2. Fylkjaaðgerðir
2.1. Nokkrar gerðir fylkja
Skilgreining
Hornalínufylki (e. diagonal matrix) er \(n \times n\) fylki þar sem öll stök utan hornalínu eru núll,
m.ö.o. \(D = [d_{ij}]\) er hornalínufylki ef \(d_{ij}=0\) fyrir öll \(i\) og \(j\) þannig að \(i \neq j\).
Einingarfylki (e. identity matrix) \(I\), er hornalínufylki þar sem öll stökin á hornalínu eru 1,
stundum er einingarfylki merkt stærð sinni með vísi, t.d. hér \(I_3\).
Núllfylki (e. zero matrix) er fylki þar sem öll stökin eru núll,
Frumfylki (e. elementary matrix) er fylki sem er fengið með því að beita einni einfaldri línuaðgerð á einingarfylkið,
Þríhyrningsfylki (e. triangular matrix) eru fylki þar sem öll stökin eru núll öðru hvoru megin við hornalínuna. Efra þríhyrningsfylki en fylki þar sem öll stökin fyrir neðan hornalínu eru 0,
og neðra þríhyrningsfylki er fylki þar sem öll stök fyrir ofan hornalínuna eru 0,
2.2. Samlagning og skölun
2.2.1. Setning: Samlagning fylkja
Setning
Tvö jafnstór fylki eru lögð saman með því að að leggja saman stuðlana í báðum fylkjunum. Ekki er hægt að leggja saman misstór fylki.
2.2.2. Setning: Reglur um fylkjasamlagningu og margföldun með tölu
Setning
Látum \(A\), \(B\) og \(C\) vera \(m\times n\) fylki og \(r\) og \(s\) vera rauntölur. Þá gildir:
1. \(A+B=B+A\)
2. \((A+B)+C = A+(B+C)\)
3. \(A+ 0 = A\), þar sem \(0\) er núllfylkið
4. \(r(A+B)=rA+rB\)
5. \((r+s)A= rA+sA\)
6. \(r(sA)=(rs)A\)
Rökstuðningur
Auðveldast er að sanna með skoða með því að skoða hvern stuðul fyrir sig. Tökum t.d. lið 1. Ef við skoðum stuðul í sæti \((i,j)\) fyrir fylkið \(A+B\) fáum við \(a_{ij}+b_{ij}\). En við vitum að það er sama og \(b_{ij}+a_{ij}\) þar sem samlagning er víxlin fyrir rauntölur. En \(b_{ij}+a_{ij}\) er einmitt stuðull \(B+A\) í sæti \((j,i)\). Þar sem stuðlar \(A+B\) og \(B+A\) eru alls staðar þeir sömu fylkin þau sömu einnig.
2.2.2.1. Sýnidæmi: Samlagning fylkja
Dæmi
Reiknið \(A+B\) og \(A+C\) ef
Lausn
Höfum að
en \(A+C\) er ekki skilgreint því fylkin eru misstór.
2.2.2.2. Sýnidæmi: Margföldun með tölu
Dæmi
Reiknið \(3A\) ef
Lausn
Höfum að
2.3. Fylkjamargföldun
Lítum á tvær línulegar varpanir \(T\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p\) og \(\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^m\). Fyrst \(T\) og \(S\) eru línulegar má tákna þau með fylkjum þannig að \(T(\textbf{x}) = B\textbf{x}\) og \(S(\textbf{v}) = A\textbf{v}\). Út frá \(T\) og \(S\) höfum við einnig nýja samsetta línulega vörpun \(S\circ T\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) sem hefur þann eiginleika að \(S\circ T=S(T(\textbf{x}))=S(B\textbf{x})=AB\textbf{x}\). Fylki þessarar nýju vörpunar er því \(AB\).
2.3.1. Skilgreining: Fylkjamargföldun
Skilgreining
Látum \(A\) vera \(m\times p\) fylki og \(B=[\textbf{b}_1 \ldots \textbf{b}_n]\) vera \(p \times n\) fylki. Fylkjamargföldun þeirra er skilgreind \(AB=[A\textbf{b}_1 \ldots A\textbf{b}_n]\).
Aðvörun
Margfeldið \(AB\) er aðeins skilgreint ef fjöldi dálka í fylkinu \(A\) er jafn fjölda lína í fylkinu \(B\). Ef \(A\) er \(m \times n\) fylki og \(B\) er \(n \times k\) fylki þá er margfeldið skilgreint og stærð þess er \(m \times k\).
2.3.1.1. Sýnidæmi: Fylkjamargföldun
Dæmi
Reiknið \(AB\) ef
Lausn
Höfum að
svo að
2.3.2. Skilgreining: Veldi af fylkjum
Skilgreining
Ef \(A\) er \(n\times n\) ferningsfylki þá skilgreinum við \(A^0=I_n\) og svo \(A^n=A\cdot A^{n-1}\) fyrir \(n>1\). Sem sagt \(A^2=A\cdot A\), \(A^3=A\cdot A\cdot A\) og svo framvegis.
2.3.3. Reikniaðferð fyrir fylkjamargföldun
Aðferð
Margfeldið er þá
þar sem \((AB)_{ij}\) er summa af margfeldum stakanna í \(i\)-tu línu \(A\) og \(j\)-ta dálki \(B\). Munum:
2.3.3.1. Sýnidæmi: Fylkjamargföldun
Dæmi
Látum
Reiknið \(AB\) og \(CD\)
Lausn
\[\begin{split}AB=\begin{bmatrix} 2 \cdot 5 + 3\cdot 7 & 2 \cdot 6 + 3\cdot 8 \\ 1 \cdot 5 + 4\cdot 7 & 1 \cdot 6 + 4\cdot 8 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 31 & 36 \\ 33 & 38 \\ \end{bmatrix}\end{split}\]\[\begin{split}CD=\begin{bmatrix} 1 \cdot 12 + 2\cdot 10 +3\cdot 8 & 1\cdot 11 & 2 \cdot 9 + 3\cdot 7 \\ 4 \cdot 12 + 5\cdot 10 +6\cdot 8 & 4\cdot 11 & 5 \cdot 9 + 6\cdot 7 \\ 7 \cdot 12 + 8\cdot 10 +9\cdot 8 & 7\cdot 11 & 8 \cdot 9 + 9\cdot 7 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 56 & 50 \\ 146 & 131 \\ 236 & 212 \end{bmatrix}\end{split}\]
2.3.4. Setning: Eiginleikar fylkjamargföldunar
Setning
Látum \(A\) vera \(m\times n\) fylki og \(B\) og \(C\) vera fylki með þannig stærðir að hlutaðeigandi margfeldi séu skilgreind. Þá gildir
1. \(A(BC) = (AB)C\)
2. \(A(B+C) = AB+AC\)
3. \((B+C)A = BA+CA\)
4. \(r(AB) = (rA)B = A(rB)\), þar sem \(r\) er fasti.
5. \(I_m A = A = AI_m\)
2.4. Bylt fylki
2.4.1. Skilgreining: Bylt fylki
Skilgreining
Ef \(A\) er \(m\times n\) fylki þá skilgreinum við bylta fylkið \(A^T\) (e. transpose) sem \(n\times m\) fylkið sem fæst með því að mynda dálkvigra úr línuvigrum \(A\) og öfugt. Höfum því \(A^T_{ij}=A_{ji}\).
2.4.1.1. Sýnidæmi: Bylt fylki
Dæmi
Byltið eftirfarandi fylkjum
Lausn
Höfum að
2.4.2. Setning: Reiknireglur fyrir bylt fylki
Setning
Látum \(A\) og \(B\) vera fylki þannig að hlutaðeigandi margfeldi og summur séu skilgreind. Þá gildir
1. \((A^T)^T = A\)
2. \((A+B)^T = A^T+B^T\)
3. \((rA)^T = rA^T\), þar sem \(r\) er fasti.
4. \((AB)^T = B^TA^T\)
Aðvörun
Fylkjamargföldun er almennt ekki víxlin, þ.e. \(AB \neq BA\). Röðin á byltingu margföldunar skiptir máli!
2.4.2.1. Sýnidæmi: Hegðun byltra fylkja
Dæmi
Reiknið \(\textbf{v}^T\textbf{v}\) og \(\textbf{v}\textbf{v}^T\) ef \(\textbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\).
Lausn
Höfum að
en hins vegar er
2.5. Andhverfur fylkja
Látum \(T\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) vera gagntæka línulega vörpun með samsvarandi fylki \(A\). Fyrst \(T\) er gagntæk á hún sér andhverfu \(T^{-1}\). Hægt er að sýna að þessi andhverfa er líka línuleg og því má tákna hana með venjulegu fylki hennar sem við skulum kalla \(C\). Við vitum að
fyrir öll \(x\), svo að \((CA)\) hlýtur að vera einingarfylkið. Það sama gildir um \(AC\).
2.5.1. Skilgreining: Andhverfur fylkja
Skilgreining
\(n\times n\) fylki \(A\) er andhverfanlegt (e. invertible) ef til er fylki \(C\) þannig að
Fylkið \(C\) kallast þá andhverfa \(A\) (e. inverse), og er táknað með \(A^{-1}\). Ef \(A\) er ekki andhverfanlegt á segjum við það sé óandhverfanlegt (e. singular).
Athugasemd
Einungis ferningsfylki, \(n \times n\), geta verið andhverfanleg. Þó eru ekki öll ferningsfylki andhverfanleg.
2.5.2. Setning: Andhverfa er ótvírætt ákvörðuð
Setning
Sérhvert fylki hefur aðeins eina andhverfu. Hugsum okkur að \(B\) og \(C\) séu tvær mismunandi andhverfur \(A\). Við fáum að
Táknum andhverfu \(A\) með \(A^{-1}\), þ.e.
Við sjáum að andhverfa fylkis er ótvírætt ákvörðuð.
2.5.2.1. Sýnidæmi: Eru fylkin andhverfanleg?
Dæmi
Eru eftirfarandi fylki andhverfanleg?
Lausn
Til að leita að andhverfum skulum við margfalda þessi fylki með almennu \(2\times 2\) fylki og athuga hvort mögulegt sé að finna andhverfu þeirra. Fáum
svo að núllfylkið \(A\) á sér ekki andhverfu. Því næst,
svo fylkið \(B\) getur heldur ekki verið andhverfanlegt. Loks höfum við að
svo ef við veljum \(a=1, b=c=0\) og \(d=\frac{1}{2}\) fáum við einingarfylkið út úr margfölduninni. Því er fylki \(C\) andhverfanlegt og er andhverfa þess
2.5.3. Setning: Andhverfa \(2\times 2\) fylkja
Setning
Látum \(A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) vera \(2\times 2\) fylki. Fylkið \(A\) er andhverfanlegt ef og aðeins ef \(ad-bc\neq 0\) og í þeim tilfellum er andhverfan gefin með
Stærðin \(ad-bc\) kallast ákveða (e. determinant) fylkisins \(A\) og er táknuð \(\text{det}(A)\). Meir um ákveður í kafla 3.
2.5.3.1. Sýnidæmi: Andhverfa \(2\times 2\) fylkja
Dæmi
Finnið andhverfu eftirfarandi fylkja ef til eru
Lausn
Formúlan gefur okkur að \(\det(A)=-3\cdot5-2\cdot7=-15-14=-29\) svo að \(A\) á sér andhverfu og hún er
Fáum að \(\det(B)=-2\cdot (-6)-4\cdot3=0\) svo fylkið \(B\) er á sér ekki andhverfu.
2.5.4. Setning: Lausnir fylkjajafna
Setning
Látum \(A\) vera andhverfanlegt \(n\times n\) fylki. Þá hefur fylkjajafnan \(A\textbf{x}=\textbf{b}\) nákvæmlega eina lausn fyrir sérhvert \(\textbf{b}\in\mathbb{R}^n\) og sú lausn er
2.5.4.1. Sýnidæmi: Fylkjajafna leyst með andhverfu
Dæmi
Leysið jöfnuna
Lausn
Andhverfa fylkisins var reiknuð í sýnidæmi \(2.5.3.1\) hér að ofan. Fáum
Athugasemd
Setningin á undan er oftast ekki notuð beint þegar reikna á stórar fylkjajöfnur af gerðinni \(A\textbf{x}=\textbf{b}\). Það er tímafrekt og að reikna andhverfur stórra fylkja og oftast fljótlega að leysa jöfnuna beint með Gauss-eyðingu eða öðrum aðferðum.
2.5.5. Setning: Reiknireglur andhverfa
Setning
Látum \(A\) og \(B\) vera andhverfanleg \(n\times n\) fylki. Þá gildir að
1. \(A^{-1}\) er andhverfanlegt fylki og
2. \(AB\) er andhverfanlegt fylki og
3. \(A^T\) er andhverfanlegt fylki og
2.5.6. Reiknirit andhverfa \(n \times n\) fylkja
Aðferð
Látum \(A\) vera \(n \times n\) fylki og \(I_n\) vera \(n \times n\) einingarfylki. Setjum upp aukna fylkið
og beitum Gauss-Jordan eyðingu til að breyta fylkinu \(A\) yfir í einingarfylkið \(I_n\). Ef núlllína kemur upp á einhverjum tímapunkti í vinstri hliðina þá er fylkið \(A\) ekki andhverfanleg. Ef tekst að breyta \(A\) í einingarfylkið þá situr andhverfan eftir í hægri hliðinni,
2.5.6.1. Sýnidæmi: Andhverfa \(3\times3\) fylkis
Dæmi
Reiknið andhverfu fylkisins
Lausn
Búum til aukna fylkið og beitum einföldum línuaðgerðum:
svo
2.6. Andhverfanlegar varpanir
2.6.1. Skilgreining: Andhverfanlegar varpanir
Skilgreining
Vörpun \(f\colon X \rightarrow Y\) er andhverfanleg ef til er vörpun \(f^{-1}\colon Y \rightarrow X\) þannig að
fyrir öll \(y \in Y\) og \(x \in X\). Þá kallast \(f^{-1}\) andhverfa vörpunarinnar \(f\).
Fylgisetning
Vörpun \(f\colon X \rightarrow Y\) er andhverfanleg ef og aðeins ef hún er gagntæk.
2.6.2. Setning: Andhverfanlegar línulegar varpanir
Setning
Látum \(T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\) vera línulega vörpun með \(n \times n\) fylki \(A\). Ef fylkið \(A\) er andhverfanlegt þá er vörpunin
andhverfa vörpunarinnar \(T\). Andhverfan er einnig línuleg vörpun. Vörpunin \(T\) er andhverfanleg ef og aðeins ef \(A\) er andhverfanlegt fylki.
2.6.3. Setning: Eintækni og átækni línulegra varpana
Setning
Látum \(T \colon \R^n \rightarrow \R^n\) vera línulega vörpun. Vörpunin \(T\) er eintæk þá og því aðeins að hún er átæk.
Rökstuðningur
Skrifum \(T(\textbf{x})=A\textbf{x}\). Gerum ráð fyrir að \(T\) sé eintæk. Fáum að \(A\textbf{x}=\textbf{0}\) hefur aðeins augljósu lausnina.
Skoðum efri stallagerð \(A\). Fyrst jafnan hefur aðeins augljósu lausnina þá hefur efri stallagerðin forystustuðul í hverjum dálki (og engar frjálsar breytur), þ.e. \(n\) forystustuðla.
Þar með hefur stallagerðin líka forystustuðul í hverri línu (því fylkið er \(n\times n\) fylki).
Jafnan \(A \textbf{x} = \textbf{b}\) hefur lausn fyrir alla vigra \(\textbf{b}\in\mathbb{R}^n\) og því er vörpunin \(T(\textbf{x})=A\textbf{x}\) átæk.
Athugið að leiðingarnar hér gilda í báðar áttir.
Aðvörun
Þessi setning gildir aðeins um línulegar varpanir \(\R^n \rightarrow \R^n\). Hún gildir ekki um varpanir sem eru ólínulegar né varpanir þar sem \(\R^n \rightarrow \R^m\), \(n \neq m\).
Eftirfarandi setning inniheldur jafngild skilyrði þess að ferningsfylki sé andhverfanlegt.
2.6.4. Setning: Langa setningin um andhverfanleg fylki
Setning
Látum \(A\) vera \(n\times n\) fylki. Þá eru eftirfarandi fullyrðingar annað hvort allar sannar eða allar ósannar.
1. \(A\) er andhverfanlegt.
2. \(A\) er línu-jafngilt (og þar með jafngilt) \(n\times n\) einingarfylkinu \(I_n\).
3. \(A\) hefur \(n\) forystustuðla (þ.e. efra stallaform \(A\)).
4. Jafnan \(A\textbf{x}=\textbf{0}\) hefur aðeins augljósu lausnina \(\ve x = \ve 0\).
5. Dálkvigrar \(A\) eru línulega óháðir.
6. Línulega vörpunin \(\textbf{x}\mapsto A\textbf{x}\) er eintæk.
7. Jafnan \(A\textbf{x}=\textbf{b}\) hefur a.m.k eina lausn fyrir sérhvert \(\textbf{b} \in \mathbb{R}^n\).
8. Dálkvigrar \(A\) spanna allt \(\mathbb{R}^n\).
9. Línulega vörpunin \(\textbf{x}\mapsto A\textbf{x}\) er átæk.
10. Til er \(n\times n\) fylki \(C\) þannig að \(CA=I_n\).
11. Til er \(n\times n\) fylki \(D\) þannig að \(AD=I_n\).
12. Bylta fylkið \(A^T\) er andhverfanlegt.
2.6.4.1. Sýnidæmi: Er fylkið andhverfanlegt?
Dæmi
Er gefið fylkið \(A\) andhverfanlegt?
Lausn
Sjáum að
svo fylkið hefur þrjá forystustuðla. Þar með er fylkið andhverfanlegt.
Athugasemd
1. Látum \(A\) og \(B\) vera \(n \times n\) fylki þannig að \(AB=I\) þá eru \(A\) og \(B\) andhverfanleg.
2. Ef \(A\) og \(B\) eru andhverfanleg þá eru \(AB\) og \(BA\) það einnig.
3. Ef \(A\) og \(B\) eru óandhverfanleg þá eru \(AB\) og \(BA\) það einnig.
2.7. LU-þáttun
LU-þáttun er gagnleg þegar leysa á stór línuleg jöfnuhneppi, t.a.m. fyrir marga ólíka vigra \(\ve b\),
Þessi aðferð t.d. sparar útreikninga í tölvu. Meir um LU-þáttun í áfanganum Töluleg Greining.
2.7.1. Skilgreining: LU-þáttun
Skilgreining
Látum \(A\) vera \(m \times n\) fylki sem hægt er að koma á efra stallaform með því að nota einungis umskiptingar þar sem margfeldi af einni línu er lagt við línu neðar í fylkinu. Þá má þátta \(A\) í margfeldi tveggja fylkja
þar sem \(L\) er \(m\times m\) neðra þríhyrningsfylki með \(1\) á hornalínunni og U er \(m\times n\) fylki af efri stallagerð. Þessi þáttun nefnist LU-þáttun (e. LU-factorization).
Við sjáum þetta fyrir okkur svona
2.7.2. Reiknirit LU-þáttunar
Reiknirit
Aðferð til þess að finna LU-þáttun fylks \(A\) og nota til þess að leysa fylkjajöfnu \(A \ve x = \ve b\).
1. Finna \(U\): koma \(A\) yfir á efri stallagerð með umskiptingum á borð við \(R_j\rightarrow R_j+cR_i\) þar sem \(i<j\).
2. Finna \(L\): búa til neðra þríhyrningsfylki með 1 á hornalínunni og fylla í það með föstunum \(c\) sem notaðir voru í línuaðgerðunum í skrefinu á undan.
Til að skoða hvort rétt sé reiknað er auðvelt að margfalda fylkin saman og athuga hvort \(A = LU\). Ef leysa á fylkjajöfnu höldum við áfram
3. Skrifum \(A \ve x = \ve b\) sem \(L (U \ve x) = \ve b\) og látum \(\ve y = U \ve x\). Síðan leysum við \(L \ve y = \ve b\) og köllum lausnina \(\ve z\).
4. Leysum \(U \ve x = \ve z\) með aftur-á-bak innsetningu.
Athugasemd
Ekki má nota hinar tvær línuaðgerðirnar í Skrefi 1, þ.e. margfalda línur með fasta (\(R_i \rightarrow c R_i\)) eða víxla á línum (\(R_i\leftrightarrow R_j\)). Oft verður ekki hjá því komist að víxla á línum. Í þeim tilfellum virkar reikniaðferðin ekki. Til eru leiðir til að vinna sig fram hjá þessu en það verður ekki farið í þær nú.
2.7.2.1. Sýnidæmi: LU-þáttun
Dæmi
LU-þáttið eftirfarandi fylki
Lausn
Komum \(A\) yfir á efri stallagerð með Gauss eyðingu
Búum til fylki \(L\) fylki með því að skoða hvaða línuaðgerðum var beitt (ath. við snúum þeim við í \(L\) fylkinu),
LU-þáttun á \(A\) er gefin með
Framkvæmum nú Gauss eyðingu á fylki \(B\) til að koma því á efri stallagerð
Finnum \(L\) fylkið út frá aðgerðunum sem notaðar voru.
\[\begin{split}\begin{bmatrix} &\\\\ \end{bmatrix} \overset{R_2+2R_1}{\longrightarrow} \begin{bmatrix} &\\\\ \end{bmatrix} \overset{R_3-3R_1}{\longrightarrow} \begin{bmatrix} &\\\\ \end{bmatrix} \overset{R_3-R_2}{\longrightarrow} \begin{bmatrix} &\\\\ \end{bmatrix},\end{split}\]
sjáum að
\[\begin{split}L=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}.\end{split}\]
LU-þáttun á \(B\) er gefin með
\[\begin{split}B=LU=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{bmatrix}.\end{split}\]
2.7.2.2. Sýnidæmi: LU-þáttun til þess að leysa fylkjajöfnu
Dæmi
Skoðum fylki \(A\) í sýnidæminu að ofan,
Nota á LU-þáttun \(A\) til þess að leysa \(A\textbf{x}=\ve b\) þegar \(\textbf{b}=\begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}\)
Lausn
Leysum fyrir \(\ve y=(y_1,y_2)\) í \(L \ve y = \ve b\)
Fáum \(y_1 = 4\) og \(2y_1+ y_2 = 6\) sem gefur
við skulum kalla þessa lausn \(\ve z\). Leysum nú fyrir \(\textbf{x}\) í jöfnunni \(U\textbf{x}=\textbf{z}\). Fáum
Sem gefur
svo \(x_3=-1\) og \(2x_1+x_2=7\), þar með \(x_1=-(\frac{1}{2})x_2+\frac{7}{2}\) . Fáum því:
þar sem \(x_2\) er frjáls breyta.