5. Líkindafræðileg undirstaða

Góður skilningur á tölfræði krefst góðrar undirstöðu í líkindafræði. Í kafla 5.1 verða kynntar aðferðinar factorial() og choose() sem eru mjög gagnlegar í líkindareikningi. Að því loknu kynnumst við skipunum sem gera okkur kleift að herma, reikna líkur og finna viðmiðunargildi sem byggja á algengustu líkindadreifingunum.

Við munum sjá tvo flokka af skipunum fyrir strjálar líkindadreifingar í kafla 5.2. Annar flokkurinn hefur endingarnar \cdotbinom() en hinn \cdotpois(). Í kafla 5.3 munum við sjá sambærilegar skipanir fyrir samfelldar líkindadreifingar: \cdotnorm, \cdotchisq, \cdott og \cdotf.

5.1. Líkindareikningur

5.1.1. Líkindareikningur

5.1.1.1. factorial()

Athugið

Inntak: tala sem við viljum reikna aðfeldi fyrir

Úttak: aðfeldi tölunnar


Aðferðin factorial() reiknar aðfeldi (!) tölu. Við mötum aðferðina með þeirri tölu sem við viljum finna aðfeldið að og fáum til baka útkomuna. Viljum við sem dæmi finna \(5!\) skrifum við:

factorial(5)
## [1] 120

Munið að \(5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\).

5.1.1.2. choose()

Athugið

Inntak: tvær tölur sem við viljum reikna tvíliðustuðul fyrir

Úttak: tvíliðustuðull talnanna


Aðferðin choose() gefur okkur tvíliðustuðulinn \(n \choose k\). Við mötum aðferðina með tölunum \(n\) og \(k\) og fáum til baka útkomuna. Viljum við finna \(\binom{4}{2}\) skrifum við:

choose(4,2)
## [1] 6

5.2. Strjálar líkindadreifingar

5.2.1. Strjálar líkindadreifingar

Í þessum hluta munum við kynnast aðferðunum dbinom(), pbinom(), dpois() og ppois(). Föllin sem byrja á d gefa okkur massafallið (e. probability mass function) en föllin sem byrja á p gefa okkur dreififallið (e. probability distribution funciton).

5.2.1.1. dbinom()

Athugið

Inntak: útkoma úr tvíkostadreifingu, stikar tvíkostadreifingarinnar

Úttak: líkur á útkomunni


dbinom() aðferðin reiknar líkur á forminu þar sem \(X\) er slembistærð sem fylgir tvíkostadreifingunni. Við þurfum að mata aðferðina með þremur tölum, \(k\), \(n\) og \(p\) þar sem \(k\) er fjöldi heppnaðra tilrauna, \(n\) er fjöldi tilrauna og \(p\) eru líkurnar á jákvæðri útkomu í hverri tilraun fyrir sig:

dbinom(k,n,p)

Viljum við reikna líkurnar á að fá tvo þorska þegar krónu er kastað upp fjórum sinnum skrifum við:

dbinom(2,4,0.5)
## [1] 0.375

Hægt er að mata aðferðina þannig að vigur er settur inn í stað tölu fyrir \(k\). Ef við viljum reikna \(P(X=0)\), \(P(X=1)\), \(P(X=2)\), \(P(X=3)\) og \(P(X=4)\) þar sem \(X\) fylgir tvíkostadreifingu með stika \(n = 4\) og \(p = 0.5\) skrifum við:

dbinom(c(0,1,2,3,4),4,0.5)
## [1] 0.0625 0.2500 0.3750 0.2500 0.0625

Aðferðin skilar þá fimm tölum, \(P(X=0)\), \(P(X=1)\), \(P(X=2)\), \(P(X=3)\) og \(P(X=4)\). Hægt er að skrifa þetta á þægilegri máta með:

dbinom(0:4,4,0.5)
## [1] 0.0625 0.2500 0.3750 0.2500 0.0625

5.2.1.2. pbinom()

Athugið

Inntak: útkoma úr tvíkostadreifingu, stikar tvíkostadreifingarinnar

Úttak: líkur


pbinom() aðferðin reiknar líkur á forminu þar sem \(X\) er slembistærð sem fylgir tvíkostadreifingunni. Við þurfum að mata aðferðina með þremur tölum, \(k\), \(n\) og \(p\) þar sem \(k\) er fjöldi heppnaðra tilrauna, \(n\) er fjöldi tilrauna og \(p\) eru líkurnar á jákvæðri útkomu í hverri tilraun fyrir sig:

pbinom(k,n,p)

Viljum við reikna líkurnar á að fá í mesta lagi tvo þorska (núll, einn eða tvo) þegar krónu er kastað upp fjórum sinnum skrifum við:

pbinom(2,4,0.5)
## [1] 0.6875

Munurinn á dbinom() og pbinom() er útskýrður á mynd 5.1. Sambærilega mynd mætti teikna fyrir dpois() og ppois() sem fjallað er um hér að neðan.

Mynd

5.2.1.3. dpois()

Athugið

Inntak: útkoma úr Poisson dreifingu, stiki Poisson dreifingarinnar

Úttak: líkur


dpois() aðferðin reiknar líkur á forminu þar sem \(X\) er slembistærð sem fylgir Poisson dreifingunni. Við þurfum að mata aðferðina með tveimur tölum, \(k\) og \(\lambda\) þar sem \(k\) er fjöldi heppnaðra tilrauna og \(\lambda\) er væntigildi slembistærðarinnar \(X\):

dpois(k,lambda)

Viljum við reikna líkurnar á að 3 kúnnar komi á kassann í Krónunni á einni mínútu þar sem meðalfjöldi kúnna á mínútu er 1.5 skrifum við:

dpois(3,1.5)
## [1] 0.1255107

Hægt er að mata aðferðina þannig að vigur er settur inn í stað tölu fyrir \(k\). Ef við viljum reikna \(P(X=0)\), \(P(X=1)\), \(P(X=2)\) og \(P(X=3)\) þar sem \(X\) fylgir Poisson dreifingu með \(\lambda = 1.5\) skrifum við:

dpois(c(0,1,2,3),1.5)
## [1] 0.2231302 0.3346952 0.2510214 0.1255107

Aðferðin skilar þá fjórum tölum, \(P(X=0)\), \(P(X=1)\), \(P(X=2)\) og \(P(X=3)\).

5.2.1.4. ppois()

Athugið

Inntak: útkoma úr Poisson dreifingu, stikar Poisson dreifingarinnar

Úttak: líkur


ppois() aðferðin reiknar líkur á forminu þar sem \(X\) er slembistærð sem fylgir Poisson dreifingunni. Við þurfum að mata aðferðina með tveimur tölum, \(k\) og \(\lambda\) þar sem \(k\) er fjöldi heppnaðra tilrauna og \(\lambda\) er væntigildi slembistærðarinnar \(X\):

ppois(k,lambda)

Viljum við reikna líkurnar á að í mesta lagi 3 kúnnar (núll, einn, tveir eða þrír) komi á kassann í krónunni á einni mínútu þar sem meðalfjöldi kúnna á mínútu er 1.5 skrifum við:

ppois(3,1.5)
## [1] 0.9343575

5.3. Samfelldar líkindadreifingar

5.3.1. Samfelldar líkindadreifingar

Í þessum hluta munum við kynnast aðferðunum sem byrja á p, q og r. Aðferðirnar sem byrja á p skila okkur dreififalli (e. probability distribution funciton), aðferðirnar sem byrja á q skila okkur hlutfallsmörkum (e. quantiles) og aðferðirnar sem byja á r skila okkur slembitölu úr dreifingunni.

5.3.1.1. pnorm()

Athugið

Inntak: viðmiðunargildi

Úttak: líkur

Helstu stillingar: meðaltal og staðalfrávik normaldreifingarinnar


Við mötum skipunina pnorm á tilteknu viðmiðunargildi \(x\) en hún reiknar líkurnar á því að slembistærð sem fylgir normaldreifingu taki gildi minna en gefna viðmiðunargildið. Þ.e.a.s. reiknar \(P(X \leq x)\) þegar X fylgir normaldreifingu. Hún hefur einnig fjórar sjálfgefnar stillingar en við munum aðeins nota tvær þeirra:

  • mean sem tilgreinir meðaltal (\(\mu\)) normaldreifingarinnar.
  • sd sem tilgreinir staðalfrávik (\(\sigma\)) normaldreifingarinnar.

Sjálfgefið er að mean = 0 og sd = 1, þ.e. að reiknað sé dreififallið fyrir stöðluðu normaldreifinguna, \(\Phi(z)\). Skipunin

pnorm(0.8)
## [1] 0.7881446

reiknar því líkurnar á því að slembistærð sem fylgir staðlaðri normaldreifingu taki gildi sem er minna en 0.8 á meðan

pnorm(0.8,2,1.2)
## [1] 0.1586553

reiknar því líkurnar á því að slembistærð sem fylgir normaldreifingu með meðaltalið 2 og staðalfrávikið 1.2 taki gildi sem er minna en 0.8.

5.3.1.2. qnorm()

Athugið

Inntak: líkur

Úttak: viðmiðunargildi

Helstu stillingar: meðaltal og staðalfrávik normaldreifingarinnar


Við mötum skipunina qnorm á tilteknum líkum en hún finnur það viðmiðunargildi \(x\) sem er þannig að slembistærð sem fylgir normaldreifingu hefur þær tilteknu líkur á að taka gildi sem er minna en viðmiðunargildið. Þ.e.a.s. finnur það \(x\) sem er þannig að \(P(X \leq x)\) er jafnt tilteknu líkunum.

Með \(z_{a}\) táknum við það \(z\)-gildi sem er þannig að slembistærð sem fylgir stöðluðu normaldreifingunni hefur líkurnar \(a\) á að taka gildi sem er minna en \(z_a\). Við reiknum \(z_{a}\) með skipuninni:

qnorm(a)

þar sem a eru tilteknu líkurnar.

Ef við erum að vinna með aðra normaldreifingu en þá stöðluðu þá þurfum við að tilgreina meðaltalið og staðalfrávikið þegar við notum aðferðina. Sem dæmi þá fáum við hvar við erum stödd á x-ásnum þegar 90% massans eru okkur á vinstri hönd í normaldreifingu með meðaltal 165 og staðalfrávik 3 með skipuninni:

qnorm(0.90,165,3)
## [1] 168.8447

Munurinn á pnorm() og qnorm() er útskýrður á mynd 5.2. Sambærilegar myndir mætti teikna fyrir aðrar dreifingar sem fjallað er um hér að neðan.

Mynd

5.3.1.3. rnorm()

Athugið

Inntak: fjöldi gilda sem skal herma

Úttak: hermd gildi

Helstu stillingar: meðaltal og staðalfrávik normaldreifingarinnar


rnorm aðferðin býr til gildi sem fylgja normaldreifingu. Það er einnig oft kallað að herma gildi. Við mötum aðferðina með hversu mörg gildi við viljum (n), meðaltali (mean) og staðalfráviki (sd) normaldreifingarinnar.

rnorm(n, mean, sd)

Viljum við búa til 100 gildi sem fylgja normaldreifingu með meðaltal 162 og staðalfrávik 12 og geyma þær í breytunni y skrifum við:

y <- rnorm(100, 162, 12)

5.3.1.4. pt()

Athugið

Inntak: viðmiðunargildi, stiki t-dreifingar

Úttak: líkur


Við mötum skipunina pt á tilteknu viðmiðunargildi og tilteknum frígráðum en hún reiknar líkurnar á því að slembistærð sem fylgir t-dreifingu með þann frígráðufjölda taki gildi minna en gefna viðmiðunargildið. Þ.e.a.s. reiknar \(P(X \leq x)\) þegar X fylgir t-dreifingu. Skipunin

pt(0.8,5)
## [1] 0.769993

reiknar líkurnar á því að slembistærð sem fylgir t dreifingu með 5 frígráður taki gildi sem er minna en 0.8.

5.3.1.5. qt()

Athugið

Inntak: líkur, stiki t-dreifingar

Úttak: viðmiðunargildi


Við mötum skipunina qt á tilteknum líkum og frígráðum en hún finnur það viðmiðunargildi sem er þannig að slembistærð sem fylgir t-dreifingu með þann frígráðufjölda hefur þær tilteknu líkur á að taka gildi sem er minna en viðmiðunargildið. Þ.e.a.s. finnur það \(x\) sem er þannig að \(P(X \leq x)\) er jafnt tilteknu líkunum.

Með \(t_{a, (k)}\) táknum við það \(t\)-gildi sem er þannig að slembistærð sem fylgir t-dreifingu með \(k\) frígráður hefur líkurnar \(a\) á að taka gildi sem er minna en \(t_{a, (k)}\). Við reiknum \(t_{a, (k)}\) með skipuninni

qt(a,k)

þar sem a eru tilteknu líkurnar og k eru tilteknu frígráðurnar.

5.3.1.6. pchisq()

Athugið

Inntak: viðmiðunargildi, stiki kí-kvaðratdreifingar

Úttak: líkur


Við mötum skipunina pchisq á tilteknu viðmiðunargildi og tilteknum frígráðum en hún reiknar líkurnar á því að slembistærð sem fylgir kí-kvaðrat dreifingu með þann frígráðufjölda taki gildi minna en gefna viðmiðunargildið. Þ.e.a.s. reiknar \(P(X \leq x)\) þegar X fylgir kí- kvaðrat dreifingu. Skipunin

pchisq(0.8,5)

reiknar líkurnar á því að slembistærð sem fylgir kí-kvaðrat dreifingu með 5 frígráður taki gildi sem er minna en 0.8.

5.3.1.7. qt()

Athugið

Inntak: líkur, stiki kí-kvaðratdreifingar

Úttak: viðmiðunargildi


Við mötum skipunina qchisq á tilteknum líkum og frígráðum en hún finnur það viðmiðunargildi sem er þannig að slembistærð sem fylgir kí-kvaðrat dreifingu með þann frígráðufjölda hefur þær tilteknu líkur á að taka gildi sem er minna en viðmiðunargildið. Þ.e.a.s. finnur það \(x\) sem er þannig að \(P(X \leq x)\) er jafnt tilteknu líkunum.

Með \(\chi^2_{a, (k)}\) táknum við það \(\chi^2\)-gildi sem er þannig að slembistærð sem fylgir kí-kvaðrat dreifingu með \(k\) frígráður hefur líkurnar \(a\) á að taka gildi sem er minna en \(\chi^2_{a, (k)}\). Við reiknum \(\chi^2_{a, (k)}\) með skipuninni

qchisq(a,k)

þar sem a eru tilteknu líkurnar og k eru tilteknu frígráðurnar.

5.3.1.8. pf()

Athugið

Inntak: viðmiðunargildi, stikar F-dreifingar

Úttak: líkur


Við mötum skipunina pf á tilteknu viðmiðunargildi og tilteknum frígráðum, \(v_1\) og \(v_2\), en hún reiknar líkurnar á því að slembistærð sem fylgir F-dreifingu með þann frígráðufjölda taki gildi minna en gefna viðmiðunargildið. Þ.e.a.s. reiknar \(P(X \leq x)\) þegar X fylgir F dreifingu. Skipunin

pf(0.8,5,8)
## [1] 0.4205391

reiknar líkurnar á því að slembistærð sem fylgir F-dreifingu með 5 og 8 frígráður taki gildi sem er minna en 0.8.

5.3.1.9. qf()

Athugið

Inntak: líkur, stiki F-dreifingar

Úttak: viðmiðunargildi


Við mötum skipunina qf á tilteknum líkum og frígráðum en hún finnur það viðmiðunargildi sem er þannig að slembistærð sem fylgir F-dreifingu með þann frígráðufjölda hefur þær tilteknu líkur á að taka gildi sem er minna en viðmiðunargildið. Þ.e.a.s. finnur það \(x\) sem er þannig að \(P(X \leq x)\) er jafnt tilteknu líkunum.

Með \(F_{a, (v_1,v_2)}\) táknum við það \(F\)-gildi sem er þannig að slembistærð sem fylgir F dreifingu með \(v_1\) og \(v_2\) frígráður hefur líkurnar \(a\) á að taka gildi sem er minna en \(F_{a, (v_1,v_2)}\). Við reiknum \(F_{a, (v_1,v_2)}\) með skipuninni

qf(a,v1,v2)

þar sem a eru tilteknu líkurnar og v1 og v2 eru tilteknu frígráðurnar.

5.4. Leiksvæði fyrir R kóða

Hér fyrir neðan er hægt að skrifa R kóða og keyra hann. Notið þetta svæði til að prófa ykkur áfram með skipanir kaflans. Athugið að við höfum þegar sett inn skipun til að lesa inn puls gögnin sem eru notuð gegnum alla bókina.

# Gogn sott og sett i breytuna puls. puls <- read.table ("https://edbook.hi.is/gogn/pulsAll.csv", header=TRUE, sep=";") # Setjid ykkar eigin koda her fyrir nedan: # Sem daemi, skipunin head(puls) skilar fyrstu nokkrar radirnar i gognunum # asamt dalkarheitum. head(puls)