11. Diffrun

11.1. Skýringardæmi

Áður en við skilgreinum afleiðuen: derivative
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
falls skulum við taka dæmi til þess að reyna að útskýra hver hugmyndin er.

Við skulum hugsa okkur bíl í spyrnukeppni á 500 metra braut. Áður en bíllinn fer af stað er sett í hann nákvæmt staðsetningartæki sem getur teiknað upp graf sem lýsir staðsetningu hans á brautinni miðað við tímann sem er liðinn frá upphafi spyrnunnar.

Bíllinn fer af stað og keyrir brautina á nákvæmlega tíu sekúndum. Eftir keppnina er staðsetningartækið skoðað og það sýnir að staðsetningu bílsins sem fall af tíma megi lýsa með formúlunni:

\[s(t) = 5t^2\]
_images/bill.svg

þar sem \(t \in [0, 10]\) táknar tímann frá upphafi spyrnunnar mældan í sekúndum og \(s(t)\) er vegalengdin sem bíllinn var þá búinn að keyra mæld í metrum.

Þessi formúla segir okkur til dæmis að eftir fjórar sekúndur var bíllinn búinn að keyra 80 metra því \(s(4) = 5 \cdot 4^2 = 80\); og eftir átta sekúndur var bíllinn búinn að keyra \(320\) metra þar eð \(s(8) = 5\cdot 8^2 =320\).

Eins og við má búast er \(s(0) = 0\) sem þýðir að eftir núll sekúndur stóð bíllinn enn óhreyfður, og \(s(10) = 500\), í samræmi við að bíllinn hafi keyrt brautina sem var \(500\) metrar á tíu sekúndum.

Úr formúlunni er þó hægt að fá meiri upplýsingar heldur en bara staðsetningu bílsins. Þessi formúla dugar líka til þess að reikna út hraða bílsins á sérhverjum tímapunkti. Skoðum hvernig það er gert og prófum að reikna nákvæman hraða bílsins að fjórum sekúndum liðnum í spyrnunni.

Athugum að meðalhraði bílsins yfir ákveðið tímabil er skilgreindur sem vegalengdin sem bíllinn fer á því tímabili deilt með lengdinni á tímabilinu. Þannig var til dæmis meðalhraði bílsins í allri spyrnunni \(50\) metrar á sekúndu því hann fór \(500\) metra á \(10\) sekúndum og \(\frac{500}{10} = 50\).

Áður en við getum reiknað út nákvæman hraða bílsins á tímanum \(t = 4\) skulum við skoða meðalhraða bílsins á nokkrum tímabilum.

  • Skoðum fyrst meðalhraða bílsins á tímabilinu frá fjórum upp í átta sekúndur. Á sekúndu átta er bíllinn kominn \(5 \cdot 8^2 = 320\) metra. Á sekúndu fjögur er bíllinn kominn \(5 \cdot 4^2 = 80\) metra. Vegalengdin sem hann færist á tímabilinu frá fjórum til átta sekúndur er þá \(320 − 80 = 240\) metrar. Lengdin á þessu tímabili er fjórar sekúndur. Meðalhraði bílsins á tímabilinu frá fjórum upp í átta sekúndur er þá:
\[\frac{230}{4} = 57.5 \text{ m/s}\]
_images/bill1.svg

Hér er hallatala línunar á milli \((4, s(4) = 80)\) og \((8, s(8) = 320)\) jöfn \(57.5\).

  • Skoðum næst meðalhraða bílsins frá fjórum upp í sex sekúndur. Vegalengdin sem hann fer á því tímabili er \(5 \cdot 6^2 −5 \cdot 4^2 = 100\) metrar. Lengdin á tímabilinu er \(6 − 4 = 2\) sekúndur. Meðalhraði bílsins er þá:
\[\frac{100}{2} = 50 \text{ m/s}.\]
_images/bill2.svg

Hér er hallatala línunnar á milli \((4, s(4) = 80)\) og \((6, s(6) = 180)\) jöfn \(50\).

  • Skoðum meðalhraða bílsins frá fjórum upp í fimm sekúndur. Hann er:
\[\frac{5 \cdot 5^2 - 5 \cdot 4^2}{5 -4} = \frac{45}{1} = 45 \text{ m/s}.\]
_images/bill3.svg

Hér er hallatala línunar á milli \((4, s(4) = 80)\) og \((5, s(5) = 125)\) jöfn \(45\).

  • Meðalhraði bílsins frá fjórum upp í fjórar og hálfa sekúndu er:
\[\frac{5 \cdot4.5^2 - 5 \cdot 4^2}{ 4.5-4} = \frac{21.25}{0.5} = 42.5 \text{ m/s}.\]
  • Meðalhraði bílsins frá fjórum upp í \(4.25\) sekúndu er:
\[\frac{5 \cdot4.25^2 - 5 \cdot 4^2}{ 4.25-4} = \frac{10.3125}{0.25} = 41.25 \text{ m/s}.\]

Nú eruð þið kannski farin að átta ykkur á hvað er að fara að gerast. Með því að stytta tímabilið meira og meira þá verður meðalhraðinn nær og nær raunverulega hraðanum í tímanum \(t = 4\).

Þetta er farið að líkjast því að taka markgildien: limit
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
. Almennt gildir að meðalhraði bílsins frá fjórum sekúndum upp í \(t\) sekúndur er:

\[\frac{5t^2−5 \cdot 4^2}{ t−4}\]

Þegar við styttum tímabilið meir og meir þá erum við í raun að láta töluna hér að ofan stefna á fjóra.

Þess vegna fáum við að nákvæmur hraði bílsins á tímanum \(t = 4\) er:

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{t \to 4} \frac{5t^2−5 \cdot 4^2}{ t−4} & = \lim_{t \to 4} \frac{5(t^2−4^2)}{ t−4} \\ & = \lim_{t \to 4} \frac{5(t+4)(t−4)}{t−4} \\ & = \lim_{t \to 4} \frac{5(t+4)}{1} \\ & = 5(4+4) = 40 \end{aligned}\end{split}\]

Það er að segja, nákvæmur hraði bílsins þegar akkúrat fjórar sekúndur eru liðnar er \(40\) metrar á sekúndu.

Hér fór mikið púður í að reikna út hraða bílsins á einum tímapunkti. Segjum að við viljum reikna út hraða bílsins í hundrað mismunandi tímapunktum, þá yrði þreytandi að þurfa að reikna út hundrað mismunandi markgildi. Skynsamlegra væri að reyna að finna út nákvæma formúlu sem gefur upp hraða bílsins á sérhverjum tíma. Það er hægt!

Til þess að reikna út hraða bílsins á tímanum \(t=4\) þá þurftum við að reikna út markgildið:

\[\lim_{t\to 4}\frac{5t^2-5\cdot 4^2}{t-4}\]

Ef við viljum reikna út hraða bílsins á einhverjum öðrum tíma \(t=t_0\) þá reiknum við markgildið:

\[\lim_{t\to t_0}\frac{5t^2-5\cdot t_0^2}{t-t_0}.\]

En þetta er eitthvað sem að við getum reiknað út almennt fyrir hvert fall sem lýsir staðsetningu:

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{t\to t_0}\frac{5t^2-5\cdot t_0^2}{t-t_0} &=\lim_{t\to t_0}\frac{5(t^2-t_0^2)}{t-t_0} \\ &=\lim_{t\to t_0}\frac{5(t+t_0)(t-t_0)}{t-t_0}\\ &=\lim_{t\to t_0}\frac{5(t+t_0)}{1} \\ &=\frac{5(t_0+t_0)}{1}=10 t_0. \\ \end{aligned}\end{split}\]

Við höfum séð að á tímanum \(t=t_0\) þá er hraði bílsins \(10t_0\) m/s Með öðrum orðum þá má lýsa hraða bílsins af tíma með fallinu sem gefið er með formúlunni

\[v(t)=10t.\]

Af þessu má lesa að hraði bílsins á sekúndu fjögur er \(4\cdot 10=40\) m/s og hraði bílsins á sekúndu átta er \(8\cdot 10=80\) m/s. Munum að bíllinn byrjar kyrrstæður svo það kemur ekki á óvart að \(v(0)=0\) sem má túlka sem svo að hraði bílsins á sekúndunni núll sé núll.

_images/bill4.svg

Hér sjáum við línu sem er með hallatöluna \(40\) í punktinum \((4, s(4) = 80)\) sem gefur okkur línuna \(y = 40x -80\).

Aðferðin sem hér var notuð kallast diffrunen: derivation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
(deildun). Þessi aðferð er ekki bundin við þetta einstaka fall, heldur má gera þetta almennt. Segjum að hraði bílsins hafi verið gefinn með einhverju öðru falli \(k(t)\). Hraði bílsins í tímapunktinum \(t=t_0\) verður þá fundinn með því að reikna markgildið

\[\lim_{t\to t_0}\frac{k(t)-k(t_0)}{t-t_0}.\]

11.2. Skilgreining

Gerum ráð fyrir að \(f:\;I\to \mathbb{R}\) sé fall sem er skilgreint á bili \(I\). Látum \(a\in I\). Fallið \(f\) er sagt vera diffranlegten: differentiability
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
(deildanlegt) í punktinum \(a\) ef að markgildið

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

er skilgreint og jafnt einhverri rauntölu (ekki plús eða mínus óendanlegt). Þessi rauntala er táknuð með \(f'(a)\) og kallast afleiða fallsins \(f\) í punktinum \(a\).

Þegar afleiða fallsins \(f\) er reiknuð í ótilteknum punkti getur verið þægilegra að notast við umritaða skilgreiningu:

\[f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Ef fallið \(f\) er deildanlegt í sérhverjum punkti bilsins \(I\) þá segjum við að \(f\) sé diffranlegt (deildanlegt) fall á \(I\) og þá er afleiðan \(f'\) fall á \(I\). Aðgerðin að finna afleiðu falls kallast diffrunen: derivation
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
(deildun) falls og yfirleitt er talað um sögnina að diffraen: differentiate
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
(deilda).

Dæmi

Notið skilgreininguna á afleiðu til að reikna afleiðu fallanna.

1. \(f(x) = 2x^2-16x+5\)

Notum skilgreininguna á afleiðu \(f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(a)}{h}\) sem gefur

\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\left(2(x+h)^2 - 16(x+h) +5\right)-\left(2x^2 - 16x + 5\right)}{h}\]

Sjáum að við þurfum að umrita til að fá markgildi sem við getum reiknað, því við getum ekki sett \(h= 0\) strax.

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{\left(2(x+h)^2 - 16(x+h) +5\right)-\left(2x^2 - 16x + 5\right)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0} \frac{2x^2+4xh + 2h^2 - 16x -16h +5 -2x^2 + 16x-5}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{4xh + 2h^2 - 16h}{h} \end{aligned}\end{split}\]

Hér getum við tekið \(h\) út fyrir sviga og stytt það út:

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{4xh + 2h^2 - 16h}{h}\\ &=\lim_{h\to 0} \frac{h(4x + 2h- 16)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0} 4x +2h - 16\\ &= 4x + 2(0) -16\\ &= 4x - 16 \end{aligned}\end{split}\]

Þá er afleiðan \(f'(x) = 4x-16\) .

2. \(g(x) = \frac{x}{x+1}\)

Notum skilgreininguna á afleiðu \(g'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(a)}{h}\) sem gefur

\[g'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \left(\frac{x+h}{x+h+1} - \frac{x}{x+1}\right)\]

Hér þurfum við líka að umrita til að geta sett \(h=0\)

\[\begin{split}\begin{aligned} g'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \cdot \left(\frac{x+h}{x+h+1} - \frac{x}{x+1}\right) \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \cdot \left(\frac{(x+h)(x+1)- x(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}\right) \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \cdot \left(\frac{x^2 +x +xh+h -(x^2+xh+x)}{(x+h+1)(x+1)}\right) \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \cdot \left(\frac{h}{(x+h+1)(x+1)}\right) \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{(x+h+1)(x+1)} \\ &= \frac{1}{(x+1)(x+1)}\\ &= \frac{1}{(x+1)^2} \end{aligned}\end{split}\]

Þá er afleiðan \(g'(x)= \frac{1}{(x+1)^2}\).

Aðvörun

Ritháttur: Takið eftir að

\[f'(x), \qquad f', \qquad \frac{df}{dx}, \qquad \frac{d}{dx} f(x), \text{ og } \qquad D_x f\]

eru mismunandi rithættir fyrir „afleiða \(f(x)\) m.t.t. \(x\).“

11.3. Reiknireglur

Gerum ráð fyrir að \(f,g\) séu deildanleg föll á \(\mathbb{R}\).

Látum \(a\in \mathbb{R}\) vera fasta.

Þá gildir:

\[\begin{split}\begin{aligned} 1.& \quad (a\cdot f)'=af' \\ &\\ 2.& \quad (f+g)'=f'+g' \\ &\\ 3.& \quad (f-g)'=f'-g' \\ &\\ 4.& \quad (f\cdot g)'=f'g+fg' \\ &\\ 4.& \quad (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g' \\ \end{aligned}\end{split}\]

Ef \(g(x)\) er ekki jafnt núlli fyrir öll \(x\in I\), þá gildir einnig:

\[\begin{split}\begin{aligned} 6.& \quad \left(\frac{1}{g}\right)'=\frac{-g'}{g^2} \\ &\\ 7.& \quad \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} \\ \end{aligned}\end{split}\]

Ef \(f\) er andhverfanlegt og \(f(x_0)=y_0\) þá er

\[8. (f^{-1})'\circ f=\frac{1}{f'}\]

11.4. Þekktar afleiður

  1. Ef \(a\) er fasti og \(f(x)=a\) þá er
\[f'(x)=0\]
  1. Ef \(n\in \mathbb{N}\) og \(f(x)=x^n\) þá er
\[f'(x)=nx^{n-1}\]
  1. Ef \(n\in \mathbb{Z}\setminus\{0\}\) og \(f(x)=x^{n}\) þá er
\[f'(x)=nx^{n-1}\]
  1. Ef \(n\in \mathbb{Q}\setminus\{0\}\) og \(f(x)=x^n\) þá er
\[f'(x)=nx^{n-1}\]
  1. Ef \(n\in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) og \(f(x)=x^n\) þá er
\[f'(x)=nx^{n-1}\]
  1. Ef \(a\in \mathbb{R}_+\) og \(f(x)=a^x\) þá er
\[f'(x)=\ln(a)a^x\]
  1. Ef \(a\in \mathbb{R}_+\) og \(f(x)=\log_a(x)\) þá er
\[f'(x)=\frac{1}{\ln(a)x}\]
  1. Ef \(f(x) = \ln(x)\) þá er
\[f'(x) = \frac{1}{x}\]
  1. Ef \(f(x) = e^x\) þá er
\[f'(x) = e^x\]
  1. Ef \(f(x)=\cos(x)\) þá er
\[f'(x)=-\sin(x)\]
  1. Ef \(f(x)=\sin(x)\) þá er
\[f'(x)=\cos(x)\]
  1. Ef \(f(x)=\tan(x)\) þá er
\[f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}\]
  1. Ef \(f(x)=\cot(x)\) þá er
\[f'(x)=\frac{-1}{\sin^2(x)}\]
  1. Ef \(f(x)=\text{arcsin(x)}\) þá er
\[f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]
  1. Ef \(f(x)=\text{arccos(x)}\) þá er
\[f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\]
  1. Ef \(f(x)=\text{arctan(x)}\) þá er
\[f'(x)=\frac{1}{1+x^2}\]
  1. Ef \((x)=\text{arccot(x)}\) þá er
\[f'(x)=\frac{-1}{1+x^2}\]

Dæmi

Notum okkur nú reiknireglurnar og þekktar afleiður til að reikna eftirfarandi afleiður.

1. \(f(x) = 2x^2-16x+5\)

Við vitum út frá reiknireglu 2, \((f+g)'=f'+g'\) sem þýðir að við getum horft á hvern lið sér og svo lagt þá saman að lokum. Byrjum á að nota okkur að \(f(x)=x^n\) gefur \(f'(x)=nx^{n-1}\) og reiknireglu 1, \((a\cdot f)'=af'\)

  • þá er afleiðan af \(2(x^2)\) jöfn \(2(2x^{2-1}) = 4x\)
  • þá er afleiðan af \(16x\) jöfn \(16(1x^{1-1} )= 16\)
  • munum líka að afleiða fastafalls er jafnt og núll, þ.e.a.s. afleiða \(5\) er \(0\)

Leggjum alla liðina saman og fáum \(f'(x) = 4x + 16 + 0\)

Þá er afleiðan

\[f'(x) = 4x + 16\]

2. \(h(x) = \frac{x}{x+1}\)

Hér þurfum við að nota reiknireglu 7. \(\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)

  • nefnarinn gefur okkur \(1\) þar sem afleiða \(x\) er \(1\)
  • teljarinn gefur okkur líka \(1\) þar sem afleiða \(x\) er \(1\) og afleiða \(1\) er \(0\)

Setjum þessar niðurstöður inn í reikniregluna (í þessu tilfelli er \(f = x\), \(g = x+1\), \(f' = 1\) og \(g' = 1\))

\[\begin{split}\begin{aligned} \left(\frac{f}{g}\right)' &=\frac{f'g-fg'}{g^2}\\ (\frac{x}{x+1})' &= \frac{(1) \cdot (x+1) - (x) \cdot (1)}{(x+1)^2}\\ &= \frac{(x+1)- x}{(x+1)^2} \\ &= \frac{1}{(x+1)^2} \end{aligned}\end{split}\]

Þá er

\[h'(x)= \frac{1}{(x+1)^2}.\]

3. \(g(x) = \cos(\ln(x))\)

Hér notum við reiknireglu 5, \((f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'\). Notum okkur líka þekktu afleiðurnar \(f(x)=\cos(x)\) þá er \(f'(x)=-\sin(x)\) og ef \(f(x) = \ln(x)\) þá er \(f'(x) = \frac{1}{x}\). Fáum

\[g'(x) = -\sin(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} = \frac{-\sin(\ln(x))}{x}.\]

4. \(k(x) = 3^x \cdot \sin(x^5)\)

Hér þurfum við að nota tvær reiknireglur 5, \((f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'\) og 4, \((f\cdot g)'=f'g+fg'\). Notum okkur líka þekktu afleiðurnar \(f(x)=\sin(x)\) þá er \(f'(x)=\cos(x)\) og \(f(x)=a^x\) þá er \(f'(x)=\ln(a)a^x\). Fáum

\[g'(x) = ln(3) \cdot 3^x \cdot \sin(x^5) + 3^x \cdot cos(x^5) \cdot 5x^4.\]