Viðauki

The story so far: In the beginning the Universe was created. This has made a lot of people very angry and been widely regarded as a bad move.

– Douglas Adams, The Restaurant at the End of the Universe

Viðfangsefni

Viðfangsefnið er stærðfræðigreining í einni breytistærð, þ.e. markgildi, samfelldni, diffrun, heildun, diffurjöfnur, runur og raðir, ásamt hagnýtingum á þessum hlutum.

Samanburður á köflum í nótunum og Adams Calculus

Þessar fyrirlestrarnótur hafa verið kenndar samhliða bókinni Calculus: A Complete Course eftir Robert Adams og Christopher Essex. Taflan hér að neðan sýnir grófan samanburð á köflunum í nótunum og tilsvarandi köflum í bókinni.

Reality is frequently inaccurate.

– Douglas Adams, The Restaurant at the End of the Universe

Efni

Nótur

Adams Calculus

1. Tölur og föll

2. Markgildi og samfelldni

3. Markgildi og samfelldni

3.Markgildi og samfelldni

3. Afleiður

3. Afleiður

3. Afleiður

3. Afleiður

4. Torræð föll

4. Torræð föll

5. Könnun falla

5. Könnun falla

5. Könnun falla

6.Heildun

6. Heildun

6. Heildun

6. Heildun

7. Rúmmál, massi og massamiðjur

7. Rúmmál, massi og massamiðjur

8. Diffurjöfnur

8. Diffurjöfnur

9. Runur og raðir

9. Runur og raðir

10. Veldaraðir

10. Veldaraðir

10. Veldaraðir

1.1-1.4

2.1-2.3

2.4-2.6

2.7-2.8

3.1-3.3

3.4-3.6

3.7-3.10

3.11-3.13

4.1-4.4

4.5-4.7

5.1-5.3

5.4-5.6

5.7-5.8

6.1-6.3

6.4-6.5

6.6

6.7

7.1

7.2-7.3

8.1-8.2

8.3-8.5

9.1-9.2

9.3-9.4

10.1

10.2

10.3

P.1, P.2, P.4,P.5, P.6, P.7

1.2, 1.5

1.3

1.4

2.1, 2.2, 2.3

2.4, 2.5, 2.6

2.8, 2.9, 3.1

2.7, 4.3, 4.9, 4.10

3.2, 3.3, 3.4

3.5, 3.6

4.5

4.4, 4.6

4.6, 4.8

5.1, 5.2, 5.3, 5.4

5.5, 2.10

5.6, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4

6.5

7.1, 7.2, 7.3

7.4, 7.5

7.9, 18.1, 18.2

3.7, 18.4, 18.5

9.1, 9.2

9.2, 9.3

9.3, 9.5

9.5

9.6

Kaflanúmer í Adam’s Calculus miðast við 10. útgáfu kennslubókarinnar.

Frágangur skiladæma

A learning experience is one of those things that says, ‚You know that thing you just did? Don’t do that.‘

-Douglas Adams, The Salmon of Doubt

  • Það er eðlilegt að gera uppkast meðan þið vinnið að dæmunum en svo þarf að hreinrita lausnirnar.

  • Skrifið upp fyrirmælin og lausnina snyrtilega. Ef þið skrifið á pappír er gott að skrifa fyrirmælin með penna og lausnina með blýanti. Ef þið skrifið á stafrænt spjald er gott að skrifa fyrirmælin með öðrum lit. ef þið notið LaTeX er gott að nota annað eða stærra letur fyrir fyrirmælin.

  • Nýtið ykkur smáforrit á borð við Adobe Scan til að skanna inn lausnir sem skrifaðar eru á pappír.

  • PDF skjalið sem þið skilið þarf að vera læsilegt fyrir kennarana sem sjá um yfirferð.

  • Vísið í setningar (reglur) sem þið notið.

  • Notið ekki rökfræðitákn eins og \(\Leftarrow\), \(\Rightarrow\), \(\Leftrightarrow\), \(\wedge\), \(\vee\) heldur skrifið með orðum (t.d. þá fæst / af því leiðir / sem gefur…)

  • Gætið þess að textinn sé samfelldur og læsilegur (lesið hann sjálf yfir).

  • Setjið svar/niðurstöðu skilmerkilega fram.

  • Gangið rækilega úr skugga um að búið sé að svara því sem spurt var um og sýna það sem átti að sýna.

“Forty-two!” yelled Loonquawl. “Is that all you’ve got to show for seven and a half million years’ work?”

“I checked it very thoroughly,” said the computer, “and that quite definitely is the answer. I think the problem, to be quite honest with you, is that you’ve never actually known what the question is.”

-Douglas Adams, The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy

Ítarefni

I refuse to answer that question on the grounds that I don’t know the answer.

– Douglas Adams

Fyrir nánari útskýringar á hugtökum sem við fjöllum um þá er hægt að skoða, auk kennslubókarinnar,

Forrit

Að læra stærðfræði

Eftir Rögnvald G. Möller

Að lesa

Í fyrirlestrum gefst aðeins tími til að fara yfir helstu atriði námsefnisins og verðið þið að að kynna ykkur stóran hluta þess upp á eigin spýtur. Sumir nemendur hafa farið í gegnum framhaldsskóla með því að læra utan að reikniaðferðir og vart reynt að skilja námsefnið. Hættan við þessa námsaðferð er að allt fari í einn graut, og nemendur geti ekki yfirfært þekkingu sína á önnur svipuð verkefni. Því held ég að léttasta leiðin í gegnum stærðfræðinámskeiðin í námi ykkar sé að skilja efnið. Skilningur á efninu fæst með því að rýna í skilgreiningar og reglur, skoða sannanir og tengja við dæmi. Þið verðið að lesa kennslubókina og kynna ykkur efni fyrirlestra. Stór hluti þess sem þið munuð fást við í háskólanámi ykkar er aðeins skiljanlegur þegar notað er tungumál stærðfræðinnar. Ef þið leggið það á ykkur að verða læs á tungumál stærðfræðinnar þá munið þið njóta þess í öllu ykkar námi.

Að reikna

Dæmaskammtarnir eru stórir. Mörg dæmanna eru hugsuð sem léttar reikniæfingar. Önnur dæmi eru til að æfa meðferð hugtaka og að hjálpa ykkur að skilja skilgreiningarnar. Það er ekki nóg að læra niðurstöður, reglur og reikniaðferðir: til að geta beitt þeim af öryggi þarf að hafa góðan skilning á grundvallarhugtökunum.

Til að hafa fullt gagn af dæmatímunum þurfið þið að reyna við dæmin áður en þið mætið í dæmatímann. Ég hvet ykkur eindregið til að vinna saman í náminu. Þannig getið þið fengið hjálp þegar þið eruð strand og einnig skerpir fátt skilning okkar jafnmikið og að útskýra fyrir öðrum. Námið verður skemmtilegra og þannig léttara.

Einbeiting

Meiri árangur næst í náminu ef þið eruð einbeitt. Það er hægt að blekkja sjálfan sig til að halda sig hafa verið að læra allan daginn þegar í raun var deginum eytt í spjall við félagana, netvafr, samfélagsmiðla, tölvuleiki, sjónvarpsþætti, og svo framvegis.

Frágangur skiladæma

Leggið áherslu á vandaða og agaða framsetningu á lausnum skiladæmanna. Það að setja lausnina skýrt og skipulega fram er nauðsynlegt til að maður sjálfur skilji lausnina til hlítar.

Líkt og venjulegt tal- og ritmál þá hefur mál stærðfræðinnar sína málfræði, t.d. krefst táknið „\(=\)“ þess að sitthvoru megin við það standi stærðir eða stærðtákn, og ef fullyrðing sem er sett fram er rétt þá eru þessar stærðir jafnar. Sitthvoru megin við táknið „\(\Rightarrow\)“ verða að standa fullyrðingar, og þegar það er notað rétt þá er fullyrðingin hægra megin afleiðing fullyrðingarinnar vinstra megin, þ.e.a.s. alltaf þegar fullyrðing vinstra megin er sönn þá er fullyrðingin hægra megin líka sönn.

Táknin „\(\Rightarrow\)“, „\(\Leftrightarrow\)“ eru hentug þegar útreikningar eru sýndir á töflu, en mín ráðlegging er að nota þau sem minnst. Þau eru ekki notuð í kennslubókinni, ekki heldur í lausnaheftinu, og atvinnustærðfræðingar nota þessi tákn ekki í sínum skrifum. Í löngum útreikngum er oft hægt að nota „\(=\)“ í stað leiðingarörva. Engin ástæða er heldur til að nota táknin „\(\vee\)“ og „\(\wedge\)“ því orðin „eða“ og „og“ eru mun skýrari; það eina sem táknin hafa fram yfir orðin er tilgerðin.

Gott er að hafa eftirfarandi reglur í huga þegar gengið er frá lausnum verkefna:

  1. Textinn á að vera ein samfelld heild sem fullnægir sömu kröfum og gerðar eru til annars ritaðs máls. Stærðfræðiformúla eða stærðtákn á aldrei að koma fyrir eitt sér, heldur alltaf að vera fellt inn í samfellt mál.

  2. Uppsetningin á að vera aðlaðandi og frágangur snyrtilegur.

  3. Allar fullyrðingar skulu studdar ljósum rökum.

  4. Svara þarf því sem spurt er um! Það þarf að koma skýrt fram hvert svarið er.