9. Runur og raðir

Nauðsynleg undirstaða

• Föll

• Markgildi

---

Sam: What we need is a few good taters.

Gollum: What´s taters, precious? What´s taters, eh?

Sam: Po-tay-toes. Boil´em, mash´em, stick´em in a stew. Lovely big golden chips with a nice piece of fried fish.

Sam: Even you couldn´t say no to that.

Gollum: Oh yes we could. Spoilin´ nice fish. Give it to us raw and wrigglin´. You keep nasty chips.

Sam: You´re hopeless.

– Samwise Gamgee and Gollum, The Two Towers (Movie)

---

9.1. Runur

9.1.1. Ritháttur

Óendanleg runa er raðaður listi á forminu

$$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$$

þar sem hvert $a_n$, $n \in \mathbb{N}$ er kallaður liður rununnar. Talan $n$ er kölluð knévísir eða einfaldlega bara vísir rununnar. Hægt er að tákna rununna hér að ofan með

$$\{a_n\}_{n=1}^\infty \text{ eða eindaldlega bara } \{a_n\}.$$

Athugum að þó rithátturinn fyrir mengi sé svipaður þá eru mengi ekki röðuð á meðan runur eru það, sem þýðir að röðin í runum skiptir máli en ekki í mengjum. Því eru mengin $\{1,2,3\}$ og $\{3,1,2\}$ þau sömu en runurnar $1,2,3,\dots$ og $3,1,2,\dots$ það ekki. Ef við skoðum rununa

$$2,4,8,16,32,\dots$$

sjáum við að hún inniheldur öll jákvæð heiltöluveldi af 2 í stækkandi röð. Hana má því tákna með

$$\{2^n\}_{n=1}^\infty \text{ eða eindaldlega } \{2^n\}.$$

Runum má líka lýsa með rakningarvenslum. Þá er sagt að

$$\begin{split}\begin{cases} a_1=2\\ a_n = 2a_{n-1}, & n \geq 2.\\ \end{cases}\end{split}$$

9.1.2. Skilgreining: Runa

Skilgreining

Runan ${a_n}$ er raðaður listi á forminu

$$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$$

þar sem $n$ er kallaður knévísir rununnar og hvert $a_n$ er liður hennar. Sumar runur eiga sér lokað form en þá er hægt að lýsa hverjum lið hennar sem falli af $n$, þ.e. $a_n = f(n)$ þar sem $n$ er náttúruleg tala. Í öðrum tilfellum má lýsa liðum rununnar með rakningarvenslum þar sem hver liður er skilgreindur með lið sem kom á undan í rununni, nema upphafsliðurinn sem er þá gefinn.

Athugum að ekkert er því til fyrirstöðu að láta knévísinn byrja á annarri tölu en $n=1$. Oft er notast við að upphafsliðurinn sé liður númer núll, þ.e. $a_0$ en runan mætti þess vegna byrja á $a_2$ eða $a_{-3}$ sé þörf fyrir því. Tvær týpur af runum koma oftar fyrir en aðrar í kennslubókum, þær eru jafnmunaruna (einnig kölluð mismunaruna) og geómetrísk runa.

Í jafnmunarunu er mismunur milli allra liða rununnar sá sami. Til að mynda er runan

$$3,7,11,15,19,\dots$$

jafnmunaruna því það munar 4 á öllum liðunum og má nota rakningarvenslin

$$\begin{split}\begin{cases} a_1=3\\ a_n = a_{n-1}+4, & n \geq 2 \end{cases}\end{split}$$

til að lýsa henni. Þar sem fyrsti liður rununnar er $3$ og mismunur á milli liða er $4$ má einnig lýsa $n$-ta lið rununnar með

$$a_n=3+4n.$$

Jafnmunarunur hafa almennt lokaða formið $a_n=c+bn$ ef $a_1 = c$ er fyrsti liður rununnar og $b$ er mismunurmunurinn aðliggjandi liða.

Í geómetrískri runu er hlutfallið milli allra liða það sama. Til að mynda er runan

$$2, \frac{-2}{3}, \frac{2}{9}, -\frac{2}{27}, \frac{2}{81},\dots$$

geómetrísk runa því hlutfallið milli hverra tveggja aðliggjandi liða er $-\frac{1}{3}$ og nota má rakningarvenslin

$$\begin{split}\begin{cases} a_1=2\\ a_n = -\frac{1}{3}a_{n-1}, & n \geq 2. \end{cases}\end{split}$$

til að lýsa henni. Þar sem fyrsti liður rununnar er $2$ og hlutfallið $-\frac{1}{3}$ má lýsa $n$-ta lið rununnar með

$$a_n = 2\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}, \quad n\geq 1.$$

Almennt hefur geómetrísk runa lokaða formið $a_n=cr^{n-1}$ ef $a_1=c$ er fyrsti liður rununnar og $r$ er hlutfallið milli aðliggjandi liða.

9.1.3. Dæmi: Lokað form

Dæmi

Finnum lokað form rununnar

$$\frac{3}{4}, \frac{9}{7}, \frac{27}{10}, \frac{81}{13}, \frac{243}{16},\dots.$$

Lausn

Teljarar brotanna eru $3,9,27,81,243, \dots$ á meðan nefnarar þeirra eru $4,7,10,13,16, \dots$. Við sjáum að fyrri runan er geómetrísk runa þar sem sérhver liður er þrefalt stærri en liðurinn á undan á meðan seinni runan er jafnmunaruna þar sem það munar 3 á hverjum tveimur aðliggjandi liðum. Fyrri rununni má því lýsa með $3^n$ en þeirri seinni $3n+1$. Lokað form rununnar er því

$$a_n = \frac{3^n}{3n+1}, \quad n\geq 1.$$

9.1.4. Dæmi: Lokað form

Dæmi

Finnum lokað form rununnar sem skilgreind er með rakningarvenslunum

$$\begin{split}\begin{cases} a_1=2\\ a_n = -3a_{n-1}, & n \geq 2. \end{cases}\end{split}$$

Lausn

Byrjum á því að átta okkur á því hvaða runa þetta er. Skrifum út nokkra liði hennar.

$$\begin{split}\begin{align} a_1 &= 2\\ a_2 &= -3 a_1 = (-3)\cdot 2\\ a_3 &= -3 a_2 = (-3) \cdot (-3) \cdot 2\\ a_4 &= -3 a_3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot 2\\ &\vdots \end{align}\end{split}$$

Oft getur hjálpað að reikna útreikningana ekki alveg til enda til að auðveldara sé að koma auga á mynstrið. Hér sést að

$$a_n = (-3)^{n-1}\cdot2, \quad n\geq 1.$$

9.1.5. Markgildi runa

Ein af þeim grundvallarspurningum sem hægt er að spurja þegar kemur að runum er hvernig runan hegðar sér þegar knévísirinn $n$ stefnir á $\infty$. Þar sem runa er fall sem er skilgreint á náttúrulegu tölunum er rökrétt að leiða hugann að því hvort allir liðirnir stefni á sama gildið, þ.e. hvort markgildi liðanna í rununni sé samleitið.

9.1.6. Skilgreining: Markgildi runu (óformlega)

Skilgreining

Af því gefnu að liðir rununnar $\{a_n\}$ nálgist gildið $L$ eins mikið og vera skal eftir því sem $n$ stækkar segjum við að $\{a_n\}$ sé samleitin runa og að $L$ sé markgildi rununnar. Við ritum þá að

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L.$$

Ef runan $\{a_n\}$ er ekki samleitin segjum við að hún sé ósamleitin runa.

9.1.7. Skilgreining: Markgildi runu (formlega)

Skilgreining

Runan $\{a_n\}$ er samleitin að rauntölu $L$ ef fyrir sérhvert $\varepsilon > 0$ er til heil tala $N$ þannig að $|a_n - L|<\varepsilon$ fyrir öll $n \geq N$. Þá er talan $L$ kölluð markgildi rununnar og við skrifum

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L \text{ eða } a_n \rightarrow L.$$

Þá er runan $\{a_n\}$ sögð vera samleitin runa. Runa sem er ekki samleitin er kölluð ósamleitin runa og við segjum að markgildi hennar sé ekki til.

9.1.8. Dæmi: Samleitin og ósamleitin runa

Dæmi

Runan

$$-1, 1, -1, 1, -1, 1, \dots = \{(-1)^n\}$$

kallast víxlruna þar sem annar hver liður er sá sami og víxlar runan þannig á milli tveggja gilda. Þessi runa er ekki samleitin af því að liðirnir halda áfram fram í hið óendanlega að víxla á milli gildanna -1 og 1 og nálgast runan því ekki eina ákveðna tölu $L$.

Runan

$$1,2,3,4,5,6, \dots = \{n\}$$

er einnig ósamleitin af því að

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty$$

og til þess að runa sé samleitin verður markgildi hennar að vera einhver rauntala $L$, sem $\infty$ er vissulega ekki. Hinsvegar er runan

$$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots = \left\{\frac{1}{n}\right\}$$

samleitin þar sem liðirnir verða alltaf minni og minni og stefna á endanum á 0, þ.e.

$$\lim_{n \rightarrow \infty } \left\{\frac{1}{n}\right\} = 0.$$

9.1.9. Setning: Markgildi runu reiknað með markgildi falls

Setning

Gerum ráð fyrir að runan $\{a_n\}$ uppfylli að $n$-ta staki hennar megi lýsa með fallinu $f(n)$, þ.e. $a_n=f(n)$ fyrir öll $n\geq 1$. Ef til er rauntala $L$ þannig að

$$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=L$$

er sagt að runan sé samleitin og

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L.$$

Við getum notað þessa setningu til að meta markgildið

$$\lim_{n \rightarrow \infty } r^n$$

fyrir $0 \leq r < 1$. Við skulum líta á rununa $\{(1/2)^n\}$ og sambærilegt vísisfall $f(x)=(1/2)^x$. Þar sem

$$\lim_{x \rightarrow \infty} (1/2)^x = 0$$

getum við staðhæft að runan $\{(1/2)^n\}$ hafi markgildið 0. Sambærilega gildir fyrir sérhverja rauntölu $r$ sem uppfyllir að $0 \leq r < 1$ að

$$\lim_{x \rightarrow \infty} r^x = 0$$

og þar með er runan $\{r^n\}$ samleitin með markgildið 0. Ef hins vegar $r=1$ er markgildið

$$\lim_{x \rightarrow \infty} r^x = 1$$

og runan er samleitin með markgildið 1. Ef hins vegar $r>1$ er

$$\lim_{x \rightarrow \infty} r^x = \infty$$

og við getum þar með ekki beitt setningunni um að skilgreina markgildi runu með falli. Af þessu leiðir að

$$\begin{split}\begin{align} r^n &\rightarrow 0 \text{ ef } 0 < r < 1\\ r^n &\rightarrow 1 \text{ ef } r=1\\ r^n &\rightarrow \infty \text{ ef } r > 1\\ \end{align}\end{split}$$

9.1.10. Setning: Markgildisreglur fyrir runur

Setning

Látum $\{a_n\}$ og $\{b_n\}$ vera gefnar runur og $c$ einhverja rauntölu. Ef til eru fastar $A$ og $B$ þannig að $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = A$ og $\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = B$ gildir

1. $\lim_{n \rightarrow \infty} c = c$

2. $\lim_{n\rightarrow \infty} ca_n = c\lim_{n\rightarrow \infty}a_n = cA$

3. $\lim_{n\rightarrow \infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n\rightarrow \infty} a_n \pm \lim_{n\rightarrow \infty} b_n = A \pm B$

4. $\lim_{n\rightarrow \infty} (a_n \cdot b_n) = \left(\lim_{n\rightarrow \infty} a_n \right) \cdot \left(\lim_{n\rightarrow \infty} b_n \right) = A \cdot B$

5. $\lim_{n\rightarrow \infty} \left( \frac{a_n}{b_n} \right) = \frac{\lim_{n\rightarrow \infty} a_n}{\lim_{n\rightarrow \infty} b_n} = \frac{A}{B}$ af því gefnu að $B \neq 0$ og hvert $b_n \neq 0$.

9.1.11. Dæmi: Ákvarða samleitni og reikna markgildið

Dæmi

Ákvörðum hvort runan

$$\left\{5 - \frac{3}{n^2} \right\}$$

sé samleitin og ef svo er reiknum þá markgildi hennar.

Lausn

Við vitum að $1/n \rightarrow 0$ og því gildir að

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{n}\right) \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{n}\right) = 0 \cdot 0 = 0.$$

Svo markgildi rununnar er

$$\lim_{n \rightarrow \infty} 5 - \frac{3}{n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} 5 - 3 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} = 5 - 3\cdot 0 = 5.$$

9.1.12. Setning: Samfelld föll skilgreind á samleitnum runum

Setning

Látum $\{a_n\}$ vera runu og gerum ráð fyrir að til sé tala $L$ þannig að

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L.$$

Gerum einnig ráð fyrir að fall $f$ sé samfellt í $L$. Þá er til heil tala $N$ sem uppfyllir að $f$ er skilgreint í öllum $a_n$ fyrir $n \geq N$ og runan $\{f(a_n)\}$ er samleitin að $f(L)$.

Með öðrum orðum segir setningin að það má taka markgildi inn fyrir föll ef þau eru samfelld.

9.1.13. Dæmi: Samfelld föll skilgreind á samleitnum runum

Dæmi

Ákvörðum hvort runan $\left\{ \cos(3/n^2) \right\}$ sé samleitin. Ef hún er samleitin, finnum þá markgildið.

Lausn

Þar sem runan $\{3/n^2\}$ er samleitin að 0 og $\cos(x)$ er samfellt í $x=0$ getum við staðhæft að runan $\{3/n^2\}$ samleitin og að markgildið sé

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \cos\left(\frac{3}{n^2}\right) = \cos(0)=1.$$

9.1.14. Setning: Klemmureglan fyrir runur

Setning

Látum $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ og $\{c_n\}$ vera gefnar runur. Gerum ráðu fyrir því að til sé heil tala $N$ þannig að

$$a_n \leq b_n \leq c_n \text{ fyrir öll } n \geq N.$$

Ef til er rauntala $L$ þannig að

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L = \lim_{n \rightarrow \infty} c_n,$$

þá er $\{b_n\}$ samleitin og $\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = L$.

9.1.15. Dæmi: Klemmureglan fyrir runur

Dæmi

Notum klemmuregluna fyrir runur til að finna markgildi rununnar

$$\left\{ \frac{\cos(n)}{n^2}\right \}.$$

Lausn

Þar sem $-1 \leq \cos(n) \leq 1$ fyrir allar heiltölur $n$ höfum við að

$$-\frac{1}{n^2} \leq \frac{\cos(n)}{n} \leq \frac{1}{n^2}.$$

Þar sem $-1/n^2 \rightarrow 0$ og $1/n^2 \rightarrow 0$ fæst skv. klemmureglunni að

$$\lim_{n \rightarrow \infty } = \left\{ \frac{\cos(n)}{n^2}\right \} = 0.$$

9.1.16. Takmarkaðar runur

Við beinum nú sjónum okkar að einni mikilvægustu setningu stærðfræðgreingarinnar sem við kemur runum, setningin um einhalla samleitni. Við þurfum hins vegar að byrja á því að skilgreina örfá hugtök.

9.1.17. Skilgreining: Takmörkun

Skilgreining

Runan $\{a_n\}$ er sögð vera takmörkuð að ofan ef til er rauntala $M$ þannig að

$$a_n \leq M$$

fyrir allar jákvæðar heiltölur $n$.

Runan $\{a_n\}$ er sögð vera takmörkuð að neðan ef til er rauntala $M$ þannig að

$$M \leq a_n$$

fyrir allar jákvæðar heiltölur $n$.

Runan $\{a_n\}$ er sögð vera takmörkuð runa hún er takmörkuð að ofan og neðan. Ef runa er ekki takmörkuð er hún sögð vera ótakmörku runa.

Til að mynda er runan $\{1/n\}$ takmörkuð að ofan af því að $1/n \leq 1$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n$. Hún er einnig takmörkuð að neðan þar sem $1/n \geq 0$ fyrir allar stranglega jákvæðar heiltölur $n$. Ef við lítum hins vegar á rununa $\{2^n\}$ þá er hú ekki takmörkuð að ofan þar sem $\lim_{n \rightarrow \infty} 2^n = \infty$ og jafnvel þó hún sé takmörkuð að neðan þar sem $2^n > 0$ fyrir allar jákvæðar heiltölur þá segjum við samt sem áður að runan sé ótakmörkuð þar sem hún er ekki takmörkuð að ofan og neðan.

9.1.18. Setning: Samleitnar runur eru takmarkaðar

Setning

Ef runan $\{a_n\}$ er samleitin þá er hún takmörkuð.

Aðvörun

Þetta gildir ekki öfugt. Til eru takmarkaðar runur sem ekki eru samleitnar.

9.1.19. Skilgreining: Einhalla runa

Skilgreining

Runa $\{a_n\}$ er sögð vaxandi ef

$$a_n \leq a_{n+1} \text{ fyrir öll } n \geq 1.$$

Runa $\{a_n\}$ er sögð minnkandi ef

$$a_n \geq a_{n+1} \text{ fyrir öll } n \geq 1.$$

Runa $\{a_n\}$ er sögð einhalla ef hún er vaxandi eða minnkandi.

Þá er ekkert annað að gera en að setja fram setninguna um einhalla runur.

9.1.20. Setning: Setningin um einhalla runur

Setning

Ef $\{a_n\}$ er takmörkuð runa og til er jákvæð heil tala $n_0$ þannig að $\{a_n\}$ sé einhalla fyrir öll $n \geq n_0$ þá er runan samleitin.

9.1.21. Dæmi: Setningin um einhalla runur

Dæmi

Notum setninguna um einhalla runur til að sýna að runan

$$\left\{\frac{4^n}{n!}\right\}$$

sé samleitin og ákvörðum markgildi hennar.

Lausn

Skoðum fyrstu liði rununnar.

$$\left\{\frac{4^n}{n!}\right\} = 8,4, \frac{32}{3}, \frac{32}{3}, \frac{128}{15}, \dots.$$

Í fyrstu vex runan en frá og með $n \geq 3$ minnka liðirnir. Þetta má sýna fram á með eftirfarandi hætti.

$$a_{n+1} = \frac{4^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{4^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{4}{n+1}\cdot \frac{4^n}{n!} = \frac{4}{n+1}\cdot a_n \leq a_n \text{ ef } n \geq 3.$$

Við sjáum einnig að runan er takmörkuð að neðan af 0 þar sem $4^n/n! \geq 0$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n$. Þar með segir setningin um einhalla runir að runan sé samleitin.

Til að ákvarða markgildið þurfum við að nota að þá vitneskju að runan sé samleitin og láta

$$L = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n.$$

Athugum nú sérstsaklega að þar sem runan inniheldur óendanlega marga liði hefur það ekki áhrif á markgildi hennar að fjarlægja úr henni endanlega marga liði. Þar sem $\{a_{n+1}\}$ er sama runa og $\{a_{n}\}$ að öllu leyti nema hún sleppir fyrsta liðnum í $\{a_{n}\}$ fæst því að

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n+1} = L.$$

Notum nú þetta auk þess að

$$a_{n+1} = \frac{4}{n+1}a_n.$$

Tökum markgildi af báðum hliðum jöfnunnar

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4}{n+1}a_n.$$

Þar sem $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4}{n+1} = 0$ fæst samkvæmt reiknireglum um markgildi að

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4}{n+1}a_n = 0.$$

Og þar sem

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4}{n+1}a_n.$$

hefur runan $\left\{\frac{4^n}{n!}\right\}$ markgildið $L=0$.

---

9.2. Raðir

9.2.1. Skilreining: Röð

Skilgreining

Óendanleg röð er summa sem hefur óendanlega marga liði og er rituð á forminu

$$\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots.$$

Fér sérhverja jákvæða heiltölu $k$ er summan

$$S_k = \sum_{n=1}^k a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots a_k$$

er kölluð $k$-ta hlutsumma raðarinnar. Hlutsummurnar mynda rununa $\{S_k\}$. Ef runa hlutsummanna er samleitin að rauntölu $S$ er sagt að röðin sé samleitin og $S$ sé summa hennar. Við ritum þá

$$\sum_{n=1}^\infty a_n = S.$$

Ef runa hlutsumanna er ósamleitin segjum við að röðin sé ósamleitin.

Athugum að röðin þarf ekki að byrja í $n=1$, ef þörf krefst má byrja röðina í $n=0$ eða $n=-1$ eða hvaða tölu sem er. Sem dæmi þá er röðin

$$\sum_{n=2} \frac{1}{n^2}$$

fullkomlega fullgild röð. Ef við viljum skrifa hana þannig að summuvísirinn byrji í 1 má nota innsetningu með $m=n+1$ og fæst þá

$$\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{(m+1)^2}$$

sem er algerlega jafngild framsetning af sömu röðinni.

9.2.2. Dæmi: Markgildi hlutsumma

Dæmi

Notum runu hlutsumma til að ákvarða hvort röðin

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}$$

sé samleitin eða ósamleitin.

Lausn

Runa hlutsumanna $\{S_k\}$ uppfyllir að

$$\begin{split}\begin{align} S_1 &= \frac{1}{2}\\ S_2 &= \frac{1}{2}+\frac{2}{3}\\ S_3 &= \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\\ S_4 &= \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}.\\ \end{align}\end{split}$$

Athugum að hverjum lið sem bætt er við er stærri en $1/2$. Af því leiðir að

$$\begin{split}\begin{align} S_1 &= \frac{1}{2} \\ S_2 &= \frac{1}{2}+\frac{2}{3}> \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2\left(\frac{1}{2}\right)\\ S_3 &= \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4} > \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 3 \left(\frac{1}{2}\right)\\ S_4 &= \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5} > \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 4 \left(\frac{1}{2}\right).\\ \end{align}\end{split}$$

Út frá þessu mynstri sést að $S_k > k\left(\frac{1}{2}\right)$ fyrir sérhverja heiltölu $k$. Þar með er $\{S_k\}$ ótakmörkuð og því ósamleitin. Því fæst að röðin

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}$$

er ósamleitin.

9.2.3. Skilgreining: Harmoníska röðin

Skilgreining

Röðin

$$\sum_{n=1}^\infty 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots .$$

nefnist harmoníska röðin (e. the harmonic series).

Harmoníska röðin er áhugaverð að því leyti að hún er ósamleitin en verður það afar hægt. Það er ekki auðvelt að sjá það út undan sér að hún sé ósamleitin, í fyrstu sýn mætti halda að hún væri samleitin. Liðir hennar stefna hraðbyris á 0 svo sífellt bætist minna við.

9.2.4. Reiknireglur: Samleitnar raðir

Reiknireglur: Samleitnar raðir

Látum $\sum_{n=1}^\infty a_n$ og $\sum_{n=1}^\infty b_n$ vera samleitnar raðir og $c$ vera einhverja rauntölu. Þá gildir eftirfarandi.

1. Röðin $\sum_{n=1}^\infty (a_n \pm b_n)$ er samleitin og $\sum_{n=1}^\infty (a_n \pm b_n) = \sum_{n=1}^\infty a_n \pm \sum_{n=1}^\infty b_n$.

2. Röðin $\sum_{n=1}^\infty ca_n$ er samleitin og $\sum_{n=1}^\infty ca_n = c\sum_{n=1}^\infty a_n$.

9.2.5. Dæmi: Reiknireglur um samleitnar raðir

Dæmi

Metum

$$\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{3}{n(n+1)} + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} \right)$$

af því gefnu að vitað sé að

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}= 1$$

og

$$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 2.$$

Lausn

Fáum samkvæmt reglum um samleitnar raðir að

$$\begin{split}\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{3}{n(n+1)} + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} \right) &= 3\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\\ &= 3 \cdot 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \cdot 2\\ &= 3 + 4\\ &= 7. \end{align}\end{split}$$

9.2.6. Skilgreining: Geómetrísk röð

Setning

Geómetrísk röð er röð sem rita má á forminu

$$a+ar+ar^2+ar^3+\dots = \sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}.$$

Þar sem hlutfallið milli aðliggjandi liða er táknað með $r$ og nefnist hlutfallstala raðarinnar og talan $a$ er nefnist fyrsti liður raðarinnar.

Ef $|r|<1$ er röðin samleitin og

$$\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1} = \frac{a}{1-r} \text{ fyrir } |r|<1.$$

Ef $|r| \geq 1$ er röðin ósamleitin.

9.2.7. Dæmi: Samleitni geómetrískar raðar

Dæmi

Ákvörðum hvort geómetríska röðin

$$\sum_{n=1}^\infty e^{2n}$$

sé samleitin og ef hún er samleitin finnum þá summu hennar.

Lausn

Ef við ritum röðina á forminu

$$e^2 \sum_{n=1}^\infty (e^2)^{n-1}$$

sést að $r=e^2>1$ svo röðin er ósamleitin.

9.2.8. Dæmi: Samleitni geómetrískar raðar

Dæmi

Ákvörðum hvort geómetríska röðin

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-3)^{n+1}}{4^{n-1}}$$

sé samleitin og ef hún er samleitin finnum þá summu hennar.

Lausn

Ef við skrifum út fyrstu liði raðarinnar fæst

$$\begin{split}\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-3)^{n+1}}{4^{n-1}} &= \frac{(-3)^2}{4^0} + \frac{(-3)^3}{4^1} + \frac{(-3)^4}{4^2}+ \dots\\ &= (-3)^2 + (-3)^2\cdot (-3/4) + (-3)^2 \cdot (-3/4)^2 + \dots \\ &= 9 + 9 \cdot (-3/4) + 9 \cdot (-3/4)^2 + \dots. \end{align}\end{split}$$

Fyrsti liður raðarinnar er $a=9$ og hlutfallstalan er $r=-3/4$. Þar sem $|r|=3/4 < 1$ er röðin samleitin og summa hennar er

$$\frac{9}{1-(-3/4)} = \frac{36}{7}.$$

9.2.9. Skilgreining: Kíkisröð

Skilgreining

Kíkisröð er röð þar sem flestir liðir raðarinnar styttast út í hlutsummum hennar og eftir standa aðeins endanlega margir af fyrstu og síðustu liðum hlutsummanna.

9.2.10. Dæmi: Kíkisröð

Dæmi

Ákvörðum hvort kíkisröðin

$$\sum_{n=1}^\infty \left( \cos\left(\frac{1}{n}\right) - \cos\left(\frac{1}{n+1}\right) \right)$$

sé samleitin eða ekki. Ef hún er samleitin, finnum þá summu hennar.

Lausn

Ef við skrifum út liði hlutsummanna fáum við að

$$\begin{split}\begin{align} S_1 &= \cos(1)-\cos(1/2)\\ S_2 &= (\cos(1) - \cos(1/2))+(\cos(1/2)-\cos(1/3)) = \cos(1)-\cos(1/3)\\ S_3 &= (\cos(1)-\cos(1/2)) + (\cos(1/2)-\cos(1/3)) + (\cos(1/3) - \cos(1/4))\\ &= \cos(1)-\cos(1/4). \end{align}\end{split}$$

Almennt gildir því að

$$S_k = \cos(1) - \cos(1/(k+1)).$$

Þar sem $1/(k+1) \rightarrow 0$ þegar $k \rightarrow \infty$ og $\cos(x)$ er samfellt fall þá gildir að $\cos(1/(k+1)) \rightarrow \cos(0)=1$. Þar með fæst að $S_k \rightarrow \cos(1)-1$. Kíkisröðin er því samleitin og summa hennar er gefin með

$$\sum_{n=1}^\infty \left( \cos\left(\frac{1}{n}\right) - \cos\left(\frac{1}{n+1}\right) \right) = \cos(1) - 1.$$

---

9.3. Sundurleitnipróf

Ef röðin $\sum_{n=1}^\infty a_n$ á að vera samleitin verður að gilda að $a_n \rightarrow 0$ þegar $n \rightarrow \infty$. Því er hægt að setja fram eftirfarandi setningu.

9.3.1. Setning: Sundurleitnipróf

Setning

Ef $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = c \neq 0$ eða $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n$ er ekki til þá er röðin $\sum_{n=1}^\infty a_n$ ósamleitin.

Aðvörun

Hið andstæða er ekki satt, það er ekki nóg að

$$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$$

til þess að röðin

$$\sum_{n=1}^\infty a_n$$

sé samleitin. Við segjum við að $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$ sé nauðsynleg en ekki nægjanleg forsenda fyrir samleitni raðar.

---

9.4. Heildisprófið

Heildisprófið gerir samanburð á milli óendanlegrar summu og óeiginlegs heildis.

9.4.1. Setning: Heildisprófið

Setning

Gerum ráð fyrir að $\sum_{n=1}^\infty a_i$ sé röð af jákvæðum liðum $a_n$ og gerum einnig ráð fyrir að til sé fall $f$ og jákvæð heiltala $N$ þannig að eftirfarandi þrjú skilyrði séu uppfyllt:

1. $f$ er samfellt

2. $f$ er minnkandi

3. $f(n)=a_n$ fyrir allar heiltölur $n \geq N$.

Þá gildir að

$$\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ og } \int_N^\infty f(x) dx$$

eru annað hvort bæði samleitin eða bæði ósamleitin. Athugum að jafnvel þó samleitni heildisins $\int_N^\infty f(x) dx$ hafi það í för með sér að $\sum_{n=1}^\infty a_n$ sé samleitið þýðir það ekki að gildi þeirra er það saman.

9.4.2. Dæmi: Heildisprófið

Dæmi

Ákvörðum hvort röðin

$$\sum_{n=1}^\infty 1/n^3$$

sé samleitin eða ekki.

Lausn

Þar sem $1/n^3 > 0$ fyrir öll $n \in \mathbb{N}$ og fallið $1/x^3$ er samfellt, minnkandi og $f(n)=a_n$ fyrir öll $n \in \mathbb{N}$ þá getum við við nota heildisprófið. Berum saman

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \text{ og } \int_1^\infty \frac{1}{x^3} dx.$$

Höfum að

$$\begin{split}\begin{align} \int_1^\infty \frac{1}{x^3} dx &= \lim_{b \rightarrow \infty} \int_1^b \frac{1}{x^3} dx\\ &= \lim_{b \rightarrow \infty} - \frac{1}{2b^2} - \left( -\frac{1}{2\cdot 1^2}\right)\\ &= 0 + \frac{1}{2}\\ &= \frac{1}{2}. \end{align}\end{split}$$

Þar sem heildið $\int_1^\infty \frac{1}{x^3} dx$ er samleitið þá er röðin $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$ það einnig.

9.4.3. $p$-raðir

Raðirnar $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ og $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ eru dæmi um $p$-raðir.

9.4.4. Skilgreining: $p$-röð

Skilgreining

Fyrir sérhverja rauntölu $p$ er röðin

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$$

kölluð $p$-röð.

Nú er harmoníska röðin, þ.e. þar sem $p=1$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

ósamleitin en röðin

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$

er samleitin. Við skulum velta því fyrir okkur hvað ræður því hvort $p$-röð sé samleitin.

Ef $p<0$ þá gildir að $1/n^p \rightarrow \infty$ og þegar $p=0$ gildir að $1/n^p \rightarrow 1$. Svo því fæst að

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} \text{ er ósamleitin ef } p \leq 0.$$

Ef $p>0$ er $f(x)=1/x^p$ jákvætt, samfellt og minnkandi fall sem uppfyllir að $f(n)=a_n$ fyrir öll $n \in \mathbb{N}$. Því getum við notað heildisprófið og borið saman

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} \text{ og } \int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx.$$

Við ætlum að skoða tilfellið þegar $p>0, p \neq 1$. Í því tilfellið gildir að

$$\begin{split}\begin{align} \int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx &= \lim_{b \rightarrow \infty} \left[ \frac{1}{1-p} x^{1-p}\right]_1^b\\ &= \lim_{b \rightarrow \infty} \frac{1}{1-p} \left(b^{1-p}-1 \right). \end{align}\end{split}$$

Þar sem

$$b^{1-p} \rightarrow 0 \text{ ef } p>1 \text{ og } b^{1-p}\rightarrow \infty \text{ ef } p<1,$$

þá gildir að

$$\begin{split}\int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx= \begin{cases} \frac{1}{p-1}, & p>1\\ \infty, & p \leq 1 \end{cases} .\end{split}$$

Þar með gildir að

$$\begin{split}\sum_{n=1}^\infty 1/n^p \begin{cases} \text{samleitin ef } p>1\\ \text{ósamleitin ef } p \leq 1 \end{cases} .\end{split}$$

9.4.5. Dæmi: Samleitni $p$-raða

Dæmi

Ákvörðum hvort $p$-röðin

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2/3}}$$

sé samleitin.

Lausn

Þar sem $p = 2/3 < 1$ er röðin ósamleitin.

9.4.6. Að meta gildi raða

Gerum ráð fyrir að þekkt sé að röðin $\sum_{n=1}^\infty a_n$ sé samleitin og nú viljum við ákvarða summu hennar. Ein leið væri að nota gildi hlutsummunnar $\sum_{n=1}^N a_n$ til að nálga gildi raðarinnar. Spurningin er því hve gott slíkt mat væri. Ef við látum

$$R_n = \sum_{n=1}^\infty a_n - \sum_{n=1}^N a_n$$

hve stórt er þá $R_N$? Sumar raðir leyfa okkur að nota svipaða aðferðarfræði og notuð er í heildisprófinu til að meta skekkjuna $R_n$.

9.4.7. Setning: Skekkjumat

Setning

Gerum ráð fyrir að þekkt sé að röðin $\sum_{n=1}^\infty a_n$ sé samleitin röð af jákvæðum liðum. Gerum einnig ráð fyrir að til sé fall $f$ og jákvæð heiltala $N$ þannig að eftirfarandi þrjú skilyrði séu uppfyllt:

1. $f$ er samfellt

2. $f$ er minnkandi

3. $f(n)=a_n$ fyrir allar heiltölur $n \geq N$.

Látum $S_n$ vera $N$-tu hlutsummu $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Fyrir allar jákvæðar heiltölur $N$ fæst að

$$S_n + \int_{N+1}^\infty f(x) dx < \sum_{n=1}^\infty a_n < S_n + \int_N^\infty f(x) dx.$$

Með öðrum orðum þá uppfyllir skekkjan

$$R_n = \sum_{n=1}^\infty a_n - S_n = \sum_{n=N+1}^\infty a_n$$

eftirfarandi mat:

$$\int_{N+1}^\infty f(x) dx < R_n < \int_N^\infty f(x) dx.$$

Þetta er þekkt sem skekkjumatið.

9.4.8. Dæmi: Skekkjumat

Dæmi

Lítum á röðina

$$\sum_{n=1}^\infty 1/n^3.$$

1. Reiknum hlutsummuna $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} 1/n^3$ og metum skekkjuna.

2. Ákvörðum minnsta gildið á $N$ sem uppfyllir að skekkjan sé minni en $0,001$.

Lausn

1. Lausn:

   Reiknum og fáum að

   $$S_{10} = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \dots + \frac{1}{10^3} \approx 1,19753.$$

   Skekkjumatið gefur okkur að

   $$R_n < \int_N^\infty \frac{1}{x^3} dx.$$

   Við höfum því að

   $$\begin{split}\begin{align} \int_{10}^\infty \frac{1}{x^3} dx &= \lim_{b \rightarrow \infty} \int_{10}^\infty \frac{1}{x^3} dx\\ &= \lim_{b \rightarrow \infty} \left[-\frac{1}{2x^2}\right]_N^b\\ &= \lim_{b \rightarrow \infty} \left(-\frac{1}{2b^2} + \frac{1}{2N^2}\right)\\ &= \frac{1}{2N^2}. \end{align}\end{split}$$

   Svo skekkjan er $R_{10} < \frac{1}{2\cdot 10^2} = 0,005$.

2. Lausn:

   Í a. hluta sýndum við að $R_N < \frac{1}{2N^2}$. Þar með er skekkjan $R_N < 0,001$ svo lengi sem $\frac{1}{2N^2} < 0,001$. Ef við einangrum $N^2$ fæst að $N^2 > 500$. Við getum nú tekið rótina af báðum hliðum ójöfnunnar og þar sem $N$ er jákvæð tala fæst að lausnin sé $N > 22,36$. Þar sem $N$ er heil tala þurfum við að námunda upp í næstu heilu tölu til að tryggja að skekkjan sé innan þeirra marga sem óskað var eftir. Því fæst að minnsta gildið sé $N=23$.

9.5. Samanburðarprófið

9.5.1. Setning: Samanburðarprófið

Setning

1. Gerum ráð fyrir að til sé heil tala $N$ þannig að $0 \leq a_n \leq b_n$ fyrir öll $n \geq N$. Ef $\sum_{n=1}^\infty b_n$ er samleitið þá er $\sum_{n=1}^\infty a_n$ það einnig.

2. Gerum ráð fyrir að til sé heil tala $N$ þannig að $a_n \geq b_n \geq 0$ fyrir öll $n \geq N$. Ef $\sum_{n=1}^\infty b_n$ er ósamleitin þá er $\sum_{n=1}^\infty a_n$ það einnig.

9.5.2. Dæmi: Samanburðarprófið

Dæmi

Notum samanburðarprófið til að ákvarða hvort

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3+3n+1}$$

sé samleitin eða ekki.

Lausn

Berum röðina sem gefin var við $p$-röðina $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$. Höfum að

$$\frac{1}{n^3+3n+1} < \frac{1}{n^3}$$

fyrir allar jákvæðar heiltölur $n$. Þar sem $p=3$ segja niðurstöður okkar um $p$-raðir að $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$ sé samleitin og því er $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3+3n+1}$ það einnig.

9.5.3. Setning: Samanburður með markgildi

Setning

Látum $a_n,b_n \geq 0$ fyrir öll $n \geq 1$.

1. Ef $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n/b_n = L \neq 0$ þá eru $\sum_{n=1}^\infty a_n$ og $\sum_{n=1}^\infty b_n$ annað hvort báðar samleitnar eða ósamleitnar.

2. Ef $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n/b_n = 0$ og $\sum_{n=1}^\infty b_n$ er samleitin þá er $\sum_{n=1}^\infty a_n$ það einnig.

3. Ef $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n/b_n = \infty$ og $\sum_{n=1}^\infty b_n$ er ósamleitin þá er $\sum_{n=1}^\infty a_n$ það einnig.

9.5.4. Dæmi: Samanburður með markgildi

Dæmi

Notum samanburð með markgildi til að ákvarða hvort röðin

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}+1}$$

sé samleitin eða ekki.

Lausn

Berum röðina $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}+1}$ saman við $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$. Reiknum markgildið

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1/(\sqrt{n}+1)}{1/\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+1/\sqrt{n}} = 1$$

Með því að nota samanburð með markgildi fæst að þar sem röðin $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$ er ósamleitin er röðin $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}+1}$ það einnig.

---

9.6. Víxlmerkjaraðir

Raðir sem víxla formerkjum á öðrum hverjum lið, þ.e. annar hver liður er jákvæð tala og hinir liðirnir á móti eru neikvæðar, nefnast víxlmerkjaraðir. Til að mynda er röðin

$$\sum_{n=1}^\infty \left( -\frac{1}{2} \right) = - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - \dots$$

víxlmerkjaröð.

9.6.1. Skilgreining: Víxlmerkjaröð

Skilgreining

Sérhver röð sem hefur liði sem skiptast á að vera jákvæðir og neikvæðir á mis er kölluð víxlmerkjaröð. Víxlmerkjaröð má skrifa á forminu

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} b_n = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \dots$$

eða

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n b_n = -b_1 + b_2 - b_3 + b_4 + \dots$$

þar sem $b_n \geq 0$ fyrir allar jákvæðar heiltölur $n$.

9.6.2. Setning: Próf fyrir víxlmerkjaraðir

Setning

Víxlmerkjaröð á forminu

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} b_n \text{ eða } \sum_{n=1}^\infty (-1)^n b_n$$

er samleitin ef

1. $0 \leq b_{n+1} \leq b_n$ fyrir öll $n \geq 1$ og

2. $\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = 0$.

Þetta er kallað próf fyrir víxlmerkjaraðir.

9.6.3. Dæmi: Próf fyrir víxlmerkjaröð

Dæmi

Ákvörðum hvort röðin

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}/n^2$$

sé samleitin eða ekki.

Lausn

Þar sem

$$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$$

og

$$\frac{1}{n^2} \rightarrow 0$$

er röðin samleitin.

9.6.4. Setning: Skekkja í víxlmerkjaröðum

Setning

Lítum á víxlmerkjaröð á forminu

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} b_n \text{ eða } \sum_{n=1}^\infty (-1)^n b_n$$

sem uppfyllir skilyrði prófsins fyrir víxlmerkjaraðir. Látum $S$ merkja summu raðarinnar og $S_N$ tákna $N$-tu hlutsummu raðarinnar. Fyrir sérhverja heiltölu $N \geq 1$ uppfyllir skekkjan $R_N = S - S_N$ að

$$|R_N| \leq b_{N+1}.$$

9.6.5. Dæmi: Skekkja víxlmerkjaraðar

Dæmi

Lítum á röðina

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}.$$

Notum skekkju víxlmerkjaraðar til þess að ákvarða efra mark fyrir skekkjuna $R_{10}$ ef við nálgum summuna með hlutsummunni $S_{10}$.

Lausn

Fáum að

$$|R_{10}| \leq b_{11} = \frac{1}{11^2} \approx 0,008265.$$

9.6.6. Skilgreining: Alsamleitni og skilyrt samleitni

Skilgreining

Röð $\sum_{n=1}^\infty a_n$ er alsamleitin ef röðin $\sum_{=1}^\infty |a_n|$ er samleitin. Röðin $\sum_{n=1}^\infty a_n$ er skilyrt samleitin ef $\sum_{n=1}^\infty a_n$ er samleitin en $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ er ósamleitin.

9.6.7. Setning: Alsamleitni leiðir til samleitni

Setning

Ef $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ er samleitin þá er $\sum_{n=1}^\infty a_n$ það einnig.

9.6.8. Dæmi: Alsamleitni vs. skilyrt samleitni

Dæmi

Ákvörðum hvort eftirfarandi raðir séu alsamleitnar, skilyrt samleitnar eða ósamleitnar.

1. $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}/(3n+1)$

2. $\sum_{n=1}^\infty \cos(n)/n^2$.

Lausn

1. Lausn:

   Við getum séð að

   $$\sum_{n=1}^\infty \left| \frac{(-1)^{n+1}}{3n+1} \right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3n+1}$$

   sem er ósamleitin með því að nota samanburð með markgildi fyrir harmoníska röð. Raunar gildir að

   $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1/(3n+1)}{1/n} = \frac{1}{3}.$$

   Þar með er röðin ekki alsamleitin. Hinsvegar gildir að

   $$\frac{1}{3(n+1)+1} < \frac{1}{3n+1} \text{ og } \frac{1}{3n+1} \rightarrow 0.$$

   og þar með er röðin samleitin. Við ályktum sem svo að röðin $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}/(3n+1)$ sé skilyrt samleitin.

2. Lausn:

   Tökum eftir að $|\cos(n)| \leq 1$ og notum það til að ákvarða hvort röðin sé alsamleitin. Berum röðina

   $$\sum_{n=1}^\infty \left| \frac{\cos(n)}{n^2} \right|$$

   saman við $\sum_{n=1}^\infty 1/n^2$. Þar sem $\sum_{n=1}^\infty 1/n^2$ er samleitin fæst skv. samanburðarprófinu að $\sum_{n=1}^\infty |\cos(n)/n^2|$ sé samleitin og þar með er $\sum_{n=1}^\infty \cos(n)/n^2$ alsamleitin.

9.6.9. Dæmi: Munurinn á alsamleitni og skilyrtri samleitni

Dæmi

Lítum á röðina

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n}.$$

Gefið er að röðin er skilyrt samleitin og að

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots = \ln(2).$$

Látum nú

$$\sum_{n=1}^\infty a_n = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \dots.$$

Þar sem $\sum_{n=1}^\infty a_n = \ln(2)$ getum við notað reiknireglur um samleitnar raðir til að fá að

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2}a_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \dots = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{\ln(2)}{2}.$$

Kynnum nú til sögunnar röðina $\sum_{n=1}^\infty b_n$ sem uppfyllir að fyrir öll $n \geq 1$ að $b_{2n-1} = 0$ og $b_{2n} = a_n/2$. Þá gildir að

$$\sum_{n=1}^\infty b_n = 0 + \frac{1}{2} - 0 - \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{6} + 0 - \frac{1}{8} + \dots = \frac{\ln(2)}{2}.$$

Notum nú þann eiginleika samleitinna raða að þar sem $\sum_{n=1}^\infty a_n$ og $\sum_{n=1}^\infty b_n$ eru samleitnar þá er $\sum_{n=1}^\infty (a_n + b_n)$ samleitin og fáum að

$$\sum_{n=1}^\infty (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^\infty a_n + \sum_{n=1}^\infty b_n = \ln(2) + \frac{\ln(2)}{2} = \frac{3 \ln(2)}{2}.$$

Ef við leggjum nú saman samsvarandi liði $a_n$ og $b_n$ sjáum við að

$$\begin{split}\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n) &= (1+0)+ (-\tfrac{1}{2}+-\tfrac{1}{2}) + (\tfrac{1}{3}+0)+(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4})+(\tfrac{1}{5}+0)\\ &+(-\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}) + (\tfrac{1}{7}+0)+(-\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{8}) + \dots \\ &= 1 + \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4} + \dots \quad (*)\\ &= \frac{3\ln(2)}{2} \end{aligned}\end{split}$$

þar sem síðasta skrefið er samkvæmt því sem við fundum hér að ofan. Athugum að röðin sem merkt er með $(*)$ inniheldur nákvæmlega sömu liði og upprunalega röðin okkar

$$\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \dots.$$

nema þeir birtast með annarri uppröðun. Höfum í huga að $\sum_{n=1}^\infty a_n = \ln(2)$ en $\sum_{n=1}^\infty (a_n + b_n) = \frac{3\ln(2)}{2}$. Svo bara með því að breyta uppröðuninni á liðum raðarinnar gátum við sýnt fram á að summa raðarinnar breyttist, þ.e. tvær raðir sem eru alveg eins nema að því leyti að liðir þeirra birtast ekki í sömu röð hafa tvær, mismunandi summur.

Þetta er einn af mikilvægustu og skrítnustu eiginleikum raða sem eru skilyrt samleitnar, þ.e. það að breyta því í hvaða röð liðir eru lagðir saman getur breytt summu raðarinnar. Þetta er hins vegar ekki hægt að gera í alsamleitnum röðum. Þar skiptir engu máli í hvaða röð liðir eru lagðir saman, summan er alltaf sú saman.

---

9.7. Kvóta- og rótarpróf

9.7.1. Setning: Kvótaprófið

Setning

Látum $\sum_{n=1}^\infty a_n$ vera röð með enga núllliði. Látum

$$\rho = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|.$$

Þá gildir eftirfarandi:

1. Ef $0 \leq \rho < 1$ er röðin alsamleitin.

2. Ef $\rho > 1$ eða $\rho = \infty$ er röðin ósamleitin.

3. Ef $\rho = 1$ er niðurstaða prófsins ófullnægjandi og segir okkur ekkert um samleitni raðarinnar.

9.7.2. Dæmi: Kvótaprófið

Dæmi

Notum kvótaprófið til að ákvarða hvort röðin

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$$

sé samleitin eða ekki.

Lausn

Samkvæmt rótarprófinu fæst að

$$\rho = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n}.$$

Þar sem $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$ fæst að

$$\rho = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2}{n+1}=0.$$

Þar sem $0 \leq \rho < 1$ fæst að röðin sé samleitin.

9.7.3. Setning: Rótarprófið

Setning

Lítum á röðina $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Látum

$$\rho = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}.$$

1. Ef $0 \leq \rho < 1$ er röðin alsamleitin.

2. Ef $\rho > 1$ eða $\rho = \infty$ er röðin ósamleitin.

3. Ef $\rho = 1$ er niðurstaða prófsins ófullnægjandi og segir okkur ekkert um samleitni raðarinnar.

9.7.4. Dæmi: Rótarprófið

Dæmi

Notum rótarprófið til að ákvarða hvort röðin

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(n^2+3n)^n}{(4n^3+5)^n}$$

sé samleitin eða ekki.

Lausn

Reiknum

$$\rho = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{(n^2 + 3n)^n /(4n^2+5)^n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2+3n}{4n^2+5} = \frac{1}{4}.$$

Þar sem $0 \leq \rho < 1$ er röðin alsamleitin.

---

9.8. Samantekt

Tafla 9.1 Gátlisti fyrir raðir

Próf eða röð	Niðurstöður	Athugasemdir
Sundurleitnipróf: Fyrir sérhverjaröð $\sum_{n=1}^\infty a_n$ metum við markgildið $$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n.$$	Ef markgildið $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$ er prófið ómarktækt. Ef $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0$ er röðin ósamleitin.	Ekki er hægt að nota prófið til að sýna fram á samleitni raða.
Geómetrískar raðir: $\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}$	Ef $|r|<1$ er röðin samleitin að $a/(1-r)$ en annars er hún ósamleitin.	Sérhverja geómetrísk röð má skrifa á forminu $a + ar + ar^2 + \dots$. Talan $a$ nefnist fyrsti liður raðarinnar. Talan $r$ nefnist hlutfallstala raðarinnar.
$p$-raðir: $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$	Ef $p > 1$ er röðin samleitin, annars ekki.	Fyrir $p=1$ er röðin kölluð harmoníska röðin.
Samanburðarpróf: Ef $a_n \geq 0$, $n=1,2,3,\dots$ berum við $\sum_{n=1}^\infty a_n$ saman við $\sum_{n=1}^\infty b_n$.	Ef $a_n \leq b_n$ fyrir öll $n \geq N$ og $\sum_{n=1}^\infty b_n$ er samleitin þá er $\sum_{n=1}^\infty a_n$ samleitin. Ef $a_n \leq b_n$ fyrir öll $n \geq N$ og $\sum_{n=1}^\infty b_n$ er ósamleitin þá er $\sum_{n=1}^\infty a_n$ ósamleitin.	Oftast notað fyrir raðir sem svipa til $p$-raða eða geómetrískra raða. Erfitt getur verið að finna viðeigandi röð til samanburðar.
Samanburður með markgildi: Ef $a_n > 0$, $n=1,2,3,\dots$ berum við $\sum_{n=1}^\infty a_n$ saman við $\sum_{n=1}^\infty b_n$ með því að meta markgildið $$L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}.$$	Ef $L \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ þá eru annað hvort $\sum_{n=1}^\infty a_n$ og $\sum_{n=1}^\infty b_n$ bæði samleitin eða bæði ósamleitin. Ef $L=0$ og $\sum_{n=1}^\infty b_n$ er samleitin þá er $\sum_{n=1}^\infty a_n$ einnig samleitin. Ef $L=\infty$ og $\sum_{n=1}^\infty b_n$ er ósamleitin þá er $\sum_{n=1}^\infty a_n$ einnig ósamleitin.	Oftast notað fyrir raðir sem svipa til $p$-raða eða geómetrískra raða. Oft auðveldara í notkun en samanburðarprófið.
Heildispróf: Ef til er jákvætt, samfellt, minnkandi fall $f$ þ.a. $a_n=f(n)$ fyrir öll $n \geq N$ reiknum við $$\int_N^\infty f(x) dx.$$	Ef $b_{n+1} \leq b_n$ fyrir öll $n \geq 1$ og $b_n \rightarrow 0$ þá er röðin samleitin.	Takmarkað við þær raðir sem hafa samsvarandi fall sem auðvelt er að heilda.
Víxlmerkjaraðir: $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}b_n \text{ eða } \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}b_n.$$	Ef $b_{n+1} \leq b_n$ fyrir öll $n \geq 1$ og $b_n \rightarrow 0$ þá er röðin samleitin.	Á aðeins við um víxlmerkjaraðir.
Kvótapróf: Fyrir hvaða röð $\sum_{n=1}^\infty a_n$ þar sem $a_n \neq 0$ fyrir $n=1,2,3,\dots$ látum við $$\rho = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|.$$	Ef $0 \leq \rho < 1$ er röðin alsamleitin. Ef $\rho > 1$ eða $\rho = \infty$ er röðin ósamleitin. Ef $\rho = 1$ er prófið ómarktækt og segir okkur ekkert.	Oft notað fyrir raðir sem innihalda hrópmerkingar eða veldi.
Rótarpróf: Fyrir hvaða röð $\sum_{n=1}^\infty a_n$ sem er látum við $$\rho = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}.$$	Ef $0 \leq \rho < 1$ er röðin alsamleitin. Ef $\rho > 1$ eða $\rho = \infty$ er röðin ósamleitin. Ef $\rho = 1$ er prófið ómarktækt og segir okkur ekkert.	Oft notað fyrir raðir sem innihalda $|a_n|=b_n^n$.