Afleiður
========
.. admonition:: Athugasemd
    :class: athugasemd

    **Nauðsynleg undirstaða**

    - :ref:`Markgildi`. Sjá einnig `undirstöðuatriði um markgildi <https://edbook.hi.is/undirbuningur_stae/kafli10/index.html>`_.
    - :ref:`Samfelldni`. Sjá einnig `undirstöðuatriði um samfelld föll <https://edbook.hi.is/undirbuningur_stae/kafli10/index.html#id1>`_.
    - :ref:`Samskeyting falla <samskeyting>`. Sjá einnig `undirstöðuatriði um um samskeytingu <https://edbook.hi.is/undirbuningur_stae/kafli09/index.html#samskeyting-falla>`_.
    - :ref:`Andhverfur falla <andhverfa>`. Sjá einnig `undirstöðuatriði um andhverfur <https://edbook.hi.is/undirbuningur_stae/kafli05/index.html#andhverfur-falla>`_.
    - `Hornaföll, P7 <https://edbook.hi.is/undirbuningur_stae/kafli07/index.html>`_.

*He felt that his whole life was some kind of dream and he sometimes wondered whose it was and whether they were enjoying it.*

-- Douglas Adams, The Hitchhiker's Guide to the Galaxy


------

.. index::
    afleiða

.. _afleidur:

Skilgreining á afleiðu
----------------------

Skilgreining: Afleiða
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Látum :math:`a` vera innri punkt skilgreiningarsvæðis falls :math:`f`.
    :hover:`Afleiða falls,afleiða` :math:`f` *í punkti* :math:`a` er skilgreind sem

    .. math:: f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

    Ef markgildið er til þá er sagt að fallið :math:`f` sé
    :hover:`diffranlegt,diffranlegur` *í
    punktinum* :math:`a`, en annars er sagt að fallið sé *ekki diffranlegt í
    punktinum* :math:`a`.

Dæmi
~~~~

.. admonition:: Dæmi
    :class: daemi

    Fallið :math:`f(x) = x^2` er diffranlegt í sérhverjum punkti :math:`a`.
    Það sést af því að

    .. math::
        \begin{aligned}
        \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
        &= \lim_{h\to 0} \frac{(a+h)^2-a^2}{h}\\
        &= \lim_{h\to 0} \frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\
        &= \lim_{h\to 0} \frac{2ah+h^2}{h}\\
        &= \lim_{h\to 0} 2a+h = 2a.\end{aligned}


.. ggb:: SUnNEmTG
    :width: 700
    :height: 500
    :img: ./01_afleida.png
    :imgwidth: 12cm

.. youtube:: qWbFOjuO_fU

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Ef fall :math:`f` er diffranlegt í punkti :math:`c` þá er :math:`f`
    samfellt í punktinum :math:`c`.

.. admonition:: Sönnun
    :class: setning, dropdown

    Skoðum markgildið :math:`f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}`. Þar
    sem :math:`h\to 0` þá verður teljarinn einnig að stefna á 0. Það er
    :math:`\lim_{h \to 0} f(c+h)-f(c) = 0`, eða
    :math:`\lim_{h \to 0} f(c+h) = f(c)`. Þetta má einnig rita
    :math:`\lim_{x \to c} f(x) = f(c)`, sem þýðir að fallið :math:`f` er
    samfellt í :math:`x=c`.


.. admonition:: Aðvörun
    :class: advorun

    Fall getur verið samfellt í punkti :math:`c` án þess að það sé
    diffranlegt í :math:`c`.

Dæmi
~~~~

.. admonition:: Dæmi
    :class: daemi

    Fallið :math:`f(x) = |x|` er samfellt. En það er ekki diffranlegt í
    punktinum :math:`x=0`. Það sést af því að

    .. math::
        \lim_{h\to 0^+} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{|h|}{h} = 1

    en

    .. math::
        \lim_{h\to 0^-} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{|h|}{h} = -1.

    Þannig að markgildið :math:`\lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}` er ekki til og því er
    fallið ekki diffranlegt í :math:`x=0`.

.. index::
    snertill
    sniðill
    seealso: snertill; sniðill
    seealso: sniðill; snertill

Snertill
~~~~~~~~

Afleiðu falls :math:`f` í punktinum :math:`a` fæst með því að taka
sniðil (e. secant) í gegnum punktana :math:`(a,f(a))` og :math:`(a+h,f(a+h))`, og
láta svo :math:`h` stefna á :math:`0`.

Þetta gefur hallatölu :hover:`snertilsins,snertill` við graf fallsins í punktinum
:math:`(a,f(a))`

Jafna snertils við graf fallsins í punktinum :math:`a` er línan

.. math:: y = f'(a)(x-a) + f(a).

.. ggb:: 1425869
    :width: 700
    :height: 400
    :img: ./01_05_snertill.png
    :imgwidth: 12cm
    :zoom_drag: true

Athugasemd: Hallatalan :math:`\infty` er ekki leyfð
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Athugasemd
    :class: athugasemd

    Við leyfum ekki :math:`f'(a) = \infty` eða
    :math:`f'(a) = -\infty`. Samanber
    :math:`f(x) = x^{\frac 13}` í :math:`a=0`,

    .. math::

       \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}h =
    	\lim_{h \to 0} \frac{h^{\frac 13}}h =
           \lim_{h \to 0} h^{-\frac 23} = \infty.

    Hér ætti því jafna snertilsins að vera :math:`x=0`.

    .. image:: ./myndir/kafli03/01_x13.png
    	:align: center
    	:width: 75%

    |

    Við viljum að snertillinn sé nálgun við graf fallsins fyrir :math:`x` nálægt
    :math:`a`, lóðrétt lína er gagnslaus nálgun því hún er ekki skilgreind sem
    fall af :math:`x`.

-------

Útvíkkun fyrir lokuð bil
------------------------

Ef fallið :math:`f` er skilgreint á lokuðu bili þá getum við skilgreint
afleiðuna í endapunktunum með því að taka markgildi frá hægri/vinstri
eftir því sem við á.

.. index::
    afleiða; hægri/vinstri

Skilgreining: Hægri/vinstri afleiða
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    (i)  *Hægri afleiða falls* :math:`f` *í punkti* :math:`x` er skilgreind
         sem

         .. math:: f_+'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

    (ii) *Vinstri afleiða falls* :math:`f` *í punkti* :math:`x` er
         skilgreind sem

         .. math:: f_-'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Ef :math:`x` er innri punktur í skilgreiningarsvæði fallsins :math:`f`
    þá er :math:`f` diffranlegt í :math:`x` þá og því aðeins að

    .. math::

       f_+'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
       =   f_-'(x)=\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},

    og þá er :math:`f'(x)` jafnt og markgildin hér fyrir ofan.

    Þetta leiðir beint af skilgreiningunum hér á undan og
    :ref:`Setningu 2.2.5 <setning-hv_markgildi>`.

.. index::
    afleiða; diffranlegt fall

Skilgreining: Diffranlegt fall
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Látum :math:`f` vera fall með skilgreiningarsvæði :math:`A`. Gerum ráð
    fyrir að :math:`A` sé sammengi endanlega margra bila. Við segjum að
    fallið :math:`f` sé *diffranlegt* ef það er diffranlegt í öllum innri
    punktum :math:`A` og diffranlegt frá vinstri/hægri í jaðarpunktum
    :math:`A` eftir því sem við á.

Ritháttur
~~~~~~~~~

Afleiða falls :math:`f` er ýmist táknuð með

.. math:: f', \qquad \frac {df}{dx}, \qquad D_x f \qquad \text{eða} \qquad Df.

Ef við skrifum :math:`y=f(x)` þá má einnig tákna hana með

.. math:: y', \qquad \frac {dy}{dx}, \qquad D_x y \qquad \text{eða} \qquad Dy.

Dæmi
~~~~

.. admonition:: Dæmi
    :class: daemi

    Fallið :math:`f(x) = \sqrt{x}`, :math:`f:[0,\infty[\to {{\mathbb  R}}`
    er diffranlegt á menginu :math:`]0,\infty[` og afleiðan er gefin með
    :math:`f'(x) = \frac 1{2\sqrt{x}} = \frac 12 x^{-1/2}` þar. Hins vegar
    er :math:`f` ekki diffranlegt í :math:`x=0` þrátt fyrir að fallgildið sé
    vel skilgreint (og fallið samfellt frá hægri) þar.

    Ef :math:`x>0` þá fæst

    .. math::

       \begin{aligned}
         \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}h &=
         \lim_{h\to 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\
         &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}^2-\sqrt{x}^2}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\
         &= \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\
         &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}},\end{aligned}

    sem segir okkur að :math:`f'(x) = \frac 12 x^{-1/2}`.

    Í vinstri endapunkti skilgreingarsvæðisins, :math:`x=0`, þá fæst hins
    vegar

    .. math::

       \begin{aligned}
         \lim_{h\to 0^+} \frac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}h &=
         \lim_{h\to 0^+} \frac{\sqrt{h}}h\\
         &= \lim_{h\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = \infty,\end{aligned}

    sem sýnir að fallið er ekki diffranlegt frá hægri í :math:`x=0`.

--------

.. index::
    reiknireglur

.. _reiknireglura:

Reiknireglur
------------

.. _`Setning 3.3.1`:

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Látum :math:`f` og :math:`g` vera föll sem eru diffranleg í punkti
    :math:`x`. Þá eru föllin :math:`f+g,\ f-g, kf` (þar sem :math:`k` er
    fasti) og :math:`fg` diffranleg í punktinum :math:`x`, og ef
    :math:`g(x)\neq 0` þá eru föllin :math:`1/g` og :math:`f/g` líka
    diffranleg í :math:`x`.

    Eftirfarandi formúlur gilda um afleiður fallanna sem talin eru upp hér
    að framan:

    (i)   :math:`(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)`
    (ii)  :math:`(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)`
    (iii) :math:`(kf)'(x)=kf'(x)`, þar sem :math:`k` er fasti
    (iv)  :math:`(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)`
    (v)   :math:`\displaystyle\Bigg(\frac{1}{g}\Bigg)'(x)=\frac{-g'(x)}{g(x)^2}`,
          ef :math:`g(x)\neq 0`
    (vi)  :math:`\displaystyle\Bigg(\frac{f}{g}\Bigg)'(x)=
          \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}`, ef :math:`g(x)\neq 0`

.. _`Setning 3.3.2`:

Nokkrar afleiður
~~~~~~~~~~~~~~~~

(i)   :math:`\frac{d}{dx} c =  \lim_{h\to 0} \frac{c-c}h = 0`

(ii)  :math:`\frac{d}{dx} x =  \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}h = 1`

(iii) :math:`\frac{d}{dx} x^2 = \lim_{h\to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}h
      = \lim_{h\to 0} \frac{2xh + h^2}h = \lim_{h\to 0} 2x+h= 2x`

.. _`Setning 3.3.3`:

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    .. math:: \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}

.. admonition:: Sönnun
    :class: setning, dropdown

    Sýnum þetta með þrepun.Tilfellið :math:`n=1` er afgreitt hér að ofan
    (`3.3.2 (2) <Setning 3.3.2>`_).
    Gerum ráð fyrir að niðurstaðan gildi fyrir :math:`n` og sýnum að þá
    gildi hún einnig fyrir :math:`n+1`,

    .. math::

       \frac{d}{dx} x^{n+1} = \frac{d}{dx} (x\cdot x^n) =
           \left(\frac{d}{dx} x\right) x^n + x\frac{d}{dx} x^n
           = x^n + x\,
           \underbrace{n\, x^{n-1}}_\text{þ.f.}
           = (n+1) x^n.

Afleiður margliða
~~~~~~~~~~~~~~~~~

Með því að nota setningarnar að ofan þá eigum við ekki í neinum
vandræðum með að diffra margliður. `Setning 3.3.1`_ (i) segir
að við getum diffrað hvern lið fyrir sig, liður (iii) í sömu setningu
segir að við getum tekið fastana fram fyrir afleiðuna og loks segir
`Setning 3.3.3`_ hvernig við diffrum :math:`x^n`.

Dæmi: Afleiða margliðu
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Dæmi
    :class: daemi

    Finnum afleiðu margliðunnar :math:`p(x) = 4x^3-2x + 5`. Nú er

    .. math::

       \begin{aligned}
       \frac{d}{dx} p(x)
       &= \frac{d}{dx}4x^3 - \frac{d}{dx}2x + \frac{d}{dx}5 \\
       &= 4\frac{d}{dx}x^3 -2\frac{d}{dx}x + \frac{d}{dx}5 =
       4\cdot 3x^2 -2\cdot 1 + 0 = 12x^2-2\end{aligned}

.. index::
    keðjureglan

.. _kedjuregla:

Setning: Keðjureglan
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Keðjureglan
    :class: setning

    Gerum ráð fyrir að :math:`f` og :math:`g` séu föll þannig að :math:`g`
    er diffranlegt í :math:`x` og :math:`f` er diffranlegt í :math:`g(x)`.
    Þá er samskeytingin :math:`f\circ g` diffranleg í :math:`x` og

    .. math:: (f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x).

Dæmi
~~~~

.. admonition:: Dæmi
    :class: daemi

    Skoðum föllin :math:`f(x) = \sqrt x` og :math:`g(x) = 3x^5`. Bæði þessi föll eru
    diffranleg og afleiðurnar eru :math:`f'(x) = \frac 12 x^{-1/2}` og
    :math:`g'(x) = 15x^4`. Afleiða samskeytingarinnar :math:`f\circ g` er þá
    samkvæmt keðjureglunni

    .. math::
            (f\circ g)'(x) = \frac 12 (3x^5)^{-1/2} \cdot 15x^4.

--------


Hærri afleiður
--------------

Skilgreining
~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Látum :math:`f` vera fall. *Afleiðan* :math:`f'` er fall sem skilgreint er
    í öllum punktum þar sem :math:`f` er diffranlegt.

    Ef fallið :math:`f'` er diffranlegt í punkti :math:`x` þá er afleiða
    :math:`f'` í punktinum :math:`x` táknuð með :math:`f''(x)` og kölluð
    önnur afleiða (e. second derivative) :math:`f` í punktinum :math:`x`. Líta má á aðra afleiðu
    :math:`f` sem fall :math:`f''` sem er skilgreint í öllum punktum þar sem
    :math:`f'` er diffranlegt.

    Almennt má skilgreina :math:`n`\ *-tu afleiðu* :math:`f`, táknaða með
    :math:`f^{(n)}`, þannig að í þeim punktum :math:`x` þar sem fallið
    :math:`f^{(n-1)}` er diffranlegt þá er
    :math:`f^{(n)}(x)=\frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)`.

Dæmi
~~~~

.. admonition:: Dæmi
    :class: daemi

    Ef :math:`f(x)  = 3x^2`, þá er

    .. math:: f'(x) = 3\frac{d}{dx}x^2 = 3\cdot 2x = 6x

    og

    .. math:: f''(x) = \frac{d}{dx} 6x = 6.

Ritháttur
~~~~~~~~~

Ritum :math:`y=f(x)`.

Þá má tákna fyrstu afleiðu :math:`f` með

.. math:: y'= f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=D_xf(x)\ =\ D_x y= \frac{dy}{dx},

aðra afleiðuna með

.. math::

   \begin{aligned}
   y'' &=
   f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}f(x)
   = D^2_xf(x)= D^2_x y=\frac{d^2}{dx^2}f(x)=\frac{d^2 y}{dx^2}\end{aligned}

og almennt :math:`n`-tu afleiðuna

.. math::

   \begin{aligned}
   y^{(n)} &= f^{(n)}(x)=\frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)=
   \frac{d}{dx}\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}f(x)\Big) \\
   &=D^n_xf(x)\ =\ D^n_x y
   =\frac{d^n}{dx^n}f(x)
   = \frac{d^n y}{dx^n}.\end{aligned}

.. admonition:: Athugasemd
    :class: athugasemd

    Venja er að rita :math:`f'''` til að tákna þriðju afleiðu :math:`f` en
    afar sjaldgæft að :math:`f''''` sé notað til að tákna fjórðu afleiðu
    :math:`f` og mun algengara að nota :math:`f^{(4)}`.

------

.. _utgildi:

Útgildi
-------

.. index::
    útgildi
    útgildi; hágildi
    útgildi; lággildi


Skilgreining: Útgildi
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Við segjum að fall :math:`f` hafi :hover:`staðbundið hágildi` í punktinum
    :math:`x_0` ef til er bil :math:`(a,b)` umhverfis :math:`x_0`, sem er
    þannig að

    .. math:: f(x) \leq f(x_0), \quad \text{ fyrir öll } x \in (a,b).

    Við segjum að fall :math:`f` hafi :hover:`staðbundið lággildi` í punktinum
    :math:`x_0` ef til er bil :math:`(a,b)` umhverfis :math:`x_0`, sem er
    þannig að

    .. math:: f(x) \geq f(x_0), \quad \text{ fyrir öll } x \in (a,b).

    Tölum um að fallið :math:`f` hafi :hover:`staðbundið útgildi` í punktinum
    :math:`x_0` ef það hefur staðbundið hágildi eða staðbundið lággildi þar.

.. _`Setning 3.5.2`:

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Ef fallið :math:`f` hefur staðbundið útgildi í punktinum :math:`x_0` og
    er diffranlegt þá er :math:`f'(x_0)=0`.

.. admonition:: Sönnun
    :class: setning, dropdown

    Gerum ráð fyrir að :math:`f` hafi staðbundið hágildi í punktinum :math:`x_0`.
    Þá er :math:`f(x_0)-f(x)\geq 0` og ef :math:`x<x_0`,
    þá fæst að  :math:`\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\geq 0`. Þetta þýðir að

    .. math::

       \lim_{x \to x_0^-} = \frac{f(x_0) - f(x)}{x_0-x} \geq 0.

    Eins þá er :math:`f(x_0)-f(x)\geq 0` og ef :math:`x_0<x`,
    þá er :math:`\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x} \leq 0`.
    Þetta þýðir að

    .. math::

       \lim_{x \to x_0^+} = \frac{f(x_0) - f(x)}{x_0-x} \leq 0.

    Við vitum að markgildið
    :math:`\lim_{x\to x_0} \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}` er til þar sem fallið
    er diffranlegt, það þýðir að markgildin frá hægri og vinstri eru þau
    sömu. Eina leiðin til þess að það samræmist hægri og vinstri markgildunum
    hér að ofan er ef

    .. math:: f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x} = 0.

.. admonition:: Aðvörun
    :class: advorun

    Þó að :math:`f'(a)=0` þá er ekki víst að :math:`a` sé staðbundið útgildi.

    Til dæmis þá hefur fallið :math:`f(x) = x^3` ekkert staðbundið útgildi
    þrátt fyrir að :math:`f'(0) = 0` (:math:`f'(x) = 3x^2`).

----------

Hornaföll og afleiður þeirra
----------------------------

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    (i)   :math:`\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1`
    (ii)  :math:`\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x}=0`
    (iii) :math:`\displaystyle\frac{d}{dx}\sin x=\cos x`
    (iv)  :math:`\displaystyle\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x`
    (v)   :math:`\displaystyle\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x`

--------

Meðalgildissetningin
--------------------

.. index::
    setning Rolle

.. _`rolle`:

Setning Rolle
~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Setning Rolle
    :class: setning

    Látum :math:`g:[a,b]\rightarrow{{\mathbb  R}}` vera samfellt fall. Gerum
    ráð fyrir að :math:`g` sé diffranlegt í öllum punktum í bilinu
    :math:`(a,b)`. Ef :math:`g(a)=g(b)` þá er til punktur :math:`c` á bilinu
    :math:`(a,b)` þannig að :math:`g'(c)=0`.

.. admonition:: Sönnun
    :class: setning, dropdown

    Ef :math:`g(x)=c` er fasti, þá er :math:`g'(x)=0`. Ef hins vegar
    :math:`g` er ekki fasti þá er til :math:`x \in (a,b)` þannig að
    :math:`g(x)\neq g(a)`, gerum ráð fyrir að :math:`g(x)>g(a)`
    (tilfellið ef :math:`g(x)<g(a)` gengur nánast eins fyrir sig).
    Samkvæmt :ref:`Há- og lággildislögmálinu <Há- og lággildislögmálið>`
    þá tekur fallið :math:`g` sitt hæsta
    gildi í punkti :math:`c` á bilinu :math:`[a,b]`.Þar sem
    :math:`g(c)\geq g(x) >  g(a) = g(b)` þá getur :math:`c` hvorki verið
    :math:`a` né :math:`b`.
    Þar sem :math:`c`
    er útgildi þá segir `Setning 3.5.2`_ að :math:`g'(c)=0`.

.. index::
    meðalgildissetningin

Meðalgildissetningin
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Meðalgildissetningin
    :class: setning

    Látum :math:`f:[a,b]\rightarrow{{\mathbb  R}}` vera samfellt fall. Gerum
    ráð fyrir að :math:`f` sé diffranlegt í öllum punktum í bilinu
    :math:`(a,b)`. Þá er til punktur :math:`c` í bilinu :math:`(a,b)` þannig
    að

    .. math:: \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).

.. admonition:: Sönnun
    :class: setning, dropdown

    Skilgreinum nýtt fall

    .. math:: h(x)=f(x)-\left(f(a)+ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right).

    Athugið að :math:`h` er bara :math:`f` mínus :hover:`línufallið,línufall` gegnum punktana
    :math:`(a,f(a))` og :math:`(b,f(b))`. Þetta þýðir að :math:`h` er diffranlegt
    og að :math:`h(a)=h(b)=0`. Þá gefur :ref:`Setning Rolle <rolle>` að til er :math:`c` þannig að
    :math:`h'(c)=0`.

    Nú er

    .. math::
    	h'(x) = f'(x) - \left(0+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(1-0)\right)
    	= f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

    þannig að

    .. math:: 0 = h'(c) = f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a},

    eða

    .. math:: f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

.. admonition:: Athugasemd
    :class: athugasemd

    Niðurstöðuna úr :hover:`meðalgildissetningunni,meðalgildissetning` má orða svona:

    Í einhverjum punkti á bilinu er stundarbreytingin jöfn meðalbreytingunni
    yfir allt bilið.

.. index::
    meðalgildissetningin

Alhæfða meðalgildissetningin
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Gerum ráð fyrir að föllin :math:`f` og :math:`g` séu samfelld á lokaða
    bilinu :math:`[a,b]` og diffranleg á opna bilinu :math:`(a,b)`. Gerum
    auk þess ráð fyrir að fyrir allar tölur :math:`x` í :math:`(a,b)` sé
    :math:`g'(x)\neq 0`. Þá er til tala :math:`c\in (a,b)` þannig að

    .. math:: \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.

----------

.. _vaxandiminnkandi:

Vaxandi og minnkandi föll
-------------------------

.. index::
    fall; vaxandi/minnkandi

Skilgreining: Vaxandi/minnkandi
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Fall :math:`f` er *vaxandi* á bili :math:`(a,b)` ef um
    alla punkta :math:`x_1` og :math:`x_2` á :math:`(a,b)` þannig að
    :math:`x_1 < x_2` gildir að

    .. math:: f(x_1) \leq f(x_2).

    Fall :math:`f` er *stranglega vaxandi* á bili :math:`(a,b)`
    ef um alla punkta :math:`x_1` og :math:`x_2` á :math:`(a,b)` þannig að
    :math:`x_1 < x_2` gildir að

    .. math:: f(x_1) < f(x_2).

    Fall :math:`f` er *minnkandi* á bili :math:`(a,b)` ef um
    alla punkta :math:`x_1` og :math:`x_2` á :math:`(a,b)` þannig að
    :math:`x_1 < x_2` gildir að

    .. math:: f(x_1) \geq f(x_2).

    Fall :math:`f` er *stranglega minnkandi* á bili
    :math:`(a,b)` ef um alla punkta :math:`x_1` og :math:`x_2` á
    :math:`(a,b)` þannig að :math:`x_1 < x_2` gildir að

    .. math:: f(x_1) > f(x_2).

.. admonition:: Athugasemd
    :class: athugasemd

    Kennslubókin notar *nondecreasing/nonincreasing* fyrir vaxandi/minnkandi og
    *increasing/decreasing* fyrir stranglega vaxandi/minnkandi.

    Einnig þekkist að nota *increasing/decreasing* og *strictly increasing/decreasing*.
    Til dæmis er það gert á `Wikipedia: Monotonic functions <https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function>`_.

.. _vaxandieoae:

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Látum :math:`f` vera diffranlegt fall á bili. Þá er :math:`f` vaxandi þá og því
    aðeins að :math:`f' \geq 0`.

.. admonition:: Sönnun
    :class: setning, dropdown

    Byrjum á að gera ráð fyrir að fallið sé vaxandi. Festum punkt :math:`x` og
    sýnum að :math:`f'(x)\geq 0`. Þar sem :math:`f` er vaxandi þá gildir fyrir
    sérhvert :math:`h>0` að

    .. math::
        \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0

    Þá gildir einnig um markgildið :math:`\lim_{h\to 0^+} \frac{f(x+h)-f(x)}h \geq 0`.

    Ef hins vegar :math:`h<0` þá er :math:`x+h < x` og því
    :math:`f(x+h)<f(x)`. Þetta gefur að

    .. math::
        \frac{f(x+h)-f(x)}h \geq 0

    sem þýðir að :math:`\lim_{h\to 0^-} \frac{f(x+h)-f(x)}h \geq 0`. Og þar af leiðandi
    er :math:`f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}h \geq 0`.

    Gerum nú ráð fyrir :math:`f'\geq 0` og sýnum að þá sé fallið vaxandi.
    Festum tvo punkta :math:`x_1 < x_2`. Ef :math:`f(x_1) > f(x_2)`, það er
    :math:`f(x_2)-f(x_1)<0`
    þá er

    .. math::
        \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} < 0.

    Samkvæmt meðalgildissetningunni þá er til punktur :math:`¢` á bilinu :math:`[x_1,x_2]`
    þar sem afleiðan tekur þetta gildi, en það er í mótsögn við að  :math:`f'(c)\geq 0`.


.. _minnkandieoae:

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Látum :math:`f` vera diffranlegt fall á bili. Þá er :math:`f` minnkandi þá og
    því aðeins að :math:`f' \leq 0`.

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Látum :math:`f` vera diffranlegt fall á bili. Ef :math:`f'>0` þá er :math:`f`
    stranglega vaxandi.

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Látum :math:`f` vera diffranlegt fall á bili. Ef :math:`f'<0` þá er :math:`f`
    stranglega minnkandi.

.. admonition:: Aðvörun
    :class: advorun

    Diffranlegt fall getur verið stranglega vaxandi/minnkandi án þess að
    afleiðan sé alls staðar stærri/minni en 0. Til dæmis er afleiða :math:`f(x)=x^3` jöfn 0 í
    :math:`x=0` en fallið er stranglega vaxandi á öllum rauntalnaásnum.

Afleiður fastafalla
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Við vitum að ef :math:`f` er fasti, það er :math:`f(x)=c`, þá er
:math:`f'(x)=0` fyrir öll :math:`x`.

Nú fáum við einnig eftirfarandi út frá Setningum :ref:`3.8.2 <vaxandieoae>` og :ref:`3.8.3 <minnkandieoae>`:

Ef :math:`f` er diffranlegt fall á bili :math:`I` sem er þannig að
:math:`f'(x) = 0` á :math:`I`, þá er :math:`f` fasti,
þ.e. \ :math:`f(x) = c` fyrir öll :math:`x\in I`.

----------

Fólgin diffrun
--------------

Dæmi
~~~~

.. admonition:: Dæmi
    :class: daemi

    Jafna hrings með geisla 1 er :math:`x^2+y^2=1`. Við vitum að hægt er að
    skrifa efri og neðri helminga hans sem föll af :math:`y`, annars vegar
    :math:`y=\sqrt{1-x^2}` og hins vegar :math:`y=-\sqrt{1-x^2}`. Ef við
    viljum finna snertil við hringinn getum við notað þessi föll. En þar sem
    við vitum að hægt er að skrifa :math:`y` sem fall af :math:`x` þá getum
    við einnig diffrað jöfnu hringsins beint með aðstoð keðjureglunnar,

    .. math::

       \begin{aligned}
       \frac{d}{dx}(x^2+y^2) &=& \frac{d}{dx} 1\\
           2x + 2y\frac{dy}{dx} &=& 0\\
           y\frac{dy}{dx} &=& -x\\
           \frac{dy}{dx} &=& -\frac xy.\end{aligned}

.. image:: ./myndir/kafli03/11_hringur.png
	:align: center
	:width: 75%

Setning: Andhverfusetningin
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Látum feril vera gefinn með :math:`F(x,y) =0`, þar sem :math:`F` er
    diffranlegt í bæði :math:`x` og :math:`y`. Í punktum þar sem *snertill*
    ferilsins er ekki lóðréttur (þ.e. :math:`\frac{d}{dy}F \neq 0`) þá er hægt að
    skrifa :math:`y` sem fall af :math:`x` og þá fæst af keðjureglunni að

    .. math:: \frac{d}{dx} F(x,y) + \frac{d}{dy}F(x,y) \frac{dy}{dx} = 0,

    þ.e.

    .. math:: \frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{d}{dx} F(x,y)}{\frac{d}{dy} F(x,y)}.

Sjá https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_theorem

Með öðrum orðum
~~~~~~~~~~~~~~~

Það kemur í sama stað niður að einangra :math:`y=f(x)`, ef það er
mögulegt, og finna :math:`y'` með því að diffra, eins og að diffra
:math:`F(x,y)=0` og einangra svo :math:`y'=\frac{dy}{dx}`.

Vinnulag
~~~~~~~~

(i)     Diffrum báðar hliðar jöfnunar með tilliti til :math:`x`, og lítum á
        :math:`y` sem fall af :math:`x` sem við diffrum með aðstoð
        keðjureglunnar (og gleymum ekki :math:`y'`)

(ii)    Einangrum :math:`y'`

(iii)   Skiptum :math:`y` út fyrir :math:`f(x)`.

Setning: Hagnýting á fólginni diffrun
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Ef :math:`n` og :math:`m` eru heilar tölur þá er

    .. math:: \frac{d}{dx} x^{\frac nm} = \frac nm x^{\frac nm -1}.

.. admonition:: Sönnun
    :class: setning, dropdown

    Punktar á grafi fallsins :math:`x^{n/m}` ákvarðast af jöfnunni :math:`y=x^{n/m}`, það er
    :math:`y^m = x^n`. Skilgreinum því

    .. math:: F(x,y) = x^n-y^m

    Þar sem :math:`\frac d{dx} F(x,y) = nx^{n-1}` og
    :math:`\frac d{dy} F(x,y) = -my^{m-1}` þá fæst að

    .. math::

       \begin{aligned}
       y' &= \frac {d}{dx} y =
       - \frac{n x^{n-1}}{-m y^{m-1}} =
       \frac{n x^{n-1}}{m (x^{\frac nm})^{m-1}} \\
       &= \frac nm x^{(n-1) - \frac nm(m-1)}
       = \frac nm x^{n-1-n+\frac nm} = \frac nm x^{\frac nm -1}. \end{aligned}

------

.. index::
    fall; andhverfa

Andhverf föll
-------------

.. todo::
    Flytja/vísa í kafla 1?


Rifjum upp að gagntæk vörpun :math:`f:X\to Y` hefur andhverfu
:math:`f^{-1}:Y\to X` sem uppfyllir að

.. math:: y=f(x)\qquad\text{þá og því aðeins að}\qquad x=f^{-1}(y).

Sjá :ref:`kafla 1.4 <andhverfa>`.


Athugasemd
~~~~~~~~~~

.. admonition:: Athugasemd
    :class: athugasemd

    Látum :math:`f:X \to Y` vera fall sem skilgreint er á mengi :math:`X`. Gerum ráð
    fyrir að :math:`f` sé eintækt. Með því að einskorða bakmengi :math:`f` við
    myndmengið :math:`\tilde Y = f(X)` þá verður :math:`f:X\to \tilde Y` gagntækt fall.
    Þá er til andhverfa :math:`f^{-1}:\tilde Y \to X` sem uppfyllir

    .. math:: y=f(x)\qquad\text{þá og því aðeins að}\qquad x=f^{-1}(y).


Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Fall sem er strangt vaxandi eða strangt minnkandi er eintækt og á sér
    því andhverfu.

Eiginleikar andhverfra falla
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

(i)    :math:`y=f^{-1}(x)` þá og því aðeins að :math:`x=f(y)`.
(ii)   Skilgreingarsvæði :math:`f` er myndmengi :math:`f^{-1}`.
(iii)  Myndmengi :math:`f^{-1}` er jafnt skilgreiningarsvæði :math:`f`.
(iv)   :math:`f^{-1}(f(x))=x` fyrir öll :math:`x` í skilgreiningarsvæði
       :math:`f`.
(v)    :math:`f(f^{-1}(x))=x` fyrir öll :math:`x` í skilgreiningarsvæði
       :math:`f^{-1}`.
(vi)   :math:`(f^{-1})^{-1}(x)=f(x)` fyrir öll :math:`x` í
       skilgreiningarsvæði :math:`f`, alltsvo :math:`(f^{-1})^{-1}=f`.
(vii)  Graf :math:`f^{-1}` er speglun á grafi :math:`f` um línuna
       :math:`y=x`.

.. index::
    afleiða; andhverfa

Setning: Afleiða andhverfunnar
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Gerum ráð fyrir að fall :math:`f` hafi andhverfu :math:`f^{-1}`. Látum
    :math:`x` vera á skilgreiningarsvæði :math:`f` og gerum ráð fyrir að
    :math:`f` sé diffranlegt í punktinum :math:`f^{-1}(x)` og að
    :math:`f'(f^{-1}(x)) \neq 0`. Þá er :math:`f^{-1}` diffranlegt í
    punktinum :math:`x` og

    .. math:: \left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

.. admonition:: Athugasemd
    :class: athugasemd

    Setningin segir okkur sér í lagi að láréttur snertill við :math:`f`
    svarar til lóðrétts snertils við :math:`f^{-1}`.

--------

Línulegar nálganir
------------------

Staðbundnar nálganir
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Skoðum diffranlegt fall :math:`f` í grennd um fastan punkt
:math:`a`. Látum :math:`x` vera punkt í grennd um :math:`a`.
Ef graf fallsins er ekki „mjög
sveigt“ þá er snertillinn við :math:`(a,f(a))` næstum samsíða
sniðlinum gegnum :math:`(a,f(a))` og :math:`(x,f(x))`.
Það þýðir að

.. math::
   \begin{aligned}
        \frac{f(x)-f(a)}{x-a} &\approx f'(a),\\
        f(x)-f(a) &\approx  f'(a)(x-a),\\
        f(x) &\approx f'(a)(x-a) + f(a).
   \end{aligned}

|

.. admonition:: Aðvörun
    :class: advorun

    Athugið að hér er :math:`a` fast en :math:`x` breytist.


.. admonition:: Athugasemd
    :class: athugasemd

    Einnig er hægt að skrifa þetta á eftirfarandi hátt.
    Setjum :math:`\Delta x = x-a` og
    :math:`\Delta y = f(x) - f(a)` þá þýðir þetta að
    :math:`\Delta y \approx \Delta x f'(a)`.

    Það er, breytingin á fallgildinum er um það bil breytingin í
    breytunni margfaldað við afleiðuna í punktinum.


Skilgreining: Línuleg nálgun
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Línuleg nálgun á falli :math:`f` nálægt :math:`a`, eða 1. stigs
    Taylor-margliða :math:`f` í :math:`a`, er gefin með
    :math:`P_1(x)=f(a)+f'(a)(x-a)`.

Setning: Skekkjumat
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Skekkjan í nálguninni :math:`E_1(x)=f(x)-P_1(x)` uppfyllir að til er
    tala :math:`X \in (a,x)` þannig að

    .. math:: E_1(x)=\frac{f''(X)}{2}(x-a)^2.

Skekkjumat fyrir línulegar nálganir
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Gerum ráð fyrir að :math:`f''(t)` sé skilgreint fyrir öll :math:`t` í
opnu bili sem inniheldur bæði :math:`a` og :math:`x`. Gerum enn fremur
ráð fyrir að :math:`m` og :math:`M` séu tölur þannig að fyrir öll
:math:`t\in (a, x)` gildi að :math:`m\leq f''(t)\leq M`. Þá er

.. math::

   \frac{m}{2}(x-a)^2\leq E_1(x)
   =\frac{f''(X)}{2}(x-a)^2\leq \frac{M}{2}(x-a)^2,

sem gefur að

.. math::

   f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{m}{2}(x-a)^2\leq f(x)
   \leq f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{M}{2}(x-a)^2.

------

Taylor-margliður
----------------

Línuleg nálgun á falli er ekkert annað en nálgun með fyrsta stigs
margliðu.

Spurningin er því hvort hægt sé að nota margliður af hærra stigi og fá
þá betri nálgun?

Hvernig er 0. stigs nálgun á falli?

.. index::
    Taylor margliða

Skilgreining: Taylor-margliða
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Skilgreining
    :class: skilgreining

    Gerum ráð fyrir að fall :math:`f` sé diffranlegt :math:`n` sinnum í
    punkti :math:`a`, þ.e.a.s. við gerum ráð fyrir að :math:`n`-ta afleiðan
    :math:`f^{(n)}(a)` sé skilgreind. *Taylor margliða* af :math:`n`-ta
    stigi fyrir :math:`f` um :math:`x=a` (oft líka sagt með *miðju* í
    :math:`a`) er margliðan

    .. math::

       \begin{gathered}
           P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+ \\
           \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.\end{gathered}

    Talað er um :math:`n`-ta stigs Taylor-nálgun þegar gildið :math:`P_n(x)`
    er notað sem nálgun fyrir :math:`f(x)`.

    Skekkjan í nálguninni (munurinn á réttu fallgildi og nálgunargildi) er
    táknaður með

    .. math:: E_n(x)=f(x)-P_n(x).

Skekkjumat fyrir Taylor-margliður
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Gerum ráð fyrir að :math:`n+1`-afleiðan :math:`f^{(n+1)}(t)` sé
skilgreind fyrir öll :math:`t` í opnu bili sem inniheldur bæði :math:`a`
og :math:`x`. Þá er til tala :math:`X` á milli :math:`a` og :math:`x`
þannig að

.. math:: E_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(X)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.

Því má rita

.. math::

   \begin{aligned}
   f(x)
   =&f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+ \\
    & \cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+E_n(x)\\
   =&f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\\
    & \cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
     +\frac{f^{(n+1)}(X)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.\end{aligned}

.. admonition:: Aðvörun
    :class: advorun

    Yfirleitt er engin leið til þess að finna :math:`X`.
    Hins vegar getum við haft gagn af skekkjumatinu ef
    við höfum mat á :math:`f^{(n+1)}`.

Fylgisetning
~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Fylgisetning
    :class: setning

    Gerum ráð fyrir að :math:`f` sé :math:`n+1` diffranlegt á bili sem
    inniheldur bæði :math:`a` og :math:`x`. Gerum enn fremur ráð fyrir að
    :math:`m` og :math:`M` séu tölur þannig að fyrir öll :math:`t`
    á milli `a` og `x`
    gildi að :math:`m\leq f^{(n+1)}(t)\leq M`. Þá er

    .. math::

       P_n(x) + \frac{m}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \leq f(x)
       \leq P_n(x) + \frac{M}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.

.. index::
    O-ritháttur

Ritháttur
~~~~~~~~~

Við ritum

.. math::

   f(x)=O(u(x)) \text{ þegar } x\rightarrow a

ef til er fasti :math:`K` og tala :math:`\delta>0` þannig að

.. math:: |f(x)|<K|u(x)|\quad\text{ fyrir öll}\quad x\in(a-\delta, a+\delta).

Einnig er ritað

.. math::

   f(x)=g(x)+O(u(x)) \text{ þegar }x\rightarrow a

ef :math:`f(x)-g(x)=O(u(x))` þegar :math:`x\rightarrow a`.

Tilgangur þessa ritháttar er að skilgreina tól sem getur sagt okkur
hversu hratt :math:`f` stefnir á markgildið þegar :math:`x\to a`.

Athugasemd
~~~~~~~~~~

.. admonition:: Athugasemd
    :class: athugasemd

    Við sjáum að

    .. math:: f(x) = P_n(x) + O((x-a)^{n+1}) \text{ þegar } x\rightarrow a,

    því hægt er að nota :math:`K = \frac{\max\{-m,M\}}{(n+1)!}` í skilgreiningunni
    hér á undan.

Setning
~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Gerum ráð fyrir að :math:`Q_n(x)` sé margliða af stigi ekki hærra en
    :math:`n`. Ef :math:`f(x)=Q_n(x)+O((x-a)^{n+1})` þegar
    :math:`x\rightarrow a` þá er :math:`Q_n(x)=P_n(x)` þar sem
    :math:`P_n(x)` er :math:`n`-ta stigs Taylor-margliða :math:`f` með miðju
    í :math:`a`.

Með öðrum orðum, :math:`P_n` er sú margliða af stigi :math:`\leq n` sem
nálgar :math:`f` best.

.. index::
    regla l’Hôpital

------

Regla l’Hôpital
------------------

Regla l’Hôpital, einhliða útgáfa
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Gerum ráð fyrir að föllin :math:`f` og :math:`g` séu diffranleg á opnu
    bili :math:`(a,
    b)` og að :math:`g'(x)\neq 0` fyrir öll :math:`x\in (a, b)`. Gerum enn
    fremur ráð fyrir að

    .. math::

       \lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=0, \quad \lim_{x\rightarrow a^+}g(x)=0
       \quad\text{og}\quad \lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.

    (Hér má :math:`L` vera rauntala, :math:`\infty` eða :math:`-\infty`.)

    Þá er

    .. math:: \lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=L.


    Eins má skoða markgildi frá vinstri :math:`x\to a^-`.

.. admonition:: Sönnun
    :class: setning, dropdown

    Þar sem :math:`\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^+}g(x)=0`
    þá getum við gert ráð fyrir að :math:`f` og :math:`g` séu samfelld á
    bilinu :math:`[a,b)` og taki gildið 0 í :math:`a`.

    Þá fæst af alhæfðu meðalgildissetningunni fyrir sérhvert :math:`x\in (a,b)`
    að til er :math:`c \in (a,x)` þannig að

    .. math::
        \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

    Þegar :math:`x \to a^+` þá gildir einnig að :math:`c \to a^+` því
    :math:`c` er klemmt á milli :math:`a` og :math:`x`.
    Þar sem markgildið

    .. math::
        \lim_{c\to a^+} \frac{f'(c)}{g'(c)} = L

    er til, þá er markgildið :math:`\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f(x)}{g(x)}`
    einnig til og er jafnt og :math:`L`.

Regla l’Hôpital
~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Gerum ráð fyrir að föllin :math:`f` og :math:`g` séu diffranleg á bilum
    :math:`(x_1, a)` og :math:`(a, x_2)` og að :math:`g'(x)\neq 0` fyrir öll
    :math:`x` í þessum bilum.
    Gerum enn fremur ráð fyrir að

    .. math::

       \lim_{x\rightarrow a}f(x)=0, \quad \lim_{x\rightarrow a}g(x)=0
       \quad\text{og}\quad \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.

    (Hér má :math:`L` vera rauntala, :math:`\infty` eða :math:`-\infty`.)

    Þá er

    .. math:: \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=L.

Dæmi
~~~~

.. admonition:: Dæmi
    :class: daemi

    Við höfum áður séð að :math:`\lim_{x\to 0} \sin(x)/x = 1`.
    Skoðum hvernig hægt er að sýna þetta með lítilli fyrirhöfn og reglu l’Hôpital.

    Sjáum að :math:`f(x) = \sin(x)` og :math:`g(x) = x` eru diffranleg í grennd um 0
    og að :math:`g'(x) = 1 \neq 0`. Þá fæst að

    .. math::
        \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = 1.

Regla l’Hôpital, :math:`\infty`-útgáfa
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Gerum ráð fyrir að föllin :math:`f` og :math:`g` séu diffranleg á bilum
    :math:`(x_1, \infty)` og að :math:`g'(x)\neq 0` fyrir öll
    :math:`x\in (x_1, \infty)`. Gerum enn fremur ráð fyrir að

    .. math::

       \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=0, \quad \lim_{x\rightarrow \infty}g(x)=0
       \quad\text{og}\quad \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.

    (Hér má :math:`L` vera rauntala, :math:`\infty` eða :math:`-\infty`.)

    Þá er

    .. math:: \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L.

Regla l’Hôpital, tvíhliða útgáfa
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

.. admonition:: Setning
    :class: setning

    Gerum ráð fyrir að föllin :math:`f` og :math:`g` séu diffranleg á bilum
    :math:`(x_1, a)` og :math:`(a, x_2)` og að :math:`g'(x)\neq 0` fyrir öll
    :math:`x` í þessum bilum. Gerum enn fremur ráð fyrir að

    .. math::

       \lim_{x\rightarrow a}g(x)=\pm\infty
       \quad\text{og}\quad \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L.

    (Hér má :math:`L` vera rauntala, :math:`\infty` eða :math:`-\infty`.)

    Þá er

    .. math:: \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=L.

Æfingadæmi
~~~~~~~~~~

.. eqt:: daemi-afleidur-og-samfelldni

  **Æfingadæmi**
	Hakið við þá fullyrðingu sem er **ósönn**.

  A) :eqt:`I` Fall getur verið samfellt í punkti :math:`x=5` án þess að það sé diffranlegt í :math:`x=5`.

  #) :eqt:`I` Ef fall :math:`f` er diffranlegt í punkti :math:`x=3` þá er :math:`f` samfellt í punktinum :math:`x=3`.

  #) :eqt:`C` Fallið :math:`f(x) = |x+1|` er samfellt og þar af leiðandi diffranlegt í punktinum :math:`x=-1`.

  #) :eqt:`I` Gerum ráð fyrir að fallið :math:`f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}` sé diffranlegt og að graf fallsins sé ekki „mjög sveigt“. Þá er snertillinn við :math:`(3,f(3))` næstum samsíða sniðlinum gegnum :math:`(3,f(3))` og :math:`(a,f(a))` þar sem :math:`a` er einhver tala nálægt 3.

  .. eqt-solution::

		Fallið :math:`f(x)=|x+1|` er samfellt en ekki diffranlegt í :math:`x=-1`, en samfelldni hefur ekki endilega í för með sér diffranleika (sjá 3.1.3).