2. Hlutafleiður

“If you need help bark like a dog.“ - Gendry. „That’s stupid. If I need help I’ll shout help.“ - Arya”

- George R.R. Martin, A Clash of Kings

2.1. Graf falls

2.1.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f:{\mathbb R}^2\rightarrow {\mathbb R}\) vera fall. Graf fallsins er skilgreint sem mengið

\[\displaystyle \{(x,y,f(x,y))\mid (x,y)\in{\mathbb R}^2\}\subseteq {\mathbb R}^3.\]

Ef \(f:{\mathbb R}^3\rightarrow {\mathbb R}\) er fall, þá er graf fallsins skilgreint sem mengið

\[\displaystyle \{(x,y,z,f(x,y,z))\mid (x,y,z)\in{\mathbb R}^3\}\subseteq {\mathbb R}^4.\]

Graf fallsins \(f(x,y) = \sqrt{1-x^2-y^2}\), \(-0.5\leq x,y\leq 0.5\).

2.2. Jafnhæðarlínur

2.2.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f:{\mathbb R}^2\rightarrow {\mathbb R}\) vera fall. Ef \(c\) er fasti þá er mengið

\[\displaystyle \{(x,y)\mid f(x,y)=c\}\subseteq {\mathbb R}^2\]

kallað jafnhæðarlína en: contour line, depth contour, first principal line, height line, isobath, level curve
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. eða jafnhæðarferill en: contour line, depth contour, first principal line, height line, isobath, level curve
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fallsins \(f\) fyrir fastann \(c\).

Mynd 2.1 Nokkrar jafnhæðarlínur fallsins \(f(x,y) = \sqrt{1-x^2-y^2}\), \(-0.5\leq x,y\leq 0.5\).

Skilgreining

Látum \(f:{\mathbb R}^3\rightarrow {\mathbb R}\) vera fall. Ef \(c\) er fasti þá er mengið

\[\displaystyle \{(x,y,z)\mid f(x,y,z)=c\}\]

kallað jafnhæðarflötur en: contour surface, level surface
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fallsins \(f\) fyrir fastann \(c\).

2.3. Fjarlægð milli punkta

2.3.1. Skilgreining

Skilgreining

Fjarlægðin milli tveggja punkta \(\mbox{${\bf x}$}=(x_1,x_2, \ldots,x_n)\) og \(\mbox{${\bf y}$}=(y_1,y_2, \ldots,y_n)\) í \(\mbox{${\bf R}^n$}\) er skilgreind sem talan

\[\displaystyle |\mbox{${\bf x}$}-\mbox{${\bf y}$}|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}.\]

2.4. Opnar kúlur

2.4.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(P=(p_1,p_2,\ldots,p_n)\) vera punkt í \(\mbox{${\bf R}^n$}\). Skilgreinum opnu kúluna með miðju í \(P\) og geisla \(r\) sem mengið

\[\displaystyle B_r(P)=\{Q\in\mbox{${\bf R}^n$}\mid |Q-P|<r\}.\]

Í \({\mathbb R}^2\) er eðlilegra að tala um opna skífu eða opinn disk í stað opinnar kúlu og í \({\mathbb R}\) þá er talað um opin bil.

2.5. Opin mengi

2.5.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(U\) vera hlutmengi í \(\mbox{${\bf R}^n$}\).

Sagt er að \(U\) sé opið mengi en: open set, region
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef um sérhvern punkt \(P\) í \(U\) gildir að til er tala \(r>0\) þannig að \(B_r(P)\subseteq U\).

Mengið \(U\) er sagt lokað en: closed set
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef fyllimengið en: complement, complementary subset
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. er opið. (Fyllimengi \(U\) er skilgreint sem mengið \(\mbox{${\bf R}^n$}\setminus U=\{Q\in \mbox{${\bf R}^n$}\mid Q\mbox{$\;\not\in\;$}U\}\).)

2.6. Jaðarpunktur

2.6.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(U\) vera mengi í \(\mbox{${\bf R}^n$}\). Punktur \(P\) í \(\mbox{${\bf R}^n$}\) er sagður jaðarpunktur en: boundary point, frontier point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(U\) ef sérhver opin kúla \(B_r(P)\) með \(r>0\) inniheldur bæði punkt úr \(U\) og punkt úr \(\mbox{${\bf R}^n$}\setminus U\). (Athugið að bæði er mögulegt að jaðarpunktur \(U\) sé í \(U\) og að hann sé ekki í \(U\).)

2.7. Skilgreiningarmengi

2.7.1. Skilgreining

Skilgreining

Fyrir fall \(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) þá táknar \({\cal D}(f)\) skilgreiningarmengi en: argument domain, domain, domain carrier, index set, latent domain, range of arguments, set of definition, source
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fallsins \(f\). Ef fallið er gefið með formúlu og ekkert sagt um \({\cal D}(f)\) þá lítum við svo á að \({\cal D}(f)\) sé mengi allra punkta í \(\mbox{${\bf R}^n$}\) þannig að formúlan gefi vel skilgreinda tölu.

2.8. Markgildi

2.8.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) vera fall af \(n\) breytistærðum með skilgreiningarmengi \({\cal D}(f)\subseteq \mbox{${\bf R}^n$}\). Látum \(P=(p_1,p_2,\ldots,p_n)\) vera punkt í \(\mbox{${\bf R}^n$}\) þannig að sérhver opin kúla um \(P\) inniheldur meira en einn punkt úr \({\cal D}(f)\).

Segjum að \(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) stefni á en: converge to
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. tölu \(L\) þegar \((x_1,x_2,\ldots,x_n)\) stefnir á \((p_1,p_2,\ldots,p_n)\) ef eftirfarandi gildir:

Fyrir sérhverja tölu \(\epsilon>0\) er til tala \(\delta>0\) þannig að ef \((x_1,x_2,\ldots,x_n)\in{\cal D}(f)\) og

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\0<|(x_1,x_2,\ldots,x_n)-(p_1,p_2,\ldots,p_n)|<\delta\end{aligned}\end{align} \]

þá er

\[\displaystyle |f(x_1,x_2,\ldots,x_n)-L|<\epsilon.\]

2.8.2. Ritháttur

Ef \(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) stefnir á tölu \(L\) þegar \((x_1,x_2,\ldots,x_n)\) stefnir á \((p_1,p_2,\ldots,p_n)\) þá er ritað

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\lim_{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\rightarrow (p_1,p_2,\ldots,p_n)} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=L.\end{aligned}\end{align} \]

og \(L\) kallast markgildi en: limit
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fallsins \(f\) í punktinum \((x_1,x_2,\ldots,x_n)\).

Ef við skrifum \(\mathbf x = (x_1,x_2,\ldots,x_n)\) og \(\mathbf p = (p_1,p_2,\ldots,p_n)\) þá getum við skrifað þetta svona

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\lim_{\mathbf x \to \mathbf p} f(\mathbf x) = L.\end{aligned}\end{align} \]

2.8.3. Skilgreining (Skilgreining 2.8.1 sett fram fyrir föll af tveimur breytum.)

Skilgreining

Látum \(f(x,y)\) vera fall skilgreint á mengi \({\cal D}(f)\subseteq {\mathbb R}^2\). Látum \((a,b)\) vera punkt í \({\mathbb R}^2\) þannig að sérhver opin skífa um \((a,b)\) inniheldur meira en einn punkt úr \({\cal D}(f)\).

Segjum að \(f(x,y)\) stefni á tölu \(L\) þegar \((x,y)\) stefnir á \((a,b)\) ef eftirfarandi gildir:

Fyrir sérhverja tölu \(\epsilon>0\) er til tala \(\delta>0\) þannig að ef \((x,y)\in{\cal D}(f)\) og

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\delta > |(x,y)-(a,b)| = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} > 0\end{aligned}\end{align} \]

þá er

\[\displaystyle |f(x,y)-L|<\epsilon.\]

2.9. Reglur um markgildi

2.9.1. Setning

Setning

Látum \(f\) og \(g\) vera föll af tveimur breytum. Gerum ráð fyrir að

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)=L\quad\mbox{og}\quad \lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}g(x,y)=M,\end{aligned}\end{align} \]

og að sérhver grennd en: neighbourhood
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. um \((a,b)\) innihaldi fleiri en einn punkt þar sem bæði föllin \(f\) og \(g\) eru skilgreind. Þá gildir

(a) \(\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}(f(x,y)\pm g(x,y))=L\pm M\).

(b) \(\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y) g(x,y)=LM\).

(c) \(\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}= \frac{L}{M}\), svo framarlega sem \(M\neq 0\).

(d) \(\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}F(f(x,y))=F(L)\) ef \(F\) er fall af einni breytistærð sem er samfellt í punktinum \(L\).

2.10. Samfelldni

2.10.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall af \(n\) breytistærðum skilgreint á mengi \({\cal D}(f)\) í \(\mbox{${\bf R}^n$}\). Fallið \(f\) er sagt samfellt í punkti \((p_1,p_2,\ldots,p_n)\) í \({\cal D}(f)\) ef

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\lim_{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\rightarrow (p_1,p_2,\ldots,p_n)} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=f(p_1,p_2,\ldots,p_n).\end{aligned}\end{align} \]

Sagt er að fallið sé samfellt Ekki fannst þýðing á hugtakinu: samfellt ef það er samfellt í öllum punktum skilgreiningarmengis síns.

2.11. Hlutafleiður

2.11.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f(x,y)\) vera fall af tveimur breytum \(x\) og \(y\) sem er skilgreint á opinni skífu með miðju í punktinum \((a,b)\).

Skilgreinum hlutafleiðu Ekki fannst þýðing á hugtakinu: hlutafleiða m.t.t. \(x\) í \((a,b)\) með

\[\displaystyle f_1(a,b)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}\]

og hlutafleiðu Ekki fannst þýðing á hugtakinu: hlutafleiða m.t.t. \(y\) í \((a,b)\) með

\[\displaystyle f_2(a,b)=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}\]

ef markgildin eru til.

Hlutafleiða m.t.t. \(x\) fyrir \(y=1\).

Hlutafleiða m.t.t. \(y\) fyrir \(x=1\).

2.11.2. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f(x,y,z)\) vera fall af þremur breytum \(x\), \(y\) og \(z\) sem er skilgreint á opinni kúlu með miðju í punktinum \((a, b,c)\).

Skilgreinum hlutafleiðu m.t.t. \(x\) í \((a,b,c)\) með

\[\displaystyle f_1(a,b,c)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h,b,c)-f(a,b,c)}{h},\]

hlutafleiðu m.t.t. \(y\) í \((a,b,c)\) með

\[\displaystyle f_2(a,b,c)=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f(a,b+k,c)-f(a,b,c)}{k}\]

og hlutafleiðu m.t.t. \(z\) í \((a,b,c)\) með

\[\displaystyle f_3(a,b,c)=\lim_{\ell\rightarrow 0}\frac{f(a,b,c+\ell)-f(a,b,c)}{\ell}\]

ef markgildin eru til.

2.11.3. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall af \(n\) breytum \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) sem er skilgreint á opinni kúlu um punktinn \(\mathbf{a}=(a_1, a_2, \ldots, a_n).\)

Hlutafleiða \(f\) með tilliti til breytunnar \(x_k\) í punktinum \(\mathbf{a}\) er skilgreind sem markgildið

\[\displaystyle f_k(\mathbf{a})=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(\mathbf{a}+h\mbox{${\bf e}$}_k)-f(\mathbf{a})}{h}\]

ef markgildið er til. (Hér stendur \(\mbox{${\bf e}$}_k\) fyrir vigurinn sem er með 0 í öllum hnitum nema því \(k\)-ta þar sem er 1.)

2.11.4. Ritháttur

Ritum \(z=f(x,y)\). Ýmis konar ritháttur er fyrir hlutafleiður, m.a.

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} f_1(x,y)&=\frac{\partial z}{\partial x}= \frac{\partial }{\partial x}f(x,y) =D_1f(x,y)=f_x(x,y)=D_xf(x,y)=\partial_xf(x,y) \\ f_2(x,y)&=\frac{\partial z}{\partial y}= \frac{\partial }{\partial y}f(x,y) =D_2f(x,y)=f_y(x,y)=D_yf(x,y)=\partial_yf(x,y). \end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Þegar við viljum tákna gildið á hlutafleiðu \(f\) í ákveðnum punkti \((x,y)=(a,b)\) þá eru líka ýmsir möguleikar, til dæmis

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(a,b)}&= \left(\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)\right)\bigg|_{(a,b)} =f_1(a,b)=D_1f(a,b) \\ \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(a,b)}&= \left(\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)\right)\bigg|_{(a,b)} =f_2(a,b)=D_2f(a,b). \end {aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Aðvörun

Strangt til tekið merkir rithátturinn \(\frac{\partial}{\partial x} f(a,b)\) að við stingum fyrst inn tölunum \(a\) og \(b\) og diffrum síðan með tilliti til \(x\). En þar sem \(f(a,b)\) er óháð \(x\) er útkoman 0.

2.12. Snertiplan

Látum \(f(x,y)\) vera fall af tveimur breytistærðum þannig að hlutafleiðurnar \(f_1(a,b)\) og \(f_2(a,b)\) séu skilgreindar.

Í punktinum \((a,b,f(a,b))\) er

\(\mbox{${\bf T}$}_1 = \mbox{${\bf i}$}+ f_1(a,b)\mbox{${\bf k}$}\qquad\) snertivigur en: tangent vector
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. við ferilinn \(f(x,b) = z\) og

\(\mbox{${\bf T}$}_2 = \mbox{${\bf j}$}+ f_2(a,b)\mbox{${\bf k}$}\qquad\) snertivigur en: tangent vector
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. við ferilinn \(f(a,y) = z\).

Táknum með \(S\) planið sem hefur stikunina

\[\displaystyle (a,b,f(a,b))+s\mbox{${\bf T}$}_1+t\mbox{${\bf T}$}_2, \quad -\infty < s,t < \infty.\]

Vigurinn

\[\displaystyle \mbox{${\bf n}$}=\mbox{${\bf T}$}_2\times \mbox{${\bf T}$}_1=f_1(a,b)\mbox{${\bf i}$}+f_2(a,b)\mbox{${\bf j}$}-\mbox{${\bf k}$}\]

er þvervigur á \(S\) og jafna plansins \(S\) er

\[\displaystyle z=f(a,b)+f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b).\]

Þverlína en: normal, normal line, perpendicular
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. á \(S\) hefur stikun

\[\displaystyle (a,b,f(a,b)) + u \mbox{${\bf n}$}, \quad -\infty < u < \infty.\]

Ef \(f(x,y)\) er ’nógu nálægt’ (skilgreint nánar síðar) planinu \(S\) þegar \((x,y)\) er nálægt punktinum \((a,b)\) þá kallast \(S\) snertiplan en: tangent plane
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. við grafið \(z=f(x,y)\) í punktinum \((a,b,f(a,b))\).

2.13. Hlutafleiður af hærra stigi

2.13.1. Skilgreining

Skilgreining

Ritum \(z=f(x,y)\). Annars stigs hlutafleiður \(f\) eru skilgreindar með formúlunum

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial x} =f_{11}(x,y)=f_{xx}(x,y),\end{aligned}\end{align} \]

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial z}{\partial y} =f_{22}(x,y)=f_{yy}(x,y),\end{aligned}\end{align} \]

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}= \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y} =f_{21}(x,y)=f_{yx}(x,y),\end{aligned}\end{align} \]

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}= \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial z}{\partial x} =f_{12}(x,y)=f_{xy}(x,y).\end{aligned}\end{align} \]

Hlutafleiðurnar \(f_{11}(x,y)\) og \(f_{22}(x,y)\) kallast hreinar hlutafleiður og \(f_{12}(x,y)\) og \(f_{21}(x,y)\) kallast blandaðar hlutafleiður.

2.13.2. Setning

Setning

Látum \(f(x,y)\) vera fall sem er skilgreint á opinni skífu \(D\) með miðju í \(P=(a,b)\) . Gerum ráð fyrir að hlutafleiðurnar \(f_1(x,y)\), \(f_2(x,y)\), \(f_{12}(x,y)\) og \(f_{21}(x,y)\) séu allar skilgreindar á \(D\) og að þær séu allar samfelldar á \(D\). Þá gildir að

\[\displaystyle f_{12}(a,b)=f_{21}(a,b).\]

2.13.3. Hugmynd að skilgreiningu

Skilgreiningu 5.6 má útvíkka á augljósan hátt til að skilgreina 2. stigs hlutafleiður fyrir föll af fleiri en tveimur breytum. Einnig er augljóst hvernig má skilgreina hlutafleiður af hærri stigum en 2, til dæmis ef \(w=f(x,y,z)\) þá

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\frac{\partial^3 w}{\partial x\partial y^2} \quad\quad\mbox{(diffra fyrst tvisvar m.t.t. }y\mbox{, svo einu sinni m.t.t. } x\mbox{)}\end{aligned}\end{align} \]

og

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\frac{\partial^3 w}{\partial y\partial z\partial y} \quad\quad\mbox{(diffra fyrst m.t.t. } y\mbox{, svo m.t.t. } z \mbox{ og að lokum m.t.t. }y\mbox{)}.\end{aligned}\end{align} \]

2.13.4. Setning (Almenn útgáfa af Setningu 2.13.2)

Setning

Látum \(f\) vera fall \(n\) breytistærðum sem er skilgreint á opinni kúlu með miðju í \(P=(x_1, x_2,\ldots, x_n)\).

Skoðum tvær hlutafleiður \(f\) í punktum \(P\) þar sem er diffrað með tilliti til sömu breytistærða og jafn oft með tilliti til hverrar breytistærðar. Ef þessar hlutafleiður eru samfelldar í punktinum \(P\) og allar hlutafleiður af lægra stigi eru skilgreindar á \(D\) og samfelldar á \(D\) þá eru hlutafleiðurnar sem við erum að skoða jafnar í \(P\).

2.13.5. Dæmi:

Dæmi

Ef \(w = f(x,y,z)\) er fall af þremur breytistærðum þá er t.d.

\[\displaystyle \frac{\partial^4 w}{\partial x^2\partial y \partial z} = \frac{\partial^4 w}{\partial x \partial y \partial x \partial z}\]

ef skilyrðin í setningunni eru uppfyllt.

2.14. Keðjuregla

2.14.1. Setning (Keðjureglan í einni breytistærð.)

Setning

Við munum nú skoða nokkrar útgáfur af keðjureglu en: chain rule
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. fyrir föll af mörgum breytistærðum. Gerum ráð fyrir að fallið \(f(u)\) sé diffranlegt í punktinum \(u=g(x)\) og að fallið \(g(x)\) sé diffranlegt í punktinum \(x\). Þá er fallið \((f\circ g)(x)=f(g(x))\) diffranlegt í \(x\) og

\[\displaystyle (f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).\]

2.14.2. Setning

Setning

Látum \(f(x,y)\) vera fall þar sem \(x=x(t)\) og \(y=y(t)\) eru föll af breytu \(t\). Gerum ráð fyrir að á opinni skífu um punktinum \((x(t),y(t))\) séu báðar fyrsta stigs hlutafleiður \(f\) skilgreindar og samfelldar. Gerum enn fremur ráð fyrir að föllin \(x(t)\) og \(y(t)\) séu bæði diffranleg í punktinum \(t\). Þá er fallið

\[\displaystyle g(t)=f(x(t),y(t))\]

diffranlegt í \(t\) og

\[\displaystyle g'(t)=f_1(x(t),y(t))x'(t)+f_2(x(t),y(t))y'(t).\]

2.14.3. Ritháttur

Ritum \(z=f(x,y)\) þar sem \(x=x(t)\) og \(y=y(t)\) eru föll af breytu \(t\). Þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}.\end{aligned}\end{align} \]

2.14.4. Setning

Setning

Látum \(f(x,y)\) vera fall af breytistærðum \(x\) og \(y\) sem aftur eru föll af breytum \(s\) og \(t\), það er að segja \(x=x(s,t)\) og \(y=y(s,t)\). Ritum svo

\[\displaystyle g(s,t)=f(x(s,t),y(s,t)).\]

Þá gildir (að gefnum sambærilegum skilyrðum og í 2.14.2) að

\[\displaystyle g_1(s,t)=f_1(x(s,t),y(s,t))x_1(s,t)+f_2(x(s,t),y(s,t))y_1(s,t),\]

og

\[\displaystyle g_2(s,t)=f_1(x(s,t),y(s,t))x_2(s,t)+f_2(x(s,t),y(s,t))y_2(s,t).\]

2.14.5. Ritháttur

Ritum \(z=f(x,y)\) þar sem \(x=x(s,t)\) og \(y=y(s,t)\) eru föll af breytum \(s\) og \(t\). Þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\frac{\partial z}{\partial s}= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}, \quad \text{og}\quad \frac{\partial z}{\partial t}= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.\end{aligned}\end{align} \]

2.14.6. Ritháttur

Ritum \(z=f(x,y)\) þar sem \(x=x(s,t)\) og \(y=y(s,t)\) eru föll af breytum \(s\) og \(t\). Þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{bmatrix}\frac{\partial z}{\partial s} & \frac{\partial z}{\partial t}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t}\\ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{bmatrix}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

2.14.7. Setning

Setning

Látum \(u\) vera fall af \(n\) breytum \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) þannig að hvert \(x_i\) má rita sem fall af \(m\) breytum \(t_1, t_2, \ldots, t_m\). Gerum ráð fyrir að allar hlutafleiðurnar \(\frac{\partial u}{\partial x_i}\) og \(\frac{\partial x_i}{\partial t_j}\) séu til og samfelldar. Þegar \(u\) er skoðað sem fall af breytunum \(t_1, t_2, \ldots, t_m\) fæst að

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\frac{\partial u}{\partial t_j}= \frac{\partial u}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial t_j} +\frac{\partial u}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial t_j} +\cdots+ \frac{\partial u}{\partial x_n}\frac{\partial x_n}{\partial t_j}.\end{aligned}\end{align} \]

2.14.8. Dæmi

Dæmi

Látum \(T\) vera fall af \(x\), \(y\) og \(t\), og látum enn fremur \(x\) og \(y\) vera föll af \(t\). Finnum \(\frac{ dT}{dt}\).

Lausn

Sjáum á myndinni að:

\[\displaystyle \frac{d T}{d t} = \frac{\partial T}{\partial x} \frac{d x}{d t} +\frac{\partial T}{\partial y} \frac{d y}{d t} + \frac{\partial T}{\partial t} .\]

2.14.9. Dæmi

Dæmi

Látum \(T\) vera fall af \(x\), \(y\) og \(s\) og látum enn fremur \(t\), \(x\) og \(y\) vera föll af \(s\) og \(t\). Finnum \(\frac{ \partial T}{\partial t}\).

Lausn

Sjáum á myndinni að:

\[\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial T}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial T}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} + \left(\frac{\partial T}{\partial t}\right)_{x,y,s} .\]

2.14.10. Dæmi

Dæmi

Látum \(z\) vera fall af \(u\), \(v\) og \(r\). Látum \(u\) og \(v\) vera föll af \(x\), \(y\) og \(r\). Látum \(r\) vera fall af \(x\) og \(y\). Finnum \(\frac{\partial z}{\partial x}\).

Lausn

Sjáum á myndinni að:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x}.\end{aligned}\end{align} \]

2.15. Diffranleiki í einni breytistærð

2.15.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall af einni breytistærð og gerum ráð fyrir að \(f\) sé skilgreint á opnu bili sem inniheldur punktinn \(a\). Fallið \(f\) er sagt vera diffranlegt en: differentiable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í punkti \(a\) ef markgildið

\[\displaystyle f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

er til.

2.16. Diffranleiki í einni breytistærð - önnur lýsing

2.16.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall af einni breytistærð og gerum ráð fyrir að \(f\) sé skilgreint á opnu bili sem inniheldur punktinn \(a\). Fallið \(f\) er sagt vera diffranlegt en: differentiable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í punkti \(a\) ef til er tala \(m\) þannig að ef \(L(x)=f(a)+m(x-a)\) þá er

\[\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-L(a+h)}{h}=0.\]

(Talan \(m\) verður að vera jöfn \(f'(a)\).)

Fallið \(f\) er ’nálægt’ línunni \(L\) nálægt punktinum \(a\).

2.17. Diffranleiki

2.17.1. Skilgreining

Skilgreining

Fall \(f(x,y)\) sem er skilgreint á opinni skífu umhverfis \((a,b)\) er sagt vera diffranlegt en: differentiable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í punktinum \((a,b)\) ef báðar fyrsta stigs hlutafleiður \(f\) eru skilgreindar í \((a,b)\) og ef

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} \frac{f(a+h, b+k)-S(a+h,b+k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\end{aligned}\end{align} \]

þar sem \(S(x,y) = f(a,b) + f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)\).

Fallið \(f\) er ’nálægt’ sléttunni \(S\) nálægt punktinum \((a,b)\).

2.18. Snertiplan

Ef \(f\) er diffranlegt í \((a,b)\) þá kallast planið \(S\) snertiplan en: tangent plane
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. við graf fallsins.

Mynd 2.2 \(S(x,y) = f(a,b) + f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)\).

2.19. Diffranleiki

2.19.1. Setning (Meðalgildissetningin)

Setning

Gerum ráð fyrir að fallið \(f\) sé samfellt á lokaða bilinu \([a,b]\) og diffranlegt á opna bilinu \((a,b)\). Þá er til punktur \(c\) á opna bilinu \((a,b)\) þannig að

\[\displaystyle f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).\]

2.19.2. Setning

Setning

Látum \(f(x,y)\) vera fall sem er skilgreint á opinni skífu \(\cal D\) með miðju í \((a,b)\) þannig að á þessari skífu eru báðar fyrsta stigs hlutafleiður \(f\) skilgreindar og samfelldar. Gerum ráð fyrir að \(h\) og \(k\) séu tölur þannig að \((x+h, y+k)\in{\cal D}\). Þá eru til tölur \(\theta_1\) og \(\theta_2\) á milli 0 og 1 þannig að

\[\displaystyle f(a+h,b+k)-f(a,b)=hf_1(a+\theta_1h,b+k)+kf_2(a,b+\theta_2k).\]

2.19.3. Setning

Setning

Látum \(f(x,y)\) vera fall sem er skilgreint á opinni skífu \(\cal D\) með miðju í \((a,b)\) þannig að á þessari skífu eru báðar fyrsta stigs hlutafleiður \(f\) skilgreindar og samfelldar. Þá er fallið \(f\) diffranlegt í \((a,b)\).

2.19.4. Setning

Setning

Gerum ráð fyrir að \(f(x,y)\) sé fall sem er diffranlegt í punktinum \((a,b)\). Þá er \(f\) samfellt í \((a,b)\).

2.19.5. Keðjuregla

Setning

Ritum \(z=f(x,y)\) þar sem \(x=x(s,t)\) og \(y=y(s,t)\). Gerum ráð fyrir að

1. \(x(a,b)=p\) og \(y(a,b)=q\);

2. fyrsta stigs hlutafleiður \(x(s,t)\) og \(y(s,t)\) eru skilgreindar í punktinum \((a,b)\);

3. fallið \(f\) er diffranlegt í punktinum \((p,q)\).

Þá eru fyrsta stigs hlutafleiður \(z\) með tilliti til breytanna \(s\) og \(t\) skilgreindar í punktinum \((a,b)\) og um þær gildir að

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\frac{\partial z}{\partial s}= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}\end{aligned}\end{align} \]

og

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\frac{\partial z}{\partial t}= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.\end{aligned}\end{align} \]

2.20. Diffur

2.20.1. Skilgreining

Skilgreining

Ritum \(z=f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\). Diffrið en: differential
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. af \(z\) er skilgreint sem

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\dz=df=\frac{\partial z}{\partial x_1}dx_1 +\frac{\partial z}{\partial x_2}dx_2 +\cdots+\frac{\partial z}{\partial x_n}dx_n.\end{aligned}\end{align} \]

Diffrið er nálgun á

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\Delta f=f(x_1+dx_1, x_2+dx_2,\ldots, x_n+dx_n)-f(x_1,x_2,\ldots,x_n).\end{aligned}\end{align} \]

2.21. Varpanir \(\mbox{${\bf R}^n$}\rightarrow\mbox{${\bf R}^m$}\)

2.21.1. Táknmál

Látum \(\mbox{${\bf f}$}:\mbox{${\bf R}^n$}\rightarrow\mbox{${\bf R}^m$}\) tákna vörpun. Ritum \(\mbox{${\bf f}$}=(f_1,\ldots,f_m)\) þar sem hvert \(f_i\) er fall \(\mbox{${\bf R}^n$}\rightarrow{\mathbb R}\). Fyrir punkt í \(\mbox{${\bf R}^n$}\) ritum við \(\mbox{${\bf x}$}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\). Síðan ritum við \(\mbox{${\bf y}$}=\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf x}$})\) þar sem \(\mbox{${\bf y}$}=(y_1,y_2,\ldots,y_m)\) og \(\mathbf f(\mathbf x) = (f_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots,f_m(x_1,\ldots,x_n))\).

2.22. Jacobi-fylki

2.22.1. Skilgreining

Skilgreining

Notum táknmálið úr 2.22.1. Ef allar hlutafleiðurnar \(\partial y_i/\partial x_j\) eru skilgreindar í punktinum \(\mbox{${\bf x}$}\) þá skilgreinum við Jacobi-fylki \(f\) í punktinum \(\mbox{${\bf x}$}\) sem \(m\times n\) fylkið

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}D\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf x}$})=\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\frac{\partial y_1}{\partial x_2}& \cdots&\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1}&\frac{\partial y_2}{\partial x_2}& \cdots&\frac{\partial y_2}{\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1}&\frac{\partial y_m}{\partial x_2}& \cdots&\frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

2.23. Diffranleiki varpana \(\mbox{${\bf R}^n$}\rightarrow\mbox{${\bf R}^m$}\)

2.23.1. Skilgreining

Skilgreining

Notum táknmálið úr 2.22.1 og 2.23.1. Látum \(\mbox{${\bf a}$}=(a_1, a_2, \ldots, a_n)\) vera fastan punkt í \(\mbox{${\bf R}^n$}\) og ritum \(\mbox{${\bf h}$}=(h_1,h_2,\ldots,h_n)\). Vörpunin \(\mbox{${\bf f}$}\) er sögð diffranleg í punktinum \(\mbox{${\bf a}$}\) ef

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\lim_{\mbox{${\bf h}$}\rightarrow \mbox{${\bf 0}$}}\frac{|\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf a}$}+\mbox{${\bf h}$})-\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf a}$})-D\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf a}$})\mbox{${\bf h}$}|}{|\mbox{${\bf h}$}|}=0.\end{aligned}\end{align} \]

Vörpunin \(f\) er ’nálægt’ línulegu vörpuninni \(D\mbox{${\bf f}$}\) nálægt punktinum \(\mbox{${\bf a}$}\).

Línulega vörpunin \(D\mbox{${\bf f}$}\) kallast afleiða \(\mbox{${\bf f}$}\).

2.24. Keðjuregla

2.24.1. Setning

Setning

Látum \(\mbox{${\bf f}$}:\mbox{${\bf R}^n$}\rightarrow \mbox{${\bf R}^m$}\) og \(\mbox{${\bf g}$}:\mbox{${\bf R}^m$}\rightarrow \mbox{${\bf R}^k$}\) vera varpanir. Gerum ráð fyrir að vörpunin \(\mbox{${\bf f}$}\) sé diffranleg í punkti \(\mbox{${\bf x}$}\) og vörpunin \(\mbox{${\bf g}$}\) sé diffranleg í punktinum \(\mbox{${\bf y}$}=\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf x}$})\). Þá er samskeytta vörpunin \(\mbox{${\bf g}$}\circ\mbox{${\bf f}$}:\mbox{${\bf R}^n$}\rightarrow\mbox{${\bf R}^k$}\) diffranleg í \(\mbox{${\bf x}$}\) og

\[\displaystyle D(\mbox{${\bf g}$}\circ\mbox{${\bf f}$})(\mbox{${\bf x}$})=D\mbox{${\bf g}$}(\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf x}$}))D\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf x}$}).\]

2.25. Stigull

2.25.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f(x,y)\) vera fall og \((x,y)\) punkt þar sem báðar fyrsta stigs hlutafleiður \(f\) eru skilgreindar. Skilgreinum stigul en: gradient
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(f\) í punktinum \((x,y)\) sem vigurinn

\[\displaystyle \nabla f(x,y)=f_1(x,y)\mbox{${\bf i}$}+f_2(x,y)\mbox{${\bf j}$}.\]

Stigull en: gradient
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(f\) er stundum táknaður með grad\(\,f\).

2.25.2. Ritháttur

Oft hentugt að rita

\[\displaystyle \nabla=\mbox{${\bf i}$}\frac{\partial}{\partial x}+ \mbox{${\bf j}$}\frac{\partial}{\partial y}.\]

Þá er litið svo á að \(\nabla\) sé diffurvirki en: differential operator
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. , þ.e.a.s. \(\nabla\) gefur fyrirmæli um hvað á að gera við \(f\) til að fá \(\nabla f(x,y)\).

2.25.3. Dæmi

Mynd 2.3 Graf \(z=1-x^2-y^2\)

Mynd 2.4 Jafnhæðarlínur \(z=1-x^2-y^2\). Stigull og snertilína við jafnhæðarlínuna \(z=0.5\) í \((x,y) = (0.5,0.5)\).

2.25.4. Setning

Setning

Gerum ráð fyrir að fallið \(f(x,y)\) sé diffranlegt í punktinum \((a,b)\) og að \(\nabla f(a,b) \neq \mathbf{0}\). Þá er vigurinn \(\nabla f(a,b)\) hornréttur á þá jafnhæðarlínu \(f\) sem liggur í gegnum punktinn \((a,b)\).

2.26. Snertilína við jafnhæðarferil

2.26.1. Setning

Setning

Gerum ráð fyrir að fallið \(f(x,y)\) sé diffranlegt í punktinum \((a,b)\) og að \(\nabla f(a,b) \neq \mathbf{0}\). Jafna snertilínu en: tangent, tangent line
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. við jafnhæðarferil en: contour line, depth contour, first principal line, height line, isobath, level curve
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(f\) í punktinum \((a,b)\) er gefin með formúlunni

\[\displaystyle \nabla f(a,b)\cdot (x,y)=\nabla f(a,b)\cdot (a,b),\]

eða

\[\displaystyle f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)=0.\]

2.27. Stefnuafleiða

2.27.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(\mbox{${\bf u}$}=u\mbox{${\bf i}$}+v\mbox{${\bf j}$}\) vera einingarvigur. Stefnuafleiða Ekki fannst þýðing á hugtakinu: stefnuafleiða \(f\) í punktinum \((a,b)\) í stefnu \(\mbox{${\bf u}$}\) er skilgreind sem

\[\displaystyle D_{\mbox{${\bf u}$}}f(a,b)=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(a+hu, b+hv)-f(a,b)}{h}\]

ef markgildið er skilgreint.

Aðvörun

Í skilgreiningunni á stefnuafleiðu er tekið einhliða markgildi. Berið það saman við skilgreiningu á hlutafleiðu þar sem markgildið er tvíhliða.

2.27.2. Setning

Setning

Gerum ráð fyrir að fallið \(f\) sé diffranlegt í \((a,b)\) og \(\mbox{${\bf u}$}=u\mbox{${\bf i}$}+v\mbox{${\bf j}$}\) sé einingarvigur. Þá er stefnuafleiðan í punktinum \((a,b)\) í stefnu \(\mbox{${\bf u}$}\) skilgreind og gefin með formúlunni

\[\displaystyle D_{\mbox{${\bf u}$}}f(a,b)=\mbox{${\bf u}$}\cdot \nabla f(a,b).\]

2.27.3. Setning

Setning

Látum \(f\) vera gefið fall og gerum ráð fyrir að \(f\) sé diffranlegt í punktinum \((a,b)\).

(a) Hæsta gildið á stefnuafleiðunni \(D_{\mbox{${\bf u}$}}f(a,b)\) fæst þegar \(\mbox{${\bf u}$}\) er einingarvigur í stefnu \(\nabla f(a,b)\), þ.e.a.s. \(\mbox{${\bf u}$}=\frac{\nabla f(a,b)}{|\nabla f(a,b)|}\).

(b) Lægsta gildið á stefnuafleiðunni \(D_{\mbox{${\bf u}$}}f(a,b)\) fæst þegar \(\mbox{${\bf u}$}\) er einingarvigur í stefnu \(-\nabla f(a,b)\), þ.e.a.s. \(\mbox{${\bf u}$}=-\frac{\nabla f(a,b)}{|\nabla f(a,b)|}\).

(c) Ef \(\cal C\) er sú hæðarlína \(f\) sem liggur í gegnum \((a,b)\) og \(\mbox{${\bf u}$}\) er einingarsnertivigur við \(\cal C\) í punktinum \((a,b)\) þá er \(D_{\mbox{${\bf u}$}}f(a,b)=0\).

2.27.4. Setning

Setning

Látum \(f\) vera gefið fall og gerum ráð fyrir að \(f\) sé diffranlegt í punktinum \((a,b)\).

(a) Í punktinum \((a,b)\) þá vex \(f\) hraðast ef haldið er í stefnu \(\nabla f(a,b)\).

(b) Í punktinum \((a,b)\) þá minnkar \(f\) hraðast ef haldið er í stefnu \(-\nabla f(a,b)\).

(c) Ef \(\cal C\) er sú hæðarlína \(f\) sem liggur í gegnum \((a,b)\) og \(\mbox{${\bf u}$}\) er einingarsnertivigur við \(\cal C\) í punktinum \((a,b)\) þá er er vaxtarhraði \(f\) í stefnu \(\mbox{${\bf u}$}\) jafn 0.

2.28. Stigull (aftur)

2.28.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall af þremur breytistærðum, þannig að allar þrjár fyrsta stigs hlutafleiður \(f\) í punktinum \((x,y,z)\) séu skilgreindar. Stigull en: gradient
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(f\) í punktinum \((x,y,z)\) er skilgreindur sem vigurinn

\[\displaystyle \nabla f(x,y,z)=f_1(x,y,z)\mbox{${\bf i}$}+f_2(x,y,z)\mbox{${\bf j}$}+f_3(x,y,z)\mbox{${\bf k}$}.\]

2.29. Snertiplan við jafnhæðarflöt

2.29.1. Setning

Setning

Látum \(f\) vera fall af þremur breytistærðum þannig að fallið \(f\) er diffranlegt í punktinum \((a,b,c)\). Látum \(\cal F\) tákna þann jafnhæðarflöt en: contour surface, level surface
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(f\) sem liggur um \((a,b,c)\). Stigullinn \(\nabla f(a,b,c)\) er hornréttur á flötinn \(\cal F\) í punktinum \((a,b,c)\) og snertiplan en: tangent plane
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. (ef \(\nabla f(a,b,c)\neq\mbox{${\bf 0}$}\)) við jafnhæðarflötinn í punktinum \((a,b,c)\) er gefið með jöfnunni

\[\displaystyle \nabla f(a,b,c)\cdot(x,y,z)=\nabla f(a,b,c)\cdot(a,b,c)\]

eða með umritun

\[\displaystyle f_1(a,b,c)(x-a)+f_2(a,b,c)(y-b)+f_3(a,b,c)(z-c)=0.\]

2.30. Fólgin föll og Taylor-nálganir

2.30.1. Upprifjun

Skoðum feril sem gefinn er með jöfnu \(F(x,y)=0\) og gerum ráð fyrir að báðar fyrsta stigs hlutafleiður \(F\) séu samfelldar. Látum \((x_0,y_0)\) vera punkt á ferlinum. Ef \(F_2(x_0,y_0)\neq 0\) þá má skoða \(y\) sem fall af \(x\) í grennd við punktinn \((x_0,y_0)\) og fallið \(y=y(x)\) er diffranlegt í punktinum \(x_0\) og afleiðan er gefin með formúlunni

\[\displaystyle y'(x_0)=-\frac{F_1(x_0,y_0)}{F_2(x_0,y_0)}.\]

Sagt að jafnan \(F(x,y)=0\) skilgreini \(y\) sem fólgið fall en: implicit function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. af \(x\) í grennd við \((x_0,y_0)\).

2.30.2. Setning

Setning

Látum \(F\) vera fall af \(n\)-breytum \(x_1, \ldots, x_n\) og gerum ráð fyrir að allar fyrsta stigs hlutafleiður \(F\) séu samfelldar. Látum \((a_1,\ldots,a_n)\) vera punkt þannig að \(F(a_1,\ldots,a_n)=0\). Ef \(F_n(a_1,\ldots,a_n)\neq 0\) þá er til samfellt diffranlegt fall \(\varphi(x_1, \ldots, x_{n-1})\) skilgreint á opinni kúlu \(B\) utan um \((a_1,\ldots,a_{n-1})\) þannig að

\[\displaystyle \varphi(a_1,\ldots,a_{n-1})=a_n\]

og

\[\displaystyle F(x_1,\ldots, x_{n-1}, \varphi(x_1, \ldots, x_{n-1}))=0\]

fyrir alla punkta \((x_1, \ldots, x_{n-1})\) í \(B\).

Ennfremur gildir að

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\varphi_i(a_1,\ldots,a_{n-1}) =-\frac{F_i(a_1,\ldots,a_n)}{F_n(a_1,\ldots,a_n)}.\end{aligned}\end{align} \]

2.30.3. Skilgreining

Skilgreining

Jacobi-ákveða Ekki fannst þýðing á hugtakinu: Jacobi-ákveða tveggja falla \(u=u(x,y)\) og \(v=v(x,y)\) með tilliti til breytanna \(x\) og \(y\) er skilgreind sem

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix}.\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Ef \(F\) og \(G\) eru föll af breytum \(x,y,z,\ldots\) þá skilgreinum við, til dæmis,

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial x}&\frac{\partial F}{\partial y}\\ \frac{\partial G}{\partial x}&\frac{\partial G}{\partial y} \end{vmatrix}\quad \mbox{og}\quad \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial y}&\frac{\partial F}{\partial z}\\ \frac{\partial G}{\partial y}&\frac{\partial G}{\partial z} \end{vmatrix}.\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Ef við höfum föll \(F, G, H\) af breytum \(x,y,z,w,\ldots\) þá skilgreinum við, til dæmis,

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\frac{\partial(F,G,H)}{\partial(w,z,y)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial w}&\frac{\partial F}{\partial z} &\frac{\partial F}{\partial y}\\ \frac{\partial G}{\partial w}&\frac{\partial G}{\partial z} &\frac{\partial G}{\partial y}\\ \frac{\partial H}{\partial w}&\frac{\partial H}{\partial z} &\frac{\partial H}{\partial y} \end{vmatrix}.\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

2.30.4. Setning (Upprifjun á reglu Cramers.)

Setning

Látum \(A\) vera andhverfanlegt \(n\times n\) fylki og \(\mbox{${\bf b}$}\) vigur í \(\mbox{${\bf R}^n$}\). Gerum ráð fyrir að \(\mbox{${\bf x}$}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)\) sé lausn á \(A\mbox{${\bf x}$}=\mbox{${\bf b}$}\). Skilgreinum \(B_i\) sem \(n\times n\) fylkið sem fæst með því að setja vigurinn \(\mbox{${\bf b}$}\) í staðinn fyrir dálk \(i\) í \(A\). Þá er

\[\displaystyle x_i=\frac{\det B_i}{\det A}.\]

2.30.5. Setning ( Setningin um fólgin föll en: implicit function theorem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. )

Setning

Skoðum jöfnuhneppi

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} F_{(1)}(x_1,\ldots,x_m, y_1, \ldots, y_n)&=0\\ F_{(2)}(x_1,\ldots,x_m, y_1, \ldots, y_n)&=0\\ \vdots\\ F_{(n)}(x_1,\ldots,x_m, y_1, \ldots, y_n)&=0.\end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Látum \(P_0=(a_1,\ldots, a_m, b_1,\ldots, b_n)\) vera punkt sem uppfyllir jöfnurnar. Gerum ráð fyrir að allar fyrsta stigs hlutafleiður fallanna \(F_{(1)},\ldots, F_{(n)}\) séu samfelldar á opinni kúlu umhverfis \(P_0\) og að

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\frac{\partial(F_{(1)}, \ldots, F_{(n)})} {\partial( y_1, \ldots, y_n)}\,\bigg|_{P_0}\neq 0.\end{aligned}\end{align} \]

\(\text{Þá eru til föll} \qquad \varphi_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots,\varphi_n(x_1,\ldots,x_m)\)

á opinni kúlu \(B\) umhverfis \((a_1,\ldots,a_m)\) þannig að

\[\displaystyle \varphi_1(a_1,\ldots,a_m)=b_1,\ldots,\varphi_n(a_1,\ldots,a_m)=b_n \qquad \text{og}\]

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} F_{(1)}(x_1,\ldots,x_m, \varphi_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots, \varphi_n(x_1,\ldots,x_m))&=0\\ F_{(2)}(x_1,\ldots,x_m, \varphi_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots, \varphi_n(x_1,\ldots,x_m))&=0\\ \vdots\\ F_{(n)}(x_1,\ldots,x_m, \varphi_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots, \varphi_n(x_1,\ldots,x_m))&=0\end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

fyrir alla punkta \((x_1,\ldots,x_m)\) í \(B\). Enn fremur fæst að

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\frac{\partial \varphi_i}{\partial x_j} =\frac{\partial y_i}{\partial x_j} =-\frac{\frac{\partial(F_{(1)}, \ldots, F_{(n)})} {\partial( y_1, \ldots,x_j,\ldots y_n)}} {\frac{\partial(F_{(1)}, \ldots, F_{(n)})}{\partial( y_1, \ldots, y_n)}}.\end{aligned}\end{align} \]

2.30.6. Setning (Setningin um staðbundna andhverfu)

Setning

Látum

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\mbox{${\bf f}$}(x_1,\ldots, x_n)=(f_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots,f_n(x_1,\ldots,x_n))\end{aligned}\end{align} \]

vera vörpun af \(n\) breytistærðum sem tekur gildi í \(\mbox{${\bf R}^n$}\) og er skilgreind á opnu mengi í \(\mbox{${\bf R}^n$}\). Gerum ráð fyrir að allar fyrsta stigs hlutafleiður fallanna \(f_1, \ldots, f_n\) séu samfelld föll. Ef Jacobi-fylkið \(D\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf x}$}_0)\) er andhverfanlegt í punkti \(\mbox{${\bf x}$}_0\) á skilgreiningarsvæði \(\mbox{${\bf f}$}\) þá er til opin kúla \(B_{\mbox{${\bf x}$}}\) utan um \(\mbox{${\bf x}$}_0\) og opin kúla \(B_{\mbox{${\bf y}$}}\) utan um \(\mbox{${\bf y}$}_0=f(\mbox{${\bf x}$}_0)\) og vörpun | \(\mbox{${\bf g}$}:B_{\mbox{${\bf y}$}}\rightarrow B_{\mbox{${\bf x}$}}\) þannig að \(\mbox{${\bf g}$}(\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf x}$}))=\mbox{${\bf x}$}\) fyrir alla punkta \(\mbox{${\bf x}$}\in B_{\mbox{${\bf x}$}}\) og \(\mbox{${\bf f}$}(\mbox{${\bf g}$}(\mbox{${\bf y}$}))=\mbox{${\bf y}$}\) fyrir alla punkta \(\mbox{${\bf y}$}\in B_{\mbox{${\bf y}$}}\).

2.30.7. Upprifjun (Taylor-regla í einni breytistærð.)

Látum \(f\) vera \(n+1\)-diffranlegt fall af einni breytistærð. Margliðan

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\P_{(n)}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\end{aligned}\end{align} \]

kallast \(n\)-ta stigs Taylor-margliða \(f\) með miðju í \(a\). Til er punktur \(s\) á milli \(a\) og \(x\) þannig að

\[\displaystyle E_{(n)}(x)=f(x)-P_{(n)}(x)=\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.\]

Fáum svo að

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} &f(x)=P_{(n)}(x)+E_{(n)}(x) \\ &=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, \end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

sem er kallað \(n\)-ta stigs Taylor-formúla.

2.30.8. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f(x,y)\) vera fall þannig að fyrsta stigs hlutafleiður \(f\) eru skilgreindar og samfelldar. Margliðan

\[\displaystyle P_{(1)}(x,y)=f(a,b)+f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)\]

kallast fyrsta stigs Taylor-margliða \(f\) með miðju í \((a,b)\).

2.30.9. Skilgreining

Skilgreining

Látum \(f(x,y)\) vera fall þannig að fyrsta og annars stigs hlutafleiður \(f\) eru skilgreindar og samfelldar. Margliðan

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} P_{(2)}&(x,y)=f(a,b)+f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)\\ &+\frac{1}{2}\big(f_{11}(a,b)(x-a)^2+ 2f_{12}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{22}(a,b)(y-b)^2\big)\end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

kallast annars stigs Taylor-margliða \(f\) með miðju í \((a,b)\).

2.30.10. Skilgreining og athugasemd

Setning

Skilgreinum tvo diffurvirkja en: differential operator
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(D_1\) og \(D_2\) þannig að

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\D_1f(a,b)=f_1(a,b)\qquad\mbox{og}\qquad D_2f(a,b)=f_2(a,b).\end{aligned}\end{align} \]

Athugasemd

Athugið að ef hlutafleiður \(f\) af nógu háum stigum eru allar skilgreindar og samfelldar þá er \(D_1D_2=D_2D_1\), þ.e.a.s. ekki skiptir máli í hvaða röð er diffrað, bara hve oft er diffrað með tilliti til hvorrar breytu.

2.30.11. Upprifjun ( Tvíliðuregla en: binomial theorem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. )

Skilgreining

Skilgreinum \({n\choose j}\) (lesið n yfir j) með:

\[\displaystyle {n\choose j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}.\]

Talan \({n\choose j}\) er \(j+1\)-sta talan í \(n+1\)-stu línu Pascals-þríhyrningsins. Höfum að

\[\displaystyle (x+y)^n=\sum_{j=0}^n \textstyle{n\choose j}x^jy^{n-j}.\]

2.30.12. Regla

Setning

Ef \(f(x,y)\) er fall þannig að allar hlutafleiður af \(n\)-ta og lægri stigum eru samfelldar þá gildir að

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\(hD_1+kD_2)^nf(a,b)=\sum_{j=0}^n \textstyle{n\choose j} h^jk^{n-j}D_1^jD_2^{n-j}f(a,b).\end{aligned}\end{align} \]

2.30.13. Skilgreining

Skilgreining

Fyrir fall \(f(x,y)\) þannig að allar hlutafleiður af \(n\)-ta og lægri stigum eru samfelldar þá er \(n\)-ta stigs Taylor-margliða \(f\) með miðju í punktinum \((a,b)\) skilgreind sem margliðan

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} P_{(n)}(x,y)&= \sum_{m=0}^n \frac{1}{m!}((x-a)D_1+(y-b)D_2)^m f(a,b)\\ &=\sum_{m=0}^n\sum_{j=0}^m \frac{1}{m!}\textstyle{m\choose j} D_1^jD_2^{m-j}f(a,b)(x-a)^j(y-b)^{m-j}\\ &=\sum_{m=0}^n\sum_{j=0}^m \frac{1}{j!(m-j)!} D_1^jD_2^{m-j}f(a,b)(x-a)^j(y-b)^{m-j}.\end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

2.30.14. Setning

Setning

Fyrir fall \(f(x,y)\) þannig að allar hlutafleiður af \(n+1\)-ta og lægri stigum eru samfelldar þá gildir um skekkjuna í \(n\)-ta stigs Taylor-nálgun að til er tala \(\theta\) á milli 0 og 1 þannig að ef \(h=x-a\) og \(k=y-b\) þá er

\[ \begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\f(x,y)-P_{(n)}(x,y)=\frac{1}{(n+1)!}(hD_1+kD_2)^{n+1} f(a+\theta h, b+\theta k).\end{aligned}\end{align} \]