7. Aðferðir í heildun
Nauðsynleg undirstaða
Föll
Markgildi
Afleiður
Heildi
May it be a light to you in dark places, when all other lights go out.
– Galadriel, The Two Towers
7.1. Hlutheildun
Í fyrri köflum höfum við lært að heilda með því að nota innsetningu. En innsetning ræður aðeins við lítinn hluta mögulegra heilda. Innsetning með \(u=x^2\) gerir okkur kleift að reikna
en getur okkur engar bjargir veitt þegar kemur að heildinu
Til þess þarf að grípa til annarra aðferða. Þar sem innsetningu þrýtur má oft líta til hlutheildunar.
7.1.1. Setning: Hlutheildun
Setning
Látum \(f(x)\) og \(g(x)\) vera föll sem samfelldar afleiður. Þá gildir að
\[\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx.\]Þessi formúla er stundum stytt í
\[\int f'g = fg - \int fg'.\]
7.1.2. Dæmi: Hlutheildun
Dæmi
Notum hlutheildun til að meta heildið
\[\int x \sin(x) dx.\]
Lausn
Látum
\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=\sin(x) & g(x) &= x\\ f(x)&=-\cos(x) & g'(x) &= 1. \end{aligned}\end{split}\]Þá fæst
\[\begin{split}\begin{align} \int x \sin(x) dx &= -\cos(x)x - \int -\cos(x) \cdot 1 dx\\ &= -x\cos(x)+\int \cos(x)dx\\ &= -x\cos(x) + \sin(x) + C. \end{align}\end{split}\]
Stundum getur verið nauðsynelgt að beita hlutheildun oftar en einu sinni til að leysa dæmi.
7.1.3. Dæmi: Hlutheildun beitt tvisvar
Dæmi
Metum heildið
\[\int x^2 e^{3x} dx.\]
Lausn
Látum
\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=e^{3x} & g(x) &= x^2\\ f(x)&=\frac{1}{3}e^{3x} & g'(x) &= 2x. \end{aligned}\end{split}\]Fáum að
\[\int x^2 e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x}x^2 - \int \frac{1}{3}e^{3x} 2x dx.\]Beitum nú hlutheildun aftur. Látum
\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{3}e^{3x} & g(x) &= 2x \\ f(x)&=\frac{1}{9}e^{3x} & g'(x) &= 2. \end{aligned}\end{split}\]\[\begin{split}\begin{aligned} \int \frac{1}{3}e^{3x} 2x dx &= \frac{1}{9}e^{3x} 2x - \int \frac{1}{9}e^{3x} 2 dx\\ &= \frac{1}{9}e^{3x} 2x - \frac{2}{27}e^{3x} + C. \end{aligned}\end{split}\]Ef við tökum þetta saman fæst
\[\begin{split}\begin{align} \int x^2 e^{3x} dx &= \frac{1}{3}e^{3x}x^2 - \left(\frac{1}{9}e^{3x} 2x - \frac{2}{27}e^{3x} + C\right)\\ &= e^{3x}\left(\frac{1}{3} x^2 - \frac{2}{9} x + \frac{2}{27}\right) - C \end{align}\end{split}\]
7.1.4. Hlutheildun fyrir ákveðin heildi
Við höfum nú séð hvernig á að nota hlutheildun fyrir óákveðin heildi. Aðferðin er að flestu leyti sú sama fyrir ákveðin heildi.
7.1.5. Setning: Hlutheildun fyrir ákveðin heildi
Setning
Látum \(f(x)\) og \(g(x)\) vera föll með samfelldar afleiður á bilinu \([a,b]\). Þá gildir að
\[\int_a^b f'(x) g(x) dx = \left[ f(x)g(x) \right]_a^b - \int_a^b f(x) g'(x)dx.\]Þessi formúla er stundum stytt í
\[\int_a^b f' g = \left[ fg \right]_a^b - \int_a^b f g'.\]
7.1.6. Dæmi: Hlutheildun fyrir ákveðin heildi
Dæmi
Höldum áfram með dæmið hér að ofan, þar sem við mátum heildið
\[\int x \sin(x) dx.\]Nú skulum við bæta við heilda það yfir bilið \([0,\pi]\), þ.e.
\[\int_0^\pi x \sin(x) dx.\]
Lausn
Látum
\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=\sin(x) & g(x) &= x\\ f(x)&=-\cos(x) & g'(x) &= 1. \end{aligned}\end{split}\]Með hlutheildun fæst
\[\begin{split}\begin{align} \int_0^\pi x \sin(x) dx &= [-\cos(x)x]_0^\pi - \int_0^\pi -\cos(x) \cdot 1 dx\\ &= -\cos(\pi)\cdot \pi - (-\cos(0)\cdot 0 ) + \int_0^\pi \cos(x)dx\\ &= \pi + [\sin(x)]_0^\pi\\ &= \pi + (\sin(\pi)-\sin(0))\\ &= \pi \end{align}\end{split}\]
7.2. Óeiginleg heildi
7.2.1. Skilgreining: Óeiginlegt heildi
Skilgreining
Látum \(f(x)\) vera samfellt á bilinu \([a,\infty[\). Þá gildir að
\[\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{t\rightarrow \infty } \int_a^t f(x) dx\]af því gefnu að markgildið sé til.
Látum \(f(x)\) vera samfellt á bilinu \(]-\infty,b]\). Þá gildir að
\[\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{t\rightarrow \infty } \int_t^b f(x) dx\]af því gefnu að markgildið sé til. Í báðum tilfellum er sagt að óeiginlega heildið sé samleitið. Ef markgildið er ekki til er það sagt vera ósamleitið.
Látum \(f(x)\) vera samfellt á \(]-\infty;\infty[\). Þá gildir að
\[\int_{-\infty}^\infty f(x)dx = \int_{-\infty}^0 f(x) dx + \int_0^\infty f(x) dx,\]af því gefnu að bæði \(\int_{-\infty}^0 f(x) dx\) og \(\int_0^\infty f(x) dx\) séu samleitin . Ef annað hvort þeirra er ósamleitið þá er heildið \(\int_{-\infty}^\infty f(x)dx\) ósamleitið.
7.2.2. Dæmi: Óeiginlegt heildi
Dæmi
Ákvörðum flatarmál svæðiðisins sem myndast undir ferli fallsin \(f(x)=\frac{1}{x}\) yfir \(x\)-ásinum og hægra megin við línuna \(x=1\).
Lausn
Við viljum með öðrum orðum reikna óeiginlega heildið
\[A = \int_1^\infty \frac{1}{x}dx.\]Höfum
\[\begin{split}\begin{align} A &= \int_1^\infty \frac{1}{x}dx\\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_1^t \frac{1}{x} dx\\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} \left[\ln|x|\right]_1^t\\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} (\ln|t|-\ln(1))\\ &= \infty \end{align}\end{split}\]Sjáum að heildið er ósamleitið þar sem flatarmál svæðisins er óendanlega stórt.
7.2.3. Dæmi: Óeiginlegt heildi
Dæmi
Metum heildið
\[\int_{-\infty}^0 \frac{1}{x^2+4} dx.\]
Lausn
Fáum
\[\begin{split}\begin{align} \int_{-\infty}^0 \frac{1}{x^2+4}dx &= \lim_{x \rightarrow -\infty} \int_t^0 \frac{1}{x^2+4}dx\\ &= \lim_{t \rightarrow -\infty } \left[\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right]_t^0\\ &= \frac{1}{2}\lim_{t \rightarrow -\infty}(\tan^{-1}(0)-\tan^{-1}(t/2))\\ &= \frac{\pi}{4} \end{align}\end{split}\]Svo heildið er samleitið að \(\frac{\pi}{4}\).
7.3. Ósamfelldur heilidsstofn
7.3.1. Skilgreining: Ósamfelldur heildisstofn
Skilgreining
Látum \(f(x)\) vera samfellt á bilinu \([a,b[\). Þá gildir
\[\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \rightarrow b^-} \int_a^t f(x) dx.\]
Látum \(f(x)\) vera samfellt á bilinu \(]a,b]\). Þá gildir
\[\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \rightarrow a^+} \int_t^b f(x) dx.\]Í báðum tilfellum segjum við að óeiginlega heildið sé samleitið ef markgildið er til. Annars segjum við að það sé ósamleitið.
Ef \(f(x)\) er samfellt á \([a,b]\) nema í einum innripunkti \(c\) þá gildir
\[\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx,\]af því gefnu að bæði \(\int_a^c f(x) dx\) og \(\int_c^b f(x) dx\) séu samleitin. Annars er sagt að heildið \(\int_a^b f(x) dx\) sé ósamleitið.
7.3.2. Dæmi: Ósamfelldur heildisstofn
Dæmi
Metum heildið
\[\int_0^4 \frac{1}{\sqrt{4-x}} dx.\]
Lausn
Tökum eftir því að heildisstofninn er samfelldur alls staðar á \([0,4]\) nema í hægri endapunktinum. Við fáum því að
\[\begin{split}\begin{align} \int_0^4 \frac{1}{\sqrt{4-x}} dx &= \lim_{t \rightarrow 4^-} \int_0^t \frac{1}{\sqrt{4-x}}\\ &= \lim_{t \rightarrow 4^-} [(-2–\sqrt{4-x})]_0^t\\ &= \lim_{t \rightarrow 4^-} (-2-\sqrt{4-t}+4)\\ &=4 \end{align}\end{split}\]Svo heildið er samleitið að 4.
7.4. Samanburðarpróf
7.4.1. Setning: Samanburðarpróf
Setning
Látum \(f(x)\) og \(g(x)\) vera samfelld á \([a,\infty[\). Gerum ráð fyrir að \(0 \leq f(x)\leq g(x)\) fyrir \(x \geq a\).
Ef
\[\int_a^{\infty} f(x) dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_a^t f(x) dx = \infty\]þá gildir að
\[\int_a^{\infty} g(x) dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_a^t g(x) dx = \infty\]
Ef
\[\int_a^{\infty} g(x) dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_a^t g(x) dx = L\]þar sem \(L\) er rauntala, þá gildir að
\[\int_a^{\infty} f(x) dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_a^t f(x) dx = M\]fyrir einhverja rauntölu \(M \leq L\).
7.4.2. Dæmi: Samanburðarpróf
Dæmi
Notum samanburðarpróf til að sýna að heildið
\[\int_1^\infty \frac{1}{xe^x} dx\]sé samleitið.
Lausn
Höfum að
\[0 \leq \frac{1}{xe^x} \leq \frac{1}{e^x} = e^{-x}.\]Svo ef \(\int_1^\infty e^{-x} dx\) er samleitið þá er \(\int_1^\infty \frac{1}{xe^x} dx\) það einnig. Fáum að
\[\begin{split}\begin{align} \int_1^\infty e^{-x}dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_1^t e^{-x} dx\\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} \left[e^{-x}\right]_1^t\\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} (-e^{-t}+e^{-1})\\ &= e^{-1}. \end{align}\end{split}\]Fyrst \(\int_1^\infty e^{-x}dx\) er samleitið þá er \(\int_1^{\infty} \frac{1}{xe^x}\) það einnig.