3. Afleiður

Nauðsynleg undirstaða

Skilgreiningar á markgildi

Samfelldni

samskeyting falla

andhverfur falla

Hornaföll

The Quest stands upon the edge of a knife. Stray but a little, and it will fail, to the ruin of all. Yet hope remains while the Company is true.

– Galadriel, The Fellowship of the Ring

3.1. Skilgreining á afleiðu

Skilgreining

Látum \(a\) vera innri punkt skilgreiningarmengis falls \(f\). Afleiða falls en: derivative
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. \(f\) í punkti \(a\) er skilgreind sem

\[f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\]

Ef markgildið er til þá er sagt að fallið \(f\) sé diffranlegt en: differentiable
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. í punktinum \(a\), en annars er sagt að fallið sé ekki diffranlegt í punktinum \(a\).

3.1.1. Dæmi: afleiða

Dæmi

Fallið \(f(x) = x^2\) er diffranlegt í sérhverjum punkti \(a\). Það sést af því að

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} &= \lim_{h\to 0} \frac{(a+h)^2-a^2}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{2ah+h^2}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} 2a+h = 2a.\end{aligned}\end{split}\]

3.1.2. Setning: Diffranleiki í punkti

Setning

Ef fall \(f\) er diffranlegt í punkti \(c\) þá er \(f\) samfellt í punktinum \(c\).

Aðvörun

Fall getur verið samfellt í punkti \(c\) án þess að það sé diffranlegt í \(c\).

3.1.3. Dæmi: Diffranleiki í punkti

Dæmi

Fallið \(f(x) = |x|\) er samfellt. En það er ekki diffranlegt í punktinum \(x=0\). Það sést af því að

\[\lim_{h\to 0^+} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{|h|}{h} = 1\]

en

\[\lim_{h\to 0^-} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{|h|}{h} = -1.\]

Þannig að markgildið \(\lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}\) er ekki til og því er fallið ekki diffranlegt í \(x=0\).

3.1.4. Snertill

Afleiðu falls \(f\) í punktinum \(a\) fæst með því að taka sniðil (e. secant) í gegnum punktana \((a,f(a))\) og \((a+h,f(a+h))\), og láta svo \(h\) stefna á \(0\).

Þetta gefur hallatölu snertilsins en: tangent line, tangent vector
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. við graf fallsins í punktinum \((a,f(a))\)

Jafna snertils við graf fallsins í punktingum \(a\) er línan

\[y = f'(a)(x-a) + f(a).\]

3.1.5. Athugasemd: Hallatalan \(\infty\) er ekki leyfð

Athugasemd

Við leyfum ekki \(f'(a) = \infty\) eða \(f'(a) = -\infty\). Samanber \(f(x) = x^{\frac 13}\) í \(a=0\),

\[\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}h = \lim_{h \to 0} \frac{h^{\frac 13}}h = \lim_{h \to 0} h^{-\frac 23} = \infty.\]

Hér ætti því jafna snertilsins að vera \(x=0\).

Við viljum að snertillinn sé nálgun við graf fallsins fyrir \(x\) nálægt \(a\), lóðrétt lína er gagnslaus nálgun því hún er ekki skilgreind sem fall af \(x\).

3.2. Afleiða sem fall

3.2.1. Útvíkkun fyrir lokuð bil

Ef fallið \(f\) er skilgreint á lokuðu bili þá getum við skilgreint afleiðuna í endapunktunum með því að taka markgildi frá hægri/vinstri eftir því sem við á.

3.2.2. Skilgreining: Hægri/vinstri afleiða

Skilgreining

Hægri afleiða falls \(f\) í punkti \(x\) er skilgreind sem

\[f_+'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.\]
Vinstri afleiða falls \(f\) í punkti \(x\) er skilgreind sem

\[f_-'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.\]

3.2.3. Setning

Setning

Ef \(x\) er innri punktur í skilgreiningarmengi fallsins \(f\) þá er \(f\) diffranlegt í \(x\) þá og því aðeins að

\[f_+'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f_-'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\]

og þá er \(f'(x)\) jafnt og markgildin hér fyrir ofan.

Athugasemd

Hægt er að túlka afleiðu falls sem fall í sínum eigin rétti. Lauslega er þá talað um að fallið \(f(x)\) sé diffranlegt ef til er fall \(f'(x)\) þar sem það að skipta út breytunni \(x\) fyrir einhvern innripunkt \(a\) í skilgreiningarmengi \(f\) gefur afleiðuna í punktinu \(a\). Til þess að skilgreiningin haldi vatni endanlega þarf svo að leyfa hægri/vinstri afleiður í jaðarpunktum skilgreiningarmengisins.

3.2.4. Skilgreining: Diffranlegt fall

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall með skilgreiningarmengi \(A\). Gerum ráð fyrir að \(A\) sé sammengi endanlega margra bila. Við segjum að fallið \(f\) sé diffranlegt ef það er diffranlegt í öllum innri punktum \(A\) og diffranlegt frá vinstri/hægri í jaðarpunktum \(A\) eftir því sem við á.

3.2.5. Ritháttur

Afleiða falls \(f\) er ýmist táknuð með

\[f', \qquad \frac {df}{dx}, \qquad D_x f \qquad \text{eða} \qquad Df.\]

Ef við skrifum \(y=f(x)\) þá má einnig tákna hana með

\[y', \qquad \frac {dy}{dx}, \qquad D_x y \qquad \text{eða} \qquad Dy.\]

Aðvörun

Enn og aftur er túlkun bókarinnar á hugtakinu diffranlegt fall örlítið lausari í reipunum en sú sem er notuð hérna. Hún virkar ágætlega fyrir afleiður í öllum innri punktum skilgreiningarmengisins en athugar ekki hvað gerist í jaðarpunktum þess.

3.2.6. Dæmi: Afleiða

Dæmi

Skoðum afleiðu fallsins

\[f(x) = \sqrt{x}, f: [0,\infty[ \to \mathbb{R}\]

í vinstri endapunkti skilgreiningarmengisins.

Lausn

Fallið \(f(x) = \sqrt{x}\), \(f:[0,\infty[\to {{\mathbb R}}\) er diffranlegt á menginu \(]0,\infty[\) og afleiðan er gefin með \(f'(x) = \frac 1{2\sqrt{x}} = \frac 12 x^{-1/2}\) þar. Hins vegar er \(f\) ekki diffranlegt í \(x=0\) þrátt fyrir að fallgildið sé vel skilgreint (og fallið samfellt frá hægri) þar.

Ef \(x>0\) þá fæst

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}h &= \lim_{h\to 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}^2-\sqrt{x}^2}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}},\end{aligned}\end{split}\]

sem segir okkur að \(f'(x) = \frac 12 x^{-1/2}\).

Í vinstri endapunkti skilgreingarsvæðisins, \(x=0\), þá fæst hins vegar

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{h\to 0^+} \frac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}h &= \lim_{h\to 0^+} \frac{\sqrt{h}}h\\ &= \lim_{h\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = \infty,\end{aligned}\end{split}\]

sem sýnir að fallið er ekki diffranlegt frá hægri í \(x=0\).

3.2.7. Skilgreining: Hærri afleiður

Skilgreining

Látum \(f\) vera fall. Afleiðan \(f'\) er fall sem skilgreint er í öllum punktum þar sem \(f\) er diffranlegt.

Ef fallið \(f'\) er diffranlegt í punkti \(x\) þá er afleiða \(f'\) í punktinum \(x\) táknuð með \(f''(x)\) og kölluð önnur afleiða (e. second derivative) \(f\) í punktinum \(x\). Líta má á aðra afleiðu \(f\) sem fall \(f''\) sem er skilgreint í öllum punktum þar sem \(f'\) er diffranlegt.

Almennt má skilgreina \(n\)-tu afleiðu \(f\), táknaða með \(f^{(n)}\), þannig að í þeim punktum \(x\) þar sem fallið \(f^{(n-1)}\) er diffranlegt þá er \(f^{(n)}(x)=\frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)\).

3.2.8. Dæmi: Hærri afleiður

Dæmi

Finnum fyrstu og aðra afleiðu fallsins \(f(x)=3x^2\).

Lausn

Ef \(f(x) = 3x^2\), þá er

\[f'(x) = 3\frac{d}{dx}x^2 = 3\cdot 2x = 6x\]

og

\[f''(x) = \frac{d}{dx} 6x = 6.\]

3.2.9. Ritháttur

Ritum \(y=f(x)\).

Þá má tákna fyrstu afleiðu \(f\) með

\[y'= f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=D_xf(x)\ =\ D_x y= \frac{dy}{dx},\]

aðra afleiðuna með

\[\begin{aligned} y'' &= f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}f(x) = D^2_xf(x)= D^2_x y=\frac{d^2}{dx^2}f(x)=\frac{d^2 y}{dx^2}\end{aligned}\]

og almennt \(n\)-tu afleiðuna

\[\begin{split}\begin{aligned} y^{(n)} &= f^{(n)}(x)=\frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)= \frac{d}{dx}\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}f(x)\Big) \\ &=D^n_xf(x)\ =\ D^n_x y =\frac{d^n}{dx^n}f(x) = \frac{d^n y}{dx^n}.\end{aligned}\end{split}\]

Athugasemd

Venja er að rita \(f'''\) til að tákna þriðju afleiðu \(f\) en afar sjaldgæft að \(f''''\) sé notað til að tákna fjórðu afleiðu \(f\) og mun algengara að nota \(f^{(4)}\).

3.3. Reiknireglur

3.3.1. Reiknireglur: Diffranleg föll

Reiknireglur: Diffranleg föll

Látum \(f\) og \(g\) vera föll sem eru diffranleg í punkti \(x\). Þá eru föllin \(f+g,\ f-g, kf\) (þar sem \(k\) er fasti) og \(fg\) diffranleg í punktinum \(x\), og ef \(g(x)\neq 0\) þá eru föllin \(1/g\) og \(f/g\) líka diffranleg í \(x\).

Eftirfarandi formúlur gilda um afleiður fallanna sem talin eru upp hér að framan:

\(\frac{d}{dx} c=0, c \in \mathbb{R}\)

\(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}, n \in \mathbb{Z}\)

\((f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)\)

\((f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)\)

\((kf)'(x)=kf'(x)\), þar sem \(k\) er fasti

\((fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

\(\left(\frac{1}{g}\right)'(x)=\frac{-g'(x)}{g(x)^2}\), ef \(g(x)\neq 0\)

\(\left(\frac{f}{g}\right)'(x)= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\), ef \(g(x)\neq 0\)

3.3.2. Dæmi: Nokkrar afleiður

Dæmi

\(\frac{d}{dx} 1 = \lim_{h\to 0} \frac{1-1}h = 0\)
\(\frac{d}{dx} x = \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}h = 1\)
\(\frac{d}{dx} x^2 = \lim_{h\to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}h = \lim_{h\to 0} \frac{2xh + h^2}h = \lim_{h\to 0} 2x+h= 2x\)

3.3.3. Afleiður margliða

Með því að nota setningarnar að ofan þá eigum við ekki í neinum vandræðum með að diffra margliður. Setning 3.3.1 (i) segir að við getum diffrað hvern lið fyrir sig, liður (iii) í sömu setningu segir að við getum tekið fastana fram fyrir afleiðuna og loks segir Sama setning segir hvernig við diffrum \(x^n\).

3.3.4. Dæmi: Afleiða margliðu

Dæmi

Finnum afleiðu margliðunnar \(p(x) = 4x^3-2x + 5\).

Lausn

Höfum að

\[\begin{split}\begin{aligned} p'(x) &= \frac{d}{dx} p(x)\\ &= \frac{d}{dx}4x^3 - \frac{d}{dx}2x + \frac{d}{dx}5 \\ &= 4\frac{d}{dx}x^3 -2\frac{d}{dx}x + \frac{d}{dx}5\\ &= 4\cdot 3x^2 -2\cdot 1 + 0 = 12x^2-2 \end{aligned}\end{split}\]

3.4. Afleiður hornafallanna

3.4.1. Setning: Afleiða kósínus og sínus

Setning

Hornaföllin kósínus og sínus eiga sér eftirfarandi afleiður:

\(\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)\)

\(\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)\)

3.4.2. Dæmi: Afleiða sínus

Dæmi

Finnum afleiðu fallsins \(f(x)=5x^3\sin(x)\).

Lausn

Við beitum margföldunarreglunni fyrir afleiður auk reglunnar hér að ofan um afleiðu sínus og fáum að

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{d}{dx} (5x^3\sin(x)) &= \frac{d}{dx} (5x^3) \cdot \sin(x) + (5x^3) \cdot \frac{d}{dx} \sin(x)\\ &= 15 x^2 \sin(x) + 5x^3\cos(x) \end{aligned}\end{split}\]

3.4.3. Setning: Afleiða tangens

Setning

Tangens á sér eftirfarandi afleiðu:

\[\frac{d}{dx} \tan(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\]

3.4.4. Dæmi: Afleiða tangens

Dæmi

Finnum afleiðu fallsins \(f(x)=\cos(x)+\tan(x)\).

Lausn

Notum setninguna um afleiðu kósínus og afleiðu tangens og fáum að og fáum að

\[\frac{d}{dx}(\tan(x)+\cos(x)) = \frac{1}{\cos^2(x)}-\sin(x)\]

3.5. Keðjureglan

3.5.1. Setning: Keðjureglan

Keðjureglan

Gerum ráð fyrir að \(f\) og \(g\) séu föll þannig að \(g\) er diffranlegt í \(x\) og \(f\) er diffranlegt í \(g(x)\). Þá er samskeytingin \(f\circ g\) diffranleg í \(x\) og

\[(f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x).\]

3.5.2. Dæmi: Keðjureglan

Dæmi

Finnum afleiðu samskeytingarinnar \(f \circ g\) ef \(f(x) = \sqrt{x}\) og \(g(x)=3x^5\).

Lausn

Skoðum föllin \(f(x) = \sqrt{x}\) og \(g(x) = 3x^5\). Bæði þessi föll eru diffranleg og afleiðurnar eru \(f'(x) = \frac 12 x^{-1/2}\) og \(g'(x) = 15x^4\). Afleiða samskeytingarinnar \(f\circ g\) er þá samkvæmt keðjureglunni

\[(f\circ g)'(x) = \frac 12 (3x^5)^{-1/2} \cdot 15x^4.\]

3.6. Andhverf föll

Rifjum upp að gagntæk vörpun \(f:X\to Y\) hefur andhverfu \(f^{-1}:Y\to X\) sem uppfyllir að

\[y=f(x)\qquad\text{þá og því aðeins að}\qquad x=f^{-1}(y).\]

Sjá kafla 1.4.

Athugasemd

Látum \(f:X \to Y\) vera fall sem skilgreint er á mengi \(X\). Gerum ráð fyrir að \(f\) sé eintækt. Með því að einskorða bakmengi \(f\) við myndmengið \(\tilde Y = f(X)\) þá verður \(f:X\to \tilde Y\) gagntækt fall. Þá er til andhverfa \(f^{-1}:\tilde Y \to X\) sem uppfyllir

\[y=f(x)\qquad\text{þá og því aðeins að}\qquad x=f^{-1}(y).\]

3.6.1. Setning

Setning

Fall sem er strangt vaxandi eða strangt minnkandi er eintækt og á sér því andhverfu.

3.6.2. Setning; Eiginleikar andhverfa

Setning

\(y=f^{-1}(x)\) þá og því aðeins að \(x=f(y)\).
Skilgreingarsvæði \(f\) er myndmengi \(f^{-1}\).
Myndmengi \(f^{-1}\) er jafnt skilgreiningarmengi \(f\).
\(f^{-1}(f(x))=x\) fyrir öll \(x\) í skilgreiningarmengi \(f\).
\(f(f^{-1}(x))=x\) fyrir öll \(x\) í skilgreiningarmengi \(f^{-1}\).
\((f^{-1})^{-1}(x)=f(x)\) fyrir öll \(x\) í skilgreiningarmengi \(f\), alltsvo \((f^{-1})^{-1}=f\).
Graf \(f^{-1}\) er speglun á grafi \(f\) um línuna \(y=x\).

3.6.3. Setning: Afleiða andhverfunnar

Setning

Gerum ráð fyrir að fall \(f\) hafi andhverfu \(f^{-1}\). Látum \(x\) vera á skilgreiningarmengi \(f\) og gerum ráð fyrir að \(f\) sé diffranlegt í punktinum \(f^{-1}(x)\) og að \(f'(f^{-1}(x)) \neq 0\). Þá er \(f^{-1}\) diffranlegt í punktinum \(x\) og

\[\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]

Athugasemd

Setningin segir okkur sér í lagi að láréttur snertill við \(f\) svarar til lóðrétts snertils við \(f^{-1}\).

3.7. Fólgin diffrun

Hugtakinu fólgin diffrun er e.t.v. auðveldast að lýsa með dæmi.

3.7.1. Dæmi: Fólgin diffrun

Dæmi

Jafna hrings með geisla 1 og miðju í (0,0) er \(x^2+y^2=1\). Við vitum að hægt er að skrifa efri og neðri helminga hans sem föll af \(y\), annars vegar \(y=\sqrt{1-x^2}\) og hins vegar \(y=-\sqrt{1-x^2}\). Ef við viljum finna snertil við hringinn getum við notað þessi föll. En þar sem við vitum að hægt er að skrifa \(y\) sem fall af \(x\) þá getum við einnig diffrað jöfnu hringsins beint með aðstoð keðjureglunnar,

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{d}{dx}(x^2+y^2) &=& \frac{d}{dx} 1\\ 2x + 2y\frac{dy}{dx} &= 0\\ y\frac{dy}{dx} &= -x\\ \frac{dy}{dx} &= -\frac xy. \end{aligned}\end{split}\]

3.7.2. Setning: Andhverfusetningin

Andhverfusetningin

Látum feril vera gefinn með \(F(x,y) =0\), þar sem \(F\) er diffranlegt í bæði \(x\) og \(y\). Í punktum þar sem snertill ferilsins er ekki lóðréttur (þ.e. \(\frac{d}{dy}F \neq 0\)) þá er hægt að skrifa \(y\) sem fall af \(x\) og þá fæst af keðjureglunni að

\[\frac{d}{dx} F(x,y) + \frac{d}{dy}F(x,y) \frac{dy}{dx} = 0,\]

þ.e.

\[\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{d}{dx} F(x,y)}{\frac{d}{dy} F(x,y)}.\]

Sjá https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_theorem

3.7.3. Með öðrum orðum

Það kemur í sama stað niður að einangra \(y=f(x)\), ef það er mögulegt, og finna \(y'\) með því að diffra, eins og að diffra \(F(x,y)=0\) og einangra svo \(y'=\frac{dy}{dx}\).

3.7.4. Vinnulag

Diffrum báðar hliðar jöfnunar með tilliti til \(x\), og lítum á \(y\) sem fall af \(x\) sem við diffrum með aðstoð keðjureglunnar (og gleymum ekki \(y'\))
Einangrum \(y'\)
Skiptum \(y\) út fyrir \(f(x)\).

3.7.5. Setning: Hagnýting á fólginni diffrun

Setning

Ef \(n\) og \(m\) eru heilar tölur þá er

\[\frac{d}{dx} x^{\frac nm} = \frac nm x^{\frac nm -1}.\]

3.8. Afleiður logra og vísisfalla

3.8.1. Setning: Afleiður logra og vísisfalla

Setning

Eftirfarandi gildir um afleiður logra og vísisfalla:

\(\frac{d}{dx} e^x = e^x\)
\(\frac{d}{dx} e^{g(x)}=e^{g(x)}g'(x)\)
\(\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}\)
\(\frac{d}{dx} \ln(g(x)) = \frac{1}{g(x)}g'(x)\)
\(\frac{d}{dx} b^x = b^x \ln(b)\)
\(\frac{d}{dx} b^{g(x)} = b^{g(x)}\ln(b)g'(x)\)
\(\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}\)
\(\frac{d}{dx} \log_b(g(x))=\frac{g'(x)}{g(x)\ln(b)}\)

3.8.2. Dæmi: Afleiða vísisfalls

Dæmi

Finnum fleiðu fallsins \(f(x)=3^x\).

Lausn

Samkvæmt reglu 5 hér að ofan fæst

\[\begin{split}\begin{align} f'(x) &= \frac{d}{dx} 3^x\\ &= 3^x\ln(3). \end{align}\end{split}\]

3.8.3. Dæmi: Afleiða lografalls

Dæmi

Finnum afleiðu fallsins \(g(x)=\log_2(x^3)\).

Lausn

Samkvæmt reglu 8 hér að ofan fæst

\[\begin{split}\begin{align} g'(x) &= \frac{d}{dx} \log_2(x^3)\\ &= \frac{3x^2}{x^3\ln(2)}. \end{align}\end{split}\]