4. Mengi


4.1. Grunnhugtök

Mengien: set
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er safn aðgreindra hluta eða hugtaka sem saman mynda eina heild. Hlutirnir eða hugtökin sem mynda mengið nefnast stök þess. Ef \(x\) er staken: element
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í menginu \(A\), þá skrifum við \(x \in A\). Ef \(x\) er ekki stak í menginu \(A\) þá skrifum við \(x \notin A\).

_images/mengiA.svg

Hér dæmi um mengi \(A\) þar sem \(x_1 \in A\) en \(x_2 \notin A\).

Oft eru mengi sett fram sem upptalning á stökum. Til dæmis er

  • \(\{1,2,3,\dots\}\) mengi náttúrlegra talna,
  • \(\{2,4,6,8,10\}\) mengið sem samanstendur af fimm fyrstu jákvæðu sléttu tölunum og
  • \(\{2,3,5,7,11\}\) mengið sem samanstendur af fimm fyrstu frumtölunum.

Tómamengiðen: empty set
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er mengi sem inniheldur ekkert stak. Það er táknað með \(\emptyset\).

4.1.1. Umfangsfrumsenda

Tvö mengi \(A\) og \(B\) eru sögð vera jöfn, ef þau innihalda sömu stök og við skrifum þá \(A=B\).

4.1.2. Hlutmengi

Mengið \(A\) er sagt vera hlutmengien: subset
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í menginu \(B\) ef sérhvert stak í \(A\) er einnig stak í \(B\). Við skrifum þá \(A \subset B\).

_images/hlutmengi.svg

Hér er dæmi um mengi \(A\) sem inniheldur mengið \(B\), m.ö.o. \(B \subset A\)

Dæmi

Mengið \(B=\{ 2,4,6 \}\) er hlutmengi í menginu \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) því öll stökin í \(B\) má líka finna í \(A\) .

4.2. Yrðingar til að skilgreina mengi

Stundum getur verið gagnlegt að skilgreina mengi með stökum sem öll hafa einhverja ákveðna eiginleika. Við þurfum að geta táknað þetta mengi á einfaldan hátt en stundum eru stökin óendanlega mörg og því ómögulegt að beinlínis telja þau upp eins og í dæmunum að ofan.

Yrðingen: proposition
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er staðhæfing sem er annaðhvort sönn eða ósönn. Oft skilgreinum við mengi með því að skrifa yrðingar um stök mengisins. Við segjum að stak \(x\) sé í menginu ef og aðeins ef allar yrðingarnar um það eru sannar.

Formlegri leið til að segja þetta er:

4.2.1. Skilgreining

Hægt er að setja fram mengi með opinni yrðingu \(p(x)\), þannig að mengið samanstandi af öllum stökum \(x\) þannig að \(p(x)\) sé sönn yrðing.

\[A = \{x \in C \ | \ p(x)\}\]

Sjáum að mengið \(A\) er hlutmengi í \(C\) .

Þetta verður best skýrt með dæmum.

Dæmi

1. Látum \(A = \{x \text{ er frumtala }| x \text{ hefur } 3 \text{ í einingasætinu }\}\).

Nú getum við sagt að t.d. \(3 \in A, 13 \in A, 103 \in A\) þar sem allar þessar tölur eru frumtölur með \(3\) í einingarsætinu.

\(33\) er ekki stak í \(A\) (ritað \(33 \notin A)\) því \(33\) er ekki frumtala.

\(51\) er heldur ekki stak í \(A\) því að hún hefur \(1\) í einingasætinu en ekki \(3\).

2. Látum \(C = \{x \text{ er heiltala }| x \text{ er slétt tala }, x \text{ er oddatala}\}\).

Hér er \(C = \emptyset\) þar sem að engin tala getur verið bæði slétt tala og oddatala í einu.

4.3. Aðgerðir á mengjum

Ef \(A\) og \(B\) eru mengi þá táknum við mengi allra staka sem eru í \(A\) eða í \(B\) með \(A\cup B\). Þetta mengi köllum við sammengien: union
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(A\) og \(B\). Formlega skilgreiningin er:

\[A\cup B = \{x| x \in A \text{ eða } x \in B\}.\]

Athugasemd

Í stærðfræðilegu samhengi hefur samtengingin „eða“ merkinguna „og/eða“.

Mengi allra staka sem eru bæði í \(A\) og \(B\) er táknað með \(A \cap B\). Þetta mengi er kallað sniðmengien: intersection
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(A\) og \(B\). Formlega skilgreiningin er:

\[A\cap B = \{x| x \in A \text{ og } x \in B\}.\]

Aðvörun

Við segjum að \(A\) og \(B\) séu sundurlægen: mutually exclusive
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef sniðmengið er tómamengið, þ.e. ef mengin hafa ekkert sameiginlegt stak.

Mengi allra staka sem eru í \(A\) en ekki í \(B\) er kallað mismunur (eða mengjamismunuren: difference
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
) \(A\) og \(B\). Hann er táknaður með \(A\backslash B\). Formlega skilgreiningin er:

\[A\backslash B = \{x| x \in A \text{ og }x \notin B\}.\]
_images/snidmengi.svg

Hér er dæmi um tvö mengi \(A\) og \(B\) sem hafa sniðmengi, m.ö.o eru ekki sundurlægen: mutually exclusive
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
. \(A \cap B\) er merkt þar sem hringirnir skarast og \(A\backslash B\) er merkt með þykkum ramma.

Dæmi

Látum \(A=\{x\in\mathbb{N}|x\text{ er slétt tala}\},B=\{x\in\mathbb{N}|x\text{ er oddatala}\}\) og \(C=\{2,3,5,6,8\}\)

Hér er \(A\cup B=\mathbb{N}\) því að allar náttúrulegar tölur eru annað hvort sléttar tölur eða oddatölur.

\(A\cap B=\emptyset\) því að engin tala er bæði slétt tala og oddatala.

\(A\setminus B=A\) því að ekkert stak í \(A\) er líka í \(B\) og því er ekkert dregið frá.

\(A\cap C=\{2,6,8\}\)

\(C\setminus B=\{2,6,8\}\)

4.3.1. Faldmengi

Faldmengien: cartesian product
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eða margfeldismengi \(A\times B\) tveggja mengja \(A\) og \(B\) er skilgreint sem mengi allra para \((a,b)\) af stökum þ.a. \(a \in A\) og \(b \in B\). Með yrðingum er þetta skrifað:

\[A\times B = \{(a,b)| a \in A \text{ og } b \in B\}.\]

Dæmi

Látum \(A=\{2,3,6\}\)

\(\left(2,\dfrac{5}{4}\right)\) er stak í \(\mathbb{N}\times\mathbb{Q}\). Það er ritað \(\left(2,\dfrac{5}{4}\right)\in \mathbb{N}\times\mathbb{Q}\)

\(\left(2,\dfrac{5}{4}\right)\) er líka stak í \(\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\) því að \(2=\dfrac{2}{1}\) er í báðum mengjunum \(\mathbb{N}\) og \(\mathbb{Q}\)

\(\left(2,\dfrac{5}{4}\right)\) er líka stak í menginu \(A\times\mathbb{Q}\)

\(\left(2,\dfrac{5}{4}\right)\) er ekki stak í menginu \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\) því \(\dfrac{5}{4}\) er ekki í \(\mathbb{N}\)

4.3.2. Fyllimengi

Þegar verið er að fjalla um hlutmengi \(A\) í ákveðnu mengi \(X\), þá er mengið \(X \backslash A\) oft nefnt fyllimengien: complement
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
hlutmengisins \(A\), það er einnig táknað \(A^c\). Í \(A^c\) eru því öll stök sem eru í \(X\) en ekki í \(A\) .

_images/fyllimengi.svg

Hér er bláa svæðið fyllimengi hlutmengisins \(A\), \(A^c\).

Mengið X er kallað almengien: universal set
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
og inniheldur alla hlutina sem verið er að vinna með. Oftast er ljóst af samhenginu hvað þetta almengi er. Í dæminu að ofan sjáum við að \(X\) er allt svæðið inní rétthyrningum.

4.4. Meira um aðgerðir á mengjum

Auðvelt er að sannfæra sig um eftirfarandi reiknireglur á mengjum:

\[\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup\left(B\cup C\right)\]
\[\left(A\cap B\right)\cap C=A\cap\left(B\cap C\right)\]

Þessi regla segir að það skipti ekki máli í hvaða röð maður tekur sammengi og sniðmengi. Því má skrifa \(A\cup B\cup C\) eða \(A\cap B\cap C\) og sleppa öllum svigum.

Aðvörun

Það þarf alls ekki að gilda að \(\left(A\cup B\right)\cap C=A\cup\left(B\cap C\right)\), til dæmis. Lesandi er hvattur til að ganga úr skugga um þetta sjálfur.

Það skiptir höfuðmáli hvaða aðgerð er gerð fyrst þegar sam- og sniðmengjum er blandað saman. Að nota sviga er nauðsynlegt; skrifa \(A\cup B\cap C\) eða \(A\cap B\cup C\) er merkingarlaust.

Dæmi

Gefin eru mengin \(A:= \{ 1,2,3,4,5 \}, B := \{ 2,4,6,8,10\}\) og \(C := \{ 6,7,8,9,10\}\)

1. Finnið \((A \cup B) \cap C\).

Byrjum á að finna \(A \cup B\). Það er mengi allra staka sem eru stök í öðru hvoru mengjanna \(A\) eða \(B\), það er, \(A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,8,10 \}\).

\((A \cup B) \cap C\) inniheldur síðan nákvæmlega þau stök sem eru bæði í \(A \cup B\) og \(C\).

\((A \cup B) \cap C = \{6,8,10 \}\).

2. Finnið \(A \cup (B \cap C)\).

Nú er \(B \cap C = \{6,8,10 \}\) og þá er \(A \cup (B \cap C) = \{1,2,3,4,5,6,8,10 \}\).

Tökum eftir að hér er dæmi þar sem að \((A \cup B) \cap C \neq A \cup (B \cap C)\) gildir.

3. Finnið \((A \cap B) \cap C\).

Nú er \(A \cap B = \{ 2,4 \}\) svo \((A \cap B) \cap C = \{2,4 \} \cap \{6,7,8,9,10 \} = \emptyset\) því \(2\) og \(4\) eru ekki í \(C\) .

Nú skulum við skilgreina sam- og sniðmengi fleiri en tveggja mengja. Látum \(n \in \mathbb{N_+}\) og \(A_1,A_2,\dots,A_n\) vera mengi. Látum \(I = \{1, \dots, n \}\). Skilgreinum:

\[\begin{split}\begin{aligned} & \bigcup_{i=1}^n A_i=\{x|x\in A_i \text{ fyrir eitthvað } i = 1, \dots, n \}, \\ \quad\\ & \bigcap_{i=1}^n A_i=\{x|x\in A_i \text{ fyrir öll } i = 1, \dots, n\}. \end{aligned}\end{split}\]

Í raun er \(\bigcup_{i=1}^n A_i\) bara önnur leið til að skrifa

\[A_1\cup A_2\cup A_3\cup...\cup A_n\]

og \(\bigcap_{i=1}^n A_i\) er bara önnur leið til að skrifa

\[A_1\cap A_2\cap A_3\cap...\cap A_n\]

Athugasemd

Hér nýtum við okkur reikniregluna að \(\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup\left(B\cup C\right)\), og hliðstæðu hennar fyrir sniðmengi, aftur og aftur.

Inn á milli kemur fyrir að stærðfræðingur vilji taka sammengi óendanlegra margra mengja. Segjum að við höfum eitthvað safn af mengjum (eða mengi af mengjum) þannig að búið sé að merkja öll mengin með einhverjum vísien: index
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
úr einhverju vísamengien: index set
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
\(I\). Það er, öll mengin í safninu má tákna með \(A_i\) með \(i\in I\), þar sem \(I \neq \emptyset\). Þá er sammengi allra þessara mengja táknað með \(\bigcup_{i\in I}A_i\).

Með yrðingum er þetta skilgreint:

\[\bigcup_{i\in I}A_i=\{x|x\in A_i \text{ fyrir eitthvað } i\in I \}\]

Eins eru sniðmengin skilgreind:

\[\bigcap_{i\in I}A_i=\{x|x\in A_i \text{ fyrir öll } i\in I \}\]

Tökum nokkur dæmi um þetta.

Dæmi

1. Látum \(\mathbb{P}\) tákna mengi allra frumtalna.

Fyrir sérhvert \(p\in\mathbb{P}\) skulum við láta \(A_p\) vera mengi allra náttúrulegra talna sem \(p\) gengur upp í. Með yrðingum skrifum við:

\[A_p=\{n\in\mathbb{N}|p\text{ gengur upp í }n \}\]

Hér er vísismengið \(\mathbb{P}\) og

\[\bigcup_{p\in\mathbb{P}}A_p=\mathbb{N}\setminus\{1\}\]

Það er af því að sérhver tala í \(\mathbb{N}\) sem er stærri en \(1\) er deilanleg með einhverri frumtölu, og því er til \(p\) þannig að talan sé í \(A_p\).

2. Fyrir sérhvert \(n\in \mathbb{Z}\) skulum við láta \(B_n\) vera mengi allra almennra brota sem hafa \(n\) sem teljara þegar þau eru fullstytt. Með yrðingum skilgreinum við þetta mengi:

\[B_n=\{r\in\mathbb{Q}|\,\, \text{Ef }r=\dfrac{a}{b}\text{ og } \dfrac{a}{b}\text{ er fullstytt brot þá er }a=n \}\]

Hér er \(\mathbb{Z}\) vísismengið og:

\[\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}B_n=\mathbb{Q}\]

Af því að sérhvert almennt brot er í einhverju af mengjunum \(A_n\).

3. Látum \(T\) vera mengið sem hefur sem stök öll tré í heiminum. Ef \(t\in T\) er eitthvað tré látum við mengið \(L_t\) vera mengi allra laufblaða á trénu \(t\). Með yrðingum skrifum við:

\[L_t=\{l\text{ er laufblað}|\, l\text{ er á trénu }t \}\]

Hér er \(T\) vísismengið og

\[\bigcup_{t\in T}L_t=\{l\text{ er laufblað}|\, l\text{ er á einhverju tréi } \}\]

4.5. Rauntalnabil

Látum \(I\) vera hlutmengi í \(\mathbb{R}\). Við köllum hlutmengið \(I\) bilen: interval
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef engin göt eru í \(I\) . Með öðrum orðum, við segjum að mengið \(I\) sé bil ef við getum táknað það á talnalínunni með breiðu línustriki með engum götum. Á hvorn endapunkt striksins setjum við annað hvort fylltan hring eða tóman, eftir því hvort sá endapunkturen: end point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
sé með í bilinu eða ekki. Ef punkturinn á að vera með setjum við fylltan hring, annars tóman.

_images/bil.svg

Formlega skilgreiningin á bili er svohljóðandi:

4.5.1. Skilgreining

Hlutmengi \(I\) í \(\mathbb{R}\) kallast bilen: interval
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
ef fyrir sérhvert \(a,b\in I\) og \(c\in\mathbb{R}\) þ.a. \(a<c<b\) þá gildir \(c\in I\) .

4.5.2. Gerðir af bilum

Til að tákna bil í prenti þarf að nota tvær tölur, hornklofa og/eða sviga eftir aðstæðum og eina kommu. Hér verða nokkur bil útskýrð í töluðu máli:

Bilið \([a,b]\) er mengi allra rauntalna sem eru á milli \(a\) og \(b\), meðtaldar eru tölurnar \(a\) og \(b\).

Bilið \((a,b)\) er mengi allra rauntalna sem eru á milli \(a\) og \(b\) en hér eru \(a\) og \(b\) frátaldar.

Bilið \((a,\infty)\) er mengi allra rauntalna sem eru stærri en \(a\) en hér er \(a\) ekki tekið með.

Bilið \([a,b)\) er mengi allra rauntalna sem eru á milli \(a\) og \(b\) að stakinu \(a\) meðtöldu en án staksins \(b\).

Athugasemd

Hér eru notaðir svigar fyrir opin bil, en í sumum bókum er opið bil táknað með því að snúa hornklofunum öfugt. Því \(]a,b[\) táknar það sama og \((a,b)\) .

Hér er tæmandi listi yfir allar gerðir af endanlegum bilum, skilgreindum með yrðingum:

Látum \(a\) og \(b\) vera rauntölur þannig að \(a<b\). Skilgreinum

_images/endanlegbil.svg

Óendanlegu bilin eru þau sem halda áfram óendanlega langt í aðra hvora eða báðar áttir. Látum \(a\) vera rauntölu. Skilgreinum

  1. opið óendanlegt bil \((a,\infty)=\{x\in \mathbb{R}| a<x\}\)
  2. opið óendanlegt bil \((-\infty, a)=\{x\in \mathbb{R}; x<a\}\)
  3. lokað óendanlegt bil \([a,\infty)=\{x\in \mathbb{R}; a\leq x\}\)
  4. lokað óendanlegt bil \((-\infty, a]=\{x\in \mathbb{R}; x\leq a\}\)
  5. öll rauntalnalínan \((-\infty, \infty)= \mathbb{R}\).
_images/oendanlegbil.svg