10. Markgildi

10.1. Markgildi falls

Áður en að við skilgreinum markgildien: limit
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fallsen: function
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
formlega skulum við taka dæmi til að útskýra hver hugmyndin er. Skilgreinum fall:

\[g:\;\mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R}, \qquad g(x)=\frac{\sin(x)}{x}.\]

Tökum eftir að við látum fallið \(g\) ekki vera skilgreint í punktinum \(x=0\) til að komast hjá því að deila með núlli.

Það getur hins vegar verið áhugavert að skoða hvernig fallið hagar sér nálægt punktinum \(x=0\). Teiknum mynd af fallinu \(g\):

_images/sin.svg

Við notum vasareikni til að reikna nokkur gildi á \(g\) og merkjum inn í hnitakerfiðen: coordinate system
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
punktana \((x,g(x))\). Athugum að fallið er jafnstætten: even
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
svo \(g(-x)=g(x)\) fyrir öll \(x\).

\[\begin{split}\begin{aligned} g(-1) &=g(1) \approx 0,841470984 \\ g(-0,5) &=g(0,5)\approx 0,958851077\\ g(-0,25) &=g(0,25)\approx 0,989615837 \\ g(-0,1) &=g(0,1)\approx 0,998334166 \\ g(-0,001) &= g(0,001) \approx 0,9999833 \end{aligned}\end{split}\]

Takið sérstaklega eftir því að fallið virðist ekki fara upp eða niður í óendanleikann þegar við nálgumst gildið \(x=0\). Öllu heldur þá virðist fallið stefna á gildið \(1\)!

Við höfum séð að ef \(x_0\) er tala sem er mjög nálægt núlli þá verður fallgildið \(g(x_0)\) mjög nálægt því að verða \(1\).

Munum að fallið \(g\) er ekki skilgreint í núlli, hins vegar höfum við sér orðalag fyrir svona tilvik. Við segjum að markgildien: limit
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fallsins \(g\) í núlli sé einn. Einnig má segja að \(g(x)\) stefni á einn þegar \(x\) stefnir á núll. Á táknmáli er skrifað

\[\lim_{x\to 0}g(x)=1.\]

Þetta er hægt að gera almennt.

Látum nú \(a\) vera stak í bilinuen: interval
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(I\) í \(\mathbb{R}\). Látum \(f:\;I\setminus\{a\}\to \mathbb{R}\) vera eitthvað fall og \(b\in \mathbb{R}\) vera tölu. Við segjum að markgildi fallsins \(f\) í punktinum \(x=a\)\(b\) ef fyrir allar tölur \(x_0\) sem eru nálægt tölunni \(a\) þá er talan \(f(x_0)\) nálægt tölunni \(b\). Þá skrifum við

\[\lim_{x\to a}f(x)=b.\]

Setjum fram skilgreininguna á markgildi.

10.1.1. Skilgreining

Gerum ráð fyrir að \(I\subset \mathbb{R}\) sé bil í \(\mathbb{R}\) og að \(a\in I\) sé punktur á bilinu sem er hvorugur endapunkta þess.

Gerum ráð fyrir að \(f:\; I\setminus\{a\}\to \mathbb{R}\) sé fall og að \(b\in \mathbb{R}\) sé tala.

Við segjum að markgildi fallsins \(f\) í punktinum \(a\)\(b\) og ritum

\[\lim_{x\to a}f(x)=b\]

ef að eftirfarandi gildir:

Fyrir sérhvert \(\epsilon>0\) er til \(\delta>0\) þannig að ef

\[|x-a|<\delta,\]

þá er

\[|f(x)-b|<\epsilon.\]

Athugasemd

Í þessari skilgreiningu má ímynda sér að \(\epsilon\) og \(\delta\) séu rosalega litlar tölur.

Ójafnan \(|x-a|<\delta\) þýðir þá að \(x\) sé rosalega nálægt því að vera \(a\) og ójafnan \(|f(x)-b|<\epsilon\) þýðir að \(f(x)\) er rosalega nálægt því að vera \(b\).

Athugum að \(a\) og \(b\) geta verið hvaða tölur sem er, jafnvel \(\pm \infty\).

Aðvörun

Við segjum að markgildi fallsins sé til ef fallið stefnir á rauntölu.

Ef fall stefnir á \(+ \infty\) eða \(-\infty\) segjum við að markgildið sé ekki til .


Skoðum ræða fallið \(f(x) = \frac{x}{x-1}\) .

_images/hv.svg

Hvert er markgildi \(f\) þegar \(x\) stefnir á 1?

Þegar við skoðum bláa grafið vinstra megin við vandræðapunktinn tekur fallið snögga dýfu niður í \(-\infty\) þegar það nálgast 1. Þetta köllum við að skoða vinstra markgildi og táknum með litlum mínus í hávísi. Í þessu tilviki myndum við skrifa:

\[\lim_{x \to 1^{-}} \frac{x}{x-1} = -\infty\]

Hins vegar, þegar við eltum rauða ferilinn hægra megin við vandræðapunktinn stefnir fallið hratt upp í \(+\infty\) þegar það nálgast 1. Þetta köllum við hægra markgildi og táknum með litlum plús í hávísi. Í þessu tilviki myndum við skrifa:

\[\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x}{x-1} = \infty\]

Athugasemd

Þegar hægra markgildi og vinstra markigildi falls í punkti er ekki það sama þá er markgildið ekki til.

Markgildi \(f(x)\) í punktinum \(x=a\) er ekki til nema ef

\[\lim_{x\to a^+} f(x) = \lim_{x\to a^-} f(x)\]

Aðvörun

Skoðum myndræn dæmi þar sem markgildið er ekki til.

_images/markg.svg

Hér er fallið ekki að stefna á eitt gildi í punktinum \(a\), því það er ekki að stefna á sama gildi hægra megin og vinstra megin. Markgildið er því ekki til.

_images/markg2.svg

Hér stefnir fallið á \(\infty\) í punktinum \(a\) og því er markgildið ekki til.

Ef við höfum markgildið \(\lim_{x \to c} f(x)\) þar sem fallið er rætt, það er að segja á forminu \(f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\), þá þarf að passa að \(q(c) \neq 0\). Þá verða markgildisreikningarnir einfaldir, sjá dæmi 1 og 2.

Dæmi

Finnið markgildin:

1.

\(\lim_{x\to 2}\frac{x^3+2x^2}{x^3-x^2+1}\).

Hér er \(q(x)=x^3-x^2+1\) og \(q(2)=2^3-2^2+1=5\not=0\)

Hér er \(2\) í skilgreiningarmenginu svo til þess að reikna markgildið er gildinu einfaldlega stungið inn. Markgildið er því:

\[\lim_{x\to 2}\frac{x^3+2x^2}{x^3-x^2+1}=\frac{2^3+2\cdot 2^2}{2^3-2^2+1}=\frac{16}{5}\]
2.

\(\lim_{x\to 4}\frac{x^3-4x^2-4x+16}{x^2-16}\) .

Hér er \(q(x)=x^2-16\) og \(p(x)=x^3-4x^2-4x+16\) .

Við tökum eftir að \(q(4)=0\) og \(p(4)=0\).

Prófum að stytta út þætti. Við getum umritað \(p(x) = (x-2)(x+2)(x-4)\) og \(q(x)=(x-4)(x+4)\) og sjáum að \((x-4)\) er sameiginlegur þáttur sem styttist út.

Fáum því markgildið:

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{x\to 4}\frac{x^3-4x^2-4x+16}{x^2-16} &= \lim_{x\to 4} \frac{(x-2)(x+2)(x-4)}{(x-4)(x+4)} \\ &=\lim_{x\to 4}\frac{(x-2)(x+2)}{(x+4)}\\ &=\frac{(4-2)(4+2)}{4+4}\\ &=\frac{12}{8}\\ &=\frac{3}{2} \end{aligned}\end{split}\]
3.

Látum \(f: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \qquad f(x)=x\).

Sýnið að \(\lim_{x \to 1} f(x) = 1\) .

Þetta verður nánast augljóst ef grafið er teiknað. Hér setjum við lítinn hring í punktinn \((1, 1)\) því fallið er ekki skilgreint þar.

_images/mkgexmp1.svg

Það er því ljóst að fallið stefnir á punktinn \((1, 1)\) frá báðum áttum.

4.

Látum \(f : \mathbb{R} \setminus \{4\} \to \mathbb{R} \qquad f(x) = \sqrt{x}\). Sýnið að \(\lim_{x \to 4} = 2\).

Aftur er nánast augljóst hvert markgildið er. Ef ferill fallsins \(f\) er teiknaður upp sést greinilega að hann stefnir á punktinn \((4, 2)\). Það er að segja, það sést að markgildi fallsins er tveir.

_images/mkgexmp.svg

Við skulum sýna þetta formlega. Látum \(\epsilon > 0\) vera einhverja gefna tölu. Sýna þarf að til sé \(\delta>0\) þannig að \(|x−4|<\delta\) hafi í för með sér að \(| x−2|<\epsilon\). Látum \(\delta = 2 \cdot \epsilon\). Þá fæst að ef \(|x − 4| < \delta\) þá er

\[\begin{split}\begin{aligned} |f(x) - 2| &= |\sqrt{x} - 2|,\\ & = \frac{|\sqrt{x} - 2||\sqrt{x} + 2|}{|\sqrt{x} + 2|},\\ & = \frac{|x - 4|}{|\sqrt{x} + 2|},\\ & \leqq \frac{|x-4|}{|2|} \leqq \frac{\delta}{2} = \epsilon. \end{aligned}\end{split}\]

10.2. Gerðir markgilda

Hér er samantekt af helstu gerðum markgilda:

  1. \(\quad \lim_{x \to a} f(x) \qquad \qquad \quad\) markgildið af \(f(x)\) þegar \(x\) stefnir á \(a\)
  2. \(\quad \lim_{x \to a+} f(x) \qquad\qquad\;\) markgildið af \(f(x)\) þegar \(x\) stefnir á \(a\) frá hægri
  3. \(\quad \lim_{x \to a-} f(x) \qquad \qquad \;\) markgildið af \(f(x)\) þegar \(x\) stefnir á \(a\) frá vinstri
  4. \(\quad \lim_{x\to +\infty} f(x) \qquad \qquad\) markgildið af \(f(x)\) þegar \(x\) stefnir á plús óendanlegt
  5. \(\quad \lim_{x\to -\infty} f(x) \qquad \qquad\) markgildið af \(f(x)\) þegar \(x\) stefnir á mínus óendanlegt

Skoðum markgildið \(\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^n}\) fyrir öll \(n \in \mathbb{N}_+\)

Byrjum á \(n=1\), þá er augljóst að

\[\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} = 0\]

því ef \(x\) er stórt þá er \(\frac{1}{x}\) lítið. Því er \(\frac{1}{x}\) að minnka þegar \(x\) er að stækka.

Ef \(n=2\) þá er líka augljóst að

\[\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^2} = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x}\right)^2 = 0\]

vegna þess að

\[\begin{split}\begin{aligned} x&\leq x^2 \quad & \forall x \geq 1\\ \frac{1}{x^2} &\leq \frac{1}{x} \quad &\forall x \geq 1 \end{aligned}\end{split}\]

Þegar við hækkum veldið á \(x\) í nefnaranum þá minnkar \(\frac{1}{x}\) hraðar, því \(x\) er að stækka hraðar.

Við sjáum því að \(\frac{1}{x^n}\) stefnir á núll þegar \(x\) stefnir á \(\infty\) fyrir allar jákvæðar heiltölur tölur \(n\).

\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0 \qquad \forall n \in \mathbb{Z}_+\]
_images/xminusn.svg

En hvað með markgildið \(\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^n}\) ?

Þegar við nálgumst núll ofan frá erum við að deila með sífellt minni tölu. Þá fáum við sífellt stærri tölu út:

\[\begin{split}\begin{aligned} &\frac{1}{2} <\frac{1}{1}<\frac{1}{0.5} <\frac{1}{0.1} <\frac{1}{0.001}\\ &0.5<1<2<10 < 1000 \end{aligned}\end{split}\]

Því hlýtur

\[\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^n} = \infty\]

Skoðum nokkur dæmi:

Dæmi

Finnið eftirfarandi markgildi:

Hér munum við láta rökstuðning duga í staðinn fyrir að nota formlegu skilgreiningarnar.

1. \(\lim_{x\to 0}\frac{1}{(2^x-1)^2}\)

Þegar \(x\) stefnir á núll þá stefnir \((2^x-1)^2\) á núll (því \(2^0=1\)) svo að \(\frac{1}{(2^x-1)^2}\) stefnir annað hvort á plús eða mínus óendanlegt. Þar sem \(\frac{1}{(2^x-1)^2}=\left(\frac{1}{2^x-1}\right)^2\) er stæða í öðru veldi þá er hún alltaf jákvæð. Hún hlýtur því að stefna á plús óendanlegt, við skrifum

\[\lim_{x\to 0}\frac{1}{(2^x-1)^2}=\infty.\]
_images/daemi2.svg

Sjáum út frá mynd að fallið stefnir á plús óendalegu þegar \(x\) stefnir á \(0\) frá báðum áttum.

2. \(\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}\frac{1}{\cos(x)}\)

Þegar \(x\) stefnir á \(\pi/2\) þá stefnir \(\cos(x)\) á núll svo \(\frac{1}{\cos(x)}\) stefnir á plús eða mínus óendanlegt. Þekkt er að \(\cos(x)\) er jákvætt ef \(0<x<\pi/2\). Stæðan \(\frac{1}{\cos(x)}\) er þess vegna jákvæð á sama bili og þess vegna stefnir hún á plús óendanlegt ef \(x\) nálgast \(\pi/2\) frá vinstri. Við skrifum

\[\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}\frac{1}{\cos(x)}=\infty.\]
_images/daemi3.svg

Hér er fallið með aðfelluen: asymptote
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í \(\frac{\pi}{2}\) sem þýðir að fallið tekur ekki gildi í \(\frac{\pi}{2}\) en við sjáum að fallið er að stefna á plús óendanlegt frá vinstri.

10.3. Reikniaðgerðir á markgildum

Þegar markgildi eru reiknuð gilda reiknireglur sem ættu ekki að koma á óvart.

Gerum ráð fyrir að \(f\) og \(g\) séu föll og að \(c\in \mathbb{R} \cup\{-\infty,\infty\}\) Gerum ráð fyrir að bæði markgildin

\[\lim_{x\to c}f(x)\qquad \text{og}\qquad \lim_{x\to c}g(x)\]

séu skilgreind og að hvorugt þeirra sé jafnt plús eða mínus óendanlegu. Gerum ráð fyrir að \(k\in\mathbb{R}\) sé fasti. Þá gildir:

\[\begin{split}\begin{aligned} 1. & \qquad \lim_{x\to c}k=k \\ \quad\\ 2. & \qquad \lim_{x\to c} \left(kf(x) \right)=k \cdot \left(\lim_{x\to c}f(x)\right) \\ \quad\\ 3. & \qquad \lim_{x\to c} \left(f(x)+g(x)\right)=\lim_{x\to c}f(x)+\lim_{x\to c}g(x) \\ \quad\\ 4. & \qquad \lim_{x\to c} \left(f(x)-g(x)\right)=\lim_{x\to c}f(x)-\lim_{x\to c}g(x) \\ \quad\\ 5. & \qquad \lim_{x\to c} \left(f(x)\cdot g(x)\right)= \left( \lim_{x\to c}f(x) \right)\cdot \left(\lim_{x\to c}g(x) \right) \\ \quad\\ 6. & \qquad \lim_{x\to c} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)=\frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)} \qquad \text{ef} \qquad \lim_{x\to c}g(x)\not=0 \end{aligned}\end{split}\]

Dæmi

Finnið eftirfarandi markgildið ef það er til.

\[\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{2x^2 + 5x +1}\]

Við byrjum á því að deila með \(x^2\) fyrir ofan og neðan strik. Við notum svo reiknireglurnar fyrir afganginn og þá staðreynd að \(\frac{1}{x^n}\) stefnir á núll þegar \(x\) stefnir á \(\infty\) fyrir allar náttúrulegar tölur \(n\).

\[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{2x^2 + 5x +1} &= \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}} \\ &= \frac{\lim_{x \to \infty}( 1 + \frac{1}{x^2})}{\lim_{x \to \infty}( 2 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2})} \\ &=\frac{\lim_{x \to \infty}1+\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}}{\lim_{x \to \infty}2+\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} +\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}} \\ &=\frac{1+0}{2+0+0}\\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}\end{split}\]

Dæmi

Finnið markgildið:

\[\lim_{x\to \infty}\frac{(\sin(x))^2}{x}.\]

Auðvelt er að sjá að fallið \(\frac{1}{x}\) stefnir á núll þegar \(x\) stefnir á óendanlegt. Þekkt er að \(|\sin(x)|\leq 1\) fyrir öll \(x\) og því fæst að \(0\leq (\sin(x))^2 \leq 1\) fyrir öll \(x\). Þegar \(x\) er stórt er því \(\frac{1}{x}\) nálægt núlli og \((\sin(x))^2\) er á milli núll og einn. En þá er auðvelt að sjá að

\[\frac{(\sin(x))^2}{x}=(\sin(x))^2\frac{1}{x}\]

er nálægt núlli svo að markgildið er núll. Hér notuðum við reiknireglu 5.

Við skrifum:

\[\lim_{x\to\infty}\frac{(\sin(x))^2}{x}=0.\]
_images/daemi1.svg

Sjáum á grafinu að þegar við förum lengra eftir \(x\)-ás nálgast fallið \(0\).

Dæmi

Finnið markgildið:

\[\lim_{x\to \infty} \frac{x}{2x+1}\]

Þegar \(x\) stefnir á stærri og stærri tölur byrjar \(1\) að skipta minna máli því hann er mikið minni í samanburði við það sem \(x\) stefnir á. Þá erum við komin með einfaldara markgildi til að skoða:

\[\lim_{x\to \infty} \frac{x}{2x}\]

Hér getum við stytt út \(x\)-in og fáum að

\[\lim_{x\to \infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]
_images/tutor.svg

10.4. Samfelld föll

Óformlega má segja að fall \(f\)samfellten: continuous
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef að hægt er að teikna feril þess á blað með blýanti án þess að þurfa að lyfta blýantinum. Ef að fall er ekki samfellt segjum við að það sé ósamfellten: discontinuous
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
. Ef að fall \(f\) er ósamfellt þá segjum við að það sé ósamfellt í þeim punktum þar sem lyfta þarf blýantinum af blaðinu.

_images/samfell.svg

Fallið að ofan er ósamfellt.

_images/samfell2.svg

Fallið að ofan er samfellt.

Skilgreinum nú samfelldni:

10.4.1. Skilgreining

Látum \(f\) vera fall. Ef \(f\) hefur markgildi í \(a\) og \(\lim_{x \to a} f(x)=f(a)\) þá segjum við að \(f\)samfellt í punktinum \(a\).

Ef \(f\) er samfellt á öllu skilgreiningarmengien: argument domain
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
sínu köllum við \(f\) samfellt fall.

10.4.2. Reglur um samfelldni

Látum \(f\) og \(g\) vera raunföll á bili \(I\) og samfelld í punktinum \(a \in I\), þá gildir:

  1. Fallið \(f+g\) er samfellt í \(a\).
  2. Fallið \(f \cdot g\) er samfellt í \(a\).
  3. Fallið \(\frac{f}{g}\) er samfellt í \(a\) ef \(g(a) \neq 0\).
  4. Gerum ráð fyrir að fallið \(g\) sé samfellt í \(f(a)\). Þá er \((g \circ f)(x)=g(f(x))\) samfellt í \(a\).

10.4.3. Nokkur þekkt samfelld föll

Áður en við skoðum dæmi þá skulum við telja upp nokkur samfelld föll sem við þekkjum:

  1. Fallið \(f(x)=x\) er samfellt.
  2. Sérhver margliða er samfelld.
  3. Sérhvert rætt fall er samfellt á skilgreiningarmengi sínu (þ.e. þar sem nefnarinn er ekki núll).
  4. Fyrir allar náttúrlegar tölur \(n\) þá er fallið \(f(x)=\root n \of {x}\) samfellt.
  5. Ef \(r \in \mathbb{R}\) er rauntala þá er fallið \(f(x)=x^r\) samfellt.
  6. Vísisföll eru samfelld.
  7. Lograr eru samfelldir.
  8. Hornaföllin eru samfelld.
  9. Fallið \(f(x)=|x|\) er samfellt.

Dæmi

Segjum til um hvort föllin eru samfelld eða ekki.

1.

\[f(x)=|x|+\cos(x^3)\]

Fallið \(f\) er samsett úr föllunum \(|x|\), \(\cos(x)\) og \(x^3\) sem eru öll samfelld föll. Þess vegna er \(f\) samfellt.

2.

\[\begin{split}g(x) = \begin{cases} \hfill -1 \hfill & \text{ ef } x\leq 0,\\ \hfill 1 \hfill & \text{ ef } x>0.\\ \end{cases}\end{split}\]

Í punktinum \(x=0\) tekur fallið \(g\) stökk frá því að vera jafnt mínus einum í það að vera jafnt einum. Fallið er þess vegna ósamfellt í þeim punkti.

3.

\[\begin{split}h(x) = \begin{cases} \hfill \sin(x) \hfill & \text{ ef } x\leq 0,\\ \hfill x^2 \hfill & \text{ ef } x>0.\\ \end{cases}\end{split}\]

Föllin \(\sin(x)\) og \(x^2\) eru bæði samfelld. Fallið \(h\) er því samfellt í öllum punktum nema kannski núllpunktinum. Nú er þekkt að \(0^2=0\) og \(\sin(0)=0\). Fallið \(h\) stefnir þá á töluna núll í \(x=0\) hvort sem að við nálgumst punktinn hægra eða vinstra megin frá. Fallið \(h\) er þvi samfellt í núllpunktinum, og við höfum þá rökstutt að það er samfellt allstaðar.