4. Vigurrúm
Markmið þessa kafla er að alhæfa hugtakið vigur. Við höfum séð hvernig það má leggja saman vigra, margfalda þá með tölu og hvernig þessar tvær aðgerðir tengjast með dreifireglu. Nú viljum við telja til alla eiginleika vigra og skilgreina mismunandi „heimili“ þeirra. Í stað vigurrúms með margföldun með rauntölu gætum við t.d. skilgreint vigurrúm með margföldun með tvinntölu. Við viljum einnig alhæfa hugtök sem við höfum áður séð eins og spann, línuleg vörpun o.fl. fyrir almenn vigurrúm.
4.1. Vigurrúm og hlutrúm
4.1.1. Skilgreining: Vigurrúm
Skilgreining
Vigurrúm (e. vector space) er ekki tómt mengi \(V\) með stökum sem nefnd eru vigrar (e. vectors) ásamt tveimur aðgerðum samlagningu og margföldun með rauntölu, sem fullnægja eftirfarandi frumsendum fyrir alla vigra \(\ve u, \ve v\in V\) og allar tölur \(c\) og \(d\) :
1. Ef \(\ve u,\ve v\in V\) þá er \(\ve u+\ve v\in V\). lokun við samlagningu
2. \(\ve u + \ve v = \ve v + \ve u\). víxlregla samlagningar
3. \((\ve u + \ve v) +\ve w =\ve u + (\ve v +\ve w)\). tengiregla samlagningar
4. Til er stak \(\ve{0}\) í \(V\) kallað núll eða núllvigur þannig að \(\ve 0 + \ve u = \ve u\). samlagningarhlutleysa
5. Fyrir sérhvert \(\ve u \in V\) er til stak \(-\ve u \in V\) þannig að \(\ve u +(-\ve u) =\ve 0\) . samlagningarandhverfa
6. Ef \(\ve u\in V\) þá er \(c\ve u\in V\). lokun við margföldun með tölu
7. \(c(d\ve u) = (cd)\ve u\). tengiregla margföldunar
8. \(1\ve u = \ve u\). margföldunarhlutleysa
9. \(c(\ve u+\ve v) = c\ve u +c\ve v\). dreifiregla
10. \((c+d)\ve u = c\ve u + d\ve u\). dreifiregla
Nokkrar afleiðingar af þessari skilgreiningu eru að:
Fyrir sérhvern vigur \(\ve u\in V\) gildir að \(0\ve u = \ve 0\).
Fyrir sérhverja tölu \(c\) gildir að \(c\ve 0 = \ve 0\).
Fyrir sérhvern vigur \(\ve u\in V\) er vigurinn \(-\ve u\) ótvírætt ákvarðaður.
Fyrir sérhvern vigur \(\ve u\in V\) gildir að \(-\ve u=(-1)\ve u\).
Núllvigurinn er ótvírætt ákvarðaður.
4.1.1.1. Sýnidæmi: Vigurrúm
Dæmi
1. \(\R^n\) ásamt venjulegri samlagningu og margföldun með rauntölu er vigurrúm.
2. \(\R^{m\times n}\), mengi allra \(m\times n\) fylkja, er vigurrúm þar sem aðgerðirnar eru venjuleg samlagning fylkja og margföldun fylkis með tölu.
3. Mengi allra runa \({y_k} = (\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots)\) af rauntölum. Samlagning og margföldun með tölu eru skilgreind þannig að
Mengið ásamt þessum tveimur aðgerðum er vigurrúm.
4. Látum \(\mathbb{P}_n\) vera mengi allra margliða af stigi minna en eða jafnt \(n\). Stökin í \(\mathbb{P}_n\) eru margliður af taginu
Samlagning og margföldun með tölu eru skilgreind á venjulegan mátann. Með þessum tveimur aðgerðum er \(\mathbb{P}_n\) vigurrúm.
5. Mengi allra margliða (af öllum stigum):math:mathbb{P_n} er vigurrúm.
Tökum einhverjar rauntölur \(a<b\) og látum \((a,b)\) tákna opna bilið \(\{x \in \R\colon a < x < b\}\subset R\).
6. Látum \(\mathcal{V}(a,b)\) vera mengi allra falla \(f\colon (a,b)\to\R\). Samlagning og margföldun með tölu eru skilgreind á venjulega mátann. Með þessum tveimur aðgerðum er \(\mathcal{V}(a,b)\) vigurrúm. Athugið að núllvigurinn í \(\mathcal{V}(a,b)\) er fastafallið sem tekur gildið 0 í öllum punktum.
7. Látum \(\mathcal{C}(a,b)\) vera mengi allra samfelldra falla \(f\colon (a,b)\to\R\). Samlagning og margföldun með tölu eru skilgreind á venjulega mátann. Athugið að þegar við leggjum saman tvö samfelld föll er útkoman samfellt fall og þegar við margföldum samfellt fall með tölu þá er útkoman samfellt fall. Með þessum tveimur aðgerðum er \(\mathcal{C}(a,b)\) vigurrúm.
8. Látum \(\mathcal{D}(a,b)\) vera mengi allra diffranlegra falla \(f\colon (a,b)\to\R\). Samlagning og margföldun með tölu eru skilgreind á venjulega mátann. Athugið að þegar við leggjum saman tvö diffranleg föll er útkoman diffranlegt fall og þegar við margföldum diffranlegt fall með tölu þá er útkoman diffranlegt fall. Með þessum tveimur aðgerðum er \(\mathcal{D}(a,b)\) vigurrúm.
Athugum að hér höfum við að \(\mathcal{D}(a,b)\subseteq\mathcal{C}(a,b)\subseteq\mathcal{V}(a,b)\) svo hér er dæmi um að eitt vigurrúm er hlutmengi í öðru.
4.1.2. Skilgreining: Hlutrúm
Skilgreining
Hlutmengi \(H\) í vigurrúmi \(V\) kallast hlutrúm (e. subspace) ef eftirfarandi þrjú skilyrði eru öll uppfyllt :
1. Núllvigurinn er stak í \(H\).
2. Ef \(\ve u\) og \(\ve v\) eru vigrar í \(H\) þá er vigurinn \(\ve u + \ve v\) í \(H\). Við segjum að mengi \(H\) sé lokað undir samlagningu.
3. Ef \(\ve u\) er vigur í \(H\) og \(c\) er rauntala þá er vigurinn \(c\ve u\) í \(H\). Við segjum að mengi \(H\) sé lokað undir margföldun með tölu.
Athugasemd
(i) Í stað skilyrðis 1. er stundum sagt að mengið \(H\) sé ekki tómt. Þá má svo nota skilyrði 3. til að sýna að \(\ve 0\in H\).
(ii) Ef \(U\) er hlutrúm í vigurrúminu \(V\), þá er \(U\) vigurrúm með reikningsaðgerðunum sem það „erfir“ frá \(V\).
(iii) \(\{\ve 0\}\) og \(V\) eru hlutrúm í \(V\).
4.1.2.1. Sýnidæmi: Hlutrúm
Dæmi
1. Höfum vigurrúmið \(V=\R^3\). Mengin
eru allt dæmi um hlutrúm.
2. Mengi allra efri þríhyrningsfylkja í vigurrúminu \(\R^{n\times n}\) er hlutrúm í \(\R^{n\times n}\).
3. Mengið \(\mathbb{P}_n\) af öllum margliðum af stigi \(n\) eða lægra er hlutrúm í \(\mathbb{P}\) mengi allra margliðna.
4. Mengið \(\mathcal{D}(a,b)\) af öllum diffranlegum föllum á opna bilinu \((a,b)\) er hlutrúm í \(\mathcal{C}(a,b)\), mengi allra samfelldra falla á opna bilinu \((a,b)\). Svo er \(\mathcal{C}(a,b)\) sjálft hlutrúm í \(\mathcal{V}(a,b)\), mengi allra falla skilgreindra á opna bilinu \((a,b)\). Við mættum einnig segja að \(\mathcal{D}(a,b)\) sé hlutrúm í \(\mathcal{V}(a,b)\).
4.1.3. Skilgreining: Alhæfing línuleg samantekt og spann
Skilgreining
Látum \(V\) vera vigurrúm, \(\ve v_1, \dots, \ve v_p \in V\) og \(c_1, \dots, c_p \in \R\). Vigurinn
kallast línuleg samantekt vigranna. Mengi allra línulegra samantekta \(\ve v_1, \dots, \ve v_p\) kallast spann vigranna,
Áður skilgreindum við línulega samantekt og spann fyrir \(\R^n\). Nú höfum við almennari skilgreiningu fyrir hverskyns vigurrúm.
4.1.4. Setning: Spann er hlutrúm
Setning
Látum \(\ve v_1, \dots, \ve v_p \in V\). Þá er \(\text{Span}\{\ve v_1, \dots, \ve v_p\}\) hlutrúm í \(V\).
Látum \(U\) vera hlutrúm í vigurrúmi \(V\). Ef \(\ve u_1, \ve u_2, \ldots, \ve u_p\) eru vigrar í \(U\) þá er \(\text{Span}\{\ve u_1, \ve u_2, \ldots, \ve u_p\}\subseteq U\).
4.1.4.1. Sýnidæmi: Fleiri hlutrúm
Dæmi
Skoðum upptalningu á öllu hlutrúmum eftirfarandi vigurrúma: \(\R\), \(\R^2\) og \(\R^3\)
Lausn
1. Einu hlutrúmin í \(\R\) eru \(\{0\}\) og \(\R\).
2. Hlutrúmin í \(\R^2\) eru \(\{\ve 0\}\) og \(\R^2\) ásamt öllum línum sem liggja um núllpunktinn. Lína gegnum núllpunktinn með stefnuvigur \(\ve v\) er jöfn \(\text{Span}\{\ve v\}\).
3. Hlutrúmin í \(\R^3\) eru \(\{\ve 0\}\) og \(\R^3\) ásamt öllum línum og öllum sléttum sem liggja um núllpunktinn. Ef \(\Gamma\) er slétta í \(\R^3\) sem inniheldur núllpunktinn og \(\ve u\) og \(\ve v\) eru vigrar sem liggja í planinu þannig að hvorugur sé margfeldi af hinum þá er \(\Gamma=\text{Span}\{\ve u, \ve v\}\).
Athugasemd
Athugið að eftirfarandi eru ekki hlutrúm:
1. Lína í \(\R^n\) sem fer ekki í gegnum núllpunktinn er ekki hlutrúm.
2. Slétta í \(\R^3\) sem fer ekki í gegnum núllpunktinn er ekki hlutrúm.
4.1.5. Skilgreining: Vigursumma
Skilgreining
Látum \(U_1\) og \(U_2\) vera hlutrúm í vigurrúmi \(V\). Þá kallast hlutmengið
vigursumma (e. vector sum), eða einfaldlega summa, þeirra.
4.1.6. Setning
Setning
Látum \(U_1\) og \(U_2\) vera hlutrúm í \(V\). Þá eru bæði \(U_1\cap U_2\) og \(U_1+U_2\) hlutrúm í \(V\).
4.2. Null, Col, Ker og Range
4.2.1. Skilgreining: Núllrúm fylkis
Skilgreining
Látum \(A\) vera \(m\times n\) fylki. Núllrúm \(A\) (e. nullspace) er skilgreint sem mengi allra vigra \(\ve x\in\R^n\) þannig að \(A\ve x=\ve 0\). Núllrúmið er táknað með \(\nul{A}\) og
Núllrúmið er sem sagt mengi allra lausna jöfnunar \(A\ve x=\ve 0\).
4.2.2. Setning: Núllrúm er hlutrúm
Setning
Látum \(A\) vera \(m\times n\) fylki. Núllrúm \(A\) er hlutrúm í \(\R^n\), táknað \(\nul{A}\), m.ö.o. lausnarúm óhliðraðar jöfnu \(A\ve x=\ve 0\) með \(n\) óþekktum stærðum er hlutrúm í \(\R^n\).
Athugasemd
Lausnarmengi hliðraðar jöfnu \(A\ve x=\ve b\) þar sem \(b\neq\ve 0\) er ekki hlutrúm í \(\R^n\). Það sést til dæmis af því að \(\ve 0\) er ekki í lausnarmenginu.
4.2.3. Skilgreining: Dálkrúm fylkis
Skilgreining
Látum \(A\) vera \(m\times n\) fylki. Mengið sem dálkvigrar \(A\) spanna kallast dálkrúm \(A\) (e. column space) og er táknað með \(\col{A}\). Ef \(A=[a_1 a_2 \cdots a_n]\) þá er
4.2.4. Setning: Dálkrúm er hlutrúm
Setning
Látum \(A\) vera \(m\times n\) fylki. Dálkrúm \(A\), \(\col{A}\), er hlutrúm í \(\R^m\).
4.2.5. Samanburður á núllrúmum og dálkrúmum
Setning
Látum \(A\) vera \(m\times n\) fylki.
Núllrúmið \(\nul{A}\) er hlutrúm í \(\R^n\) en dálkrúmið \(\col{A}\) er hlutrúm í \(\R^m\).
Við finnum \(\nul{A}\) með því að leysa jöfnuna \(A\ve x=\ve 0\).
Við finnum \(\col{A}\) með því að skoða spann dálkvigra \(A\).
Vigur \(\ve v\in\R^n\) er í \(\nul{A}\) ef og aðeins ef \(A\ve v=\ve 0\).
Vigur \(\ve b\in\R^m\) er í \(\col{A}\) ef og aðeins ef jafnan \(A\ve x=\ve b\) hefur lausn.
4.2.5.1. Sýnidæmi: Núllrúm
Sýnidæmi
Finnið nákvæma lýsingu á núllrúmi fylkisins
með stikaðri framsetningu.
Lausn
Fáum, með einföldum línuaðgerðum að:
Höfum því að
Vitum að \(\nul{A}\) er lausnamengi \(A\ve x=\ve 0\). Það er stikað með
Við fáum því
Til að finna nákvæma lýsingu núllrúms þarf því að leysa línulegt jöfnuhneppi.
4.2.5.2. Sýnidæmi: Dálkrúm
Sýnidæmi
Látum
Finnið nákvæma lýsingu á dálkrúmi A.
Lausn
Fáum með einföldum línuaðgerðum að:
Sjáum að fyrstu 3 dálkar fylkisins eru vendidálkar. Þá er \(\col{A}\) fyrstu 3 dálkarnir úr upprunalega \(A\) fylkinu,
4.2.6. Skilgreining: Kjarni og mynd vörpunar
Skilgreining
Látum \(T\colon V\to W\) vera línulega vörpun.
Kjarni (e. kernel, null space) vörpunarinnar \(T\) er mengi allra vigra \(\ve u\in V\) þannig að \(T(\ve u)=\ve 0\). Kjarninn er táknaður með \(\ker{T}\) og
Mynd (e. range) vörpunarinnar \(T\) er mengi allra vigra í \(W\) sem rita má á forminu \(T(\ve x)\) fyrir eitthvað \(\ve x\in V\). Myndin er oft táknuð \(\range{T}\) og
Athugasemd
Ef \(T(\ve x)=A\ve x\) fyrir eitthvað fylki \(A\) þá er \(\ker{T}=\nul{A}\) og \(\range{T}=\col{A}\).
4.2.7. Setning: Kjarni og mynd eru hlutrúm
Setning
Látum \(T \colon V \rightarrow W\) vera línulega vörpun.
Kjarni vörpunarinnar \(T\) er hlutrúm í \(V\).
Mynd vörpunarinnar \(T\) er hlutrúm í \(W\).
4.2.8. Setning: Eintækni og átækni varpana
Setning
Látum \(T\colon V\to W\) vera línulega vörpun.
Vörpunin \(T\) er eintæk ef og aðeins ef \(\ker{T}=\{\ve{0}\}\).
Vörpunin \(T\) er átæk ef og aðeins ef \(\range{T}=W\).
Setning
Látum \(A\) vera \(m\times n\) fylki og \(T\colon \R^n\to\R^m\) vera línulega vörpun þanning að \(T(\ve x)=A\ve x\) fyrir alla vigra \(x\in\R^n\). Þá gildir
Vörpunin \(T\) er eintæk þá og því aðeins að \(\nul{A}=\{\ve 0\}\).
Vörpunin \(T\) er átæk þá og því aðeins að \(\col{A}=\R^m\).
Við vitum nú þegar að línuleg vörpun er eintæk ef og aðeins ef hún er átæk. Setningin segir okkur því líka að núllrúmið innihaldi aðeins \(\ve 0\) þá og því aðeins að dálkrúmið sé \(\R^m\).
4.3. Grunnar og hnit
4.3.1. Skilgreining: Grunnur
Skilgreining
Látum \(H\) vera hlutrúm í vigurrúmi \(V\). Upptalning \(\mathcal{B}=\{\ve b_1, \ve b_2, \ldots, \ve b_p\}\) á vigrum í \(V\) kallast grunnur (e. basis) fyrir \(H\) ef eftirfarandi skilyrði eru bæði uppfyllt
(i) Upptalningin \(\mathcal{B}\) er línulega óháð.
(ii) \(H=\text{Span}\{\ve b_1, \ve b_2, \ldots, \ve b_p\}\).
Athugasemd
Ef \(\{\ve b_1, \ve b_2, \ldots, \ve b_p\}\) er grunnur fyrir hlutrúm \(H\) þá liggja allir vigrarnir \(\ve b_1, \ve b_2, \ldots, \ve b_p\) í \(H\).
Öll vigurrúm eru hlutrúm í sjálfu sér. Grunnur fyrir vigurrúm \(V\) er því línulega óháð upptalning \(\{\ve b_1, \ve b_2, \ldots, \ve b_p\}\) á vigrum í \(V\) sem spannar allt \(V\).
Við munum alltaf gera ráð fyrir að það séu endanlega margir vigrar í grunni. Þegar haldið er áfram með línulega algebru getum við þurft að nota grunna með óendanlega mörgum vigrum. Dæmi um slíkt vigurrúm er vigurrúm allra margliðna af einni breytu, þar er \(\{1,x,x^2,\ldots\}\) grunnur.
4.3.1.1. Sýnidæmi: Venjulegi grunnurinn
Dæmi
Rifjum upp að vigrarnir
mynda venjulega grunninn fyrir \(\R^n\). Venjulegi grunninn fyrir \(\R^n\) er grunnur fyrir \(\R^n\) eins og nafnið gefur til kynna.
4.3.1.2. Sýnidæmi: Línulega óháðir dálkvigrar mynda grunn
Dæmi
Látum \(A\) vera andhverfanlegt \(n\times n\) fylki. Þá eru dálkvigrar \(A\) línulega óháðir og þeir spanna allt \(\R^n\). Dálkvigrarnir mynda því grunn fyrir \(\R^n\).
4.3.1.3. Sýnidæmi: Grunnar
Dæmi
Eru eftirfarandi grunnar fyrir \(\mathbb{R} ^3\)?
Lausn
a) Sjáum að
er andhverfanlegt fylki. Svo mengið er grunnur fyrir \(\mathbb{R} ^3\).
b) Við erum með tvo vigra í \(\mathbb{R} ^3\) svo þeir spanna í mesta lagi sléttu í \(\mathbb{R} ^3\) en ekki allt rúmið. Mengið er því ekki grunnur fyrir \(\mathbb{R} ^3\).
4.3.2. Setning: Um spann mengja
Setning
Látum \(S=\{\ve v_1, \ve v_2, \ldots, \ve v_p\}\) vera upptalningu (eða mengi) vigra í \(V\) sem spannar hlutrúm \(H\).
a. Gerum ráð fyrir að einn vigranna í \(S\), \(\ve v_k\), sé línuleg samantekt af hinum vigrunum í \(S\). Þá spannar \(S^\prime=\{\ve v_1, \ve v_2, \ldots,\ve v_{k-1}, \ve v_{k+1}, \ldots, \ve v_p\}\) líka hlutrúmið \(H\).
b. Ef \(H\neq\{\ve 0\}\) þá er eitthvað ekki tómt hlutmengi úr \(S\) grunnur fyrir \(H\). Ef \(H=\{\ve 0\}\) þá er \(\emptyset\) grunnur fyrir \(H\), og er í raun eini grunnurinn fyrir \(H\).
4.3.2.1. Sýnidæmi: Grunnur fyrir núllrúm
Dæmi
Finnum grunn fyrir núllrúm eftirfarandi fylkis
Lausn
Með einföldum línuaðgerðum fáum við
sem gefur okkur jöfnuhneppið
Þetta má umrita sem
sem gefur
Ljóst að vigrarnir þrír spanna \(\nul{A}\). Með því að skoða stuðla þeirra má sjá að þeir eru línulega óháðir. Því er
grunnur fyrir \(\nul{A}\).
4.3.3. Setning: Að finna grunn fyrir dálkrúm
Setning
Látum \(A\) vera fylki og \(U\) vera efra stallaform þess. Dálkar \(A\) sem hafa forystustuðull í \(U\) mynda grunn fyrir dálkrúm \(A\).
Aðvörun
Mjög mikilvægt er að taka dálkana fyrir grunninn úr \(A\), ekki úr \(U\). Við notum \(U\) bara til að ákveða hvaða dálka úr \(A\) við tökum. Nóg er að finna efra stallaform. Það er enginn þörf fyrir að rutt efra stallaform.
4.3.3.1. Sýnidæmi: Grunnur fyrir dálkrúm
Dæmi
Finnum grunn fyrir dálkrúm
Lausn
Beitum einföldum línuaðgerðum þar til efra stallaform fæst
Köllum síðara fylkið \(U= [\bf u_1 \dots u_5]\). Með því að skoða \(U\) má sjá að dálkvigrarnir eru ekki línulega óháðir. Sjáum að \(\ve u_3, \ve u_4\) og \(\ve u_5\) eru línuleg samantekt af \(\ve u_1\) og \(\ve u_2\). Því er \(\col{A} = \text{Span}\{\ve a_1, \ve a_2 \}\). Við fáum því að
er grunnur fyrir \(\col{A}\).
4.3.4. Setning: Tveir eiginleikar grunna
Setning
Látum \(V\) vera vigurrúm og \(S\) vera endanlegt mengi sem spannar \(V\). Þá inniheldur \(S\) grunn fyrir \(V\).
Ef \(R\) er línulega óháð hlutmengi í \(V\) þá er \(R\) innihaldið í einhverjum (ekki endilega þeim sama og \(S\) inniheldur) grunni fyrir \(V\).
Þetta má orða sem svo: Grunnur er eins lítið spannmengi og eins stórt línulega óháð mengi í vigurrúmi og mögulegt er.
4.3.5. Setning: Um tilvist hnita
Setning
Gerum ráð fyrir að \(\mathcal{B}=\{\ve b_1, \ve b_2, \ldots, \ve b_n\}\) sé grunnur fyrir \(V\). Þá gildir fyrir sérhvern vigur \(\ve v\in V\) að til eru ótvírætt ákvarðaðar tölur \(c_1, c_2, \ldots, c_n\) þannig að
Þetta má orða á þann hátt að jafnan \(x_1\ve b_1 + x_2\ve b_2 + \ldots + x_n\ve b_n=\ve v\) hafi nákvæmlega eina lausn, þ.e. fyrir gefinn grunn þá er til nákvæmlega ein leið til að rita gefinn vigur sem línulega samantekt vigranna í grunninum.
4.3.6. Skilgreining: \(\mathcal{B}\)-hnit
Skilgreining
Gerum ráð fyrir að \(\mathcal{B}=\{\ve b_1, \ve b_2, \ldots, \ve b_n\}\) sé grunnur fyrir \(V\). Tölurnar \(c_1, c_2, \ldots, c_n\) þannig að
kallast hnit vigursins \(\ve v\) með tilliti til grunsins \(\mathcal{B}\) (e. coordinates of \(\ve v\) relative to the basis \(\mathcal{B}\)). Við tölum líka um \(\mathcal{B}\)-hnit vigursins \(\ve v\) (e. \(\mathcal{B}\)-coordinates of \(\ve v\)).
4.3.7. Skilgreining: Hnitavigur \([\ve x]_{\mathcal{B}}\)
Skilgreining
Ef tölurnar \(c_1, c_2, \ldots, c_n\) eru hnit vigursins \(\ve x\) með tilliti til grunsins \(\mathcal{B}\) þá segjum við að vigurinn
sé hnitavigur \(\ve x\) með tilliti til grunnsins \(\mathcal{B}\) (e. coordinate vector of \(x\) relative to \(\mathcal{B}\), or \(\mathcal{B}\)-coordinate vector).
4.3.7.1. Sýnidæmi: Að skipta um grunn
Dæmi
Gefinn er grunnurinn
Vigurinn \(\ve x\) með tillit til \(\mathcal{B}\) hefur hnitin \([\ve x]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\). Finnið hnit \(\ve x\) með tillit til venjulega grunnsins \(\mathcal{E}=\{\ve e_1, \ve e_2 \}\), þ.e. finnið \([\ve x]_{\mathcal{E}}\).
Lausn
Fáum
4.3.8. Skilgreining: Hnitavörpun
Skilgreining
Gerum ráð fyrir að \(\mathcal{B}=\{\ve b_1, \ve b_2, \ldots, \ve b_n\}\) sé grunnur fyrir vigurrúm \(V\). Vörpunin
kallast hnitavörpunin með tilliti til \(\mathcal{B}\) (e. coordiante mapping determined by \(\mathcal{B}\)).
4.3.9. Setning: hnitavörpun er línuleg
Setning
Látum \(V\) vera endanlega vítt vigurrúm með grunn \(\mathcal{B}=\{\ve b_1, \dots, \ve b_n \}\). Hnitavörpunin
er línuleg vörpun. Hnitavörpunin er einnig gagntæk
Athugasemd
Hnitavörpun \(V \rightarrow W\) er mikilvægt dæmi um svokallaða einsmótun (e. isomorphism), þ.e. gagntæk línuleg vörpun, á milli vigurrúma.
Um endanlega víð vigurrúm \(V\) með vídd \(n\) gildir að \(V\) er einsmóta \(\R^n\).
4.4. Vídd og rankur
4.4.1. Setning: Línulegt hæði mengja stærri en grunns
Setning
Gerum ráð fyrir að \(\mathcal{B}=\{\ve b_1, \ve b_2, \ldots, \ve b_n\}\) sé grunnur fyrir \(V\). Mengi (eða upptalning) með fleiri en \(n\) vigrum er línulega háð.
4.4.2. Setning: Um stærð grunna
Setning
Ef vigurrúm \(V\) hefur grunn með nákvæmlega \(n\) vigrum þá hefur sérhver grunnur \(V\) nákvæmlega \(n\) vigra.
4.4.3. Skilgreining: Vídd
Skilgreining
Vídd (e. dimension) vigurrúms \(V\) er skilgreind sem fjöldi vigra í grunni \(V\) og er táknuð með \(\dim{V}\). Ef til er endanlegt mengi vigra sem spannar vigurrúm \(V\) þá segjum við að \(V\) hafi endanlega vídd (e. finite-dimensional). Ef slíkt mengi er ekki til þá segjum við að \(V\) hafi óendanlega vídd.
Athugasemd
Samkvæmt setningunni hér að ofan er fjöldi vigra í grunni alltaf sá sami svo vídd endanlega víðs vigurrúms er vel skilgreind tala.
Ef við þekkjum einn grunn fyrir vigurrúm er vídd þess fjöldi vigra í þeim grunni. Við þurfum því bara að finna einhvern grunn til að segja til um víddina.
4.4.3.1. Sýnidæmi: Vídd
Dæmi
1. Vigurrúmið \(\mathbb{R}^1\) hefur víddina 1.
2. Vigurrúmið \(\mathbb{R}^3\) hefur víddina 3.
3. Vigurrúmið \(\mathbb{R}^n\) hefur víddina \(n\).
4.4.4. Setning: Vídd hlutrúms
Setning
Látum \(H\) vera hlutrúm í endanlega víðu vigurrúmi \(V\).
a. Ef við höfum línulega óháð mengi vigra í \(H\) þá má bæta við það vigrum til að smíða grunn fyrir \(V\).
b. \(\dim{H}\leq\dim{V}\).
4.4.5. Setning: Samsemd línulegs óhæðis og spanns
Setning
Látum \(V\) vera vigurrúm með vídd \(n\).
a. Sérhvert mengi af \(n\) línulega óháðum vigrum í \(V\) er grunnur fyrir \(V\).
b. Sérhvert mengi af \(n\) af vigrum í \(V\) sem spanna \(V\) er grunnur fyrir \(V\).
Athugasemd
Grunnur fyrir vigurrúm þarf að uppfylla tvö skilyrði. Hann þarf að vera línulega óháður og spanna allt vigurrúmið. Það nægir að tékka annað skilyrðið því hitt fylgir sjálfkrafa.
4.4.6. Setning: Forystustuðlar og vídd
Setning
Látum \(A\) vera \(m\times n\) fylki og \(U\) (einhvert) efra stallaform \(A\).
a. Vídd \(\nul{A}\) er jöfn fjölda frjálsra breyta, það er að segja víddin er jöfn fjölda dálka í \(U\) sem innihalda ekki forystustuðul.
b. Vídd \(\col{A}\) er jöfn fjölda dálka í \(U\) sem innihalda forystustuðul, þ.e. víddin er jöfn fjölda forystustuðla.
4.4.7. Skilgreining: Línurúm
Skilgreining
Látum \(A\) vera \(m\times n\) fylki. Línurúm (e. row space) fylkisins \(A\) er hlutmengið í \(\R^n\) sem línuvigrar \(A\) spanna. Línurúm \(A\) er táknað með \(\row{A}\).
Athugasemd
Ef \(A\) er \(m\times n\) fylki þá gildir
\(\col{A}\) er hlutrúm í \(\R^m\).
\(\row{A}\) er hlutrúm í \(\R^n\).
\(\nul{A}\) er hlutrúm í \(\R^n\).
4.4.8. Setning: Línujafngild fylki hafa sama línurúm
Setning
Ef tvö fylki \(A\) og \(B\) eru línujafngild (það er að fá má annað út frá hinu með einföldum línuaðgerðum) þá eru línurúm þeirra jöfn, það er \(\row{A}=\row{B}\).
4.4.9. Setning: Grunnur fyrir línurúm
Setning
Ef \(U\) er efra stallaform fylkisins \(A\) þá mynda þeir línuvigrar í \(U\) sem eru ekki núll grunn fyrir línurúm \(A\).
Aðvörun
Það eru ekki-núll línuvigrarnir úr \(U\) sem gefa grunninn, ekki línuvigrarnir úr \(A\). Öfugt við það sem gildir um grunn dálkrúma!
4.4.9.1. Sýnidæmi: Grunnur fyrir línurúm
Dæmi
Finnum grunn fyrir línurúm fylkisins
Lausn
Fáum að
Við erum komin með efri stallagerð og því er
grunnur fyrir \(\row{A}\).
4.4.10. Skilgreining: Rankur
Skilgreining
Látum \(A\) vera \(m\times n\) fylki. Rankur (e. rank), eða myndvídd, fylkisins \(A\) er vídd dálkrúms \(A\). Rankur fylkisins \(A\) er táknaður með \(\rnk{A}\).
4.4.11. Setning: Ranksetningin
Setning
Látum \(A\) vera \(m\times n\) fylki.
a. Rankur fylkisins \(A\) er jafn fjölda forystustuðla í efra stallaformi \(A\).
b. Vídd dálkrúmsins og vídd línurúmsins eru jafnar. Rankur fylkisins er því einnig jafn vídd línurúmsins.
c. Summa víddar dálkrúmsins og víddar núllrúmsins er jöfn fjölda dálka fylkisins, þ.e.
4.4.11.1. Sýnidæmi: Rankur og vídd
Dæmi
Reiknum rank og vídd núllrúms fyrir
Lausn
Komum fylkinu á efri stallagerð
Rankur fylkisins er vídd dálkrúms, sem er fjöldi dálka með forystustuðlum, svo \(\rnk{A}=2\). Vídd núllrúms er fjöldi frjálsra breyta svo \(\nul{A}=2\).
Rifum upp löngu setninguna, \(2.6.4.\) úr kafla 2, með jafngildum skilyrðum þess að fylki sé andhverfanlegt. Nú höfum við lært nokkur ný hugtök og getum bætt við fleiri skilyrðum í þessa setningu.
4.4.12. Setning: Viðbót við löngu setninguna um andhverfur
Setning
Látum \(A\) vera \(n\times n\) fylki. Eftirfarandi 7 skilyrði eru öll jafngildi.
1. \(A\) er andhverfanlegt.
13. Dálkvigrar \(A\) mynda grunn fyrir \(\R^n\).
14. \(\col{A}=\R^n\).
15. \(\dim{(\col{A})}=n\).
16. \(\rnk{A}=n\).
17. \(\nul{A}=\{\ve 0\}\).
18. \(\dim{(\nul{A})}=0\).
4.5. Hnitaskipti
Við höfum áður séð hnitaskiptafylkið \(\mathcal{P}_{\mathcal{E}\leftarrow\mathcal{B}}\) í sýnidæmi \(4.3.7.1.\), þegar \(\mathcal{P}_\mathcal{E \leftarrow B}[\ve x]_\mathcal{B}=\ve x\). Nú ætlum við að skoða almennari skilgreiningu fyrir hnitaskipti.
4.5.1. Skilgreining: Hnitaskiptafylki
Skilgreining
Látum \(V\) vera vigurrúm af vídd \(n\) og gerum ráð fyrir að \(\mathcal{B}=\{\ve b_1, \ve b_2, \ldots, \ve b_n\}\) og \(\mathcal{C}=\{\ve c_1, \ve c_2, \ldots, \ve c_n\}\) séu grunnar fyrir \(V\). Við búum til \(n \times n\) fylki
með því að finna \(\mathcal{C}\)-hnit sérhvers vigurs \(\mathcal{B}\). Fylkið \(P_{\mathcal{C \leftarrow B}}\) kallast hnitaskiptafylki frá \(\mathcal{B}\)-hnitum yfir í \(\mathcal{C}\)-hnit (e. change-of-coordinates matrix).
4.5.2. Setning: Hnitaskiptafylki
Setning
Látum \(V\) vera vigurrúm af vídd \(n\), \(\mathcal{B}=\{\ve b_1, \ve b_2, \ldots, \ve b_n\}\) og \(\mathcal{C}=\{\ve c_1, \ve c_2, \ldots, \ve c_n\}\) vera grunna fyrir \(V\).
(i) Til er línuleg vörpun \(T\colon \R^n\to\R^n\) þannig að \(T([x]_{\mathcal{B}})=[\ve x]_{\mathcal{C}}\) fyrir alla vigra \(\ve x\in V\). Fylki þessrar vörpunar er
\[P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=[[\ve b_1]_{\mathcal{C}}\quad [\ve b_2]_{\mathcal{C}}\quad \ldots \quad [\ve b_n]_{\mathcal{C}}].\]
(ii) Fylkið \(P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\) úr lið (i) er andhverfanlegt og andhverfa þess er hnitaskiptafylkið úr \(\mathcal{C}\)-hnitum yfir í \(\mathcal{B}\)-hnit. Það er að segja
\[P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}=(P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}})^{-1},\]
og fyrir sérhvern vigur \(\ve x\in V\) gildir að
\[[\ve x]_{\mathcal{B}}=(P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}})^{-1}[\ve x]_{\mathcal{C}}.\]
Ritháttur
Oft vinnum við með venjulega grunninn fyrir \(\R^n\), það er grunninn \(\mathcal{E}=\{\ve e_1, \ve e_2, \ldots, \ve e_n\}\) þar sem \(\ve e_i\) hefur \(i\)-ta hnitið 1 en öll önnur hnit 0. Þegar við skrifum vigur sem
erum við að segja að \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) séu hnit vigursins \(\ve x\) með tilliti til grunsins \(\mathcal{E}\).
4.5.3. Setning: Hnitaskiptafylki yfir í venjulega grunninn
Setning
Látum \(\mathcal{B}=\{\ve b_1, \ve b_2, \ldots, \ve b_n\}\) vera grunn fyrir \(\R^n\) og látum \(\mathcal{E}\) vera venjulega grunninn fyrir \(\R^n\). Þá er hnitaskiptafylkið frá \(\mathcal{B}\)-hnitum til \(\mathcal{E}\)-hnita gefið með
og hnitaskiptafylkið frá \(\mathcal{E}\)-hnitum til \(\mathcal{B}\)-hnita gefið með
4.5.3.1. Sýnidæmi: Hnitaskiptafylki yfir í venjulega grunninn
Dæmi
Látum \(\mathcal{B}=\{(1,2),(3,1)\}\) vera grunn fyrir \(\R^2\) og \(\mathcal{E}\) vera venjulega grunninn fyrir \(\R^2\). Þá er
og
4.5.4. Setning: Formúla fyrir hnitaskiptifylki
Setning
Látum \(\mathcal{B}\) og \(\mathcal{C}\) vera grunna fyrir \(\R^n\) og \(\mathcal{E}\) vera venjulega grunninn. Þá er
4.5.5. Reiknirit fyrir hnitaskiptafylki
Aðferð
Látum \(\mathcal{B}=\{\ve b_1, \ve b_2, \dots, \ve b_n\}\) og \(\mathcal{C}=\{\ve c_1, \ve c_2, \dots, \ve c_n\}\) vera grunna fyrir \(\R^n\). Til þess að finna hnitaskiptafylkið frá \(\mathcal{B}\)-hnitum yfir í \(\mathcal{C}\)-hnit, \(P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\), gerum við eftirfarandi
1. Búum til aukna fylkið \([\ve c_1 \ \ve c_2 \ \dots \ \ve c_n \ | \ \ve b_1 \ \ve b_2 \ \dots \ \ve b_n]\).
2. Breytum vinstri hluta aukna fylkisins í einingarfylkið með einföldum línuaðgerðum. Það sem eftir stendur í hægri hluta aukna fylkisins er þá hnitaskiptafylkið \(P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\).
Þetta reiknirit er svipað því að finna andhverfu fylkis.
4.5.5.1. Sýnidæmi: Hnitaskiptafylki
Dæmi
Viljum finna \(\mathcal{P}_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\) ef \(\mathcal{B}\) og \(\mathcal{C}\) eru
Lausn
Við myndum fylkið \([C \ | \ B]\) og framkvæmum einfaldar línuaðgerðir til að umbreyta \([C \ | \ B]\) í \([I \ | \ X]\):
Það með er
4.5.6. Skilgreining: Fylki vörpunar með tilliti til grunns
Skilgreining
Látum \(T \colon \R^n \rightarrow \R^n\) vera línulega vörpun og \(\mathcal{B}=\{\ve b_1, \dots, \ve b_n \}\) vera grunn fyrir \(\R^n\). Um fylkið
gildir að fyrir sérhvern \(\ve x \in \R^n\) er
og \(A_{\mathcal{B}}\) kallast fylki \(T\) með tilliti til grunnsins \(\mathcal{B}\).
4.5.7. Setning: Fylki fyrir mismunandi grunna
Setning
Látum \(T \colon \R^n \rightarrow \R^n\) vera línulega vörpun, \(\mathcal{B}=\{\ve b_1, \dots, \ve b_n \}\) og \(\mathcal{C}=\{\ve c_1, \dots, \ve c_n \}\) vera grunna fyrir \(\R^n\). Látum \(A_{\mathcal{B}}\) og \(A_{\mathcal{C}}\) tákna fylki vörpunarinnar m.t.t. \(\mathcal{B}\) og \(\mathcal{C}\). Þá er
Dæmi
Látum \(T \colon \R^2 \rightarrow \R^2\) vera speglun í línunni \(y=x\). Hvert er fylki \(T\) m.t.t. venjulega grunnsins \(\mathcal{E}\) fyrir \(\R^2\).
Lausn
Þar sem \(T\) er speglun í línunni \(y = x\) gildir að
Skoðum grunninn \(\mathcal{B}= \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}\) fyrir \(\R^2\). Athugum að
Því er
Vitum einnig að
og
Þá er