4. Margföld heildi

A bruise is a lesson… and each lesson makes us better.

- George R.R. Martin, A Game of Thrones

4.1. Skiptingar

4.1.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(R=[a,b]\times[c,d]\) vera rétthyrning í planinu. Skipting \(P\) á rétthyrningnum \(R\) felst í því að taka skiptingar

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\a=x_0<x_1<\cdots<x_m=b\qquad\mbox{og}\qquad c=y_0<y_1<\cdots<y_n=d\end{aligned}\end{align} \]

á bilunum \([a,b]\) og \([c,d]\) og nota þær skiptingar til að skipta \(R\) upp í rétthyrninga \([x_i,x_{i+1}]\times [y_j,y_{j+1}]\). Ritum \(\Delta x_i=x_{i+1}-x_i\) og \(\Delta y_j=y_{j+1}-y_j\). Norm skiptingarinnar \(P\), táknað með \(\|P\|\), er skilgreint sem lengd lengstu hornalínu í rétthyrningunum \([x_i,x_{i+1}]\times [y_j,y_{j+1}]\).

Mynd af skiptingu \(P\) á rétthyrningi \(R= [a,b]\times [c,d]\):

4.2. Riemann-summa

4.2.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall skilgreint á rétthyrningi \(R=[a,b]\times[c,d]\) og látum \(P\) vera skiptingu á \(R\). Veljum úr hverjum rétthyrningi \([x_i,x_{i+1}]\times [y_j,y_{j+1}]\) punkt \((x_i^*, y_j^*)\). Skilgreinum Riemann-summuna

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mathcal{R}(f,P)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n f(x_i^*, y_j^*)\Delta x_i\Delta y_j.\end{aligned}\end{align} \]

4.3. Tvöfalt heildi yfir rétthyrning

4.3.1. Skilgreining

Skilgreining

Sagt er að fall \(f\) skilgreint á rétthyrningi \(R=[a,b]\times [c,d]\) sé heildanlegt en: integrable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. yfir \(R\) með heildi en: integral, root, solution, solving
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(I\) (hér stendur \(I\) fyrir tölu) ef fyrir sérhvert \(\varepsilon>0\) er til tala \(\delta>0\) þannig að \(|\mathcal{R}(f,P)-I|<\varepsilon\) fyrir allar skiptingar \(P\) með \(\|P\|<\delta\) óháð vali á punktunum \((x_i^*, y_j^*)\).

Ritum þá

\[\displaystyle \int\!\!\!\int_R f(x,y)dA=I.\]

4.4. Tvöfalt heildi yfir takmarkað svæði

4.4.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(D\) vera takmarkað svæði í planinu. Fall \(f\) er sagt heildanlegt en: integrable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. yfir \(D\) ef til er rétthyrningur \(R\) sem inniheldur \(D\) og fallið

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\hat{f}(x,y)=\left\{\begin{array}{rcl} f(x,y)& & \mbox{ef }(x,y)\in D,\\ 0& & \mbox{ef }(x,y)\in R\setminus D \end{array}\right.\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

er heildanlegt yfir \(R\).

4.4.2. Setning

Setning

Látum \(f\) vera samfellt fall skilgreint á lokuðu og takmörkuðu svæði \(D\) í planinu \({\mathbb R}^2\). Gerum ráð fyrir að jaðar \(D\) samanstandi af endanlega mörgum ferlum sem hafa endanlega lengd. Þá er fallið \(f\) heildanlegt en: integrable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. yfir \(D\).

4.4.3. Setning

Setning

Látum \(D\) vera svæði í planinu og \(f\) takmarkað en: bounded
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fall skilgreint á \(D\) og heildanlegt en: integrable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. yfir \(D\). Þá gildir:

1. \(\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA=0\) ef flatarmál \(D\) er 0.

2. \(\int\!\!\!\int_D 1\,dA=\) flatarmál \(D\).

3. Ef \(f(x,y)\geq 0\) fyrir alla punkta \((x,y)\) í \(D\) þá er \(\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA\) jafnt rúmmáli rúmskikans sem liggur milli \(D\) og grafsins \(z=f(x,y)\).

4. Ef \(f(x,y)\leq 0\) fyrir alla punkta \((x,y)\) í \(D\) þá er \(\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA\) jafnt mínus rúmmáli rúmskikans sem liggur milli \(D\) og grafsins \(z=f(x,y)\).

4.4.4. Setning

Setning

Ef \(D\) er svæði í planinu og \(f\) og \(g\) heildanleg föll yfir \(D\) þá gildir:

1. Ef \(L\) og \(M\) eru fastar þá er

   \[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\int\!\!\!\int_D Lf(x,y)+Mg(x,y)\,dA=L\!\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA+M\!\int\!\!\!\int_D g(x,y)\,dA.\end{aligned}\end{align} \]

2. Ef \(f(x,y)\leq g(x,y)\) þá er

   \[\displaystyle \int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA\leq \int\!\!\!\int_Dg(x,y)\,dA.\]

3. Þríhyrningsójafna:

   \[\bigg|\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA\bigg|\leq \int\!\!\!\int_D |f(x,y)|\,dA.\]

4. Ritum \(D\) sem sammengi af svæðum \(D_1,\ldots, D_k\) sem skarast ekki nema mögulega í jaðarpunktum þá er

   \[\displaystyle \int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA=\sum_{i=1}^k\int\!\!\!\int_{D_i}f(x,y)\,dA.\]

4.4.5. Setning Fubinis

Setning

Látum \(f\) vera jákvætt fall sem er heildanlegt en: integrable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. á rétthyrningi \(R=[a,b]\times [c,d]\). Setjum

\[\displaystyle A(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy\qquad\mbox{($x$ hugsað sem fasti þegar heildað)}.\]

Þá gildir að

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\int\!\!\!\int_R f(x,y)\,dA=\int_a^b A(x)\,dx=\int_a^b\!\!\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx.\end{aligned}\end{align} \]

Sömuleiðis gildir þegar við setjum

\[\displaystyle A(y)=\int_a^b f(x,y)\,dx\qquad\mbox{($y$ hugsað sem fasti þegar heildað)} \qquad \text{að}\]

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\int\!\!\!\int_R f(x,y)\,dA=\int_c^d A(y)\,dy=\int_c^d\!\!\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.\end{aligned}\end{align} \]

Athugasemd

Setning Fubinis er stundum kölluð brauðsneiðareglan. Ef við ímyndum okkur að rúmskikinn sem liggur milli graf jákvæðs falls og \(xy\)-sléttunnar sé brauðhleifur, þá má reikna rúmmál hans með því að skera hann í næfurþunnar brauðsneiðar sem liggja samsíða annað hvort \(x\)-ás eða \(y\)-ás, reikna svo rúmmál hverrar brauðsneiðar fyrir sig og leggja saman.

4.5. \(x\)-einföld og \(y\)-einföld svæði

4.5.1. Skilgreining

Skilgreining

Svæði \(D\) í planinu er sagt vera \(y\)-einfalt ef hægt er að finna tölur \(a\) og \(b\) og föll \(c(x)\) og \(d(x)\) þannig að

\[\displaystyle D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b, c(x)\leq y\leq d(x)\}.\]

Svæði \(D\) í planinu er sagt vera \(x\)-einfalt ef hægt er að finna tölur \(c\) og \(d\) og föll \(a(y)\) og \(b(y)\) þannig að

\[\displaystyle D=\{(x,y)\mid c\leq y\leq d, a(y)\leq x\leq b(y)\}.\]

4.5.2. Regla

Setning

Lokað og takmarkað svæði \(D\) í planinu er \(y\)-einfalt ef og aðeins ef sérhver lína af gerðinni \(x=x_0\) sker \(D\) í línustriki.

Lokað og takmarkað svæði \(D\) er \(x\)-einfalt ef og aðeins ef sérhver lína af gerðinni \(y=y_0\) sker svæðið í línustriki.

4.6. Heildi yfir \(x\)-einföld og \(y\)-einföld svæði

4.6.1. Setning

Setning

Látum \(D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b, c(x)\leq y\leq d(x)\}\) vera \(y\)-einfalt svæði og \(f(x,y)\) jákvætt fall sem er heildanlegt yfir \(D\). Þá er

\[\displaystyle \int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\!\!\!\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\,dy\, dx.\]

Látum \(D=\{(x,y)\mid c\leq y\leq d, a(y)\leq x\leq b(y)\}\) vera \(x\)-einfalt svæði og \(f(x,y)\) jákvætt fall sem er heildanlegt yfir \(D\). Þá er

\[\displaystyle \int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA=\int_c^d\!\!\!\int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,dx\, dy.\]

Hér er svæðinu \(D\) skipt í endanlega mörg \(x\)-einföld og \(y\)-einföld svæði sem skarast eingöngu í punktum á jaðrinum.

4.7. Óeiginleg heildi

4.7.1. Umræða

Látum \(f(x,y)\geq 0\) vera jákvætt fall sem er skilgreint á svæði \(D\) í sléttunni. Ef

1. \(D\) er ótakmarkað svæði eða

2. \(f(x,y)\) er ótakmarkað á \(D\)

má í sumum tilfellum skilgreina tvöfalda heildið af \(f\) yfir \(D\).

Það er gert með því að finna fyrst runu af stækkandi lokuðum og takmörkuðum mengjum \(D_1 \subseteq D_2 \subseteq \cdots \subseteq D\) sem ’stefnir á’ \(D\). Ef

\[\displaystyle \int\!\!\!\int_{D_n} f(x,y)\,dA\]

er vel skilgreint fyrir öll \(n\) og hefur markgildi þegar \(n\to \infty\) (fyrir allar ólíkar runur \((D_n)_{n\geq 1}\)) þá skilgreinum við óeiginlega heildið en: improper integral
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.

\[\displaystyle \int\!\!\!\int_{D} f(x,y)\,dA := \lim_{n\to \infty} \int\!\!\!\int_{D_n} f(x,y)\,dA .\]

4.7.2. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall sem er heildanlegt yfir svæði \(D\) í \({\mathbb R}^2\). Meðalgildi fallsins \(f\) á \(D\) er skilgreint sem talan

\[\displaystyle \bar{f}=\frac{1}{\mbox{flatarmál }D}\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA.\]

4.7.3. Skilgreining

Skilgreining

Segjum að mengi \(D\subseteq {\mathbb R}^2\) sé ferilsamanhangandi (e. path-connected) ef fyrir sérhverja tvo punkta \(P, Q\in D\) gildir að til er stikaferill \(\mbox{${\bf r}$}:[0,1]\rightarrow D\) þannig að \(\mbox{${\bf r}$}(0)=P\) og \(\mbox{${\bf r}$}(1)=Q\).

Aðvörun

Í bók er orðið connected notað fyrir hugtakið ferilsamanhangandi. Venjulega er orðið connected notað yfir annað hugtak, skylt en samt ólíkt.

4.7.4. Setning ( Meðalgildissetning en: mean value theorem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fyrir tvöföld heildi)

Setning

Gerum ráð fyrir að \(f\) sé samfellt fall sem er skilgreint á lokuðu, takmörkuðu og ferilsamanhangandi svæði \(D\) í \({\mathbb R}^2\). Þá er til punktur \((x_0,y_0)\) í \(D\) þannig að

\[\displaystyle \frac{1}{\mbox{flatarmál }D}\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA=f(x_0,y_0).\]

4.8. Breytuskipti

4.8.1. Upprifjun

Látum \(P=(x,y)\neq \mbox{${\bf 0}$}\) vera punkt í plani. Pólhnit en: polar coordinates
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(P\) er talnapar \([r,\theta]\) þannig að \(r\) er fjarlægð \(P\) frá \(O=(0,0)\) og \(\theta\) er hornið á milli striksins \(\overline{OP}\) og \(x\)-ássins. (Hornið er mælt þannig að rangsælis stefna telst jákvæð, og leggja má við \(\theta\) heil margfeldi af \(2\pi\).)

4.8.2. Skilgreining

Skilgreining

Pólhnitarétthyrningur í \(xy\)-planinu er svæði sem afmarkast af tveimur hringbogum \(x^2+y^2=a^2\) og \(x^2+y^2=b^2\) og tveimur hálflínum sem byrja í \((0,0)\) og mynda hornin \(\alpha\) og \(\beta\) við \(x\)-ásinn (Hornin eru mæld þannig að rangsælis stefna telst jákvæð.)

Gerum ráð fyrir að \(0\leq a\leq b\) og að \(0\leq\beta-\alpha\leq 2\pi\). Þá má lýsa pólhnitarétthyrningnum með því að nota pólhnit þannig að

\[\displaystyle D=\{[r,\theta]\mid 0\leq a\leq r\leq b, \alpha\leq \theta\leq\beta\}.\]

4.8.3. Setning

Setning

Ef \(f\) er fall sem er heildanlegt en: integrable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. yfir pólhnitarétthyrning \(D=\{[r,\theta]\mid 0\leq a\leq r\leq b, \alpha\leq \theta\leq\beta\}\) þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dA=\int_\alpha^\beta\!\!\!\int_{a}^{b} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\, d\theta.\end{aligned}\end{align} \]

4.8.4. Upprifjun

Látum \(f\) vera fall skilgreint á bili \([\alpha,\beta]\). Jafnan \(r=f(\theta)\) lýsir mengi allra punkta í planinu sem hafa pólhnit en: polar coordinates
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. á forminu \([f(\theta),\theta]\) þar sem \(\alpha\leq\theta\leq\beta\). Þetta mengi kallast pólhnitagraf fallsins \(f\).

4.8.5. Setning

Setning

Látum \(D\) vera svæði í \(xy\)-plani sem afmarkast af pólhnitalínum \(\theta=\alpha\) og \(\theta=\beta\) og tveimur pólhnitagröfum \(r=a(\theta)\) og \(r=b(\theta)\). Gerum ráð fyrir að \(0\leq a(\theta)\leq r\leq b(\theta)\) og \(0\leq \beta-\alpha\leq 2\pi\). Ef \(f\) er heildanlegt fall yfir \(D\) þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\int\!\!\!\int_D\,f(x,y)\,dA=\int_\alpha^\beta\!\!\!\int_{a(\theta)}^{b(\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\, d\theta.\end{aligned}\end{align} \]

4.8.6. Regla

Setning

Hugsum okkur að \(f(x,y)\) sé fall og hægt sé að rita \(f(x,y)=g(x)h(y)\). Látum \(R=[a,b]\times [c,d]\). Þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} \int\!\!\!\int_R f(x,y)\,dA&=\int_a^b\!\!\!\int_{c}^{d}g(x)h(y)\,dy\, dx\\ &=\bigg(\int_a^b g(x)\,dx\bigg)\bigg(\int_c^d h(y)\,dy\bigg).\end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

4.8.7. Setning (Almenn breytuskiptaregla fyrir tvöföld heildi)

Setning

Látum \(x=x(u,v)\), \(y=y(u,v)\) vera gagntæka vörpun milli svæðis \(S\) í \(uv\)-plani og svæðis \(D\) í \(xy\)-plani. Gerum ráð fyrir að föllin \(x(u,v)\), \(y(u,v)\) hafi samfelldar fyrsta stigs hlutafleiður á \(S\). Ef \(f\) er heildanlegt fall yfir \(D\), þá er fallið \(g(u,v)=f(x(u,v), y(u,v))\) heildanlegt yfir \(S\) og

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\int\!\!\!\int_D f(x,y)\,dx\,dy=\int\!\!\!\int_S g(u,v) \bigg|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigg|\,du\,dv.\end{aligned}\end{align} \]

4.9. Þreföld heildi

4.9.1. Umræða

Heildi en: integral, root, solution, solving
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. falls \(f(x,y,z)\) yfir kassa \(K=[a,b]\times[c,d]\times[u,v]\) í \({\mathbb R}^3\) er skilgreint á sambærilegan hátt og tvöfalt heildi er skilgreint.

Á sama hátt og fyrir tvöföld heildi má svo skilgreina heildi fyrir almennari rúmskika en: body
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í \({\mathbb R}^3\).

Heildi en: integral, root, solution, solving
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. falls \(f(x,y,z)\) yfir rúmskika \(R\) er táknað með

\[\displaystyle \int\!\!\!\int\!\!\!\int_R f(x,y,z)\,dV.\]

(\(dV\) stendur fyrir að heildað er með tilliti til rúmmáls.)

4.9.2. Setning

Setning

Látum \(f(x,y,z)\) vera fall sem er heildanlegt en: integrable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. yfir kassa \(K=[a,b]\times[c,d]\times[u,v]\) í \({\mathbb R}^3\). Þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\int\!\!\!\int\!\!\!\int_K f(x,y,z)\,dV= \int_a^b\!\int_c^d\!\int_u^v f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.\end{aligned}\end{align} \]

Breyta má röð heilda að vild, t.d. er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\int\!\!\!\int\!\!\!\int_K f(x,y,z)\,dV= \int_u^v\!\int_c^d\!\int_a^b f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.\end{aligned}\end{align} \]

4.9.3. Setning

Setning

Látum \(f(x,y,z)\) vera fall sem er heildanlegt yfir rúmskika \(R\) og gerum ráð fyrir að \(R\) hafi lýsingu á forminu

\[\displaystyle R=\{(x,y,z)\mid a\leq x\leq b,\ c(x)\leq y\leq d(x),\ u(x,y)\leq z\leq v(x,y)\}.\]

Þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\int\!\!\!\int\!\!\!\int_R f(x,y,z)\,dV= \int_a^b\!\int_{c(x)}^{d(x)}\!\int_{u(x,y)}^{v(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.\end{aligned}\end{align} \]

Breyturnar \(x, y, z\) geta svo skipt um hlutverk.

4.9.4. Setning (Almenn breytuskiptaformúla fyrir þreföld heildi.)

Setning

Látum

\[\displaystyle (u,v,w)\mapsto (x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w))\]

vera gagntæka vörpun milli rúmskika \(R\) í \(xyz\)-rúmi og rúmskika \(S\) í \(uvw\)-rúmi. Gerum ráð fyrir að föllin \(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)\) hafi öll samfelldar fyrsta stigs hlutafleiður. Ef \(f(x,y,z)\) er fall sem er heildanlegt yfir \(R\) þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} \int\!\!\!\int\!\!\!\int_R& f(x,y,z)\,dV \\&=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_S f(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)) \bigg|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\bigg|\,du\,dv\,dw.\end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

4.9.5. Skilgreining

Skilgreining

Látum \((x,y,z)\) vera punkt í \({\mathbb R}^3\). Sívalningshnit en: cylindrical coordinates
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \((x,y,z)\) eru þrennd talna \(r, \theta, z\) þannig að

\[\displaystyle x=r\cos\theta\qquad\qquad y=r\sin\theta\qquad\qquad z=z.\]

Athugasemd

Athugið að \([r,\theta]\) eru pólhnit punktsins \((x,y)\).

4.9.6. Setning (Breytuskipti yfir í sívalningshnit.)

Setning

Látum \(R\) vera rúmskika í \({\mathbb R}^3\) og látum \(f(x,y,z)\) vera heildanlegt fall yfir \(R\). Gerum ráð fyrir að \(R\) megi lýsa með eftirfarandi skorðum á sívalningshnit punktanna sem eru í \(R\)

\[\displaystyle \alpha\leq \theta\leq \beta,\ a(\theta)\leq r\leq b(\theta), u(r,\theta)\leq z\leq v(r,\theta),\]

þar sem \(0\leq \beta-\alpha\leq 2\pi\). Þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\int\!\!\!\int\!\!\!\int_R f(x,y,z)\,dV= \int_\alpha^\beta \!\int_{a(\theta)}^{b(\theta)}\int_{u(r,\theta)}^{v(r,\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)r\,dz\,dr\,d\theta.\end{aligned}\end{align} \]

4.10. Kúluhnit

4.10.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \((x,y,z)\) vera punkt í \({\mathbb R}^3\). Kúluhnit en: spherical coordinates
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \((x,y,z)\) eru þrennd talna \(\rho, \varphi, \theta\) þannig að

\[\displaystyle x=\rho\sin\varphi\cos\theta\qquad\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta\qquad\qquad z=\rho\cos\varphi.\]

Punktur sem hefur kúluhnit \(\rho, \varphi, \theta\) er táknaður með \([\rho, \varphi, \theta]\).

4.10.2. Umræða

Eftirfarandi jöfnur gefa aðferð til að finna kúluhnit en: spherical coordinates
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. :

• \(\rho\) er fjarlægðin frá \((0,0,0)\) til \((x,y,z)\), það er að segja

\[\displaystyle \rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\]

• \(\varphi\) er hornið á milli jákvæða hluta \(z\)-ássins og línustriksins frá \((0,0,0)\) til \((x,y,z)\). Hornið \(\varphi\) má ákvarða út frá jöfnunni

\[\displaystyle \tan\varphi=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}.\]

• \(\theta\) er hornið sem jákvæði hluti \(x\)-ásins myndar við línustrikið frá \((0,0,0)\) til \((x,y,0)\) (sama horn og notað í sívalningshnitum (og pólhnitum)). Hornið \(\theta\) má finna út frá jöfnunni

\[\displaystyle \tan\theta=\frac{y}{x}.\]

Um kúluhnit \([\rho, \varphi, \theta]\) fyrir punkt \((x,y,z)\) gildir að velja má \(\rho, \varphi, \theta\) þannig að \(0\leq \rho\), \(0\leq\varphi\leq \pi\) og \(0\leq\theta\leq 2\pi\).

4.11. Breytuskipti í kúluhnit

4.11.1. Setning

Setning

Látum \(R\) vera rúmskika þannig að þegar notuð eru kúluhnit en: spherical coordinates
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. þá fæst eftirfarandi lýsing

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\R=\{[\rho,\varphi,\theta]\mid \alpha\leq\theta\leq\beta, c\leq\varphi\leq d, a\leq \rho\leq b\}.\end{aligned}\end{align} \]

Ef \(f\) er fall sem er heildanlegt en: integrable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. yfir \(R\) þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} &\int\!\!\!\int\!\!\!\int_R f(x,y,z)\,dV=\\ &\int_\alpha^\beta\!\int_c^d\!\int_a^b f(\rho\sin\varphi\cos\theta, \rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi) \,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.\end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

4.12. Massamiðja

4.12.1. Regla

Látum \(D\) tákna svæði í plani. Hugsum \(D\) sem plötu þ.a. í punkti \((x,y)\) er efnisþéttleikinn gefinn með falli \(\delta(x,y)\). Massi plötunnar er

\[\displaystyle m=\int\!\!\!\int_D \delta(x,y)\,dA.\]

Vægi plötunnar um línuna \(x=0\) (þ.e. \(y\)-ás) og um línuna \(y=0\) (þ.e. \(x\)-ás) eru gefin með

\[\displaystyle M_{x=0}=\int\!\!\!\int_D x\delta(x,y)\,dA \quad \text{og} \quad M_{y=0}=\int\!\!\!\int_D y\delta(x,y)\,dA.\]

Hnit massamiðju plötunnar eru \((\overline{x}, \overline{y})\) þar sem

\[\displaystyle \overline{x}=\frac{M_{x=0}}{m} \quad \text{og}\quad \overline{y}=\frac{M_{y=0}}{m}.\]

4.12.2. Regla

Látum \(R\) tákna rúmskika en: body, geometric figure, object, solid
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. . Hugsum \(R\) sem hlut þannig að í punkti \((x,y,z)\) er efnisþéttleikinn gefinn með falli \(\delta(x,y,z)\). Massi hlutarins er

\[\displaystyle m=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_R \delta(x,y,z)\,dV.\]

Vægi hlutarins um planið \(x=0\) (þ.e. \(yz\)-planið) er

\[\displaystyle M_{x=0}=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_R x\delta(x,y,z)\,dV.\]

Svipað skilgreinum við

\[\displaystyle M_{y=0}=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_R y\delta(x,y,z)\,dV \quad \text{og}\quad M_{z=0}=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_R z\delta(x,y,z)\,dV.\]

Hnit massamiðju hlutarins eru \((\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})\) þar sem

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\overline{x}=\frac{M_{x=0}}{m} \qquad\mbox{og}\qquad \overline{y}=\frac{M_{y=0}}{m} \qquad\mbox{og}\qquad \overline{z}=\frac{M_{z=0}}{m}.\end{aligned}\end{align} \]

4.13. Hverfitregða

4.13.1. Regla

Látum \(R\) tákna rúmskika. Hugsum \(R\) sem hlut þannig að í punkti \((x,y,z)\) er efnisþéttleikinn gefinn með falli \(\delta(x,y,z)\). Látum \(L\) tákna línu (snúningsás) í rúminu. Hverfitregða hlutarins um \(L\) er

\[\displaystyle I=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_R D^2 \,\delta\,dV\]

þar sem \(\delta=\delta(x,y,z)\) og \(D=D(x,y,z)\) er fjarlægð punktsins \((x,y,z)\) frá \(L\).

4.14. Yfirborðsflatarmál

4.14.1. Regla

Látum \(D\) vera svæði í plani og \(f(x,y)\) diffranlegt fall skilgreint á \(D\). Flatarmál grafsins \(z=f(x,y)\) þar sem \((x,y)\in D\) er gefið með formúlunni

\[\displaystyle S=\int\!\!\!\int_D \sqrt{1+f_1(x,y)^2+f_2(x,y)^2}\,dA.\]