3. Ákveður

Ákveða (e. determinant) er fall frá \(\mathbb{R}^{n \times n}\rightarrow \mathbb{R}\) sem úthlutar \(n \times n\) fylki \(A\) tölu \(\det(A)\). Ákveða er einungis skilgreind fyrir ferningsfylki. Hana má nota t.d. til þess að segja til um hvort fylki sé andhverfanlegt. Ef ákveða fylkis er \(0\) er fylkið ekki andhverfanlegt.

3.1. Ákveður \(2 \times 2\) fylkja

3.1.1. Skilgreining: Ákveða \(2 \times 2\) fylkis

Skilgreining

Ákveða \(2 \times 2\) fylkis \(A=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d \end{bmatrix}\) er talan

\[\begin{split}\det(A) =\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =ad-bc.\end{split}\]

Athugasemd

Athugið að ákveða \(2 \times 2\) fylkis \(A\) kemur fyrir í andhverfu fylkisins

\[\begin{split}A^{-1} =\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.\end{split}\]

Við sjáum að fylkið \(A^{-1}\) er ekki skilgreint fyrir \(ad-bc=0\), m.ö.o. fylkið \(A\) er andhverfanlegt ef og aðeins ef \(\det(A)\neq 0\).

3.2. Ákveður \(n \times n\) fylkja

3.2.1. Skilgreining: Hlutfylki

Skilgreining

Látum \(A\) vera \(n \times n\) fylki. Fylkið sem fæst með því að fjarlægja \(i\)-tu línu og \(j\)-ta dálk \(A\) kallast hlutfylki, \(A_{ij}\), og hefur stærð \((n-1)\times (n-1)\).

3.2.1.1. Sýnidæmi: Hlutfylki

Dæmi

Hver eru hlutfylki, \(A_{ij}\), fylkisins

\[\begin{split}A =\begin{bmatrix} 3 & 6 & 1\\ 5 & 2 & 0\\ 1 & 9 & 4\\ \end{bmatrix}.\end{split}\]

Lausn

\(A\) hefur eftirfarandi hlutfylki

\[\begin{split}A_{11} =\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 9 & 4\\ \end{bmatrix},\quad A_{12} =\begin{bmatrix} 5 & 0\\ 1 & 4\\ \end{bmatrix},\quad A_{13} =\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 9\\ \end{bmatrix}, \newline A_{21} =\begin{bmatrix} 6 & 1\\ 9 & 4\\ \end{bmatrix}, \quad A_{22} =\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 1 & 4\\ \end{bmatrix}, \quad A_{23} =\begin{bmatrix} 3 & 6\\ 1 & 9\\ \end{bmatrix}.\end{split}\]

3.2.2. Skilgreining: Ákveða \(n \times n\) fylkis

Skilgreining

Ákveða \(n \times n\) fylkis \(A\) er skilgreind

\[\begin{split}\det(A)= a_{11}\det(A_{11})-a_{12}\det(A_{12})+...+ (-1)^{1+n} a_{1n}\det(A_{1n})\\ = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\det(A_{1j})\end{split}\]

3.2.2.1. Sýnidæmi: Ákveða \(3 \times 3\) fylkis

Dæmi

Finnum ákveðu \(3 \times 3\) fylkis

\[\begin{split}A =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\\ \end{bmatrix}.\end{split}\]

með því að nota skilgreininguna.

Lausn

Fáum

\[\begin{split}\det(A)=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\\ \end{vmatrix}= 1\det\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} -2\det\begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} +3\det\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \newline =1(45-48) -2(36-42)+3(32-35) =-3+12-9=0\end{split}\]

Þessi aðferð kallast að liða eftir línu eða dálk eftir því sem við á. Í dæminu hér að ofan var liðað eftir línu 1. Athugið að velja má hvaða línu/dálk liðað er eftir og hentugast er að velja þá línu/dálk sem hefur flest \(0\). Við sjáum að ákveða fylkis sem hefur núlllínu eða núlldálk er alltaf \(0\).

Athugasemd

Formerkin í liðun eftir línu eða dálk fylgja mynstri sem minnir á skákborð

\[\begin{split}\begin{bmatrix} + & - & + & \dots\\ - & + & - & \dots\\ + & - & + & \dots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}\end{split}\]

3.2.3. Skilgreining: Önnur aðferð til þess að reikna ákveðu \(3 \times 3\) fylkis

Skilgreining

Reikna má ákveðu \(3 \times 3\) fylkist með því að endurtaka fyrstu tvo dálka hægra megin við fylkið og leggja saman og draga frá þær 6 hornalínur sem þannig myndast.

Engin sambærileg regla gildir fyrir \(n \geq 4\).

3.3. Ákveður þríhyrningsfylkja

3.3.1. Setning: Ákveða þríhyrningsfylkja

Setning

Ef \(A\) er þríhyrningsfylki þá er ákveða þess margfeldi stakanna á hornalínunni.

3.3.1.1. Sýnidæmi: Ákveður þríhyrningsfylkja

Dæmi

Finna á ákveður eftirfarandi

\[\begin{split}A =\begin{bmatrix} 2 & 2 & 3\\ 0 & -4 & 6\\ 0 & 0 & -1\\ \end{bmatrix}, \quad B =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 6 & 0 & 5\\ \end{bmatrix}, \quad C =\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 6 & 0\\ 0 & 0 & 7\\ \end{bmatrix}.\end{split}\]

Lausn

Fáum með liðun eftir dálk 1

\[\begin{split}\det(A)=\begin{vmatrix} 2 & 2 & 3\\ 0 & -4 & 6\\ 0 & 0 & -1\\ \end{vmatrix}= 2\cdot \begin{vmatrix} -4 & 6\\ 0 & -1\\ \end{vmatrix}= 2\cdot -4\cdot \begin{vmatrix} -1\end{vmatrix}=8.\end{split}\]

Fáum með liðun eftir línu 1

\[\begin{split}\det(B) =\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 6 & 0 & 5\\ \end{vmatrix}= 1\cdot\begin{vmatrix} -2 & 0\\ 0 & 5\\ \end{vmatrix} =1\cdot -2\cdot\begin{vmatrix} 5 \end{vmatrix}=-10.\end{split}\]

Fáum beint

\[\begin{split}\det(C)=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 6 & 0\\ 0 & 0 & 7\\ \end{vmatrix}=2 \cdot 6 \cdot 7= 84.\end{split}\]

3.4. Ákveður frumfylkja

Frumfylki eru þau fylki sem fást þegar einni einfaldri línuaðgerð er beitt á einingarfylki.

Aðvörun

Línuaðgerðir varðveita almennt ekki ákveður, heldur breyta þeim með mjög reglulegum hætti.

3.4.1. Setning: Ákveða frumfylkja

Setning

Látum \(E\) vera frumfylki. Ákveða frumfylkis er

\[\begin{split}\det(E)= \begin{cases} \phantom{-}1 \quad &\text{ef}\ E\ \text{er umskipting},\\ -1 \quad &\text{ef}\ E\ \text{er víxlun},\\ \phantom{-}k \quad &\text{ef}\ E\ \text{er skölun með tölu}\ k. \end{cases}\end{split}\]

3.4.1.1. Sýnidæmi: Ákveður frumfylkja

Dæmi

1. Umskipting. Látum \(E\) vera frumfylkið sem fæst með því að leggja margfeldi af einni línu við aðra, þ.e.a.s umskipting. Frumfylki af þessari gerð eru öll hornalínufylki, t.d.

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 1 & k\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ k & 0 & 1\\ \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & k & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}.\end{split}\]

Ákveðan er margföldun stakanna á hornalínunni, \(\det(E)=1\).

2. Víxlun. Látum \(E\) vera frumfylkið sem fæst með því að víxla á línu \(i\) og \(j\), t.d.

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Með einföldum útreikningum er auðvelt að sannfæra sig um að \(\det(E)=-1\).

3. Skölun. Látum \(E\) vera frumfylkið sem fæst með því að margfalda línu með tölu, t.d.

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & \pi \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} 16 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Við sjáum með því að margfalda hornalínuna að ákveðan er \(\det(E)=\pi\), \(\det(E)=k\) og \(\det(E)=16\) fyrir þessi þrjú fylki.

Í mörgum dæmum koma fyrir nokkrar umskiptingar, víxlanir og/eða skalanir. Til dæmis er alltaf hægt að koma ferningsfylki yfir á efri stallagerð með því að nota einungis umskiptingar og víxlanir. Ef \(U\) er efri stallagerð \(A\), sem fékkst með því að nota aðeins þessar tvær aðgerðir, gildir að \(\det(A)=\pm \det(U)\). Þetta má setja fram sem hjálparsetningu.

3.4.2. Hjálparsetning

Setning

Ef ferningsfylki \(A\) má umbreyta í fylki af efri stallagerð \(U\) með umskiptingu og víxlunum og

\[\begin{split}\det(A)=\begin{cases} (-1)^r (\text{margfeldi vendistaka } U) \quad \text{ef } A\ \text{er andhverfanlegt}\\ 0 \quad \text{annars} \end{cases}\end{split}\]

þar sem \(r\) er fjöldi víxlana sem notaðar voru við að breyta \(A\) í \(U\).

Þessi niðurstaða gefur af sér reiknirit fyrir ákveðu. Fyrst er fylki komið yfir á efra stallaform með umskiptingu og víxlunum, síðan eru víxlanir taldar og ákveða efra þríhyrningsfylkisins reiknuð með því að margfalda stökin á hornalínunni.

3.4.3. Hjálparsetning

Setning

Ef ferningsfylki \(A\) hefur tvær eins línur \(i=j\) þá er \(\det(A)=0\). Enn fremur, ef ein lína í \(A\) er margfeldi af annarri þá er \(\det(A)=0\).

3.5. Eiginleikar ákveða

3.5.1. Setning: Eiginleikar ákveða

Setning

Látum \(A\) og \(B\) vera \(n \times n\) fylki. Þá gildir

1. \(\det(A^T)=\det(A)\)

2. \(\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)\)

3. \(\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}\)

1 er sannað með þrepun. 2 fæst með því að nota að annað fylkið, sem er andhverfanlegt, er línu-jafngilt einingafylkinu. Jafnan helst einnig ef annað fylkið er ekki andhverfanlegt, þá er ákveðan \(AB\) einfaldlega \(0\). 3 leiðir beint af 2.

Athugasemd

Um tvö ferningsfylki \(A\) og \(B\) gildir almennt ekki að \(\det(A+B)=\det(A)+\det(B)\).

3.5.2. Skilgreining: Hjáþáttafylki

Skilgreining

Fyrir hlutfylki \(A_{ij}\) skilgreinum við hjáþátt \(C_{ij}\) í sæti \((i,j)\) með

\[C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}\]

og hjáþáttafylki (e. cofactor matrix) \(A\) með

\[\begin{split}C=\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \dots & C_{1n}\\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{21}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{n1} & C_{n2} & \dots & C_{nn} \end{bmatrix}\end{split}\]

3.5.3. Skilgreining: Aðoka fylki

Skilgreining

Látum \(C\) vera hjáþáttafylki \(A\). Þá skilgreinum við aðoka fylkið \(\text{adj}A\) (e. adjoint matrix) með

\[\text{adj}A = C^T\]

3.5.4. Setning: Andhverfujafna

Setning

Látum \(A\) vera andhverfanlegt \(n \times n\) fylki þá er

\[A^{-1} = \frac{\text{adj}A}{\det A}\]

Þessi formúla fyrir andhverfu fylkis er tímafrek og almenn leið til þess að reikna andhverfu \(n \times n\) fylkis oftast hagnýtari.

3.6. Regla Cramers

Regla Cramers er fræðileg niðurstaða sem gefur beina lausn á \(A \textbf{x} = \textbf{b}\). Þó er oftast fljótlegra að leysa jöfnuhneppi beint heldur en að nota hana.

3.6.1. Ritháttur

Ritháttur

Látum \(A=[\bf{a}_1\dots\bf{a}_n]\) vera \(n \times n\) fylki og \(\textbf{b}\in \mathbb{R}^n\) vera vigur. Þá skilgreinum við \(A_j(\textbf{b})\) sem fylkið þar sem \(j\)-ta dálkvigur fylkisins er skipt út fyrir \(\textbf{b}\), þ.e.

\[A_j(\textbf{b})=[\bf{a}_1\dots\bf{a}_{j-1} \bf{b}\ \bf{a}_{j+1}\dots\bf{a}_n]\]

3.6.2. Setning: Regla Cramers

Setning

Látum \(A\) vera andhverfanlegt \(n \times n\) fylki, og \(\textbf{b}\in \mathbb{R}^n\) vera vigur. Þá er lausnin á jöfnunni \(A \textbf{x} = \textbf{b}\) gefin með formúlunni

\[\textbf{x}_i = \frac{\det A_i(\textbf{b})}{\det(A)}\]

3.6.2.1. Sýnidæmi: Leysa jöfnuhneppi með reglu Cramers

Dæmi

Leysið eftirfarandi jöfnuhneppi með því að nota reglu Cramers

\[\begin{split}4x+2y-z=0,\\ x+3y+7z=1,\\ -3x-y+2z=1\end{split}\]

Lausn

Fylkjaframsetning jöfnuhneppisins er

\[\begin{split}A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 7 \\ -3 & -1 & 2 \\ \end{array} \right), \quad \textbf{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right),\end{split}\]

með

\[\begin{split}A_1 (\textbf{b}) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{array} \right), \ A_2(\textbf{b})=\left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 7 \\ -3 & 1 & 2 \\ \end{array} \right), \ A_3(\textbf{b})=\left( \begin{array}{ccc} 4 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \\ \end{array} \right)\end{split}\]

Athugum að \(\det A=-2\), \(\det A_1(\textbf{b})=14\), \(\det A_2(\textbf{b})=-24\) og \(\det A_3(\textbf{b})=8\). Með reglu Cramers fæst því

\[x_1 = \frac{\det A_1(\textbf{b})}{\det A}=-7,\ \ x_2 = \frac{\det A_2(\textbf{b})}{\det A}=12,\ \ x_3 = \frac{\det A_3(\textbf{b})}{\det A}=-4.\]

Nú er um að gera að prófa lausnina með því að stinga inn fyrir \(\textbf{x}\) í \(A \textbf{x}=\textbf{b}\).

3.7. Ákveður og rúmfræði

3.7.1. Skilgreining: Samsíðungur

Skilgreining

Látum \(u=(u_1,u_2)\) og \(v=(v_1,v_2)\) vera tvo vigra í \(\mathbb{R}^2\). Samsíðungurinn (e. paralellogram) sem vigrarnir ákvarða er ferhyrningurinn með hornpunkta \((0,0), (u_1,u_2), (v_1,v_2),\) og \((u_1+v_1,u_2+v_2)\).

3.7.2. Skilgreining: Samhliðungur

Skilgreining

Látum \(u=(u_1,u_2,u_3), v=(v_1,v_2,v_3)\) og \(w=(w_1,w_2,w_3)\) vera vigra í \(\mathbb{R}^3\). Samhliðungurinn (e. parallelepiped) sem vigrarnir ákvarða er rúmmálið með hornpunkta

\[\begin{split}(0,0,0), (u_1,u_2,u_3), (v_1,v_2,v_3), (w_1,w_2,w_3), (u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3),\\ (u_1+w_1,u_2+w_2,u_3+w_3), (v_1+w_1,v_2+w_2,v_3+w_3),\\ (u_1+v_1+w_1,u_2+v_2+w_2,u_3+v_3+w_3)\end{split}\]

3.7.3. Setning: Flatarmál og rúmmál

Setning

1. Látum \(A\) vera \(2 \times 2\) fylki. Flatarmál samsíðungana sem dálkvigrar \(A\) ákvarða er \(\det A\).

2. Látum \(A\) vera \(3 \times 3\) fylki. Rúmmál samhliðungsins sem dálkvigrar \(A\) ákvarða er \(\det A\).

Rifjum upp að mynd mengis \(S \subseteq \R\) er mengið \(T(S)=\{T(s) : s \in S\}\).

3.7.4. Setning: Mynd varpanna

Setning

1. Látum \(T: \R^2 \rightarrow \R^2\) vera línulega vörpun og \(S\) vera samsíðunginn sem ákvarðast af \(u\) og \(v\) í \(\R^2\). Þá er myndin \(T(S)\) samsíðungurinn sem ákvarðast af vigrunum \(T(u)\) og \(T(v)\).

2. Látum \(T: \R^3 \rightarrow \R^3\) vera línulega vörpun og \(S\) vera samhliðunginn sem ákvarðast af \(u, v\) og \(w\) í \(\R^3\). Þá er myndin \(T(S)\) samhliðungurinn sem ákvarðast af vigrunum \(T(u), T(v)\) og \(T(w)\).

3.7.5. Setning: Flatarmál og rúmmál línulegra varpanna

Setning

1. Gerum ráð fyrir að \(T\colon \R^2 \rightarrow \R^2\) sé línuleg vörpun með fylki \(A\), og \(S\) vera samsíðunginn sem ákvarðast af \(u\) og \(v\) í \(\R^2\). Þá er

\[\{ \text{flatarmál} \ T(S) \} = |\det A | \cdot \{ \text{flatarmál} \ S \}\]

2. Gerum ráð fyrir að \(T\colon \R^3 \rightarrow \R^3\) sé línuleg vörpun með fylki \(A\), og \(S\) vera samhliðungurinn sem ákvarðast af \(u, v\) og \(w\) í \(\R^3\). Þá er

\[\{ \text{rúmmál} \ T(S)\} = |\det A | \cdot \{ \text{rúmmál} \ S \}\]

3.7.5.1. Sýnidæmi: Flatarmál samsíðungs

Dæmi

Reikna á flatarmál samsíðungsins sem ákvarðaður er af hornpunktunum \((-1,-2), (0,2), (3,-1)\) og \((4,3)\).

Lausn

Við byrjum á því að hliðra hornpunktunum þannig að einn þeirra sé í miðju hnitakerfisins \((0,0)\). Nýju hnitin sem fást eru \((-1+1,-2+2)=(0,0), (0+1,2+2)=(1,4),\) \((3+1,-1+2)=(4,1)\) og \((4+1,3+2)=(5,5)\).

Samsíðungurinn er ákvarðaður af dálkvigrum fylkisins

\[\begin{split}A= \begin{bmatrix} 1 & 4\\ 4 & 1 \end{bmatrix}\end{split}\]

Þar sem \(|\det A| = |-15|\) er flatarmál samsíðungsins \(15\).