Markgildi og samfelldni ======================= .. admonition:: Athugasemd :class: athugasemd **Nauðsynleg undirstaða** - `Jafna línu, P.2 `_ - `Jafna hrings, P.3 `_ - `Hliðrun og skölun grafs, P.3 `_ - `(Stranglega) minnkandi og (stranglega) vaxandi föll, 2.8 `_ - `Jafnstæð og oddstæð föll, P.4 `_ - `Margliður; deiling, þáttun og rætur, P.6 `_ - `Tölugildisfallið, P.1 `_ - `Þríhyrningsójafnan, P.1 `_ - `Formerkjafallið P.5 `_, :math:`sgn(x)` .. admonition:: Aðvörun :class: advorun Þessi kafli fjallar um tvö afskaplega mikilvæg og nátengd hugtök, markgildi og samfelldni. Það er nauðsynlegt fyrir nemendur að ná góðum tökum á þeim því mörg hugtök í stærðfræði og hagnýtingum á stærðfræði sem verða á vegi ykkar í framtíðinni byggja á þessum hugtökum. *I'd take the awe of understanding over the awe of ignorance any day.* \- Douglas Adams, The Salmon of Doubt -------- .. _markgildi: Markgildi --------- .. index:: markgildi Óformleg skilgreining á markgildi ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Segjum að fall :math:`f(x)` *stefni á tölu* :math:`L` *þegar* :math:`x` *stefnir á* :math:`a`, og ritum :math:`\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L`, ef við getum tryggt að :math:`f(x)` sé eins nálægt :math:`L` og við viljum bara með því að velja :math:`x` nógu nálægt :math:`a`. Skilgreining: Markgildi ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Gerum ráð fyrir að fall :math:`f` sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn :math:`a`, nema hvað hugsanlega er :math:`f(a)` ekki skilgreint. Við segjum að :math:`f(x)` *stefni á tölu* :math:`L` *þegar* :math:`x` *stefnir á* :math:`a`, og ritum :math:`\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L`, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt: Fyrir sérhverja tölu :math:`\epsilon>0` er til tala :math:`\delta>0` sem fullnægir eftirfarandi skilyrði: .. math:: \text{fyrir öll $x$ sem uppfylla} \qquad 0 < |x-a| < \delta \qquad \text{gildir} \qquad |f(x)-L| <\epsilon. Við segjum að talan :math:`L` sé :hover:`markgildi,markgildi` :math:`f(x)` þegar :math:`x` stefnir á :math:`a`. .. ggb:: sYHVajyE :width: 700 :height: 400 :img: 01_markgildi.png :imgwidth: 12cm .. admonition:: Athugasemd :class: athugasemd Þegar athugað er hvort markgildið :math:`\lim_{x\rightarrow a} f(x)` er til, og þá hvert gildi þess er, þá skiptir ekki máli hvort :math:`f(a)` er skilgreint eða ekki. .. _daemi2.1: Dæmi um markgildi ~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Dæmi :class: daemi Látum :math:`a, c` vera rauntölur. Sýnið fram á eftirfarandi: (i) :math:`\lim_{x \to a}\,c = c`, (ii) :math:`\lim_{x \to a}\,x = a` (iii) :math:`\lim_{x \to a} |x| = |a|` .. only:: latex Sönnun á lið 2. .. admonition:: Lausn á lið 2 :class: daemi, dropdown Hér er fallið sem um ræðir :math:`f(x) = x` og :math:`L=a`. Látum :math:`\epsilon>0` vera gefið. Við viljum finna :math:`\delta >0` þannig að :math:`|x-a|<\delta` hafi í för með sér :math:`|f(x)-a| < \epsilon`. Þar sem :math:`f(x)=x` þá er seinni ójafnan jafngild :math:`|x-a|<\epsilon`. Þetta er sama ójafnan og :math:`\delta` þarf að uppfylla þannig að okkur nægir að velja :math:`\delta = \epsilon`. Þá hefur .. math:: |x-a| < \delta í för með sér að .. math:: |f(x) -a| < \epsilon. .. admonition:: Ábendingar fyrir liði 1 og 3 :class: daemi, dropdown Til að sanna þetta þá er best að teikna mynd til að átta sig á því hvernig föllin haga sér. Svo má velja (i) :math:`\delta` sem hvað sem er. (iii) :math:`\delta=\epsilon`. .. youtube:: hnVNyDEQnZw ------ Markgildi frá hægri og vinstri ------------------------------ .. index:: markgildi; frá hægri Óformleg skilgreining á markgildi frá hægri ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Gerum ráð fyrir að fall :math:`f` sé skilgreint á opnu bili :math:`(a,b)`. Segjum að :math:`f(x)` *stefni á tölu* :math:`L` *þegar* :math:`x` *stefnir á* :math:`a` *frá hægri*, og ritum :math:`\lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=L`, ef við getum tryggt að :math:`f(x)` sé eins nálægt :math:`L` og við viljum bara með því að velja :math:`x>a` nógu nálægt :math:`a`. Skilgreining: Markgildi frá hægri ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Gerum ráð fyrir að fall :math:`f` sé skilgreint á opnu bili :math:`(a,b)`. Við segjum að :math:`f(x)` *stefni á tölu* :math:`L` *þegar* :math:`x` *stefnir á* :math:`a` *frá hægri*, og ritum :math:`\lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=L`, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt. Fyrir sérhverja tölu :math:`\epsilon>0` er til tala :math:`\delta>0` þannig að um öll :math:`x` sem eru þannig að .. math:: a0` er til tala :math:`\delta>0` þannig að um öll :math:`x` sem eru þannig að .. math:: a-\delta0` og þá gildir að :math:`\frac x{|x|} = \frac xx = 1`. Þar sem :math:`\lim_{x \to 0} 1 = 1` samkvæmt :ref:`Dæmi 2.1.3 ` þá gildir einni að :math:`\lim_{x \to 0^+} 1 = 1` samkvæmt :ref:`setningunni ` hér á undan. Þannig að .. math:: \lim_{x \to 0^+} \frac x{|x|} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1 (ii) Eins og liður 1 nema ef :math:`x<0` þá er :math:`\frac x{|x|} = \frac x{-x} = -1` (iii) Af liðum 1 og 2 sést að hægri og vinstri markgildin eru ekki þau sömu þannig að samkvæmt :ref:`setningunni ` hér á undan þá er markgildið ekki til. .. image:: ./myndir/kafli02/02_daemi.png ------ Reiknireglur fyrir markgildi ---------------------------- .. _setning-markgildi: Setning ~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Gerum ráð fyrir að :math:`\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L` og að :math:`\lim_{x\rightarrow a}g(x)=M`. Þá gildir (i) :math:`\lim_{x\rightarrow a}\Big(f(x)+g(x)\Big)=L+M`. (ii) :math:`\lim_{x\rightarrow a}\Big(f(x)-g(x)\Big)=L-M`. (iii) :math:`\lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x)=LM`. (iv) :math:`\lim_{x\rightarrow a}kf(x)=kL`, þar sem :math:`k` fasti. (v) :math:`\lim_{x\rightarrow a}f(x)/g(x)=L/M`, að því gefnu að :math:`M\neq 0`. (vi) Gerum ráð fyrir að :math:`m` og :math:`n` séu heiltölur þannig að :math:`f(x)^{m/n}` sé skilgreint fyrir öll :math:`x` á bili :math:`(b,c)` umhverfis :math:`a` (en ekki endilega fyrir :math:`x=a`) og að :math:`L^{m/n}` sé skilgreint. Þá er :math:`\lim_{x\rightarrow a}f(x)^{m/n}=L^{m/n}`. (vii) Ef til er bil :math:`(b,c)` sem inniheldur :math:`a` þannig að :math:`f(x)\leq g(x)` fyrir öll :math:`x\in (b,c)`, nema kannski :math:`x=a`, þá er :math:`\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\leq M=\lim_{x\rightarrow a}g(x)`. .. admonition:: Sönnun á lið 1 :class: setning, dropdown Við viljum sýna að fyrir :math:`\epsilon>0` þá sé til :math:`\delta>0` þannig að ef :math:`|x-a|<\delta` þá sé :math:`|f(x)+g(x) - (L+M)|<\epsilon`. Látum nú :math:`\epsilon>0` vera gefið, þá fæst af :math:`\lim_{x\to a} f(x) = L` að til er :math:`\delta_1>0` þannig að .. math:: |f(x)-L| < \frac \epsilon 2 ef :math:`|x-a|<\delta_1`. Eins fæst af :math:`\lim_{x \to a} g(x)=M` að til er :math:`\delta_2` þannig að .. math:: |g(x)-M| < \frac \epsilon 2 ef :math:`|x-a|<\delta_2`. Ef við setjum :math:`\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}` þá þýðir það að öll :math:`x` sem uppfylla :math:`|x-a|<\delta` uppfylla einnig :math:`|x-a|<\delta_1` og :math:`|x-a|<\delta_2`. Þá gefur þríhyrningsójafnan okkur að fyrir slíkt :math:`x` þá er .. math:: |f(x)+g(x) - (L+M)| = |f(x)-L + g(x)-M| \\ < |f(x)-L| + |g(x)-M| < \frac \epsilon 2 + \frac \epsilon 2 = \epsilon, sem er það sem við vildum sýna. .. admonition:: Aðvörun :class: advorun Liður (1) í setningunni á undan segir að ef markgildin :math:`\lim_{x\to a} f(x)` og :math:`\lim_{x\to a} g(x)` eru til þá sé markgildið :math:`\lim_{x\to a} (f(x)+g(x))` einnig til. En hún segir **ekki** að ef :math:`f` og :math:`g` eru föll þannig að markgildið :math:`\lim_{x\to a} (f(x)+g(x))` er til, að þá séu markgildin :math:`\lim_{x\to a} f(x)` og :math:`\lim_{x\to a} g(x)` einnig til. .. index:: klemmureglan Setning: Klemmureglan ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Gerum ráð fyrir að :math:`f(x)\leq g(x)\leq h(x)` fyrir öll :math:`x` á bili :math:`(b, c)` sem inniheldur :math:`a`, nema kannski :math:`x=a`. Gerum enn fremur ráð fyrir að .. math:: \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)=L. Þá er :math:`\lim_{x\rightarrow a}g(x)=L`. .. admonition:: Sönnun :class: setning, dropdown Látum :math:`\epsilon>0` vera gefið. Við viljum sýna að þá sé til :math:`\delta>0` þannig að :math:`|g(x)-L|<\epsilon` fyrir öll :math:`x` sem uppfylla :math:`|x-a|<\delta`. Þetta má líka skrifa svona: Við viljum sýna að þá sé til :math:`\delta>0` þannig að :math:`L-\epsilon0` er til :math:`\delta>0` þannig að :math:`|x-0|<\delta` hefur í för með sér að :math:`|\sin(1/x) - L|<\epsilon`. Til þess að þetta leiði til mótsagnar þurfum við að finna :math:`\epsilon>0` sem er þannig að sama hversu lítið :math:`\delta>0` er valið þá er alltaf til :math:`x` þannig að :math:`|x-0|<\delta` og .. math:: \left|\sin\left(\frac 1x \right)-L\right| \geq \epsilon. Veljum :math:`\epsilon = 0,5`. Ástæðan fyrir þessu vali er sú að þar sem :math:`\sin(1/x)` sveiflast á milli :math:`-1` og :math:`1` þá er nóg að velja tölu sem er þannig að fallið sveiflist út fyrir bilið :math:`[L-\epsilon,L+\epsilon]`. Í þessu tilviki þýðir það að :math:`\epsilon` þarf að vera minna en 1. Ef markgildið er til þá er ætti að vera til :math:`\delta>0` þannig að :math:`|\sin(1/x)-L|< 0.5` fyrir :math:`x` sem uppfylla :math:`|x-0|<\delta`. Byrjum á að skoða tilvikið :math:`L\leq 0`. Finnum nógu stóra náttúrlega tölu :math:`k` þannig að :math:`\frac 1{2\pi k + \pi/2} < \delta`. Ef við setjum :math:`x=\frac 1{2\pi k + \pi/2}` þá fæst að :math:`|x-0|<\delta` en .. math:: \left|\sin\left(\frac 1x \right) - L\right| = |\sin(2\pi k +\pi/2) - L| = |1-L| > 0,5 Tilvikið þegar :math:`L>0` er eins nema þá veljum við :math:`x=\frac 1{2\pi k - \pi/2}` sem þýðir að :math:`\sin(x) = -1`. Mynd af :math:`\sin\left(\frac 1x\right)`: .. ggb:: yfYAfqtm :width: 652 :height: 352 :zoom_drag: false :img: 03_daemi-sin.png :imgwidth: 12cm Markgildi þegar x stefnir á óendanlegt -------------------------------------- .. image:: ./myndir/kafli02/06_liminf.png :align: center :width: 75% .. index:: markgildi; þegar x stefnir á óendalegt Óformleg skilgreining á markgildi þegar :math:`x \to \infty` ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Gerum ráð fyrir að fall :math:`f` sé skilgreint á bili :math:`(a, \infty)`. Segjum að :math:`f(x)` *stefni á tölu* :math:`L` *þegar* :math:`x` *stefnir á* :math:`\infty`, og ritum :math:`\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=L`, ef við getum tryggt að :math:`f(x)` sé eins nálægt :math:`L` og við viljum bara með því að velja :math:`x` nógu stórt. Skilgreining: Markgildi þegar :math:`x \to \infty` ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Gerum ráð fyrir að fall :math:`f` sé skilgreint á bili :math:`(a,\infty)`. Við segjum að :math:`f(x)` *stefni á tölu* :math:`L` *þegar* :math:`x` *stefnir á* :math:`\infty`, og ritum :math:`\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=L`, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt: Fyrir sérhverja tölu :math:`\epsilon>0` er til tala :math:`R` þannig að um öll :math:`x>R` gildir að .. math:: |f(x)-L|<\epsilon. Óformleg skilgreining á markgildi þegar :math:`x \to -\infty` ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Fyrir :math:`-\infty` er þetta gert með sama sniði. Gerum ráð fyrir að fall :math:`f` sé skilgreint á bili :math:`(-\infty, a)`. Segjum að :math:`f(x)` *stefni á tölu* :math:`L` *þegar* :math:`x` *stefnir á* :math:`-\infty`, og ritum :math:`\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=L`, ef við getum tryggt að :math:`f(x)` sé eins nálægt :math:`L` og við viljum bara með því að velja :math:`x` sem nógu stóra neikvæða tölu. Skilgreining: Markgildi þegar :math:`x \to -\infty` ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Gerum ráð fyrir að fall :math:`f` sé skilgreint á bili :math:`(-\infty,a)`. Við segjum að :math:`f(x)` *stefni á tölu* :math:`L` *þegar* :math:`x` *stefnir á* :math:`-\infty`, og ritum :math:`\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=L`, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt: Fyrir sérhverja tölu :math:`\epsilon>0` er til tala :math:`R` þannig að um öll :math:`x0` þannig að um öll :math:`x` sem eru þannig að .. math:: 0 < |x-a| <\delta \quad \text{ gildir að } \quad f(x) > B. .. admonition:: Aðvörun :class: advorun Athugið að :math:`\infty` er **ekki** tala. Þó að :math:`\lim_{x\rightarrow a} f(x)=\infty` þá er samt sagt að markgildið :math:`\lim_{x\rightarrow a} f(x)` sé ekki til. Óformleg skilgreining á markgildinu :math:`-\infty` ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Gerum ráð fyrir að fall :math:`f` sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn :math:`a`, nema hvað hugsanlega er :math:`f(a)` ekki skilgreint. Segjum að :math:`f(x)` *stefni á* :math:`-\infty` *þegar* :math:`x` *stefnir á* :math:`a`, og ritum :math:`\lim_{x\rightarrow a} f(x)=-\infty`, ef við getum tryggt að :math:`f(x)` sé hversu lítið sem við viljum bara með því að velja :math:`x` nógu nálægt :math:`a`. Skilgreining: Markgildið :math:`-\infty` ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Gerum ráð fyrir að fall :math:`f` sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn :math:`a`, nema hvað hugsanlega er :math:`f(a)` ekki skilgreint. Við segjum að :math:`f(x)` *stefni á* :math:`-\infty` *þegar* :math:`x` *stefnir á* :math:`a`, og ritum :math:`\lim_{x\rightarrow a} f(x)=-\infty`, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt. Fyrir sérhverja tölu :math:`B` er til tala :math:`\delta>0` þannig að um öll :math:`x` sem eru þannig að .. math:: 0 < |x-a| < \delta \quad \text{ gildir að } \quad f(x)0` þannig að :math:`(x-\delta, x+\delta)\subseteq A`. Ef :math:`x` er ekki innri punktur :math:`A` og :math:`x\in A` þá segjum við að :math:`x` sé :hover:`jaðarpunktur` :math:`A`. .. index:: samfelldni; í punkti Skilgreining: Samfelldni í punkti ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Látum :math:`f` vera fall og :math:`c` innri punkt skilgreiningarsvæðis :math:`f`. Sagt er að :math:`f` sé *samfellt í punktinum* :math:`c` ef .. math:: \lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c). Setning ~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Látum :math:`f` og :math:`g` vera föll. Gerum ráð fyrir að :math:`c` sé innri punktur skilgreiningarsvæðis beggja fallanna og að bæði föllin séu samfelld í punktinum :math:`c`. Þá eru eftirfarandi föll samfelld í :math:`c`: (i) :math:`f+g` (ii) :math:`f-g` (iii) :math:`fg` (iv) :math:`kf`, þar sem :math:`k` er fasti (v) :math:`f/g`, ef :math:`g(c)\neq 0` (vi) :math:`\Big(f(x)\Big)^{1/n}`, að því gefnu að :math:`f(c)>0` ef :math:`n` er slétt tala og :math:`f(c)\neq 0` ef :math:`n<0`. Þessi setning er bein afleiðing af :ref:`Setningu 2.3.1 `. Setning: Samskeyting samfelldra falla ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Setning :class: setning Látum :math:`g` vera fall sem er skilgreint á opnu bili umhverfis :math:`c` og samfellt í :math:`c` og látum :math:`f` vera fall sem er skilgreint á opnu bili umhverfis :math:`g(c)` og samfellt í :math:`g(c)`. Þá er fallið :math:`f\circ g` skilgreint á opnu bili umhverfis :math:`c` og er samfellt í :math:`c`. .. admonition:: Athugasemd :class: athugasemd Ef fall er skilgreint með formúlu og skilgreingamengið er ekki tilgreint sérstaklega, þá er venjan að líta alla þá punkta þar sem formúlan gildir sem skilgreingarmengi fallsins .. index:: samfelldni, samfellt fall .. _`skilgrsamfellt`: Skilgreining: Samfellt fall ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Við segjum að fall :math:`f` sé :hover:`samfellt,samfellt fall` ef það er samfellt í sérhverjum punkti skilgreingarmengisins. Óformlega þýðir þetta að hægt er að teikna graf :math:`f` án þess að lyfta pennanum frá blaðinu. Nokkur dæmi um samfelld föll ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Eftirfarandi föll eru samfelld (i) margliður (ii) ræð föll (iii) ræð veldi (iv) hornaföll; :math:`\sin`, :math:`\cos`, :math:`\tan` (v) tölugildisfallið :math:`|x|` Að búa til samfelld föll ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Með því að nota föllin úr dæminu á undan sem efnivið þá getum við búið til fjölda samfelldra fall með því að beita aðgerðunum úr Setningu 2.6.4 og Setningu 2.6.3. .. index:: samfelldni; frá hægri/vinstri Dæmi ~~~~ Fallið :math:`\cos(3x+5)` er samfellt. Margliðan :math:`g(x) =3x+5` og :math:`f(x) = \cos(x)` eru samfelld föll og þá er samskeytingin :math:`f\circ g(x) = \cos(3x+5)` einnig samfellt fall. ------- Hægri/vinstri samfelldni ------------------------ Rifjum upp skilgreininguna á samfelldni. Skilgreining ~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Látum :math:`f` vera fall og :math:`c` innri punkt skilgreiningarsvæðis :math:`f`. Sagt er að :math:`f` sé *samfellt í punktinum* :math:`c` ef .. math:: \lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c). .. admonition:: Athugasemd :class: athugasemd Þessi skilgreining virkar aðeins fyrir innri punkta skilgreiningarsvæðisins. Þannig að ef ætlunin er að rannsaka samfelldni í jaðarpunktum þá gengur þessi skilgreining ekki. Hins vegar getum við útvíkkað skilgreininguna á samfelldni fyrir hægri og vinstri endapunkta bila með því að einskorða okkur við markgildi frá vinstri og hægri. Skilgreining: Hægri/vinstri samfelldni ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining (i) Fall :math:`f` er *samfellt frá hægri í punkti* :math:`c` ef :math:`\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=f(c)`. Hér er gert ráð fyrir að fallið :math:`f` sé amk. skilgreint á bili :math:`[c, a)`. (ii) Fall :math:`f` er *samfellt frá vinstri í punkti* :math:`c` ef :math:`\lim_{x\rightarrow c^-}f(x)=f(c)`. Hér er gert ráð fyrir að fallið :math:`f` sé amk. skilgreint á bili :math:`(a, c]`. Uppfærum nú skilgreininguna á :ref:`samfelldu falli `. .. index:: fall; samfellt Uppfærð skilgreining: Samfellt fall ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. admonition:: Skilgreining :class: skilgreining Gerum ráð fyrir að :math:`f` sé fall sem er skilgreint á mengi :math:`A`, þar sem :math:`A` er sammengi endanlega margra bila. Við segjum að fallið :math:`f` sé *samfellt* ef það er samfellt í öllum innri punktum skilgreingarmengisins og ef það er samfellt frá hægri/vinstri í jaðarpunktum skilgreingarmengisins, eftir því sem við á. .. admonition:: Athugasemd :class: athugasemd Ef fall er samfellt á opnu bili :math:`(a,b)`, og ef :math:`af(b)` er nánast eins. Skilgreinum mengið :math:`S = \{ x \in [a,b] ; f(x) < s\}`. Þetta mengi er ekki tómt því :math:`a` er í því og það er takmarkað að ofan af :math:`b`. Samkvæmt :ref:`Frumsendunni um efra mark ` þá er til efra mark :math:`c \in[a,b]` fyrir :math:`S`. Við viljum sýna að :math:`f(c)=s`. Ef :math:`f(c)>s` þá segir samfelldni :math:`f` okkur að til sé lítið bil kringum :math:`c` þar sem fallið er stærra en :math:`s`. Sér í lagi er til tala minni en :math:`c` sem er ekki í menginu :math:`S`. Þetta þýðir að :math:`c` er ekki efra mark :math:`S`. Orðum þetta aðeins nákvæmar. Veljum :math:`0<\epsilon < f(c)-s` þá er til :math:`\delta>0` þannig að ef :math:`x\in ]c-\delta,c+\delta[` þá er :math:`|f(c)-f(x)|<\epsilon < f(c) -s`. Þetta hefur í för með sér að :math:`f(c) - f(x) < f(c) -s`, það er :math:`f(x)>s`. Þetta þýðir að öll :math:`x\in]c-\delta,c[` eru "minni" efri mörk fyrir :math:`S` en :math:`c` sem gengur ekki og er því mótsögn. Ef :math:`f(c)0`. Þá er :math:`\lim_{x\to -\infty} P(x) = -\infty` og :math:`\lim_{x\to \infty} P(x) = \infty`. Það þýðir að til eru tölur :math:`a` og :math:`b` þannig að :math:`P(a)<0` og :math:`P(b)>0`. Með því að beita Milligildissetningunni á fallið :math:`P` á bilinu :math:`[a,b]` og með :math:`s=0` þá fæst að til er núllstöð á bilinu :math:`[a,b]`. Ef :math:`a_n < 0` þá víxlast formerkin á markgildunum hér að ofan en röksemdafærslan er að öðru leyti eins.