2. FÁGUÐ FÖLL

2.1. Markgildi og samfelld föll

2.1.1. Skífur og hringir

Opna skífu með miðju \(\alpha\) og geisla \(\varrho\) táknum við með

\[S(\alpha,\varrho)=\{z\in {{\mathbb C}}; |z-\alpha|<\varrho\},\]

lokaða skífu með miðju \(\alpha\) og geisla \(\varrho\) táknum við með

\[\overline S(\alpha,\varrho)=\{z\in {{\mathbb C}}; |z-\alpha|\leq\varrho\}\]

og gataða opna skífu með miðju \(\alpha\) og geisla \(\varrho\) táknum við með

\[S^\ast(\alpha,\varrho)=\{z\in {{\mathbb C}}; 0<|z-\alpha|<\varrho\}.\]

Athugið að fallið \([a,b]\ni \theta\mapsto \alpha+\varrho e^{i\theta}\) stikar hringboga með miðju \(\alpha\) og geislann \(\varrho\) frá punktinum \(\alpha+\varrho e^{ia}\) til punktsins \(\alpha+\varrho e^{ib}\) og að það stikar heilan hring ef \(b-a=2\pi\).

2.1.2. Opin og lokuð mengi

Hlutmengi \(X\) í \({{\mathbb C}}\) er sagt vera opiðen: open set
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef um sérhvern punkt \(a\in X\) gildir að til er opin skífa \(S(a,r)\) sem er innihaldin í \(X\).

Hlutmengi \(X\) í \({{\mathbb C}}\) er sagt vera lokaðen: closed set
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef fyllimengi þess \({{\mathbb C}}\setminus X\) er opið.

Ljóst er að mengi \(X\) er lokað þá og því aðeins að um sérhvern punkt \(a\) í fyllimenginu \({{\mathbb C}}\setminus X\) gildir að til er \(r>0\) þannig að \(S(a,r)\subset {{\mathbb C}}\setminus X\).

Jaðaren: boundary
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
hlutmengis \(X\) í \({{\mathbb C}}\) samanstendur af öllum punktum \(a\in {{\mathbb C}}\) þannig að sérhver opin skífa \(S(a,r)\) með \(r>0\) sker bæði \(X\) og \({{\mathbb C}}\setminus X\). Við táknum jaðar \(X\) með \(\partial X\).

Ef \(X\) er opið, þá er \(\partial X\subset {{\mathbb C}}\setminus X\).

Ef \(X\) er lokað, þá er \(\partial X\subset X\).

Punktur \(a\in {{\mathbb C}}\) nefnist þéttipunkturen: accumulation point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
mengisins \(X\) ef um sérhvert \(r>0\) gildir að gataða opna skífan \(S^\ast(a,r)\) inniheldur punkta úr \(X\).

Hlutmengi \(X\) í \({{\mathbb C}}\) er sagt vera vegsamanhangandien: arcwise connected
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef um sérhverja tvo punkta \(a\) og \(b\) í \(X\) gildir að til er samfelldur ferill \([0,1]\ni t\mapsto \gamma(t)\in {{\mathbb C}}\) sem er innihaldinn í \(X\), \(\gamma(0)=a\) og \(\gamma(1)=b\).

Opið vegsamanhangandi mengi nefnist svæðien: domain
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.

Athugið að sérhver opin skífa er svæði, því sérhverja tvo punkta í henni má tengja saman með línustriki. Lokaðar skífur eru samanhangandi, og sama er að segja um gataðar skífur.

2.1.3. Markgildi

Látum nú \(X\) vera hlutmengi í \({{\mathbb C}}\) og \(f:X\to {{\mathbb C}}\) vera fall.

Við segjum að \(f(z)\) stefni á tvinntöluna \(L\) þegar \(z\) stefnir á \(a\), ef \(a\) er þéttipunktur í \(X\) og fyrir sérhvert \(\varepsilon>0\) gildir að til er \(\delta>0\) þannig að

\[|f(z)-L|<\varepsilon \qquad \text{ fyrir öll } z\in X\cap S^\ast(a,\delta).\]

Við köllum þá töluna \(L\) markgildiEkki fannst þýðing á hugtakinu: markgildi \(f\) þegar \(z\) stefnir á \(a\) og skrifum

\[\lim_{z\to a}f(z)=L \qquad \text{ eða } \quad f(z)\to L \text{ ef } z\to a.\]

Við höfum nokkrar reiknireglur fyrir markgildi: Ef \(f\) og \(g\) eru tvinngild föll sem skilgreind eru á menginu \(X\), \(\lim_{z\to a}f(z)=L\) og \(\lim_{z\to a}g(z)=M\), þá er

\[\begin{aligned}\begin{gathered} \lim_{z\to a}(f(z)+g(z))=\lim_{x\to a}f(z)+\lim_{x\to a}g(z)=L+M,\\ \lim_{z\to a}(f(z)-g(z))=\lim_{x\to a}f(z)-\lim_{x\to a}g(z)=L-M,\\ \lim_{z\to a}(f(z)g(z))=\big(\lim_{x\to a}f(z)\big)\big(\lim_{x\to a}g(z)\big)=LM\\ \lim_{z\to a}\dfrac{f(z)}{g(z)}=\dfrac{\lim_{x\to a}f(z)}{\lim_{x\to a}g(z)}=\dfrac LM.\end{gathered}\end{aligned}\]

Í síðustu formúlunni þarf að gera ráð fyrir að \(M\neq 0\).

2.1.4. Samfelldni

Fallið \(f:X\to {{\mathbb C}}\) er sagt vera samfellt í punktinum \(a\in X\) ef

\[\lim_{z\to a}f(z)=f(a).\]

Af reiknireglunum fyrir markgildi leiðir að ef \(f\) og \(g\) eru föll á mengi \(X\) með gildi í \({{\mathbb C}}\) sem eru samfelld í punktinum \(a\in X\), þá eru \(f+g\), \(f-g\), \(fg\) og \(f/g\) samfelld í \(a\) og

\[\begin{aligned}\begin{gathered} \lim_{x\to a}(f(z)+g(z))=f(a)+g(a),\\ \lim_{x\to a}(f(z)-g(z))=f(a)-g(a),\\ \lim_{x\to a}(f(z)g(z))=f(a)g(a),\\ \lim_{x\to a}\dfrac{f(z)}{g(z)}=\dfrac{f(a)}{g(a)}, \qquad \text{ef } \ g(a)\neq 0.\end{gathered}\end{aligned}\]

Ef \(f:X\to {{\mathbb C}}\) og \(g:Y\to {{\mathbb C}}\) eru föll, \(f(X)\subset Y\), \(a\) er þéttipunkur \(X\), \(b=\lim_{z\to a}f(z)\) er þéttipunktur mengisins \(Y\) og \(g\) er samfellt í \(b\), þá er

\[\lim_{z\to a} g\circ f(z)=g(\lim_{z\to a}f(z)).\]

2.1.5. Ritháttur fyrir hlutafleiður

Ef \(f\) er fall af breytistærðunum \(x,y,z,\dots\), þá skrifum við

\[{\partial}_xf=\dfrac{\partial f}{\partial x}, \qquad {\partial}_yf=\dfrac{\partial f}{\partial y}, \qquad {\partial}_zf=\dfrac{\partial f}{\partial z}, \ \dots\]

og hærri afleiður táknum við með

\[{\partial}_x^2f=\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}, \qquad {\partial}_{xy}^2f=\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}, \qquad {\partial}_{xxy}^3f=\dfrac{\partial^3f}{\partial x^2\partial y}, \ \dots.\]

Í mörgum bókum eru hlutafleiður skrifaðar sem \(f_{x}\), \(f_y\) o.s.frv. Þessi ritháttur hentar okkur illa, því við notum lágvísinn til þess að tákna ýmislegt annað en hlutafleiður. Mun skýrari ritháttur, sem við notum þó ekki, er að tákna hlutafleiður með \(f_x'\), \(f_y'\) o.s.frv.

2.1.6. Samfellt deildanleg föll

Við fjöllum mikið um samfelld og deildanleg föll og þess vegna er mjög hagkvæmt að innleiða rithátt fyrir mengi allra falla sem eru samfelld á einhverju mengi.

Ef \(X\) er opið hlutmengi í \({{\mathbb C}}\) þá látum við \(C(X)\) tákna mengi allra samfelldra falla \(f:X\to {{\mathbb C}}\). Það er til mikilla þæginda að gera frá byrjun ráð fyrir að föllin séu tvinntölugild.

Við látum \(C^ m(X)\) tákna mengi allra \(m\) sinnum samfellt deildanlegraen: continuously differentiable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
falla. Hér er átt við að allar hlutafleiður fallsins \(f\) af stigi \(\leq m\) eru til og þar að auki samfelldar. Við skrifum \(C^0(X)=C(X)\) og táknum mengi óendanlega oft deildanlegra falla með \(C^{\infty}(X)\).

2.2. Fáguð föll

Látum \(f:X\to {{\mathbb C}}\) vera fall á opnu hlutmengi \(X\) af \({{\mathbb C}}\). Ef við látum \(z\) tákna tvinnbreytistærð með gildi í \(X\), þá getum við skrifað

\[f(z)=u(z)+iv(z)=u(x,y)+iv(x,y), \qquad z=x+iy=(x,y) \in X,\]

þar sem föllin \(u={{\operatorname{Re\, }}}f\) og \(v={{\operatorname{Im\, }}}f\) eru raunhluti og þverhluti fallsins \(f\). Við getum þá jafnframt litið á \(f\) sem vigurgilt fall af tveimur raunbreytistærðum

\[f:X\to {{\mathbb R}}^ 2, \qquad f(x,y)=(u(x,y), v(x,y)).\]

Hugtök eins og samfelldni, deildanleiki og heildanleiki eru skilgreind eins og venjulega fyrir vigurgild föll. Þetta þýðir að \(f\) er samfellt á \(X\), \(f\in C(X)\), þá og því aðeins að föllin \(u\) og \(v\) séu samfelld á \(X\), \(u,v\in C(X)\).

Eins er \(f\) \(k\)–sinnum samfellt deildanlegt á \(X\), \(f\in C^ k(X)\) þá og því aðeins að \(u,v\in C^ k(X)\) og við skilgreinum hlutafleiður af \(f\) sem tvinnföllin

\[\begin{aligned}\begin{gathered} \partial_xf=\partial_xu+i\partial_xv, \qquad \partial_yf=\partial_yu+i\partial_yv,\\ \partial^ 2_xf=\partial^ 2_xu+i\partial^ 2_xv, \qquad \partial^ 2_{xy}f=\partial^ 2_{xy}u+i\partial^ 2_{xy}v,\qquad \partial^ 2_yf=\partial^ 2_yu+i\partial^ 2_yv.\end{gathered}\end{aligned}\]

Þannig er síðan haldið áfram eftir því sem deildanleiki \(u\) og \(v\) endist. Nú ætlum við að innleiða nýtt deildanleikahugtak, þar sem við lítum á breytistærðina sem tvinntöluen: complex number
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
en ekki sem vigur:

2.2.1. \({{\mathbb C}}\)-deildanleg föll

2.2.1.1. Skilgreining

Látum \(f:X\to {{\mathbb C}}\) vera fall á opnu hlutmengi \(X\) af \({{\mathbb C}}\). Við segjum að \(f\)\({{\mathbb C}}\) –deildanlegt í punktinum \(a\in X\) ef markgildið

\[\lim _{\scriptstyle h\to 0 \atop\scriptstyle h\in{{\mathbb C}}} \dfrac{f(a+h)-f(a)}h\]

er til. Markgildið táknum við með \(f{{^{\prime}}}(a)\) og köllum það \({{\mathbb C}}\) –afleiðu fallsins \(f\) í punktinum \(a\).

Fall \(f:X\to {{\mathbb C}}\) er sagt vera fágaðen: analytic function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
á opna menginu \(X\) ef \(f\in C^1(X)\) og \(f\) er \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í sérhverjum punkti í \(X\).

Við látum \({\mathcal{O}}(X)\) tákna mengi allra fágaðra falla á \(X\). Við segjum að \(f\)fágað í punktinum \(a\) ef til er opin grennd \(U\) um \(a\) þannig að \(f\) sé fágað í \(U\).

Fallið \(f\) er sagt vera heilt fallen: entire function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef það er fágað á öllu \({{\mathbb C}}\).

Þessi skilgreining er eins og skilgreiningin af afleiðu falls af einni raunbreytistærð.

2.2.1.2. Setning

Ef \(f\) er \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(a\), þá er \(f\) samfellt í \(a\).

2.2.2. Reiknireglur fyrir \({{\mathbb C}}\)-afleiður

Reiknireglurnar fyrir \({{\mathbb C}}\)-afleiður eru nánast þær sömu og reiknireglurnar fyrir afleiður falla af einni raunbreytistærð.

2.2.2.1. Setning

Látum \(f,g:X\to {{\mathbb C}}\) vera föll, \(a\in X\), \(\alpha,\beta\in {{\mathbb C}}\) og gerum ráð fyrir að \(f\) og \(g\) séu \({{\mathbb C}}\)–deildanleg í \(a\). Þá gildir

(i) \(\alpha f+\beta g\) er \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(a\) og

\[(\alpha f+\beta g){{^{\prime}}}(a)=\alpha f{{^{\prime}}}(a)+\beta g{{^{\prime}}}(a).\]

(ii) (Leibniz-regla). \(fg\) er \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(a\) og

\[(fg){{^{\prime}}}(a)=f{{^{\prime}}}(a)g(a)+f(a)g{{^{\prime}}}(a).\]

(iii) Ef \(g(a)\neq 0\), þá er \(f/g\) \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(a\) og

\[(f/g){{^{\prime}}}(a)=\dfrac{f{{^{\prime}}}(a)g(a)-f(a)g{{^{\prime}}}(a)}{g(a)^2}.\]

2.2.2.2. Fylgisetning

\({\mathcal{O}}(X)\) er línulegt rúm yfir \({{\mathbb C}}\).

Ef \(f_1,f_2,\dots, f_n\) eru \({{\mathbb C}}\)–deildanleg í \(a\) og \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\in {{\mathbb C}}\), þá fáum við með þrepun að \(f=\alpha_1f_1+\cdots+\alpha_nf_n\) er \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(a\) og

\[f{{^{\prime}}}(a)=\alpha_1 f_1{{^{\prime}}}(a)+\cdots+\alpha_nf_n{{^{\prime}}}(a).\]

Eins fáum við með þrepun að margfeldið \(f=f_1f_2\cdots f_n\) er \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(a\) og

\[f{{^{\prime}}}(a)= \sum_{j=1}^n f_j{{^{\prime}}}(a)\bigg(\prod_{\scriptstyle k=1 \atop\scriptstyle k\neq j}^n f_k(a)\bigg).\]

Athugið að af þessu leiðir formúlan

\[\dfrac{f{{^{\prime}}}(a)}{f(a)} = \dfrac{f_1{{^{\prime}}}(a)}{f_1(a)}+\cdots+ \dfrac{f_n{{^{\prime}}}(a)}{f_n(a)}.\]

2.2.2.3. Sýnidæmi

(i) Allar margliður

\[P(z)= a_0+a_1z+\cdots+a_mz^m, \qquad z\in {{\mathbb C}},\]

eru fáguð föll á öllu \({{\mathbb C}}\) og afleiðan er

\[P{{^{\prime}}}(z)= a_1+2a_2z+\cdots+ma_mz^{m-1}, \qquad z\in {{\mathbb C}}.\]

(ii) Sérhvert rætt fall \(R=P/Q\), þar sem \(P\) og \(Q\) eru margliður, er fágað fall á menginu \(\{z\in {{\mathbb C}}; Q(z)\neq 0\}\) og

\[R{{^{\prime}}}(z)= \dfrac{P{{^{\prime}}}(z)Q(z)-P(z)Q{{^{\prime}}}(z)}{Q(z)^2}.\]

Keðjureglanen: chain rule
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fyrir \({{\mathbb C}}\)–deildanleg föll er eins og keðjureglan fyrir raunföll:

2.2.2.4. Setning

Látum \(X\) og \(Y\) vera opin hlutmengi af \({{\mathbb C}}\), \(f:X\to {{\mathbb C}}\) og \(g:Y\to {{\mathbb C}}\) vera föll, þannig að \(f(X)\subset Y\), \(a\in X\), \(b\in Y\), \(b=f(a)\) og setjum

\[h=g\circ f.\]

(i) Ef \(f\) er \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(a\) og \(g\) er \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(b\), þá er \(h\) \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(a\) og

\[h{{^{\prime}}}(a)=g{{^{\prime}}}(b)f{{^{\prime}}}(a).\]

(ii) Ef \(g\) er \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(b\), \(g{{^{\prime}}}(b)\neq 0\), \(h\) er \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(a\) og \(f\) er samfellt í \(a\), þá er \(f\) \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(a\) og

\[f{{^{\prime}}}(a)=h{{^{\prime}}}(a)/g{{^{\prime}}}(b).\]

Mikilvæg afleiðing af þessari setningu er:

2.2.2.5. Fylgisetning

Látum \(X\) og \(Y\) vera opin hlutmengi af \({{\mathbb C}}\), \(f:X\to Y\) vera gagntækt fall. Ef \(f\) er \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(a\) og \(f{{^{\prime}}}(a)\neq 0\), þá er andhverfa fallið \(f^{[-1]}\) \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(b=f(a)\) og

\[\left(f^{[-1]}\right){{^{\prime}}}(b)= \dfrac 1{f{{^{\prime}}}(a)}.\]

2.2.3. Cauchy-Riemann-jöfnur

Nú skulum við gera ráð fyrir því að \(f\)\({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í punktinum \(a\) og huga að sambandinu milli \(f{{^{\prime}}}(a)\), \({\partial}_xf(a)\) og \({\partial}_yf(a)\). Ef við skrifum \(a=\alpha+i\beta=(\alpha, \beta)\) og látum \(h\to 0\) eftir rauntölunum, þá fáum við

\[\begin{aligned} f{{^{\prime}}}(a)=&\lim_{\scriptstyle h\to 0 \atop\scriptstyle h\in {{\mathbb R}}} \dfrac{u(\alpha+h,\beta)-u(\alpha,\beta)}h+i \dfrac{v(\alpha+h,\beta)-v(\alpha,\beta)}h\\ =&\partial_xu(a)+i\partial_xv(a)=\partial_xf(a).\end{aligned}\]

Ef við látum hins vegar \(h\to 0\) eftir þvertölum, \(h=ik\), \(k\in {{\mathbb R}}\), þá fáum við

\[\begin{aligned} f{{^{\prime}}}(a)&=\lim_{\scriptstyle k\to 0 \atop\scriptstyle k\in {{\mathbb R}}} \dfrac{u(\alpha,\beta+k)-u(\alpha,\beta)}{ik}+i \dfrac{v(\alpha,\beta+k)-v(\alpha,\beta)}{ik}\\ &=-i(\partial_yu(a)+i\partial_yv(a))=-i\partial_yf(a).\end{aligned}\]

Við höfum því:

2.2.3.1. Setning

Látum \(f=u+iv:X\to {{\mathbb C}}\) vera fall af \(z=x+iy\) á opnu hlutmengi \(X\) í \({{\mathbb C}}\). Ef \(f\) er \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(a\in X\), þá eru báðar hlutafleiðurnar \(\partial_xf(a)\) og \(\partial_yf(a)\) til og

\[f{{^{\prime}}}(a)=\partial_xf(a)=-i\partial_yf(a).\]

Þar með gildir Cauchy–Riemann–jafnan

\[\tfrac 12\big(\partial_xf(a)+i\partial_yf(a)\big)=0,\]

og hún jafngildir hneppinu

\[\partial_xu(a)=\partial_yv(a), \qquad \partial_yu(a)=-\partial_xv(a),\]

sem venja er að kalla Cauchy–Riemann–jöfnur, í fleirtölu.

2.2.4. Wirtinger-afleiður

Til þess að glöggva okkur betur á Cauchy–Riemann–jöfnunni, þá skulum við rifja það upp að fall \(f:X\to {{\mathbb R}}^2\) er sagt vera deildanlegt í punktinum \(a\), ef til er línuleg vörpun \(L:{{\mathbb R}}^2\to {{\mathbb R}}^2\) þannig að

\[\lim_{\scriptstyle h\to 0 \atop\scriptstyle h\in {{\mathbb R}^2}} \dfrac{\| f(a+h)-f(a)-L(h)\|}{\|h\|}= 0,\]

þar sem \(\|z\|\) táknar lengd vigursins \(z\).

Vörpunin \(L\) er ótvírætt ákvörðuð. Hún nefnist afleiða \(f\) í punktinum \(a\) og er oftast táknuð með \(d_af\), \(df_a\) eða \(Df(a)\).

Með því að velja vigurinn \(h\) af gerðinni \(t(1,0)\) og \(t(0,1)\) og láta síðan \(t\to 0\), þá sjáum við að hlutafleiðurnar \({\partial}_xu(a)\), \({\partial}_yu(a)\), \({\partial}_xv(a)\) og \({\partial}_yv(a)\) eru allar til og að fylki vörpunarinnar \(d_af\) miðað við grunninn \(\{(1,0), (0,1)\}\) er

\[\begin{aligned}\left[\begin{matrix} {\partial}_xu(a) & {\partial}_yu(a)\\ {\partial}_xv(a) & {\partial}_yv(a) \end{matrix}\right].\end{aligned}\]

Þetta fylki nefnist Jacobi–fylki \(f\) í punktinum \(a\). Nú skrifum við \(z=(x,y)\), \(a=({\alpha},{\beta})\) og sjáum að markgildið hér fyrir ofan jafngildir því að hægt sé að rita

\[\begin{aligned}f(z)=\left[\begin{matrix} u(a) \\ v(a) \end{matrix}\right]+ \left[\begin{matrix} {\partial}_xu(a) \\ {\partial}_xv(a) \end{matrix}\right](x-{\alpha})+ \left[\begin{matrix} {\partial}_yu(a) \\ {\partial}_yv(a) \end{matrix}\right](y-{\beta})+ \|z-a\|F_a(z),\end{aligned}\]

þar sem \(F_a:X\to {{\mathbb R}}^2\) er samfellt í \(a\) og \(F_a(a)=0\). Nú skulum við líta á \(f\) sem tvinngilt fall \(f=u+iv\). Þá er þessi jafna jafngild

\[f(z)=f(a)+ {\partial}_xf(a)(x-{\alpha})+{\partial}_yf(a)(y-{\beta}) +(z-a)\varphi_a(z),\]

þar sem \(\varphi_a:X\to {{\mathbb C}}\) er samfellt í \(a\) og \(\varphi_a(a)=0\). Nú skrifum við

\[x-{\alpha}=\big((z-a)+\overline{(z-a)}\big)/2, \qquad y-{\beta}=\big((z-a)-\overline{(z-a)}\big)/2i\]

og fáum því

\[\begin{aligned}\begin{gathered} {\partial}_xf(a)(x-{\alpha})+{\partial}_yf(a)(y-{\beta}) \\ =\tfrac 12\big({\partial}_xf(a)-i{\partial}_yf(a)\big)(z-a) +\tfrac 12\big({\partial}_xf(a)+i{\partial}_yf(a)\big)\overline{(z-a)}.\end{gathered}\end{aligned}\]

2.2.4.1. Skilgreining

Við skilgreinum fyrsta stigs hlutafleiðuvirkjana \({\partial}_z={\partial}/{\partial}z\) og \({\partial}_{\bar z}={\partial}/{\partial}\bar z\) með

\[{\partial}_zf=\dfrac{{\partial}f}{{\partial} z} =\tfrac 12\big({\partial}_xf-i{\partial}_yf\big) \quad \text{ og } \quad {\partial}_{\bar z}f=\dfrac{{\partial}f}{{\partial}\bar z} =\tfrac 12\big({\partial}_xf+i{\partial}_yf\big)\]

Tölurnar \({\partial}_zf(a)\) og \({\partial}_{\bar z}f(a)\) nefnast Wirtinger–afleiður fallsins \(f\) í punktinum \(a\) og virkinn \({\partial}_{\bar z}\) nefnist Cauchy–Riemann–virki.


Hugsum okkur nú að \(f:X\to {{\mathbb C}}\) sé eitthvert fall og að til séu tvinntölur \(A\), \(B\) og fall \(\varphi_a:X\to {{\mathbb C}}\), samfellt í \(a\) með \(\varphi_a(a)=0\), þannig að

\[f(z)=f(a)+A(z-a)+B\overline{(z-a)}+(z-a)\varphi_a(z).\]

Þá er greinilegt að \(f\) er deildanlegt í \(a\) með afleiðuna \(d_af(h)=Ah+B\bar h\) og

\[\begin{aligned} {\partial}_xf(a) &= \lim_{\scriptstyle h\to 0 \atop\scriptstyle h\in {{\mathbb R}}} \dfrac{f(a+h)-f(a)}h =\lim_{\scriptstyle h\to 0 \atop\scriptstyle h\in {{\mathbb R}}} A+B+\varphi_a(a+h) = A+B,\\ {\partial}_yf(a) &= \lim_{\scriptstyle h\to 0 \atop\scriptstyle h\in {{\mathbb R}}} \dfrac{f(a+ih)-f(a)}h =\lim_{\scriptstyle h\to 0 \atop\scriptstyle h\in {{\mathbb R}}} iA-iB+\varphi_a(a+ih) = i(A-B).\end{aligned}\]

Ef við leysum \(A\) og \(B\) út úr þessum jöfnum, þá fáum við

\[\begin{aligned} A&= \tfrac 12\big({\partial}_xf(a)-i{\partial}_yf(a)\big) ={\partial}_zf(a),\\ B&= \tfrac 12\big({\partial}_xf(a)+i{\partial}_yf(a)\big) ={\partial}_{\bar z}f(a).\end{aligned}\]

Við höfum nú sannað:

2.2.4.2. Setning

Látum \(X\subset {{\mathbb C}}\) vera opið, \(a\in X\) og \(f:X\to {{\mathbb C}}\) vera fall. Þá gildir:

(i) \(f\) er deildanlegt í \(a\) þá og því aðeins að til séu tvinntölur \(A\), \(B\) og fall \(\varphi_a:X\to {{\mathbb C}}\), samfellt í \(a\) og með \(\varphi(a)=0\), þannig að

\[f(z)=f(a)+A(z-a)+B\overline{(z-a)}+(z-a)\varphi_a(z).\]

(ii) \(f\) er \({{\mathbb C}}\)–deildanlegt í \(a\) þá og því aðeins að \(f\) sé deildanlegt í \(a\) og \({\partial}_{\bar z}f(a)=0\). Þá er \(f{{^{\prime}}}(a)={\partial}_zf(a)\).

(iii) \(f\) er fágað í \(X\) þá og því aðeins að \(f\) sé samfellt deildanlegt í \(X\) og uppfylli Cauchy–Riemann–jöfnuna \({\partial}_{\bar z}f=0\) í \(X\). Við höfum þá

\[f{{^{\prime}}}=\dfrac{df}{dz}=\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac 12\bigg( \dfrac{\partial f}{\partial x}-i\dfrac{\partial f}{\partial y}\bigg).\]

Reikningur með hlutafleiðunum með tilliti til \(z\) og \(\bar z\) er alveg eins of reikningur með óháðu breytunum \(x\) og \(y\).

Ef fallið \(f(z)=f(x+iy)\) er gefið með formúlu í \(x\) og \(y\), þá notum við formúlurnar \(x=(z+\bar z)/2\) og \(y=(z-\bar z)/(2i)\) til þess að skipta á óháðu breytunum \(x\) og \(y\) yfir í breyturnar \(z\) og \(\bar z\). Til þess að kanna hvort fall er fágað þá deildum við eins og þetta séu óháðar breytur og könnum hvort

\[\dfrac{\partial f}{\partial\bar z}=0.\]

Ef \(\bar z\) kemur alls ekki fyrir í formúlunni, þá er \(f\) fágað.

2.3. Samleitnar veldaraðir

2.3.1. Samleitnar veldaraðir

Einu dæmin um fáguð föll sem við höfum nefnt til þessa eru margliður \(P\), en þær eru fágaðar á öllu \({{\mathbb C}}\), og ræð föll \(R=P/Q\), en þau eru fáguð á \({{\mathbb C}}\setminus\{z\in {{\mathbb C}}; Q(z)=0\}\).

Nú ætlum við að bæta verulega við dæmaforðann með því að sanna að öll föll, sem unnt er að setja fram með samleitnum veldaröðum, séu fáguð á samleitniskífu raðarinnar.

Ef fallið \(f\) er skilgreint á einhverju opnu mengi \(Y\) á \({{\mathbb R}}\) og er gefið með samleitinni veldaröð á \(]a-{\varrho},a+{\varrho}[\subset Y\),

\[f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n, \qquad x\in ]a-{\varrho},a+{\varrho}[,\]

þá er röðin samleitin á opnu skífunni \(S(a,{\varrho})\subseteq {{\mathbb C}}\) og við getum framlengt skilgreiningarsvæði \(f\) yfir á \(S(a,{\varrho})\) með því að setja

\[f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-a)^n, \qquad z\in S(a,{\varrho}).\]

2.3.1.1. Skilgreining

Fall sem skilgreint er á opnu mengi \(U\) á rauntalnaásnum er sagt vera raunfágaðen: real analytic
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef það hefur þann eiginleika að í grennd um sérhvern punkt í \(U\) er hægt að setja \(f\) fram með samleitinni veldaröð.


Fallið \(z\mapsto 1/(1-z)\) er fágað á \({{\mathbb C}}\setminus\{1\}\) og það gefið með geómetrísku röðinni

\[\dfrac 1{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n, \qquad z\in S(0,1).\]

Veldisvísisfallið, hornaföllin og breiðbogaföllin eru öll gefin með samleitnum veldaröðum á \({{\mathbb R}}\) og fáguðu framlengingar þeirra eru því gefnar með sömu röðum á öllu \({{\mathbb C}}\)

\[\begin{aligned}\begin{gathered} \exp z =e^ z = \sum_{n=0}^\infty \dfrac 1{n!}z^n, \\ \cos z = \sum_{k=0}^ \infty \dfrac {(-1)^ k}{(2k)!}z^{2k}, \quad \sin z = \sum_{k=0}^ \infty \dfrac {(-1)^ k}{(2k+1)!}z^{2k+1}, \quad\\ \cosh z = \sum_{k=0}^ \infty \dfrac {1}{(2k)!}z^{2k}, \quad \sinh z = \sum_{k=0}^ \infty \dfrac {1}{(2k+1)!}z^{2k+1}.\end{gathered}\end{aligned}\]

2.3.1.2. Setning

Gerum ráð fyrir að \(X\) sé opið hlutmengi af \({{\mathbb C}}\), \(S(\alpha,\varrho)\subset X\), að \(f:X\to {{\mathbb C}}\) sé fall, sem gefið er á \(S(\alpha,\varrho)\) með samleitinni veldaröð,

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n, \qquad z\in S(\alpha,\varrho).\]

Þá er \(f\) fágað á \(S(\alpha,\varrho)\) og

\[f{{^{\prime}}}(z)=\sum_{n=1}^\infty na_n(z-\alpha)^{n-1}, \qquad z\in S(\alpha,\varrho).\]

Ef \(\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) og \(\sum_{n=0}^\infty b_nz^n\) eru tvær samleitnar veldaraðir með samleitnigeisla \(\varrho_a\) og \(\varrho_b\), þá höfum við fáguð föll \(f\) og \(g\) í \(S(\alpha,\varrho_a)\) og \(S(\alpha,\varrho_b)\) sem gefin eru með

\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n, \qquad \text{ og } \qquad g(z)=\sum_{n=0}^\infty b_n(z-\alpha)^n.\]

Ef við setjum \(\varrho=\min\{\varrho_a,\varrho_b\}\), þá eru fáguðu föllin \(f+g\) og \(fg\) einnig gefin veldaröðum á skífunni \(S(\alpha,\varrho)\) með

\[f(z)+g(z)=\sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)(z-\alpha)^n \qquad \text{ og } \qquad f(z)g(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-\alpha)^n,\]

þar sem stuðlarnir \(c_n\) eru gefnir með

\[c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}, \qquad n=0,1,2,\dots.\]

Eftirfarandi setning nefnist samsemdarsetningen: identity theorem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fyrir samleitnar veldaraðir:

2.3.1.3. Setning

Gerum ráð fyrir að \(f,g\in {\mathcal{O}}(S(\alpha,\varrho))\) séu gefin með samleitnum veldaröðum

\[f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n, \qquad g(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty b_n(z-\alpha)^n, \qquad z\in S(\alpha,\varrho),\]

og gerum ráð fyrir að til sé runa \(\{\alpha_j\}\) af ólíkum punktum í \(S(\alpha,\varrho)\) þannig að \(\alpha_j\to \alpha\) og \(f(\alpha_j)=g(\alpha_j)\) fyrir öll \(j\). Þá er \(a_n=b_n\) fyrir öll \(n\) og þar með \(f(z)=g(z)\) fyrir öll \(z\in S(\alpha,\varrho)\).

2.3.1.4. Fylgisetning

Ef  \(\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n\) er samleitin veldaröð, \(I\) er opið bil sem inniheldur \(0\) og \(\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n=0\) fyrir öll \(x\in I\), þá er \(a_n=0\) fyrir öll \(n=0,1,2,\dots\).


Við sáum hér að framan að sérhvert fall sem gefið er með veldaraðaframsetningu á einhverri skífu er fágað. Nú hugum við að andhverfu þessarar staðhæfingar:

2.3.1.5. Setning

Látum \(X\subset {{\mathbb C}}\) vera opið og \(f\in {\mathcal{O}}(X)\). Ef \(\alpha\in X\), \(0<\varrho<d(\alpha,\partial X)\), þar sem \(d(\alpha,\partial X)\) táknar fjarlægð punktsins \(\alpha\) frá jaðrinum \(\partial X\) á menginu \(X\), þá er hægt að setja \(f\) fram í \(S(\alpha,\varrho)\) með samleitinni veldaröð

\[f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n, \qquad z\in S(\alpha,\varrho).\]
Skífa í skilgreiningarsvæði :math:`f`

Mynd: Skífa í skilgreiningarsvæði \(f\)


Við skulum skoða nokkrar afleiðingar:

2.3.1.6. Fylgisetning

Ef \(f\in {\mathcal{O}}(X)\), þá er \(f{{^{\prime}}}\in {\mathcal{O}}(X)\).


Nú sjáum við að fallið \(f{{^{\prime}}}\) er fágað og afleiða þess \(f{{^{\prime\prime}}}\) er einnig fáguð og þannig áfram út í hið óendanlega. Fyrir sérhvert fágað fall \(f\in {\mathcal{O}}(X)\) skilgreinum við hærri afleiður \(f^{(k)}\) með þrepun \(f^{(0)}=f\) og \(f^{(k)}=\big(f^{(k-1)}\big){{^{\prime}}}\), fyrir \(k\geq 1\). Við fáum síðan:

2.3.1.7. Setning

Látum \(X\) vera opið hlutmengi af \({{\mathbb C}}\), \(f\in {\mathcal{O}}(X)\), \(\alpha\in X\) og \(0<\varrho<d(\alpha,\partial X)\). Þá er

\[f(z)= \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac {f^{(n)}(\alpha)}{n!}(z-\alpha)^n, \qquad z\in S(\alpha,\varrho).\]

Þessi veldaröð kallast Taylor–röð fallsins \(f\) í punktinum \(\alpha\).

2.3.1.8. Skilgreining

Látum \(f:Y\to {{\mathbb C}}\) vera raunfágað fall á opnu mengi \(Y\) á \({{\mathbb R}}\) og gerum ráð fyrir að \(F:X\to {{\mathbb C}}\) sé fágað fall á opnu hlutmengi \(X\) af \({{\mathbb C}}\), þannig að \(Y\subset X\) og \(F(x)=f(x)\) fyrir öll \(x\in Y\). Þá kallast \(F\) fáguð framlengingen: analytic continuation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eða fáguð útvíkkun á fallinu \(f\).

2.4. Veldaröð veldisvísisfallsins

Við skilgreindum veldisvísisfallið með formúlunni

\[\exp z=e^x(\cos y+i\sin y), \qquad z=x+iy \in {{\mathbb C}}.\]

Við hefðum eins getað notað veldaraðarframsetninguna á \(x\mapsto e^x\) til þess að skilgreina fágaða framlengingu veldisvísisfallsins.

Við skulum nú kanna nokkra eiginleika veldisvísisfallsins út frá veldaröðinni. Með því að deilda röðina lið fyrir lið fáum við

\[\exp{{^{\prime}}}z=\exp z, \qquad \text{eða} \qquad \dfrac d{dz}e^z=e^z.\]

Undirstöðueiginleiki veldisvísisfallsins er samlagningarformúla þess

\[e^{z+w}=e^ze^w, \qquad z,w\in {{\mathbb C}}.\]

Hún leiðir af tvíliðureglunnien: binomial formula
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
,

\[\begin{aligned} e^{z+w}&=\sum_{n=0}^\infty\dfrac 1{n!}(z+w)^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty\dfrac 1{n!}\sum_{k=0}^n \dfrac{n!}{k!(n-k)!}z^kw^{n-k}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n \dfrac {z^k}{k!}\dfrac {w^{n-k}}{(n-k)!}\\ &=\bigg(\sum_{n=0}^\infty \dfrac {z^n}{n!}\bigg)\bigg(\sum_{n=0}^\infty\dfrac {w^{n}}{n!}\bigg)=e^ze^w. \end{aligned}\]

Flestir eiginleikar veldisvísisfallsins er leiddir út frá samlagningarformúlunni. Til dæmis sjáum við að

\[e^{-z}=\dfrac 1{e^z}, \qquad z\in {{\mathbb C}}.\]

Á rauntalnaásnum er veldisvísisfallið \(x\mapsto e^x\) stranglega vaxandi því afleiða þess er \(e^x\) og hún er jákvæð. Við höfum líka \(e^x\to+\infty\) ef \(x\to \infty\), því sérhver liður í veldaröðinni með númer \(n\geq 1\) er stranglega vaxandi og stefnir á óendanlegt. Af þessu leiðir síðan að \(e^{x}=1/e^{-x}\to 0\) ef \(x\to -\infty\). Milligildissetningin segir okkur nú að veldisvísisfallið tekur öll jákvæð gildi á rauntalnaásnum.

Snúum okkur þá að gildunum á þverásnum \(\{ix\in {{\mathbb C}}; x\in {{\mathbb R}}\}\). Reglurnar um reikning með samoka tvinntölum gefa okkur

\[\overline{e^z}=e^{\overline z},\qquad z\in {{\mathbb C}},\]

og síðan

\[|e^z|^2=e^z\overline{e^{z}}=e^ze^{\overline z}=e^{x+iy}e^{x-iy}=e^{2x}\]

Þar með er

\[|e^z|=e^{{{\operatorname{Re\, }}}z}, \qquad z\in {{\mathbb C}},\]

og sérstaklega gildir

\[|e^{iy}|=1, \qquad y\in {{\mathbb R}}.\]

Af þessu leiðir að veldisvísisfallið hefur enga núllstöðen: null
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(e^z=e^xe^{iy}\) og hvorugur þátturinn í hægri hliðinni getur verið núll.

Með því að stinga \(iz\) inn í veldaröðina fyrir veldisvísisfallið sjáum við að formúlan \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\) gildir áfram um tvinntölur \(z\in{{\mathbb C}}\),

\[e^{iz}=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{i^n}{n!}z^n =\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n} +i\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1} =\cos z +i \sin z.\]

Allir liðirnir í kósínus–röðinni hafa jöfn veldi og allir liðirnir í sínus–röðinni hafa oddatöluveldi, svo \(\cos\) er jafnstætt, en \(\sin\) er oddstætt. Þar með er

\[e^{-iz}=\cos z-i\sin z, \qquad z\in {{\mathbb C}}.\]

Við leysum nú \(\cos z\) og \(\sin z\) út úr síðustu tveimur jöfnunum og fáum jöfnur Eulers

\[\cos z =\frac 12(e^{iz}+e^{-iz}), \qquad \sin z =\frac 1{2i}(e^{iz}-e^{-iz}).\]

Afleiðurnar af \(\cos\) og \(\sin\) getum við annað hvort reiknað með því að deilda veldaraðirnar eða með því að deilda jöfnur Eulers,

\[\cos{{^{\prime}}}z=-\sin z, \qquad \sin{{^{\prime}}}z=\cos z, \qquad z\in {{\mathbb C}}.\]

2.5. Lograr, rætur og horn

2.5.1. Lograr, rætur og horn

Veldisvísisfallið \(e^z\) er lotubundið með lotuna \(2\pi i\),

\[\exp(z+2{\pi}i) = \exp z, \qquad z\in {{\mathbb C}}.\]

Þetta leiðir beint af þeirri staðreynd að kósínus og sínus eru lotubundin með lotuna \(2{\pi}\). Þar með getur \(\exp\) ekki haft neina andhverfu á öllu menginu \({{\mathbb C}}\). Veldisföllin \(z^n\), \(n\geq 2\) geta ekki heldur haft neina andhverfu á öllu \({{\mathbb C}}\). Hins vegar hafa þessi föll andhverfur frá hægri á minni hlutmengjum í \({{\mathbb C}}\):

2.5.1.1. Skilgreining

Látum \(X\) vera opið hlutmengi af \({{\mathbb C}}\). Samfellt fall \(\lambda:X\to {{\mathbb C}}\) kallast logrien: logarithm
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
á \(X\) ef

\[e^{\lambda(z)}=z, \qquad z\in X.\]

Samfellt fall \(\varrho:X\to {{\mathbb C}}\) kallast \(n\) –ta rót á \(X\) ef

\[\big(\varrho(z)\big)^n=z, \qquad z\in X.\]

Samfellt fall \(\theta:X\to {{\mathbb R}}\) kallast horn á \(X\) ef

\[z=|z|e^{i\theta(z)}, \qquad z\in X.\]

Helstu eiginleikar logra, róta og horna eru:

2.5.1.2. Setning

(i) Ef \(\lambda\) er logri á \(X\), þá er \(0\not\in X\), \(\lambda\in {\mathcal{O}}(X)\) og

\[\lambda{{^{\prime}}}(z)=\frac 1z, \qquad z\in X.\]

Föllin \(\lambda(z)+i2\pi k\), \(k\in {{\mathbb Z}}\) eru einnig lograr á \(X\).

(ii) Ef \(\lambda\) er logri á \(X\), þá er

\[\lambda(z)=\ln |z|+i\theta(z), \qquad z\in X,\]

þar sem \(\theta:X\to {{\mathbb R}}\) er horn á \(X\). Öfugt, ef \(\theta:X\to {{\mathbb R}}\) er horn á \(X\), þá er \(\lambda(z)=\ln|z|+i\theta(z)\) logri á \(X\).

(iii) Ef \(\varrho\) er \(n\)–ta rót á \(X\) þá er \(\varrho\in {\mathcal{O}}(X)\) og

\[\varrho{{^{\prime}}}(z)=\frac {\varrho(z)}{nz}, \qquad z\in X.\]

(iv) Ef \(\lambda\) er logri á \(X\), þá er \(\varrho(z)=e^{\lambda(z)/n}\) \(n\)–ta rót á \(X\).


Fyrir sérhverja tvinntölu \({\alpha}\) skilgreinum við fágað veldisfall með veldisvísi \(\alpha\) með

\[z^\alpha=\exp(\alpha\lambda(z)), \qquad z\in X,\]

þar sem \(\lambda\) er gefinn logri á \(X\) og við fáum að

\[\dfrac d{dz}z^\alpha=\dfrac d{dz}e^{\alpha\lambda(z)}=e^{\lambda(z)}\frac \alpha z =\alpha e^{\alpha\lambda(z)}e^{-\lambda(z)}= \alpha e^{(\alpha-1)\lambda(z)}=\alpha z^{\alpha-1}.\]

Þetta er sem sagt gamalkunn regla, sem gildir áfram fyrir \({{\mathbb C}}\)–afleiður. Hér verðum við að hafa í huga að skilgreiningin er algerlega háð því hvernig logrinn er skilgreindur. Ef við skiptum til dæmis á logranum \(\lambda(z)\) og \(\lambda(z)+2\pi i\), þá verður

\[e^{\alpha(\lambda(z)+2\pi i)}=e^{\alpha\lambda(z)}e^{2\pi i\alpha}.\]

Ef \(\alpha\) er heiltala þá er \(z^\alpha\) samkvæmt þessari skilgreininingu það sama og fæst út úr veldareglunum með heiltöluveldi, en ef \(\alpha\) er ekki heiltala, þá er skilgreiningin háð valinu á logranum.

Ef \(\alpha \in X\), þá skilgreinum við veldisvísisfall með grunntölu \(\alpha\) sem fágaða fallið á \({{\mathbb C}}\), sem gefið er með

\[\alpha^z=e^{z\lambda(\alpha)}.\]

Athugið að skilgreiningin er háð valinu á logranum. Keðjureglan gefur

\[\dfrac d{dz}\alpha^z= \dfrac d{dz}e^{z\lambda(\alpha)}=e^{z\lambda(\alpha)}\cdot \lambda(\alpha)=\alpha^z\lambda(\alpha).\]

Lítum nú á mengið \(X={{\mathbb C}}\setminus {{\mathbb R}}_-\), sem fæst með því að skera neikvæða raunásinn og \(0\) út úr tvinntalnaplaninu. Við skilgreinum síðan pólhnit í \(X\) eins og myndin sýnir og veljum hornið \(\theta(z)\) þannig að \(-\pi<\theta(z)<\pi\), \(z\in X\).

Mynd: Höfuðgrein hornsins

Mynd: Höfuðgrein hornsins

Fallið

\[{{\operatorname{Arg}}}:{{\mathbb C}}\setminus {{\mathbb R}}_-\to {{\mathbb R}}, \qquad {{\operatorname{Arg}}}z=\theta(z),\quad z\in X\]

er kallað höfuðgrein hornsins og við reiknuðum út formúlu fyrir því í kafla 1,

\[{{\operatorname{Arg}}}\, z=2\arctan\bigg(\dfrac y{|z|+x}\bigg), \qquad z=x+iy\in X.\]

Fallið

\[{{\operatorname{Log}}}:{{\mathbb C}}\setminus {{\mathbb R}}_-\to {{\mathbb C}}, \qquad {{\operatorname{Log}}}z=\ln |z| +i{{\operatorname{Arg}}}(z),\quad z\in X,\]

er kallað höfuðgrein lografallsins. Fallið

\[z^\alpha = e^{\alpha{{\operatorname{Log}}}z}, \qquad z\in {{\mathbb C}}\setminus {{\mathbb R}}_-,\]

kallast höfuðgrein veldisfallsins með veldisvísi \(\alpha\). Tvö síðastnefndu föllin eru fágaðar framlengingar á föllunum \(\ln x\) og \(x^\alpha\) frá jákvæða raunásnum yfir í opna mengið \({{\mathbb C}}\setminus {{\mathbb R}}_-\) í tvinntalnaplaninu.