11. Tvíkosta aðhvarfsgreining

Á eftir línulegri aðhvarfsgreiningu, sem við fjölluðum um í kafla 10, er tvíkosta aðhvarfsgreining sennilega mest notaða aðhvarfsgreiningarlíkanið. Í R er tvíkosta aðhvarfsgreining framkvæmd á mjög sambærilegan hátt og línuleg aðhvarfsgreining, nema nú er notast við fallið glm() í stað fallsins lm(). Í tvíkosta aðhvarfsgreiningu hefur svarbreytan eingöngu tvær útkomur, 0 og 1 og eru líkönin því metin með aðstoð tengifalla. Algengasta tengifallið kallast á ensku the logistic function og því er oft talað um lógistíska aðhvarfsgreiningu. Í raun má nota fallið glm() til að framkvæma fjölda annarra alhæfðra línulegra aðhvarfsgreiningarlíkana en það er utan efnis þessarar bókar.

11.1. glm()

Athugið

Inntak: formúla, gögn (tvíkosta breyta~breyta, gögn)

Úttak: tvíkosta aðhvarfsgreining á gögnunum byggt á formúlunni

Helstu stillingar: family

Forkröfur prófs: ??

Auk fallsins glm() munum við einnig nota skipanirnar summary(), coef() og confint() á svipaðan hátt og þið sáuð í kafla 10.

Í kafla 11.1.1 sýnum við hvernig tvíkosta aðhvarfsgreining er framkvæmd þegar skýribreytan er samfelld en í kafla 11.1.2 sýnum við hvað gerist þegar skýribreytan er strjál. Við munum finna möt á stikum líkansins, framkvæma tilgátupróf fyrir þá og reikna öryggisbil.

11.1.1. Tvíkosta aðhvarfsgreining með samfellda skýribreytu

Tvíkosta aðhvarfsgreiningu má nota til að meta hvort nemendur sem koma gangandi eða skokkandi í skólann séu ólíklegri til að vera lengi á leiðinni í skólann heldur en þeir sem ferðast á skólann á annan máta. Líkanið metum við með neðangreindri skipun og það borgar sig að vista líkanið sem hlut.

glm1<-glm(ferdamati_skoli=='Gangandi / skokkandi'~ferdatimi_skoli, data=konnun, family='binomial')

Fyrsta inntakið í skipunina er formúla. Á vinstri hönd hennar verður að vera breyta sem tekur gildin 0 og 1, eða þá TRUE og FALSE. Í þessu dæmi er inntakið yrðingin ferdamati_skoli=='Gangandi / skokkandi' sem skilar TRUE ef einstaklingurinn kemur gangandi í skólann en FALSE annars. Þar af leiðandi mun líkanið meta gagnlíkindin á því að koma gangandi. Á hægri hönd formúlunnar er skýribreytan, sem í þessu tilviki er ferdatimi_skoli.

Næstu tvö inntök skipunarinnar er nafnið á gagnatöflunni sem geymir gögnin (konnun) og af hvaða gerð aðhvarfsgreiningarlíkanið er. Með stillingunni family=’binomial’ tilgreinum við að tvíkosta aðhvarfsgreining skuli framkvæmd með logistic tengifallinu.

Skipunin summary() gefur okkur miklar upplýsingar um útkomu aðhvarfsgreiningarinnar:

summary(glm1)
##
## Call:
## glm(formula = ferdamati_skoli == "Gangandi / skokkandi" ~ ferdatimi_skoli,
##     family = "binomial", data = konnun)
##
## Coefficients:
##                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept)      0.68296    0.39389   1.734   0.0829 .
## ferdatimi_skoli -0.18181    0.03693  -4.923 8.54e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
##     Null deviance: 182.73  on 200  degrees of freedom
## Residual deviance: 133.79  on 199  degrees of freedom
## AIC: 137.79
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 7

Mikilvægustu upplýsingarnar úr aðhvarfsgreiningunni eru fólgnar í töflunni Coefficients:

  • Í fyrsta dálki hennar má sjá metnu stuðlana, \(\hat \beta_0 = 0.68296\) og \(\hat \beta_1 = -0.18181\).

  • Staðalskekkju fyrir mat á stuðlunum má sjá í öðrum dálki.

  • Í þriðja dálki má sjá prófstærðir fyrir tilgátupróf sem prófa núlltilgátuna hvort stuðlarnir séu núll. Þannig prófar prófstærðin \(1.734\) núlltilgátuna \(\beta_0 = 0\) og prófstærðin \(-4.923\) prófar núlltilgátuna \(\beta_1=0\).

  • P-gildin sem svara til þessara prófstærða má svo finna í fjórða dálkinum. P-gildið fyrir núlltilgátuna \(\beta_1=0\) er \(8.54e-07\), sem er minna en 0.05 og þar sem stuðullin er neikvæður getum við fullyrt að nemendur sem eru lengi á leiðinni í skólann séu ólíklegri til að fara gangandi heldur en þeir eru fljótir í skólann.

Með því að setja metnu stuðlana í veldið á e fæst gagnlíkindahlutfall fyrir því að fara gangandi við hverja aukna mínútu sem að nemandi eyðir í að komast í skólann. Þau finnum við með skipuninni:

exp(coef(glm1))
##     (Intercept) ferdatimi_skoli
##       1.9797338       0.8337605

Í flestum tilvikum höfum við lítin áhuga á gagnlíkindahlutfallinu sem svarar til (Intercept). Hins vegar höfum við mikinn áhuga á gagnlíkindahlutfallinu sem stendur við ferdatimi_skoli. Hér sjáum við að gagnlíkindahlutfallið fyrir því að fara gangandi við hverja auka mínútu sem að nemandi eyðir í að komast í skólann er \(0.8337605\).

95% öryggisbil fyrir gagnlíkindahlutföllin sem fengust í tvíkosta aðhvarfsgreiningunni má finna með skipuninni:

exp(confint(glm1))
##                     2.5 %    97.5 %
## (Intercept)     0.9289593 4.3876029
## ferdatimi_skoli 0.7694803 0.8901376

Sem fyrr höfum við ekki áhuga á öryggisbilinu sem svarar til (Intercept). Öryggisbilið fyrir ferdatimi_skoli er það sem við viljum skoða, það er \([0.7694803, 0.8901376]\). Öryggisbilið inniheldur ekki 1 í samræmi við það að við höfnuðum núlltilgátunni.

11.1.2. Tvíkosta aðhvarfsgreining með strjála skýribreytu

Tvíkosta aðhvarfsgreiningu má einnig beita á strjála skýribreytu. Til dæmis til að meta hvort nemendur sem eru femínistar séu líklegri til að vera kattamanneskjur heldur en þeir sem eru ekki femínistar. Líkanið metum við með neðangreindri skipun:

glm2<-glm(feministi=='Rétt'~dyr, data=konnun, family='binomial')

Skipunin lítur á nákvæmlega sama hátt út og í kafla 11.1.1 nema að nú hefur feministi=='Rétt' komið í stað ferdamati_skoli=='Gangandi / skokkandi' og breytan dyr tekið stað breytunnar ferdatimi_skoli. Skoðum nú summary() af útkomu aðhvarfsgreiningarinnar:

summary(glm2)
##
## Call:
## glm(formula = feministi == "Rétt" ~ dyr, family = "binomial",
##     data = konnun)
##
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept)   1.1304     0.2066   5.472 4.45e-08 ***
## dyrKetti      2.4532     0.7460   3.288  0.00101 **
## ---
## Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
##     Null deviance: 179.51  on 200  degrees of freedom
## Residual deviance: 159.55  on 199  degrees of freedom
## AIC: 163.55
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 6

Mikilvægustu upplýsingarnar úr aðhvarfsgreiningunni eru sem fyrr fólgnar í töflunni Coefficients:. Taflan er einnig byggð upp á sama hátt en nú birtist sér lína fyrir hvern flokk skýribreytunnar, annan en viðmiðunarflokkinn. Þannig gefur heitið í línunni dyrKetti að um sé að ræða stuðla fyrir flokkinn Ketti í skýribreytunni feministi og viðmiðunarflokkurinn er því Hunda.

  • Í fyrsta dálki töflunnar má sjá metnu stuðlana, \(\hat \beta = 1.1304\) og \(\hat \beta_a = 2.4532\).

  • Í þriðja dálki má sjá að prófstærðin \(5.472\) prófa núlltilgátuna \(\beta = 0\) og prófstærðin \(3.288\) prófar núlltilgátuna \(\beta_a=0\).

  • P-gildið fyrir núlltilgátuna \(\beta_a=0\) er \(0.00101\), sem er minna en 0.05 og þar sem stuðullin er jákvæður getum við fullyrt að nemendur sem eru hrifnir af köttum séu líklegri til vera femínistar heldur en þeir sem eru hrifnir af hundum.

Með því að setja metnu stuðlana í veldið á e fæst gagnlíkindahlutfall fyrir því að vera femínisti á móti því að vera hrifinn af köttum. Þau finnum við með skipuninni:

exp(coef(glm2))
## (Intercept)    dyrKetti
##    3.096774   11.625000

Við höfum ekki áhuga á gagnlíkindahlutfallinu sem svarar til (Intercept), en það sem stendur við dyrKetti sýnir okkur gagnlíkindahlutfallið fyrir því að vera femínisti því að vera hrifinn af köttum er \(11.625000\).

95% öryggisbil fyrir gagnlíkindahlutföllin sem fengust í tvíkosta aðhvarfsgreiningunni má finna með skipuninni:

exp(confint(glm2))
##                2.5 %    97.5 %
## (Intercept) 2.091788  4.715258
## dyrKetti    3.366706 73.263708

Sem fyrr höfum við ekki áhuga á öryggisbilinu sem svarar til (Intercept), heldur það sem stendur við dyrKetti, það er \([3.366706, 73.263708]\). Öryggisbilið inniheldur ekki 1 í samræmi við það að við höfnuðum núlltilgátunni.

11.1.3. Leiksvæði fyrir R kóða

Hér fyrir neðan er hægt að skrifa R kóða og keyra hann. Notið þetta svæði til að prófa ykkur áfram með skipanir kaflans. Athugið að við höfum þegar sett inn skipun til að lesa inn puls gögnin sem eru notuð gegnum alla bókina.

# Gogn sott og sett i breytuna puls. puls <- read.table ("https://raw.githubusercontent.com/edbook/haskoli-islands/main/pulsAll.csv", header=TRUE, sep=";") # Setjid ykkar eigin koda her fyrir nedan: # Sem daemi, skipunin head(puls) skilar fyrstu nokkrar radirnar i gognunum # asamt dalkarheitum. head(puls)