Könnun falla
============

.. admonition:: Athugasemd
    :class: athugasemd

	**Nauðsynleg undirstaða**

	- :ref:`Vaxandi/minnkandi föll <vaxandiminnkandi>`. Sjá einnig `undirstöðuatriði um einhalla föll <https://edbook.hi.is/undirbuningur_stae/kafli05/index.html#einhalla-foll>`_.

	- :ref:`Afleiður <afleidur>`.  Sjá einnig `undirstöðuatriði um afleiður <https://edbook.hi.is/undirbuningur_stae/kafli11/index.html>`_.

	- :ref:`Útgildi <utgildi>`.

	- `Ójöfnur <https://edbook.hi.is/undirbuningur_stae/kafli02/index.html#ojofnur>`_.

	- `Graf vörpunnar <https://edbook.hi.is/undirbuningur_stae/kafli05/index.html#graf-vorpunnar>`_.


*"The Guide says there is an art to flying", said Ford, "or rather a knack.
The knack lies in learning how to throw yourself at the ground and miss."*

\- Douglas Adams, Life, the Universe and Everything

-------

Inngangur
---------

.. admonition:: Aðvörun
    :class: advorun

    **Frávik frá bókinni**

    Það sem á eftir kemur er eitt af fáum atriðum þar sem mín nálgun og
    skilgreiningar eru frábrugðnar þeim í kennslubókinni eftir Adams.

Hver er munurinn?
~~~~~~~~~~~~~~~~~

+----------------------------------------+---------------------------------------+
| .. _figa:                              | .. _figb:                             |
|                                        |                                       |
| .. image:: ./myndir/kafli05/01_f1.png  | .. image:: ./myndir/kafli05/01_g1.png |
|    :width: 95%                         |    :width: 95%                        |
|    :align: center                      |    :align: center                     |
|                                        |                                       |
+----------------------------------------+---------------------------------------+

Skoðum föllin tvö að ofan, þau eru augljóslega ekki eins, þannig að
spurningin er hvernig getum við lýst muninum á þeim?

Þau hugtök sem við höfum skoðað hingað til geta ekki greint á milli
þessara falla:

(i)   Þau hafa sama skilgreiningarmengið :math:`[A,B]`

(ii)  Þau taka sömu gildin í endapunktunum

(iii) Þau hafa bæði hágildi í :math:`A` og lággildi í :math:`B`

(iv)  Þau eru bæði samfelld og diffranleg

(v)  Þau eru bæði minnkandi (neikvæð afleiða)

Drögum sniðil
~~~~~~~~~~~~~

+----------------------------------------+---------------------------------------+
| .. _figa2:                             | .. _figb2:                            |
|                                        |                                       |
| .. image:: ./myndir/kafli05/01_f2.png  | .. image:: ./myndir/kafli05/01_g2.png |
|    :width: 95 %                        |    :width: 95 %                       |
|    :align: center                      |    :align: center                     |
|                                        |                                       |
+----------------------------------------+---------------------------------------+


Ef við veljum nú tvo punkta á :math:`[A,B]` af handahófi, köllum þá
:math:`x_1` og :math:`x_2`, og drögum línu (sniðil) í gegnum punktana á
gröfum :math:`f` og :math:`g` þá sjáum við að sniðillinn lendir fyrir
neðan :math:`g` en ofan :math:`f`.

Athugum nú að sérhvern punkt á milli :math:`x_1` og :math:`x_2` getum við skrifað á
forminu
:math:`\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2`, þar sem :math:`\alpha \in [0,1]`. En :math:`\alpha=0`
gefur :math:`x_2` og :math:`\alpha=1` gefur :math:`x_1`.

Þá er
:math:`y`-hnit punktsins á sniðlinum með þetta :math:`x`-hnit gefið með

.. math:: \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2), \qquad \alpha \in [0,1],

á fyrri myndinni og

.. math:: \alpha g(x_1) + (1-\alpha) g(x_2), \qquad \alpha \in [0,1],

á myndinni fyrir :math:`g`.

Ef graf :math:`f` liggur fyrir neðan sniðilinn þá þýðir það að fallgildi
:math:`f` í punktunum :math:`\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2` liggur fyrir
neðan punktinum á sniðlinum, það er

.. math:: f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\leq \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2).

Eins, ef graf :math:`g` liggur fyrir ofan sniðilinn þá gildir að

.. math:: g(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\geq \alpha g(x_1)+(1-\alpha)g(x_2).


+----------------------------------------+---------------------------------------+
| .. _figa3:                             | .. _figb3:                            |
|                                        |                                       |
| .. image:: ./myndir/kafli05/01_f3.png  | .. image:: ./myndir/kafli05/01_g3.png |
|    :width: 95 %                        |    :width: 95 %                       |
|    :align: center                      |    :align: center                     |
|                                        |                                       |
+----------------------------------------+---------------------------------------+

.. ggb:: JEABXuMZ
    :width: 700
    :height: 350
    :zoom_drag: false
    :img: 01_kupni.png
    :imgwidth: 12cm

-----

Kúpni
-----

.. index::
    kúpni
    fall; kúpt
    fall; hvelft

Skilgreining: Kúpt/hvelft
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Látum :math:`f:[a, b]\rightarrow {\mathbb  R}` vera fall.

    (i)  Segjum að fallið :math:`f` sé :hover:`kúpt,kúpt fall` ef um
         alla punkta :math:`x_1, x_2\in [a, b]` og sérhverja tölu
         :math:`0\leq
         \alpha\leq 1` gildir að

         .. math:: f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\leq \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2).

    (ii) Segjum að fallið :math:`f` sé :hover:`hvelft,hvelft fall`
         ef um alla punkta :math:`x_1, x_2\in [a, b]` og sérhverja tölu
         :math:`0\leq
         \alpha\leq 1` gildir að

         .. math:: f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\geq \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2).

.. admonition:: Athugasemd
    :class: athugasemd

    Hér erum við komin með hugtak sem getur útskýrt muninn á myndunum í byrjun
    kaflans, :math:`f` er kúpt og :math:`g` er hvelft.

-----

Auðkenning á kúpni með afleiðum
-------------------------------

+----------------------------------------+---------------------------------------+
| .. _fige:                              | .. _figf:                             |
|                                        |                                       |
| .. image:: ./myndir/kafli05/01_f1.png  | .. image:: ./myndir/kafli05/01_g1.png |
|    :width: 95 %                        |    :width: 95 %                       |
|    :align: center                      |    :align: center                     |
|                                        |                                       |
+----------------------------------------+---------------------------------------+

Athugasemd
~~~~~~~~~~

.. admonition:: Athugasemd
    :class: athugasemd

    Ef við skoðum afleiður fallanna :math:`f` og :math:`g` betur þá sjáum
    við að:

    (i)  Afleiða :math:`f` er mjög neikvæð nálægt :math:`A` og nálgast svo 0
         í :math:`B`, það er afleiðan er vaxandi.

    (ii) Afleiða :math:`g` er u.þ.b. 0 í :math:`A` og minnkar svo þegar við
         nálgumst :math:`B`, það er afleiðan er minnkandi.

    Með öðrum orðum

    .. math::

       (f')' = f'' \geq 0 \qquad   \text{og} \qquad
           (g')' = g'' \leq 0.

.. index::
    kupt-setn

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Fyrir tvídiffranlegt fall :math:`f` þá er eftirfarandi jafngilt

    (i)   :math:`f` er kúpt
    (ii)  :math:`f'` er vaxandi
    (iii) :math:`f'' \geq 0`

.. todo::  Sönnun


.. _hvelft-setn:

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Fyrir tvídiffranlegt fall :math:`g` þá er eftirfarandi jafngilt

    (i)   :math:`g` er hvelft
    (ii)  :math:`g'` er minnkandi
    (iii) :math:`g'' \leq 0`

.. admonition:: Aðvörun
    :class: advorun

    Hvort fall er kúpt eða hvelft er **algjörlega óháð** því hvort það er
    vaxandi eða minnkandi. Til dæmis er :math:`f(x) = x^2` kúpt en það er
    vaxandi þegar :math:`x>0` og minnkandi þegar :math:`x<0`.

.. admonition:: Aðvörun
    :class: advorun

    Föll eru ekki alltaf annað hvort kúpt eða hvelft alls staðar. Alveg
    eins og það eru til föll sem eru sums staðar vaxandi og sums staðar
    minnkandi, þá eru mörg föll sums staðar kúpt og sums staðar hveld.
    Þetta á til dæmis við um hornaföllin.

-------

Beygjuskilapunktar
------------------

.. index:: beygjuskilapunktar

Skilgreining
~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Punktur :math:`(x_0, f(x_0))` er sagður vera :hover:`beygjuskilapunktur,hverfipunktur`
    grafsins :math:`y=f(x)` ef

    (i)  grafið hefur snertilínu í :math:`x_0`, og
    (ii) grafið er kúpt öðru megin við :math:`x_0` og hvelft hinum megin við
         :math:`x_0`.

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Ef fallið :math:`f` er tvídiffranlegt þá er punkturinn :math:`x_0`
    beygjuskilapunktur fallsins :math:`f` ef og aðeins ef
    :math:`f''(x_0) =0` og :math:`f''` skiptir um formerki í :math:`x_0`.

.. image:: ./myndir/kafli05/04_beygjuskilapunktur.png
	:align: center
	:width: 75%


.. index::
    útgildi; út frá annarri afleiðu

Útgildi
-------

Hvar á að leita útgilda
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

:ref:`utgildi`  skoðuðum við í kafla 3.5, en nú ætlum við að skoða
hvernig önnur afleiðan nýtist til að finna og flokka útgildi.

Punktar sem koma til greina fyrir staðbundin útgildi falls :math:`f` eru

(i)   punktar :math:`x_0` þar sem :math:`f'(x_0)=0`,

(ii)  punktar :math:`x_0` þar sem :math:`f'(x_0)` er ekki skilgreint,

(iii) þeir endapunktar skilgreiningarmengisins þar sem fallið er
      skilgreint.

Hágildi/lágildi út frá formerki afleiðu
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Látum :math:`x_0` vera innri punkt á skilgreiningarsvæði :math:`f`.
Gerum ráð fyrir að :math:`f` sé diffranlegt í öllum punktum í einhverju
bili utan um :math:`x_0` og að :math:`f'(x_0)=0`.

(i)   Ef formerki :math:`f'` breytist úr plús í mínus í :math:`x_0`
      (farið frá vinstri til hægri eftir rauntalnaásnum) þá er
      staðbundið hágildi í :math:`x_0`.

(ii)  Ef formerki :math:`f'` breytist úr mínus í plús í :math:`x_0` þá
      er staðbundið lággildi í :math:`x_0`.

(iii) Ef formerki :math:`f'` breytist ekki í :math:`x_0` þá er hvorki
      há- né lággildi í :math:`x_0`.

Útgildi og önnur afleiðan
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

(i)  Ef :math:`f'(x_0)=0` og :math:`f''(x_0)<0` þá er :math:`x_0`
     staðbundið hágildi.

(ii) Ef :math:`f'(x_0)=0` og :math:`f''(x_0)>0` þá er :math:`x_0`
     staðbundið lággildi.

.. admonition:: Aðvörun
    :class: advorun

    Athugið að ef :math:`f''(x_0)=0` þá getur :math:`x_0` verið hvort sem er
    staðbundið hágildi, staðbundið lággildi eða beygjuskilapunktur.


.. index::
    aðfellur
    aðfellur; lóðrétt
    aðfellur; lárétt
    aðfellur; skáfella
    see: skáfella; aðfellur

Aðfellur
--------

Skilgreining: Lóðrétt aðfella
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Fallið :math:`f` hefur *lóðrétta aðfellu* í punktinum :math:`a` ef
    :math:`\lim_{x\to a^-} f(x) = \pm \infty` og/eða
    :math:`\lim_{x\to a^+} f(x) = \pm \infty`. Aðfellan er þá línan :math:`x=a`.

.. image:: ./myndir/kafli05/06_lodfellur.png
	:align: center
	:width: 75%

*Fallið* :math:`\frac{1}{\sin(x)}` *hefur lóðréttar aðfellur í öllum punktum þar sem* :math:`\sin(x)=0`.

Skilgreining: Lárétt aðfella
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Fallið :math:`f` hefur *lárétta aðfellu* ef
    :math:`\lim_{x\to \infty} f(x) = L` og/eða
    :math:`\lim_{x\to -\infty} f(x) = L`. Aðfellan er þá línan :math:`y=L`.

.. image:: ./myndir/kafli05/06_arctanadfellur.png
	:align: center
	:width: 75%

*Fallið* :math:`\arctan(x)` *hefur tvær láréttar aðfellur,* :math:`y=\frac{\pi}{2}` *og* :math:`y=\frac{-\pi}{2}`.


Skáfella
~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Fallið :math:`f` hefur *skáfellu* ef til eru :math:`a` og :math:`b`
    þannig að :math:`\lim_{x\to \infty} f(x) -ax-b = 0` og/eða
    :math:`\lim_{x\to -\infty} f(x) -ax-b= 0`.

    Skáfellan er þá línan :math:`y=ax+b`.

.. image:: ./myndir/kafli05/06_lodogskafellur.png
	:align: center
	:width: 75%

*Fallið* :math:`\frac{x^2}{2x-4}` *hefur skáfelluna* :math:`y=\frac{1}{2}x+1` *auk lóðréttu aðfellunnar* :math:`x=2`.

---------

.. only:: latex

    .. raw:: latex

        \newpage

Að teikna graf falls
--------------------

Þegar teikna á graf fallsins :math:`f` er gagnlegt að fara í gegnum atriðin á eftirfarandi lista:

1. Ákvarðið :math:`f'` og :math:`f''` og þáttið útkomurnar ef hægt er.
2. Kannið :math:`f` til að ákvarða skilgreiningarmengi þess auk eftirfarandi eiginleika:
    (a) Lóðréttar aðfellur. (Leitið að rótum nefnara)
    (b) Láréttar aðfellur og skáfellur. (Finnið :math:`\lim_{x \to \pm\infty}f(x)`.)
    (c) Samhverfa (er :math:`f` jafnstætt eða oddstætt?)
    (d) Skurðpunktar við ása (punktar með hnit :math:`(x,0)` eða :math:`(0,y)`), endapunktar skilgreiningamengisins eða aðrir punktar á grafinu þar sem einfalt er að reikna út bæði hnitin.
3. Kannið :math:`f'` til að ákvarða eftirfarandi:
    (a) Útgildispunkta.
    (b) Punktar þar sem :math:`f'` er ekki skilgreint (sérstöðupunktar, endapunktar skilgreiningarmengis :math:`f` og lóðréttar aðfellur)
    (c) Bilin þar sem :math:`f'` er jákvætt
        og neikvætt. Það er góð hugmynd að setja þessar upplýsingar fram í töflu. Á töfluna má svo líka merkja inn niðurstöður um hvar :math:`f` er vaxandi og minnkandi og hvort útgildispunktar séu staðbundin hágildi eða lággildi.
4. Kannið :math:`f''` til að ákvarða eftirfarandi:
    (a) Punktar þar sem :math:`f''(x)=0`.
    (b) Punktar þar sem :math:`f''` er ekki skilgreint (sérstöðupunktar, endapunktar skilgreiningarmengis :math:`f` og lóðréttar aðfellur, e.t.v. auk fleiri punkta þar sem :math:`f'` er skilgreint en ekki :math:`f''`.)
    (c) Bilin þar sem :math:`f''` er jákvætt og neikvætt og :math:`f` þar af leiðandi kúpt og hvelft. Hér er gagnlegt að útbúa töflu.
    (d) Beygjuskilapunktar.

-------


.. raw:: latex

    \newpage

.. index::
    útgildisverkefni

Útgildisverkefni
----------------

Markmiðið
~~~~~~~~~

Útgildisverkefni snúast um það að hámarka eða lágmarka tiltekna stærð, t.d.
verð, rúmmál, lengd, ... . Þá þarf að finna (helst diffranlegt) fall fyrir stærðina
sem við höfum áhuga á hámarka/lágmarka en þó með þeim skorðum sem vandamálið setur okkur.

Til þess að þetta sé mögulegt má fallið bara vera háð einni breytu og
það þarf helst að vera diffranlegt.

Þá getum við fundið útgildi með þeim aðferðum sem við erum búin að koma
okkur upp.

Að leysa útgildisvandamál
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

(i)    Lesið vandamálið vandlega og áttið ykkur á því hvert það er og
       hvað á að finna.

(ii)   Teiknið mynd ef mögulegt er, hún gefur oft upplýsingar um skorður
       sem hjálpa okkur að útbúa fallið.

(iii)  Skilgreinið aukabreytur.

(iv)   Skilgreinið fallið, sem fall af einni eða fleiri breytum.

(v)    Finnið skorður (jöfnur) sem hægt er að stinga inn í fallið

(vi)   Skrifið fallið sem fall af einni breytu.

(vii)  Finnið útgildi

(viii) Dragið ályktanir af niðurstöðunni, og athugið hvort hún sé
       raunhæf miðað við verkefnið (rúmmál á ekki að vera neikvætt og
       þess háttar).

Dæmi: Gosdós
~~~~~~~~~~~~

Hvert er hagkvæmasta formið á sívalningslaga gosdós?

.. image:: ./myndir/kafli05/09_cylinder.png
	:align: center
	:height: 7cm


Dæmi: Kassi
~~~~~~~~~~~

Hvernig er stærsti (mesta rúmmálið) loklausi kassinn sem hægt er búa til úr
örk sem er :math:`12 \times 12`?

.. image:: ./myndir/kafli05/09_kassi.png
	:align: center
	:width: 75%

Æfingadæmi
~~~~~~~~~~

.. eqt:: daemi-utgildi

  **Æfingadæmi**
	Látum :math:`f(x)=x^3-2x^2-x+2` vera gefið fall. Hakið við þann kross sem á við um fallið.

  A) :eqt:`I` Fallið hefur staðbundið hágildi í :math:`x \approx 1,55` og er hvelft á bilinu :math:`(-\infty,\tfrac{2}{3})`.

  #) :eqt:`I` Fallið hefur núllstöðvar í :math:`x=\pm 1` og :math:`x=2` og er kúpt á bilinu :math:`(-\infty,\tfrac{2}{3})`.

  #) :eqt:`C` Fallið hvelft á bilinu :math:`(-\infty,\tfrac{2}{3})` og vaxandi á bilinu :math:`(-\infty , \tfrac{2-\sqrt{7}}{3}) \cup (\tfrac{2+\sqrt{7}}{3},\infty)`.

  #) :eqt:`I` Fallið hefur núllstöðvar í :math:`x=\pm 1` og :math:`x=2` og er minnkandi á bilinu :math:`(-\infty , \tfrac{2-\sqrt{7}}{3}) \cup (\tfrac{2+\sqrt{7}}{3},\infty)`.

  .. eqt-solution::

		Reiknum fyrstu og aðra afleiðu fallsins. Fáum

		.. math:: f'(x) = 3x^2 - 4x - 1

		og

		.. math:: f''(x) = 6x - 4.

		Fáum að

		.. math:: 3x^2 - 4x - 1 = 0 \iff x = \tfrac{2 \pm \sqrt{7}}{3}

		og

		.. math:: 6x - 4 = 0 \iff x = \tfrac{2}{3}.

		Auðvelt er að sýna að :math:`f'(x)>0` ef :math:`x \in (-\infty;\tfrac{2-\sqrt{7}}{3}) \cup (\tfrac{2+\sqrt{7}}{3},\infty)` og er því fallið vaxandi á því bili
		sem og að :math:`f''(x)<0` ef :math:`x \in (-\infty,\tfrac{2}{3})` og gefur :ref:`setning 5.3.3<hvelft-setn>` að fallið sé hvelft á því bili.