5. Eigingildi og eiginvigrar

5.1. Eigingildi og eiginvigur

5.1.1. Skilgreining: Eigingildi og eiginvigur

Skilgreining

Látum \(A\) vera \(n \times n\) fylki. Ef til er vigur \(\textbf{x} \neq \textbf{0}\) og tala \(\lambda\) þannig að

\[A\textbf{x}=\lambda\textbf{x}\]

Þá segjum við að \(\lambda\) sé eigingildi (e. eigenvalue) \(A\) og \(x\) eiginvigur (e. eigenvector). Ef að \(x\) og \(\lambda\) uppfylla jöfnuna að ofan þá segjum við að \(x\) sé eiginvigur við eigingildi \(\lambda\). Við þessar aðstæður segjum við að eigingildið \(\lambda\) og eiginvigurinn \(x\) tilheyri hvort öðru.

5.1.1.1. Sýnidæmi: Eigingildi

Dæmi

Látum \(A=\begin{bmatrix} 2&0\\0&1 \end{bmatrix}\) og \(\textbf{x} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\) finnum eigingildi.

Lausn

Fáum

\[\begin{split}A\textbf{x} = \begin{bmatrix} 2\\0\end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix} = 2 \textbf{x}\end{split}\]

svo 2 er eigingildi \(A\) og \(\textbf{x}\) er tilsvarandi eiginvigur.

5.1.2. Setning: Eigingildi

Setning

Látum \(A\) vera \(n \times n\) fylki. Tala \(\lambda\) er eigingildi fylkis \(A\) ef og aðeins ef \(\det(A-\lambda I)=0\).

5.1.2.1. Sýnidæmi: Eigingild og eiginvigrar

Dæmi

Finnið eigingildi og eiginvigra

\[\begin{split}A=\begin{bmatrix}2 & 1\\ 9 & 2\end{bmatrix}\end{split}\]

Lausn

Byrjum að finna eigingildin, til þess þarf

\[\begin{split}A-\lambda I = \begin{bmatrix}2-\lambda & 1 \\ 9 & 2-\lambda\end{bmatrix} (*)\end{split}\]

að vera óandhverfanlegt og hafa þannig ákveðuna 0. Höfum að

\[\begin{split}\begin{align*} \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 9 & 2-\lambda \end{vmatrix} &= (2-\lambda)^2-9\\&= \lambda^2-4\lambda+4-9\\&=\lambda^2-4\lambda-5\\& = (\lambda-5)(\lambda+1) \end{align*}\end{split}\]

svo ef \(A-\lambda I\) er óandhverfanlegt þá er \((\lambda-5)(\lambda+1)=0\) sem gefur að \(\lambda = 5\) eða \(\lambda =-1\).

Tökum \(\lambda=5\) og þá fæst að við erum að reyna að leysa jöfnuhneppið (*) sem er þá

\[\begin{split}\begin{bmatrix} -3 & 1\\ 9 & -3 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -1/3\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

svo \(\textbf{x} = t\begin{bmatrix}1/3\\1\end{bmatrix}\).

Nú má auðveldlega sannreyna að \(\begin{bmatrix} 1/3\\1\end{bmatrix}\) er eiginvigur sem svarar til eigingildisins 5.

5.2. Eiginrúm

5.2.1. Setning: Eiginrúm

Setning

Látum \(A\) vera \(n\times n\) fylki og \(\lambda\) eigingildi þess. Mengi allra eiginvigra tilheyrandi eigingildinu \(\lambda\) að viðbættum núllvigrinum \(\textbf{0}\) er hlutrúm í \(\mathbb{R}^n\). Þetta hlutrúm er kallað eiginrúm (e. eigenspace) tilheyrandi eigingildinu \(\lambda\) og táknað með \(E(\lambda)\). Eiginrúmið er núllrúm fylkisins \(A-\lambda I\).

5.2.1.1. Sýnidæmi: Eiginrúm fylkis

Dæmi

Gefið er að 3 og 4 eru eigingildi fylkisins \(A\). Finnið eiginrúm \(A\) með tilliti til eigingildanna.

\[\begin{split}A=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 6 \end{bmatrix}\end{split}\]

Lausn

Við byrjum á að finna eiginrúmið sem tilheyrir eigingildinu \(\lambda=3\). Til þess leysum við jöfnuna \((A-3I)\textbf{x}=0\). Fáum

\[\begin{split}A-3I= \begin{bmatrix} -2 & 3\\ -2 & 3 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} -2 & 3\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

svo að \(\ve{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=x_2\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\) er lausn á jöfnunni. Við getum því séð að \(\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\) er eiginvigur með eigingildi \(\lambda=3\) og því er \(E(3)=\spn{\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}}\).

Gerum nú það sama fyrir eigingildið \(\lambda=4\). Þá þurfum við að leysa \((A-4I)\textbf{x}=0\). Fáum að

\[\begin{split}A-4I= \begin{bmatrix} -3 & 3\\ -2 & 2 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -1\\ -2 & 2 \\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

svo að með sömu rökum er \(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\) eiginvigur með eigingildi \(\lambda=4\) og því er \(E(4)=\spn{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\).

5.2.2. Setning: Eigingildi þríhyrningsfylkja

Setning

Ef \(A\) er \(n \times n\) þríhyrningsfylki þá eru eigingildi \(A\) stökin á hornalínunni.

5.2.3. Setning: Eiginvigrar línulega óháðir

Setning

Látum \(\textbf{v}_1, \dots \textbf{v}_r\) vera eiginvigra sem svara til ólíkra eigingilda \(\lambda_1,\dots, \lambda_r\) fylkisins \(A\). Þá er mengið \(\{\textbf{v}_1, \dots, \textbf{v}_r\}\) línulega óháð.

Aðvörun

Einfaldar línuaðgerðir varðveita ekki eigingildi.

5.2.4. Setning: 0 sem eigingildi

Setning

Talan 0 er eigingildi fylkisins \(A\) þá og því aðeins að \(A\) er óandhverfanlegt.

5.3. Kennijafnan

5.3.1. Setning: Kennijafnan

Setning

Jafnan \(\det(A-\lambda I)=0\) kallast kennijafna (e. characteristic equation) fylkisins A.

5.3.1.1. Sýnidæmi: Kennijafnan

Dæmi

Finnum eigingildi og eignvigra fylkisins

\[\begin{split}A = \begin{bmatrix} 10 & 2 \\ 9 & 3 \end{bmatrix}\end{split}\]

Launs

Til að finna eiginvigra þarf að finna ekki-augljósa lausn á jöfnunni \((A-\lambda I)\textbf{x} = \textbf{0}\). Til þess þarf að gilda \(\det(A - \lambda I) = 0\).

Reiknum

\[\begin{split}\begin{align*} \begin{vmatrix} 10-\lambda & 2 \\ 9 & 3-\lambda \end{vmatrix} &= (10-\lambda)(3-\lambda) - (2 \cdot 9) = \lambda^2 - 13\lambda + 12 = \\&= (\lambda-12)(\lambda -1). \end{align*}\end{split}\]

Þessi ákveða er jöfn \(0\) þegar \((\lambda-12)(\lambda -1)=0\) við fáum því tvö eigingildi, \(\lambda = 1\) og \(\lambda=12\). Skoðum fyrst eigingildið \(\lambda = 1\)

\[\begin{split}(A - \lambda I)\textbf{x}= \begin{bmatrix} 10-1 & 2 \\ 9 & 3-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 2 \\ 9 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

sem gefur lausnina

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (-2/9)x_2\\x_2 \end{bmatrix}=x_2\begin{bmatrix} (-2/9)\\1 \end{bmatrix}\end{split}\]

Eiginvigrar m.t.t. 1 eru því öll margfeldi \([-2/9 \ 1]^T\) þannig að við getum líka skrifað að alla eiginvigra sem svara til \(\lambda=1\) megi skrifa á forminu

\[\begin{split}t\begin{bmatrix} -2\\ 9 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Skoðum næst \(\lambda = 12\)

\[\begin{split}(A - \lambda I)\textbf{x} = \begin{bmatrix} 10-12 & 2 \\ 9& 3-12 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 9 & -9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Auðvelt að sjá að allar tölur \(x_1,x_2\) sem uppfylla \(x_1=x_2\) eru lausnir svo eiginvigrar m.t.t. 12 eru allir á forminu:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_2\\x_2 \end{bmatrix}=x_2\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}=t\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}\end{split}\]

Athugasemd

Kennijafnan getur í mesta lagi haft \(n\) ólíkar núllstöðvar. Ef að margliðan þéttast þannig að einhver núllstöð \(r\) kemur fyrir í \(s\)-ta veldi þáttun hennar þá segjum við að eigingildið \(r\) hafi algebrulega margfeldni \(s\) (e. algrebraic multiplicity).

5.3.1.2. Sýnidæmi: Margfeldni eigingildis

Dæmi

Finnið eigingildin

\[\begin{split}A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 &-2 &1\\ 0& 0& 1\\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Dæmi

Fáum

\[\begin{split}\begin{vmatrix} 1-\lambda & 3 & 0\\ 0 &-2 -\lambda&1\\ 0& 0& 1 -\lambda \\ \end{vmatrix} = (1-\lambda)^2(-2-\lambda)\end{split}\]

Þar með hefur eigingildið 1 margfeldnina 2 en eigingildið -2 hefur margfeldnina 1.

5.4. Ámóta fylki

5.4.1. Skilgreining: Ámóta

Skilgreining

Tvö \(n \times n\) fylki \(A\) og \(B\) eru sögð ámóta (e. similar) ef til er andhverfanlegt fylki \(P\) þannig að

\[B=P^{-1}AP\]

Athugasemd

1. Ferningsfylki \(A\) er ámóta sjálfu sér.

2. Ef \(B=P^{-1}AP\) þá er \(A=P^{-1}BP\)

3. Gerum ráð fyrir að fylki \(A\) sé ámóta fylkinu \(B\) og fylkið \(B\) sé ámóta fylkinu \(C\). Þá er \(A\) ámóta \(C\).

Þessi þrjú atriði segja að það að vera ámóta er dæmi um það sem er kallað jafngildisvensl.

5.4.2. Setning: Kennijafna ámóta fylkja

Setning

Ef \(A\) og \(B\) eru ámóta fylki þá hafa þau sömu kennijöfnur og þar með sömu eigingildi (með sama margfeldni hvert).

Sönnun

Skrifum \(B=P^{-1}AP\) fyrst \(A\) og \(B\) eru ámóta. Þá er

\[\begin{split}\begin{align*} P(A-\lambda I )P^{-1} &=(PA - P\lambda I)P^{-1}= (PA- \lambda PI)P^{-1} \\ &=(PA- \lambda P)P^{-1}= PAP^{-1}- \lambda PP^{-1}= B-\lambda I \end{align*}\end{split}\]

Þar með er líka

\[\det(P(A-\lambda I )P^{-1})=\det(B-\lambda I)\]

sem gefur

\[\det(P)\det(A-\lambda I )\det(P)^{-1}=\det(B-\lambda I)\]

svo \(\det(A-\lambda I)=\det(B-\lambda I)\) og \(A\) og \(B\) hafa sömu kennijöfnu.

Aðvörun

Mögulegt er að tvö fylki hafi nákvæmlega sömu eigingildi með sömu margfeldni en séu samt ekki ámóta.

5.5. Hornalínugjörningar

5.5.1. Skilgreining: Hornalínufylki

Skilgreining

Við segjum að \(n \times n\) fylki \(D\) sé hornalínufylki (e. diagonal matrix) ef öll stök utan hornalínunnar eru 0.

\[\begin{split}D = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_n \end{bmatrix}\end{split}\]

5.5.2. Skilgreining: Hornalínugeranlegt

Skilgreining

Ferningsfylki \(A\) sem er ámóta hornalínufylki er sagt hornalínugeranlegt (e. diagonalizable). Það er að segja, fylki \(A\) er hornalínugeranlegt ef til er andhverfanlegt fylki \(P\) þannig að \(A=PDP^{-1}\) þar sem \(D\) er hornlínufylki.

Að hornalínugera fylki

1. Finnum eigingildi \(A\).

2. Finnum \(n\) línulega óháða eiginvigra \(A\).

3. Smíðum fylkið \(P\) úr eiginvigrnum í skrefi 2.

4. Smiðum fylkið \(D\) úr eigingildum í skrefi 1.

5.5.2.1. Sýnidæmi: Hornalínugjörningar

Dæmi

Hornulínugerið fylkið \(A\) ef hægt er

\[\begin{split}A=\begin{bmatrix} 3 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\end{split}\]

Launs

Þar sem \(A\) er hornalínufylki eru eigingildi þess stökin á hornalínunni, sem sagt \(\lambda = 3\) og \(\lambda = 1\). Fyrir \(\lambda = 3\) fæst

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 0 & 2 & 1\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & -2\\ \end{bmatrix} \sim \dots \sim \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0& 0& 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

sem svara til jöfnuhneppisins \(x_2=0, x_3=0\) sem hefur lausn

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_1\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Fyrir \(\lambda = 1\) fæst

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 2& 2 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0& 0& 0 \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 0\\ 0& 0& 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

sem svarar til jöfnuhneppisins \(x_1+x_2+1/2x_3=0\) sem hefur lausnirnar

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -x_2-\frac{1}{2}x_3\\ x_2\\ x_3\\ \end{bmatrix}=x_2\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\end{split}\]

Fylkið hefur því þrjá línulega óháða eiginvigra sem mynda fylkið \(P\). Auk þess fáum við \(D\)

\[\begin{split}P= \begin{bmatrix} 1& -1& -\frac{1}{2}\\ 0 & 1& 0\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}, \quad D=\begin{bmatrix} 3& 0 & 0\\ 0 & 1& 0\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}\end{split}\]

og \(A\) er hornalínugeranlegt með \(A=PDP^{-1}\).

5.5.3. Setning: Hornalínugeranleg fylki

Setning

Látum \(A\) vera \(n \times n\) fylki. Ef fylkið \(A\) hefur \(n\) ólík eigingildi þá er fylkið \(A\) hornalínugeranlegt.

5.5.3.1. Sýnidæmi: Er fylkið hornalínugeranlegt

Dæmi

Er fylkið \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6\end{bmatrix}\) hornalínugeranlegt?

Lausn

Kennimargliða \(A\) er \(p(\lambda)=(1-\lambda)(4-\lambda)(6-\lambda)\). Eigingildin eru \(\lambda_1=1, \lambda_2=4\) og \(\lambda_3=6\). Höfum hér \(3 \times 3\) fylki með 3 ólík eigingildi. Fylkið er því hornalínugeranlegt.

5.5.4. Setning: Vídd eiginrúms

Setning

Látum \(A\) vera \(n \times n\) fylki sem hefur ólíku eigingildin \(\lambda_1, \dots, \lambda_p\) (með \(p\leq n\)). Þá gildir eftirfarandi.

1. Vídd eiginrúmsins m.t.t. \(\lambda_k\) er minni eða jöfn margfeldni eigingildisins \(\lambda_k\), fyrir \(1\leq k\leq p\).

2. Fylkið \(A\) er hornalínugeranlegt þá og því aðeins að summa vídda eiginrúma m.t.t. allra eigingildanna \(\lambda_k\) er jöfn \(n\). Til þess þarf kennijafnan að þáttast að fullu í línulega þætti og vídd eiginrúms m.t.t. til hvers eigingildis að vera jöfn margfeldni þess.

3. Ef \(A\) er hornalínugeranlegt og \(\mathcal{B}_k\) er grunnur fyrir eiginrúm m.t.t \(\lambda_k\) fyrir fyrir \(1\leq k\leq p\) þá myndar sammengið

\[\mathcal{B}_1\cup \dots \cup \mathcal{B}_k\]

grunn fyrir \(\mathbb{R}^n\).

5.6. Eiginvigrar línulegra varpana

5.6.1. Skilgreining: Eigingildi og eiginvigrar línulegra varpana

Skilgreining

Látum \(V\) vera vigurrúm og \(T\text{:}V \rightarrow V\) vera línulega vörpun. Ef til er vigur \(\textbf{x} \neq \textbf{0}\) í \(V\) og tala \(\lambda\) þannig að \(T(x)=\lambda\textbf{x}\) þá kallast \(\lambda\) eigingildi \(T\) og \(\textbf{x}\) kallast eiginvigur \(T\) sem svara til \(\lambda\).

5.6.1.1. Sýnidæmi: Eiginvigrar línulegra varpana

Dæmi

Skoðum vörpunina \(T\text{:}\mathbb{P}_1 \rightarrow \mathbb{P}_1\), \(T(a_1x+a_0)=2a_1x+2a_0\) þar sem við skoðum margliðuna \(p(x)=x\) og fáum

\[T(p(x))=T(x)=2x=2p(x)\]

svo margliðan \(p(x)=x\) er eiginvigur \(T\) og \(\lambda=2\) er eigingildi \(T\). Einnig ef við tökum \(p(x)=1\) fæst

\[T(p(x))=T(1)=2=2\cdot 1=2p(x)\]

svo \(p(x)=1\) er líka eiginvigur \(T\) og hefur einnig eigingildið \(\lambda=2\).

5.6.2. Setning: Fylki línulegra varpana í \(V\)

Setning

Látum \(T:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\) vera línulega vörpun með fylkið \(A\). Gerum ráð fyrir að \(A\) sé hornalínugeranlegt. Látum \(\mathcal{B}\) vera grunn sem myndaður er að eiginvigrum \(A\) og \(P\) vera fylkið sem hefur eiginvigra \(A\) sem dálka. Hornalínufylkið \(D=P^{-1}AP\) er þá fylki vörpunarinnar m.t.t. grunnsins \(\mathcal{B}\).

5.6.2.1. Sýnidæmi: Fylki línulegra varpana í \(V\)

Dæmi

Látum \(V\) vera n-vítt vigurrúm og \(T\text{:}V \rightarrow V\) vera línulega vörpun. Hvernig finnum við fylki sem táknar \(T\)?

Lausn

Við færum okkur yfir í \(\mathbb{R}^n\). Látum \(\mathcal{B}=\{\textbf{b}_1, \dots, \textbf{b}_n\}\) vera einhvern grunn fyrir \(V\). Tökum \(\textbf{x} \in V\). Þá má skrifa

\[\textbf{x}=r_1\textbf{b}_1+\dots+r_n\textbf{b}_n\]

og við skrifum

\[\begin{split}[\textbf{x}]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} r_1\\\vdots\\r_n \end{bmatrix}\end{split}\]

Þá gildir líka

\[T(\textbf{x})=T(r_1\textbf{b}_1+\dots+r_n\textbf{b}_n)=r_1T(\textbf{b}_1)+\dots+r_nT(\textbf{b}_n)\]

Beitum hnitavörpunninni \(V\rightarrow\mathbb{R}^n, \textbf{x}\mapsto[\textbf{x}]_\mathcal{B}\) á báðar hliðar og fáum

\[\begin{split}\begin{align*} [T(\textbf{x})]_\mathcal{B} &=r_1[T(\textbf{b}_1)]_\mathcal{B} + \dots +r_n[T(\textbf{b}_n)]_\mathcal{B} \\&= \begin{bmatrix} [T(\textbf{b}_1)]& \dots &[T(\textbf{b}_n)]_\mathcal{B} \end{bmatrix} \underbrace{\begin{bmatrix} r_1 \\ \vdots \\ r_n \end{bmatrix}}_{[\textbf{x}]_\mathcal{B}} \end{align*}\end{split}\]

Skilgreinum nú fylkið

\[T_\mathcal{B}=\begin{bmatrix} [T(\textbf{b}_1)]& \dots &[T(\textbf{b}_n)]_\mathcal{B} \end{bmatrix}\]

og þá fæst

\[[T(\textbf{x})]_\mathcal{B}=T_\mathcal{B}[\textbf{x}]_{\mathcal{B}}.\]

5.6.2.2. Sýnidæmi: Hornalínugjörningur

Dæmi

Látum \(\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 5 & 6 \end{bmatrix}\) vera venjulega fylkið fyrir línulega vörpun \(\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\). finnið grunn \(\mathcal{B}\) fyrir \(\mathbb{R}^2\) þannig að \(\mathcal{B}\) -fylki \(T\) sé hornalínufylki.

Launs

Fyrst finnum við eigingildin og eiginvigrana:

\[\begin{split}\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix} -\lambda & 1 \\ 7 & 6 - \lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - 6\lambda - 7 = 0\end{split}\]

Þetta gefur \((\lambda-7)(\lambda+1)=0\) og við fáum eigingildin: \(\lambda_1=7\) og \(\lambda_2=-1\). Finnum eiginvigra fyrir \(\lambda_1=7\)

\[\begin{split}A-7I=\begin{bmatrix} -7 & 1 \\ 7 & -1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 7 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Eiginvigur: \(\textbf{v}_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix}\). Finnum eiginvigra fyrir \(\lambda_2=-1\)

\[\begin{split}A-(-1)I=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 7 & 7 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\Rightarrow x + y = 0\end{split}\]

Eiginvigur: \(\textbf{v}_2=\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}\) Getum því skrifað

\[\begin{split}P=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 7 & 1 \end{bmatrix} \text{ og } D=\begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\end{split}\]

Þá gildir að \(A=PDP^{-1}\) og \(\mathcal{B} = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}\).