6. Ályktunartölfræði

Góð leið til að átta sig á líkindadreifingum gagna er með hermunum. Í þessum kafla munum við annars vegar fjalla um hvernig velja má slembiúrtök í R og hins vegar fjalla um endurvalsaðferðir. Endurvalsaðferðir eru geysilega öflugar aðferðir sem nota má til að reikna öryggisbil og framkvæma tilgátupróf fyrir nánast hvaða lýsistærð sem er og byggja margar gerðir af útreiknuðum öryggisbilum í R á slíkum aðferðum. Í kafla 6.1 lýsum við hvernig nota má skipunina sample() til að velja slembiúrtök. Í kafla 6.2 kynnumst við skipuninni replicate() og sýnum með henni fram á virkni höfuðsetningar tölfræðinnar. Að því loknu notum við sömu skipun til að reikna öryggisbil í kafla 6.3.

6.1. Slembiúrtök valin

6.1.1. Slembiúrtök valin

6.1.1.1. sample()

Aðferð í R

Inntak: nafn á vigri og stærð úrtaks

Úttak: úrtak

Helstu stillingar: replace, prob


R býr yfir skemmtilegri skipun sem við getum bæði notað til að velja úrtak úr endanlegu þýði en einnig til að líkja eftir slembnu fyrirbæri sem er mælt aftur og aftur. Það er skipunin sample(). Skipunin er mötuð með tvennu, annars vegar vigri sem inniheldur þýðið okkar (allar mögulegar útkomur) sem við viljum velja úr og hins vegar heildarfjölda þeirra mælinga sem við viljum safna (stærð úrtaksins). Gætið þess að gefa fyrst útkomumengið og svo fjölda mælinga. Í hjálpinni sjáum við líka að sample() hefur tvo stillingamöguleika, replace og prob. Sjálfgefnu stillingarnar eru replace=FALSE og prob=NULL.

Við munum ekki nota stillingarmöguleikann prob mikið en hann segir til um líkurnar á því að hvert og eitt gildi í vigrinum sé valið. Sjálfgefna stillingin er að allar útkomurnar séu jafnlíklegar sem er yfirleitt það sem við viljum.

Stillingarmöguleikann replace munum við hins vegar nota. Sjálfgefna stillingin (replace=FALSE) gefur til kynna að valið sé án skila eins og það er kallað. Það þýðir að um leið og ein útkoma hefur verið valin þá getur hún ekki verið valin aftur. Þessa stillingu myndum við t.d. nota ef við vildum velja ákveðinn fjölda viðfangsefna úr endanlegu þýði. Látum til gamans útkomumengið okkar vera jólasveinana 13. Við búum til vigurinn jolasveinar sem inniheldur heiti allra jólasveinanna með skipuninni:

jolasveinar <- c("Stekkjastaur", "Giljagaur", "Stufur", "Thvorusleikir",
"Pottaskefill", "Askasleikir", "Hurdaskellir", "Skyrgamur", "Bjugnakraekir",
"Gluggagaegir", "Gattathefur", "Ketkrokur", "Kertasnikir")

Takið eftir því hvernig við setjum gæsalappir utanum nafnið á hverjum einasta jólasveini. Þær mega ekki gleymast því þá gefur R villu. Skipunin

sample(jolasveinar,4)
## [1] "Stufur"       "Hurdaskellir" "Stekkjastaur" "Gattathefur"

velur fjögur ólík gildi úr vigrinum jolasveinar af handahófi, þ.e.a.s. velur fjóra ólíka jólasveina af handahófi. Skipunin

sample(jolasveinar,14)
## Error in sample.int(length(x), size, replace, prob): cannot take a
## sample larger than the population when ’replace = FALSE’

gefur hins vegar villu, því jólasveinarnir eru bara 13 og því enginn möguleiki að velja 14 ólíka jólasveina. Ef við notum stillinguna replace=TRUE og gefum skipunina

sample(jolasveinar,14, replace=TRUE)
##  [1] "Giljagaur"     "Thvorusleikir" "Pottaskefill"  "Stekkjastaur"
##  [5] "Stufur"        "Thvorusleikir" "Stekkjastaur"  "Stufur"
##  [9] "Bjugnakraekir" "Stufur"        "Gluggagaegir"  "Giljagaur"
## [13] "Stekkjastaur"  "Gattathefur"

lendum við hins vegar í engum vandræðum, því þá megum við velja sama jólasveininn aftur og aftur. Þessa stillingu er kjörið að nota þegar við viljum líkja eftir slembnu fyrirbæri sem er mælt aftur og aftur. Til dæmis má gefa skipanirnar

krona <- c("thorskur","landvaettir")
sample(krona,4, replace=TRUE)
## [1] "landvaettir" "landvaettir" "thorskur"    "thorskur"

til að líkja eftir krónukasti sem er framkvæmt fjórum sinnum.

Við getum að sjálfsögðu matað sample með nafni á breytu sem tilheyrir gagnafölu. Viljum við t.d. velja handahófskennt 10 hæðarmælingar úr puls gögnunum okkar gerum við það með

sample(puls$haed,10)
##  [1] 160 188 180 160 162 164 174 170 180 165

6.2. Endurvalsaðferð til að meta úrtaksdreifingu lýsistærðar

6.2.1. Endurvalsaðferð til að meta úrtaksdreifingu lýsistærðar

6.2.1.1. replicate()

Aðferð í R

Inntak: fjöldi hermana, fall sem skal beita í hverri hermun

Úttak: fylki með einn dálk fyrir útkomu hverrar hermunar

Helstu stillingar:


Aðferðin replicate() endurtekur það fall sem við mötum hana með eins oft og við biðjum hana um.

Höfuðsetning tölfræðinnar (e. the central limit theorem) segir að sé úrtaksdreifing meðaltals slembistærðar fylgi normaldreifingu ef meðaltalið byggir á nægjanlega mörgum mælingum, óháð því hver upphaflega dreifing slembistærðarinnar var. Gott dæmi um hana má sjá með því að skoða breytuna likamsraekt sem lýsir hversu marga klukkutíma í viku nemendur stunda líkamsrækt. Byrjum á því að skoða stuðlarit af breytunni.

ggplot(data = puls, aes(likamsraekt)) + geom_histogram(binwidth=1)
_images/unnamed-chunk-171-1.svg

Á stuðlaritinu sést að líkindadreifing breytunnar likamsraekt er langt frá því að vera normaldreifð, þar sem hún er mjög hægri skekkt með útlaga til hægri að auki. Hins vegar er meðaltal líkamsræktar normaldreift, sé tekið meðaltal af nægjanlega mörgum mælingum. Með skipuninni replicate() getum við framkvæmt 1000 „gervitilraunir“ þar sem við veljum slembiúrtak af stærð 100 úr þýði upprunalegu mælinganna okkar:

endurvalsurtak <- replicate(1000, sample(puls$likamsraekt, 100,replace=T))

Útkoman er fylki með 1000 dálka, einn fyrir hverja gervitilraun og 100 línur, eina fyrir hverja útkomu í hverri gervitilraun.

dim(endurvalsurtak)
## [1]  100 1000

Með skipuninni apply() getum við svo reiknað meðaltal líkamsræktar fyrir hverja og eina gervitilraun

medaltol <- apply(endurvalsurtak,2,mean, na.rm=T)

og eins og sjá má á stuðlariti meðaltalanna, eru þau ansi nálægt því að vera normaldreifð:

ggplot(data = data.frame(medaltol), aes(medaltol)) + geom_histogram()
_images/unnamed-chunk-175-1.svg

Athugið að hér er lykilatriði að nægjanlega mörg viðfangsefni séu valin í hverju og einu gerviúrtaki. Sé eingöngu valið gerviúrtak af stærð 3 í hvert skipti er útkoman langt frá því að vera normaldreifð, eins og sjá má hér fyrir neðan. Þar er stuðlaritið hægri skekkt.

litid.endurvalsurtak <-
replicate(1000, sample(puls$likamsraekt, 3,replace=T))

ny.medaltol <-
apply(litid.endurvalsurtak,2,mean, na.rm=T)

ggplot(data = data.frame(ny.medaltol), aes(ny.medaltol)) +
geom_histogram()
_images/unnamed-chunk-176-1.svg

6.3. Öryggisbil reiknað með endurvalsaðferð

Gerviúrtökin sem fengust með skipuninni replicate() má einnig nota til að reikna öryggisbil fyrir meðaltal líkamsræktar. 95% öryggisbil er smíðað þannig að það innihaldi sanna gildið á stikanum í 95% tilvika ef tilraunin er endurtekin nægjanlega oft. Við getum notað metnu meðaltölin úr gervitilraununum 1000 til að áætla hvaða útkomur væru mögulegar ef að tilraunin væri endurtekin. 95% öryggisbil fæst þá með því að einfaldlega reikna 2.5% og 97.5% prósentumörk þessara 1000 meðaltala.

quantile(medaltol, c(0.025, 0.975))
##     2.5%    97.5%
## 3.825000 5.255003

95% öryggisbilið er því \([3.825, 5.2550026 ]\).

6.4. Leiksvæði fyrir R kóða

Hér fyrir neðan er hægt að skrifa R kóða og keyra hann. Notið þetta svæði til að prófa ykkur áfram með skipanir kaflans. Athugið að við höfum þegar sett inn skipun til að lesa inn puls gögnin sem eru notuð gegnum alla bókina.

# Gogn sott og sett i breytuna puls. puls <- read.table ("https://edbook.hi.is/gogn/pulsAll.csv", header=TRUE, sep=";") # Setjid ykkar eigin koda her fyrir nedan: # Sem daemi, skipunin head(puls) skilar fyrstu nokkrar radirnar i gognunum # asamt dalkarheitum. head(puls)