2. Markgildi og samfelldni

Nauðsynleg undirstaða

Jafna línu

Jafna hrings

Hliðrun og skölun grafs

(Stranglega) minnkandi og (stranglega) vaxandi föll

Jafnstæð og oddstæð föll

Margliður; deiling, þáttun og rætur

Tölugildisfallið

Þríhyrningsójafnan

Formerkjafallið, $sgn(x)$

It is perilous to study too deeply the arts of the Enemy, for good or for ill. But such falls and betrayals, alas, have happened before.

-Lord Elrond, The Fellowship of the Ring

Aðvörun

Þessi kafli fjallar um tvö afskaplega mikilvæg og nátengd hugtök, markgildi og samfelldni. Það er nauðsynlegt fyrir nemendur að ná góðum tökum á þeim því mörg hugtök í stærðfræði og hagnýtingum á stærðfræði sem verða á vegi ykkar í framtíðinni byggja á þessum hugtökum.

2.1. Skilgreiningar á markgildi

2.1.1. Óformleg skilgreining á markgildi

Segjum að fall $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $a$, og ritum $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L$, ef við getum tryggt að $f(x)$ sé eins nálægt $L$ og við viljum bara með því að velja $x$ nógu nálægt $a$.

2.1.2. Skilgreining: Markgildi

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn $a$, nema hvað hugsanlega er $f(a)$ ekki skilgreint. Við segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $a$, og ritum $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L$, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt:

Fyrir sérhverja tölu $\epsilon>0$ er til tala $\delta>0$ sem fullnægir eftirfarandi skilyrði:

\[\text{fyrir öll $x$ sem uppfylla} \qquad 0 < |x-a| < \delta \qquad \text{gildir} \qquad |f(x)-L| <\epsilon.\]

Við segjum að talan $L$ sé markgildi en: limit
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $f(x)$ þegar $x$ stefnir á $a$.

Aðvörun

Bókin notar örlítið lauslegri skilgreiningu á markgildi. Ekki er til ein, viðtekin skilgreining og er þetta háð túlkun að einhverju leyti. Til að halda samræmi við aðra áfanga Háskóla Íslands munum við notast við þessa skilgreiningu frekar en þá sem bókin býður upp á.

Athugasemd

Þegar athugað er hvort markgildið $\lim_{x\rightarrow a} f(x)$ er til, og þá hvert gildi þess er, þá skiptir ekki máli hvort $f(a)$ er skilgreint eða ekki.

2.1.3. Dæmi: Markgildi

Dæmi

$\lim_{x \to a} c = c$, $c$ fasti

$\lim_{x \to a} x = a$

$\lim_{x \to a} |x| = |a|$

2.2. Markgildi

2.2.1. Óformleg skilgreining á markgildi frá hægri

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili $(a,b)$. Segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $a$ frá hægri, og ritum $\lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=L$, ef við getum tryggt að $f(x)$ sé eins nálægt $L$ og við viljum bara með því að velja $x>a$ nógu nálægt $a$.

2.2.2. Skilgreining: Markgildi frá hægri

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili $(a,b)$. Við segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $a$ frá hægri, og ritum $\lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=L$, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt.

Fyrir sérhverja tölu $\epsilon>0$ er til tala $\delta>0$ þannig að um öll $x$ sem eru þannig að

\[a<x<a+\delta,\quad \text{ þá er } \quad |f(x)-L| <\epsilon.\]

2.2.3. Óformleg skilgreining á markgildi frá vinstri

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili $(b,a)$. Segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $a$ frá vinstri, og ritum $\lim_{x\rightarrow a^-} f(x)=L$, ef við getum tryggt að $f(x)$ sé eins nálægt $L$ og við viljum bara með því að velja $x<a$ nógu nálægt $a$.

2.2.4. Skilgreining: Markgildi frá vinstri

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili $(b,a)$. Við segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $a$ frá vinstri, og ritum $\lim_{x\rightarrow a^-} f(x)=L$, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt.

Fyrir sérhverja tölu $\epsilon>0$ er til tala $\delta>0$ þannig að um öll $x$ sem eru þannig að

\[a-\delta<x<a,\quad \text{ þá er } \quad |f(x)-L| <\epsilon.\]

2.2.5. Skilgreining: Önnur skilgreining á markgildi

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn $a$, nema hvað hugsanlega er $f(a)$ ekki skilgreint. Þá er

\[\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L\]

ef og aðeins ef

\[\lim_{x\rightarrow a^-} f(x)=L=\lim_{x\rightarrow a^+} f(x).\]

2.2.6. Dæmi: Tölugildisfallið

Lausn

Tölugildisfallið en: absolute value, length, modulus, norm, numerical value
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $|x|$ er skilgreint sem $x$ ef $x\geq 0$ en $-x$ ef $x<0$. Um tölugildisfallið gildir

\[\lim_{x\to 0^+} \frac x{|x|} = 1\]

\[\lim_{x\to 0^-} \frac x{|x|} = -1\]

\[\lim_{x\to 0} \frac x{|x|} \quad \text{er ekki til}\]

2.3. Reiknireglur fyrir markgildi

Reiknireglur fyrir markgildi

Gerum ráð fyrir að $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$ og að $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=M$. Þá gildir

$\lim_{x\rightarrow a}\Big(f(x)+g(x)\Big)=L+M$.

$\lim_{x\rightarrow a}\Big(f(x)-g(x)\Big)=L-M$.

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x)=LM$.

$\lim_{x\rightarrow a}kf(x)=kL$, þar sem $k$ fasti.

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)/g(x)=L/M$, að því gefnu að $M\neq 0$.

Gerum ráð fyrir að $m$ og $n$ séu heiltölur þannig að $f(x)^{m/n}$ sé skilgreint fyrir öll $x$ á bili $(b,c)$ umhverfis $a$ (en ekki endilega fyrir $x=a$) og að $L^{m/n}$ sé skilgreint. Þá er $\lim_{x\rightarrow a}f(x)^{m/n}=L^{m/n}$.

Ef til er bil $(b,c)$ sem inniheldur $a$ þannig að $f(x)\leq g(x)$ fyrir öll $x\in (b,c)$, nema kannski $x=a$, þá er $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\leq M=\lim_{x\rightarrow a}g(x)$.

Aðvörun

Liður (1) í setningunni á undan segir að ef markgildin $\lim_{x\to a} f(x)$ og $\lim_{x\to a} g(x)$ eru til þá sé markgildið $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x))$ einnig til.

En hún segir ekki að ef $f$ og $g$ eru föll þannig að markgildið $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x))$ er til, að þá séu markgildin $\lim_{x\to a} f(x)$ og $\lim_{x\to a} g(x)$ einnig til.

2.4. Aðferðir til að meta markgildi

2.4.1. Skilgreining: Einangraður sérstöðupunktur

Skilgreining

Punktur $x=a$ kallast einangraður sérstöðupunktur, eða einfaldlega sérstöðupunktur fallsins $f$ ef til er tala :math`delta>0` þannig að $f$ er ekki skilgreint í punktinum $a$ en $f$ er skilgreint á $]a-\delta,a+\delta[ \setminus \{a\}$.

Lauslega þýðir þetta að $f$ er ekki skilgreint í punktinum $a$ en $f$ er skilgreint fyrir aðra punkta í kring um $a$.

2.4.2. Dæmi: Sérstöðupunktur

Dæmi

Finnum alla sérstöðupunkta fallsins

\[f(x)=\frac{1}{x}.\]

Lausn

Fallið $f(x)=\frac{1}{x}$ er vel skilgreint fyrir allar rauntölur nema $x=0$. Fyrir vikið getum við valið til dæmis $\delta=1$ og séð að $f$ er skilgreint á $]0-\delta,0+\delta[ \setminus \{0\}$ en ekki í $x=0$ og því er $x=0$ eini sérstöðupunktur $f$.

2.4.3. Skilgreining: Afmáanlegur sérstöðupunktur

Skilgreining

Sérstöðupunktur kallast afmáanlegur sérstöðupunktur ef hann uppfyllir að til er tala $L$ þannig að

\[\lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = L = \lim_{x \rightarrow a^+} f(x).\]

2.4.4. Dæmi: Afmáanlegur sérstöðupunktur

Dæmi

Reiknum markgildið

\[\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x-1}.\]

Lausn

Ef við skoðum fallið $h(x)=\frac{x-1}{x-1}$ er ljóst að hægt er að stytta $x-1$ í teljara út fyrir $x-1$ í nefnara. Því er $1$ afmáanlegur sérstöðupunktu. Munum þó, að þetta fall hefur skilgreiningarmengið $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ og það að stytta fallið breytir því ekki. Því gildir, að jafnvel þó fallið sé styttanlegt í $h(x)=1$ að $1$ er enn ekki hluti af skilgreiningarmenginu og því fallið óskilgreint í punktinum. En þar sem við gátum stytt nefnarann í burtu þá gildir að

\[\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x-1} = 1.\]

Athugasemd

Almennt gildir, ef hægt er að stytta ræða fallið $\frac{P(x)}{Q(x)}$ í fastann $c$, að

\[\lim_{x \rightarrow a} \frac{P(x)}{Q(x)} = c\]

fyrir öll $a \in \mathbb{R}$, jafnvel þó $a$ sé ekki í skilgreiningarmengi fallsins. Ef hægt er að stytta einhverjar en ekki allar núllstöðvar nefnara fallsins í burtu þá er markgildið einfaldlega gildi nýja, stytta fallsins í punktinum, þ.e. ef ræða fallið $f(x)$ hefur afmáanlega sérstöðupunktinn $a$ svo unnt er að stytta það í ræða fallið $\frac{P(x)}{Q(x)}$ þá gildir að

\[\lim_{x \rightarrow a} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(a)}{Q(a)}.\]

2.4.5. Klemmureglan

Ef við reynum að ákvarða markgildi fallsins $g(x)$ þá getur hjálpað ef okkur tekst að klemma fallið milli tveggja annarra falla.

2.4.6. Setning: Klemmureglan

klemmureglan

Gerum ráð fyrir að $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ fyrir öll $x$ á bili $(b, c)$ sem inniheldur $a$, nema kannski $x=a$. Gerum enn fremur ráð fyrir að

\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)=L.\]

Þá er $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=L$.

2.4.7. Dæmi: Klemmureglan

Dæmi

Reiknum markgildið

\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x}.\]

Lausn

Athugum að bæði teljarinn og nefnarinn taka gildið 0 þegar við stingum inn $x=0$ og $\frac{0}{0}$ er ekki skilgreint. Nú er vitað að fyrir öll $x \in \mathbb{R}$ gildir að

\[\sin(x) \leq x \leq \tan(x).\]

Auðvelt er að sannfæra sig um með þetta með einfaldri mynd af einingahringnum.

Við getum nú deilt í gegnum ójöfnuna með $\sin(x)$ til að fá

\[1 \leq \frac{x}{\sin(x)} \leq \frac{1}{\cos(x)}\]

þar sem við nýttum okkur að $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Næst snúum við ójöfnunni við, með því að velta öllum brotunum, til að fá að

\[\cos(x) \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq 1.\]

Notum nú klemmuregluna til að ákvarða gildi $\frac{\sin(x)}{x}$ þar sem það er klemmt á milli $1$ og $\frac{1}{\cos(x)}$, því við sjáum að

\[\lim_{x \rightarrow 0} 1 = 1\]

og

\[\lim_{x \rightarrow 0} \cos(x) = \cos(0) = 1.\]

Þá segir klemmureglan að

\[1 \leq \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} \leq 1.\]

Aðeins ein tala uppfyllir að vera bæði stærri eða jöfn 1 og minni eða jöfn 1, og það er talan 1. Því fæst að

\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1.\]

2.4.8. Margföldun með samoka

Í sumum tilfellum getur margföldun með samoka haft þau áhrif að núllstöð nefnarans verður að afmáanlegum sérstöðupunkti í nýja, lengda brotinu.

2.4.9. Skilgreining: Samoki

Skilgreining

Samoki er myndaður þegar formerki er víxlað milli liðanna í tvíliðu. Þannig er samoki tvíliðunnar $x+y$ til að mynda $x-y$ og samoki tvíliðunnar $\sqrt{x}-1$ er $\sqrt{x}+1$.

2.4.10. Dæmi: Samoki

Dæmi

Reiknum markgildið

\[\lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}.\]

Lausn

Lengjum brotið með samoka teljarans.

\[=\lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1} \cdot \frac{\sqrt{x+2}+1}{\sqrt{x+2}+1} = \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x+1}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)}.\]

Við getum nú stytt brotið, þar sem $x+1$ er sameiginlegur þáttur í bæði teljara og nefnara. Fáum því

\[=\lim_{x \rightarrow -1} \frac{1}{\sqrt{x+2}+1}.\]

Tökum eftir því að $-1$ er ekki lengur núllstöð nefnarans. Við getum því sett $-1$ beint inn í fallið til að ákvarða markgildið.

\[=\lim_{x \rightarrow -1} \frac{1}{\sqrt{x+2}+1} = \frac{1}{\sqrt{-1+2}+1} = \frac{1}{2}.\]

2.4.11. Einfalda flókið brot

Stundum getur hjálpað að taka brot, sem er óþarflega flókið, og reyna að einfalda það.

2.4.12. Dæmi: Einfalda flókið brot

Dæmi

Reiknum markgildið

\[\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}}{x-1}\]

Lausn

Ef við stingum 1 inn fyrir $x$ fæst $\frac{0}{0}$, sem er óskilgreint. Við skulum einfalda brotið með því að lengja það með minnsta samnefnara brota teljarans.

\[=\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}}{x-1} \cdot \frac{2(x+1)}{2(x+1)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{-(x-1)}{2(x-1)(x+1)}.\]

Tökum eftir því að $x-1$ er sameiginlegur þáttur í teljara og nefnara og við getum því stytt brotið.

\[= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{-1}{2(x+1)}.\]

Þar sem $1$ er ekki lengur núllstöð nefnarans, þá getum við metið markgildið beint með því að stinga inn $x=1$.

\[= \frac{-1}{2(1+1)} = - \frac{1}{4}.\]

2.5. Markgildi í óendanleikanum

2.5.1. Óformleg skilgreining á markgildnu $\infty$

Ef fallið stefnir ekki á eina ákveðna tölu, heldur stefnir fallgildið á að verða annað hvort óendanlega stórt eða óendanlega lítið (úr báðum áttum), segjum við að markgildið sé $\pm \infty$, þar sem $+$ er notað ef fallið stefnir á að vera óendanlega stórt en $-$ ef það stefnir á að vera óendanlega lítið.

2.5.2. Skilgreining: Markgildið $\infty$

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn $a$, nema hvað hugsanlega er $f(a)$ ekki skilgreint. Við segjum að $f(x)$ stefni á $\infty$ þegar $x$ stefnir á $a$, og ritum $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=\infty$, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt.

Fyrir sérhverja tölu $B$ er til tala $\delta>0$ þannig að um öll $x$ sem eru þannig að

\[0 < |x-a| <\delta \quad \text{ gildir að } \quad f(x) > B.\]

athugasemd

Athugum sérstaklega að það sama verður að gilda fyrir báðar áttir. Ekki dugar að markgildið stefni á $-\infty$ úr annarri áttinni en $+\infty$ úr hinni.

Athugasemd

Stundum er $+$-tákninu sleppt fyrir $+\infty$ og aðeins er skrifað $\infty$. Þetta er í samræmi við tölur almennt, þar sem jákvæðar tölur eru formerkislausar en neikvæðar tölur ávallt táknaðar með $-$ fyrir framan. Munum þó jafnframt að $\infty$ er ekki tala og hegðar sér ekki eins og slík. Almennar reiknireglur gilda ekki þegar rætt er um óendanleikann.

Athugasemd

Sumir vilja gera greinarmun á þegar markgildið er einhver tala og þegar markgildið er $\pm \infty$. Þá er fyrra tilfellið ýmist kallað endanlegt markgildi eða eiginlegt markgildi en það seinna ýmist óendanlegt markgildi eða óeiginlegt markgildi.

Mörg föll stefna á $\pm \infty$ í einhverjum punkti eða punktum. Það er t.a.m. algeng hegðun hjá ræðum föllum sem hafa núllstöð í nefnara sem ekki er hægt að stytta út (þ.e. það er ekki afmáanlegur sérstöðupunktur).

2.5.3. Dæmi: Markgildið $\infty$

Dæmi

Lítum á fallið $h(x)=\frac{1}{(x-2)^2}$ og veltum því fyrir okkur hvað gerist þegar við látum $x \rightarrow 2$.

Lausn

Ef við skoðum hegðun fallsins í kringum punktinn $2$ getum við séð að því meir sem við nálgumst punktinn, úr báðum áttum, þeim mun stærra verður $y$-gildið.

Því er ljóst að

\[\lim_{x \rightarrow 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty.\]

2.5.4. Dæmi: Markgildið $\infty$

Dæmi

Lítum á fallið $h(x)=\frac{1}{x}$ og veltum því fyrir okkur hvað gerist þegar við látum $x \rightarrow 0$.

Lausn

Ef við skoðum hegðun fallsins í kringum punktinn $0$ getum við séð að ef við nálgumst punktinn frá hægri þá stefnir $y$-gildið á $\infty$ en ef við nálgumst puntkinn frá vinstri þá stefnir $y$-gildið á $-\infty$, þ.e.

\[\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\]

og

\[\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x} = \infty\]

Þar sem $\lim_{x \rightarrow 0^-} h(x) \neq \lim_{x \rightarrow 0^+} h(x)$ er ljóst að markgildið er ekki til.

2.6. Markgildi þegar x stefnir á óendanlegt

2.6.1. Óformleg skilgreining á markgildnu þegar $x \to \infty$

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á bili $(a, \infty)$. Segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $\infty$, og ritum $\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=L$, ef við getum tryggt að $f(x)$ sé eins nálægt $L$ og við viljum bara með því að velja $x$ nógu stórt.

2.6.2. Skilgreining: Markgildi þegar $x \to \infty$

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á bili $(a,\infty)$. Við segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $\infty$, og ritum $\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=L$, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt:

Fyrir sérhverja tölu $\epsilon>0$ er til tala $R$ þannig að um öll $x>R$ gildir að

\[|f(x)-L|<\epsilon.\]

2.6.3. Óformleg skilgreining á markgildnu þegar $x \to -\infty$

Fyrir $-\infty$ er þetta gert með sama sniði.

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á bili $(-\infty, a)$. Segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $-\infty$, og ritum $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=L$, ef við getum tryggt að $f(x)$ sé eins nálægt $L$ og við viljum bara með því að velja $x$ sem nógu stóra neikvæða tölu.

2.6.4. Skilgreining: Markgildi þegar $x \to -\infty$

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að fall $f$ sé skilgreint á bili $(-\infty,a)$. Við segjum að $f(x)$ stefni á tölu $L$ þegar $x$ stefnir á $-\infty$, og ritum $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=L$, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt:

Fyrir sérhverja tölu $\epsilon>0$ er til tala $R$ þannig að um öll $x<R$ gildir að

\[|f(x)-L|<\epsilon.\]

2.6.5. Dæmi: Markgildi þegar $x \to -\infty$

Dæmi

Lítum á veldisvísisfallið, þ.e. $f(x)=e^x$. Reiknum markgildið

\[\lim_{x \rightarrow -\infty} e^x.\]

Lausn

Samkvæmt því sem sagt var um vísisföll þá gildir að

\[\lim_{x \rightarrow -\infty} e^x = 0.\]

Auðvelt er að sannfæra sig um þetta þegar litið er á graf veldisvísisfallsins. Athugum að því minna sem $x$ verður, því minna verður $f(x)$ án þess þó nokkurn tímann að snerta $x$-ásinn.

2.7. Samfelldni

Hér skilgreinum við og skoðum seinna grundvallarhugtakið í þessum kafla, sem er samfelldni en: continuity
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. .

2.7.1. Skilgreining: Innri punktur

Skilgreining

Látum $A\subseteq {{\mathbb R}}$ og $x\in A$. Við segjum að $x$ sé innri punktur en: inner point, interior point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $A$ ef $A$ inniheldur opið bil umhverfis $x$, það er að segja til er tala $\delta>0$ þannig að $(x-\delta, x+\delta)\subseteq A$.

Ef $x$ er ekki innri punktur $A$ og $x\in A$ þá segjum við að $x$ sé jaðarpunktur en: boundary point, frontier point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. $A$.

2.7.2. Dæmi: Innri punktur

Dæmi

Fyrir bilið $A$ er punkturinn $C$ innri punktur en punkturinn $B$ jaðarpunktur.

2.7.3. Skilgreining: Samfelldni í punkti

Skilgreining

Látum $f$ vera fall og $c$ innri punkt skilgreiningarmengis $f$. Sagt er að $f$ sé samfellt í punktinum $c$ ef

\[\lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c).\]

2.7.4. Setning

Setning

Látum $f$ og $g$ vera föll. Gerum ráð fyrir að $c$ sé innri punktur skilgreiningarmengis beggja fallanna og að bæði föllin séu samfelld í punktinum $c$. Þá eru eftirfarandi föll samfelld í $c$:

$f+g$
$f-g$
$fg$
$kf$, þar sem $k$ er fasti
$f/g$, ef $g(c)\neq 0$
$\Big(f(x)\Big)^{1/n}$, að því gefnu að $f(c)>0$ ef $n$ er slétt tala og $f(c)\neq 0$ ef $n<0$.

Þessi setning er bein afleiðing af reiknireglum fyrir markgildi.

2.7.5. Setning: Samskeyting samfelldra falla

Setning

Látum $g$ vera fall sem er skilgreint á opnu bili umhverfis $c$ og samfellt í $c$ og látum $f$ vera fall sem er skilgreint á opnu bili umhverfis $g(c)$ og samfellt í $g(c)$. Þá er fallið $f\circ g$ skilgreint á opnu bili umhverfis $c$ og er samfellt í $c$.

Athugasemd

Ef fall er skilgreint með formúlu og skilgreingamengið er ekki tilgreint sérstaklega, þá er venjan að líta alla þá punkta þar sem formúlan gildir sem skilgreingarmengi fallsins

2.7.6. Skilgreining: Samfellt fall

Skilgreining

Við segjum að fall $f$ sé samfellt en: continuous function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu. ef það er samfellt í sérhverjum punkti skilgreingarmengisins.

Athugasemd

Athugið að til að fall sé samfellt er einungis gerð krafa um að það sé samfellt í öllum punktum skilgreiningarmengi síns. Samkvæmt þessari skilgreiningu er fallið $f(x)=\frac{1}{x}$ með skilgreiningarmengið $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ samfellt jafnvel þó það taki stökk í kringum $x=0$ einfaldlega af þeirri ástæðu að 0 er ekki í skilgreiningarmengi fallsins.

Aðvörun

Bókin tekur aðeins annan pól í hæðina varðandi samfelldni ræðra falla (sbr. Ex. 2.29). Það er bein afleiðing af skilgreiningu þeirra á markgildi, sem er örlítði frábrugðin þeirri skilgreiningu sem við notum. Þetta er að vissu leyti túlkunaratriði.

2.7.7. Dæmi: Samfellt fall

Dæmi

Eftirfarandi föll eru samfelld

margliður
ræð föll
ræð veldi
hornaföll; $\sin$, $\cos$, $\tan$
tölugildisfallið $|x|$

2.7.8. Að búa til samfelld föll

Með því að nota föllin úr dæminu á undan sem efnivið þá getum við búið til fjölda samfelldra fall með því að beita aðgerðunum úr Setningu 2.6.4 og Setningu 2.6.3.

Fallið $\cos(3x+5)$ er samfellt. Margliðan $g(x) =3x+5$ og $f(x) = \cos(x)$ eru samfelld föll og þá er samskeytingin $f\circ g(x) = \cos(3x+5)$ einnig samfellt fall.

Rifjum upp skilgreininguna á samfelldni.

Skilgreining

Látum $f$ vera fall og $c$ innri punkt skilgreiningarmengis $f$. Sagt er að $f$ sé samfellt í punktinum $c$ ef

\[\lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c).\]

Athugasemd

Þessi skilgreining virkar aðeins fyrir innri punkta skilgreiningarmengisins. Þannig að ef ætlunin er að rannsaka samfelldni í jaðarpunktum þá gengur þessi skilgreining ekki. Hins vegar getum við útvíkkað skilgreininguna á samfelldni fyrir hægri og vinstri endapunkta bila með því að einskorða okkur við markgildi frá vinstri og hægri.

2.7.9. Skilgreining: Hægri/vinstri samfelldni

Skilgreining

Fall $f$ er samfellt frá hægri í punkti $c$ ef $\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=f(c)$.

Hér er gert ráð fyrir að fallið $f$ sé amk. skilgreint á bili $[c, a[$.
Fall $f$ er samfellt frá vinstri í punkti $c$ ef $\lim_{x\rightarrow c^-}f(x)=f(c)$.

Hér er gert ráð fyrir að fallið $f$ sé amk. skilgreint á bili $]a, c]$.

Uppfærum nú skilgreininguna á samfelldu falli.

2.7.10. Skilgreining: Uppfærð skilgreining á samfelldu falli

Skilgreining

Gerum ráð fyrir að $f$ sé fall sem er skilgreint á mengi $A$, þar sem $A$ er sammengi endanlega margra bila. Við segjum að fallið $f$ sé samfellt ef það er samfellt í öllum innri punktum skilgreingarmengisins og ef það er samfellt frá hægri/vinstri í jaðarpunktum skilgreingarmengisins, eftir því sem við á.

Athugasemd

Ef fall er samfellt á opnu bili $]a,b[$, og ef $a<c<d<b$, þá er fallið einnig samfellt á bilinu $[c,d]$.

2.8. Eiginleikar samfelldra falla

2.8.1. Setninging: Há- og lággildislögmálið

Há- og lággildislögmálið

Látum $f$ vera samfellt fall skilgreint á lokuðu takmörkuðu bili $[a,b]$. Þá eru til tölur $x_1$ og $x_2$ í $[a,b]$ þannig að fyrir allar tölur $x$ í $[a,b]$ er

\[f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2).\]

Þetta þýðir að samfellt fall $f$ á lokuðu og takmörkuðu bili $[a,b]$ tekur bæði hæsta og lægsta gildi á bilinu. Hæsta gildið er þá $f(x_2)$ og lægsta gildið er $f(x_1)$.

Athugasemd

Það er mögulegt að fallið taki há/lággildi sitt í fleiri en einum punkti.

2.8.2. Setning: Milligildissetningin

Milligildissetningin

Látum $f$ vera samfellt fall skilgreint á lokuðu takmörkuðu bili $[a,b]$. Gerum ráð fyrir að $s$ sé tala sem liggur á milli $f(a)$ og $f(b)$. Þá er til tala $c$ sem liggur á milli $a$ og $b$ þannig að $f(c)=s$.

Athugasemd

Það er möguleiki að það séu fleiri en einn punktur á bilinu þar sem fallið tekur gildið $s$.

2.8.3. Fylgisetning

Fylgisetning

Ef $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ er margliða af oddatölu stigi $n$, þá er til rauntala $c$ þannig að $P(c)=0$.

2. Markgildi og samfelldni

2.1. Skilgreiningar á markgildi

2.1.1. Óformleg skilgreining á markgildi

2.1.2. Skilgreining: Markgildi

2.1.3. Dæmi: Markgildi

2.2. Markgildi

2.2.1. Óformleg skilgreining á markgildi frá hægri

2.2.2. Skilgreining: Markgildi frá hægri

2.2.3. Óformleg skilgreining á markgildi frá vinstri

2.2.4. Skilgreining: Markgildi frá vinstri

2.2.5. Skilgreining: Önnur skilgreining á markgildi

2.2.6. Dæmi: Tölugildisfallið

2.3. Reiknireglur fyrir markgildi

2.4. Aðferðir til að meta markgildi

2.4.1. Skilgreining: Einangraður sérstöðupunktur

2.4.2. Dæmi: Sérstöðupunktur

2.4.3. Skilgreining: Afmáanlegur sérstöðupunktur

2.4.4. Dæmi: Afmáanlegur sérstöðupunktur

2.4.5. Klemmureglan

2.4.6. Setning: Klemmureglan

2.4.7. Dæmi: Klemmureglan

2.4.8. Margföldun með samoka

2.4.9. Skilgreining: Samoki

2.4.10. Dæmi: Samoki

2.4.11. Einfalda flókið brot

2.4.12. Dæmi: Einfalda flókið brot

2.5. Markgildi í óendanleikanum

2.5.1. Óformleg skilgreining á markgildnu \(\infty\)

2.5.2. Skilgreining: Markgildið \(\infty\)

2.5.3. Dæmi: Markgildið \(\infty\)

2.5.4. Dæmi: Markgildið \(\infty\)

2.6. Markgildi þegar x stefnir á óendanlegt

2.6.1. Óformleg skilgreining á markgildnu þegar \(x \to \infty\)

2.6.2. Skilgreining: Markgildi þegar \(x \to \infty\)

2.6.3. Óformleg skilgreining á markgildnu þegar \(x \to -\infty\)

2.6.4. Skilgreining: Markgildi þegar \(x \to -\infty\)

2.6.5. Dæmi: Markgildi þegar \(x \to -\infty\)

2.7. Samfelldni

2.7.1. Skilgreining: Innri punktur

2.7.2. Dæmi: Innri punktur

2.7.3. Skilgreining: Samfelldni í punkti

2.7.4. Setning

2.7.5. Setning: Samskeyting samfelldra falla

2.7.6. Skilgreining: Samfellt fall

2.7.7. Dæmi: Samfellt fall

2.7.8. Að búa til samfelld föll

2.7.9. Skilgreining: Hægri/vinstri samfelldni

2.7.10. Skilgreining: Uppfærð skilgreining á samfelldu falli

2.8. Eiginleikar samfelldra falla

2.8.1. Setninging: Há- og lággildislögmálið

2.8.2. Setning: Milligildissetningin

2.8.3. Fylgisetning