9. Runur og raðir
Athugasemd
Nauðsynleg undirstaða
Markgildi. Sjá einnig undirstöðuatriði um markgildi.
Would it save you a lot of time if I just gave up and went mad now?
- Douglas Adams, The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy
9.1. Runur
9.1.1. Skilgreining: Runa
Skilgreining
Runa er raðaður listi af tölum.
Runa hefur fyrsta stak en ekkert síðasta stak. Stökin í runu eru oft númeruð með náttúrlegu tölunum \(1, 2, 3, \ldots\). Stökin eru þá
Runur eru táknaðar með \(\{a_n\}_{n\in {{{\mathbb N}}}}\), \(\{a_n\}_{n=1}^\infty\) eða bara \(\{a_n\}\).
Oft er runa gefin með formúlu, \(a_n = f(n)\). Til dæmis \(a_n = 3n + n^2\).
9.1.2. Skilgreining
Skilgreining
Runa \(\{a_n\}\) er sögð takmörkuð að neðan ef til er tala \(m\) þannig að
fyrir allar náttúrlegar tölur \(n\).
Runan er sögð takmörkuð að ofan ef til er tala \(M\) þannig að
fyrir allar náttúrlegar tölur \(n\).
Runa sem er bæði takmörkuð að ofan og neðan er sögð takmörkuð.
9.1.3. Skilgreining
Skilgreining
Runa \(\{a_n\}\) er sögð
vaxandi ef \(a_n\leq a_{n+1}\) fyrir öll \(n\),
stranglega vaxandi ef \(a_n< a_{n+1}\) fyrir öll \(n\),
minnkandi ef \(a_n\geq a_{n+1}\) fyrir öll \(n\),
stranglega minnkandi ef \(a_n> a_{n+1}\) fyrir öll \(n\).
Runa kallast einhalla ef hún er annaðhvort vaxandi eða minnkandi.
9.1.4. Skilgreining: Víxlmerkjaruna
Skilgreining
Víxlmerkjaruna er runa þannig að formerki skiptast á, annaðhvort \(+, -, +, -, \ldots\) eða \(-, +, -, +, \ldots\).
Einnig má lýsa þessu þannig að runa \(\{a_n\}\) sé víxlmerkjaruna ef \(a_na_{n+1}<0\) fyrir öll \(n\).
9.1.5. Skilgreining
Skilgreining
Segjum að \(\{a_n\}\) sé samleitin að tölu \(L\) (eða stefni á \(L\)) ef fyrir sérhverja tölu \(\epsilon>0\) má finna náttúrlega tölu \(N\) þannig að ef \(n\geq N\) þá er
Ritað \(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L\) og talan \(L\) kallast markgildi rununnar.
Sagt er að runa sé samleitin ef \(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\) er skilgreint, en annars er runan sögð ósamleitin.
9.1.6. Setning
Setning
Látum \(f\) vera fall skilgreint á \({{\mathbb R}}\) og látum \(\{a_n\}\) vera runu þannig að \(a_n=f(n)\) fyrir öll \(n\). Ef \(\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=L\) þá er \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L\).
Aðvörun
Þetta gildir ekki í hina áttina, runan getur verið samleitin án þess að fallið sé það.
9.1.7. Setning
Setning
Látum \(\{a_n\}\) vera runu. Eftirfarandi tvö skilyrði eru jafngild:
\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L\),
fyrir sérhvert \(\epsilon>0\) eru aðeins endanlega margir liðir rununnar \(\{a_n\}\) utan við bilið \((L-\epsilon, L+\epsilon)\).
9.1.8. Fylgisetning
Setning
Samleitin runa er takmörkuð.
9.1.9. Setning
Setning
Gerum ráð fyrir að runurnar \(\{a_n\}\) og \(\{b_n\}\) séu samleitnar. Þá gildir:
\(\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\pm b_n)= \lim_{n\rightarrow\infty}a_n\pm\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\),
\(\lim_{n\rightarrow\infty}ca_n= c\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\), þar sem \(c\) er fasti,
\(\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n)= (\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)(\lim_{n\rightarrow\infty}b_n)\),
ef \(\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\neq 0\) þá er \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}= \frac{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}\),
ef \(a_n\leq b_n\) fyrir öll \(n\) sem eru nógu stór, þá er
\[\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\leq\lim_{n\rightarrow\infty}b_n,\](frasinn fyrir öll \(n\) sem eru nógu stór þýðir að til er einhver tala \(N\) þannig að skilyrðið gildir fyrir öll \(n\geq N\)),
(Klemmuregla) ef \(a_n\leq c_n\leq b_n\) fyrir öll \(n\) sem eru nógu stór og \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\) þá er runan \(\{c_n\}\) samleitin og
\[\lim_{n\rightarrow\infty}c_n=L.\]
9.1.10. Setning
Setning
Takmörkuð einhalla (vaxandi eða minnkandi) runa er samleitin.
9.2. Raðir
9.2.1. Skilgreining: Röð
Skilgreining
Látum \(a_1, a_2, \ldots\) vera gefna runu.
Röðin
en: series, infinite series, order
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er skilgreind sem formleg summa liðanna \(a_1, a_2, a_3, \ldots\).
9.2.2. Skilgreining
Skilgreining
Fáum í hendurnar röð \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) þar sem \(a_1, a_2, \ldots\) eru tölur. Skilgreinum
sem summa fyrstu \(n\) liða raðarinnar. Segjum að röðin
\(\sum_{n=1}^\infty a_n\) sé
samleitin með summu
en: convergent series
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Það er að segja, röðin er samleitin með summu \(s\) ef
Ritum þá
9.2.3. Setning
Setning
Ef \(A=\sum_{n=1}^\infty a_n\) og \(B=\sum_{n=1}^\infty b_n\), þ.e. báðar raðirnar eru samleitnar, þá gildir að
ef \(c\) er fasti þá er \(\sum_{n=1}^\infty ca_n=cA\),
\(\sum_{n=1}^\infty (a_n\pm b_n)=A\pm B\),
ef \(a_n\leq b_n\) fyrir öll \(n\) þá er \(A\leq B\).
9.2.4. Setning
Setning
Ef röð \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er samleitin þá er
9.2.5. Athugasemd
Athugasemd
Þó svo \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\) þá er ekki víst að röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) sé samleitin.
9.2.6. Kvótaraðir
Röðin
kallast kvótaröð. Hún er samleitin ef \(-1<a<1\) og þá er
9.2.7. Kíkisraðir
Röðin
kallast kíkisröð. Hún er samleitin og
9.3. Samleitnipróf fyrir raðir
9.3.1. Setning
Setning
Ef \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\) er ekki til eða \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\neq 0\) þá er röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) ekki samleitin.
9.3.2. Setning: Samleitnipróf I
Setning
Gerum ráð fyrir að \(a_n\geq 0\) fyrir allar náttúrlegar tölur \(n\). Röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er þá annaðhvort samleitin eða ósamleitin að \(\infty\) (þ.e.a.s. hlutsummurnar \(s_n=a_1+\cdots+a_n\) stefna á \(\infty\) þegar \(n\) stefnir á \(\infty\).)
9.3.3. Setning: Samleitnipróf II – Samanburðarpróf
Setning
Gerum ráð fyrir að \(0\leq a_n\leq b_n\) fyrir allar náttúrlegar tölur \(n\).
Ef \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) er samleitin þá er \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) líka samleitin.
Ef \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er ósamleitin þá er \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) líka ósamleitin.
9.3.4. Setning: Samleitnipróf III – Heildispróf
Setning
Látum \(f\) vera jákvætt, samfellt og minnkandi fall sem er skilgreint á bilinu \([1, \infty)\). Fyrir sérhverja náttúrlega tölu \(n\) setjum við \(a_n=f(n)\). Þá eru röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) og óeiginlega heildið \(\int_1^\infty f(x)\,dx\) annaðhvort bæði samleitin eða bæði ósamleitin.
9.3.5. Fylgisetning
Setning
Röðin \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{p}}\) er samleitin ef \(p>1\) en ósamleitin ef \(p\leq 1\). Svona röð er jafnan kölluð \(p\)-röð.
9.3.6. Setning: Samleitnipróf IV – Markgildissamanburðarpróf
Setning
Gerum ráð fyrir að \(a_n\geq 0\) og \(b_n\geq 0\) fyrir allar náttúrlegar tölur \(n\) og \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\), þar sem \(L\) er tala eða \(\infty\).
Ef \(L<\infty\) og röðin \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) er samleitin þá er röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) líka samleitin.
Ef \(L>0\) og röðin \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) er ósamleitin þá er röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) líka ósamleitin.
9.3.7. Setning: Samleitnipróf V – Kvótapróf
Setning
Gerum ráð fyrir að \(a_n>0\) fyrir öll \(n\) og að markgildið \(\rho=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\) sé skilgreint eða að það sé \(\infty\).
Ef \(0\leq\rho<1\) þá er röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) samleitin.
Ef \(1<\rho\leq \infty\) þá er röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) ósamleitin.
Ef \(\rho=1\) þá er ekkert hægt að fullyrða um hvort röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er samleitin eða ósamleitin, hvor tveggja kemur til greina og nota þarf aðrar aðferðir til að skera úr um það.
9.3.8. Setning: Samleitnipróf VI – Rótarpróf
Setning
Gerum ráð fyrir að \(a_n>0\) fyrir öll \(n\) og að markgildið \(\sigma=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}\) sé skilgreint eða að það sé \(\infty\).
Ef \(0\leq\sigma<1\) þá er röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) samleitin.
Ef \(1<\sigma\leq \infty\) þá er röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) ósamleitin.
Ef \(\sigma=1\) þá er ekkert hægt að fullyrða um hvort röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er samleitin eða ósamleitin, hvor tveggja kemur til greina og nota þarf aðrar aðferðir til að skera úr um það.
9.3.9. Setning: Samleitnipróf VII – Víxlmerkjaraðapróf
Setning
Gerum ráð fyrir að
\(a_n\geq 0\) fyrir öll \(n\) (frekar jákvæðir liðir),
\(a_{n+1}\leq a_n\) fyrir öll \(n\) (frekar minnkandi),
\(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=0\) (stefnir á 0).
Þá er víxlmerkjaröðin
samleitin.
9.3.10. Fylgisetning
Setning
Gerum ráð fyrir að runa \(\{a_n\}\) uppfylli skilyrðin sem gefin eru í setningunni á undan (9.3.9).
Látum \(s_n\) tákna summu \(n\) fyrstu liða raðarinnar \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n\) og táknum summu raðarinnar með \(s\). Þá gildir að \(|s-s_n|\leq |a_{n+1}|\).
9.4. Alsamleitni
9.4.1. Skilgreining
Skilgreining
Röð \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er sögð vera alsamleitin ef röðin \(\sum_{n=1}^\infty |a_n|\) er samleitin.
9.4.2. Setning
Setning
Röð sem er alsamleitin er samleitin.
9.4.3. Athugasemd
Athugasemd
Til eru samleitnar raðir, t.d. röðin \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}\), sem eru ekki alsamleitnar.
9.4.4. Skilgreining
Skilgreining
Samleitin röð sem er ekki alsamleitin er sögð vera skilyrt samleitin, það er \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er samleitin en röðin \(\sum_{n=1}^\infty |a_n|\) er ósamleitin.
9.4.5. Setning: Umröðun
Setning
Dæmi um umröðun á liðum raðar \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er
Ef röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er alsamleitin þá skiptir engu máli hvernig liðum raðarinnar er umraðað, summan verður alltaf sú sama.
Ef röðin \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) er skilyrt samleitin og \(L\) einhver rauntala, eða \(\pm\infty\) þá er hægt að umraða liðum raðarinnar þannig að summan eftir umröðun verði \(L\).
Athugasemd
Með öðrum orðum: Liðum skilyrt samleitinnar raðar má umraða þannig að summan getur orðið hvað sem er, það skiptir því máli í hvaða röð við leggjum saman.