1. TVINNTÖLUR

1.1. Talnakerfin

\({{\mathbb N}}\), \({{\mathbb Z}}\), \({{\mathbb Q}}\), \({{\mathbb R}}\) og \({{\mathbb C}}\).

1.1.1. Rauntölur

Til sérhvers punkts á línu svarar nákvæmlega ein tala \(a\). \({{\mathbb R}}\) táknar mengi allra slíkra talna. Aðgerðirnar samlagning og margföldun eru skilgreindar með færslum á punktum á línunni.

Sérhver rauntala sem ekki er ræð tala nefnist óræð tala. Ekki er neitt sérstakt tákn notað fyrir mengi óræðra talna í stærðfræðinni, svo það er oftast táknað \({{\mathbb R}}\setminus {{\mathbb Q}}\).

Rauntölurnar uppfylla allar sömu reiknireglur of ræðar tölur, þannig að fyrir rauntölur \(a\), \(b\) og \(c\) höfum við

\((a+b)+c=a+(b+c)\) tengiregla fyrir samlagningu
\((ab)c=a(bc)\) tengiregla fyrir margföldun
\(a+b=b+a\) víxlegra fyrir samlagningu
\(ab=ba\) víxlegra fyrir margföldun
\(a(b+c)=ab+ac\) dreifiregla
\(a+0=a\) \(0\) er samlagningarhlutleysa
\(1a=a\) \(1\) er margföldunarhlutleysa

Sérhver rauntala \(a\) á sér samlagningarandhverfu sem er ótvírætt ákvörðuð og við táknum hana með \(-a\) og sérhver rauntala \(a\neq 0\) á sér margföldunarandhverfu \(a^{-1}\) sem er ótvírætt ákvörðuð. Við athugum að \(a^{-1}=1/a\).

Við höfum röðun \(<\) á \({{\mathbb R}}\) sem er þannig að um sérhverjar tvær tölur \(a\) og \(b\) gildir eitt af þrennu \(a<b\), \(a=b\) eða \(b<a\). Við skrifum einnig \(a>b\) ef \(b<a\). Við höfum eftirtaldar reglur um röðun rauntalna

ef \(a<b\) og \(b<c\), þá er \(a<c\) röðun er gegnvirk
ef \(a<b\) þá er \(a+c<b+c\) röðun er óbreytt við samlagningu
ef \(a<b\) og \(c>0\), þá er \(ac<bc\) röðun er óbreytt við margföldun
  með jákvæðri tölu
ef \(a<b\) og \(c<0\), þá er \(bc<ac\) röðun er viðsnúin við margföldun
  með neikvæðri tölu

Við höfum líka hlutröðun \(\leq\) á \({{\mathbb R}}\). Við skrifum \(a\leq b\) og segjum að \(a\) sé minni eða jafnt \(b\), ef \(a<b\) eða \(a=b\). Eins skrifum við \(a\geq b\) og segjum að \(a\) sé stærri eða jafnt \(b\) ef \(a>b\) eða \(a=b\).

Ef \(a,b\in {{\mathbb R}}\) og \(a<b\), þá skilgreinum við mismunandi bil.

\(]a,b[=\{x\in {{\mathbb R}}\,;\, a<x<b\}\) opið bil
\([a,b]=\{x\in {{\mathbb R}}\,;\, a\leq x\leq b\}\) lokað bil
\([a,b[=\{x\in {{\mathbb R}}\,;\, a\leq x<b\}\) hálf-opið bil
\(]a,b]=\{x\in {{\mathbb R}}\,;\, a<x\leq b\}\) hálf-opið bil
\(]-\infty,a[=\{x\in {{\mathbb R}}\,;\, x<a\}\) opin vinstri hálflína
\(]-\infty,a]=\{x\in {{\mathbb R}}\,;\, x\leq a\}\) lokuð vinstri hálflína
\(]a,\infty[=\{x\in {{\mathbb R}}\,;\, x>a\}\) opin hægri hálflína
\([a,\infty[=\{x\in {{\mathbb R}}\,;\, x\geq a\}\) lokuð hægri hálflína
\(]-\infty,\infty[={{\mathbb R}}\) öll rauntalnalínan
\([a,a]\) eins punkts bil

Stundum er skrifað \((a,b)\) í stað \(]a,b[\), \((a,b]\) í stað \(]a,b]\) o.s.frv.

Á sérhverju opnu bili eru óendanlega margar ræðar tölur og óendanlega margar óræðar tölur.

Fyrir sérhvert \(x\in {{\mathbb R}}\) skilgreinum við tölugildiðen: absolute value
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
af \(x\) með

\[\begin{aligned}|x|=\begin{cases} x &x\geq 0, \\ -x &x <0. \end{cases}\end{aligned}\]

Talan \(|x|\) mælir fjarlægð milli \(0\) og \(x\) á talnalínunni. Ef gefnar eru tvær rauntölur \(x\) og \(y\), þá mælir \(|x-y|\) fjarlægðina á milli þeirra. Ef \(a\) og \(\varepsilon\) eru rauntölur og \(\varepsilon>0\), þá er

\[\{x\in {{\mathbb R}}\,;\, |x-a|<\varepsilon\}=(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\]

opið bil með miðju í \(a\) og þvermálið \(2\varepsilon\).

1.1.2. Takmarkanir rauntalnakerfisins

Við höfum séð að öll talnakerfin \({{\mathbb N}}\), \({{\mathbb Z}}\) og \({{\mathbb Q}}\) hafa sínar takmarkanir og það sama á við um rauntölurnar \({{\mathbb R}}\).

Í \({{\mathbb N}}\) náttúrlegra talna er frádráttur ófullkomin aðgerð.

Í \({{\mathbb Z}}\) er deiling ófullkomin aðgerð.

Ræðu tölurnar \({{\mathbb Q}}\) duga ekki til þess að lýsa lengdum á strikum og ferlum sem koma fyrir í rúmfræðinni.

Við vitum að rauntala í öðru veldi er alltaf stærri eða jöfn núlli svo jafnan \(x^2+1=0\) getur ekki haft lausn.

Sama er að segja um annars stigs jöfnuna \(ax^2+bx+c=0\), \(a\neq 0\). Hún hefur enga lausn ef \(D=b^2-4ac<0\). Það er auðvelt að skrifa niður dæmi um margliður sem hafa engar núllstöðvar í \({{\mathbb R}}\), en stig þeirra þarf að vera slétt tala, því margliður af oddatölustigi hafa alltaf núllstöð.

Nú er eðlilegt að spyrja, hvort hægt sé að stækka rauntalnakerfið yfir í stærra mengi þannig að innan þess mengis sé hægt að finna lausn á annars stigs jöfnunni \(x^2+1=0\) og hvort slíkt talnakerfi gefi af sér lausnir á fleiri jöfnum sem ekki eru leysanlegar í \({{\mathbb R}}\).

1.2. Tvinntalnaplanið

\({{\mathbb C}}\) er útvíkkun á \({{\mathbb R}}\) þar sem til er tala \(i\) sem uppfyllir \(i^2=-1\).

1.2.1. Skilgreining á tvinntölum

Hnit punkts í plani

Mynd: Hnit punkts í plani

Lítum nú á mengi allra vigra í plani. Sérhver vigur hefur hnit \((a,b)\in {{\mathbb R}}^2\) sem segja okkur hvar lokapunktur vigurs er staðsettur ef upphafspunktur hans er settur í upphafspunkt hnitakerfisins. Á mengi allra vigra höfum við tvær aðgerðir, samlagningu og margföldun með tölu. Samlagningunni er lýst með hnitum,

\[(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).\]

og margfeldi tölunnar \(a\) og vigursins \((c,d)\) er

\[a(c,d)=(ac,ad).\]

Við skilgreinum nú margföldun á \({{\mathbb R}}^2\) með hliðsjón af formúlunni sem við uppgötvuðum hér að framan,

\[(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).\]

Talnaplanið \({{\mathbb R}}^2\) með venjulegri samlagningu og þessari margföldun nefnist tvinntölur og er táknað með \({{\mathbb C}}\). Nú er auðvelt að sannfæra sig um að víxl-, tengi- og dreifireglur gildi um þessa margföldun

\(\big((a,b)+(c,d)\big)+(e,f)=(a,b)+\big((c,d)+(e,f)\big)\) tengiregla fyrir samlagningu
\(\big((a,b)(c,d)\big)(e,f)=(a,b)\big((c,d)(e,f)\big)\) tengiregla fyrir margföldun
\((a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)\) víxlregla fyrir samlagningu
\((a,b)(c,d)=(c,d)(a,b)\) víxlregla fyrir margföldun
\((a,b)\big((c,d)+(e,f)\big) =(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)\) dreifiregla
\((a,b)+(0,0)=(a,b)\) \((0,0)\) er samlagningarhlutleysa
\((1,0)(a,b)=(a,b)\) \((1,0)\) er margföldunarhlutleysa

Talan \((-a,-b)\) er samlagningarandhverfa \((a,b)\).

Jafnan \((a,b)(a,-b)=(a^2+b^2,0)\) segir okkur að talan \((a,b)\neq (0,0)\) eigi sér margföldunarandhverfuna

\[(\dfrac a{a^2+b^2},\dfrac{-b}{a^2+b^2}).\]

Við tökum eftir að

\[(a,0)(c,d)=(ac,ad)=a(c,d).\]

sem segir okkur að margföldun með vigrinum \((a,0)\) sé það sama og margföldun með tölunni \(a\).

Vigrar af gerðinni \((a,0)\) haga sér eins og rauntölur því

\[(a,0)+(b,0)=(a+b,0) \qquad \text{ og } \qquad (a,0)(b,0)=(ab,0).\]

Í \({{\mathbb C}}\) gerum við því ekki greinarmun á rauntölunni \(a\) og vigrinum \((a,0)\) og lítum á lárétta hnitaásinn \(\{(x,0)\in{{\mathbb R}}^2\,;\, x\in {{\mathbb R}}\}\) sem rauntalnalínuna \({{\mathbb R}}\). Við skrifum þá sérstaklega \(1\) í stað \((1,0)\) og \(0\) í stað \((0,0)\)

Lítum nú á vigurinn \((0,1)\) sem við táknum með \(i\). Um hann gildir

\[i^2=(0,1)^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1.\]

Sérhvern vigur \((a,b)\) má skrifa sem samantekt \((a,b)=a(1,0)+b(0,1)\) Við skrifum \(a\) og \(b\) í stað \((a,0)\) og \((b,0)\) og erum þar með komin með framsetninguna

\[(a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a+ib.\]

1.2.2. Veldareglur

Ef \(z\) er tvinntala þá getum við skilgreint heiltöluveldi þannig að \(z^0=1\), \(z^1=z\), og \(z^n=z\cdots z\) þar sem allir þættirnir eru eins og fjöldi þeirra er \(n\geq 2\).

Fyrir \(z\neq 0\) eru neikvæðu veldin skilgreind þannig að \(z^{-1}\) er margföldunarandhverfan af \(z\) og fyrir neikvæð \(n\) er \(z^n=(z^{-1})^{|n|}\).

Með þessu fást sömu veldareglur og gilda um rauntölur

\[\begin{aligned} z^n\cdot z^m&=z^{n+m}\\ \dfrac {z^n}{z^m}&=z^{n-m}\\ z^n\cdot w^n&=(zw)^n\\ (z^n)^m&=z^{nm}\end{aligned}\]

1.2.3. Tvíliðureglan

Tvíliðureglan er eins fyrir tvinntölur og rauntölur,

\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^kb^{n-k}\]

þar sem tvíliðustuðlarniren: binomial coefficient
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eru gefnir með

\[\binom nk=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}=\dfrac{n!}{(n-k)!k!},\]

fyrir \(n=0,1,2,3,\dots\) og \(k=0,\dots,n\).

Við köllum þennan stuðul \(n\) yfir \(k\).

Tvíliðustuðlarnir eru samhverfir í þeim skilningi að

\[\binom nk=\binom n{n-k}.\]

Tvíliðustuðlarnir uppfylla

\[\binom n0=\binom nn=1\]

fyrir \(n=0,1,2,\dots\) og rakningarformúluna

\[\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k,\]

fyrir \(n=2,3,4,\dots\) og \(k=1,2,\dots,n-1\). Þessari rakningu er best lýst í þríhyrningi Pascals, en línurnar í honum geyma alla tvíliðurstuðlana. Fyrstu \(7\) línurnar, \(n=0,\dots,6\), í honum eru

\[\begin{aligned}\begin{array}{ccccccccccccc} & & & & & & 1 & & & & & &\\ & & & & & 1 & &1& & & & &\\ & & & & 1 & &2 & &1 & & & &\\ & & & 1 & &3 & &3& &1 & & &\\ & & 1 & &4 & &6& &4& &1 & &\\ & 1 & &5& &10& &10& &5 & &1 &\\ 1 & &6& &15& &20& &15 & & 6 & & 1 \end{array}\end{aligned}\]

1.2.4. Raunhluti, þverhluti og samok

Sérhverja tvinntölu \(z\) má rita sem \(z=x+iy\) þar sem \(x\) og \(y\) eru rauntölur. Talan \(x\) nefnist þá raunhlutien: real part
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
tölunnar \(z\) og talan \(y\) nefnist þverhlutien: imaginary part
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
hennar. Við táknum raunhlutann með \({{\operatorname{Re\, }}}z\) og þverhlutann með \({{\operatorname{Im\, }}}z\).

Tvinntala \(z\) er sögð vera rauntala ef \({{\operatorname{Im\, }}}z=0\) og hún er sögð vera hrein þvertala ef \({{\operatorname{Re\, }}}z=0\).

Ef \(z\in {{\mathbb C}}\), \(x={{\operatorname{Re\, }}}z\) og \(y={{\operatorname{Im\, }}}z\), þá nefnist talan \(\bar z=x-iy\) samoken: complex conjugate
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
tölunnar \(z\). Athugið að \(\bar z\) er spegilmynd \(z\) í raunásnum og því er \(\bar{\bar z}=z\). Við höfum nokkrar reiknireglur um samok

\[\begin{aligned} z\bar z&=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2 \\ z+\bar z&=2x=2\, {{\operatorname{Re\, }}}\, z, \\ z-\bar z&=2iy=2i{{\operatorname{Im\, }}}\, z.\\ \overline{z+w} &= \bar z+ \bar w \\ \overline{z-w} &= \bar z- \bar w \\ \overline{zw} &= \bar z\cdot \bar w \\ \overline{z/w} &= \bar z/ \bar w \\ |\bar z|&=|z| \end{aligned}\]

Við höfum að \(z\) er rauntala þá og því aðeins að \(z=\bar z\) og að \(z\) er hrein þvertala þá og því aðeins að \(z=-\bar z\).

1.2.5. Lengd og stefnuhorn

Ef \(z\in {{\mathbb C}}\), \(x={{\operatorname{Re\, }}}z\) og \(y={{\operatorname{Im\, }}}z\), þá nefnist talan

\[|z|=\sqrt{x^ 2+y^2},\]

lengden: absolute value
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, tölugildien: absolute value
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eða algildien: absolute value
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
tvinntölunnar \(z\). Ef \(\theta\in {{\mathbb R}}\) og hægt er að skrifa tvinntöluna \(z\) á forminu

\[z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta),\]

þá nefnist talan \(\theta\) stefnuhornen: amplitude
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eða horngildi tvinntölunnar \(z\) og stærðtáknið í hægri hliðinni nefnist pólform tvinntölunnar \(z\).

Hornaföllin \(\cos\) og \(\sin\) eru lotubundin með lotuna \(2\pi\) og því eru allar tölur af gerðinni \(\theta+2\pi k\) með \(k\in {{\mathbb Z}}\) einnig stefnuhorn fyrir \(z\).

Raðtvenndin \((|z|,\theta)\) er nefnd pólhniten: polar coordinates
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eða skauthniten: polar coordinates
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
tölunnar \(z\).

Við höfum að

\[\tan \theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} =\dfrac{r\sin\theta}{r\cos\theta}=\dfrac yx\]

og af því leiðir að hornið er gefið með formúlunni

\[\theta(z)=\arctan\bigg(\dfrac yx\bigg).\]

Athugið að það eru miklar takmarkanir á þessri formúlu, því hún gildir aðeins fyrir \(x>0\), því fallið \(\arctan\) gefur okkur gildi á bilinu \(]-\tfrac 12 \pi,\tfrac 12 \pi[\).

Nú skulum við leiða út formúlu fyrir stefnuhorni tvinntölunnar \(z\) sem gefur okkur samfellt fall af \(z\) á \({{\mathbb C}}\setminus {{\mathbb R}}_-\) sem tekur gildi á bilinu \(]-\pi,\pi[\). Þetta er gert úr frá formúlunni fyrir tangens af hálfu horni,

\[\begin{aligned} \tan(\tfrac 12\theta)&=\dfrac{\sin(\tfrac 12\theta)}{\cos(\tfrac 12\theta)} = \dfrac{2\sin(\tfrac 12\theta)\cos(\tfrac 12\theta)} {2\cos^2(\tfrac 12\theta)}=\dfrac{\sin \theta}{1+\cos\theta} \\ &=\dfrac{|z|\sin \theta}{|z|+|z|\cos\theta}=\dfrac y{|z|+x}.\end{aligned}\]

Formúlan sem við endum með er

\[\theta(z)=2\arctan\bigg(\dfrac y{|z|+x}\bigg).\]

Þetta fall sem gefur okkur horngildið af tvinntölunni \(z\in {{\mathbb C}}\setminus {{\mathbb R}}_-\) á bilinu \(]-\pi,\pi[\) nefnist höfuðgrein hornsinsen: principal argument
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
og er það táknað með \({{\operatorname{Arg}}}\, z\)

Við höfum nokkrar reiknireglur um lengd tvinntalna,

\[\begin{aligned} z\bar z&=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2=|z|^2,\\ |\bar z|&=|z|,\\ |zw|&=|z||w|.\end{aligned}\]

Fyrsta jafnan gefur okkur formúlu fyrir margföldunarandhverfunni

\[z^{-1}=\dfrac 1z=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}=\dfrac{\bar z}{|z|^2}, \qquad z\neq 0.\]

1.2.6. Fjarlægð milli punkta

Fjarlægð milli tveggja punkta \(z=x+iy\) og \(w=u+iv\) er gefin með

\[|z-w|=\sqrt{(x-u)^2+(y-v)^2}.\]

Ef \(\alpha\) og \(\beta\) eru tvinntölur og \(\alpha\neq \beta\), þá er

\[\{z\in {{\mathbb C}}\,;\, |z-\alpha|=|z-\beta|\}\]

mengi allra punkta \(z\) í \({{\mathbb C}}\) sem eru í sömu fjarlægð frá báðum punktum \(\alpha\) og \(\beta\). Það er augljóst að miðpunktur striksins \(\frac 12(\alpha+\beta)\) milli \(\alpha\) og \(\beta\) er í fjarlægðinni \(\frac 12|\alpha-\beta|\) frá báðum punktum. Ef við drögum línuna gegnum miðpunktinn sem liggur hornrétt á strikið, þá fáum við mengi allra punkta sem eru í sömu fjarlægð frá \(\alpha\) og \(\beta\).

1.2.7. Innfeldi og krossfeldi

Innfeldien: dot product
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
tveggja vigra \(z=(x,y)\) og \(w=(u,v)\) er skilgreint sem rauntalan \(z{{\mathbb \cdot}}w=xu+yv\). Ef við lítum á \(z\) og \(w\) sem tvinntölur og skrifum \(z=x+iy=r(\cos\alpha+i\sin \alpha)\) og \(w=u+iv=s(\cos\beta+i\sin\beta)\), þá fáum við formúluna

\[{{\operatorname{Re\, }}}\big(z\bar w\big)={{\operatorname{Re\, }}}\big(\bar z w\big) =\tfrac 12\big(z\bar w+\bar z w\big)=xu+yv=(x,y)\cdot(u,v)=rs\cos(\alpha-\beta).\]

Þverhluti þessarar stærðar er krossfeldien: alternating product
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(z\) og \(w\),

\[\begin{aligned}{{\operatorname{Im\, }}}(\bar z w\big)=-{{\operatorname{Im\, }}}\big(z\bar w)=xv-yu=\left|\begin{matrix} x&u \\ y&v \end{matrix}\right|=-rs\sin(\alpha-\beta)\end{aligned}\]

en tölugildien: absolute value
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
þess \(|{{\operatorname{Im\, }}}\big(z\bar w)|\) er flatarmál samsíðungsins, sem tölurnar \(z\) og \(w\) spanna.

1.2.8. Jafna línu og jafna hrings

Bein línaen: line
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í \({{\mathbb C}}\) er gefin sem mengi allra punkta \((x,y)\) sem uppfylla jöfnu af gerðinni

\[ax+by+c=0.\]

Við getum greinilega snúið þessu yfir í jöfnuna

\[2{{\operatorname{Re\, }}}\big( \bar {\beta} z\big)+c=\bar {\beta} z+{\beta}\bar z+c=0,\]

þar sem \({\beta}=\frac 12(a+ib)\). Tvinntalan \({\beta}\) er hornrétt á línuna og \(i{\beta}\) er í stefnu hennar.

Hringuren: circuit
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í \({{\mathbb C}}\) með miðju \(m\) og geisla \(r\) er mengi allra punkta \(z\) sem eru í fjarlægðinni \(r\) frá \(m\), \(|z-m|=r\). Við getum greinilega tjáð þessa jöfnu með jafngildum hætti,

\[|z-m|^2-r^2=(z-m)(\bar z-\bar m)-r^2=|z|^2-\bar mz-m\bar z +|m|^2-r^2=0.\]

Við getum auðveldlega flokkað öll mengi sem gefin eru með jöfnu af gerðinni

\[\alpha|z|^2+\overline \beta z+\beta\overline z +\gamma=0,\]

þar sem \(\alpha\) og \(\gamma\) eru rauntölur og \(\beta\) er tvinntala.

Tilfellin eru:

(i) Lína: \(\alpha=0\), \(\beta\neq 0\).

(ii) Hringur: \(\alpha\neq 0\), \(|\beta|^2-{\alpha}\gamma>0\). Ef miðjan er \(m\) og geislinn \(r\), þá er

\[m=-\beta/\alpha\qquad \text{ og } \qquad r=\sqrt{|\beta|^2-\alpha\gamma}\, /|\alpha|.\]

(iii) Einn punktur: \(\alpha\neq 0\) og \(|\beta|^2-\alpha\gamma=0\). Punkturinn er \(m=-\beta/\alpha\).

(iv) Tóma mengið: \(\alpha\neq 0\), \(|\beta|^2-\alpha\gamma<0\) eða \(\alpha=0\), \(\beta=0\), \(\gamma\neq 0\).

(v) Allt planið \({{\mathbb C}}\): \(\alpha=\beta=\gamma=0\).

1.2.9. Einingarhringurinn

Einingarhringurinn \({{\mathbb T}}\) er hringurinn með miðju í \(0\) og geislann \(1\). Hann samanstendur af öllum tvinntölum með tölugildi \(1\). Sérhvert \(z\) í \({{\mathbb T}}\) má því skrifa á forminu \(z=\cos \alpha+i\sin \alpha\). Tökum nú aðra slíka tölu \(w=\cos \beta+i\sin \beta\) og margföldum saman

\[\begin{aligned} zw&=(\cos \alpha +i\sin \alpha)(\cos \beta+i\sin \beta) \\ &=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos \alpha\sin\beta)\\ &=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta). \end{aligned}\]

Í síðustu jöfnunni notuðum við samlagningarformúlur fyrir \(\cos\) og \(\sin\)

\[\begin{aligned} \cos(\alpha-\beta) &=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha+\beta) &=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\ \sin(\alpha+\beta) &=\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \sin(\alpha-\beta) &=\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\\end{aligned}\]

Formúla de Movire

\[\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)^n =\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).\]

1.2.10. Rúmfræðileg túlkun á margföldun

Látum nú \(z\) og \(w\) vera tvær tvinntölur með lengdir \(|z|\) og \(|w|\) og stefnuhornin \(\alpha\) og \(\beta\). Þá fáum við

\[zw=|z||w|\big(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\big).\]

sem segir okkur að lengd margfeldisins sé margfeldi lengda \(z\) og \(w\) og að stefnuhorn margfeldisins sé summa stefnuhorna \(z\) og \(w\).

Ef nú \(u\in {{\mathbb T}}\) er tala á einingarhringnum með stefnuhornið \(\beta\), þá er \(uz\) snúningur á \(z\) um hornið \(\beta\).

1.2.11. Þríhyrningsójafnan

Tökum tvær tvinntölur \(z\) og \(w\) og reiknum smávegis

\[\begin{aligned} |z+w|^2&=(z+w)(\overline{z+w})=(z+w)(\bar z+\bar w) \\ &=z\bar z+z\bar w+w\bar z+w\bar w\\ &=|z|^2+z\bar w+\overline{z\bar w}+|w|^2\\ &=|z|^2+2{{\operatorname{Re\, }}}(z\bar w)+|w|^2\end{aligned}\]

Athugum nú að

\[|{{\operatorname{Re\, }}}z|\leq |z| \qquad \text{ og } \qquad |{{\operatorname{Im\, }}}z|\leq |z|\]

Af fyrri ójöfnunni leiðir að

\[|z+w|^2\leq |z|^2+2|z||w|+|w|^2=(|z|+|w|)^2.\]

Ef við tökum kvaðratrót beggja vegna ójöfnumerkisins, þá fáum við þríhyrningsójöfnuna

\[|z+w|\leq |z|+|w|\]

Ef henni er beitt á liðina \(z-w\) og \(w\) í stað \(z\) og \(w\), þá fáum við \(|z|=|(z-w)+w|\leq |z-w|+|w|\), svo \(|z|-|w|\leq |z-w|\). Ef við skiptum á hlutverkum \(z\) og \(w\), þá fæst \(|w|-|z|\leq |w-z|=|z-w|\). Þessar tvær ójöfnu gefa okkur annað afbrigði af þríhyrningsójöfnunni

\[||z|-|w||\leq |z-w|.\]

1.3. Rætur

Látum nú \(w\) vera gefna tvinntölu og \(n\geq 2\) vera náttúrlega tölu.

Tvinntala \(z\) kallast \(n\) -ta rót tvinntölunnar \(w\) ef hún uppfyllir jöfnuna \(z^n=w\)

1.3.1. Einingarrætur

Lítum á jöfnuna \(z^n=1\), þar sem \(n\geq 2\) er náttúrleg tala.

Lausnir hennar nefnast \(n\) -tu einingarrætur eða \(n\) -tu rætur af einum. Ef \(z\) er lausn, þá er \(1=|z^n|=|z|^n\) sem segir okkur að \(|z|=1\) og að við getum skrifað \(z=\cos \theta+i\sin \theta\). Regla de Moivres segir nú að

\[\cos (n\theta)+i\sin(n\theta)=(\cos \theta+i\sin \theta)^n=z^n=1\]

Talan \(1\) hefur horngildi \(2\pi k\) þar sem \(k\in {{\mathbb Z}}\) getur verið hvaða tala sem er og þessi jafna segir okkur því að \(n\theta\) sé heiltölumargfeldi af \(2\pi\) og þar með eru möguleg horngildi

\[\theta=2\pi k/n, \qquad k\in {{\mathbb Z}}.\]

Ef tvær heiltölur \(k_1\) og \(k_2\) hafa sama afgang við heiltöludeilingu með \(n\), þá er \(\cos(2\pi k_1/n)=\cos(2\pi k_2/n)\) og \(\sin(2\pi k_1/n)=\sin(2\pi k_2/n)\). Þetta gefur okkur að jafnan \(z^n=1\) hefur \(n\) ólíkar lausnir \(u_0,\dots,u_{n-1}\), sem nefnast \(n\) -tu rætur af \(1\) og eru gefnar með formúlunni

\[u_k=\cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n), \qquad k=0,1,2,\dots,n-1.\]

Þessar tölur eru allar á einingarhringnum.

Athugið að \(u_0=1\), \(u_k=u_1^k\) fyrir \(k=0,\dots,n-1\), og að þær raða sér í hornin á reglulegum \(n\)-hyrningi, þar sem tvíhyrningur er strikið \([-1,1]\).

Mynd: Einingarrætur

Mynd: Einingarrætur

1.3.2. Útreikningur á \(n\)-tu rótum

Látum nú \(w=s(\cos\alpha+i\sin \alpha)\) vera gefna tvinntölu af lengd \(s\geq 0\) og með stefnuhornið \(\alpha\) og leitum að lausnum á jöfnunni \(z^n=w\).

Ef \(z\) er slík lausn og \(u\) er \(n\)-ta einingarrót, þá er \((zu)^n=z^nu^n=z^n=w\) og því er \(zu\) einnig lausn. Nú eru einingarræturnar \(n\) talsins og þetta segir okkur að um leið og við finnum eina lausn \(z_0\) þá fáum við \(n\) ólíkar lausnir \(z_0u\) með því að stinga inn öllum mögulegum \(n\)-tu rótum fyrir \(u\).

Látum nú \(z_0\) vera tvinntöluna, sem gefin er með formúlunni

\[z_0=s^{\frac 1n}\big(\cos(\alpha/n)+i\sin(\alpha/n)\big)\]

og færum hana síðan í \(n\)-ta veldi,

\[\begin{aligned} z_0^n &=\big(s^{\frac 1n}\big)^n\big(\cos(\alpha/n)+i\sin(\alpha/n)\big)^n \\ & =s\big(\cos(n\alpha/n)+i\sin(n\alpha/n)\big)=w\end{aligned}\]

Þar með erum við komin með formúlu fyrir einni lausn.

Með því að nota formúluna fyrir \(n\)-tu einingarrótunum, þá fáum við upptalningu á öllum lausnum jöfnunnar \(z^n=w=\varrho(\cos\alpha+i\sin \alpha)\),

\[z_k=\varrho^{\frac 1n}\big(\cos((\alpha+2\pi k)/n)+i\sin((\alpha+2\pi k)/n)\big), \qquad k=0,\dots,n-1.\]

Þessari formúlu má lýsa þannig að \(n\)-tu ræturnar eru fundnar þannig að fyrst er fundin ein rót \(z_0\). Henni er snúið um hornið \(2\pi/n\) með því að margfalda með \(u_1\) yfir í \(z_1=u_1z_0\). Næst er \(z_1\) snúið um hornið \(2\pi/n\) í \(z_2=u_1z_1\) og þannig er haldið áfram þar til \(n\) ólíkar rætur eru fundnar.

1.3.3. Ferningsrætur

Ef \(w\) er tvinntala og \(z\) uppfyllir \(z^2=w\), þá er \(z\) sögð vera ferningsróten: second root
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eða kvaðratrót tölunnar \(w\).

Munið að ef \(w\) er jákvæð rauntala, þá táknar \(\sqrt w\) alltaf jákvæðu rauntöluna töluna sem uppfyllir \((\sqrt w)^2=\alpha\). Að sjálfsögðu er \(\sqrt 0=0\).

Ef \(w\neq 0\) er tvinntala og \(w\) er ekki jákvæð rauntala, þá er hefur \(\sqrt w\) enga staðlaða merkingu. Við vitum bara að \(w\) hefur tvær ferningsrætur \(z_0\) og \(z_1\). Ef við skrifum \(w=s(\cos \alpha+i\sin\alpha)\), þá gefa reikningar okkar hér að framan að við getum við tekið

\[z_0=\sqrt{s}(\cos(\alpha/2)+i\sin (\alpha/2))\]

og

\[z_1=\sqrt{s}(\cos(\alpha/2+\pi)+i\sin (\alpha/2+\pi))=-z_0.\]

Ef \(z^2=x^2-y^2+2ixy=u+iv=w\), þá fæst með því að bera saman raun- og þverhluta í þessari jöfnu að formúlur \(x^2-y^2=u\) og \(2xy=v\).

Formúlan \(|w|=|z^2|=|z|^2=x^2+y^2\) gefur okkur eina jöfnu til viðbótar og við getum leyst út \(x^2\) og \(y^2\),

\[\begin{aligned}\begin{cases} x^2+y^2=|w|,\\ x^2-y^2=u, \end{cases}\qquad \begin{cases} x^2=\tfrac 12(|w|+u),\\ y^2=\tfrac 12(|w|-u). \end{cases}\qquad\end{aligned}\]

Við gáfum okkur að \(x>0\) og því er formerkið á \(y\) það sama og formerkið á \(v=2xy\).

\({{\operatorname{sign}}}\) er skilgreint með

\[\begin{aligned}{{\operatorname{sign}}}(t)= \begin{cases} 1, &t>0,\\ 0, &t=0,\\ -1,&t<0. \end{cases}\end{aligned}\]

Ef \(v\neq 0\), þá gefur þessi formúla okkur kost á að við skrifa lausina á einföldu formi

\[\begin{aligned} z&=\sqrt{\tfrac 12(|w|+u)}+i\, {{\operatorname{sign}}}(v)\, \sqrt{\tfrac 12(|w|-u)}\\ &=\sqrt{\tfrac 12(|w|+{{\operatorname{Re\, }}}w)}+i\, {{\operatorname{sign}}}({{\operatorname{Im\, }}}w)\, \sqrt{\tfrac 12(|w|-{{\operatorname{Re\, }}}w)}.\end{aligned}\]

Ef \(v=0\) og \(u>0\), þá er \(w=u\) og við fáum jákvæðu rótina \(z=\sqrt w\) út úr þessari formúlu.

1.4. Margliður

Margliða með tvinntölustuðlum er stærðtákn af gerðinni

\[P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0.\]

þar sem \(a_0,\dots,a_n\) eru tvinntölur og \(z\) er breyta sem tekur gildi í tvinntölunum.

Við getum litið á \(P\) sem fall sem skilgreint er á \({{\mathbb C}}\) og tekur gildi í \({{\mathbb C}}\).

Núllmargliðan er margliðan sem hefur alla stuðla \(a_j=0\). Við táknum hana með \(0\). Stig margliðunnar \(P\neq 0\) er skilgreint eins og áður sem stærsta heiltala \(j\) þannig að \(a_j\neq 0\).

Margliðudeiling er alveg eins fyrir margliður með tvinntölustuðla og margliður með rauntölustuðla.

Ef \(P\) er margliða og \(Q\) er margliða af stigi \(m\), þá eru til margliða \(R\) af stigi minna en \(m\) og margliða \(S\), þannig að

\[P(z)=Q(z)S(z)+R(z)\]

Margliðan \(R\) nefnist þá leif eða afgangur við deilingu á \(P\) með \(Q\) og \(S\) nefnist kvóti \(P\) og \(Q\). Við segjum að \(Q\) deili \(P\) eða að \(Q\) gangi upp í \(P\) ef \(R\) er núllmargliðan.

1.4.1. Þáttaregla

Ef \(\alpha\in {{\mathbb C}}\), þá er \(z-\alpha\) fyrsta stigs margliða og við fáum að leifin við deilingu á \(P(z)\) með \((z-\alpha)\) verður fastamargliðan \(P(\alpha)\),

\[P(z)=(z-\alpha)S(z)+P(\alpha).\]

Tvinntalan \(\alpha\) er sögð vera núllstöðen: null
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eða rót margliðunnar \(P\) ef \(P(\alpha)=0\).

1.4.1.1. Setning

(Þáttaregla) Margliða \(P\) af stigi \(\geq 1\) hefur núllstöð \(\alpha\) þá og því aðeins að \(z-\alpha\) gangi upp í \(P\).

1.4.2. Núllstöðvar annars stigs margliðu

Nú viljum við leysa jöfnuna \(az^2+bz+c=0\) og ganga út frá því að stuðlarnir \(a\), \(b\) og \(c\) séu tvinntölur og að \(a\neq 0\).

Fyrsta skref er að deila báðum hliðum með \(a\) og fá þannig jafngilda jöfnu \(z^2+Bz+C=0\), þar sem \(B=b/a\) og \(C=c/a\).

Næsta skref er að líta á tvo fyrstu liðina \(z^2+Bz\) og skrifa þá sem ferning að viðbættum fasta. Með orðinu ferningur er átt við fyrsta stigs stærðtákni í öðru veldi, \((z+\alpha)^2\). Ferningsreglan fyrir fyrir summu segir að \((z+\alpha)^2=z^2+2\alpha z+\alpha^2\). Því er

\[0=z^2+Bz+C=(z+\dfrac B2)^2-\dfrac {B^2}4+C.\]

Þetta segir okkur að upphaflega jafnan jafngildi

\[0=(az^2+bz+c)/a=\bigg(z+\dfrac {b}{2a}\bigg)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac ca.\]

Með því að draga töluna \(-b^2/(4a^2)+c/a\) frá báðum hliðum, þá fáum við jafngilda jöfnu

\[\bigg(z+\dfrac {b}{2a}\bigg)^2=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac ca=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}.\]

Tvinntalan \(D=b^2-4ac\) nefnist aðgreiniren: discriminant
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eða aðskilja jöfnunnar. Ef \(D\neq 0\), þá hefur \(D\) tvær kvaðratrætur. Látum \(\sqrt D\) tákna aðra þeirra. Þá er hin jöfn \(-\sqrt D\) og við fáum tvær ólíkar lausnir

\[z_1=\dfrac{-b+\sqrt D}{2a} \qquad\text {og} \qquad z_2=\dfrac{-b-\sqrt D}{2a}.\]

Ef \(D=0\), fæst ein lausn

\[z=\dfrac{-b}{2a}.\]

Ef \(D\) er rauntala og \(D<0\) þá getum við valið \(\sqrt D=i\sqrt{|D|}\) og lausnarformúlan verður

\[z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{ |D|}}{2a} \qquad\text {og} \qquad z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}.\]

1.4.3. Undirstöðusetning algebrunnar

1.4.3.1. Setning

  Sérhver margliða af stigi \(\geq 1\) með stuðlum í \({{\mathbb C}}\) hefur núllstöð í \({{\mathbb C}}\).


Segjum nú að \(P\) sé margliða af stigi \(m\geq 1\) og að \(\alpha_1\) sé núllstöð hennar. Við getum þá skrifað

\[P(z)=(z-\alpha_1)Q_1(z)\]

samkvæmt þáttareglunni. Þá er \(Q_1\) af stigi \(m-1\) og samkvæmt undirstöðusetningunni hefur \(Q_1\) núllstöð \(\alpha_2\) ef \(m\geq 2\). Við þáttum \(Q_1\) með \(z-\alpha_2\) og fáum þannig

\[P(z)=(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)Q_2(z)\]

þar sem \(Q_2\) er margliða af stigi \(m-2\).

Þessu er unnt að halda áfram þar til við endum með fullkomna þáttun á \(P\) í fyrsta stigs liði

\[P(z)=A(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\cdots(z-\alpha_m)\]

þar sem \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) er upptalning á öllum núllstöðvum \(P\) með hugsanlegum endurtekningum og \(A\neq 0\) er stuðullinn í veldið \(z^m\) í margliðunni \(P\).

Ef \(\alpha\) er núllstöð margliðu \(P\) og hægt er að þátta \(P\) í \(P(z)=(z-\alpha)^jQ(z)\) þar sem \(Q\) er margliða og \(Q(\alpha)\neq 0\) þá segjum við að \(\alpha\)\(j\) -föld núllstöð \(P\) og köllum töluna \(j\) margfeldni núllstöðvarinnar \(\alpha\) í \(P\).

Ef \(P\) er af stigi \(m\) og \(\beta_1,\dots,\beta_k\) er upptalning á ólíkum núllstöðvum margliðunnar \(P\) og þær hafa margfeldni \(m_1,\dots,m_k\), þá getum við skrifað

\[P(z)=A(z-\beta_1)^{m_1}\cdots(z-\beta_k)^{m_k}\]

og

\[m=m_1+\cdots+m_k.\]

1.4.4. Margliður með rauntölustuðla

Við lítum allaf á rauntölurnar sem hluta af tvinntölunum og því er sérhver margliða með rauntölustuðla jafnframt margliða með tvinntölustuðla.

Undirstöðusetning algebrunnar á því við um þessar margliður einnig.

Hugsum okkur nú að \(P(z)\) sé margliða af stigi \(m\geq 1\) með rauntölustuðla \(a_0,\dots,a_m\) og að \(\alpha\in {{\mathbb C}}\) sé núllstöð hennar og gerum ráð fyrir að \(\alpha\) sé ekki rauntala. Með því að beita reiknireglunum fyrir samok og þá sérstaklega að \(\bar a_j=a_j\), þá fáum við

\[0=P(\alpha)=\overline{P(\alpha)} =\overline{\sum_{k=0}^ma_k\alpha^k} =\sum_{k=0}^m \overline{a_k}\overline{\alpha^k} =\sum_{k=0}^m a_k (\overline{\alpha})^k=P(\bar\alpha)\]

Við höfum því sýnt að \(\bar \alpha\) er einnig núllstöð \(P\). Við getum því þáttað út \((z-\alpha)(z-\bar \alpha)\) Athugum að

\[(z-\alpha)(z-\bar\alpha)= z^2-(\alpha+\bar\alpha)z+\alpha\bar\alpha =z^2-2({{\operatorname{Re\, }}}\, \alpha)z+|\alpha|^2\]

Nú beitum við þáttareglunni og sjáum að í þessu tilfelli fæst þáttun á \(P(z)\) í tvær rauntalnamargliður

\[P(z)=\big(z^2-2({{\operatorname{Re\, }}}\, \alpha)z+|\alpha|^2\big)Q(z).\]

1.4.5. Afleiður af margliðum

Tvíliðustuðlarnir eru dálítið fyrirferðarmiklir í útskrift svo við skulum tákna \(n\) yfir \(k\) með \(c_{n,k}\). Við fáum þá

\[(z+h)^n=z^n+nz^{n-1}h+c_{n,2}z^{n-2}h^2+\cdots+c_{n,n-2}z^{n-2}h^2+nzh^{n-1}+h^n.\]

Við fáum því formúluna

\[\dfrac{(z+h)^n-z^n}h=nz^{n-1}+c_{n,2}z^{n-2}h+\cdots+nzh^{n-2}+h^{n-1}.\]

Nú látum við \(h\) stefana á \(0\) og fáum

\[\lim_{h\to 0}\bigg( \dfrac{(z+h)^n-z^n}h\bigg)=nz^{n-1}.\]

Við skilgreinum afleiðuna af einliðunni \(z\mapsto z^n\) sem fallið \(z\mapsto nz^{n-1}\) fyrir \(n=0,1,2,\dots\) og almennt skilgreinum við afleiðu af margliðu \(P(z)=\sum_{n=0}^ma_nz^n\) með

\[P'(z)=\lim_{h\to 0}\dfrac{P(z+h)-P(z)}h=\sum_{n=0}^mna_nz^{n-1}.\]

Það er enginn vandi að sýna fram á að venjulegu reiknireglurnar fyrir afleiður gildi,

\[(P+Q)'(z)=P'(z)+Q'(z)\]

og

\[(PQ)'(z)=P'(z)Q(z)+P(z)Q'(z).\]

1.5. Ræð föll

Rætt fallen: rational function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er kvóti tveggja margliða \(R=P/Q\). Það er skilgreint í öllum punktum \(z\in {{\mathbb C}}\) þar sem \(Q(z)\neq 0\). Við skilgreinum afleiðuna af \(R\) með hliðstæðum hætti og fyrir margliður og fáum venjulega reiknireglu

\[R'(z)=\lim_{h\to 0}\dfrac{R(z+h)-R(z)}h=\dfrac{P'(z)Q(z)-P(z)Q'(z)}{Q(z)^2}.\]

1.5.1. Stofnbrotaliðun

Ef \(P\) og \(Q\) eru margliður, \(Q\neq 0\) og \({{\operatorname{stig}}}P\geq {{\operatorname{stig}}}Q\), þá getum við alltaf framkvæmt deilingu með afgangi og fengið að

\[R(z)=\dfrac {P(z)}{Q(z)}=P_1(z)+\dfrac {P_2(z)}{Q(z)}\]

þar sem \(P_1\) og \(P_2\) eru margliður, \({{\operatorname{stig}}}P_1={{\operatorname{stig}}}P-{{\operatorname{stig}}}Q\) og \({{\operatorname{stig}}}P_2<{{\operatorname{stig}}}Q\).

Nú ætlum við að líta á rætt fall \(R=P/Q\) þar sem \(P\) og \(Q\) eru margliður og \({{\operatorname{stig}}}P < {{\operatorname{stig}}}Q\). Þá er alltaf hægt að liða ræða fallið í stofnbroten: partial fraction
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.

1.5.1.1. Einfaldar núllstöðvar

Við gerum fyrst ráð fyrir því að að allar núllstöðvar \(Q\) séu einfaldar. Þá getum við skrifað

\[Q(z)= a(z-\alpha_1)\cdots(z-\alpha_m), \qquad z\in {{\mathbb C}},\]

þar sem \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) eru hinar ólíku núllstöðvar \(Q\). Stofnbrotaliðunen: expansion in partial fractions
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(R\) er

\[R(z) = \dfrac {A_1}{z-\alpha_1}+\cdots+\dfrac {A_m}{z-\alpha_m}.\]

Nú þarf að reikna stuðlana \(A_1,\dots,A_m\) út. Við athugum að

\[\lim\limits_{z\to\alpha_1} (z-\alpha_1)R(z) = A_1 +\lim\limits_{z\to\alpha_1} (z-{\alpha}_1)\bigg( \dfrac {A_2}{z-\alpha_2}+\cdots+\dfrac {A_m}{z-\alpha_m} \bigg)=A_1.\]

Á hinn bóginn er \(Q(\alpha_1)=0\), svo

\[\lim\limits_{z\to\alpha_1}(z-\alpha_1)R(z) = \lim\limits_{z\to \alpha_1}\dfrac{(z-\alpha_1)P(z)}{Q(z)-Q(\alpha_1)}= \dfrac{P(\alpha_1)}{Q{{^{\prime}}}(\alpha_1)}.\]

Ef við meðhöndlum hinar núllstöðvarnar með sama hætti, þá fáum við formúluna

\[A_j=\dfrac{P(\alpha_j)}{Q{{^{\prime}}}(\alpha_j)}.\]

Við notum nú þáttunina á \(Q\) í fyrsta stigs liði til þess að reikna út afleiðuna af \(Q\) í \({\alpha}_j\),

\[Q{{^{\prime}}}(\alpha_j)=a\prod_{\scriptstyle k=1 \atop\scriptstyle k\neq j}^m (\alpha_j-\alpha_k).\]

Þessi formúla segir okkur að \(Q'(\alpha_j)\) sé fundið með því að taka þáttunina á \(Q\) í fyrsta stigs liði, deila út þættinum \(z-\alpha_j\) og stinga síðan inn \(\alpha_j\) fyrir \(z\). Í sumum tilfellum getur verið einfaldast að nota þessa formúlu til þess að reikna út gildin á afleiðum margliðunnar \(Q\) í núllstöðvunum.

1.5.1.2. Margfaldar núllstöðvar

Gerum nú ráð fyrir að \(Q\) hafi ólíkar núllstöðvar \(\alpha_1,\dots,\alpha_k\) af stigi \(m_1,\dots,m_k\), og \({{\operatorname{stig}}}Q=m=m_1+\cdots+m_k\). Við getum þáttað út núllstöðina \(\alpha_j\) með því að skrifa \(Q(z)=(z-\alpha_j)^{m_j}q_j(z)\), þar sem \(q_j\) er margliða af stigi \(m-m_j\) og \(q_j(\alpha_j)\neq 0\). Stofnbrotaliðunin verður nú af gerðinni

\[\begin{aligned} \dfrac{P(z)}{Q(z)}&= \dfrac{A_{1,0}}{(z-\alpha_1)^{m_1}}+\cdots+\dfrac{A_{1,m_1-1}}{(z-\alpha_1)}\\ &+\dfrac{A_{2,0}}{(z-\alpha_2)^{m_2}}+\cdots+\dfrac{A_{2,m_2-1}}{(z-\alpha_2)} \\ &\qquad \vdots\qquad\qquad\vdots\qquad \qquad \vdots\\ &+\dfrac{A_{k,0}}{(z-\alpha_k)^{m_k}}+\cdots+\dfrac{A_{k,m_k-1}}{(z-\alpha_k)}\end{aligned}\]

þar sem stuðlarnir eru gefnir með formúlunni

\[A_{j,\ell}=\left.\dfrac 1{\ell!} \bigg(\dfrac {d}{dz}\bigg)^{\ell}\bigg( \dfrac{P(z)}{q_j(z)}\bigg)\right|_{z=\alpha_j},\]

fyrir \(j=1,\dots,k\) og \(\ell=0,\dots,m_k-1\).

1.6. Veldisvísisfallið og skyld föll

Við höfum séð hvernig skilgreiningarmengi margliða er útvíkkað frá því að vera rauntalnaásinn \({{\mathbb R}}\) yfir í það að vera allt tvinntalnaplanið \({{\mathbb C}}\). Þetta er hægt að gera á eðlilegan máta fyrir mörg föll sem skilgreind eru á hlutmengjum á rauntalnalínunni þannig að þau fái náttúrlegt skilgeiningarsvæði í \({{\mathbb C}}\).

1.6.1. Framlenging á veldisvísisfallinu

Veldisvísisfallið \(\exp:{{\mathbb R}}\to {{\mathbb R}}\) er andhverfa náttúrlega lograns sem skilgreindur er með heildinu

\[\ln x=\int_1^x\dfrac {dt}t, \qquad x>0.\]

Talan \(e\) er skilgreind með \(e=\exp(1)\). Nú útvíkkum við skilgreiningarsvæði \(\exp\) þannig að það verði allt \({{\mathbb C}}\) með formúlunni

\[\exp(z)=e^x(\cos y+i\sin y), \qquad z=x+iy\in {{\mathbb C}}, \quad x,y\in {{\mathbb R}}\]

Við skrifum \(e^z=\exp z\) fyrir \(z\in {{\mathbb C}}\).

Fyrst hornaföllin \(\cos\) og \(\sin\) eru lotubundin með lotuna \(2\pi\), þá fáum við beint út frá skilgreiningunni á veldisvísisfallinu að það er lotubundið með lotuna \(2\pi i\),

\[e^{z+2\pi k i}=e^z, \qquad k\in {{\mathbb Z}}.\]

1.6.2. Jöfnur Eulers

Stingum nú hreinni þvertölu \(i\theta\), \(\theta\in {{\mathbb R}}\) inn í veldisvísisfallið \(e^{i\theta}=(\cos\theta+i\sin\theta)\in {{\mathbb T}}\). Þetta segir okkur að vörpunin \(\theta\mapsto e^{i\theta}\) varpi rauntalnalínunni á einingarhringinn. Stillum nú upp tveimur jöfnum

\[\begin{aligned} e^{i\theta}&=\cos\theta+i\sin\theta\\ e^{-i\theta}&=\cos\theta-i\sin\theta\end{aligned}\]

Tökum nú summu af hægri hliðum og vinstri hliðum. Þá fæst \(e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos \theta\). Tökum síðan mismun af því sama. Þá fæst \(e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin \theta\). Út úr þessu fæst samband milli veldisvísisfallsins og hornafallanna sem nefnt er jöfnur Eulers,

\[\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2,\qquad \text{ og } \qquad \sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.\]

1.6.3. Samlagningarformúla veldisvísisfallsins

Munum að veldisvísisfallið \(\exp: {{\mathbb R}}\to {{\mathbb R}}\), \(x\mapsto e^x\), uppfyllir regluna \(e^{a+b}=e^ae^b\) fyrir allar rauntölur \(a\) og \(b\). Hún er nefnd samlagningarformúla eða samlagningarregla veldisvísisfallsins.

tökum tvær tvinntölur \(z=x+iy\) og \(w=u+iv\)

\[\begin{aligned} e^ze^w &=e^x(\cos y+i\sin y)e^u(\cos v+i\sin v) \\ & =(e^xe^u)(\cos y+i\sin y)(\cos v+i\sin v) \\ & =e^{x+u}(\cos(y+v)+i\sin (y+v))\\ & =e^{(x+u)+i(y+v)}=e^{z+w}.\end{aligned}\]

Þetta segir að samlagningarformúlan alhæfist

\[e^{z+w}=e^ze^w, \qquad z,w\in {{\mathbb C}}.\]

Reglurnar um reikning með samoka tvinntölum gefa okkur

\[\overline{e^z}=e^{\overline z},\qquad z\in {{\mathbb C}},\]

og síðan

\[|e^z|^2=e^z\overline{e^{z}}=e^ze^{\overline z}=e^{x+iy}e^{x-iy}=e^{2x}\]

Þar með er

\[|e^z|=e^{{{\operatorname{Re\, }}}z}, \qquad z\in {{\mathbb C}},\]

og sérstaklega gildir

\[|e^{iy}|=1, \qquad y\in {{\mathbb R}}.\]

Af þessu leiðir að veldisvísisfallið hefur enga núllstöð \(e^z=e^xe^{iy}\) og hvorugur þátturinn í hægri hliðinni getur verið núll.

Við sjáum einnig að veldisvísisfallið varpar lóðréttu línunni sem gefin er með jöfnunni \(x={{\operatorname{Re\, }}}z=a\) í \(z\)-plani á hringinn sem gefinn er með jöfnununni \(|w|=e^a\) í \(w\)-plani og það varpar láréttu línunni sem gefin er með jöfnunni \(y={{\operatorname{Im\, }}}z=b\) á hálflínuna út frá \(0\) með stefnuvigur \(e^{ib}\).

Mynd: Veldisvísisfallið

Mynd: Veldisvísisfallið

1.6.4. Framlenging á hornaföllum og breiðbogaföllum

Um leið og við höfum framlengt veldisvísisfallið yfir á allt tvinntalnaplanið, þá framlengjast hornaföllin sjálfkrafa yfir á allt planið með Euler formúlunum,

\[\cos z =\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}2, \qquad \text{ og } \qquad \sin z =\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\]

og sama er að segja um breiðbogaföllin

\[\cosh z =\dfrac{e^{z}+e^{-z}}2 \qquad \text{ og } \qquad \sinh z =\dfrac{e^{z}-e^{-z}}{2}.\]

Tilsvarandi tangens- og kótangens-föll eru skilgreind þar sem nefnararnir eru frábrugðnir \(0\)

\[\tan z=\dfrac {\sin z}{\cos z}, \quad \cot z=\dfrac {\cos z}{\sin z}, \quad \tanh z=\dfrac {\sinh z}{\cosh z} \quad \text{ og } \quad \coth z=\dfrac {\cosh z}{\sinh z}. \quad\]

Gömlu góðu reglurnar gilda áfram, eins og til dæmis

\[\cos^2z+\sin^2z=1 \qquad \text{ og } \qquad \cosh^2z-\sinh^2z=1,\]

sem gilda um öll \(z\in {{\mathbb C}}\). Sama er að segja um allar samlagningarformúlurnar fyrir hornaföll og breiðbogaföll til dæmis

\[\cos(z-w)=\cos z\cos w+\sin z\sin w, \qquad z,w\in {{\mathbb C}}.\]

Nú kemur líka í ljós samband milli hornafallanna og breiðboga fallanna, því

\[\cosh z=\cos(iz) \qquad \text{ og } \qquad \sinh z=-i \sin(iz)\]

gildir um öll \(z\in {{\mathbb Z}}\).

1.7. Varpanir á tvinntöluplaninu

Í þessum kafla ætlum við að fjalla um föll \(f:X\to {{\mathbb C}}\), sem skilgreind eru á hlutmengi \(X\) í \({{\mathbb C}}\) og taka gildi í \({{\mathbb C}}\). Til þess að einfalda útreikninga okkar, þá skiptum við frjálslega milli tvinntalnaritháttar og vigurritháttar á punktum \(z\in X\). Þannig skrifum við

\[\begin{aligned}z=x+iy=re^{i{\theta}}=(x,y)=\left[\begin{matrix} x\\ y\end{matrix}\right]\end{aligned}\]

og segjum að \(z\) hafi raunhlutannen: real part
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(x\), þverhlutannen: imaginary part
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(y\), lengdinaen: absolute value
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(r\) og horngildiðen: amplitude
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\({\theta}\).

Hér er \(x+iy\) tvinntöluframsetning á \(z\) í rétthyrndum hnitumen: cartesian coordinates
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, \(re^{i{\theta}}\) framsetning í pólhnitumen: polar coordinates
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, \((x,y)\) er línuvigurframsetning á \(z\) og \(\left[\begin{matrix} x\\ y\end{matrix}\right]\) er dálkvigurframsetning á \(z\). Með þessu erum við að líta framhjá þeim greinarmun sem gerður er á vigrunum \((1,0)\) og \((0,1)\) annars vegar og tvinntölunumen: complex number
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(1\) og \(i\) hins vegar.

Fallgildið \(f(z)\) skrifum við ýmist sem \(f(x+iy)\) eða \(f(x,y)\).

Við getum skrifað \(f=u+iv\), þar sem \(u={{\operatorname{Re\, }}}f\) er raunhluti \(f\) og \(v={{\operatorname{Im\, }}}f\) er þverhluti \(f\). Við horfum oft framhjá þeim greinarmun sem gerður er á \({{\mathbb R}}^2\) og \({{\mathbb C}}\) og skrifum þá vigra ýmist sem línu- eða dálkvigra. Þannig getum við skrifað

\[\begin{aligned}f(z)=u(z)+iv(z)=(u(x,y), v(x,y))= \left[\begin{matrix} u(x,y) \\ v(x,y)\end{matrix}\right], \quad z=x+iy=(x,y).\end{aligned}\]

1.7.1. Línulegar varpanir

Við skulum byrja á því að skoða línulegar varpaniren: linear form
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, en það eru föll af gerðinni \(L:{{\mathbb C}}\to {{\mathbb C}}\) sem uppfylla

\[L(z+w)=L(z)+L(w) \qquad z,w\in {{\mathbb C}}\]

og

\[L(cz)=cL(z), \qquad z\in {{\mathbb C}}, \quad c\in {{\mathbb R}}.\]

Ef við lítum á \(L\) sem vörpun \({{\mathbb R}}^2\to {{\mathbb R}}^2\), þá vitum við að hægt er að skrifa hana sem

\[(x,y)\mapsto (ax+by, cx+dy),\]

þar sem \(a\), \(b\), \(c\) og \(d\) eru rauntölur. Við getum líka lýst vörpuninni \(L\) með fylkjamargföldun sem

\[\begin{aligned}\left[\begin{matrix} x\\ y\end{matrix} \right]\mapsto \left[\begin{matrix} a & b\\ c & d\end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} x\\ y\end{matrix} \right].\end{aligned}\]

Þá nefnist \(2\times 2\) fylkið sem hér stendur fylki vörpunarinnar \(L\) miðað við staðalgrunninn á \({{\mathbb R}}^2\)

Nú skulum við snúa þessum framsetningum yfir í tvinntalnaframsetningu. Eins og við höfum áður rifjað upp þá svarar tvinntalan \(1\) til vigursins \((1,0)\) og tvinntalan \(i\) svarar til vigursins \((0,1)\). Við skrifum því \(L(1)\) í stað \(L(1,0)\) og \(L(i)\) í stað \(L(0,1)\). Við fáum þá \(L(1)=(a,c)=a+ic\) og \(L(i)=(b,d)=b+id\) og þar með

\[L(z)=L(x+iy)=xL(1)+yL(i).\]

Nú notfærum við okkur að \(x=(z+\bar z)/2\) og \(y=-i(z-\bar z)/2\) og fáum formúluna

\[L(z)=Az+B\bar z,\]

þar sem

\[\begin{aligned} A=\tfrac 12\big(L(1)-iL(i)\big) =\tfrac 12\big((a+ic)-i(b+id)\big),\\ B=\tfrac 12\big(L(1)+iL(i)\big) =\tfrac 12\big((a+ic)+i(b+id)\big).\end{aligned}\]

Niðurstaða útreikninga okkar er:

1.7.1.1. Setning

Sérhverja línulega vörpun \(L:{{\mathbb C}}\to{{\mathbb C}}\) má setja fram sem \(L(z)=Az+B\bar z\), þar sem stuðlarnir \(A\) og \(B\) eru tvinntölur. Ef

\[\begin{aligned}\left[\begin{matrix} a & b\\ c & d\end{matrix} \right]\end{aligned}\]

er fylki \(L\) miðað við staðalgrunninn á \({{\mathbb R}}^2\), þá er

\[A=\tfrac 12((a+d)+i(c-b)) \qquad \text{ og } \qquad B= \tfrac 12((a-d)+i(c+b)).\]

Hugsum okkur næst að við þekkjum stuðlana \(A\) og \(B\) og að við viljum ákvarða stuðlana \(a\), \(b\), \(c\) og \(d\) í fylki vörpunarinnar út frá þeim. Sambandið þarna á milli er

\[\begin{aligned} a&={{\operatorname{Re\, }}}\big(L(1)\big)={{\operatorname{Re\, }}}\big(A+B\big), \\ b&={{\operatorname{Re\, }}}\big(L(i)\big)={{\operatorname{Re\, }}}\big(i(A-B)\big)=-{{\operatorname{Im\, }}}\big(A-B\big),\\ c&={{\operatorname{Im\, }}}\big(L(1)\big)={{\operatorname{Im\, }}}\big(A+B\big),\\ d&={{\operatorname{Im\, }}}\big(L(i)\big)={{\operatorname{Im\, }}}\big(i(A-B)\big)={{\operatorname{Re\, }}}\big(A-B\big).\end{aligned}\]

Í tvinnfallagreiningu þarf oft að gera greinarmun á \({{\mathbb R}}\) -línulegum vörpunum, en það eru nákvæmlega þær línulegu varpanir sem við höfum verið að fjalla um, og \({{\mathbb C}}\) -línulegum vörpunum, en þær uppfylla

\[L(z+w)=L(z)+L(w) \quad \text{ og } \quad L(cz)=cL(z), \quad z,w\in {{\mathbb C}}, \quad c\in {{\mathbb C}}.\]

Það er greinilegt að sérhver \({{\mathbb C}}\)-línuleg vörpun er \({{\mathbb R}}\)-línuleg, því ef seinna skilyrðið gildir um sérhverja tvinntölu, þá gildir það sérstaklega um sérhverja rauntölu. Það er einnig augljóst að sérhver vörpun af gerðinni \(L(z)=Az\) þar sem \(A\) er gefin tvinntala er \({{\mathbb C}}\)-línuleg.

Hugsum okkur nú að \(L\)\({{\mathbb C}}\)-línuleg og skrifum \(L(z)=Az+B\bar z\) eins og lýst er hér að framan. Þá er \(L(i)=iL(1)\) og því er

\[B=\tfrac 12\big(L(1)+iL(i)\big)= \tfrac 12\big(L(1)+i^2L(1)\big)=0,\]

svo \(L(z)=Az\). Niðustaðan er því

1.7.1.2. Setning

Sérhver \({{\mathbb C}}\)-línuleg vörpun \(L:{{\mathbb C}}\to {{\mathbb C}}\) er af gerðinni

\[L(z)=Az, \qquad z\in {{\mathbb C}},\]

þar sem \(A\) er tvinntala.

1.7.2. Myndræn framsetning á vörpunum

Til þess að lýsa hegðun raungildra falla á myndrænan hátt, þá teiknum við upp gröf þeirra. Graf tvinngilda fallsins \(f:X\to {{\mathbb C}}\), \(X\subseteq {{\mathbb C}}\), er hlutmengið í \({{\mathbb C}}^2\) sem skilgreint er með

\[{{\operatorname{graf}}}f=\{(z,f(z))\in {{\mathbb C}}^2; z\in X\}.\]

Nú er \({{\mathbb C}}^2\) fjórvítt rúm yfir \({{\mathbb R}}\), en rúmskynjun flestra manna takmarkast við þrjár víddir, svo við getum ekki teiknað upp myndir af gröfum tvinnfalla. Við getum vissulega teiknað upp gröf raungildu fallanna \({{\operatorname{Re\, }}}f\) og \({{\operatorname{Im\, }}}f\) í þrívíðu rúmi og gert okkur hugmynd um \({{\operatorname{graf}}}f\) út frá þeim, en það hefur takmarkaða þýðingu.

Til þess að lýsa tvinnföllum á myndrænan hátt er því oft brugðið á það ráð að skoða hvernig þau færa til punktana í \({{\mathbb C}}\) og lýsa á mynd afstöðunni millli \(z\) og \(f(z)\). Vert er að geta þess að í þessu samhengi eru orðin vörpunen: mapping
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, færsla, ummyndun o.fl. oft notuð sem samheiti fyrir orðið fallen: function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
. Við skulum nú taka nokkur dæmi um þetta.

Vörpun \({{\mathbb C}}\to {{\mathbb C}}\) af gerðinni \(z\mapsto z+a\), þar sem \(a\in {{\mathbb C}}\) nefnist hliðrunEkki fannst þýðing á hugtakinu: hliðrun.

Vörpun af gerðinni \(z\mapsto az\), nefnist snúninguren: proper orthogonal transformation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, ef \(a\in {{\mathbb C}}\) og \(|a|=1\),

hún nefnist stríkkunen: dilatation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, ef \(a\in {{\mathbb R}}\) og \(|a|>1\) og

herpingen: contraction
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, ef \(a\in {{\mathbb R}}\) og \(|a|<1\),

en almennt nefnist hún snústríkkunen: rotation-stretching
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef \(a\in {{\mathbb C}}\setminus\{0\}\).

Vörpunin \({{\mathbb C}}\setminus{{\{0\}}} \to {{\mathbb C}}\setminus{{\{0\}}}\), \(z\mapsto 1/z\) nefnist umhverfingen: inverse
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.

1.7.3. Brotnar línulegar varpanir

Hliðranir, snústríkkanir og umhverfing eru hluti af almennum flokki varpana, en fall af gerðinni

\[f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}, \qquad ad-bc\neq 0, \quad a,b,c,d\in {{\mathbb C}},\]

kallast brotin línuleg vörpunen: fractional linear transformation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, brotin línuleg færsla eða Möbíusarvörpun.

Við sjáum að \(f(z)\) er skilgreint fyrir öll \(z\in {{\mathbb C}}\), ef \(c=0\), en fyrir öll \(z\neq -d/c\), ef \(c\neq 0\).

Eðlilegt er að útvíkka skilgreningarsvæði með því að bæta einum punkti, óendanleikapunktien: point of infinity
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(\infty\), við planið \({{\mathbb C}}\) og skilgreina þannig útvíkkaða talnaplanið

\[\widehat {{\mathbb C}}={{\mathbb C}}\cup \{\infty\}.\]

Þá getum við litið á \(f\) sem vörpun

\[f:\widehat {{\mathbb C}}\to \widehat {{\mathbb C}}\]

með því að setja

\[\begin{aligned}\begin{gathered} f(\infty)=\infty, \qquad \text{ ef } \quad c=0, \qquad \text{ en }\\ f(-d/c)=\infty \quad \text{ og } \quad f(\infty)=\lim_{|z|\to+\infty}f(z)=a/c, \qquad \text{ ef } \quad c\neq 0.\end{gathered}\end{aligned}\]

Með þessari viðbót verður \(f\) gagntæk vörpun. Andhverfuna \(f^{[-1]}\) er létt að reikna út, því

\[w=\dfrac{az+b}{cz+d} \qquad \Leftrightarrow \qquad z=\dfrac{dw-b}{-cw+a}\]

og það segir okkur að varpanirnar

\[f^{[-1]}(w)=\dfrac{dw-b}{-cw+a}.\]

Ef við stillum stuðlum vörpunarinnar \(f\) upp í fylkið

\[\begin{aligned}\left[\begin{matrix} a&b\\c&d\end{matrix}\right]\end{aligned}\]

þá eru stuðlar andhverfunnar \(f^{[-1]}\) lesnir út úr andhverfa fylkinu

\[\begin{aligned}\left[\begin{matrix} a&b\\c&d\end{matrix}\right]^{-1}= \dfrac 1{ad-bc}\left[\begin{matrix} d&-b\\-c&a\end{matrix}\right].\end{aligned}\]

Athugið að ákveðan \(ad-bc\) styttist þegar brotið er myndað.

Ef \(f_1\) og \(f_2\) eru tvær brotnar línulegar varpanir, þá er samskeyting þeirra \(f_3\), \(f_1\circ f_2=f_3\), einnig brotin línuleg vörpun. Ef

\[f_1(z)=\dfrac{a_1z+b_1}{c_1z+d_1} \quad \text{ og } \quad f_2(z)=\dfrac{a_2z+b_2}{c_2z+d_2}, \quad \text{ þá er } \quad f_3(z)=\dfrac{a_3z+b_3}{c_3z+d_3},\]

þar sem stuðlarnir \(a_3,b_3,c_3\) og \(d_3\) fást með fylkjamargföldun,

\[\begin{aligned}\left[\begin{matrix} a_1&b_1\\c_1&d_1\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} a_2&b_2\\c_2&d_2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} a_3&b_3\\c_3&d_3\end{matrix}\right].\end{aligned}\]

Það er ljóst að hliðranir, snústríkkanir og umhvernig eru brotnar línulegar varpanir og þar af leiðandi eru allar samskeytingar af vörpunum af þessum þremur mismunandi gerðum einnig brotnar línulegar varpanir.

Í ljós kemur að sérhver brotin línuleg vörpun er samskeyting af hliðrunum, snústríkkunum og umhverfingu. Til þess að sjá þetta athugum við fyrst tilfellið \(c=0\), en þá er

\[f(z)=\frac adz+\frac bd,\]

samsett úr snústríkkun og hliðrun. Ef \(c\neq 0\), þá getum við skrifað

\[f(z)= \dfrac{az+b}{cz+d}=\dfrac 1c\cdot \dfrac{az+b}{z+d/c}= \dfrac 1c\cdot \dfrac{a(z+d/c)-ad/c+b}{z+d/c}= \dfrac ac+\dfrac{-ad/c+b}{cz+d},\]

og sjáum að \(f\) er samsett úr snústríkkun,

\[z\mapsto cz=z_1,\]

hliðrun

\[z_1\mapsto z_1+d=cz+d=z_2,\]

umhverfingu

\[z_2\mapsto 1/z_2 = \dfrac 1{cz+d}=z_3,\]

snústríkkun

\[z_3\mapsto (-ad/c+b)z_3=\dfrac{-ad/c+b}{cz+d}=z_4\]

og hliðrun

\[z_4\mapsto z_4+a/c=a/c+\dfrac{-ad/c+b}{cz+d}.\]

1.7.4. Fastapunktar

Ef \(F:M\to M\) er vörpun á einhverju mengi \(M\), þá nefnist \(p\in M\) fastapunkturen: fixed point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
vörpunarinnar \(F\) ef \(F(p)=p\). Allir punktar í \(M\) eru fastapunktar samsemdarvörpunarinnaren: identity mapping
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(x\mapsto x\).

Nú látum við \(M\) vera útvíkkaða talnaplanið \(\widehat {{\mathbb C}}\) og \(f\) vera brotna línulega vörpun á \(\widehat {{\mathbb C}}\), sem gefin er með

\[f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}, \qquad ad-bc\neq 0, \qquad z\in {{\mathbb C}}.\]

Ef \(c=0\), þá er \(f(\infty)=\infty\) svo punkturinn \(\infty\) er fastapunktur í þessu tilfelli. Gerum nú ráð fyrir að \(p\in {{\mathbb C}}\) sé fastapunktur. Þá fullnægir \(p\) jöfnunni

\[\dfrac ad p+\dfrac bd=p\]

sem jafngildir

\[(a-d)p=-b.\]

Ef \(a=d\), þá er \(f\) vörpunin \(z\mapsto z+b/d\), en þessi vörpun hefur fastapunkt aðeins ef \(b=0\) og þá er hún samsemdarvörpunin. Ef \(a\neq d\), þá fæst nákvæmlega einn fastapunktur til viðbótar við \(\infty\) og hann er gefinn með

\[p=\dfrac {-b}{a-d}.\]

Þá höfum við afgreitt tilfellið \(c=0\). Gerum því ráð fyrir að \(c\neq 0\). Þá eru \(\infty\) og \(-d/c\) ekki fastapunktar, svo fastapunktarnir \(p\) uppfylla

\[\dfrac{ap+b}{cp+d}=p,\]

sem jafngildir því að \(p\) uppfylli annars stigs jöfnu,

\[cp^2+(d-a)p-b=0.\]

Hún hefur í mesta lagi tvær lausnir. Niðurstaða okkar er því:

1.7.4.1. Setning

Brotin línuleg vörpun, sem er ekki samsemdarvörpunin \(z\mapsto z\), hefur í mesta lagi tvo fastapunkta.

1.7.5. Þriggja punkta reglan

Látum nú \(z_1\), \(z_2\) og \(z_3\) vera þrjá ólíka punkta í \({{\mathbb C}}\) og lítum á brotnu línulegu vörpunina

\[f(z)=\dfrac{(z-z_1)}{(z-z_3)}\cdot \dfrac{(z_2-z_3)}{(z_2-z_1)}.\]

Við fáum þá að \(f(z_1)=0\), \(f(z_2)=1\) og \(f(z_3)=\infty\). Það er hægt að alhæfa skilgreininguna þannig að einn punktanna \(z_1\), \(z_2\) eða \(z_3\) megi vera \(\infty\). Þá tökum við bara markgildi \(|z_j|\to +\infty\) í hægri hliðinni.

Ef \(z_1=\infty\), þá skilgreinum við

\[f(z)=\lim_{|\tilde z_1|\to+\infty} \dfrac{(z-\tilde z_1)}{(z-z_3)}\cdot \dfrac{(z_2-z_3)}{(z_2-\tilde z_1)} =\dfrac {(z_2-z_3)}{(z-z_3)}.\]

Það er ljóst að hægri hliðin skilgreinir vörpun með \(f(\infty)=0\), \(f(z_2)=1\) og \(f(z_3)=\infty\). Ef \(z_2=\infty\), þá setjum við

\[f(z)=\lim_{|\tilde z_2|\to+\infty} \dfrac{(z-z_1)}{(z-z_3)}\cdot \dfrac{(\tilde z_2-z_3)}{(\tilde z_2- z_1)} =\dfrac {(z-z_1)}{(z-z_3)}.\]

og út kemur vörpun sem uppfyllir \(f(z_1)=0\), \(f(\infty)=1\) og \(f(z_3)=\infty\). Ef við viljum að \(z_3=\infty\), þá setjum við

\[f(z)=\lim_{|\tilde z_3|\to+\infty} \dfrac{(z-z_1)}{(z-\tilde z_3)}\cdot \dfrac{( z_2-\tilde z_3)}{(z_2- z_1)} =\dfrac {(z-z_1)}{(z_2-z_1)}.\]

og við höfum \(f(z_1)=0\), \(f(z_2)=1\) og \(f(\infty)=\infty\).

Látum nú \(z_1\), \(z_2\) og \(z_3\) vera ólíka punkta í \(\widehat {{\mathbb C}}\) og setjum

\[f(z)=\dfrac{(z-z_1)}{(z-z_3)}\cdot \dfrac{(z_2-z_3)}{(z_2-z_1)}.\]

Niðurstaðan af því að taka markgildin þrjú hér að framan er sú að við eigum að skipta út svigum sem innihalda \(z_j\) og tölunni \(1\), ef \(z_j=\infty\). Í öllum tilfellum varpast \(z_1\) á \(0\), \(z_2\) á \(1\) og \(z_3\) á \(\infty\).

Nú skulum við breyta til og taka einhverja þrjá ólíka punkta \(w_1\), \(w_2\) og \(w_3\) í \(\widehat {{\mathbb C}}\) í staðinn fyrir punktana \(0\), \(1\) og \(\infty\) og spyrja okkur hvernig við finnum brotna línulega vörpun sem uppfyllir \(f(z_1)=w_1\), \(f(z_2)=w_2\) og \(f(z_3)=w_3\).

Þetta er leyst þannig að við finnum fyrst tvær brotnar línulegar varpanir \(F\) og \(G\) með forskriftinni hér að framan sem uppfylla \(F(w_1)=0\), \(F(w_2)=1\), \(F(w_3)=\infty\), \(G(z_1)=0\), \(G(z_2)=1\) og \(G(z_3)=\infty\). Þá uppfyllir samskeytingin

\[f(z)=F^{-1}\circ G(z)\]

skilyrðin \(f(z_1)=w_1\), \(f(z_2)=w_2\) og \(f(z_3)=w_3\).

Hugsum okkur nú að \(g\) sé önnur brotin línuleg vörpun sem uppfyllir \(g(z_1)=w_1\), \(g(z_2)=w_2\) og \(g(z_3)=w_3\). Þá hefur vörpunin \(f^{-1}\circ g(z)\) þrjá fastapunkta \(z_1\), \(z_2\) og \(z_3\). Setningin hér að framan um fastapunkta segir nú að \(f^{-1}\circ g(z)=z\) fyrir öll \(z\in \widehat {{\mathbb C}}\) og þar með er \(f(z)=g(z)\) fyrir öll \(z\in \widehat {{\mathbb C}}\). Niðurstaðan er því:

1.7.5.1. Setning

(Þriggja punkta reglan)   Ef gefnir eru þrír ólíkir punktar \(z_1\), \(z_2\) og \(z_3\) í \(\widehat {{\mathbb C}}\) og þrír ólíkir punktar \(w_1\), \(w_2\) og \(w_3\) í \(\widehat {{\mathbb C}}\), þá er til nákvæmlega ein brotin línuleg vörpun \(f\) sem varpar \(z_1\) á \(w_1\), \(z_2\) á \(w_2\) og \(z_3\) á \(w_3\). Hún er gefin með formúlunni \(f=F^{-1}\circ G\) þar sem

\[F(w)=\dfrac{(w-w_1)}{(w-w_3)}\cdot \dfrac{(w_2-w_3)}{(w_2-w_1)} \quad \text{ og } \quad G(z)=\dfrac{(z-z_1)}{(z-z_3)}\cdot \dfrac{(z_2-z_3)}{(z_2-z_1)}.\]

Þetta má einnig orða þannig að fallgildin \(w=f(z)\) eru leyst úr úr jöfnunni

\[\dfrac{(w-w_1)}{(w-w_3)}\cdot \dfrac{(w_2-w_3)}{(w_2-w_1)} = \dfrac{(z-z_1)}{(z-z_3)}\cdot \dfrac{(z_2-z_3)}{(z_2-z_1)}.\]

Þessi stærðtákn á að túlka þannig að ef \(z_j=\infty\) eða \(w_k=\infty\) kemur fyrir innan einhverra sviga, þá á að skipta þættinum sem inniheldur \(z_j\) eða \(w_k\) út fyrir töluna \(1\).

1.7.6. Myndir af línum og hringum

Ein leið til þess að setja tvinngild föll \(f:X\to {{\mathbb C}}\) fram á myndrænan hátt er að líta á þau sem varpanir sem taka punkta í einu afriti af tvinntöluplaninu \({{\mathbb C}}\) yfir í annað afrit.

Þá er \(X\) teiknað upp í \(z\)-plani og myndmengið \(Y=\{w=f(z); z\in X\}\) teiknað upp í \(w\)-plani og síðan er sýnt hvernig \(f\) varpar punktum \(z\in X\) á punkta \(w=f(z)\in Y\). Oft er litið á einhverja fjölskyldu af ferlum í \(X\) og sýnt hvernig hún varpast yfir í \(Y\).

Mynd: Varpanir

Mynd: Varpanir

HliðrunEkki fannst þýðing á hugtakinu: Hliðrun \(z\mapsto z+a\) varpar línu gegnum punktinn \(m\) með þvervigur \({\beta}\) á línuna gegnum \(m+a\) með þvervigur \({\beta}\) og hún varpar hring með miðju \(m\) og geislann \(r\) á hring með miðju \(m+a\) og geislann \(r\).

Mynd: Hliðrun

Mynd: Hliðrun

Snústríkkunen: rotation-stretching
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(z\mapsto az\), \(a\in {{\mathbb C}}\setminus {{\{0\}}}\), varpar línu gegnum punktinn \(m\) með þvervigur \({\beta}\) á línuna gegnum \(am\) með þvervigur \(a{\beta}\).

Til þess að sjá þetta athugum við að jafna línunnar er af gerðinni \(\bar {\beta} z+{\beta}\bar z+c=0\) og ef við stingum \(z=w/a\), þar sem \(w=az\) er myndpunktur \(z\), inn í þessa jöfnu, þá sjáum við að \(w\) verður að uppfylla \((\bar {\beta}/a) w+({\beta}/\bar a)\bar w+c=0\) og þar með \(\bar a\bar {\beta} w+a{\beta}\bar w+c|a|^2=0\).

Snústríkkun varpar hring með miðju í \(m\) og geislann \(r\) á hring með miðju í \(am\) og geislann \(|a|r\).

Mynd: Snústríkkun

Mynd: Snústríkkun

Umhverfingen: inverse
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er gefin með \(z\mapsto 1/z\), \(0\to {\infty}\), \({\infty}\to 0\). Til þess að sjá hvernig hún varpar hringum og línum, þá lítum við á mengi allra punkta \(z\) sem gefnir eru með formúlunni

\[{\alpha}|z|^2+\bar {\beta} z+{\beta}\bar z +{\gamma}=0,\]

en við höfum lýst öllum þeim mengjum sem svona jafna skilgreinir.

Við stingum myndpunktinum \(w\), en hann uppfyllir \(z=1/w\), inn í þessa jöfnu og fáum að hann verður að uppfylla

\[{\gamma}|w|^2+{\beta}w+\bar {\beta}\bar w +{\alpha}=0.\]

Ef þetta er jafna línu gegnum \(0\) með þvervigur \({\beta}\), þá er \({\alpha}={\gamma}=0\) og við fáum að \(w\) liggur á línu gegnum \(0\) með þvervigur \(\bar {\beta}\).

Ef þetta er jafna línu sem fer ekki gegnum \(0\) og hefur þvervigur \({\beta}\), þá er \({\alpha}=0\) og \({\gamma}\neq 0\). Við fáum því að myndmengið er hringur með miðju \(m=-\bar {\beta}/{\gamma}\) og geislann \(r=|{\beta}|/|{\gamma}|\).

Mynd: Umhverfing af línu.

Mynd: Umhverfing af línu.

Mynd: Umhverfing af línu.

Mynd: Umhverfing af línu.

Ef við erum með jöfnu hrings gegnum \(0\), þá er \({\alpha}\neq 0\), \({\gamma}=0\), miðjan er \(m=-{\beta}/{\alpha}\) og geislinn er \(r=|{\beta}|/|{\alpha}|\). Athugum að punkturinn \(-2{\beta}/{\alpha}\) er á hringnum og því er myndmengi hans línan með þvervigur \(\bar {\beta}\) gegnum punktinn \(-{\alpha}/2{\beta}=-{\alpha}\bar{\beta}/2|{\beta}|^2\).

Ef við erum hins vegar með hring, sem inniheldur ekki \(0\), þá er \({\alpha}\neq 0\), \({\gamma}\neq 0\), miðjan er \(m=-{\beta}/{\alpha}\) og geislinn er \(r=\sqrt{|{\beta}|^2-{\alpha}{\gamma}}\, /|{\alpha}|\). Myndmengið er hringur með miðju \(-\bar {\beta}/{\gamma}\) og geislann \(\sqrt{|{\beta}|^2-{\alpha}{\gamma}}\, /|{\gamma}|\).

Mynd: Umhverfing af hring.

Mynd: Umhverfing af hring.

Mynd: Umhverfing af hring.

Mynd: Umhverfing af hring.

Eins og við höfum séð, þá er sérhver brotin línuleg vörpun samsett úr hliðrunum, snústríkkunum og umhverfingu, svo niðurstaða útreikninga okkar er:

1.7.6.1. Setning

Sérhver brotin línuleg vörpun brotin línuleg færslaen: fractional linear transformation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
varpar hring í \({{\mathbb C}}\) á hring eða línu og hún varpar línu á hring eða línu.