Runur og raðir ============== .. admonition:: Athugasemd :class: athugasemd **Nauðsynleg undirstaða** - `Summuvirkinn `_. - :ref:`Markgildi`. Sjá einnig `undirstöðuatriði um markgildi `_. *Would it save you a lot of time if I just gave up and went mad now?* \- Douglas Adams, The Hitchhiker's Guide to the Galaxy .. index:: runa Runur ----- Skilgreining: Runa ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining *Runa* er raðaður listi af tölum. Runa hefur fyrsta stak en ekkert síðasta stak. Stökin í runu eru oft númeruð með náttúrlegu tölunum :math:`1, 2, 3, \ldots`. Stökin eru þá .. math:: a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \ldots Runur eru táknaðar með :math:`\{a_n\}_{n\in {{{\mathbb N}}}}`, :math:`\{a_n\}_{n=1}^\infty` eða bara :math:`\{a_n\}`. Oft er runa gefin með formúlu, :math:`a_n = f(n)`. Til dæmis :math:`a_n = 3n + n^2`. .. index:: runa; takmörkuð Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Runa :math:`\{a_n\}` er sögð *takmörkuð að neðan* ef til er tala :math:`m` þannig að .. math:: m\leq a_n fyrir allar náttúrlegar tölur :math:`n`. Runan er sögð *takmörkuð að ofan* ef til er tala :math:`M` þannig að .. math:: a_n\leq M fyrir allar náttúrlegar tölur :math:`n`. Runa sem er bæði takmörkuð að ofan og neðan er sögð *takmörkuð*. .. index:: runa; vaxandi/minnkandi runa; einhalla Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Runa :math:`\{a_n\}` er sögð (i) *vaxandi* ef :math:`a_n\leq a_{n+1}` fyrir öll :math:`n`, (ii) *stranglega vaxandi* ef :math:`a_n< a_{n+1}` fyrir öll :math:`n`, (iii) *minnkandi* ef :math:`a_n\geq a_{n+1}` fyrir öll :math:`n`, (iv) *stranglega minnkandi* ef :math:`a_n> a_{n+1}` fyrir öll :math:`n`. Runa kallast *einhalla* ef hún er annaðhvort vaxandi eða minnkandi. .. index:: runa; víxlmerkjaruna Skilgreining: Víxlmerkjaruna ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining *Víxlmerkjaruna* er runa þannig að formerki skiptast á, annaðhvort :math:`+, -, +, -, \ldots` eða :math:`-, +, -, +, \ldots`. Einnig má lýsa þessu þannig að runa :math:`\{a_n\}` sé víxlmerkjaruna ef :math:`a_na_{n+1}<0` fyrir öll :math:`n`. .. index:: runa; samleitin Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Segjum að :math:`\{a_n\}` sé *samleitin* að tölu :math:`L` (eða *stefni á* :math:`L`) ef fyrir sérhverja tölu :math:`\epsilon>0` má finna náttúrlega tölu :math:`N` þannig að ef :math:`n\geq N` þá er .. math:: |a_n-L|<\epsilon. Ritað :math:`\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L` og talan :math:`L` kallast *markgildi rununnar*. Sagt er að runa sé *samleitin* ef :math:`\lim_{n\rightarrow \infty}a_n` er skilgreint, en annars er runan sögð *ósamleitin*. Setning ~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Látum :math:`f` vera fall skilgreint á :math:`{{\mathbb R}}` og látum :math:`\{a_n\}` vera runu þannig að :math:`a_n=f(n)` fyrir öll :math:`n`. Ef :math:`\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=L` þá er :math:`\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L`. .. admonition:: Aðvörun :class: advorun Þetta gildir ekki í hina áttina, runan getur verið samleitin án þess að fallið sé það. Setning ~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Látum :math:`\{a_n\}` vera runu. Eftirfarandi tvö skilyrði eru jafngild: (i) :math:`\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L`, (ii) fyrir sérhvert :math:`\epsilon>0` eru aðeins endanlega margir liðir rununnar :math:`\{a_n\}` utan við bilið :math:`(L-\epsilon, L+\epsilon)`. Fylgisetning ~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Samleitin runa er takmörkuð. Setning ~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Gerum ráð fyrir að runurnar :math:`\{a_n\}` og :math:`\{b_n\}` séu samleitnar. Þá gildir: (i) :math:`\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\pm b_n)= \lim_{n\rightarrow\infty}a_n\pm\lim_{n\rightarrow\infty}b_n`, (ii) :math:`\lim_{n\rightarrow\infty}ca_n= c\lim_{n\rightarrow\infty}a_n`, þar sem :math:`c` er fasti, (iii) :math:`\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n b_n)= (\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)(\lim_{n\rightarrow\infty}b_n)`, (iv) ef :math:`\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\neq 0` þá er :math:`\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}= \frac{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}{\lim_{n\rightarrow\infty}b_n}`, (v) ef :math:`a_n\leq b_n` fyrir öll :math:`n` sem eru nógu stór, þá er .. math:: \lim_{n\rightarrow\infty}a_n\leq\lim_{n\rightarrow\infty}b_n, (frasinn *fyrir öll* :math:`n` *sem eru nógu stór* þýðir að til er einhver tala :math:`N` þannig að skilyrðið gildir fyrir öll :math:`n\geq N`), (vi) (Klemmuregla) ef :math:`a_n\leq c_n\leq b_n` fyrir öll :math:`n` sem eru nógu stór og :math:`\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n` þá er runan :math:`\{c_n\}` samleitin og .. math:: \lim_{n\rightarrow\infty}c_n=L. Setning ~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Takmörkuð einhalla (vaxandi eða minnkandi) runa er samleitin. .. index:: röð Raðir ----- Skilgreining: Röð ~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Látum :math:`a_1, a_2, \ldots` vera gefna runu. :hover:`Röðin,röð` .. math:: \sum_{n=1}^\infty a_n = a_1+a_2+a_3+\cdots er skilgreind sem formleg summa liðanna :math:`a_1, a_2, a_3, \ldots`. .. index:: röð; samleitin Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Fáum í hendurnar röð :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` þar sem :math:`a_1, a_2, \ldots` eru tölur. Skilgreinum .. math:: s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n sem summa fyrstu :math:`n` liða raðarinnar. Segjum að röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` sé :hover:`samleitin með summu,samleitin röð` :math:`s` ef .. math:: \lim_{n\rightarrow\infty}s_n=s. Það er að segja, röðin er samleitin með summu :math:`s` ef .. math:: \lim_{n\rightarrow \infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)=s. Ritum þá .. math:: \sum_{n=1}^\infty a_n=s. Setning ~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Ef :math:`A=\sum_{n=1}^\infty a_n` og :math:`B=\sum_{n=1}^\infty b_n`, þ.e. báðar raðirnar eru samleitnar, þá gildir að (i) ef :math:`c` er fasti þá er :math:`\sum_{n=1}^\infty ca_n=cA`, (ii) :math:`\sum_{n=1}^\infty (a_n\pm b_n)=A\pm B`, (iii) ef :math:`a_n\leq b_n` fyrir öll :math:`n` þá er :math:`A\leq B`. Setning ~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Ef röð :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` er samleitin þá er .. math:: \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0. Athugasemd ~~~~~~~~~~ .. admonition:: Athugasemd :class: athugasemd Þó svo :math:`\lim_{n \to \infty} a_n = 0` þá er ekki víst að röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` sé samleitin. .. index:: röð; kvótaröð Kvótaraðir ~~~~~~~~~~ Röðin .. math:: \sum_{n=0}^\infty a^n kallast *kvótaröð*. Hún er samleitin ef :math:`-11` en ósamleitin ef :math:`p\leq 1`. Svona röð er jafnan kölluð :math:`p`-röð. Setning: Samleitnipróf IV – Markgildissamanburðarpróf ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Gerum ráð fyrir að :math:`a_n\geq 0` og :math:`b_n\geq 0` fyrir allar náttúrlegar tölur :math:`n` og :math:`\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=L`, þar sem :math:`L` er tala eða :math:`\infty`. (i) Ef :math:`L<\infty` og röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty b_n` er samleitin þá er röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` líka samleitin. (ii) Ef :math:`L>0` og röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty b_n` er ósamleitin þá er röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` líka ósamleitin. Setning: Samleitnipróf V – Kvótapróf ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Gerum ráð fyrir að :math:`a_n>0` fyrir öll :math:`n` og að markgildið :math:`\rho=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}` sé skilgreint eða að það sé :math:`\infty`. (i) Ef :math:`0\leq\rho<1` þá er röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` samleitin. (ii) Ef :math:`1<\rho\leq \infty` þá er röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` ósamleitin. (iii) Ef :math:`\rho=1` þá er ekkert hægt að fullyrða um hvort röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` er samleitin eða ósamleitin, hvor tveggja kemur til greina og nota þarf aðrar aðferðir til að skera úr um það. Setning: Samleitnipróf VI – Rótarpróf ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Gerum ráð fyrir að :math:`a_n>0` fyrir öll :math:`n` og að markgildið :math:`\sigma=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}` sé skilgreint eða að það sé :math:`\infty`. (i) Ef :math:`0\leq\sigma<1` þá er röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` samleitin. (ii) Ef :math:`1<\sigma\leq \infty` þá er röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` ósamleitin. (iii) Ef :math:`\sigma=1` þá er ekkert hægt að fullyrða um hvort röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` er samleitin eða ósamleitin, hvor tveggja kemur til greina og nota þarf aðrar aðferðir til að skera úr um það. .. _vixlmerkjaprof: Setning: Samleitnipróf VII – Víxlmerkjaraðapróf ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Gerum ráð fyrir að (i) :math:`a_n\geq 0` fyrir öll :math:`n` (frekar jákvæðir liðir), (ii) :math:`a_{n+1}\leq a_n` fyrir öll :math:`n` (frekar minnkandi), (iii) :math:`\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=0` (stefnir á 0). Þá er víxlmerkjaröðin .. math:: \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots samleitin. Fylgisetning ~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Gerum ráð fyrir að runa :math:`\{a_n\}` uppfylli skilyrðin sem gefin eru í setningunni á undan :ref:`(9.3.9) `. Látum :math:`s_n` tákna summu :math:`n` fyrstu liða raðarinnar :math:`\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n` og táknum summu raðarinnar með :math:`s`. Þá gildir að :math:`|s-s_n|\leq |a_{n+1}|`. .. index:: röð; alsamleitni Alsamleitni ----------- Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Röð :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` er sögð vera *alsamleitin* ef röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty |a_n|` er samleitin. Setning ~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Röð sem er alsamleitin er samleitin. Athugasemd ~~~~~~~~~~ .. admonition:: Athugasemd :class: athugasemd Til eru samleitnar raðir, t.d. röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}`, sem eru ekki alsamleitnar. .. index:: röð; skilyrt samleitni Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Samleitin röð sem er ekki alsamleitin er sögð vera *skilyrt samleitin*, það er :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` er samleitin en röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty |a_n|` er ósamleitin. Setning: Umröðun ~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Dæmi um umröðun á liðum raðar :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` er .. math:: a_{10}+a_9+\cdots+a_1+a_{100}+a_{99}+\cdots+a_{11}+ a_{1000}+a_{999}+\cdots. (i) Ef röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` er alsamleitin þá skiptir engu máli hvernig liðum raðarinnar er umraðað, summan verður alltaf sú sama. (ii) Ef röðin :math:`\sum_{n=1}^\infty a_n` er skilyrt samleitin og :math:`L` einhver rauntala, eða :math:`\pm\infty` þá er hægt að umraða liðum raðarinnar þannig að summan eftir umröðun verði :math:`L`. .. admonition:: Athugasemd :class: athugasemd Með öðrum orðum: Liðum skilyrt samleitinnar raðar má umraða þannig að summan getur orðið hvað sem er, það skiptir því máli í hvaða röð við leggjum saman. Æfingadæmi ~~~~~~~~~~ .. eqt:: daemi-ODE **Æfingadæmi** Röðin :math:`\sum_{n=2}^\infty \frac{sin(n)}{n^2}` er: A) :eqt:`C` Alsamleitin #) :eqt:`I` Skilyrt samleitin #) :eqt:`I` Ósamleitin #) :eqt:`I` Hálfsamleitin .. eqt-solution:: Hér er valmöguleiki d) augljóslega ekki réttur þar sem ekkert er til sem heitir *hálfsamleitni*. Athugum nú að :math:`\frac{|\sin(n)|}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}` þar sem :math:`|\sin(n)| \leq 1` fyrir öll :math:`n`. Hlutsummurnar .. math:: s_n = \sum_{j=2}^n \frac{|\sin(j)|}{j^2} eru vaxandi og takmarkaðar að ofan af .. math:: t_n = \sum_{j=2}^n \frac{1}{j^2}