Veldaraðir
==========

.. admonition:: Athugasemd
    :class: athugasemd

	**Nauðsynleg undirstaða**

      - `Summuvirkinn <https://en.wikipedia.org/wiki/Summation>`_.

      - `Ýmislegt um tvíliðustuðulinn, hrópmerkingu og fleira <https://edbook.hi.is/undirbuningur_stae/kafli06/index.html#pascal>`_.

      - :ref:`Markgildi`. Sjá einnig `undirstöðuatriði um markgildi <https://edbook.hi.is/undirbuningur_stae/kafli10/index.html>`_.

      - `Taylor margliður <https://edbook.hi.is/stae104g/kafli03/index.html#taylor-margliur>`_.

      - :ref:`Afleiður <afleidur>`.  Sjá einnig `undirstöðuatriði um afleiður <https://edbook.hi.is/undirbuningur_stae/kafli11/index.html>`_.

      - :ref:`Heildun <heildun>`.


*What to do if you find yourself stuck in a crack in the ground underneath
a giant boulder you can't move, with no hope of rescue. Consider how lucky
you are that life has been good to you so far. Alternatively, if life hasn't
been good to you so far, which given your current circumstances seems more
likely, consider how lucky you are that it won't be troubling you much longer.*

-- Douglas Adams, The Original Hitchhiker Radio Scripts



.. todo::
    vantar myndir/geogebra, t.d. eins og Sage/Interact/Taylor

.. index::
    veldaröð
    röð; veldaröð

Veldaraðir
----------

Skilgreining
~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Röð á forminu

    .. math:: \sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+\cdots

    kallast :hover:`veldaröð` með :hover:`miðju` í punktinum :math:`c`.

.. _setning-samleitnigeisli:

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Um sérhverja veldaröð :math:`\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n` gildir eitt
    af þrennu:

    (i)   Röðin er aðeins samleitin fyrir :math:`x=c`.

    (ii)  Til er jákvæð tala :math:`R` þannig að veldaröðin er alsamleitin
          fyrir öll :math:`x` þannig að :math:`|x-c|<R` og ósamleitin fyrir
          öll :math:`x` þannig að :math:`|x-c|>R`.

    (iii) Röðin er samleitin fyrir allar rauntölur :math:`x`.

.. index::
    veldaröð; samleitnigeisli
    veldaröð; miðja
    veldaröð; samleitnibil


Skilgreining: Miðja og samleitnigeisli
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Látum :math:`\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n` vera veldaröð.

    (i)   Talan :math:`c` kallast *miðja* eða *samleitnimiðja*
          veldaraðarinnar.

    (ii)  Í tilviki 2. í setningunni hér á undan er röðin alsamleitin á opna bilinu
          :math:`(c-R, c+R)` og ósamleitin fyrir utan lokaða bilið
          :math:`[c-R, c+R]`.

          Talan :math:`R` er kölluð :hover:`samleitnigeisli` raðarinnar.

          Mögulegt er að röðin sé samleitin (alsamleitin eða skilyrt
          samleitin) í öðrum eða báðum punktunum :math:`x=c-R` og
          :math:`x=c+R` (þetta þarf að athuga sérstaklega).

          Í tilfelli 1. í setningunni þegar röðin er bara samleitin fyrir :math:`x=c`
          setjum við :math:`R=0` og í tilfelli 3. þegar röðin er
          samleitin fyrir allar rauntölur :math:`x` þá setjum við
          :math:`R=\infty`.

    (iii) :hover:`Samleitnibil` veldaraðarinnar
          :math:`\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n` er mengi allra gilda
          :math:`x` þannig að röðin er samleitin. Setning hér á undan sýnir að
          :þetta mengi er alltaf bil.


          - Þegar samleitnigeilsinn er 0 er samleitnibilið :math:`\{c\}`.

          - Þegar samleitnigeislinn er :math:`R>0` þá koma fjórir möguleikar
            til greina eftir því hvort röðin er
            samleitin í hvorugum, öðrum eða báðum punktunum :math:`x=c-R` og
            :math:`x=c+R`. Samleitnibilið getur verið
            :math:`(c-R, c+R)`, :math:`[c-R, c+R)`, :math:`(c-R, c+R]` eða :math:`[c-R, c+R]`.

          - Þegar samleitnigeislinn er :math:`\infty` þá er samleitnibilið :math:`(-\infty, \infty)`.

.. index::
    veldaröð; samleitnipróf

Samleitnipróf
-------------

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Látum :math:`\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n` vera veldaröð.

    (i)  :hover:`Kvótapróf,hlutfallspróf` (hlutfallspróf): Gerum ráð fyrir að
         :math:`L=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|`
         sé til eða :math:`\infty`.

         Þá hefur veldaröðin :math:`\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n`
         samleitnigeisla

         .. math::

            R= \left\{\begin{array}{ll}
            \infty & \text{ef }L=0,\\
            \frac{1}{L} & \text{ef }0<L<\infty,\\
            0 & \text{ef }L=\infty.\\
            \end{array} \right.

    (ii) :hover:`Rótarpróf`: Gerum ráð fyrir að
         :math:`L=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}` sé til eða
         :math:`\infty`. Þá hefur veldaröðin
         :math:`\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n` samleitnigeisla

         .. math::

            R= \left\{\begin{array}{ll}
            \infty & \text{ef }L=0,\\
            \frac{1}{L} & \text{ef }0<L<\infty,\\
            0 & \text{ef }L=\infty.\\
            \end{array}
            \right.

.. index::
    setning Abels

Setning Abels
~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Fallið :math:`f` skilgreint á samleitnibili með

    .. math:: f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n

    er samfellt á öllu samleitnibili veldaraðarinnar.

    Ef samleitnigeislinn er :math:`0<R<\infty` og röðin er samleitin í
    punktinum :math:`x=c+R` þá er

    .. math::

       \lim_{x\rightarrow (c+R)^-}f(x)=f(c+R)=\sum_{n=0}^\infty
       a_n((c+R)-c)^n=\sum_{n=0}^\infty a_nR^n.

    Eins ef röðin er samleitin í punktinum :math:`x=c-R` þá er

    .. math::

       \lim_{x\rightarrow (c-R)^+}f(x)=f(c-R)=\sum_{n=0}^\infty
       a_n((c-R)-c)^n=\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n.


Setning: Diffrað lið fyrir lið
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Látum :math:`\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots`
    vera veldaröð með miðju í :math:`c` og samleitnigeisla :math:`R`.

    Fyrir :math:`x\in(c-R, c+R)` skilgreinum við

    .. math:: f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n.

    Fallið :math:`f` er diffranlegt og

    .. math:: f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-c)^{n-1}=a_1+2a_2(x-c)+3a_3(x-c)^2+\cdots

    og röðin fyrir :math:`f'(x)` er samleitin fyrir öll
    :math:`x\in(c-R, c+R)`.

    Þetta þýðir að við getum diffrað veldaraðir lið fyrir lið.

    Þar sem diffranleg föll eru samfelld þá fæst eftirfarandi.

Fylgisetning
~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Fallið :math:`f` er samfellt á :math:`(c-R, c+R)`.

Setning: Heildað lið fyrir lið
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Látum
    :math:`\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots`
    vera veldaröð með miðju í :math:`c` og samleitnigeisla :math:`R`.

    Fyrir :math:`x\in(c-R, c+R)` skilgreinum við
    :math:`f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n`.

    Fallið :math:`f` hefur stofnfall

    .. math::

       \begin{gathered}
       F(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-c)^{n+1} \\
       =a_0(x-c)+\frac{a_1}{2}(x-c)^2+\frac{a_2}{3}(x-c)^3+
       \frac{a_3}{4}(x-c)^4+\cdots\end{gathered}

    og röðin fyrir :math:`F(x)` er samleitin fyrir öll
    :math:`x\in(c-R, c+R)`.

Þetta þýðir að við getum heildað veldaraðir lið fyrir lið.

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Látum :math:`\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots`
    vera veldaröð með miðju í :math:`c` og samleitnigeisla :math:`R`.

    Fyrir :math:`x\in(c-R, c+R)` skilgreinum við

    .. math:: f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n.

    Fallið :math:`f` er :math:`k`-sinnum diffranlegt fyrir :math:`k=1, 2, 3, \ldots` og

    .. math:: a_k=\frac{f^{(k)}(c)}{k!}.

.. index::
    veldaröð; fágað fall
    fall; fágað

Skilgreining: Fágað fall
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Fall :math:`f` þannig að til er veldaröð
    :math:`\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n` með samleitnigeisla :math:`R>0`
    þannig að

    .. math:: f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n

    fyrir öll :math:`x\in(c-R, c+R)` kallast *fágað* (raunfágað) í punktinum
    :math:`c`.

Athugasemd
~~~~~~~~~~

.. admonition:: Athugasemd
    :class: athugasemd

    Dæmi um fáguð föll eru margliður, ræð föll, hornaföll, veldisföll og
    lograr.

.. index::
    Taylorröð
    veldaröð; Taylorröð
    Taylorröð; Maclaurinröð

Taylorraðir
-----------

Skilgreining: Taylorröð
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Gerum ráð fyrir að fall :math:`f(x)` sé óendanlega oft diffranlegt í
    punktinum :math:`x=c`, (það er :math:`f^{(k)}(c)` er til fyrir
    :math:`k=0, 1, 2, \ldots`).

    Veldaröðin

    .. math::

       \begin{aligned}
       \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n = & f(c)+f'(c)(x-c)+
       \frac{f''(c)}{2}(x-c)^2 \\ & + \frac{f'''(c)}{3!}(x-c)^3
       + \frac{f^{(4)}(c)}{4!}(x-c)^4 + \cdots \end{aligned}

    kallast *Taylorröð* með miðju í :math:`x=c` fyrir :math:`f(x)`.

    Ef svo vill til að :math:`c=0` þá er oft talað um *Maclaurinröð*.

.. ggb:: nVtCB2v9
    :width: 700
    :height: 400
    :img: 03_Taylorrod.png
    :imgwidth: 12cm
    :zoom_drag: true

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Taylormargliða með miðju í :math:`c` fyrir :math:`f` er skilgreind sem
    margliðan

    .. math::

       \begin{aligned}
         P_n(x)& =\sum_{n=0}^n \frac{f^{(k)}(c)}{n!}(x-c)^n \\
         &=f(c)+f'(c)(x-c)+ \frac{f''(c)}{2}(x-c)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n.\end{aligned}

    Skekkjan í :math:`n`-ta stigs Taylornálgun er
    :math:`R_n(x)=f(x)-P_n(x)`.

    Til er tala :math:`X` sem liggur á milli :math:`c` og :math:`x` þannig
    að

    .. math:: R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(X)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}.

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Gerum ráð fyrir að :math:`f` sé fall sem er óendanlega oft diffranlegt í
    punktinum :math:`c`.

    Fyrir fast gildi á :math:`x` þá er Taylorröðin

    .. math:: \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n

    samleitin með summu :math:`f(x)` ef og aðeins ef

    .. math:: \lim_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=0.

.. index::
    Taylorröð; tvíliðuröð

Dæmi: Tvíliðuröðin
~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Fyrir :math:`x` þannig að :math:`|x|<1` og rauntölu :math:`r` gildir að

.. math::

   \begin{aligned}
   (1+x)^r =& 1+rx+\frac{r(r-1)}{2!}x^2+ \frac{r(r-1)(r-2)}{3!}x^3 \\
   &+\frac{r(r-1)(r-2)(r-3)}{4!}x^4+\cdots\\
   =& 1+ \sum_{n=1}^\infty \frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-n+1)}{n!}x^n.\end{aligned}

Athugasemd
~~~~~~~~~~

.. admonition:: Athugasemd
    :class: athugasemd

    Ef :math:`r \in {{\mathbb  N}}` þá gefur summan að ofan einfaldlega
    stuðlanna þegar búið er að margfalda upp úr svigum, og summan er því
    endanleg, því þegar :math:`n \geq r+1` þá verða stuðlarnir 0.

    Ef hins vegar :math:`r\notin {{\mathbb  N}}` þá er enginn stuðlanna 0.

Taylorraðir nokkra falla
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. math::

   \begin{aligned}
   e^x&=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}
       =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}
       +\cdots
     &\text{fyrir öll }x\\
   \sin x&=  \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}
       =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots
       &\text{fyrir öll }x\\
   \cos x&=  \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}
       =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots
       &\text{fyrir öll }x\\
   \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^\infty x^n
       =1+x+x^2+x^3+\cdots
   &\text{fyrir }-1<x<1\\
   \frac{1}{(1-x)^2}&=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}
       =1+2x+3x^2+4x^3+\cdots
   &\text{fyrir }-1<x<1\\
   \ln(1+x)&=  \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n
       =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots
       &\text{fyrir }-1<x\leq 1\\
   \tan^{-1} x&=  \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}
       =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots
       &\text{fyrir }-1\leq x\leq 1\\\\
   \sinh x&=  \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
       =x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots
       &\text{fyrir öll } x\\
   \cosh x&=  \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}
       =1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots
       &\text{fyrir öll } x\\\end{aligned}

Æfingadæmi
~~~~~~~~~~

.. eqt:: daemi-ODE

  **Æfingadæmi**
	Röðin :math:`\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}2^{2n+1}x^{4n+2}` er Taylor röð fallsins

  A) :eqt:`I` :math:`\tan(3x)` 

  #) :eqt:`I` :math:`\cos(2x^2)` 

  #) :eqt:`I` :math:`\sin(2x)` 

  #) :eqt:`C` :math:`\sin(2x^2)` 

  .. eqt-solution::

	Við getum notfært okkur að :math:`\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}` og skipt
	:math:`x` út fyrir :math:`2x^2`, þ.e.

	.. math:: \sin(2x^2) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(2x^2)^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}2^{2n+1}x^{4n+2}.


*I may not have gone where I intended to go, but I think I have ended up where I needed to be.*

-- Douglas Adams, The Long Dark Tea-Time of the Soul