2. Hlutafleiður
“If you need help bark like a dog.“ - Gendry. „That’s stupid. If I need help I’ll shout help.“ - Arya”
- George R.R. Martin, A Clash of Kings
2.1. Graf falls
2.1.1. Skilgreining
Skilgreining
Látum f:R2→R vera fall. Graf fallsins er skilgreint sem mengið
Ef f:R3→R er fall, þá er graf fallsins skilgreint sem mengið
Graf fallsins f(x,y)=√1−x2−y2, −0.5≤x,y≤0.5.
2.2. Jafnhæðarlínur
2.2.1. Skilgreining
Skilgreining
Látum f:R2→R vera fall. Ef c er fasti þá er mengið
kallað
jafnhæðarlína
en: contour line, depth contour, first principal line, height line, isobath, level curve
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.

Mynd 2.1 Nokkrar jafnhæðarlínur fallsins f(x,y)=√1−x2−y2, −0.5≤x,y≤0.5.
Skilgreining
Látum f:R3→R vera fall. Ef c er fasti þá er mengið
kallað
jafnhæðarflötur
en: contour surface, level surface
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
2.3. Fjarlægð milli punkta
2.3.1. Skilgreining
Skilgreining
Fjarlægðin milli tveggja punkta x=(x1,x2,…,xn) og y=(y1,y2,…,yn) í Rn er skilgreind sem talan
2.4. Opnar kúlur
2.4.1. Skilgreining
Skilgreining
Látum P=(p1,p2,…,pn) vera punkt í Rn. Skilgreinum opnu kúluna með miðju í P og geisla r sem mengið
Í R2 er eðlilegra að tala um opna skífu eða opinn disk í stað opinnar kúlu og í R þá er talað um opin bil.
2.5. Opin mengi
2.5.1. Skilgreining
Skilgreining
Látum U vera hlutmengi í Rn.
Sagt er að U sé
opið mengi
en: open set, region
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Mengið U er sagt
lokað
en: closed set
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
2.6. Jaðarpunktur
2.6.1. Skilgreining
Skilgreining
Látum U vera mengi í Rn. Punktur
P í Rn er sagður
jaðarpunktur
en: boundary point, frontier point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
2.7. Skilgreiningarmengi
2.7.1. Skilgreining
Skilgreining
Fyrir fall f(x1,x2,…,xn) þá táknar D(f)
skilgreiningarmengi
en: argument domain, domain, domain carrier, index set, latent domain, range of arguments, set of definition, source
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
2.8. Markgildi
2.8.1. Skilgreining
Skilgreining
Látum f(x1,x2,…,xn) vera fall af n breytistærðum með skilgreiningarmengi D(f)⊆Rn. Látum P=(p1,p2,…,pn) vera punkt í Rn þannig að sérhver opin kúla um P inniheldur meira en einn punkt úr D(f).
Segjum að f(x1,x2,…,xn)
stefni á
en: converge to
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Fyrir sérhverja tölu ϵ>0 er til tala δ>0 þannig að ef (x1,x2,…,xn)∈D(f) og
þá er
2.8.2. Ritháttur
Ef f(x1,x2,…,xn) stefnir á tölu L þegar (x1,x2,…,xn) stefnir á (p1,p2,…,pn) þá er ritað
og L kallast
markgildi
en: limit
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Ef við skrifum x=(x1,x2,…,xn) og p=(p1,p2,…,pn) þá getum við skrifað þetta svona
2.8.3. Skilgreining (Skilgreining 2.8.1 sett fram fyrir föll af tveimur breytum.)
Skilgreining
Látum f(x,y) vera fall skilgreint á mengi D(f)⊆R2. Látum (a,b) vera punkt í R2 þannig að sérhver opin skífa um (a,b) inniheldur meira en einn punkt úr D(f).
Segjum að f(x,y) stefni á tölu L þegar (x,y) stefnir á (a,b) ef eftirfarandi gildir:
Fyrir sérhverja tölu ϵ>0 er til tala δ>0 þannig að ef (x,y)∈D(f) og
þá er
2.9. Reglur um markgildi
2.9.1. Setning
Setning
Látum f og g vera föll af tveimur breytum. Gerum ráð fyrir að
og að sérhver
grennd
en: neighbourhood
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
(a) lim(x,y)→(a,b)(f(x,y)±g(x,y))=L±M.
(b) lim(x,y)→(a,b)f(x,y)g(x,y)=LM.
(c) lim(x,y)→(a,b)f(x,y)g(x,y)=LM, svo framarlega sem M≠0.
(d) lim(x,y)→(a,b)F(f(x,y))=F(L) ef F er fall af einni breytistærð sem er samfellt í punktinum L.
2.10. Samfelldni
2.10.1. Skilgreining
Skilgreining
Látum f vera fall af n breytistærðum skilgreint á mengi D(f) í Rn. Fallið f er sagt samfellt í punkti (p1,p2,…,pn) í D(f) ef
Sagt er að fallið sé
samfellt
2.11. Hlutafleiður
2.11.1. Skilgreining
Skilgreining
Látum f(x,y) vera fall af tveimur breytum x og y sem er skilgreint á opinni skífu með miðju í punktinum (a,b).
Skilgreinum
hlutafleiðu
og
hlutafleiðu
ef markgildin eru til.
Hlutafleiða m.t.t. x fyrir y=1.
Hlutafleiða m.t.t. y fyrir x=1.
2.11.2. Skilgreining
Skilgreining
Látum f(x,y,z) vera fall af þremur breytum x, y og z sem er skilgreint á opinni kúlu með miðju í punktinum (a,b,c).
Skilgreinum hlutafleiðu m.t.t. x í (a,b,c) með
hlutafleiðu m.t.t. y í (a,b,c) með
og hlutafleiðu m.t.t. z í (a,b,c) með
ef markgildin eru til.
2.11.3. Skilgreining
Skilgreining
Látum f vera fall af n breytum x1,x2,…,xn sem er skilgreint á opinni kúlu um punktinn a=(a1,a2,…,an).
Hlutafleiða f með tilliti til breytunnar xk í punktinum a er skilgreind sem markgildið
ef markgildið er til. (Hér stendur ek fyrir vigurinn sem er með 0 í öllum hnitum nema því k-ta þar sem er 1.)
2.11.4. Ritháttur
Ritum z=f(x,y). Ýmis konar ritháttur er fyrir hlutafleiður, m.a.
Þegar við viljum tákna gildið á hlutafleiðu f í ákveðnum punkti (x,y)=(a,b) þá eru líka ýmsir möguleikar, til dæmis
Aðvörun
Strangt til tekið merkir rithátturinn ∂∂xf(a,b) að við stingum fyrst inn tölunum a og b og diffrum síðan með tilliti til x. En þar sem f(a,b) er óháð x er útkoman 0.
2.12. Snertiplan
Látum f(x,y) vera fall af tveimur breytistærðum þannig að hlutafleiðurnar f1(a,b) og f2(a,b) séu skilgreindar.

Í punktinum (a,b,f(a,b)) er
T1=i+f1(a,b)k
snertivigur
en: tangent vector
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
T2=j+f2(a,b)k
snertivigur
en: tangent vector
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Táknum með S planið sem hefur stikunina
Vigurinn
er þvervigur á S og jafna plansins S er
Þverlína
en: normal, normal line, perpendicular
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Ef f(x,y) er ’nógu nálægt’ (skilgreint nánar síðar) planinu
S þegar (x,y) er nálægt punktinum (a,b) þá
kallast S
snertiplan
en: tangent plane
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
2.13. Hlutafleiður af hærra stigi
2.13.1. Skilgreining
Skilgreining
Ritum z=f(x,y). Annars stigs hlutafleiður f eru skilgreindar með formúlunum
Hlutafleiðurnar f11(x,y) og f22(x,y) kallast hreinar hlutafleiður og f12(x,y) og f21(x,y) kallast blandaðar hlutafleiður.
2.13.2. Setning
Setning
Látum f(x,y) vera fall sem er skilgreint á opinni skífu D með miðju í P=(a,b) . Gerum ráð fyrir að hlutafleiðurnar f1(x,y), f2(x,y), f12(x,y) og f21(x,y) séu allar skilgreindar á D og að þær séu allar samfelldar á D. Þá gildir að
2.13.3. Hugmynd að skilgreiningu
Skilgreiningu 5.6 má útvíkka á augljósan hátt til að skilgreina 2. stigs hlutafleiður fyrir föll af fleiri en tveimur breytum. Einnig er augljóst hvernig má skilgreina hlutafleiður af hærri stigum en 2, til dæmis ef w=f(x,y,z) þá
og
2.13.4. Setning (Almenn útgáfa af Setningu 2.13.2)
Setning
Látum f vera fall n breytistærðum sem er skilgreint á opinni kúlu með miðju í P=(x1,x2,…,xn).
Skoðum tvær hlutafleiður f í punktum P þar sem er diffrað með tilliti til sömu breytistærða og jafn oft með tilliti til hverrar breytistærðar. Ef þessar hlutafleiður eru samfelldar í punktinum P og allar hlutafleiður af lægra stigi eru skilgreindar á D og samfelldar á D þá eru hlutafleiðurnar sem við erum að skoða jafnar í P.
2.13.5. Dæmi:
Dæmi
Ef w=f(x,y,z) er fall af þremur breytistærðum þá er t.d.
ef skilyrðin í setningunni eru uppfyllt.
2.14. Keðjuregla
2.14.1. Setning (Keðjureglan í einni breytistærð.)
Setning
Við munum nú skoða nokkrar útgáfur af
keðjureglu
en: chain rule
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
2.14.2. Setning
Setning
Látum f(x,y) vera fall þar sem x=x(t) og y=y(t) eru föll af breytu t. Gerum ráð fyrir að á opinni skífu um punktinum (x(t),y(t)) séu báðar fyrsta stigs hlutafleiður f skilgreindar og samfelldar. Gerum enn fremur ráð fyrir að föllin x(t) og y(t) séu bæði diffranleg í punktinum t. Þá er fallið
diffranlegt í t og
2.14.3. Ritháttur
Ritum z=f(x,y) þar sem x=x(t) og y=y(t) eru föll af breytu t. Þá er

2.14.4. Setning
Setning
Látum f(x,y) vera fall af breytistærðum x og y sem aftur eru föll af breytum s og t, það er að segja x=x(s,t) og y=y(s,t). Ritum svo
Þá gildir (að gefnum sambærilegum skilyrðum og í 2.14.2) að
og
2.14.5. Ritháttur
Ritum z=f(x,y) þar sem x=x(s,t) og y=y(s,t) eru föll af breytum s og t. Þá er

2.14.6. Ritháttur
Ritum z=f(x,y) þar sem x=x(s,t) og y=y(s,t) eru föll af breytum s og t. Þá er
2.14.7. Setning
2.14.8. Dæmi
Dæmi
Látum T vera fall af x, y og t, og látum enn fremur x og y vera föll af t. Finnum dTdt.
2.14.9. Dæmi
Dæmi
Látum T vera fall af x, y og s og látum enn fremur t, x og y vera föll af s og t. Finnum ∂T∂t.
2.14.10. Dæmi
Dæmi
Látum z vera fall af u, v og r. Látum u og v vera föll af x, y og r. Látum r vera fall af x og y. Finnum ∂z∂x.
2.15. Diffranleiki í einni breytistærð
2.15.1. Skilgreining
Skilgreining
Látum f vera fall af einni breytistærð og gerum ráð fyrir að
f sé skilgreint á opnu bili sem inniheldur punktinn a.
Fallið f er sagt vera
diffranlegt
en: differentiable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er til.
2.16. Diffranleiki í einni breytistærð - önnur lýsing
2.16.1. Skilgreining
Skilgreining
Látum f vera fall af einni breytistærð og gerum ráð fyrir að
f sé skilgreint á opnu bili sem inniheldur punktinn a.
Fallið f er sagt vera
diffranlegt
en: differentiable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
(Talan m verður að vera jöfn f′(a).)
Fallið f er ’nálægt’ línunni L nálægt punktinum a.
2.17. Diffranleiki
2.17.1. Skilgreining
Skilgreining
Fall f(x,y) sem er skilgreint á opinni skífu umhverfis
(a,b) er sagt vera
diffranlegt
en: differentiable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
þar sem S(x,y)=f(a,b)+f1(a,b)(x−a)+f2(a,b)(y−b).
Fallið f er ’nálægt’ sléttunni S nálægt punktinum (a,b).
2.18. Snertiplan
Ef f er diffranlegt í (a,b) þá kallast planið S
snertiplan
en: tangent plane
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.

Mynd 2.2 S(x,y)=f(a,b)+f1(a,b)(x−a)+f2(a,b)(y−b).
2.19. Diffranleiki
2.19.1. Setning (Meðalgildissetningin)
Setning
Gerum ráð fyrir að fallið f sé samfellt á lokaða bilinu [a,b] og diffranlegt á opna bilinu (a,b). Þá er til punktur c á opna bilinu (a,b) þannig að
2.19.2. Setning
Setning
Látum f(x,y) vera fall sem er skilgreint á opinni skífu D með miðju í (a,b) þannig að á þessari skífu eru báðar fyrsta stigs hlutafleiður f skilgreindar og samfelldar. Gerum ráð fyrir að h og k séu tölur þannig að (x+h,y+k)∈D. Þá eru til tölur θ1 og θ2 á milli 0 og 1 þannig að
2.19.3. Setning
Setning
Látum f(x,y) vera fall sem er skilgreint á opinni skífu D með miðju í (a,b) þannig að á þessari skífu eru báðar fyrsta stigs hlutafleiður f skilgreindar og samfelldar. Þá er fallið f diffranlegt í (a,b).
2.19.4. Setning
Setning
Gerum ráð fyrir að f(x,y) sé fall sem er diffranlegt í punktinum (a,b). Þá er f samfellt í (a,b).
2.19.5. Keðjuregla
Setning
Ritum z=f(x,y) þar sem x=x(s,t) og y=y(s,t). Gerum ráð fyrir að
x(a,b)=p og y(a,b)=q;
fyrsta stigs hlutafleiður x(s,t) og y(s,t) eru skilgreindar í punktinum (a,b);
fallið f er diffranlegt í punktinum (p,q).
Þá eru fyrsta stigs hlutafleiður z með tilliti til breytanna s og t skilgreindar í punktinum (a,b) og um þær gildir að
og
2.20. Diffur
2.20.1. Skilgreining
Skilgreining
Ritum z=f(x1,x2,…,xn).
Diffrið
en: differential
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Diffrið er nálgun á
2.21. Varpanir Rn→Rm
2.21.1. Táknmál
Látum f:Rn→Rm tákna vörpun. Ritum f=(f1,…,fm) þar sem hvert fi er fall Rn→R. Fyrir punkt í Rn ritum við x=(x1,x2,…,xn). Síðan ritum við y=f(x) þar sem y=(y1,y2,…,ym) og f(x)=(f1(x1,…,xn),…,fm(x1,…,xn)).
2.22. Jacobi-fylki
2.22.1. Skilgreining
Skilgreining
Notum táknmálið úr 2.22.1. Ef allar hlutafleiðurnar ∂yi/∂xj eru skilgreindar í punktinum x þá skilgreinum við Jacobi-fylki f í punktinum x sem m×n fylkið
2.23. Diffranleiki varpana Rn→Rm
2.23.1. Skilgreining
Skilgreining
Notum táknmálið úr 2.22.1 og 2.23.1. Látum a=(a1,a2,…,an) vera fastan punkt í Rn og ritum h=(h1,h2,…,hn). Vörpunin f er sögð diffranleg í punktinum a ef
Vörpunin f er ’nálægt’ línulegu vörpuninni Df nálægt punktinum a.
Línulega vörpunin Df kallast afleiða f.
2.24. Keðjuregla
2.24.1. Setning
Setning
Látum f:Rn→Rm og g:Rm→Rk vera varpanir. Gerum ráð fyrir að vörpunin f sé diffranleg í punkti x og vörpunin g sé diffranleg í punktinum y=f(x). Þá er samskeytta vörpunin g∘f:Rn→Rk diffranleg í x og
2.25. Stigull
2.25.1. Skilgreining
Skilgreining
Látum f(x,y) vera fall og (x,y) punkt þar sem báðar
fyrsta stigs hlutafleiður f eru skilgreindar. Skilgreinum
stigul
en: gradient
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Stigull
en: gradient
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
2.25.2. Ritháttur
Oft hentugt að rita
Þá er litið svo á að ∇ sé
diffurvirki
en: differential operator
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
2.25.3. Dæmi

Mynd 2.3 Graf z=1−x2−y2

Mynd 2.4 Jafnhæðarlínur z=1−x2−y2. Stigull og snertilína við jafnhæðarlínuna z=0.5 í (x,y)=(0.5,0.5).
2.25.4. Setning
Setning
Gerum ráð fyrir að fallið f(x,y) sé diffranlegt í punktinum (a,b) og að ∇f(a,b)≠0. Þá er vigurinn ∇f(a,b) hornréttur á þá jafnhæðarlínu f sem liggur í gegnum punktinn (a,b).
2.26. Snertilína við jafnhæðarferil
2.26.1. Setning
Setning
Gerum ráð fyrir að fallið f(x,y) sé diffranlegt í punktinum
(a,b) og að ∇f(a,b)≠0. Jafna
snertilínu
en: tangent, tangent line
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eða
2.27. Stefnuafleiða
2.27.1. Skilgreining
Skilgreining
Látum u=ui+vj vera
einingarvigur.
Stefnuafleiða
ef markgildið er skilgreint.
Aðvörun
Í skilgreiningunni á stefnuafleiðu er tekið einhliða markgildi. Berið það saman við skilgreiningu á hlutafleiðu þar sem markgildið er tvíhliða.
2.27.2. Setning
Setning
Gerum ráð fyrir að fallið f sé diffranlegt í (a,b) og u=ui+vj sé einingarvigur. Þá er stefnuafleiðan í punktinum (a,b) í stefnu u skilgreind og gefin með formúlunni
2.27.3. Setning
Setning
Látum f vera gefið fall og gerum ráð fyrir að f sé diffranlegt í punktinum (a,b).
(a) Hæsta gildið á stefnuafleiðunni Duf(a,b) fæst þegar u er einingarvigur í stefnu ∇f(a,b), þ.e.a.s. u=∇f(a,b)|∇f(a,b)|.
(b) Lægsta gildið á stefnuafleiðunni Duf(a,b) fæst þegar u er einingarvigur í stefnu −∇f(a,b), þ.e.a.s. u=−∇f(a,b)|∇f(a,b)|.
(c) Ef C er sú hæðarlína f sem liggur í gegnum (a,b) og u er einingarsnertivigur við C í punktinum (a,b) þá er Duf(a,b)=0.

2.27.4. Setning
Setning
Látum f vera gefið fall og gerum ráð fyrir að f sé diffranlegt í punktinum (a,b).
(a) Í punktinum (a,b) þá vex f hraðast ef haldið er í stefnu ∇f(a,b).
(b) Í punktinum (a,b) þá minnkar f hraðast ef haldið er í stefnu −∇f(a,b).
(c) Ef C er sú hæðarlína f sem liggur í gegnum (a,b) og u er einingarsnertivigur við C í punktinum (a,b) þá er er vaxtarhraði f í stefnu u jafn 0.
2.28. Stigull (aftur)
2.28.1. Skilgreining
Skilgreining
Látum f vera fall af þremur breytistærðum, þannig að allar þrjár
fyrsta stigs hlutafleiður f í punktinum (x,y,z) séu
skilgreindar.
Stigull
en: gradient
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
2.29. Snertiplan við jafnhæðarflöt
2.29.1. Setning
Setning
Látum f vera fall af þremur breytistærðum þannig að fallið
f er diffranlegt í punktinum (a,b,c). Látum
F tákna þann
jafnhæðarflöt
en: contour surface, level surface
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eða með umritun
2.30. Fólgin föll og Taylor-nálganir
2.30.1. Upprifjun
Skoðum feril sem gefinn er með jöfnu F(x,y)=0 og gerum ráð fyrir að báðar fyrsta stigs hlutafleiður F séu samfelldar. Látum (x0,y0) vera punkt á ferlinum. Ef F2(x0,y0)≠0 þá má skoða y sem fall af x í grennd við punktinn (x0,y0) og fallið y=y(x) er diffranlegt í punktinum x0 og afleiðan er gefin með formúlunni
Sagt að jafnan F(x,y)=0 skilgreini y sem
fólgið fall
en: implicit function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
2.30.2. Setning
Setning
Látum F vera fall af n-breytum x1,…,xn og gerum ráð fyrir að allar fyrsta stigs hlutafleiður F séu samfelldar. Látum (a1,…,an) vera punkt þannig að F(a1,…,an)=0. Ef Fn(a1,…,an)≠0 þá er til samfellt diffranlegt fall φ(x1,…,xn−1) skilgreint á opinni kúlu B utan um (a1,…,an−1) þannig að
og
fyrir alla punkta (x1,…,xn−1) í B.
Ennfremur gildir að
2.30.3. Skilgreining
Skilgreining
Jacobi-ákveða
Ef F og G eru föll af breytum x,y,z,… þá skilgreinum við, til dæmis,
Ef við höfum föll F,G,H af breytum x,y,z,w,… þá skilgreinum við, til dæmis,
2.30.4. Setning (Upprifjun á reglu Cramers.)
Setning
Látum A vera andhverfanlegt n×n fylki og b vigur í Rn. Gerum ráð fyrir að x=(x1,x2,…,xn) sé lausn á Ax=b. Skilgreinum Bi sem n×n fylkið sem fæst með því að setja vigurinn b í staðinn fyrir dálk i í A. Þá er
2.30.5. Setning (
Setningin um fólgin föll
en: implicit function theorem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
)
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Setning
Skoðum jöfnuhneppi
Látum P0=(a1,…,am,b1,…,bn) vera punkt sem uppfyllir jöfnurnar. Gerum ráð fyrir að allar fyrsta stigs hlutafleiður fallanna F(1),…,F(n) séu samfelldar á opinni kúlu umhverfis P0 og að
fyrir alla punkta (x1,…,xm) í B. Enn fremur fæst að
2.30.6. Setning (Setningin um staðbundna andhverfu)
Setning
vera vörpun af n breytistærðum sem tekur gildi í Rn og er skilgreind á opnu mengi í Rn. Gerum ráð fyrir að allar fyrsta stigs hlutafleiður fallanna f1,…,fn séu samfelld föll. Ef Jacobi-fylkið Df(x0) er andhverfanlegt í punkti x0 á skilgreiningarsvæði f þá er til opin kúla Bx utan um x0 og opin kúla By utan um y0=f(x0) og vörpun | g:By→Bx þannig að g(f(x))=x fyrir alla punkta x∈Bx og f(g(y))=y fyrir alla punkta y∈By.
2.30.7. Upprifjun (Taylor-regla í einni breytistærð.)
Látum f vera n+1-diffranlegt fall af einni breytistærð. Margliðan
kallast n-ta stigs Taylor-margliða f með miðju í a. Til er punktur s á milli a og x þannig að
Fáum svo að
sem er kallað n-ta stigs Taylor-formúla.
2.30.8. Skilgreining
Skilgreining
Látum f(x,y) vera fall þannig að fyrsta stigs hlutafleiður f eru skilgreindar og samfelldar. Margliðan
kallast fyrsta stigs Taylor-margliða f með miðju í (a,b).
2.30.9. Skilgreining
Skilgreining
Látum f(x,y) vera fall þannig að fyrsta og annars stigs hlutafleiður f eru skilgreindar og samfelldar. Margliðan
kallast annars stigs Taylor-margliða f með miðju í (a,b).
2.30.10. Skilgreining og athugasemd
Setning
Skilgreinum tvo
diffurvirkja
en: differential operator
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Athugasemd
Athugið að ef hlutafleiður f af nógu háum stigum eru allar skilgreindar og samfelldar þá er D_1D_2=D_2D_1, þ.e.a.s. ekki skiptir máli í hvaða röð er diffrað, bara hve oft er diffrað með tilliti til hvorrar breytu.
2.30.11. Upprifjun (
Tvíliðuregla
en: binomial theorem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
)
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Skilgreining
Skilgreinum {n\choose j} (lesið n yfir j) með:
Talan {n\choose j} er j+1-sta talan í n+1-stu línu Pascals-þríhyrningsins. Höfum að
2.30.12. Regla
Setning
Ef f(x,y) er fall þannig að allar hlutafleiður af n-ta og lægri stigum eru samfelldar þá gildir að
2.30.13. Skilgreining
Skilgreining
Fyrir fall f(x,y) þannig að allar hlutafleiður af n-ta og lægri stigum eru samfelldar þá er n-ta stigs Taylor-margliða f með miðju í punktinum (a,b) skilgreind sem margliðan
2.30.14. Setning
Setning
Fyrir fall f(x,y) þannig að allar hlutafleiður af n+1-ta og lægri stigum eru samfelldar þá gildir um skekkjuna í n-ta stigs Taylor-nálgun að til er tala \theta á milli 0 og 1 þannig að ef h=x-a og k=y-b þá er