6. Kafli - Styrkur og stífleiki

6.1. Einása spennuástand

Formbreyting undir togáraun (eða þrýstiáraun); \(\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_0}\)

Tog og þrýstispennur; \(\sigma = \frac{F}{A}=E\cdot\varepsilon\)

þar sem

\(\sigma\)	tog eða þrýstispenna	\(N/m^2\)
\(F\)	tog eða þrýstiáraun	\(N\)
\(A\)	þverskurðarflatarmál	\(m^2\)
\(E\)	fjaðurstuðull	\(N/m^2\)
\(\varepsilon\)	streita	\(-\)
\(\Delta l\)	lenging í stefnu áraunar F	\(m\)
\(l_0\)	upphafslengd	\(m\)

Poisson’s hlutfall

\[\nu = -\frac{\varepsilon_{þvert}}{\varepsilon_{langs}}\]

6.1.1. Vinnulína og brotorka

Vinnulína er samband áraunar og formbreytingar

Aðgát

Vinnulína getur verið hvort sem er (i) samband krafts og lengingar, eða (ii) vægis og hornbreytingar!

Breyting í orku vegna formbreytingar er t.d. skilgreind sem (tákn eins og á meðfylgjandi línuriti – Fig. 6.5 og Fig. 6.6);

\[dW = F \cdot d(\Delta l)\]

þar sem

\(dW\)	breyting í vinnu	\(Nm\)
\(F\)	áraun	\(N\)
\(d(\Delta l)\)	breyting í formbreytingu	\(m\)

Þetta má umskrifa (og þá miðað við t.d. upphafs sniðflatarmál \(A_0\)):

\[dW = F \cdot d(\Delta l)=(A_0 \cdot \sigma) \cdot d \varepsilon \cdot l_0 = V_0 \cdot \sigma \cdot d \varepsilon\]

og með tegrun má fá út heildar vinnu (orku) vegna formbreytingar, þetta samsvarar því að taka flatarmál undir \(F-\Delta l\) vinnulínunni.

Brotorkan er iðulega reiknuð á rúmmmetra efnis; \(\overline{W} = \frac{W}{V_0}\)

Venjuleg áraun gefur upplýsingar um styrk undir álagi, en síður hversu vel efni standast mikið álag í mjög stuttan tíma (t.d. jarðskjálftar).

Hugtök í myndbandi

stiff / stiffness : stíft / stífleiki

strong / strength : sterkt / styrkur

ductile / ductility : seigt / seigla

brittle : stökkt

toughness : seigluorka

hard / hardness : hart / harka

6.1.2. Formbreytingar og formbreytingarferlar

Ferillinn skiptist í (línulega) fjaðrandi og flot svið (fæst efni hafa í reynd alveg línulega fjaðrandi svið.);

Hugtök

fjaðrandi (d. elastisk, e. elastic): hæfileiki efna til að ná aftur fyrra formi eftir að áraun sem veldur formbreytingu er tekin af efninu

seig (d. plastisk, e. plastic): hæfileiki efna til að halda varanlegri formbreytingu eftir að áraun sem olli formbreytingunni er tekin af efninu

hlutfallsmörk (d. proportionalitetsgrænse) þegar línulega fjaðrandi ástandi líkur

fjaðurmörk (d. elasticitestgrænse, e. elastic limit) – mörkin milli fjaður- og flotástands

flotspenna (d. flydespænding, e. yield stress) - þegar flotmörkum er náð

Spennu-formbreytingarferillinn er almennt reiknaður miðað við upphafsþversnið sýnis (\(A_0\)), þess vegna virðist spennan falla í lokin (í reynd hækkar hún upp í brotástand þar sem þversniðið minnkar í raun).

Spennu-formbreytingaferlar; Styrkur, stífleiki og hámarks formbreyting er mjög háð efnum og ákvörðun fjaðurstuðuls, sem má ákvarða með tveim aðferðum (sem eru þó tengdar);

• “sekant” aðferð

• snertil aðferð

6.1.3. Skeráraun

Á sama hátt og tog- og þrýstispennur eru háðar breytingu í lengd þá er skerspenna háð formbreytingu (skælingu), sjá mynd.

Formbreyting undir skúfáraun; \(\gamma = \frac{\Delta h}{h}\)

\[\tau = \frac{T}{A} = G \cdot \gamma\]

þar sem

\(\tau\)	skúfspenna	\(Pa\)
\(T\)	skúfáraun	\(N\)
\(G\)	skúfstuðull	\(Pa\)
\(\gamma\)	formbreyting	\(-\)
\(\Delta h\)	færsla í stefnu áraunar	\(m\)
\(h\)	upphafslengd þvert á stefnu áraunar	\(m\)

6.1.4. Höfuðspennur

Spennur sem eru hornrétt hver á aðra og lýsa spennuástandi í sniði á fullnægjandi hátt nefnast höfuðspennur.

Í ein-ása áraun koma upp normalspennur (þvert á brotflöt) og skúfspennur samsíða fletinum- auðvelt er að sýna að hámarks skúfáraun verður í plani sem hallar 45 ° frá lengdarstefnu.

Almennt er efnisbrot skýrt þannig (á sérstaklega við málma) að fyrst myndist örsprunga undir árauninni, þeim fjölgi og loks bresti þversniðið. Það skýrir hvers vegna brotsár í togi er eins og það er.

6.1.5. Seigja; stökk eða seig efni

Skilin milli þess að efni sé seigt (e.ductile) eða stökkt (e. brittle) eru ekki skýr.

• brotlenging stáls í togprófun er til marks um mismunandi seigju mismunandi stálgerða.

• brotöryggi; stökk og seig efni.

6.1.6. Hersla málma

Þegar efni verður fyrir áraun yfir hlutfallsmörkin og álagið er síðan tekið af, þá herðist efnið. Með síendurtekinni áraun má auka hersluna. Í bókinni er sagt frá þessu eins og formbreytingarferillinn breytist eingöngu þannig að hlutfallsmörkin flytjist til, þ.e. fjaðrandi sviðið verður umfangsmeira en hámarksspennur breytist ekki. Í reynd má með réttum aðferðum breyta kristallagrindinni og eiginleikar breytast í samræmi við það, sjá mynd úr Callister að ofan [WDCR20].

6.1.7. Einsátta (isotrop) og misátta (anisotrop) efni

Mörg efni, t.d. málmar almennt og steypa, eru með eins eiginleika í ólíkar stefnur höfuðása (þrýstiþol t.d. óháð stefnu), slík efni nefnast einsátta (e. isotropic). Önnur efni, s.s. timbur, er með mjög ólíka eiginleika eftir mismunandi höfuðstefnum og er því misátta (e. anisotropic).

Óháð því hvort efni eru eins- eða misátta þá eru gildi á mismunandi eiginleikum iðulega mjög mismunandi, t.d. togþol ólíkt þrýstiþoli; þetta gildir fyrir steypu og timbur svo dæmi séu tekin. Í öðrum tilvikum er munurinn óverulegur, t.d. í málmum.

Vegna þess hve auðvelt er að framkvæma einása prófun þá er þetta langalgengasta prófunaraðferðin sem tog-, þrýsti- eða skerprófun.

6.2. Tvíása spennuástand

Tvíása áraun hefur áhrif á höfuðspennur; og háð innbyrðis stefnu þá getur skúfspenna ýmist hækkað eða lækkað miðað við einása spennuástand. Fyrir kraftastefnur samkv. mynd 6.19 sem jákvæðar fæst;

\[T = F_1 \cdot \sin{(\alpha)} + F_2 \cdot \cos{(\alpha)}\]

von Mises og Tresca ferlar fyrir tvíása spennur og leyfilegar samsetningar af spennum. Spennusamsetningar innan markanna eru “öruggar” aðrar samsetningar ekki.

6.3. Tímaháð áhrif (e. rheology)

Formbreyting er alltaf tímaháð; þ.e. skipta má henni upp í skeið sem stýrast af tveim einkennum;

• Skyndibreyting (d: momentan…)

• Tímaháð breyting

Í hvoru tilviki um sig er formbreytingin almennt samsett úr annars vegar fjaðrandi- og hins vegar fljótandi formbreytingu.

Langtímaformbreyting undir stöðugu álagi er nefnd skrið (e. creep, d. krybning). Formbreytingin (undir álagi) er samsett úr tveim þáttum; upphafsformbreytingu, \(\varepsilon_0\), og tímaháðri formbreytingu, \(\varepsilon_c(t)\) og þegar innfært er hlutfall stærðanna og gert ráð fyrir stöðugri spennu (þverskurðarflatarmálið óbreytt undir árauninni) þá fæst:

\[\varepsilon(t) = \varepsilon_0 + \varepsilon_c(t) = \varepsilon_0(1 + \phi(t)) = \frac{\sigma}{E}(1+\phi(t))\]

(stundum er skilgreint skriðfallið \(c(t)=\frac{\varepsilon(t)}{\sigma}\))

Síðasti hluti umskriftarinnar gerir þó ráð fyrir að skriðbreytistærðin \(\phi(t)\) sé óháð spennunni, en það gildir einungis fyrir línulega seig-fjaðrandi (linear visko-elastic) efni.

Fyrir mörg byggingarefni má nálga skriðbreytistærðina með fallinu;

\[\phi(t) = \left ( \frac{t}{\tau} \right)^b\]

þar sem

\(\phi(t)\)	skriðbreytistærðin	\(-\)
\(t\)	tími	\(sólarhringur\)
\(\tau\)	efnisháð gildi	\(sólarhringur\)
\(b\)	efnisháð gildi	\(-\)

Gildið \(b\) er einingarlaust en \(\tau\) hefur sömu einingu og \(t\), oft sólarhringar. Stærðin \(\tau\) nefnd spennulosunartíminn (relaksationstiden) – sjá aftar.

Langtímaformbreytingar geta verið háðar fleiri þáttum en álaginu; fyrir timbur skiptir t.d. efnisrakinn mjög miklu máli (meira skrið við hærri efnisraka) þetta gildir einnig fyrir steypu, en í minna mæli þó.

Langtímaformbreytingar eru langt í frá línulegar með tíma, og þetta hefur orðið uppspretta að allskyns líkanagerð vegna útreikninga (sjá mynd úr Markestad og Maage).

Tímaháð formbreytingarlíkön – úr Markestad og Maage (1975)

Samlagningarregla Boltzmanns (Boltzmanns superpositionsprincip)

Formbreytingar (eða spennur) frá mismunandi áhrifum má leggja saman (vel þekkt úr burðarþolshönnun).

6.3.1. Spennulosun (relaksation)

Þegar formbreytingu (t.d. lengingu) efnis er haldið stöðugri yfir lengri tíma þá á sér stað spennulosun, þ.e. upphafsspennan lækkar. Þetta er vel þekkt úr for- og eftirspenntum burðarvirkjum.

Fyrir spennulosun er skilgreint spennulosunarfall, \(r(t)\)

\[\sigma(t) = \varepsilon \cdot r(t)\]

Spennulosun og skrið stafa af hliðstæðri (sömu) breytingu í efninu, en þessi áhrif eru lítt kunn enn sem komið er. Það verða því tengsl milli skriðfallsins, \(c(t)\), og spennulosunarfallsins, \(r(t)\) og í þeim tilfellum sem skrifa má skriðbreytistærðina \(\phi(t)\) sem veldisfall, þá gildir fyrir \(b<0,3\) ;

\[r(t)=\frac{1}{c(t)} =\frac{E}{\left( 1 + \left( \frac{t}{\tau} \right)^b \right)}\]

Atriði sem hafa áhrif: Skrið er háð uppbyggingu og ytri áhrifum (það er ekki augljóst hvort öll atriðin eru innbyrðis óháð?!);

Uppbygging

• Efnistegund (málmur, steypa,…)

• Efnisgerð (holrýmd,…)

• Efnisgæðum (styrkur, stífleiki,…)

Ytri þættir

• Tími

• Spennuástand

• Forsaga (hvernig og hvenær)

• Hitastig

• Efnisraki

• Efnisstærðir

“Isokrone” spennu-formbreytingar línuritið sýnir sambandið milli augnabliks brotstyrks, skriðs og spennulosunar fyrir steypu.

Skýringar;

1- fjórðungur “Dynamisk” línan sýnir niðurstöður fyrir prófun sem er keyrð mjög hratt (ekkert skrið) “20 min” línan sýnir niðurstöður fyrir dæmigerða skammtímaprófun. Aðrar línur fyrir prófun í tiltekinn dagafjölda og loks skriðmörkin við óendanlegan tíma (efri mörk skriðs)

2- fjórðungur sýnir tímaháða spennulosun við gefna (sömu) formbreytingu í efni

4- fjórðungur sýnir tímaháð skrið fyrir gefna (sömu) spennu í efni

6.4. Þreyta (e. fatigue, d. udmattelse)

Þegar efni verður fyrir síendurteknu álagi (álagshrinum) þá getur slíkt framkallað þreytubrot (þetta er almennt skýrt þannig að örsprungur (e. microcracks) séu til staðar í efni, eða myndist, og þær vaxi með hverri álagshrinu þar til brotstyrkur efnis er minni en brotáraunin). Þreytubrot getur þannig orðið við lægri spennur heldur en sem samsvarar uppgefnum kennistyrk efnis. Brotspenna í þreytu reynist vera háð

\[\textrm{Fjölda álagshrina } N\]

\[\textrm{Meðalspennu } \sigma_m = \frac{\sigma_{max} + \sigma_{min}}{2}\]

\[\textrm{Sveifluútslagi (amplitud) }\sigma_a = \frac{\sigma_{max} - \sigma_{min}}{2}\]

(Ath. fyrir stál eru spennurnar iðulega látnar sveiflast um 0, og þá miðað allan mun á hæstu og lægstu spennu, reiknað með formerki). Prófun á þreytuþoli efnis er gerð með mismunandi áraun og stöðuga sveiflutíðni, niðurstaðan er sýnd sem Wöhler kúrfur eða Smith graf (í báðum tilvikum sjást áhrif sveifluútslags og meðalspennu, sem fall af sveiflufjölda);

Smith graf er gert fyrir ákveðinn fjölda sveiflna, oft \(N=2 \cdot 10^6\), og sýnir allar samsetningar af sveifluútslagi (y-ás) og meðalspennu (x-ás) sem eru leyfilegar (svæðið innan línuumslags hverrar stálgerðar). ATH: Hlutskaðakenninguna (delskadehypotes); lögð eru saman áhrif mismunandi gerða álagshrina, n1, n2, n3 með hámarkssveiflufjöldann hver um sig N1, N2, N3,…

6.5. Viðnám og slitstyrkur

Skilgreindur viðnámsstuðull, \(\mu\) (mismunandi fyrir kyrrstætt ástand eða ástand á hreyfingu.)

\[\mu = \textrm{þverkraftur/normalkraftur}\]

(þverkraftur ákvarðast af álaginu sem þarf til að hreyfa normalkraftinn; þ.e. hlutinn). Skriðöryggi: á íþróttagólfum er það snúningur sem er ákvarðandi..! Slitstyrkur; hvað þolir efni mikinn núning.

6.6. Efnisprófanir (styrkprófanir)

Algengar efnisprófanir;

• Togþol - og fjaðurstuðull Mælt í togbekk; kraftur og lenging, oft einnig brotlenging

• Þrýstiþol - og fjaðurstuðull Mælt í álagspressu; kraftur og samþjöppun, oft einnig stærðarbreyting þvert á álagsstefnu

• Beygjutogþol - og fjaðurstuðull Mælt í álagspressu; ýmist sem eitt miðjuálag eða tvö; kraftur og niðurbeygja

• Kleyfni Mælt í álagspressu; hámarkskraftur

• Harka. Hlut þrýst í efnið og:

  “þvermál” farsins mælt;

  • Brinell

  • Vicker

  dýpt farsins mæld;

  • Rockwell (málmar)

  • Shore (fjölliður)

  • Brinell eða Janka (timbur)

  • Bring (gólfefni)

• Slagharka Þetta er í reynd mæling á brotorku efnis og nýtist því til að meta getu efnis til að taka við höggum, og er iðulega notað sem prófun í tengslum við þróun og eftirlit:

• Slitþol (e: abrasion test) Mælt með núningi. Ýmsar útfærslur (hjól, sléttur flötur,.. )

  

6.6.1. Atriði sem hafa áhrif á mat á prófunarniðurstöðum

• Dreifing í niðurstöðum (Björn et al. 1992)

  

• Lögun sýnis .. þetta skiptir verulegu máli og er því almennt skilgreint í viðeigandi prófunarstaðli!

• Álagshraði Mældur brotstyrkur er verulega háður álagshraðanum; stuttur tími -> hlutfallslega hátt gildi (lítill hraði og áhrif skriðs koma inn í mæliniðurstöðuna!)

• Stærð sýnis (stærðaráhrif) (Björn et al. 1992)

  

• Hitastig og raki Hitastig skiptir oftast litlu máli, undantekning er helst nema fyrir plastefni Raki skiptir alltaf verulegu máli þegar rakadræg efni eiga í hlut; efnisstyrkur og stífleiki t.d. timburs er mjög háður efnisraka (sbr. umfjöllun um timbur síðar!).

6.6.2. Heimildir

[Bre11]

Kenneth Breiðfjörð. Byggingarefni á íslandi. uppruni, flutningar til landsins ásamt kolefnisspori timburs. Master's thesis, Háskóli Íslands, 2011.

[dSdSRB23]

Rodrigo Mero Sarmento da Silva and Aline da Silva Ramos Barboza. Concrete modeling using micromechanical multiphase models and multiscale analysis. Rev. IBRACON Estrut. Mater., 2023.

[Gre19]

GreenChemUofT. Green marketing in the plastic era: honesty or hype? Sep 2019. URL: https://greenchemuoft.wordpress.com/2019/09/13/green-marketing-in-the-plastic-era-honesty-or-hype/.

[oAN00]

F.R. Gottfredsen og Anders Nielsen. Bygningsmaterialer grundlæggende egenskaber. Polyteknisk Forlag, 2000.

[oJS78]

Guðmundur Halldórsson og Jón Sigurjónsson. Einangrun húsa. Rannsóknastofnun byggingariðnaðarins, 2 edition, 1978.

[oPV02]

Björn Marteinsson og Páll Valdimarsson. Efnis- og orkunotkun vegna bygginga á íslandi. Árbók VFÍ/TFÍ, 14(1):223–228, 2002.

[Sig16]

Jón Sigurjónsson. Rb-blað: Tré - trjátegundir og efniseiginleikar viðarins. Nýsköpunarmiðstöð Íslands, 2016.

[TF21]

Emil Engelund Thybring and Maria Fredriksson. Wood modification as a tool to understand moisture in wood. Forests, 12(3):372, mar 2021.

[WDCR20]

Jr. William D. Callister and David G. Rethwisch. Callister's Materials Science and Engineering. Wiley, 2020.