\{f_n\}\) er runa af föllum sem skilgreind eru á bilinu \([a,b]\). Eins getum við þurft að vita hvort markfall samleitinnar fallarunu sé samfellt eða deildanlegt. Við ætlum nú að fjalla almennt um skilyrði á rununa \(\{f_n\}\) sem tryggja að þessar formúlur gildi.

3.5.1. Skilgreiningar og einfaldar afleiðingar þeirra

Við byrjum á því að rifja upp skilgreininguna á samleitni fallaruna. Látum \(A\) vera mengi og \(\{ f_n\}\) vera runu af föllum \(f_n:A\to {{\mathbb C}}\). Við segjum að runan \(\{f_n\}\) stefni á fallið \(f\), og táknum það með

\[\lim_{n\to\infty}f_n=f \qquad \text{og} \qquad f_n\to f,\]

ef talnarunan \(\{f_n(a)\}\) stefnir á \(f(a)\) fyrir öll \(a\in A\). Þetta þýðir að fyrir sérhvert \(a\in A\) og sérhvert \(\varepsilon>0\) er til \(N>0\) þannig að

\[|f_n(a)-f(a)|<\varepsilon, \qquad \text{fyrir öll} \quad n\geq N.\]

Talan \(N\) getur verið háð bæði \(a\) og \(\varepsilon\), \(N=N(a,\varepsilon)\). Ef hægt er að velja töluna \(N\) óháð \(a\), þá segjum við að fallarunan \(\{f_n\}\) stefni á fallið \(f\) í jöfnum mæli á \(A\):

3.5.1.1. Skilgreining

Látum \(A\) vera mengi og \(\{f_n\}\) vera runu af föllum á \(A\) með gildi í \({{\mathbb C}}\). Við segjum að \(\{f_n\}\) stefni á fallið \(f\) í jöfnum mælien: uniform convergence
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
á \(A\), ef fyrir sérhvert \(\varepsilon>0\) er til \(N\) þannig að

\[\|f_n(a)-f(a)\|<\varepsilon, \text{fyrir öll} \quad n\geq N.\]

Við segjum að \(\{f_n\}\)samleitin í jöfnum mæli á \(A\), ef til er fall \(f\) þannig að \(\{f_n\}\) stefni á \(f\) í jöfnum mæli á \(A\).

Við segjum að fallaröðin \(\sum_{k=0}^\infty f_k\)samleitin í jöfnum mæli ef runan af hlutsummum \(\{\sum_{k=0}^ n f_k\}\) er samleitin í jöfnum mæli.

Ef fallaröðin \(\sum_{k=0}^\infty |f_k|\) er samleitin í jöfnum mæli á \(A\), þá segjum við að \(\sum_{k=0}^\infty f_k\)alsamleitin í jöfnum mæli á menginu \(A\).


Í því tilfelli að \(f_n\) og \(f\) eru raungild föll má einnig orða skilgreininguna svo, að fyrir sérhvert \(\varepsilon>0\) sé til \(N=N(\varepsilon)\), þannig fyrir öll \(n\geq N\) er graf fallsins \(f_n\) innihaldið í menginu

\[\{(a,y); a\in A, f(a)-\varepsilon<y<f(a)+\varepsilon\}.\]

3.5.1.2. Sýnidæmi

Myndin sýnir runu \(\{f_n\}\), \(f_n:{{\mathbb R}}\to {{\mathbb R}}\), sem stefnir á núllfallið \(f\), en gerir það ekki í jöfnum mæli, því \(|f_n(1/n)-f(1/n)|=1\) fyrir öll \(n\).

:math:`f_n\to 0`, *ekki í jöfnum mæli

Mynd: \(f_n\to 0\), ekki í jöfnum mæli

3.5.2. Samleitnipróf Weierstrass

Við höfum samanburðarpróf fyrir samleitni í jöfnum mæli:

3.5.2.1. Setning

(Weierstrass–próf).   Gerum ráð fyrir að \(\sum_{k=0}^ \infty f_k\) sé fallaröð á menginu \(A\), \(\sum_{k=0}^ \infty M_k\) sé samleitin röð af jákvæðum rauntölum og

\[0\leq |f_k(a)| \leq M_k \qquad \text{fyrir öll $k\geq 1$ og öll $ a\in A$.}\]

Þá er röðin \(\sum_{k=0}^ \infty f_k\) samleitin í jöfnum mæli á \(A\).

3.5.3. Setning Abels

3.5.3.1. Setning

(Abel).   Ef \(\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) er veldaröð með samleitnigeisla \(\varrho\), þá er hún samleitin í jöfnum mæli á sérhverri hringskífu með miðju í \(0\) og geisla \(r<\varrho\).

3.5.4. Samleitni í jöfnum mæli og samfelldni

Nú ætlum við að kanna formúluna

\[\lim_{t\to \alpha}\lim_{n\to+\infty}f_n(t)= \lim_{n\to+\infty}\lim_{t\to \alpha}f_n(t).\]

3.5.4.1. Setning

Látum \(A\) vera hlutmengi af \({{\mathbb R}}^ m\) og \(\{f_n\}\) vera runu af samfelldum föllum sem stefnir á fallið \(f\) í jöfnum mæli á \(A\). Þá er \(f\) samfellt.

3.5.4.2. Fylgisetning

Látum \(A\) vera hlutmengi af \({{\mathbb R}}^ m\) og \(\sum_{k=0}^\infty f_k\) vera röð af samfelldum föllum sem er samleitin í jöfnum mæli á \(A\). Þá er

\[\lim_{x\to a} \sum\limits_{k=0}^\infty f_k(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty \lim_{x\to a}f_k(x), \qquad \text{fyrir öll $a\in A$.}\]

3.5.5. Samleitni í jöfnum mæli og heildun

Næsta viðfangsefni er formúlan

\[\lim_{n\to+\infty}\int_a ^ b f_n(t) \, dt= \int_a ^ b \lim_{n\to+\infty}\ f_n(t) \, dt.\]

3.5.5.1. Setning

Gerum ráð fyrir að \(\{f_n\}\) sé runa af heildanlegum föllum á \([a,b]\), að \(f_n\to f\) í jöfnum mæli á bilinu \([a,b]\). Setjum

\[g_n(x)=\int_a^ x f_n(t)\, dt, \qquad \text{og } \qquad g(x)=\int_a^ x f(t)\, dt.\]

Þá stefnir \(g_n\) á \(g\) í jöfnum mæli á \([a,b]\).


Hliðstæða þessarar setningar fyrir raðir er:

3.5.5.2. Fylgisetning

Gerum ráð fyrir að \(\{f_k\}\) sé runa af heildanlegum föllum á bilinu \([a,b]\) og að röðin \(\sum_{k=0}^ \infty f_k\) sé samleitin í jöfnum mæli á bilinu \([a,b]\). Þá er

\[\int_a^ x \sum_{k=0}^ \infty f_k(t)\, dt = \sum_{k=0}^ \infty \int_a^ x f_k(t)\, dt, \qquad x\in [a,b].\]

Með því að skipta á stærðinni \((b-a)\) og rúmmáli mengisins \(A\subset {{\mathbb R}}^ m\) í sönnuninni á setninguni hér fyrir framan, fáum við með sömu röksemdarfærslu:

3.5.5.3. Setning

Látum \(A\) vera takmarkað hlutmengi í \({{\mathbb R}}^ m\) og \(\{f_n\}\) vera runu af heildanlegum föllum á \(A\). Ef \(f_n\to f\) í jöfnum mæli á \(A\), þá er

\[\lim\limits_{n\to +\infty} \int_A f_n(x)\, dx = \int_Af(x)\, dx.\]

Hliðstæðar setningar gilda einnig um vegheildi með tilliti til bogalengdar og heildi yfir svæði með endanlegt flatarmál.

3.5.5.4. Setning

Látum \(X\) vera opið hlutmengi í \({{\mathbb C}}\) og \(\{f_n\}\) vera runu af samfelldum föllum á \(X\). Ef \(f_n\to f\) í jöfnum mæli á sérhverju lokuðu og takmörkuðu hlutmengi í \(X\) og \(\gamma\) er vegur í \(X\), þá er

\[\lim\limits_{n\to +\infty} \int_\gamma f_n(z)\, dz = \int_\gamma f(z)\, dz.\]

3.5.6. Samleitni í jöfnum mæli og deildun

Nú snúum við okkur að formúlunni

\[\dfrac d{dt} \lim_{n\to \infty} f_n(t) =\lim_{n\to\infty} \dfrac d{dt} f_n(t).\]

3.5.6.1. Setning

Látum \(\{f_n\}\) vera runu af föllum í \(C^ 1([a,b])\), gerum ráð fyrir að runan \(\{f_n{{^{\prime}}}\}\) sé samleitin í jöfnum mæli á \([a,b]\) og að til sé \(c\in [a,b]\) þannig runan \(\{f_n(c)\}\) sé samleitin. Þá er stefnir \(\{f_n\}\) á fall \(f\in C^ 1([a,b])\) í jöfnum mæli á \([a,b]\) og

\[f{{^{\prime}}}(x)=\lim_{n\to \infty}f_n{{^{\prime}}}(x), \qquad x\in [a,b].\]

Með þrepun fáum við hliðstæða setningu fyrir hærri afleiður:

3.5.6.2. Fylgisetning

Látum \(\{f_n\}\) vera runu af föllum í \(C^m([a,b])\) og gerum ráð fyrir því að runurnar \(\{f_n^{(k)}\}\), \(0\leq k\leq m\), séu samleitnar í jöfnum mæli á \([a,b]\) og táknum markgildi \(\{f_n\}\) með \(f\). Þá er \(f\in C^m([a,b])\) og

\[f^{(k)}(t)=\lim_{n\to +\infty} f_n^{(k)}(t), \qquad t\in [a,b].\]

Raðaútgáfan ef þessari setningu er:

3.5.6.3. Fylgisetning

Látum \(\sum_{n=0}^\infty f_n\) vera röð með liði \(f_n\) í \(C^m([a,b])\) og gerum ráð fyrir því að raðirnar \(\sum_{n=0}^\infty {f_n^{(k)}}\), \(0\leq k\leq m\), séu samleitnar í jöfnum mæli á \([a,b]\) og setjum \(f=\sum_{n=0}^\infty {f_n}\). Þá er \(f\in C^m([a,b])\) og

\[f^{(k)}(t)=\sum_{n=0}^{\infty} f_n^{(k)}(t), \qquad t\in [a,b].\]

3.5.7. Runur af fáguðum föllum

Ef \(\{f_n\}\) er runa af samfelldum föllum á opnu mengi \(X\), sem er samleitin í jöfnum mæli á sérhverju lokuðu og takmörkuðu hlutmengi af \(X\), þá er markfallið \(f\) samfellt á \(X\). Setning Morera gefur okkur meira ef föllin eru fáguð:

3.5.7.1. Setning

Ef \(\{f_n\}\) er runa af fáguðum föllum á opnu hlutmengi \(X\) af \({{\mathbb C}}\), sem er samleitin í jöfnum mæli á sérhverju lokuðu og takmörkuðu hlutmengi af \(X\), þá er markfallið \(f\) fágað og

\[\lim_{n\to \infty} f_n'(z)=f'(z)\qquad z\in X.\]

Við getum eins tekið fyrir óendanlegar raðir \(\sum_{n=0}^\infty f_n\) af fáguðum föllum og fáum að markfallið

\[f(z) = \sum_{n=0}^\infty f_n(z), \qquad z\in X,\]

er fágað, ef hlutsummurnar \(s_N(z)=\sum_{n=0}^N f_n(z)\) eru samleitnar í jöfnum mæli á sérhverju lokuðu og takmörkuðu hlutmengi af \(X\) og þá má reikna út \(f'\) með því að deilda röðina lið fyrir lið,

\[f'(z) = \sum_{n=0}^\infty f_n'(z), \qquad z\in X.\]

3.6. Samleitnar veldaraðir

3.6.1. Liðun í veldaröð

Látum \(X\) vera opið mengi í \({{\mathbb C}}\), \(f\in {\mathcal{O}}(X)\), \(\varrho>0\) vera þannig að \(\overline S(\alpha,\varrho)\subset X\) og \(f\in{\mathcal{O}}(X)\). Þá gefur Cauchy-formúlan okkur

\[f(z)=\dfrac 1{2\pi i}\int_{\partial S(\alpha,\varrho)} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}\, d\zeta, \qquad z\in S(\alpha,\varrho).\]

Við athugum að

\[\dfrac 1{\zeta-z}=\dfrac 1{(\zeta-\alpha)-(z-\alpha)}= \dfrac 1{\zeta-\alpha}\cdot\dfrac 1{1-(z-\alpha)/(\zeta-\alpha)}.\]

Nú er \(|z-\alpha|/|\zeta-\alpha|<1\) ef \(z\in S(\alpha,\varrho)\) og \(\zeta\in\partial S(\alpha,\varrho)\) og þar með getum við liðað þáttinn lengst til hægri í kvótaröð og fáum

\[\dfrac 1{\zeta-z}=\dfrac 1{\zeta-\alpha}\sum_{n=0}^ \infty \dfrac{(z-\alpha)^ n}{(\zeta-\alpha)^ n}=\sum_{n=0}^ \infty \dfrac{(z-\alpha)^ n}{(\zeta-\alpha)^ {n+1}}.\]

Röðin er greinilega samleitin í jöfnum mæli fyrir öll \(\zeta\in\partial S(\alpha,\varrho)\) og öll \(z\in \bar S(\alpha,\varrho-\varepsilon)\), \(\varepsilon<\varrho\), og því megum við skipta á röð summu og heildis í Cauchy-formúlunni. Það gefur

\[f(z)=\sum_{n=0}^ \infty \bigg( \dfrac 1{2\pi i} \int_{\partial S(\alpha,\varrho)} \dfrac {f(\zeta)}{(\zeta-\alpha)^{n+1}}\, d\zeta\bigg) (z-\alpha)^ n.\]

Samkvæmt Cauchy-formúlunni fyrir afleiður er

\[\dfrac 1{2\pi i} \int_{\partial S(\alpha,\varrho)} \dfrac {f(\zeta)}{(\zeta-\alpha)^{n+1}}\, d\zeta= \dfrac{f^{(n)}(\alpha)}{n!}.\]

Niðurstaða þessa útreiknings er:

3.6.1.1. Setning

\(X\) er opið hlutmengi af \({{\mathbb C}}\), \(\alpha\in X\), \(\overline S(\alpha,\varrho)\subset X\) og \(f\in {\mathcal{O}}(X)\), þá er unnt að setja \(f\) fram með samleitinni veldaröð á skífunni \(S(\alpha,\varrho)\),

\[f(z)=\sum_{n=0}^ \infty a_n(z-\alpha)^ n, \qquad z\in S(\alpha,\varrho),\]

þar sem stuðlarnir \(a_n\) eru ótvírætt ákvarðaðir og eru gefnir með

\[a_n=\dfrac {f^{(n)}(\alpha)}{n!}.\]

Samleitnigeislien: radius of convergence
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
raðarinnar er stærri en eða jafn fjarlægðinni frá \(\alpha\) út á jaðar \(X\).

3.6.1.2. Skilgreining

Ef \(X\) er opið hlutmengi af \({{\mathbb C}}\), \(\alpha\in X\) og \(f\in {\mathcal{O}}(X)\), þá kallast veldaröðin

\[\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(\alpha)}{n!}(z-\alpha)^n,\]

Taylor-röð fágaða fallsins \(f\) í punktinum \(\alpha\). Ef \(\alpha=0\), þá kallast hún Maclaurin-röð fágaða fallsins \(f\).

3.6.2. Núllstöðvar fágaðra falla

3.6.2.1. Skilgreining

Látum \(X\) vera opið hlutmengi í \({{\mathbb C}}\), \(\alpha\in X\) og \(f\in {\mathcal{O}}(X)\). Punkturinn \(\alpha\) nefnist núllstöðen: null
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fágaða fallsins \(f\) ef \(f(\alpha)=0\) og mengið \(\mathcal{N}(f)=\{\alpha\in X; f(\alpha)=0\}\) kallast núllstöðvamengien: set of zeros
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fágaða fallsins \(f\).

Ef \(f\) er ekki núllfallið í \(S(\alpha,\varrho)\), þar sem \(\varrho>0\), þá er til minnsta gildi \(m>0\) á \(n\) þannig að \(f^{(n)}(\alpha)\neq 0\). Talan \(m\) nefnist stigen: degree
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
núllstöðvarinnar \(\alpha\).

Ef fallið \(f\) er núll í heilli grennd um \(\alpha\), þá segjum við að \(f\) hafi núllstöð af óendanlegu stigi í \(\alpha\).


Eins og fyrir margliður þá er hægt að þátta núllstöðvar úr fáguðum föllum:

3.6.2.2. Setning

Fall \(f\in {\mathcal{O}}(X)\) hefur núllstöð af stigi \(m>0\) í punktinum \(\alpha\in X\) þá og því aðeins að til sé \(g\in {\mathcal{O}}(X)\) þannig að \(g(\alpha)\neq 0\) og

\[f(z)=(z-\alpha)^ mg(z), \qquad z\in X.\]

3.7. Samsemdarsetningin

3.7.1. Samsemdarsetningin

Við skulum rifja það upp að svæðien: domain
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er opið samanhangandi mengi, en það þýðir að sérhverja tvo punkta \(\alpha\) og \(\beta\) í \(X\) er unnt að tengja saman með vegi í \(X\).

Ef \(A\) er hlutmengi í opnu mengi \(X\) í \({{\mathbb C}}\), þá er punktur \(\alpha\in A\) sagður vera einangraður í \(X\) ef til er \(\varepsilon>0\) þannig að \(A\cap S(\alpha,\varepsilon)=\{\alpha\}\).

Punktur \(\alpha\) í \(\mathbb{C}\) kallast þéttipunkturen: accumulation point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
mengisins \(A\) er sérhver opin skífa \(S(\alpha,\varepsilon)\) inniheldur óendanlega marga punkta úr menginu \(A\).

Gerum nú ráð fyrir að \(A\) sé hlutmengi í opnu mengi \(X\) í \(\mathbb{C}\). Við segjum að mengið \(A\)dreift hlutmengien: discrete subset
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í menginu \(X\) ef enginn þéttipunktur þess er stak í menginu \(X\).

3.7.1.1. Setning

(Samsemdarsetningen: identity theorem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
I).   Ef \(X\) er svæði í \({{\mathbb C}}\), \(f,g\in {\mathcal{O}}(X)\) og til er punktur \({\alpha}\) í \(X\) þannig að \(f^{(n)}({\alpha})=g^{(n)}({\alpha})\) fyrir öll \(n\geq 0\), þá er \(f(z)=g(z)\) fyrir öll \(z\in X\).

Punktar tengdir með ferli

Mynd: Punktar tengdir með ferli

3.7.1.2. Setning

Ef \(X\) er svæði og \(f\in {\mathcal{O}}(X)\) er ekki núllfallið, þá er núllstöðvamengi \(\mathcal{N}(f)=\{z\in X; f(z)=0\}\) fallsins \(f\) dreift hlutmengi af \(X\).


Við fáum nú enn sterkari útgáfu af samsemdarsetningunni:

3.7.1.3. Setning

(Samsemdarsetningen: identity theorem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
II).   Ef \(X\) er svæði, \(f,g\in {\mathcal{O}}(X)\) og \(f(a_j)=g(a_j)\) þar sem \(\{a_j\}\) er runa af ólíkum punktum, sem hefur markgildi \(a\in X\), þá er \(f(z)=g(z)\) fyrir öll \(z\in X\).

Samsemdarsetningin hefur mikla þýðingu. Hún segir okkur meðal annars, að ef \(f\) er fall sem gefið er með veldaröð á bili \(I\) á \({{\mathbb R}}\) og hægt er að útvíkka \(f\) yfir í fágað fall á svæði \(X\) í \({{\mathbb C}}\) sem inniheldur \(I\), þá er útvíkkunin ótvírætt ákvörðuð.

Hún segir okkur einnig að \(e^ z=e^{x+iy}=e^ x(\cos y+i\sin y)\) sé eina mögulega fágaða útvíkkunin á veldisvísisfallinu \(x\mapsto e^ x\) og að höfuðgrein lografallsins \({{\operatorname{Log}}}z\) sé eina mögulega fágaða framlengingin af náttúrlega lografallinu \(\ln x\) yfir í mengið \({{\mathbb C}}\setminus\{x\in {{\mathbb R}}; x\leq 0\}\).

3.8. Hágildislögmálið

3.8.1. Hágildislögmálið

Eftirfarandi setning er merkilegt hjálpartæki til þess að sanna alls konar ójöfnur fyrir \(|f|\), þar sem \(f\) er fágað fall:

3.8.1.1. Setning

(Hágildislögmálen: maximum principle
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
I). Ef \(X\) er svæði og \(f\in {\mathcal{O}}(X)\), þá getur \(|f(z)|\) ekki haft staðbundið hágildi í \(X\) nema \(f\) sé fastafall.

3.8.1.2. Setning

(Hágildislögmálen: maximum principle
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
II). Látum \(X\) vera takmarkað svæði \(f\in {\mathcal{O}}(X)\cap C(\overline X)\) (samfellt á lokuninni \(\overline X\)). Þá tekur \(|f(z)|\) hágildi á jaðri svæðisins \(\partial X\).

3.9. Vafningstölur vega

3.9.1. Vafningstölur vega

Látum \(\gamma:[a,b]\to {{\mathbb C}}\) vera feril og \(p\) vera punkt sem liggur ekki á ferlinum. Þá er hægt að skrifa

\[\gamma(t)=p+r(t)e^{i\theta(t)}, \qquad r=|\gamma(t)-p|, \qquad t\in [a,b],\]

þar sem fallið \(\theta:[a,b]\to {{\mathbb R}}\) kallast horn fyrir ferilinn \(\gamma\) mælt frá punktinum \(p\).

Fallið \(\gamma\) er samfellt og af því leiðir að hægt er að velja \(\theta\) samfellt. Ef \(\gamma\) er vegur, þá er fallið \(\gamma\) samfellt og samfellt deildanlegt á köflum og af því leiðir að hægt er að velja \(\theta\) með sömu eiginleika.

Fallið \(\theta\) er ekki ótvírætt ákvarðað, en mismunur á tveimur hornum \(\theta\) og \(\varphi\) fyrir ferillinn \(\gamma\) mælt frá \(p\) er fast heiltölumargfeldi af \(2\pi\). Þetta segir okkur að mismunurinn \(\theta(b)-\theta(a)\) sé óháður því hvernig hornið er valið.

Ef ferillinn \(\gamma\) er lokaður, þá er \(e^{i\theta(b)}=e^{i\theta(a)}\), sem segir okkur að \(\theta(b)-\theta(a)\) sé heiltölumargfeldi af \(2\pi\).

3.9.1.1. Skilgreining

Ef \(\theta\) er samfellt horn fyrir ferilinn \(\gamma\) mælt frá punktinum \(p\), þá kallast talan

\[\theta(b)-\theta(a)\]

hornauki ferilsins \(\gamma\) séð frá punktinum \(p\). Ef \(\gamma\) er lokaður ferill, þá nefnist heiltalan

\[I(\gamma,p)=\dfrac 1{2\pi}(\theta(b)-\theta(a))\]

Vafningstalaen: index
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ferilsins \(\gamma\) með tilliti til punktsins \(p\). Við segjum að \(\gamma\) vefjist utan um \(p\), ef \(I(\gamma,p)\neq 0\). Mengi allra punkta \(p\) sem liggja ekki á ferlinum og ferillinn vefst utan um köllum við innmengi ferilsins \(\gamma\) og við táknum það með \(I(\gamma)\).

Hornauki

Mynd: Hornauki

Ef \(\gamma\) er lokaður vegur, þá höfum við formúlu fyrir vafningstölunni:

3.9.1.2. Setning

Ef \(\gamma\) er lokaður vegur, þá er

\[I(\gamma,p)=\dfrac 1{2\pi i}\int_\gamma \dfrac{dz}{z-p}, \qquad p\in {{\mathbb C}}\setminus {{{\operatorname{mynd}(\gamma)}}}.\]

Lítum nú á mengið \(X={{\mathbb C}}\setminus {{{\operatorname{mynd}(\gamma)}}}\) sem samanstendur af öllum punktum \(p\) sem eru ekki á ferlinum.

Það er hægt að skrifa \(X\) sem sammengi \(X=\cup X_i\), \(i\in I\) af sundurlægum svæðum \(X_i\), þar sem \(I\) er eitthvert endanlegt eða teljanlega óendanlegt mengi. Þessi mengi \(X_i\) kallast samhengisþættien: component
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
mengisins \(X\).

Á sérhverjum samhengisþætti \(X_i\) er vafningstalan fasti sem fall af \(p\), því

\[X_i\ni p\mapsto I(\gamma,p) = \dfrac 1{2\pi i}\int_\gamma \dfrac {dz}{z-p},\]

er heiltölugilt fágað fall.

Eitt mengjanna \(X_i\) er ótakmarkað og við sjáum á formúlunni að \(I(\gamma,p)\to 0\) ef \(|p|\to +\infty\). Þar með er vafningstalan jöfn \(0\) á ótakmarkaða samhengisþættinum.

Mjög létt er að ákvarða vafningstölur fyrir alla skikkanlega vegi. Við tökum einn punkt í hverjum samhengisþætti í \(X\setminus{{{\operatorname{mynd}(\gamma)}}}\) og drögum beint línustrik frá honum yfir í ótakmarkaða samhengisþáttinn.

Gæta verður þess að í öllum skurðpunktum línunnar og vegarins sé snertivigurinn við veginn ekki samsíða línunni.

Við merkjum alla skurðpunkta, sem eru þannig að vegurinn sker línuna frá hægri til vinstri séð frá punktinum \(p\), með tölunni \(1\), og við merkjum hina punktana, sem eru þá þannig að vegurinn sker línuna frá vinstri til hægri, með tölunni \(-1\).

Talning á skurðpunktum

Mynd: Talning á skurðpunktum

Við leggjum síðan saman allar tölur á sama línustriki. Summan er vafningstala fyrir alla punkta í samhengisþættinum, sem inniheldur upphafspunkt striksins.

Í samhengisþáttunum standa vafningstölurnar.

Mynd: Í samhengisþáttunum standa vafningstölurnar.

3.10. Einfaldlega samanhangandi svæði

3.10.1. Einfaldlega samanhangandi svæði

Við höfum séð að um stjörnusvæði \(X\) gildir að vegheildi sérhvers fágaðs falls \(f\) á \(X\) yfir sérhvern lokaðan veg er \(0\). Þetter er sannað með því að sýna fram á að sérhvert fágað fall \(f\) á stjörnusvæði hafi stofnfall. Hægt er að alhæfa þetta yfir á almennari flokk mengja:

3.10.1.1. Skilgreining

Opið mengi \(X\) er sagt vera einfaldlega samhangandien: simply connected
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef \(I(\gamma)\subset X\) fyrir sérhvern lokaðan veg \(\gamma\) í \(X\).


Innmengi vegarins \(\gamma\) samanstendur af öllum punktum \(p\) sem \(\gamma\) vefst utanum, þar sem við segjum að \(\gamma\) vefjist utanum \(p\) ef vafningstalan \(I(\gamma,p)\) er frábrugðin \(0\).

Skilyrðið í skilgreiningunni segir því að í einfaldlega samanhangandi mengi geti lokaðir vegir einungis vafist utanum punkta í \(X\) og þar með að þeir geti ekki vafist utan um punkta í fyllimenginu \({{\mathbb C}}\setminus X\).

Þetta þýðir að mengið \(X\) hafi engin göt. Sem dæmi má nefna að allar hringskífur eru einfaldlega samanhangandi, en hringkragar eru það ekki.

Einfaldlega  og ekki einfaldlega samanhangandi svæði.

Mynd: Einfaldlega og ekki einfaldlega samanhangandi svæði.

Einfaldlega samanhangandi svæði einkennast af fjölbreytilegum eiginleikum:

3.10.1.2. Setning

Látum \(X\) vera svæði í \({{\mathbb C}}\). Þá er eftirfarandi jafngilt:

(i) \(X\) er einfaldlega samanhangandi.

(ii) Sérhvert fágað fall á \(X\) hefur stofnfall.

(iii) Fyrir sérhvert \(f\in {\mathcal{O}}(X)\) og sérhvern lokaðan veg \(\gamma\) í \(X\) er

\[\int_\gamma f(\zeta) \, d\zeta = 0.\]

(iv) Fyrir sérhvert \(f\in {\mathcal{O}}(X)\) og sérhvern lokaðan veg \(\gamma\) í \(X\) er

\[f(z)I(\gamma,z) = \dfrac 1{2\pi i}\int_\gamma \dfrac{f(\zeta)} {\zeta-z} \, d\zeta.\]

(v) Sérhvert núllstöðvalaust fágað fall á \(X\) hefur logra, þ.e. ef \(f\in {\mathcal{O}}(X)\) og \(\mathcal{N}(f)=\varnothing\), þá er til \(g\in {\mathcal{O}}(X)\) þannig að \(f(z)=e^{g(z)}\), \(z\in X\).

(vi) Sérhvert núllstöðvalaust fágað fall á \(X\) hefur fágaða \(n\)-tu rót fyrir öll \(n\geq 1\), þ.e. ef \(f\in {\mathcal{O}}(X)\) og \(\mathcal{N}(f)=\varnothing\), þá er til \(h\in {\mathcal{O}}(X)\) þannig að \(f(z)=h(z)^n\), \(z\in X\).

(vii) Sérhvert núllstöðvalaust fágað fall á \(X\) hefur fágaða aðra rót.