5. Heildun
Nauðsynleg undirstaða
Skilgreiningar á markgildi. Sjá einnig undirstöðuatriði um markgildi.
Afleiður. Sjá einnig undirstöðuatriði um afleiður.
Reiknireglur fyrir afleiður, sér í lagi keðjureglan.
„You cannot pass,” he said. The orcs stood still, and a dead silence fell. “I am a servant of the Secret Fire, wielder of the flame of Anor. You cannot pass. The dark fire will not avail you, flame of Udûn. Go back to the Shadow! You cannot pass.“
– Gandalf, The Fellowship of the Ring
But you can pass this course.
– Hulda
5.1. Stofnföll
5.1.1. Andstæðan við diffrun
Við höfum nú skoðað hvernig hægt er að finna afleiður ýmissa falla. En ef okkur er gefin afleiða, hvernig getum við vitað hvert upprunalega fallið var? Ef við vitum einungis afleiðu falls þá er talað um að finna stofnfallið.
5.1.2. Skilgreining: Stofnfall
Skilgreining
Látum \(f\) vera fall sem er skilgreint á bili \(I\). Fall \(F\) kallast stofnfall en: antiderivative, primitive
fyrir \(f\) á bilinu \(I\) ef \(F'(x)=f(x)\) fyrir öll \(x\) í \(I\).
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
5.1.3. Setning: Form stofnalla
Setning
Látum \(F\) vera stofnfall \(f\) yfir bilið \(I\). Þá gildi:
Fyrir sérhvern fasta \(C\) er fallið \(F(x)+C\) einnig stofnfall fyrir \(f\) yfir \(I\).
Ef \(G\) er stofnfall \(f\) yfir \(I\) þá er til fasti \(C\) þannig að \(G(x)=F(x)+C\) yfir \(I\).
Með öðrum orðum þá er \(F(x)+C\) almennt form stofnfalla fyrir \(f\) yfir \(I\).
Athugasemd
Þar sem sérhvert fall \(f(x)\) sem á sér stofnfall á sér fleiri en eitt stofnfall þá segjum við að stofnföll séu ekki ótvírætt ákvörðuð. Yfirleitt leyfum við okkur þó að velja fastann \(C=0\) og tölum því um að \(F(x)=x^2\) sé stofnfallið fyrir \(f(x)=2x\). Þó er ekkert því til fyrirstöðu að velja \(C=1\) og segja að \(F(x)=x^2+1\) sé stofnfall fyrir \(f(x)=2x\).
5.1.4. Dæmi: Stofnfall
Dæmi
\(f(x)=3x^2\) á sér stofnfallið \(F(x)=x^3\) af því \(F'(x)=3x^2\).
\(f(x)=\frac{1}{x}\) á sér stofnfallið \(F(x)=\ln(x)\) af því \(F'(x)=\frac{1}{x}\).
\(f(x)=\cos(x)\) á sér stofnfallið \(F(x)=\sin(x)\) af því \(F'(x)=\cos(x)\).
\(f(x)=e^x\) á sér stofnfallið \(F(x)=e^x\) af því \(F'(x)=e^x\).
5.2. Óákveðin heildi
Lítum nú á formlega rithátt stofnfalla og skoðum eiginleika þeirra. Þessir eiginleikar gera okkur kleift að finna stofnföll flóknari falla. Ef við höfum fall \(f\) þá má nota ritháttinn \(f'(x)\) eða \(\frac{df}{dx}\) til að tákna afleiðu fallsins. Ef \(F\) er stofnfall \(f\), þá getum við sagt að \(F(x)+C\) sé algengasta leiðin til að tákna stofnfall \(f\) og ritað
Táknið \(\int\) er kallað heildistákn og \(\int f(x) dx\) er kallað óákveðið heildi.
Athugasemd
Mismunandi er eftir skólum hvaða orð eru notuð til að tala um derivatives og antiderivatives/integrals. Sem dæmi má nefna:
Í MR og víðar er talað um að diffra og tegra. Nafnorðin eru þá diffur og tegur.
Víða er talað um að heilda og deilda og nafnorðin heildun og deildun, sem formlegri tilraun til að íslenska orðin, en orðið diffur kemur af orðinu differentiation og tegur er dregið af orðinu integral.
Víðast hvar eru orðin afleiða og stofnfall notuð að einhverju leyti.
5.2.1. Skilgreining: Óákveðið heildi
Skilgreining
Fyrir fallið \(f\) er óákveðna heildi fallsins táknað
\[\int f(x) dx.\]Ef \(F\) er stofnfall \(f\) þá gildir að
\[\int f(x) dx = F(x)+C.\]Hér er \(f(x)\) kallað heildisstofn og \(x\) breytan sem heildað er með tilliti til.
5.2.2. Setning: Veldisregla fyrir heildi
Veldisregla fyrir heildi
Ef \(n \neq -1\) gildir að
\[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.\]
5.2.3. Ábending: Gagnleg óákveðin heildi og afleiður
Athugasemd
Tafla 5.1 Óákveðin heildi og afleiður sem gott er að kannast við Afleiða
Óákveðin heildi
\(\frac{d}{dx} k = 0\)
\(\int k dx = kx+C\)
\(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}\)
\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \text{ fyrir } n \neq -1\)
\(\frac{d}{dx} \ln(|x|)=\frac{1}{x}\)
\(\int \frac{1}{x} dx = \ln(|x|)+C\)
\(\frac{d}{dx} e^x = e^x\)
\(\int e^x dx = e^x+C\)
\(\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)\)
\(\int \cos(x) dx = \sin(x)+C\)
\(\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)\)
\(\int \sin(x) dx = -\cos(x)+C\)
\(\frac{d}{dx} \tan(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\)
\(\int \frac{1}{\cos^2(x)} dx = \tan(x)+C\)
5.2.4. Reiknireglur: Óákveðin heildi
Reiknireglur: Óeiginleg heildi
Látum \(F\) og \(G\) vera stofnföll \(f\) og \(g\) og \(k \in \mathbb{R}\).
Summuregla: \(\int (f(x) \pm g(x)) dx= F(x) \pm G(x) + C\)
Margföldun með fasta: \(\int kf(x) dx = k F(x) + C\)
5.2.5. Dæmi: Summuregla
Dæmi
\[\int \frac{x+1}{x} dx = \int \left(\frac{x}{x}+\frac{1}{x}\right) dx = \int \left(1 + \frac{1}{x}\right) dx = x + \ln(|x|)+C\]
5.2.6. Dæmi: Margföldun með fasta
Dæmi
\[\int \frac{4}{x^2} dx = \int 4x^{-2} dx = -4x^{-1} + C\]
5.3. Diffurjöfnur
Diffurjafna er jafna sem sýnir tengsl eins eða fleiri falla við afleiður sínar. Til dæmis
Það að leysa diffurjöfnu snýst um að ákvarða fallið eða föllin. Lausnin við diffurjöfnunni hér að ofan er t.a.m.
þar sem \(C\) er fasti. Diffurjöfnur hafa almennt ekki ótvírætt ákvarðaðar lausnir nema gefnar séu fleiri upplýsingar. Ef við hefðum t.a.m. fengið þær upplýsingar að \(f(0)=3\) þá gætum við séð að
Með því að einangra \(C\) fæst að \(C=3+2 = 5\) og lausnin væri því
þessar upplýsingar, þ.e. \(f(0)=5\) eru kallaðar upphafgildi og eru svona diffurjöfnur því gjarnan kallaðar upphafsgildisverkefni.
Diffurjöfnur eru eitt mikilvægasta málefni stærðfræðigreiningarinnar og eitt helsta viðfangsefni þeirra sem hagnýta stærðfræði eins og verkfræðingar og eðlisfræðingar. Almennt er mjög erfitt að leysa diffurjöfnur og eru margar þeirra jafnvel óleysanlegar með analytískum aðferðum. Þó er auðveldara að leysa sumar gerðir af diffurjöfnum en aðrar.
Aðvörun
Við munum hér kafa mjög grunnt í óravíddir diffurjafna og aðeins skoða þær allra auðveldustu. Mikilvægt er að hafa í huga að diffurjöfnur eru gríðarlega mikilvægar í stærðfræði og margt sem verður látið ósagt um þær. Þetta á einungis að gefa nemendum hugmynd um hvernig hægt er að nota heildi á hagnýtan hátt til að leysa raunhæf verkefni.
Nánar verður farið í diffurjöfnur í kafla 8, þar sem mörg þessara hugtaka verða rifjuð upp og skilgreind með nákvæmari hætti.
5.3.1. Aðgreinanlegar diffurjöfnur
Gefum okkur að eitthvað fall \(y=F(x)\) uppfylli að \(F'(x)=f(x)\), m.ö.o. þá er \(F(x)\) stofnfall \(f(x)\). Við vitum ekki hvað \(F(x)\) er en við þekkjum \(f(x)\). Við gætum einnig ritað þetta svona
Svona diffurjafna kallst aðgreinanleg diffurjafna af því hana má skrifa sem
þar sem við erum einungis með \(y\) vinstra megin og einungis með \(x\) hægra megin. Við höfum m.ö.o. greint breytistærðir diffurjöfnunnar að. Þetta er einstaklega þægileg gerð diffurjafna því þetta má leysa með því að heilda báðar hliðar jöfnunnar.
og þar sem að \(y=F(x)\) þá þekkjum við nú gildi \(F(x)\), af því gefnu að við kunnum að heilda \(f(x)\).
5.3.2. Dæmi: Aðgreinanleg diffurjafna
Dæmi
Lítum á diffurjöfnuna \(\frac{dy}{dx} = 6x^2\). Hún er aðgreinanleg þar sem að hana má rita sem
\[dy = 6x^2 dx.\]Við getum nú heildað báðar hliðar og fengið að
\[y = \int 6x^2 dx = 2x^3 + C.\]
5.3.3. Dæmi: Óaðgreinanleg diffurjafa
Dæmi
Ef við höfum diffurjöfnuna \(\frac{dy}{dx}=e^{xy}\) þá er engin leið fyrir okkur að aðgreina diffurjöfnuna þannig að við séum einungis með \(y\) vinstra megin og \(x\) hægra megin jafnaðarmerkisins. Hún er því ekki aðgreinanleg eða óaðgreinanleg.
5.3.4. Upphafsgildisverkefni
Ef við erum heppin og fáum upphafsgildisverkefni þar sem diffurjafnan er aðgreinanleg þá getum við leyst hana nokkuð auðveldlega. Það fyrsta sem þarf að gera að að aðgreina diffurjöfnuna og nota svo upphafsgildið til að finna ótvírætt ákvarðaða lausn.
5.3.5. Dæmi: Upphafsgildisverkefni með aðgreinanlegri diffurjöfnu
Dæmi
Leysum verkefnið
\[\begin{split}\begin{cases} \frac{dy}{dx} = \sin(x)\\ y(0)=5. \end{cases}\end{split}\]
Lausn
Þessi diffurjafna er aðgreinanleg og því fáum við að
\[y = \int \sin(x)dx = -\cos(x) + C.\]Við getum nú notfært okkur að \(y(0)=5\) og fengið að
\[y(0) = -\cos(0)+C = -1+C=5.\]Ef við einangrum \(C\) fæst að \(C=6\). Lausnin er því
\[y=-\cos(x)+6.\]
5.4. Nálgun svæða
5.4.1. Summuvirkinn \(\Sigma\)
Það getur verið óhentugt að skrifa út langar sumur, t.a.m.
Til þess að komast hjá því að skrifa út alla liðima í langri summu, sér í lagi þar sem allir liðirnir fylgja einhverri einhverri reglu (t.d. að allir liðirnir hækki um einn), getur verið heppilegt að grípa til summuvirkjans \(\Sigma\). Stafurinn \(\Sigma\) er grískur og kallast sigma. Þetta er nánar til tekið stóra sigma en litla sigma er \(\sigma\). Summumerkinu fylgir oftast summuvísir sem tiltekur hversu oft þú vilt leggja saman, þ.e. hvað eru margir liðir í summunni þinni. Þá er t.a.m. summan \(\sum_{i=1}^{20}\) með 20 liðum en \(\sum_{i=21}^{30}\) með 10 liðum.
Summuna hér að ofan mætti rita
Hún byrjar þá á því að láta \(i=1\), í næsta skrefi leggur hún við \(i=2\) og svo koll af kolli upp í \(i=20\). Almennt form summu er
þar sem sérhver liður \(a_i\) tekur eitthvað gildi háð summuvísinum \(i\) og hættir ekki að leggja saman fyrr en komið er upp í \(n\). Þannig að
5.4.2. Reiknireglur: Summuvirkinn
Reiknireglur: Summuvirkinn
\(\sum_{i=1}^n c = nc\)
\(\sum_{i=1}^n ca_i = c \sum_{i=1}^n a_i\)
\(\sum_{i=1}^n (a_i \pm b_i) = \sum_{i=1}^n a_i \pm \sum_{i=1}^n b_i\)
\(\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^m a_i + \sum_{i=m+1}^n a_i\)
5.4.3. Ábending: Nokkrar summur til að þekkja
Athugasemd
Ef hægt er að skrifa summu \(\sum_{i=1}^n\) sem fall af \(n\) er það kallað lokað form summunnar. Gott getur verið að kanast við lokað form eftirfarandi summa:
\(\sum_{i=1}^n i = 1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)
\(\sum_{i=1}^n i^2 = 1^2+2^2+\dots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(\sum_{i=1}^n i^3 = 1^3+2^3+\dots+n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\)
5.4.4. Nálgun svæða
Lítum á jákvætt fall \(f(x)\) sem skilgreint er á lokaða bilinu \([a,b]\). Við viljum nálga svæðið \(A\) sem markast af \(x\)-ásnum, línunum \(x=a\) og \(x=b\) og ferli fallsins \(f\).
Spurningin er hvernig má nálga flatarmál svæðisins undir þessum ferli?
Við byrjum á því að skipta bilinu \([a,b]\) upp í \(n\) hlutbil af jafnri lengd, \(\frac{b-a}{n}\). Við gerum þetta með því að velja punkta með jöfnu bili \(x_, x_1, x_2, \dots, x_n\) þar sem \(x_0=a\), \(x_n=b\) og
Þá má tákna lengd hvers undirbils með
5.4.5. Skilgreining: Skipting
Skilgreining
Mengi punkta \(P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}\) þar sem \(a<x_0<x_1<\dots < x_n=b\) sem skiptir bilinu \([a,b]\) í hlutbil á forminu \([x_0,x_1], [x_1,x_2], \dots, [x_{n-1},x_n]\) kallast skipting bilsins \([a,b]\). Ef hlutbilin hafa öll sömu lengd, er myndar mengi punktanna reglulega skiptingu bilsins \([a,b]\).
Reglulega skiptingu bils má svo nota sem grunninn að því að meta svæði undir ferli.
5.4.6. Setning: Nálgun við vinstri endapunkt
Setning
Á sérhverju hlutbili \([x_{i-1},x_{i}]\) fyrir \(i=1,2,\dots n\) búum við til rétthyrning með breiddina \(\Delta x\) og hæðina \(f(x_{i-1})\), þ.e. fallgildið í vinstri endapunkti hlutbilsins. Þá er flatarmál þessa rétthyrnings \(f(x_{i-1})\cdot \Delta x_i\). Ef við summum saman flatarmál allra þessara rétthyrninga fæst nálgunargildi á flatarmál svæðisins \(A\). Við notum ritháttinn \(L_n\) til að tákna að þetta sé nálgun við vinstri endapunkt (\(L\) fyrir e. left) með \(n\) hlutbilum. Formúlan er því
\[A \approx L_n = \sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\cdot \Delta x.\]
5.4.7. Dæmi: Nálgun við vinstri endapunkt
Dæmi
Myndin hér að ofan notar \(n=5\) hlutbil til að nálga flatarmál svæðisins sem myndast á milli línanna \(x=1\) og \(x=6\), er fyrir ofan \(x\)-ásinn og undir ferli fallsins \(f(x)=\cos(x)+3\). Sérhvert hlutbil hefur lengdina \(\Delta x = 1\). Hæð rétthyrninganna má reikna með \(\cos(x)+3\) fyrir \(x=1,\dots,5\) og er (frá vinstri til hægri) \(3,54\), \(2,58\), \(2,01\), \(2,35\), og \(3,28\). Þar sem lengd bilanna er \(1\) hæð rétthyrninganna jafnframt flatarmál þeirra, þ.e. \((\cos(x_i)+3) \cdot \Delta x = (\cos(x_i)+3) \cdot 1 = \cos(x_i)\). Því fæst að nálgun á flatarmáli \(A\) sé
\[L_5 = 3,54 + 2,58 + 2,01 + 2,35 + 3,28 =13,76.\]Raunverulegt flatarmál svæðisins er \(A = 15-\sin(1)+\sin(6)\approx 13,88\). Skekkjan er því \(13,88-13,76=0,12\) eða u.þ.b. \(0,9\%\) munur, sem hlýtur að teljast nokkuð gott miðað við nálgun sem notast við ansi fá hlutbil.
5.4.8. Setning: Nálgun við hægri endapunkt
Setning
Á sérhverju hlutbili \([x_{i-1},x_{i}]\) fyrir \(i=1,2,\dots n\) búum við til rétthyrning með breiddina \(\Delta x\) og hæðina \(f(x_{i})\), þ.e. fallgildið í hægri endapunkti hlutbilsins. Þá er flatarmál þessa rétthyrnings \(f(x_{i})\cdot \Delta x_i\). Ef við summum saman flatarmál allra þessara rétthyrninga fæst nálgunargildi á flatarmáli svæðisins \(A\). Við notum ritháttinn \(R_n\) til að tákna að þetta sé nálgun við vinstri endapunkt (\(R\) fyrir e. right) með \(n\) hlutbilum. Formúlan er því
\[A \approx R_n = \sum_{i=1}^n f(x_{i})\cdot \Delta x.\]
5.4.9. Dæmi: Nálgun við hægri endapunkt
Dæmi
Við nálgum nú sama svæði og hér að ofan nema nú hafa rétthyrningarnir hæð sem svarar til fallgildis \(f(x)=\cos(x)+3\) í hægri endapunkti, þ.e. \(\cos(x)+3\) þar sem \(x=2,\dots,6\). Hún er því (frá vinstri til hægri) \(2,58\), \(2,01\), \(2,35\), \(3,28\), og \(3,96\). Með sömu rökum og áður fæst því að
\[H_5 = 2,58 + 2,01 + 2,35 + 3,28 + 3,96 = 14,18.\]Skekkjan er nú \(14,18-13,88,76=0,3\) eða u.þ.b. \(1\%\) munur.
5.4.10. Athugasemd: Fjöldi rétthyrninga
Athugasemd
Því fleiri rétthyrningar sem eru notaðir eru til þess að nálga flatarmál svæðis, þeim mun nákvæmari verður nálgunin.
5.4.11. Skilgreining: Riemann summa
Skilgreining
Látum \(f(x)\) vera skilgreint á lokaða bilinu \([a,b]\) og \(P\) vera reglulega skiptingu á bilinu. Látum \(\Delta x\) vera lengd sérhvers hlutbils \([x_{i-1},x_i]\) og fyrir hvert \(i\) látum við \(x_i^*\) vera hvaða tölu sem er á bilinu \([x_{i-1},x_i]\). Þá er Riemann summa skilgriend sem
\[\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x.\]
5.4.12. Setning: Flatarmál svæðis
Setning
Látum \(f(x)\) vera samfellt, jákvætt fall á lokaða bilinu \([a,b]\) og látum \(\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x\) vera Riemann summu fyrir \(f(x)\). Þá má reikna flatarmál svæðisins sem myndast undir ferli fallsins \(y=f(x)\) á bilinu \([a,b]\) með
\[A = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x.\]
Athugasemd
Unnt er að sanna að ef \(f(x)\) er samfellt fall á lokuðu bili þá skiptir ekki máli hvaða mengi \(\{x_i^*\}\) er valið, markgildið er alltaf það sama. Við munum þó ekki setja fram sönnun á því hér.
5.4.13. Skilgreining: Undir- og yfirsumma
Skilgreining
Ef mengið \(\{x_i^*\}\) í Riemann-summu er valið þannig að \(f(x_i^*) \leq f(x)\) fyrir öll \(x \in [x_{i-1},x_i], i = 1,\dots,n\) þá er ljóst að nálgaða flatarmálið er minna en hið raunverulega flatarmál. Þá er Riemann summan kölluð undirsumma.
Ef mengið \(\{x_i^*\}\) í Riemann-summu er valið þannig að \(f(x_i^*) \geq f(x)\) fyrir öll \(x \in [x_{i-1},x_i], i = 1,\dots,n\) þá er ljóst að nálgaða flatarmálið er stærra en hið raunverulega flatarmál. Þá er Riemann summan kölluð yfirsumma.
5.5. Ákveðin heildi
5.5.1. Skilgreining: Ákveðið heildi
Skilgreining
Ef \(f(x)\) er fall skilgreint á bilinu \([a,b]\) þá er ákveðna heildið yfir \(f\) frá \(a\) til \(b\) gefið með
\[\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x,\]af því gefnu að markgildið sé til. Ef markgildið er til, þá er fallið \(f(x)\) sagt vera heildanlegt á bilinu \([a,b]\) eða einfaldlega bara heildanlegt.
Aðvörun
Óákveðið heildi er fjölskylda falla á meðan ákveðið heildi er tala.
5.5.2. Setning: Samfelld föll eru heildanleg
Setning
Ef \(f(x)\) er samfellt fall á \([a,b]\) þá er \(f\) heildalegt á \([a,b]\).
Aðvörun
Föll sem ekki eru samfelld á \([a,b]\) gætu verið heildanleg á bilinu. Það er þó ekki hægt að tryggja það líkt og með samfelld föll.
5.5.3. Dæmi: Ákveðið heildi reiknað út frá skilgreiningu
Dæmi
Metum ákveðna heildið
\[\int_0^2 x^2 dx.\]
Lausn
Notum hægri endapunkts nálgun til þess að búa til Riemann summuna. Höfum að \([a,b]=[0,2]\) og ef notuð er regluleg skipting \(P=\{x_i\}\) fyrir bilið fæst að
\[\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{2}{n}.\]Þar sem við notumst við hægri endapunkts nálgun til að búa til Riemann summuna þurfum við að reikna fallgildið í endapunkti bilsins \([x_{i-1},x_i]\) fyrir sérhvert \(i\). Hægri endapunktur bilsins er \(x_i\) og þar sem \(P\) er regluleg skipting fæst
\[x_i = x_0 + i \Delta x = \frac{2i}{n}\]og fallgildið í hægri endapunkti er því
\[f(x_i) = \left(\frac{2i}{n}\right)^2 = \frac{4i^2}{n^2}.\]Þá hefur Riemann summan formið
\[\sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^n \left(\frac{4i^2}{n^2}\right)\frac{2}{n} = \sum_{i=1}^n \frac{8i^2}{n^3} = \frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2.\]Við getum notfært okkur að við þekkjum lokað form þessarar summu. Því fæst
\[\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{8}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{8}{3} + \frac{4}{n}+\frac{8}{6n^2}.\]Til þess að meta heildið þurfum við að reikna markgildið þegar \(n\) stefnir á óendanlegt.
\[\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{8}{3} + \frac{4}{n}+\frac{8}{6n^2} \right) = \frac{8}{3}.\]Því er
\[\int_0^2 x^2 dx = \frac{8}{3}.\]Hér fyrir neðan má draga stikuna \(k\) til og frá til að sjá nálgunina þegar notaðir eru \(k\) rétthyrningar í Riemann summunni.
5.5.4. Flatarmál falla sem ekki eru jákvæð
Hingað til höfum við takmarkað okkur við að reikna flatarmál sem myndast á ákveðnu bili milli ferils jákvæðs falls og \(x\)-ássins. Við skulum athuga hvað gerist þegar við fellum niður kröfuna um að \(f \geq 0\).
Gerum ráð fyrir að \(f(x)\) sé fall skilgreint á bilinu \([a,b]\) og sé að hluta til fyrir ofan \(x\)-ásinn og að hluta til fyrir neðan hann. Notum \(n\) punkta á bilinu og veljum \(\{x_i^*\}\) sem vinstri punkt hvers hlutbils \([x_{i-1},x_i]\). Búum til rétthyrning á hverju hlutbili með hæðina \(|f(x_i^*)|\) og breiddina \(\Delta x\). Þegar \(f(x_i^*)>0\) þá er \(f(x_i^*) \Delta x\) flatarmál rétthyrningins líkt og áður. Þegar \(f(x_i^*)<0\) er \(f(x_i^*) \Delta x\) neikvætt flatarmál rétthyrningsins. Köllum flatarmál rétthyrninganna fyrir ofan \(x\)-ás \(A_1\) og rétthyrninganna fyrir neðan \(x\)-ás \(A_2\). Riemann summan, sem mun nálga flatarmálið sem myndast undir fallinu þar sem það er jákvætt á bilinu og fyrir ofan fallið þar sem það er neikvætt á bilinu, er þá
og ákveðna heildi fallsins yfir bilið, sem gefur nákvæmt flatarmál svæðisins, má reikna
þar sem \(c_i\) er einhver punktur á hlutbilinu \([x_{i-1},x_i]\).
Athugum að þessi skilgreining virkar jafnvel þó fallið sé alfarið fyrir ofan eða neðan \(x\)-ásinn. Það eina sem gerist er að annað hvort mun \(A_1\) eða \(A_2\) taka gildið 0.
5.5.5. Setning: Reiknireglur: ákveðin heildi
Reiknireglur: Ákveðin heildi
Eftirfarandi gildir um ákveðin heildi.
\(\int_a^a f(x) dx = 0\)
\(\int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx\)
\(\int_a^b (f(x) \pm g(x))dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx\)
\(\int_a^b c f(x) dx = c \int_a^b f(x) dx\)
\(\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx\)
5.5.6. Setning: Samanburður heilda
Setning
Eftirfarandi gildir um ákveðin heildi.
Ef \(f(x) \geq 0\) fyrir \(a \leq x \leq b\) þá gildir að \(\int_a^b f(x) dx \geq 0\).
Ef \(f(x) \geq g(x)\) fyrir \(a \leq x \leq b\) þá gildir að \(\int_a^b f(x) dx \geq \int_a^b g(x) dx\).
Ef \(m\) og \(M\) eru fastar þannig að \(m \leq f(x) \leq M\) fyrir \(a \leq x \leq b\) þá gildir að \(m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)\).
5.5.7. Meðalgildi falls
Flestir nemendur þekkja það vel að reikna meðaltal talnasafna, þar sem meðaltal talnasafnsins \(x_1, x_2, \dots, x_n\) er \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\). Á svipaðan hátt má reikna meðalgildi falls.
Látum \(f(x)\) vera samfellt á bilinu \([a,b]\) og skiptum bilinu í \(n\) hlutbil af breiddinni \(\Delta x = (b-a)/n\). Veljum eitt gildi \(x_i^*\) af hverju hlutbili og reiknum \(f(x_i^*)\) fyrir \(i=1,2,\dots,n\). Þar sem fallið er samfellt en þessi gildi stjrál þá gefur þetta okkur einungis mat á meðatali fallsins á bilinu, sem má þá reikna á sambærilegan hátt og meðaltal talnasafns með
Með einfaldri algebru má sýna að þetta sé jafngilt því að rita
Þetta er Riemann summa. Þá má fá nákvæmt gildi á meðaltalinu með því að reikna
5.5.8. Skilgreining: Meðalgildi falls á bili
Skilgreining
Ef \(f(x)\) er samfellt fall á bilinu \([a,b]\) þá er meðalgildi fallsins á bilinu gefið með
\[\overline{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx.\]
Aðvörun
Bókin notar \(f_{\text{ave}}\) (ave fyrir enska orðið average) til þess að tákna meðagildi falls. Hér munum við nota \(\overline{f}\) til að halda samræmi við að tákna meðatal talnasafns \(x_1, x_2, \dots, x_m\) með \(\overline{x}\), ritháttur sem er notaður í flestum áföngum Háskóla Íslands.
5.6. Undirstöðusetning stærðfræðigreiningar
Eftirfarandi setning er notuð sem hjálparsetningu við sönnunina á undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar.
5.6.1. Meðalgildissetningin fyrir heildi
Meðalgildissetningin fyrir heildi
Ef \(f(x)\) er samfellt á bilinu \([a,b]\) þá er að minnsta kosti einn punktur \(c\in [a,b]\) sem uppfyllir að
\[f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx.\]
5.6.2. Dæmi: Meðalgildissetningin fyrir heildi
Dæmi
Finnum meðalgildi fallsins \(f(x)=8-2x\) á bilinu \([0,4]\) og þá tölu \(c\) þ.a.
\[f(c)=\frac{1}{4-0} \int_0^4 8-2x dx.\]
Lausn
Byrjum á því að meta heildið og fáum að
\[\frac{1}{4-0} \int_0^4 8-2x dx = \frac{1}{4}\left[8x-x^2\right]_0^4 = \frac{1}{4}((8 \cdot 4 - 4^2 ) - (0 \cdot 4 - 0^2)) = \frac{1}{4}(16) = 4.\]Við viljum því finna \(c \in [0,4]\) þannig að
\[f(c) = 8-2c = 4.\]Einangrum nú c og höfum að
\[2c = 8-4 \Leftrightarrow 2c = 4 \Leftrightarrow c = 2.\]Meðalgildi fallsins er því \(f(c)=f(2)=4\) og \(c=2\).
5.6.3. Setning: Undirstöðusetning stærðfræðigreiningar (I)
Undirstöðusetning stærðfræðigreining (I)
Ef \(f(x)\) er samfellt á bilinu \([a,b]\) og fallið \(F(x)\) er skilgreint þannig að
\[F(x) = \int_a^x f(t) dt\]þá gildir að \(F'(x) =f(x)\) á \([a,b]\).
5.6.4. Dæmi: Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar (I)
Dæmi
Látum \(u=\sqrt{x}\) og gerum ráð fyrir að
\[F(x) = \int_1^{u(x)} \sin(t) dt.\]Samkvæmt undirstöðusetningu stærðfræðigreiningar (I) og keðjureglunni fæst
\[\begin{split}\begin{align} F'(x) &= \sin(u(x))\frac{du}{dx}\\ &= \sin(u(x)) \cdot (\frac{1}{2} x^{-1/2})\\ &= \frac{\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}. \end{align}\end{split}\]
5.6.5. Setning: Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar (II)
Setning: Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar (II)
Ef \(f(x)\) er samfellt á bilinu \([a,b]\) og \(F(x)\) er eitthvað stofnfall fyrir \(f(x)\) þá gildir að
\[\int_a^b f(x) dx = F(b)-F(a).\]
Athugasemd
Oft er ritað að
\[\int_a^b f(x) dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b)-F(a).\]Þessi ritháttur gefur manni tækifæri til að finna fyrst stofnfallið \(F(x)\) og stinga svo heildismörkunum \(a\) og \(b\) inn í af því loknu.
5.6.6. Athugasemd: Mikilvægi undirstöðusetningar stærðfræðigreiningarinnar
Athugasemd
Nemendur gera sér oft ekki grein fyrir því hversu gríðarlega mikilvæg undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar er. Það tók stærðfræðinga meira en 500 ár að fínpússa þá tækni sem vísinda- og fræðimenn notast við í dag til að útskýra hegðun ýmissa fyrirbæra. Stærðfræðigreining gerði okkur loksins kleift að reikna út fjarlægðir í geiminum og kortleggja sporbauga reykistjarna. Vegna hennar varð mögulegt að reikna jaðarkostnað og spá fyrir um heildargróða með einföldum og nákvæmum hætti. Stærðfræðigreiningin gaf verkfræðingum þá fræðilegu þekkingu sem nauðsynleg var svo þeir gætu reiknað svigþol efna og hreyfingu hluta í þrívíðu rúmi. Heimsýn okkar breyttist með tilkomu stærðfræðigreiningar.
5.6.7. Dæmi: Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar
Dæmi
Metum heildið
\[\int_{-2}^2 (t^2-4)dt\]með því að nota undirstöðusetningu stærðfræðigreiningarinnar.
Lausn
Fyrst þurfum við að finna eitthvað stofnfall fyrir \(f(t)=t^2-4\). Höfum að
\[F(t) = \int (t^2-4) dt = \frac{1}{3}t^3-4t+C\]Veljum \(C=0\) og fáum þá að stofnfallið sem við ætlum að nota sé \(F(t)=\frac{1}{3}t^3-4t\). Þá segir undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar (II) að
\[\int_{-2}^2 (t^2-4)dt = F(2)-F(-2) = \left(\frac{1}{3}2^3-4\cdot 2\right) - \left(\frac{1}{3}(-2)^3-4\cdot (-2) \right)= \frac{16}{3}-16 = -\frac{32}{3}.\]
5.7. Heildun oddstæðra og jafnstæðra falla
5.7.1. Setning: Heildun oddstæðra og jafnstæðra falla
Ef \(f\) er samfellt jafnstætt fall, þ.e. \(f(-x)=f(x)\) þá gildir
\[\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx.\]
Ef \(f\) er samfellt oddstætt fall, þ.e. \(f(-x)=-f(x)\) þá gildir
\[\int_{-a}^a f(x) dx = 0.\]
Þetta er stundum orðað sem svo að heildi samfellds jafnstæðs falls yfir samhverft bil er jafngilt tvöföldu heildi þess yfir helming bilsins og heildi samfellds oddstæðs falls yfir samhverft bil er jafngilt núlli.
5.7.2. Dæmi: Heildun oddstæðra og jafnstæðra falla
Dæmi
Metum heildið
\[\int_{-2}^2 (3x^8-2) dx.\]
Lausn
Athugum að ef \(f(x)=3x^8-2\) þá er \(f(-x) = 3(-x)^8-2 = 3(-1)^8x^8-2 = 3x^8-2\) svo fallið \(f\) er jafnstætt samkvæmt skilgreiningu. Við fáum því að
\[\int_{-2}^2 (3x^8-2) dx = 2\int_{0}^2 (3x^8-2) = 2\left[\frac{1}{3}x^9-2x\right]_0^2 = 2\left(\frac{512}{3} - 4\right) = \frac{1000}{3}\]
5.8. Innsetning
Stundum getur reynst erfitt að finna stofnfall heildisstofnsins, sér í lagi ef hann er samsettur úr fleiri en einu falli, t.d. með margföldun eða samskeytingu. Þá er t.a.m. hægt að grípa til innsetningar.
5.8.1. Setning: Innsetning í óákveðin heildi
Setning
Gerum ráð fyrir að \(u=g(x)\) sé fall þannig að \(g(x)\) hafi samfellda afleiðu á bili og að \(f(x)\) vera samfellt á samsvarandi bakmengi \(g\). Látum nú \(F(x)\) vera stofnfall fyrir \(f(x)\). Þá gildir að
\[\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du = F(u) + C = F(g(x))+C.\]
5.8.2. Dæmi: Innsetning í óákveðin heildi
Dæmi
Notum innsetningu til að reikna óákveðna heildið
\[\int 6x(3x^2+4)^4 dx.\]
Lausn
Þetta heildi mætti skrifa
\[\int u^4 du\]þar sem við höfum beitt innsetningunni \(u=3x^2+4\) og með því að diffra fæst \(du = 6x dx\). Fáum nú að
\[\int u^4 du = \frac{1}{5} u^5 + C.\]Við stingum nú aftur inn fyrir \(u\) og fáum að svarið er
\[\frac{1}{5} (3x^2+4)^5 + C.\]
5.8.3. Setning: Innsetning í ákveðin heildi
Setning
Gerum ráð fyrir að \(u=g(x)\) sé fall þannig að \(g(x)\) hafi samfellda afleiðu á bilinu \([a,b]\) og að \(f(x)\) vera samfellt á bakmengi \(u=g(x)\). Þá gildir að
\[\int_a^b f(g(x))g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du\]
5.8.4. Dæmi: Innsetning í ákveðin heildi
Dæmi
Metum heildið
\[\int_0^1 (1+2x^3)^5 x^2 dx\]með innsetningu.
Lausn
Hér sjáum við að \(f(x)=x^5\), \(g(x)=1+2x^3\) og þ.a.l. \(g'(x)=6x^2\). Þar sem \(u=g(x)\) (skv. setningunni um innsetningu í ákveðin heildi) þá er þetta jafngilt því að rita
\[\frac{du}{dx} = 6x^2.\]Ef við notum þá aðferð sem við kynntum í kaflanum um diffur þá má líta á \(du\) og \(dx\) sem breytur og rita
\[du = 6x^2 dx \Leftrightarrow \frac{1}{6} du = x^2 dx.\]Með því að nota innsetninguna þá skiptum við \(x^2 dx\) í heildinu út fyrir \(\frac{1}{6} du\) og \((1+2x^3)^5\) út fyrir \(u^5\). Það eina sem eftir stendur er að reikna \(g(a) = g(0)\) og \(g(b)=g(1)\). Fáum að
\[g(0)= 1 + 2\cdot 0^3 = 1\]og
\[g(1) = 1 + 2\cdot 1^3 = 3.\]Því fæst að
\[\int_0^1 (1+2x^3)^5 x^2 dx = \frac{1}{5} \int_1^3 u^5 du\]þar sem við höfum tekið \(\frac{1}{5}\) út fyrir heildið. Metum nú heildið og fáum
\[= \left[ \frac{1}{6}u^6 \right]_1^3 = \frac{1}{36}(3^6-1^6)=\frac{182}{9}.\]
Athugasemd
Finna má mun fleiri dæmi í kennslubókinni. Það reynist oft erfitt fyrir nemendur að ná tökum á innsetningu svo gott getur verið að skoða fleiri dæmi.
5.9. Heildi með vísisföllum og logrum
5.9.1. Setning: Heildi vísisfalla
Setning
Vísisföll má heilda með því að nota eftirfarandi formúlur.
\(\int e^x dx = e^x + C\)
\(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C\)
5.9.2. Dæmi: Heildun vísisfalls
Dæmi
Notum innsetningu með \(u=-x\) til að finna stofnfall fyrir \(e^{-x}\).
Lausn
Höfum að ef \(u=-x\) þá er \(-du = dx\). Því gefur innsetning að
\[F(x)=\int e^{-x} dx = - \int e^u du = -e^u + C = -e^{-x}+C\]skv. setningunni um heildi vísisfalla.
5.9.3. Setning: Heildun logra
Setning
Logra má heilda með því að nota eftirfarandi formúlu.
\(\int x^{-1} = \ln|x| + C\)
\(\int \ln(x) dx = x\ln(x) - x + C = x(\ln(x)-1)+C\)
\(\int \log_a(x) dx = \frac{x}{\ln(a)}(\ln(x)-1) + C\)
5.9.4. Dæmi: Heildun logra
Dæmi
Metum heildið
\[\int \frac{3}{x-10}dx.\]
Lausn
Tökum fyrst 3 út fyrir heildið
\[3 \int \frac{1}{x-10}dx.\]Og notum svo innsetningu með \(f(x)=\frac{1}{x}\) og \(g(x)=x-10\). Þá er \(du = 1 dx\) þar sem \(g'(x)=1\). Þetta gefur því
\[3 \int \frac{1}{u} du = 3\ln|u|+C.\]Við getum nú skipt \(u\) aftur út fyrir \(g(x)=x-10\). Þá fæst
\[= \int \frac{3}{x-10} 3 = \ln|x-10|+C.\]Munum að lograr eru ekki skilgreindir í núlli og því gildi að \(x \in \mathbb{R}\setminus \{10\}\).
5.10. Heildi sem skila andhverfum hornaföllum
5.10.1. Setning: Heildi sem skila andhverfum hornaföllum
Setning
Eftirfarandi heildi skila af sér andhverfum hornaföllum. Gerum ráð fyrir að \(a>0\):
\(\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} = \sin^{-1}\frac{u}{|a|}+C\)
\(\int \frac{du}{a^2+u^2} = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{u}{a} + C\)
\(\int \frac{du}{u\sqrt{u^2-a^2}} = \frac{1}{|a|}\sec^{-1}\frac{|u|}{a}+C\)
5.10.2. Dæmi: Heildi sem skila andhverfum hornaföllum
Dæmi
Metum heildið
\[\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.\]
Lausn
Samkvæmt setningunni hér að ofan fæst
\[\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \left[\sin^{-1}x\right]_0^{\frac{1}{2}} = \sin^{-1}(1/2)-\sin^{-1}(0)=\frac{\pi}{6}.\]