8. Vigrar

8.1. Skilgreining

Vigraren: vector
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er stærðfræðilegt hugtak fyrir stærð sem hefur bæði lengd og stefnu. Þeir eru jafnan teiknaðir sem örvar í hnitakerfi og lýst með hnitum. Hnit vigurs eru venjulegar tölur, líka kallaðar skalarstærðiren: scalar
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, og lýsa staðsetningu endapunkts miðað við upphafspunkt. Hvert hnit er tengt einum ás í hnitakerfinu sem notað er og stærð hnitsins (tölunnar) lýsir lengd vigursins í þá átt.

Vigrar eru oftast táknaðir með striki eða ör fyrir ofan bókstafinn, \(\overline{a}\) , \(\vec{a}\) , en sumir setja strikið undir, \(\underline{a}\) . Í kennslubókum eru vigrar stundum feitletraðir: \(\boldsymbol{a}\).

Lengd vigra er táknuð með lóðréttum strikum, algildismerkjum, \(|\overline{a}|\) , eða einfaldlega bókstafnum án yfirstriksins, \(a\) . Þegar vísað er í lengd vigurs eftir einhverjum ás, þátten: component
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
hans, er það sýnt með því að merkja með heiti ássins í lágvísien: subscript
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
; \(a_x\) er lengd vigursins \(\overline{a}\) í stefnu \(x\) - áss. Þættir vigra eru ekki vigrar sjálfir, heldur tölur.

_images/vigur.svg

Yfirleitt er notað rétthyrnt hnitakerfi (einnig nefnt kartesískten: cartesian plane
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
). Vigurinn á myndinni hefur lengd 4 eftir x-ásnum og 3 eftir y-ásnum, svo hnit hans eru:

\[\begin{split}\overline{a} = (a_x,a_y) = (4,3) = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\end{split}\]

Lengd vigursins sjálfs er reiknuð með jöfnu Pýþagórasar, \(|\overline{a}| = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\) . Vigurinn á myndinni hefur því lengdina \(a = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\) .

Athugasemd

Stærð og stefna vigurs er óháð því hvar í hnitakerfinu hann er.

Algengt er að láta vigra liggja frá upphafspunkti hnitakerfisins (stöðu- eða staðarvigur) en það er hægt að reikna vigra á milli gefinna upphafs- og endapunkta. Vigurinn frá punktinum \(A=(x_1,y_1)\) til punktsins \(B=(x_2,y_2)\) er

\[\begin{split}\overline{AB} = (x_2-x_1,y_2-y_1) = \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}\end{split}\]

Dæmi

Reiknum vigurinn frá punktinum \(A=(-1,7)\) til punktsins \(B=(5,2)\) .

\[\begin{split}\begin{aligned} \overline{AB} &= \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 5-(-1) \\ 2-7 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix} \end{aligned}\end{split}\]
_images/vigurtveirpkt.svg

Vigurinn \(\begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix}\) er sá sami, hvort sem hann liggur á milli \(A\) og \(B\) eða frá upphafspunktinum til punktsins \((6,-5)\) .

Stundum er talað um að vigur hafi hallatöluen: slope
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
: \(h=\frac{a_y}{a_x}\) , ef \(a_x\neq 0\) . Tveir vigrar eru samsíðaen: parallel
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef þeir hafa sömu hallatölu.

Dæmi

Finnum vigur sem er samsíða \(\overline{a}=(-1,6)\) og hefur lengdina 9.

Hallatala \(\overline{a}\) er \(h_{\bar{a}}=\frac{a_y}{a_x}=\frac{6}{-1}=-6\) . Þá vitum við að vigurinn sem við leitum að, \(b\) , uppfyllir það sama:

\[h_{\bar{b}}=\frac{b_y}{b_x}=-6\]

sem er jafngilt því að \(b_y=-6b_x\) .

Skilyrðið að \(\overline{b}\) þurfi að hafa lengdina 9 gefur að:

\[|\overline{b}| = \sqrt{b_x^2+b_y^2} =9\]

Setjum \(b_y=-6b_x\) inn og fáum:

\[\begin{split}\begin{aligned} 9 &= \sqrt{b_x^2+b_y^2}\\ &=\sqrt{b_x^2+(-6b_x)^2} \\ &= \sqrt{b_x^2+36b_x^2} \\ &=\sqrt{37b_x^2} \\ &=b_x\sqrt{37} \\ b_x&=\frac{9}{\sqrt{37}} \approx 1.480\\ b_y&= -6b_x = \frac{-54}{\sqrt{37}} \approx -8.878 \end{aligned}\end{split}\]

Vigur sem er samsíða \(\overline{a}=(-1,6)\) og hefur lengdina 9 er því

\[\begin{split}\overline{b}= \begin{pmatrix} \frac{9}{\sqrt{37}} \\ \frac{-54}{\sqrt{37}} \end{pmatrix}\end{split}\]

8.2. Að liða vigra

Vigra er líka hægt að tákna með lengd og stefnuhorni. Hornið \(\theta\) er skilgreint frá jákvæðum x-ás og að vigrinum. Með þessum upplýsingum er hægt að liða vigurinn eftir x- og y-ás með því að nota hornaföll.

Þættir vigursins eru föll af stefnuhorninu sem er oft merkt \(\theta\) eða \(\phi\) :

\[\begin{split}a_x = a\cos(\theta) \\ a_y = a\sin(\theta)\end{split}\]

þar sem \(a=|\overline{a}|\).

Stefnuhorn vigurs \(\overline{a} = (a_x,a_y)\) má því reikna:

\[\frac{a_y}{a_x} = \frac{a\sin(\theta)}{a\cos(\theta)} = \tan(\theta)\]
_images/mynd-vigur.svg

8.3. Einingarvigrar

Einingarvigrar eru vigrar sem hafa lengdina 1. Vigrarnir

\[\begin{split}\begin{aligned} \hat{\imath} &= \begin{pmatrix} 1 \\0 \\0 \end{pmatrix} \\ \hat{\jmath} &= \begin{pmatrix} 0 \\1 \\0 \end{pmatrix} \\ \hat{k} &= \begin{pmatrix} 0\\0 \\1 \end{pmatrix} \\ \end{aligned}\end{split}\]

liggja samsíða \(x\) - , \(y\) - og \(z\) - ásunum í rétthyrndu hnitakerfi . Þeir eru líka táknaðir:

\[\begin{gather} \hat{e}_x, \quad \hat{e}_y, \quad \hat{e}_z \end{gather}\]
_images/einingarvigrar.svg

Einingarvigrarnir \(\hat{e}_x, \hat{e}_y\) og \(\hat{e}_z\) eru línulega óháðiren: linearly independent
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, sem þýðir að engan þeirra er hægt að mynda úr hinum tveimur með samlagningu þeirra eða margföldun með tölu. Hvernig sem þú teygir á og raðar saman \(\hat{\imath}\) og \(\hat{\jmath}\) færðu aldrei út \(\hat{k}\) . Þessi eiginleiki kemur til vegna þess að einingarvigrarnir eru allir hornréttir á hvorn annan.

Alla vigra má skrifa sem skalarstærðir margfaldaðar við einingarvigrana:

\[\overline{a} = (a_x, \; a_y, \; a_z ) = a_x \hat{\imath} + a_y \hat{\jmath} + a_z \hat{k}\]

8.4. Samlagning vigra

Þegar vigrar eru lagðir saman eru hnit eftir hverjum ás fyrir sig lögð saman. Summa tveggja vigra \(\overline{a} = (a_x,a_y)\) og \(\overline{b} = (b_x,b_y)\) er:

\[\begin{split}\overline{c} = \overline{a} + \overline{b} = (a_x + b_x, a_y +b_y) = \begin{pmatrix} a_x+b_x \\ a_y+b_y \end{pmatrix}\end{split}\]

Dæmi

Leggjum saman vigrana \(\overline{a}=(4,3)\) og \(\overline{b}=(1,3)\) :

\[\overline{a}+\overline{b}=(4,3) + (1,3) = (4+1, 3+3) = (5,6)\]

Myndrænt má ímynda sér að upphafspunktur seinni vigursins sé settur í endapunkt fyrri vigursins, og summa þeirra er frá upphafspunkti fyrri vigursins til endapunkts þess seinni.

_images/vigrasamlagning.svg

Athugasemd

Þó að \(\overline{c} = \overline{a} + \overline{b}\) þýðir það ekki\(c = a + b\).

Í dæminu hér á undan er til dæmis

\[\begin{split}c = |\overline{c}| = \sqrt{5^2+6^2} \approx 7,8 \\ a + b = \sqrt{4^2+3^2} + \sqrt{1^2+3^2} \approx 8,2\end{split}\]

Um samlagningu vigra gilda eftirfarandi reglur:

\[\begin{split}\begin{aligned} \overline{a} +\overline{b} &= \overline{b} + \overline{a} & \text{Víxlregla}\\ (\overline{a}+\overline{b})+\overline{c} &= \overline{a} + (\overline{b}+\overline{c}) & \text{Tengiregla} \end{aligned}\end{split}\]

Dæmi

Höfum þrjá punkta:

\[\begin{split}\begin{aligned} A&=(x_1,y_1)=(1,2) \\ B&=(x_2,y_2)=(4,5) \\ C&=(x_3,y_3)=(3,-1) \end{aligned}\end{split}\]

Reiknum vigrana \(\overline{AB}, \overline{AC} \text{ og } \overline{BC}\) :

\[\begin{split}\begin{aligned} \overline{AB} &= \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 4-1 \\5-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\3\end{pmatrix} \\ & \\ \overline{AC} &= \begin{pmatrix}x_3-x_1\\ y_3-y_1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3-1 \\(-1)-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\-3\end{pmatrix} \\ & \\ \overline{BC} &= \begin{pmatrix}x_3-x_2\\ y_3-y_2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 3-4 \\(-1)-5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\-6\end{pmatrix} \\ \end{aligned}\end{split}\]
_images/innskots.svg

Hér eru punktarnir teiknaðir inn ásamt vigrunum \(\overline{AB}, \overline{AC} \text{ og } \overline{BC}\) .

Af þessu dæmi má sjá innskotsregluna :

\[\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}\]

8.5. Margföldun vigra

Þegar vigur \(\overline{v}\) er margfaldaður með tölu \(s\) er hver þáttur vigursins margfaldaður með tölunni:

\[\begin{split}\begin{aligned} s\cdot\overline{v} &= s\cdot(v_x, v_y, v_z) \\ &= (s \cdot v_x, s \cdot v_y, s \cdot v_z) \end{aligned}\end{split}\]

Margfeldi vigra er tvenns konar, innfeldi (punktfeldi)en: dot product
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
, og krossfeldien: cross product
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.


Innfeldi tveggja vigra er táknað með punkti og útkoman er tala: \(\overline{a} \cdot \overline{b}\) . Ef þættir vigranna eru þekktir er innfeldið:

\[\overline{a} \cdot \overline{b} = a_x b_x + a_y b_y\]

Dæmi

Reiknum innfeldi vigranna \(\overline{a}=(7,8)\) og \(\overline{b}=(-1,3)\)

Lausn

\[\overline{a} \cdot \overline{b} = a_x b_x + a_y b_y = 7\cdot (-1)+ 8\cdot 3 = -7+24 =17\]

Ef vigrarnir eru gefnir með lengd og stefnuhorni er innfeldið:

\[\overline{a} \cdot \overline{b} = a b \cos{\phi}\]

þar sem \(\phi\) er hornið milli \(\overline{a}\) og \(\overline{b}\) þegar þeir hafa sama upphafspunkt.

Aðvörun

Tveir vigrar eru hornréttir ef innfeldi þeirra er núll.

Dæmi

Reiknum hornið á milli vigranna \(\overline{a}=(2,4)\) og \(\overline{b}=(4,2)\) :

_images/innfeldi.svg

Lausn

Við vitum að \(\overline{a} \cdot \overline{b} = a b \cos{\phi}\) , þar sem \(a\) og \(b\) eru lengdir vigranna. Lengdirnar eru:

\[\begin{split}\begin{aligned} a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} \\ b = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \end{aligned}\end{split}\]

Reiknum innfeldi vigranna:

\[\overline{a} \cdot \overline{b} = a_x b_x + a_y b_y = 2\cdot 4+ 4\cdot 2 = 16\]

Því er

\[\begin{split}\begin{aligned} \overline{a} \cdot \overline{b} &= a b \cos{\phi} \\ \cos{\phi} &= \frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{a b} = \frac{16}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20}} = \frac{16}{20}\\ \phi &= 36.8 ° = 0.644 \end{aligned}\end{split}\]

Krossfeldi tveggja vigra er táknað með krossi og útkoman er nýr vigur: \(\overline{c} = \overline{a} \times \overline{b}\) . Krossfeldien: cross product
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eru reiknuð með þáttum vigranna, það er vigrum gefnum á forminu \(\overline{a} = a_x \hat{\imath} + a_y \hat{\jmath} + a_z \hat{k}\) .

\[\begin{split}\begin{align} \overline{a} \times \overline{b} &= (a_x \hat{\imath} + a_y \hat{\jmath} + a_z \hat{k}) \times (b_x \hat{\imath} + b_y \hat{\jmath} + b_z \hat{k}) \\ &= (a_y b_z - a_z b_y)\hat{\imath} + (a_z b_x - a_x b_z)\hat{\jmath} + (a_x b_y - a_y b_x)\hat{k} \\ \end{align}\end{split}\]
_images/krossfeldi.svg

Útkoma krossfeldisins er vigur sem er hornréttur á bæði \(a\) og \(b\). Til að ákvarða sefnu vigursins getum við notað hægri handar regluna.

_images/hhr.svg

Lengd krossfeldis \(\overline{a} \text{ og } \overline{b}\) má reikna úr frá lengdum vigranna og horninu á milli þeirra.

\[|\overline{a} \times \overline{b}| = |\overline{a}| |\overline{b}| \sin(\phi)\]

Athugasemd

Þegar krossfeldi er reiknað skiptir máli hvor vigurinn er á undan!

\[\overline{a} \times \overline{b} = - \overline{b} \times \overline{a}\]

Dæmi

Reiknum krossfeldi vigranna \(\overline{a}=(1,2,3)\) og \(\overline{b}=(4,5,6)\).

Lausn

\[\begin{split}\begin{aligned} \overline{a} \times \overline{b} &= (a_y b_z - a_z b_y)\hat{\imath} + (a_z b_x - a_x b_z)\hat{\jmath} + (a_x b_y - a_y b_x)\hat{k} \\ &= (2\cdot 6-3\cdot 5)\hat{\imath} + (3\cdot 4 - 1 \cdot 6) \hat{\jmath} + ( 1\cdot 5 - 2\cdot 4) \hat{k}\\ &= -3 \hat{\imath} +6 \hat{\jmath} - 3\hat{k}\\ &= (-3,6,-3) \end{aligned}\end{split}\]

8.6. Flatarmyndir

Ef hliðar þríhyrnings eru gefnar með vigrunum \(\overline{a}\) og \(\overline{b}\) er hægt að reikna hornið \(\theta\) . Flatarmálið er þá \(F=\frac{1}{2}|\overline{a}| \cdot |\overline{b}| \cdot \sin(\theta)\) .

_images/fl_thri2.svg

Ef hliðar samsíðungs eru gefnar með vigrunum \(\overline{a}\) og \(\overline{b}\) er hægt að reikna hornið \(\theta\) . Flatarmálið er þá \(F=|\overline{a}| \cdot |\overline{b}| \cdot \sin(\theta)\) og ummálið er \(U=2|\overline{a}|+2|\overline{b}|\) .

_images/fl_sams2.svg