2. Hlutafleiður

“If you need help bark like a dog.“ - Gendry. „That’s stupid. If I need help I’ll shout help.“ - Arya”

- George R.R. Martin, A Clash of Kings

2.1. Graf falls

2.1.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum f:R2R vera fall. Graf fallsins er skilgreint sem mengið

{(x,y,f(x,y))(x,y)R2}R3.

Ef f:R3R er fall, þá er graf fallsins skilgreint sem mengið

{(x,y,z,f(x,y,z))(x,y,z)R3}R4.

Graf fallsins f(x,y)=1x2y2, 0.5x,y0.5.

2.2. Jafnhæðarlínur

2.2.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum f:R2R vera fall. Ef c er fasti þá er mengið

{(x,y)f(x,y)=c}R2

kallað jafnhæðarlína en: contour line, depth contour, first principal line, height line, isobath, level curve
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eða jafnhæðarferill en: contour line, depth contour, first principal line, height line, isobath, level curve
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fallsins f fyrir fastann c.

../_images/contour.png

Mynd 2.1 Nokkrar jafnhæðarlínur fallsins f(x,y)=1x2y2, 0.5x,y0.5.

Skilgreining

Látum f:R3R vera fall. Ef c er fasti þá er mengið

{(x,y,z)f(x,y,z)=c}

kallað jafnhæðarflötur en: contour surface, level surface
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fallsins f fyrir fastann c.

2.3. Fjarlægð milli punkta

2.3.1. Skilgreining

Skilgreining

Fjarlægðin milli tveggja punkta x=(x1,x2,,xn) og y=(y1,y2,,yn) í Rn er skilgreind sem talan

|xy|=(x1y1)2+(x2y2)2++(xnyn)2.

2.4. Opnar kúlur

2.4.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum P=(p1,p2,,pn) vera punkt í Rn. Skilgreinum opnu kúluna með miðju í P og geisla r sem mengið

Br(P)={QRn|QP|<r}.

Í R2 er eðlilegra að tala um opna skífu eða opinn disk í stað opinnar kúlu og í R þá er talað um opin bil.

2.5. Opin mengi

2.5.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum U vera hlutmengi í Rn.

Sagt er að U opið mengi en: open set, region
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef um sérhvern punkt P í U gildir að til er tala r>0 þannig að Br(P)U.

Mengið U er sagt lokað en: closed set
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef fyllimengið en: complement, complementary subset
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er opið. (Fyllimengi U er skilgreint sem mengið RnU={QRnQU}.)

2.6. Jaðarpunktur

2.6.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum U vera mengi í Rn. Punktur P í Rn er sagður jaðarpunktur en: boundary point, frontier point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
U ef sérhver opin kúla Br(P) með r>0 inniheldur bæði punkt úr U og punkt úr RnU. (Athugið að bæði er mögulegt að jaðarpunktur U sé í U og að hann sé ekki í U.)

2.7. Skilgreiningarmengi

2.7.1. Skilgreining

Skilgreining

Fyrir fall f(x1,x2,,xn) þá táknar D(f) skilgreiningarmengi en: argument domain, domain, domain carrier, index set, latent domain, range of arguments, set of definition, source
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fallsins f. Ef fallið er gefið með formúlu og ekkert sagt um D(f) þá lítum við svo á að D(f) sé mengi allra punkta í Rn þannig að formúlan gefi vel skilgreinda tölu.

2.8. Markgildi

2.8.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum f(x1,x2,,xn) vera fall af n breytistærðum með skilgreiningarmengi D(f)Rn. Látum P=(p1,p2,,pn) vera punkt í Rn þannig að sérhver opin kúla um P inniheldur meira en einn punkt úr D(f).

Segjum að f(x1,x2,,xn) stefni á en: converge to
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
tölu L þegar (x1,x2,,xn) stefnir á (p1,p2,,pn) ef eftirfarandi gildir:

Fyrir sérhverja tölu ϵ>0 er til tala δ>0 þannig að ef (x1,x2,,xn)D(f) og

0<|(x1,x2,,xn)(p1,p2,,pn)|<δ

þá er

|f(x1,x2,,xn)L|<ϵ.

2.8.2. Ritháttur

Ef f(x1,x2,,xn) stefnir á tölu L þegar (x1,x2,,xn) stefnir á (p1,p2,,pn) þá er ritað

lim(x1,x2,,xn)(p1,p2,,pn)f(x1,x2,,xn)=L.

og L kallast markgildi en: limit
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fallsins f í punktinum (x1,x2,,xn).

Ef við skrifum x=(x1,x2,,xn) og p=(p1,p2,,pn) þá getum við skrifað þetta svona

limxpf(x)=L.

2.8.3. Skilgreining (Skilgreining 2.8.1 sett fram fyrir föll af tveimur breytum.)

Skilgreining

Látum f(x,y) vera fall skilgreint á mengi D(f)R2. Látum (a,b) vera punkt í R2 þannig að sérhver opin skífa um (a,b) inniheldur meira en einn punkt úr D(f).

Segjum að f(x,y) stefni á tölu L þegar (x,y) stefnir á (a,b) ef eftirfarandi gildir:

Fyrir sérhverja tölu ϵ>0 er til tala δ>0 þannig að ef (x,y)D(f) og

δ>|(x,y)(a,b)|=(xa)2+(yb)2>0

þá er

|f(x,y)L|<ϵ.

2.9. Reglur um markgildi

2.9.1. Setning

Setning

Látum f og g vera föll af tveimur breytum. Gerum ráð fyrir að

lim(x,y)(a,b)f(x,y)=Loglim(x,y)(a,b)g(x,y)=M,

og að sérhver grennd en: neighbourhood
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
um (a,b) innihaldi fleiri en einn punkt þar sem bæði föllin f og g eru skilgreind. Þá gildir

(a) lim(x,y)(a,b)(f(x,y)±g(x,y))=L±M.

(b) lim(x,y)(a,b)f(x,y)g(x,y)=LM.

(c) lim(x,y)(a,b)f(x,y)g(x,y)=LM, svo framarlega sem M0.

(d) lim(x,y)(a,b)F(f(x,y))=F(L) ef F er fall af einni breytistærð sem er samfellt í punktinum L.

2.10. Samfelldni

2.10.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum f vera fall af n breytistærðum skilgreint á mengi D(f) í Rn. Fallið f er sagt samfellt í punkti (p1,p2,,pn) í D(f) ef

lim(x1,x2,,xn)(p1,p2,,pn)f(x1,x2,,xn)=f(p1,p2,,pn).

Sagt er að fallið sé samfellt Ekki fannst þýðing á hugtakinu: samfellt ef það er samfellt í öllum punktum skilgreiningarmengis síns.

2.11. Hlutafleiður

2.11.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum f(x,y) vera fall af tveimur breytum x og y sem er skilgreint á opinni skífu með miðju í punktinum (a,b).

Skilgreinum hlutafleiðu Ekki fannst þýðing á hugtakinu: hlutafleiða m.t.t. x í (a,b) með

f1(a,b)=limh0f(a+h,b)f(a,b)h

og hlutafleiðu Ekki fannst þýðing á hugtakinu: hlutafleiða m.t.t. y í (a,b) með

f2(a,b)=limk0f(a,b+k)f(a,b)k

ef markgildin eru til.

Hlutafleiða m.t.t. x fyrir y=1.

Hlutafleiða m.t.t. y fyrir x=1.

2.11.2. Skilgreining

Skilgreining

Látum f(x,y,z) vera fall af þremur breytum x, y og z sem er skilgreint á opinni kúlu með miðju í punktinum (a,b,c).

Skilgreinum hlutafleiðu m.t.t. x í (a,b,c) með

f1(a,b,c)=limh0f(a+h,b,c)f(a,b,c)h,

hlutafleiðu m.t.t. y í (a,b,c) með

f2(a,b,c)=limk0f(a,b+k,c)f(a,b,c)k

og hlutafleiðu m.t.t. z í (a,b,c) með

f3(a,b,c)=lim0f(a,b,c+)f(a,b,c)

ef markgildin eru til.

2.11.3. Skilgreining

Skilgreining

Látum f vera fall af n breytum x1,x2,,xn sem er skilgreint á opinni kúlu um punktinn a=(a1,a2,,an).

Hlutafleiða f með tilliti til breytunnar xk í punktinum a er skilgreind sem markgildið

fk(a)=limh0f(a+hek)f(a)h

ef markgildið er til. (Hér stendur ek fyrir vigurinn sem er með 0 í öllum hnitum nema því k-ta þar sem er 1.)

2.11.4. Ritháttur

Ritum z=f(x,y). Ýmis konar ritháttur er fyrir hlutafleiður, m.a.

f1(x,y)=zx=xf(x,y)=D1f(x,y)=fx(x,y)=Dxf(x,y)=xf(x,y)f2(x,y)=zy=yf(x,y)=D2f(x,y)=fy(x,y)=Dyf(x,y)=yf(x,y).

Þegar við viljum tákna gildið á hlutafleiðu f í ákveðnum punkti (x,y)=(a,b) þá eru líka ýmsir möguleikar, til dæmis

zx|(a,b)=(xf(x,y))|(a,b)=f1(a,b)=D1f(a,b)zy|(a,b)=(yf(x,y))|(a,b)=f2(a,b)=D2f(a,b).

Aðvörun

Strangt til tekið merkir rithátturinn xf(a,b) að við stingum fyrst inn tölunum a og b og diffrum síðan með tilliti til x. En þar sem f(a,b) er óháð x er útkoman 0.

2.12. Snertiplan

Látum f(x,y) vera fall af tveimur breytistærðum þannig að hlutafleiðurnar f1(a,b) og f2(a,b) séu skilgreindar.

../_images/bothpart.png

Í punktinum (a,b,f(a,b)) er

T1=i+f1(a,b)k snertivigur en: tangent vector
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
við ferilinn f(x,b)=z og

T2=j+f2(a,b)k snertivigur en: tangent vector
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
við ferilinn f(a,y)=z.

Táknum með S planið sem hefur stikunina

(a,b,f(a,b))+sT1+tT2,<s,t<.

Vigurinn

n=T2×T1=f1(a,b)i+f2(a,b)jk

er þvervigur á S og jafna plansins S er

z=f(a,b)+f1(a,b)(xa)+f2(a,b)(yb).

Þverlína en: normal, normal line, perpendicular
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
á S hefur stikun

(a,b,f(a,b))+un,<u<.

Ef f(x,y) er ’nógu nálægt’ (skilgreint nánar síðar) planinu S þegar (x,y) er nálægt punktinum (a,b) þá kallast S snertiplan en: tangent plane
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
við grafið z=f(x,y) í punktinum (a,b,f(a,b)).

2.13. Hlutafleiður af hærra stigi

2.13.1. Skilgreining

Skilgreining

Ritum z=f(x,y). Annars stigs hlutafleiður f eru skilgreindar með formúlunum

2zx2=xzx=f11(x,y)=fxx(x,y),
2zy2=yzy=f22(x,y)=fyy(x,y),
2zxy=xzy=f21(x,y)=fyx(x,y),
2zyx=yzx=f12(x,y)=fxy(x,y).

Hlutafleiðurnar f11(x,y) og f22(x,y) kallast hreinar hlutafleiður og f12(x,y) og f21(x,y) kallast blandaðar hlutafleiður.

2.13.2. Setning

Setning

Látum f(x,y) vera fall sem er skilgreint á opinni skífu D með miðju í P=(a,b) . Gerum ráð fyrir að hlutafleiðurnar f1(x,y), f2(x,y), f12(x,y) og f21(x,y) séu allar skilgreindar á D og að þær séu allar samfelldar á D. Þá gildir að

f12(a,b)=f21(a,b).

2.13.3. Hugmynd að skilgreiningu

Skilgreiningu 5.6 má útvíkka á augljósan hátt til að skilgreina 2. stigs hlutafleiður fyrir föll af fleiri en tveimur breytum. Einnig er augljóst hvernig má skilgreina hlutafleiður af hærri stigum en 2, til dæmis ef w=f(x,y,z) þá

3wxy2(diffra fyrst tvisvar m.t.t. y, svo einu sinni m.t.t. x)

og

3wyzy(diffra fyrst m.t.t. y, svo m.t.t. z og að lokum m.t.t. y).

2.13.4. Setning (Almenn útgáfa af Setningu 2.13.2)

Setning

Látum f vera fall n breytistærðum sem er skilgreint á opinni kúlu með miðju í P=(x1,x2,,xn).

Skoðum tvær hlutafleiður f í punktum P þar sem er diffrað með tilliti til sömu breytistærða og jafn oft með tilliti til hverrar breytistærðar. Ef þessar hlutafleiður eru samfelldar í punktinum P og allar hlutafleiður af lægra stigi eru skilgreindar á D og samfelldar á D þá eru hlutafleiðurnar sem við erum að skoða jafnar í P.

2.13.5. Dæmi:

Dæmi

Ef w=f(x,y,z) er fall af þremur breytistærðum þá er t.d.

4wx2yz=4wxyxz

ef skilyrðin í setningunni eru uppfyllt.

2.14. Keðjuregla

2.14.1. Setning (Keðjureglan í einni breytistærð.)

Setning

Við munum nú skoða nokkrar útgáfur af keðjureglu en: chain rule
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fyrir föll af mörgum breytistærðum. Gerum ráð fyrir að fallið f(u) sé diffranlegt í punktinum u=g(x) og að fallið g(x) sé diffranlegt í punktinum x. Þá er fallið (fg)(x)=f(g(x)) diffranlegt í x og

(fg)(x)=f(g(x))g(x).

2.14.2. Setning

Setning

Látum f(x,y) vera fall þar sem x=x(t) og y=y(t) eru föll af breytu t. Gerum ráð fyrir að á opinni skífu um punktinum (x(t),y(t)) séu báðar fyrsta stigs hlutafleiður f skilgreindar og samfelldar. Gerum enn fremur ráð fyrir að föllin x(t) og y(t) séu bæði diffranleg í punktinum t. Þá er fallið

g(t)=f(x(t),y(t))

diffranlegt í t og

g(t)=f1(x(t),y(t))x(t)+f2(x(t),y(t))y(t).

2.14.3. Ritháttur

Ritum z=f(x,y) þar sem x=x(t) og y=y(t) eru föll af breytu t. Þá er

dzdt=zxdxdt+zydydt.
../_images/chain1.png

2.14.4. Setning

Setning

Látum f(x,y) vera fall af breytistærðum x og y sem aftur eru föll af breytum s og t, það er að segja x=x(s,t) og y=y(s,t). Ritum svo

g(s,t)=f(x(s,t),y(s,t)).

Þá gildir (að gefnum sambærilegum skilyrðum og í 2.14.2) að

g1(s,t)=f1(x(s,t),y(s,t))x1(s,t)+f2(x(s,t),y(s,t))y1(s,t),

og

g2(s,t)=f1(x(s,t),y(s,t))x2(s,t)+f2(x(s,t),y(s,t))y2(s,t).

2.14.5. Ritháttur

Ritum z=f(x,y) þar sem x=x(s,t) og y=y(s,t) eru föll af breytum s og t. Þá er

zs=zxxs+zyys,ogzt=zxxt+zyyt.
../_images/chain2.png

2.14.6. Ritháttur

Ritum z=f(x,y) þar sem x=x(s,t) og y=y(s,t) eru föll af breytum s og t. Þá er

[zszt]=[zxzy][xsxtysyt]

2.14.7. Setning

Setning

Látum u vera fall af n breytum x1,x2,,xn þannig að hvert xi má rita sem fall af m breytum t1,t2,,tm. Gerum ráð fyrir að allar hlutafleiðurnar uxi og xitj séu til og samfelldar. Þegar u er skoðað sem fall af breytunum t1,t2,,tm fæst að

utj=ux1x1tj+ux2x2tj++uxnxntj.
../_images/chain3.png

2.14.8. Dæmi

Dæmi

Látum T vera fall af x, y og t, og látum enn fremur x og y vera föll af t. Finnum dTdt.

2.14.9. Dæmi

Dæmi

Látum T vera fall af x, y og s og látum enn fremur t, x og y vera föll af s og t. Finnum Tt.

2.14.10. Dæmi

Dæmi

Látum z vera fall af u, v og r. Látum u og v vera föll af x, y og r. Látum r vera fall af x og y. Finnum zx.

2.15. Diffranleiki í einni breytistærð

2.15.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum f vera fall af einni breytistærð og gerum ráð fyrir að f sé skilgreint á opnu bili sem inniheldur punktinn a. Fallið f er sagt vera diffranlegt en: differentiable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í punkti a ef markgildið

f(a)=limh0f(a+h)f(a)h

er til.

2.16. Diffranleiki í einni breytistærð - önnur lýsing

2.16.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum f vera fall af einni breytistærð og gerum ráð fyrir að f sé skilgreint á opnu bili sem inniheldur punktinn a. Fallið f er sagt vera diffranlegt en: differentiable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í punkti a ef til er tala m þannig að ef L(x)=f(a)+m(xa) þá er

limh0f(a+h)L(a+h)h=0.

(Talan m verður að vera jöfn f(a).)

Fallið f er ’nálægt’ línunni L nálægt punktinum a.

2.17. Diffranleiki

2.17.1. Skilgreining

Skilgreining

Fall f(x,y) sem er skilgreint á opinni skífu umhverfis (a,b) er sagt vera diffranlegt en: differentiable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í punktinum (a,b) ef báðar fyrsta stigs hlutafleiður f eru skilgreindar í (a,b) og ef

lim(h,k)(0,0)f(a+h,b+k)S(a+h,b+k)h2+k2=0

þar sem S(x,y)=f(a,b)+f1(a,b)(xa)+f2(a,b)(yb).

Fallið f er ’nálægt’ sléttunni S nálægt punktinum (a,b).

2.18. Snertiplan

Ef f er diffranlegt í (a,b) þá kallast planið S snertiplan en: tangent plane
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
við graf fallsins.

../_images/bothpart.png

Mynd 2.2 S(x,y)=f(a,b)+f1(a,b)(xa)+f2(a,b)(yb).

2.19. Diffranleiki

2.19.1. Setning (Meðalgildissetningin)

Setning

Gerum ráð fyrir að fallið f sé samfellt á lokaða bilinu [a,b] og diffranlegt á opna bilinu (a,b). Þá er til punktur c á opna bilinu (a,b) þannig að

f(b)f(a)=f(c)(ba).

2.19.2. Setning

Setning

Látum f(x,y) vera fall sem er skilgreint á opinni skífu D með miðju í (a,b) þannig að á þessari skífu eru báðar fyrsta stigs hlutafleiður f skilgreindar og samfelldar. Gerum ráð fyrir að h og k séu tölur þannig að (x+h,y+k)D. Þá eru til tölur θ1 og θ2 á milli 0 og 1 þannig að

f(a+h,b+k)f(a,b)=hf1(a+θ1h,b+k)+kf2(a,b+θ2k).

2.19.3. Setning

Setning

Látum f(x,y) vera fall sem er skilgreint á opinni skífu D með miðju í (a,b) þannig að á þessari skífu eru báðar fyrsta stigs hlutafleiður f skilgreindar og samfelldar. Þá er fallið f diffranlegt í (a,b).

2.19.4. Setning

Setning

Gerum ráð fyrir að f(x,y) sé fall sem er diffranlegt í punktinum (a,b). Þá er f samfellt í (a,b).

2.19.5. Keðjuregla

Setning

Ritum z=f(x,y) þar sem x=x(s,t) og y=y(s,t). Gerum ráð fyrir að

  1. x(a,b)=p og y(a,b)=q;

  2. fyrsta stigs hlutafleiður x(s,t) og y(s,t) eru skilgreindar í punktinum (a,b);

  3. fallið f er diffranlegt í punktinum (p,q).

Þá eru fyrsta stigs hlutafleiður z með tilliti til breytanna s og t skilgreindar í punktinum (a,b) og um þær gildir að

zs=zxxs+zyys

og

zt=zxxt+zyyt.

2.20. Diffur

2.20.1. Skilgreining

Skilgreining

Ritum z=f(x1,x2,,xn). Diffrið en: differential
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
af z er skilgreint sem

dz=df=zx1dx1+zx2dx2++zxndxn.

Diffrið er nálgun á

Δf=f(x1+dx1,x2+dx2,,xn+dxn)f(x1,x2,,xn).

2.21. Varpanir RnRm

2.21.1. Táknmál

Látum f:RnRm tákna vörpun. Ritum f=(f1,,fm) þar sem hvert fi er fall RnR. Fyrir punkt í Rn ritum við x=(x1,x2,,xn). Síðan ritum við y=f(x) þar sem y=(y1,y2,,ym) og f(x)=(f1(x1,,xn),,fm(x1,,xn)).

2.22. Jacobi-fylki

2.22.1. Skilgreining

Skilgreining

Notum táknmálið úr 2.22.1. Ef allar hlutafleiðurnar yi/xj eru skilgreindar í punktinum x þá skilgreinum við Jacobi-fylki f í punktinum x sem m×n fylkið

Df(x)=[y1x1y1x2y1xny2x1y2x2y2xnymx1ymx2ymxn]

2.23. Diffranleiki varpana RnRm

2.23.1. Skilgreining

Skilgreining

Notum táknmálið úr 2.22.1 og 2.23.1. Látum a=(a1,a2,,an) vera fastan punkt í Rn og ritum h=(h1,h2,,hn). Vörpunin f er sögð diffranleg í punktinum a ef

limh0|f(a+h)f(a)Df(a)h||h|=0.

Vörpunin f er ’nálægt’ línulegu vörpuninni Df nálægt punktinum a.

Línulega vörpunin Df kallast afleiða f.

2.24. Keðjuregla

2.24.1. Setning

Setning

Látum f:RnRm og g:RmRk vera varpanir. Gerum ráð fyrir að vörpunin f sé diffranleg í punkti x og vörpunin g sé diffranleg í punktinum y=f(x). Þá er samskeytta vörpunin gf:RnRk diffranleg í x og

D(gf)(x)=Dg(f(x))Df(x).

2.25. Stigull

2.25.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum f(x,y) vera fall og (x,y) punkt þar sem báðar fyrsta stigs hlutafleiður f eru skilgreindar. Skilgreinum stigul en: gradient
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
f í punktinum (x,y) sem vigurinn

f(x,y)=f1(x,y)i+f2(x,y)j.

Stigull en: gradient
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
f er stundum táknaður með gradf.

2.25.2. Ritháttur

Oft hentugt að rita

=ix+jy.

Þá er litið svo á að diffurvirki en: differential operator
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, þ.e.a.s.  gefur fyrirmæli um hvað á að gera við f til að fá f(x,y).

2.25.3. Dæmi

../_images/gradfurf.png

Mynd 2.3 Graf z=1x2y2

../_images/gradient.png

Mynd 2.4 Jafnhæðarlínur z=1x2y2. Stigull og snertilína við jafnhæðarlínuna z=0.5 í (x,y)=(0.5,0.5).

2.25.4. Setning

Setning

Gerum ráð fyrir að fallið f(x,y) sé diffranlegt í punktinum (a,b) og að f(a,b)0. Þá er vigurinn f(a,b) hornréttur á þá jafnhæðarlínu f sem liggur í gegnum punktinn (a,b).

2.26. Snertilína við jafnhæðarferil

2.26.1. Setning

Setning

Gerum ráð fyrir að fallið f(x,y) sé diffranlegt í punktinum (a,b) og að f(a,b)0. Jafna snertilínu en: tangent, tangent line
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
við jafnhæðarferil en: contour line, depth contour, first principal line, height line, isobath, level curve
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
f í punktinum (a,b) er gefin með formúlunni

f(a,b)(x,y)=f(a,b)(a,b),

eða

f1(a,b)(xa)+f2(a,b)(yb)=0.

2.27. Stefnuafleiða

2.27.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum u=ui+vj vera einingarvigur. Stefnuafleiða Ekki fannst þýðing á hugtakinu: stefnuafleiða f í punktinum (a,b) í stefnu u er skilgreind sem

Duf(a,b)=limh0+f(a+hu,b+hv)f(a,b)h

ef markgildið er skilgreint.

Aðvörun

Í skilgreiningunni á stefnuafleiðu er tekið einhliða markgildi. Berið það saman við skilgreiningu á hlutafleiðu þar sem markgildið er tvíhliða.

2.27.2. Setning

Setning

Gerum ráð fyrir að fallið f sé diffranlegt í (a,b) og u=ui+vj sé einingarvigur. Þá er stefnuafleiðan í punktinum (a,b) í stefnu u skilgreind og gefin með formúlunni

Duf(a,b)=uf(a,b).

2.27.3. Setning

Setning

Látum f vera gefið fall og gerum ráð fyrir að f sé diffranlegt í punktinum (a,b).

(a) Hæsta gildið á stefnuafleiðunni Duf(a,b) fæst þegar u er einingarvigur í stefnu f(a,b), þ.e.a.s. u=f(a,b)|f(a,b)|.

(b) Lægsta gildið á stefnuafleiðunni Duf(a,b) fæst þegar u er einingarvigur í stefnu f(a,b), þ.e.a.s. u=f(a,b)|f(a,b)|.

(c) Ef C er sú hæðarlína f sem liggur í gegnum (a,b) og u er einingarsnertivigur við C í punktinum (a,b) þá er Duf(a,b)=0.

../_images/contours.png

2.27.4. Setning

Setning

Látum f vera gefið fall og gerum ráð fyrir að f sé diffranlegt í punktinum (a,b).

(a) Í punktinum (a,b) þá vex f hraðast ef haldið er í stefnu f(a,b).

(b) Í punktinum (a,b) þá minnkar f hraðast ef haldið er í stefnu f(a,b).

(c) Ef C er sú hæðarlína f sem liggur í gegnum (a,b) og u er einingarsnertivigur við C í punktinum (a,b) þá er er vaxtarhraði f í stefnu u jafn 0.

2.28. Stigull (aftur)

2.28.1. Skilgreining

Skilgreining

Látum f vera fall af þremur breytistærðum, þannig að allar þrjár fyrsta stigs hlutafleiður f í punktinum (x,y,z) séu skilgreindar. Stigull en: gradient
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
f í punktinum (x,y,z) er skilgreindur sem vigurinn

f(x,y,z)=f1(x,y,z)i+f2(x,y,z)j+f3(x,y,z)k.

2.29. Snertiplan við jafnhæðarflöt

2.29.1. Setning

Setning

Látum f vera fall af þremur breytistærðum þannig að fallið f er diffranlegt í punktinum (a,b,c). Látum F tákna þann jafnhæðarflöt en: contour surface, level surface
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
f sem liggur um (a,b,c). Stigullinn f(a,b,c) er hornréttur á flötinn F í punktinum (a,b,c) og snertiplan en: tangent plane
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
(ef f(a,b,c)0) við jafnhæðarflötinn í punktinum (a,b,c) er gefið með jöfnunni

f(a,b,c)(x,y,z)=f(a,b,c)(a,b,c)

eða með umritun

f1(a,b,c)(xa)+f2(a,b,c)(yb)+f3(a,b,c)(zc)=0.

2.30. Fólgin föll og Taylor-nálganir

2.30.1. Upprifjun

Skoðum feril sem gefinn er með jöfnu F(x,y)=0 og gerum ráð fyrir að báðar fyrsta stigs hlutafleiður F séu samfelldar. Látum (x0,y0) vera punkt á ferlinum. Ef F2(x0,y0)0 þá má skoða y sem fall af x í grennd við punktinn (x0,y0) og fallið y=y(x) er diffranlegt í punktinum x0 og afleiðan er gefin með formúlunni

y(x0)=F1(x0,y0)F2(x0,y0).

Sagt að jafnan F(x,y)=0 skilgreini y sem fólgið fall en: implicit function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
af x í grennd við (x0,y0).

2.30.2. Setning

Setning

Látum F vera fall af n-breytum x1,,xn og gerum ráð fyrir að allar fyrsta stigs hlutafleiður F séu samfelldar. Látum (a1,,an) vera punkt þannig að F(a1,,an)=0. Ef Fn(a1,,an)0 þá er til samfellt diffranlegt fall φ(x1,,xn1) skilgreint á opinni kúlu B utan um (a1,,an1) þannig að

φ(a1,,an1)=an

og

F(x1,,xn1,φ(x1,,xn1))=0

fyrir alla punkta (x1,,xn1) í B.

Ennfremur gildir að

φi(a1,,an1)=Fi(a1,,an)Fn(a1,,an).

2.30.3. Skilgreining

Skilgreining

Jacobi-ákveða Ekki fannst þýðing á hugtakinu: Jacobi-ákveða tveggja falla u=u(x,y) og v=v(x,y) með tilliti til breytanna x og y er skilgreind sem

(u,v)(x,y)=|uxuyvxvy|.

Ef F og G eru föll af breytum x,y,z, þá skilgreinum við, til dæmis,

(F,G)(x,y)=|FxFyGxGy|og(F,G)(y,z)=|FyFzGyGz|.

Ef við höfum föll F,G,H af breytum x,y,z,w, þá skilgreinum við, til dæmis,

(F,G,H)(w,z,y)=|FwFzFyGwGzGyHwHzHy|.

2.30.4. Setning (Upprifjun á reglu Cramers.)

Setning

Látum A vera andhverfanlegt n×n fylki og b vigur í Rn. Gerum ráð fyrir að x=(x1,x2,,xn) sé lausn á Ax=b. Skilgreinum Bi sem n×n fylkið sem fæst með því að setja vigurinn b í staðinn fyrir dálk i í A. Þá er

xi=detBidetA.

2.30.5. Setning ( Setningin um fólgin föll en: implicit function theorem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
)

Setning

Skoðum jöfnuhneppi

F(1)(x1,,xm,y1,,yn)=0F(2)(x1,,xm,y1,,yn)=0F(n)(x1,,xm,y1,,yn)=0.

Látum P0=(a1,,am,b1,,bn) vera punkt sem uppfyllir jöfnurnar. Gerum ráð fyrir að allar fyrsta stigs hlutafleiður fallanna F(1),,F(n) séu samfelldar á opinni kúlu umhverfis P0 og að

(F(1),,F(n))(y1,,yn)|P00.
Þá eru til föllφ1(x1,,xm),,φn(x1,,xm)
á opinni kúlu B umhverfis (a1,,am) þannig að
φ1(a1,,am)=b1,,φn(a1,,am)=bnog
F(1)(x1,,xm,φ1(x1,,xm),,φn(x1,,xm))=0F(2)(x1,,xm,φ1(x1,,xm),,φn(x1,,xm))=0F(n)(x1,,xm,φ1(x1,,xm),,φn(x1,,xm))=0

fyrir alla punkta (x1,,xm) í B. Enn fremur fæst að

φixj=yixj=(F(1),,F(n))(y1,,xj,yn)(F(1),,F(n))(y1,,yn).

2.30.6. Setning (Setningin um staðbundna andhverfu)

Setning

Látum
f(x1,,xn)=(f1(x1,,xn),,fn(x1,,xn))

vera vörpun af n breytistærðum sem tekur gildi í Rn og er skilgreind á opnu mengi í Rn. Gerum ráð fyrir að allar fyrsta stigs hlutafleiður fallanna f1,,fn séu samfelld föll. Ef Jacobi-fylkið Df(x0) er andhverfanlegt í punkti x0 á skilgreiningarsvæði f þá er til opin kúla Bx utan um x0 og opin kúla By utan um y0=f(x0) og vörpun | g:ByBx þannig að g(f(x))=x fyrir alla punkta xBx og f(g(y))=y fyrir alla punkta yBy.

2.30.7. Upprifjun (Taylor-regla í einni breytistærð.)

Látum f vera n+1-diffranlegt fall af einni breytistærð. Margliðan

P(n)(x)=f(a)+f(a)(xa)+f

kallast n-ta stigs Taylor-margliða f með miðju í a. Til er punktur s á milli a og x þannig að

\displaystyle E_{(n)}(x)=f(x)-P_{(n)}(x)=\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.

Fáum svo að

\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} &f(x)=P_{(n)}(x)+E_{(n)}(x) \\ &=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, \end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align}

sem er kallað n-ta stigs Taylor-formúla.

2.30.8. Skilgreining

Skilgreining

Látum f(x,y) vera fall þannig að fyrsta stigs hlutafleiður f eru skilgreindar og samfelldar. Margliðan

\displaystyle P_{(1)}(x,y)=f(a,b)+f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)

kallast fyrsta stigs Taylor-margliða f með miðju í (a,b).

2.30.9. Skilgreining

Skilgreining

Látum f(x,y) vera fall þannig að fyrsta og annars stigs hlutafleiður f eru skilgreindar og samfelldar. Margliðan

\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} P_{(2)}&(x,y)=f(a,b)+f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)\\ &+\frac{1}{2}\big(f_{11}(a,b)(x-a)^2+ 2f_{12}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{22}(a,b)(y-b)^2\big)\end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align}

kallast annars stigs Taylor-margliða f með miðju í (a,b).

2.30.10. Skilgreining og athugasemd

Setning

Skilgreinum tvo diffurvirkja en: differential operator
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
D_1 og D_2 þannig að

\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\D_1f(a,b)=f_1(a,b)\qquad\mbox{og}\qquad D_2f(a,b)=f_2(a,b).\end{aligned}\end{align}

Athugasemd

Athugið að ef hlutafleiður f af nógu háum stigum eru allar skilgreindar og samfelldar þá er D_1D_2=D_2D_1, þ.e.a.s. ekki skiptir máli í hvaða röð er diffrað, bara hve oft er diffrað með tilliti til hvorrar breytu.

2.30.11. Upprifjun ( Tvíliðuregla en: binomial theorem
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
)

Skilgreining

Skilgreinum {n\choose j} (lesið n yfir j) með:

\displaystyle {n\choose j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}.

Talan {n\choose j} er j+1-sta talan í n+1-stu línu Pascals-þríhyrningsins. Höfum að

\displaystyle (x+y)^n=\sum_{j=0}^n \textstyle{n\choose j}x^jy^{n-j}.

2.30.12. Regla

Setning

Ef f(x,y) er fall þannig að allar hlutafleiður af n-ta og lægri stigum eru samfelldar þá gildir að

\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\(hD_1+kD_2)^nf(a,b)=\sum_{j=0}^n \textstyle{n\choose j} h^jk^{n-j}D_1^jD_2^{n-j}f(a,b).\end{aligned}\end{align}

2.30.13. Skilgreining

Skilgreining

Fyrir fall f(x,y) þannig að allar hlutafleiður af n-ta og lægri stigum eru samfelldar þá er n-ta stigs Taylor-margliða f með miðju í punktinum (a,b) skilgreind sem margliðan

\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\\begin{split}\begin{aligned} P_{(n)}(x,y)&= \sum_{m=0}^n \frac{1}{m!}((x-a)D_1+(y-b)D_2)^m f(a,b)\\ &=\sum_{m=0}^n\sum_{j=0}^m \frac{1}{m!}\textstyle{m\choose j} D_1^jD_2^{m-j}f(a,b)(x-a)^j(y-b)^{m-j}\\ &=\sum_{m=0}^n\sum_{j=0}^m \frac{1}{j!(m-j)!} D_1^jD_2^{m-j}f(a,b)(x-a)^j(y-b)^{m-j}.\end{aligned}\end{split}\end{aligned}\end{align}

2.30.14. Setning

Setning

Fyrir fall f(x,y) þannig að allar hlutafleiður af n+1-ta og lægri stigum eru samfelldar þá gildir um skekkjuna í n-ta stigs Taylor-nálgun að til er tala \theta á milli 0 og 1 þannig að ef h=x-a og k=y-b þá er

\begin{align}\begin{aligned}\displaystyle\\f(x,y)-P_{(n)}(x,y)=\frac{1}{(n+1)!}(hD_1+kD_2)^{n+1} f(a+\theta h, b+\theta k).\end{aligned}\end{align}