Rúmmál, massi og massamiðja =========================== .. admonition:: Athugasemd :class: athugasemd **Nauðsynleg undirstaða** - `Undirstöðuatriði í rúmfræði `_. *The fact that we live at the bottom of a deep gravity well, on the surface of a gas covered planet going around a nuclear fireball 90 million miles away and think this to be normal is obviously some indication of how skewed our perspective tends to be.* \- Douglas Adams, The Salmon of Doubt: Hitchhiking the Galaxy One Last Time .. todo:: myndir/geogebra .. index:: rúmmál Rúmmál, lengd og flatarmál -------------------------- Rúmmál rúmskika ~~~~~~~~~~~~~~~ Rúmskiki :math:`D` liggur á milli plananna :math:`x=a` og :math:`x=b`. Táknum með :math:`A(x)` flatarmál þversniðs :math:`D` við plan sem sker :math:`x`-ásinn í :math:`x` og er hornrétt á :math:`x`-ás. Ef fallið :math:`A(x)` er heildanlegt yfir bilið :math:`[a, b]` þá er rúmmál :math:`D` jafnt og .. math:: V=\int_a^b A(x)\,dx. .. index:: rúmmál; keilu Rúmmál keilu ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`F` vera takmarkaðan samanhangandi bút af plani og látum :math:`T` vera punkt sem liggur ekki í planinu. Látum :math:`A` tákna flatarmál :math:`F` og :math:`h` tákna fjarlægð topppunktsins frá planinu sem grunnflöturinn liggur í. :hover:`Keila` með grunnflöt :math:`F` og topppunkt :math:`T` er rúmskiki sem afmarkast af grunnfletinum :math:`F` og öllum strikum sem liggja frá punktum á jaðri :math:`F` til :math:`T`. Rúmmál keilunnar er .. math:: V=\frac{1}{3}hA=\frac{1}{3}(\text{hæð})(\text{flatarmál grunnflatar}). Formúlan gildir óháð lögun grunnflatarins :math:`F`. .. index:: rúmmál; snúðs, snúið um x-ás Rúmmál snúðs, snúið um :math:`x`-ás ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera samfellt fall á bili :math:`[a, b]`. Rúmskikinn sem myndast þegar svæðinu sem afmarkast af :math:`x`-ás, grafinu :math:`y=f(x)` og línunum :math:`x=a` og :math:`x=b` er snúið :math:`360^\circ` um :math:`x`-ás hefur rúmmálið .. math:: V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx. Sjá `3D volume by rotation of a function `_ eftir `George Katehos `_ (CC-BY-SA). .. index:: rúmmál; snúðs með gati Rúmmál snúðs með gati ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` og :math:`g` vera tvö samfelld föll skilgreind á bilinu :math:`[a, b]`. Gerum ráð fyrir að um öll :math:`x\in [a, b]` gildi að :math:`0\leq f(x)\leq g(x)`. Þegar svæðinu milli grafa :math:`f` og :math:`g` er snúið :math:`360^\circ` um :math:`x`-ás fæst rúmskiki sem hefur rúmmálið .. math:: V=\pi\int_a^b g(x)^2-f(x)^2\,dx. .. index:: rúmmál; snúðs, snúið um y-ás Rúmmál snúðs, snúið um :math:`y`-ás ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera samfellt fall skilgreint á bili :math:`[a, b]`, með :math:`0\leq a`_ eftir `Daniel Mentrard `_. Lengd grafs ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera fall skilgreint á bili :math:`[a, b]` sem hefur samfellda afleiðu. Lengd grafsins :math:`y=f(x)` milli :math:`x=a` og :math:`x=b` er skilgreind sem .. math:: s=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx. .. index:: flatarmál; yfirborðsflatarmál snúðs, snúið um x-ás Flatarmál snúðflatar, snúið um :math:`x`-ás ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera samfellt fall skilgreint á bili :math:`[a, b]`. Grafinu :math:`y=f(x)` er snúið :math:`360^\circ` um :math:`x`-ás og myndast við það flötur. Flatarmál flatarins er gefið með formúlunni .. math:: S=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx. .. index:: flatarmál; yfirborðsflatarmál snúðs, snúið um y-ás Flatarmál snúðflatar, snúið um :math:`y`-ás ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Látum :math:`f` vera samfellt fall skilgreint á bili :math:`[a, b]`. Grafinu :math:`y=f(x)` er snúið :math:`360^\circ` um :math:`y`-ás og myndast við það flötur. Flatarmál flatarins er gefið með formúlunni .. math:: S=2\pi\int_a^b|x|\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx. .. index:: massi Massi ----- .. index:: massi; vírs massi; massafrymi Massi vírs ~~~~~~~~~~~~~~~~~ Vír liggur eftir ferli :math:`y=f(x)` þar sem :math:`a\leq x\leq b`. Efnisþéttleiki (eðlisþyngdin) í punkti :math:`(x, f(x))` er gefinn sem :math:`\delta(x)`. *Massafrymi* vírsins (massi örbúts af lengd :math:`ds`) er .. math:: dm = \delta(x)\, ds =\delta(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\, dx, og massi alls vírsins er .. math:: m=\int_a^b \delta(x)\,ds=\int_a^b \delta(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\, dx. .. index:: massi; plötu .. _massi-plotu: Massi plötu ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Plata afmarkast af :math:`x`-ás, grafinu :math:`y=f(x)` og línunum :math:`x=a` og :math:`x=b`. Á línu sem er hornrétt á :math:`x`-ás og sker :math:`x`-ásinn í :math:`x` er efnisþéttleikinn fastur og gefinn með :math:`\delta(x)`. Flatarmál örsneiðar milli lína hornréttra á :math:`x`-ás sem skera ásinn í :math:`x` og :math:`x+dx` er :math:`dA=f(x)\,dx`. Massafrymi fyrir plötuna (massi örsneiðarinnar) er .. math:: dm =\delta(x)dA = \delta(x) f(x)\,dx, og massi allrar plötunnar er .. math:: m=\int_a^b \delta(x)f(x)\,dx. .. index:: massi; rúmskika Massi rúmskika ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Rúmskiki :math:`D` liggur á milli plananna :math:`x=a` og :math:`x=b`. Táknum með :math:`A(x)` flatarmál þversniðs :math:`D` við plan sem sker :math:`x`-ásinn í :math:`x` og er hornrétt á :math:`x`-ás. Gerum ráð fyrir að efnisþéttleikinn sé fastur á hverju þversniði, og að á þversniði :math:`D` við plan sem sker :math:`x`-ásinn í :math:`x` og er hornrétt á :math:`x`-ás sé efnisþéttleikinn gefinn með :math:`\delta(x)`. Rúmmálsfrymi (rúmmál örsneiðar úr :math:`D` sem liggur á milli tveggja plana sem eru hornrétt á :math:`x`-ásinn og skera :math:`x`-ásinn í :math:`x` og :math:`x+dx`) er :math:`dV=A(x)\, dx`. Massafrymi (massi örsneiðarinnar) er .. math:: dm=\delta(x)\, dV = \delta(x) A(x)\, dx, og massi rúmskikans :math:`D` er þá .. math:: m=\int_a^b \delta(x)A(x)\, dx. .. index:: massi; massamiðja massi; vægi Massamiðja ---------- Skilgreining: Massamiðja punktmassa ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Punktmassar :math:`m_1, m_2, \ldots, m_n` eru staðsettir í punktunum :math:`x_1, x_2, \ldots, x_n` á :math:`x`-ásnum. :hover:`Vægi` kerfisins um punktinn :math:`x=0` er skilgreint sem .. math:: M_{x=0}=\sum_{i=1}^n x_im_i, og massamiðja (e. center of mass) kerfisins er .. math:: \overline{x}=\frac{M_{x=0}}{m} = \frac{\sum_{i=1}^n x_im_i}{\sum_{i=1}^n m_i}. Skilgreining: Massamiðja ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Ef massi er dreifður samkvæmt þéttleika falli :math:`\delta(x)` um bil :math:`[a, b]` á :math:`x`-ásnum þá er massi og vægi um punktinn :math:`x=0` gefið með formúlunum .. math:: m=\int_a^b \delta(x)\,dx \qquad\text{ og }\qquad M_{x=0}= \int_a^b x\delta(x)\,dx. Massamiðjan er gefin með formúlunni .. math:: \overline{x}=\frac{M_{x=0}}{m} = \frac{\int_a^b x\delta(x)\,dx}{\int_a^b \delta(x)\,dx}. .. index:: massi; massamiðja plötu Skilgreining: Massamiðja plötu ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Skoðum plötu af sömu gerð og í :ref:`7.2.2 `. Vægi plötunnar um :math:`y`- og :math:`x`-ása eru gefin með formúlunum .. math:: M_{x=0}=\int_a^b x\delta(x)f(x)\,dx \qquad\text{og}\qquad M_{y=0}=\frac{1}{2}\int_a^b \delta(x)f(x)^2\,dx, og hnit massamiðju plötunnar, :math:`(\overline{x}, \overline{y})`, eru gefin með jöfnunum .. math:: \overline{x}=\frac{M_{x=0}}{m}= \frac{\int_a^b x\delta(x)f(x)\,dx}{\int_a^b \delta(x)f(x)\,dx} og .. math:: \overline{y}=\frac{M_{y=0}}{m}= \frac{\frac{1}{2}\int_a^b \delta(x)f(x)^2\,dx}{\int_a^b \delta(x)f(x)\,dx}. .. index:: setning Pappusar Setning Pappusar, I ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Látum :math:`R` vera svæði sem liggur í plani öðrum megin við línu :math:`L`. Látum :math:`A` tákna flatarmál :math:`R` og :math:`\overline{r}` tákna fjarlægð massamiðju :math:`R` frá :math:`L`. Þegar svæðinu :math:`R` er snúið :math:`360^\circ` um :math:`L` myndast snúðskiki með rúmmál .. math:: V=2\pi\overline{r}A. Setning Pappusar, II ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Látum :math:`C` vera feril sem liggur í plani og er allur öðrum megin við línu :math:`L`. Látum :math:`s` tákna lengd :math:`C` og :math:`\overline{r}` tákna fjarlægð massamiðju :math:`C` frá :math:`L`. Þegar ferlinum :math:`C` er snúið :math:`360^\circ` um :math:`L` myndast snúðflötur með flatarmál .. math:: S=2\pi\overline{r}s. Æfingadæmi ~~~~~~~~~~ .. eqt:: daemi-snudur **Æfingadæmi** Látum :math:`f(x)=x^2` vera gefið fall. Finnið rúmmál snúðsins (:math:`V`) sem myndast þegar fallinu :math:`f` er snúið um :math:`x`-ás og er á milli línanna :math:`x=-2` og :math:`x=1`. A) :eqt:`I` :math:`V= \tfrac{17\pi}{5}` #) :eqt:`C` :math:`V= \tfrac{33\pi}{5}` #) :eqt:`I` :math:`V= \tfrac{51\pi}{5}` #) :eqt:`I` :math:`V= \tfrac{63\pi}{5}` .. eqt-solution:: Setn. 7.1.3 gefur að .. math:: V= \pi \int_{-2}^1 \left(x^2 \right)^2 dx = \pi\left[ \tfrac{x^5}{5} \right]_{-2}^1 = \tfrac{33\pi}{5}.