8. Diffurjöfnur
Now, the invention of the scientific method and science is, I’m sure we’ll all agree, the most powerful intellectual idea, the most powerful framework for thinking and investigating and understanding and challenging the world around us that there is, and that it rests on the premise that any idea is there to be attacked and if it withstands the attack then it lives to fight another day and if it doesn’t withstand the attack then down it goes.
– Douglas Adams
8.1. Diffurjöfnur
8.1.1. Skilgreining: Diffurjafna
Skilgreining
Ritum \(y=y(x)\) sem fall af \(x\).
Diffurjafna
en: differential equation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
þar sem \(F\) er fall (formúla) í \(n+2\) breytistærðum.
Diffurjafnan er sögð vera af \(n\)-ta stigi ef hæsta afleiða \(y\) sem kemur fyrir í henni er \(n\).
Að leysa diffurjöfnu felur í sér að skrifa \(y\) sem fall af \(x\), þ.e. finna formúlu fyrir \(y\).
Athugasemd
Deildajafna, afleiðujafna og diffurjafna eru samheiti yfir sama hlutinn.
8.1.2. Dæmi um diffurjöfnu
Það að finna stofnfall fyrir gefið fall \(f\) er jafngilt því að leysa fyrsta stigs diffurjöfnuna
eða með framsetningunni úr skilgreiningunni hér að ofan,
8.1.3. Skilgreining: Aðgreinanleg diffurjafna
Skilgreining
Fyrsta stigs diffurjafna sem má rita á forminu
kallast aðgreinanleg. Það er, þátta má hægri hliðina þannig að annar þátturinn er bara fall af \(x\) og hinn þátturinn er bara fall af \(y\).
Umritum jöfnuna yfir á formið
Aðvörun
Það má ekkert \(x\) koma fyrir í vinstri hliðinni og ekkert \(y\) má koma fyrir í hægri hliðinni.
Síðan heildum við báðar hliðar og reiknum stofnföllin hægra og vinstra megin í jöfnunni
og munum eftir að setja inn heildunarfasta (einn er nóg). Þá höfum við jöfnu sem lýsir sambandi \(x\) og \(y\), og inniheldur engar afleiður af \(y\). Út frá þeirri jöfnu má fá upplýsingar um eiginleika lausnarinnar \(y\). Stundum er hægt að einangra \(y\) og fá þannig formúlu fyrir lausn diffurjöfnunar.
8.1.4. Dæmi um aðgreinanlega diffurjöfnu
Ef við skoðum diffurjöfnuna
þá sjáum við að hún er aðgreinanleg því með því að skrifa \(\exp(x-y) = \exp (x) \exp(-y)\) og margfalda í gegn með \(\exp (y)\) þá fæst
Hér eru öll \(y\) vinstra megin og öll \(x\) hægra megin. Heildum nú beggja vegna og munum að það er nóg að setja einn heildunarfasta
Reynum nú að einangra \(y\) til þess að geta skrifað út formúlu fyrir lausninni. Byrjum á að færa heildunarfastann yfir og tökum svo logrann af báðum hliðum
8.2. Línulegar fyrsta stigs diffurjöfnur
8.2.1. Skilgreining: Línuleg diffurjafna
Skilgreining
Diffurjafna á forminu
kallast
línuleg diffurjafna
en: linear differential equation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
Ef \(f\) er fastafallið \(0\) þá er jafnan sögð óhliðruð (e. homogeneous)
en ef \(f\) er ekki fastafallið \(0\) þá er hún
sögð
hliðruð
en: inhomogeneous linear differential equation, non-homogeneous linear differential equation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
8.2.2. Línulegar fyrsta stigs diffurjöfnur
Almenna línulega fyrsta stigs jöfnu má rita á forminu
Samsvarandi óhliðruð jafna er
Setning
Látum \(y'+p(x)y=q(x)\) vera almenna línulega fyrsta stigs diffurjöfnu. Skilgreinum \(\mu(x)=\int p(x)\,dx\). Þá er
lausn á diffurjöfnunni.
Sönnun
Setjum
inn í vinstri hlið diffurjöfnunnar, ef út kemur hægri hliðin \(q(x)\) þá höfum við sýnt að þetta er lausn.
Athugum fyrst að
Ef við setjum þetta inn í diffurjöfnuna fæst
þannig að \(y\) skilgreint eins og hér að ofan er greinilega lausn á diffurjöfnunni.
Aðvörun
Þegar þið reiknið \(\mu(x)=\int p(x)\,dx\) þá megið þið sleppa heildunarfastanum, en ekki þegar þið reiknið heildið \(\int e^{\mu(x)}q(x)\,dx\).
8.3. Línulegar annars stigs diffurjöfnur með fastastuðla
8.3.1. Skilgreining
Skilgreining
Línuleg annars stigs diffurjafna með fastastuðla er diffurjafna á forminu
þar sem \(a, b\) og \(c\) eru fastar, \(a\neq 0\).
Jafnan er sögð óhliðruð ef fallið \(f(x)\) er fastafallið 0.
8.3.2. Skilgreining: Kennijafna
Skilgreining
Jafnan \(ar^2+br+c=0\) kallast
kennijafna
en: characteristic equation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
8.3.3. Setning
Setning
Ef föllin \(y_1(x)\) og \(y_2(x)\) eru lausnir á diffurjöfnunni \(ay''+by'+cy=0\) þá er fallið
þar sem \(A\) og \(B\) eru fastar, líka lausn.
Ef \(y_2(x)\) er ekki fastamargfeldi af \(y_1(x)\) þá má skrifa sérhverja lausn \(y(x)\) á diffurjöfnunni \(ay''+by'+cy=0\) á forminu
þar sem \(A\) og \(B\) eru fastar.
8.3.4. Setning
Setning
Ef leysa á annars stigs óhliðraða diffurjöfnu með fastastuðla
þá geta komið upp þrjú tilvik.
- Tilvik I
Kennijafnan \(ar^2+br+c=0\) hefur tvær ólíkar rauntölulausnir \(r_1\) og \(r_2\).
Þá er fallið
\[y(x)=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\]alltaf lausn sama hvernig fastarnir \(A\) og \(B\) eru valdir og sérhverja lausn má rita á þessu formi.
- Tilvik II
Kennijafnan \(ar^2+br+c=0\) hefur bara eina rauntölulausn \(k=-\frac{b}{2a}\).
Þá er fallið
\[y(x)=Ae^{kx}+Bxe^{kx}\]alltaf lausn sama hvernig fastarnir \(A\) og \(B\) eru valdir og sérhverja lausn má rita á þessu formi.
- Tilvik III
Kennijafnan \(ar^2+br+c=0\) hefur engar rauntölulausnir.
Setjum \(k=-\frac{b}{2a}\) og \(\omega=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\).
Rætur kennijöfnunnar eru \(r_1=k+i\omega\) og \(r_2=k-i\omega\).
Þá er fallið
\[y(x)=Ae^{kx}\cos(\omega x)+Be^{kx}\sin(\omega x)\]alltaf lausn sama hvernig fastarnir \(A\) og \(B\) eru valdir og sérhverja lausn má rita á þessu formi.
Sönnun
Tilvik I: Sýnum að \(e^{r_1x}\) sé lausn á diffurjöfnunni. Það gerum við með því að stinga inn \(y=e^{r_1x}\), ef út kemur 0 þá er þetta lausn. Byrjum á að reikna \(y'=r_1e^{r_1x}\) og \(y''=r_1^2 e^{r_1x}\). Stingum þessu inn í diffurjöfnuna,
Þar sem \(r_1\) er lausn á \(ar^2+br+c=0\) þá jafngildir sviginn 0 og þar með höfum við lausn.
Eins fæst að \(e^{r_2x}\) er lausn. Og þá segir setningin á undan að \(Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\) er lausn fyrir öll \(A\) og \(B\).
Tilvik II: Það fæst með sama hætti fyrir ofan að \(e^{kx}\) er lausn. Sýnum að \(y=xe^{kx}\) sé einnig lausn. Þá er \(y'=e^{kx} + kxe^{kx}\) og \(y''=ke^{kx} + ke^{kx} + k^2xe^{kx}=2ke^{kx}\). Stingum þessu inn í diffurjöfnuna, þá fæst
Þar sem \(k\) er lausn á kennijöfnunni þá er innri sviginn jafn 0, og þar sem \(k=-\frac b{2a}\) þá er \(2ak=-b\), sem segir okkur að fyrstu tveir liðirnir í ytri sviganum styttast út.
Af þessu sést að \(xe^{kx}\) er lausn og þá er \(Ae^{kx}+Bxe^{kx}\) lausn fyrir öll \(A\) og \(B\)
Tilvik III: Sýnum að \(y=e^{kx}\cos(\omega x)\) sé lausn. Þá er
og
Setjum þetta inn í diffurjöfnuna, þá fæst
Ef við stingum nú inn \(k=-\frac b{2a}\) og \(\omega=\frac{\sqrt{ac-b^2}}{2a}\) þá sjáum við að fyrri sviginn jafngildir
og seinni sviginn jafngildir
Af þessu sést að \(e^{kx}\cos(\omega x)\) er lausn. Með sama hætti fæst að \(e^{kx}\sin(\omega x)\) er lausn, og þá er \(Ae^{kx}\cos(\omega x) + Be^{kx}\sin(\omega x)\) lausn fyrir öll \(A\) og \(B\).
8.3.5. Setning
Setning
Látum \(y_{\rm p}(x)\) vera einhverja lausn á hliðruðu jöfnunni
Látum \(y_1(x)\) og \(y_2(x)\) vera lausnir sem fást úr 8.3.4 á óhliðruðu jöfnunni
Sama hvernig fastarnir \(A\) og \(B\) eru valdir þá er fallið
alltaf lausn á diffurjöfnunni \(ay''+by'+cy=f(x)\) og sérhverja lausn má skrifa á þessu formi.
8.4. Ágiskanir
Við höfum skoðað aðferðir til að leysa aðgreinanlegar diffurjöfnur, línulegar fyrsta stigs diffurjöfnur og óhliðraðar línulegar annars stigs diffurjöfnur með fastastuðla. Þessar jöfnur eru samt bara pínulítið brot af öllum mögulegum diffurjöfnum og ef við veljum diffurjöfnu af „handahófi“ þá getum við yfirleitt ekki leyst hana auðveldlega.
Þrátt fyrir þetta er ástæðulaust að gefast upp og fyrir ákveðinn flokk af diffurjöfnum þá getum við stundum giskað á lausn, en þetta eru hliðraðar línulegar annars stigs diffurjöfnur með fastastuðla.
8.4.1. Ágiskun
Lausn á hliðruðu jöfnu \(ay''+by'+cy=f(x)\) kallast sérlausn. Stundum, ef \(f\) er ekki of flókið, þá er mögulegt að giska á sérlausn.
Látum \(P_n(x)\) standa fyrir einhverja \(n\)-ta stigs margliðu og látum \(A_n(x)\) og \(B_n(x)\) tákna \(n\)-ta stigs margliður með óákveðnum stuðlum.
Ef \(f(x)=P_n(x)\) þá er giskað á \(y_{\rm p}(x)=x^mA_n(x)\).
Ef \(f(x)=P_n(x)e^{rx}\) þá er giskað á \(y_{\rm p}(x)=x^mA_n(x)e^{rx}\).
Ef \(f(x)=P_n(x)e^{rx}\sin(kx)\) þá er giskað á \(y_{\rm p}(x)=x^me^{rx}[A_n(x)\cos(kx)+B_n(x)\sin(kx)]\).
Ef \(f(x)=P_n(x)e^{rx}\cos(kx)\) þá er giskað á \(y_{\rm p}(x)=x^me^{rx}[A_n(x)\cos(kx)+B_n(x)\sin(kx)]\).
Hér táknar \(m\) minnstu töluna af tölunum 0, 1, 2 sem tryggir að enginn liður í ágiskuninni sé lausn á óhliðruðu jöfnunni \(ay''+by'+cy=0\).
Ef við erum búin að finna sérlausn \(y_p\) og almenna lausn \(y\) á óhliðruðu jöfnunni \(ay''+by'+cy=0\), þá er \(y+y_p\) áfram lausn á hliðruðu jöfnunni. Reyndar er sérhver lausn á óhliðruðu jöfnunni á forminu \(y+y_p\), bara með mismundandi \(A\) og \(B\) í \(y\).
8.5. Samantekt
8.5.1. Aðskiljanlegar jöfnur
Jöfnur sem hægt er að rita á forminu
má leysa með því að heilda og einangra \(y\) út úr
8.5.2. Línulegar fyrsta stigs jöfnur
Lausn við jöfnu á forminu
er gefin með
þar sem \(\mu(x) = \int p(x)\, dx\).
8.5.3. Línulegar annars stigs jöfnur með fastastuðla
Lausn á \(ay''+by'+cy=0\) er gefin með
- Tilvik I
\(y(x)=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\) ef kennijafnan hefur tvær ólíkar rauntölulausnir \(r_1\) og \(r_2\).
- Tilvik II
\(y(x)=Ae^{kx}+Bxe^{kx}\) ef kennijafnan \(ar^2+br+c=0\) hefur bara eina tvöfalda rauntölulausn \(k=-\frac{b}{2a}\).
- Tilvik III
\(y(x)=Ae^{kx}\cos(\omega x)+Be^{kx}\sin(\omega x)\) ef kennijafnan \(ar^2+br+c=0\) hefur engar rauntölulausnir, bara tvinntölulausnir \(r_1=k+i\omega\) og \(r_2=k-i\omega\), þar sem \(k=-\frac{b}{2a}\) og \(\omega=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\).
Lausn á hliðruðu jöfnunni á \(ay''+by'+cy=f(x)\) er mögulega hægt að finna með ásgiskun. Sérhver lausn á óhliðruðu jöfnunni \(ay''+by'+cy=f(x)\) er svo á forminu \(y+y_p\) þar sem \(y\) er lausn á óhliðruðu jöfnunni.