3. Rúmfræði

3.1. Hnitakerfi

Kartesíska hnitakerfiðen: coordinate system
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er búið til með því að leggja tvær talnalínuren: numerical axis
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
í kross þannig að þær standi hornréttaren: perpendicular
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
hvor á aðra og skerist í núllpunktum sínum. Lárétta talnalínan er oftast kölluð \(x\)-ásinn og sú lóðrétta \(y\)-ásinn.

Til að marka punkt \((a,b)\) inn á svona hnitakerfi þá teiknum við lóðrétta línu í gegnum punktinn \(a\) á \(x\)-ásnum og lárétta línu í gegnum punktinn \(b\) á \(y\)-ásnum. Þar sem línurnar skerast mörkum við punktinn \((a,b)\).

Á myndinni má sjá punktinn \((4,2)\) markaðan í hnitakerfi.

_images/hnitakerfi.svg

3.1.1. Fjarlægð milli punkta í kartesísku hnitakerfi

Látum \(P_1=(x_1,y_1)\) og \(P_2=(x_2,y_2)\) vera tvo punkta í hnitakerfinu. Til þess að finna fjarlægðina á milli þeirra skulum við nota reglu Pýþagórasar.

Við myndum rétthyrndan þríhyrning með því að bæta við punkti sem við skulum kalla \(P_3\). Þessi punktur hefur sama \(y\)- hniten: component
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
og punkturinn \(P_1\), og sama \(x\)- hniten: component
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
og punkturinn \(P_2\). Því er \(P_3=(x_2, y_1)\).

_images/fjarl.svg

Fjarlægðin milli punktanna \(P_1\) og \(P_3\) er \(|x_2-x_1|\).

Fjarlægðin milli punktanna \(P_2\) og \(P_3\) er \(|y_2-y_1|\).

Við vitum því skammhliðarnar í þessum þríhyrningi og notum reglu Pýþagórasar til að finna langhliðinaen: hypotenuse
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
. Munum að regla Pýþagórasar segir að fyrir rétthyrndan þríhyrning gildir

\[a^2+b^2=c^2\]

þar sem \(a, b\) eru skammhliðarnar og \(c\) er langhliðin. Því vitum við að lengd langhliðarinnar er \(c=\sqrt{a^2+b^2}\).

Með því að nota þessa reglu getum við því fundið fjarlægðina á milli \(P_1\) og \(P_2\):

3.1.2. Regla

Fjarlægðin milli punktanna \(P_1=(x_1,y_1)\) og \(P_2=(x_2,y_2)\) í hnitakerfinu er

\[\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

Athugasemd

Hér er \(a = |x_2-x_1|\) og \(b = |y_2-y_1|\) miðað við reglu Pýþagórasar.

Dæmi

Finnum fjarlægðina milli punktanna \((1,2)\) og \((5,7)\) í hnitakerfinu.

Hér er \(x_1=1\), \(x_2=5\), \(y_1=2\) og \(y_2=7\). Setjum þetta inn í jöfnuna að ofan og fáum að fjarlægðin milli punktanna er

\[\sqrt{(5-1)^2+(7-2)^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\]

3.2. Jafna línu í hnitakerfinu

Til að tákna línur í hnitakerfinu er algengt að nota jöfnur.

Almennt form jöfnu línu er

\[ax+by+c=0\]

þar sem \(a,b\) og \(c\) eru rauntölur. Það er, fyrsta stigs jafna er jafna línu.

Athugasemd

Oft er jafna línu rituð á eftirfarandi hátt:

\[y=hx+s\]

sjá nánar í kafla 3.3

eða

\[y - y_1 = h(x - x_1)\]

þar sem \((x_1,y_1)\) er punktur á línunni og \(h\) er hallatalan.

Dæmi

Skoðum jöfnuna

\[-\frac12 x +y +1=0\]

Hér er \(a=-1/2\), \(b=1\) og \(c=1\) miðað við almennu framsetninguna. Finnum nú nokkur gildi á \(x\) og \(y\) sem uppfylla þessa jöfnu og mörkum samsvarandi punkta \((x,y)\) í hnitakerfið.

Ef \(x=0\) og \(y=-1\) þá stenst jafnan. Það sést með prófun:

\[-\frac{1}{2} (0) +(-1) +1= -1+1 = 0\]

Við mörkum því punktinn \((0,-1)\) í hnitakerfið.

Ef \(x=2\) og \(y=0\) þá stenst jafnan. Við mörkum því punktinn \((2,0)\) í hnitakerfið. Á sama hátt getum við markað punktana \((-6,-4)\), \((-4,-3)\), \((-2,-2)\), \((4,1)\) og \((6,2)\) í hnitakerfið því að ef þessum hnitum er stungið inn í jöfnuna þá stenst hún. Það hefur verið gert á myndinni.

_images/lina.svg

Við sjáum að allar lausnirnar lenda á sömu línunni í hnitakerfinu. Auk þess eru allir punktarnir á línunni (líka þeir sem ekki eru merktir) lausn á jöfnunni.

Þess vegna segjum við að jafnan \(-\dfrac{1}{2}x+y+1=0\) sé jafna línunnar sem fram kemur á myndinni. Jafnan hefur óendanlega margar lausnir og línan teygir sig óendanlega langt í báðar áttir.

3.3. Hallatala og skurðpunktur við ása

Jafnan \(ax+by+c=0\) kallast almenn jafna línu. Þó getur verið hentugra að koma henni yfir á annað form.

Við getum einangrað \(y\) úr þessari jöfnu með reikniaðgerðum. Þá fæst jafna

\[y=hx+s\]

þar sem \(h = -\frac{a}{b}\) og \(s = -\frac{c}{b}\). Fastinn \(h\) kallast hallatalaen: slope
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
línunnar og fastinn \(s\) kallast skurðpunkturen: point of intersection
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
línunnar við \(y\)-ás.



Hallatala línunnar, \(h\), táknar hversu mikið línan hallar. Ef við vitum einn punkt á línunni þá getum við fundið annan með því að færa okkur fyrst einn til hægri eða vinstri í hnitakerfinu og svo \(h\) upp eða niður.

Skurðpunktur línu við \(y\)-ásinn er tala \(s\) sem segir okkur hvar línan sker \(y\)-ásinn. Línan mun skera ásinn í punktinum \((0,s)\).

Skurðpunktur línu við \(x\)-ásinn er skylt hugtak, en sú tala segir okkur hvar línan sker \(x\)-ásinn. Hann finnum við með því að setja \(y=0\) inn í jöfnu línunnar og leysa fyrir \(x\).

Athugasemd

\(x\)-ásinn er línan þar sem \(y=0\) og \(y\)-ásinn er línan þar sem \(x=0\). Þess vegna getum við fundið skurðpunkt línu við \(x\)-ás með því að setja \(y=0\) inn í jöfnu línunnar, og sömuleiðis finnum við skurðpunkt við \(y\)-ás með því að setja \(x=0\) inn í jöfnu línunnar.

Dæmi

Finnum hallatölu og skurðpunkta línunnar

\[2x-y-3=0\]

við \(x\)-ás og \(y\)-ás. Teiknum svo línuna inn í hnitakerfi.

Byrjum á að koma línunni yfir á formið \(y=hx+s\). Einangrum \(y\) og fáum

\[y=2x-3\]

Nú getum við fundið skurðpunkt við \(y\)-ás út frá jöfnu línunnar. Hér er \(s=-3\) svo skurðpunktur við \(y\)-ás hefur hnit \((0,-3)\).

Við sjáum líka út frá jöfnu línunnar að \(h=2\) svo hallatala línunnar er \(2\).

Við finnum skurðpunkt línunnar við \(x\)-ás með því að setja \(y=0\) í jöfnu hennar og leysa fyrir \(x\). Fáum \(2x-3=0\), það er, \(x=\frac{3}{2}\). Skurðpunkturinn við \(x\)-ás er því punkturinn \((\frac{3}{2},0)\).

Finnum tvo punkta á línunni í viðbót með því að nota hallatölu hennar. Hallatalan er \(2\). Færum okkur því einn til hægri og tvo upp frá skurðpunkti línunnar við \(y\)-ás og fáum því að punkturinn \((1,-1)\) tilheyrir línunni.

Færum okkur líka einn til hægri og tvo upp frá skurðpunkti línunnar við \(x\)-ás og fáum að punkturinn \((\frac{5}{2}, 2)\) tilheyrir línunni.

Nú höfum við fundið fjóra punkta línunnar. Merkjum þá inn á hnitakerfið og drögum beina línu í gegnum þá. Þá fæst graf línunnar.

_images/hallatala.svg

Athugasemd

Athugum að til að teikna línu er nóg að finna tvo punkta sem liggja á henni og finna beina línu í gegnum þá, en í dæminu hér að ofan fundum við fjóra.

Dæmi

Finnum hallatölu og skurðpunkta línunnar

\[3x + 2y -2 = 0\]

við \(x\)-ás og \(y\)-ás.

Komum jöfnunni yfir á formið \(y=hx+s\)

\[y = -\frac{3}{2} x + 1\]

Þá fáum við skurðpunktinn við \(y\)-ás \(s = 1\) og hallatölu \(h= -\frac{3}{2}\).

Skurðpunkturinn við \(x\) -ás fæst með að setja \(y=0\) í jöfnuna og leysa fyrir \(x\) . Fáum \(3x + 2(0) -2 = 0\) sem gefur okkur \(x = \frac{2}{3}\)

Þá eru skurðpunktarnir tveir \((0, 1)\) og \((\frac{2}{3}, 0)\)

Þá fæst graf línunnar:

_images/neg-hallatala.svg

3.4. Meira um jöfnu línu

Stundum fáum við gefna tvo punkta \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) og þurfum að finna jöfnu línunnar sem gengur í gegnum þá. Til þess getum við notað eftirfarandi reglu:

3.4.1. Regla

Hallatala línunnar, \(h\), sem gengur í gegnum punkta \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) fæst með formúlunni

\[h=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
_images/almenn-lina.svg

3.4.2. Að finna jöfnu línu

Þegar við höfum fundið hallatölu línunnar þá þurfum við líka að reikna út fastann \(s\), skurðpunkt við \(y\)-ás. Við vitum að línan gengur í gegnum punktana \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\). Því þarf jafnan \(y_1=hx_1+s\) að ganga upp (sömuleiðis jafnan \(y_2=hx_2+s\) en það er nóg að notast við aðra hvora af þessum jöfnum). Við einangrum þá \(s\) út úr þessari jöfnu. Þá getum við ritað jöfnu línunnar

\[y=hx+s\]

þar sem við þekkjum fastana \(h\) og \(s\).

Dæmi

Finnum jöfnu línunnar sem gengur í gegnum punktana \((1,2)\) og \((13,17)\).

Byrjum á að finna hallatölu hennar. Samkvæmt reglu að ofan fæst

\[h=\frac{17-2}{13-1}=\frac{15}{12}=\frac54\]

Jafna línunnar er því af gerðinni

\[y=\frac54 x +s\]

Til að finna skurðpunkt við \(y\)-ás athugum við að þar sem línan gengur í gegnum punktinn \((1,2)\) þá þarf jafnan að standast þegar þessum punkti er stungið inn í hana. Því fæst

\[(2)=\frac54 \cdot (1) +s\]

Einangrum nú \(s\) og fáum \(s=\frac34\).

Nú höfum við fundið \(h\) og \(s\) og jafna línunnar er því

\[y=\frac54 x + \frac34\]
_images/mynd-linudaemi.svg

3.4.3. Samsíða og þverstæðar línur

3.4.3.1. Samsíða línur

Ef línur \(m_1\) og \(m_2\) eru með hallatölu \(h_1\) og \(h_2\) þá gildir

\[m_1 \parallel m_2 \; \Longleftrightarrow \; h_1 = h_2\]

Það er, ef hallatalan er sú sama þá segjum við að línurnar séu samsíðaen: parallel
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
. Hér er dæmi um tvær samsíða línur með hallatöluna \(h_1=h_2=1\)

_images/samsid.svg

3.4.3.2. Þverstæðar línur

Ef línur \(m_1\) og \(m_2\) eru með hallatölu \(h_1\) og \(h_2\) og um þær gildir

\[m_1 \perp m_2 \; \Longleftrightarrow \; h_1 = -\frac{1}{h_2}\]

þá eru línurnar þverstæðaren: perpendicular
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eða hornréttar. Hér er dæmi um tvær hornréttar línur, með hallatölurnar \(h_1=3\) og \(h_2=-\frac{1}{3}\)

_images/prepd.svg

Dæmi

Látum \(l\) vera línuna sem gengur í gegnum punktana \((-3,6)\) og \((1,-2)\). Finnum jöfnu línu sem gengur í gegnum punktinn \((1,1)\) og er samsíðaen: parallel
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
línunni \(l\).

Köllum línuna sem við erum að leita að \(m\). Það að línurnar \(l\) og \(m\) séu samsíða þýðir að þær hafa sömu hallatölu. Til að finna hallatölu línunnar \(m\) nægir því að finna hallatölu línunnar \(l\). Hallatalan er:

\[h=\dfrac{(-2)-6}{1-(-3)}=\dfrac{-8}{4}=-2\]

Jafna línunnar \(m\) er því af gerðinni

\[y=-2x+s\]

en við eigum eftir að finna \(s\). Gefið er að punkturinn \((1,1)\) er á línunni svo jafnan þarf að standast þegar \((x,y)=(1,1)\) er stungið inn í hana. Með öðrum orðum er

\[1=-2\cdot 1+s \quad \rightarrow \quad s=1+2=3\]

Jafna línunnar \(m\) er því :math:` y=-2x+3`.

_images/mynd-linudaemi2.svg

3.4.4. Miðpunktsregla

Reikna má miðpunkt striksins á milli \(A(x_1, y_1)\) og \(B(x_2,y_2)\) með:

\[M = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right)\]
_images/midpkt.svg

3.5. Keilusnið

Keilusniðen: conic section
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er regnhlífarhugtak yfir ákveðin söfn punkta. Nafnið kemur frá því að ferlarniren: curve
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
(punktasöfnin) hafa sömu lögun og ef (óendanleg) tvöföld keilaen: cone
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er skorin með (óendanlegu) blaði.

_images/keilusnið.svg

Á myndinni má sjá nokkrar tegundir keilusniða. Ferlarnir eru grænir á ljósbláu blaðinu.

3.5.1. Fleygbogar

Fleygbogien: parabola
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
hefur jöfnu á forminu \(y=ax^2+bx+c\) (annars stigs margliða).

Topppunktur fleygboga er í punktinum:

\[T=\left(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a} \right)\]

Línan \(x=-\frac{b}{2a}\) kallast samhverfuásen: axis of symmetry
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
fleygbogans. Fleygboginn speglast um ásinn.

Fleygboginn sker \(y\) -ás hnitakerfisins í punkti \((0,c)\) .

Fleygboginn sker \(x\) -ás hnitakerfisins:

  • Aldrei ef \(b^2-4ac<0\) .
  • Einu sinni í punkti \((-b/2a, 0)\) ef \(b^2-4ac=0\) .
  • Tvisvar í punktum \(x_0=\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0 \right)\) og \(x_1= \left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0 \right)\) ef \(b^2-4ac>0\) .

Fleygbogar hafa mismunandi lögun eftir formerkjum:

Dæmi

Skoðum fleygbogann \(x^2-x-1=0\) . Tökum fyrst eftir að fleygboginn er kúptur því \(a=1>0\) . Reiknum topppunktinn:

\[\begin{split}\begin{aligned} T&=\left(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a} \right) \\ &= \left(\frac{-1}{2\cdot 1},\frac{4\cdot 1\cdot (-1)-(-1)^2}{4\cdot 1} \right) \\ &= \left(\frac{1}{2},-\frac{5}{4} \right) \end{aligned}\end{split}\]

Samhverfuásinn liggur lóðrétt í gegnum topppunktinn.

Reiknum næst skurðpunkta fleygbogans við \(x\) -ás. Sjáum að \(b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1) = 5 >0\) og því eru skurðpunktarnir tveir:

\[\begin{split}\begin{aligned} x_0 &= \frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{-(-1)+ \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2\cdot 1} \\ &= \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \\ x_1 &= \frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{-(-1)- \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2\cdot 1} \\ &= \frac{1-\sqrt{5}}{2} \\ \end{aligned}\end{split}\]
_images/fleygb.svg

Athugasemd

Til eru fleygbogar sem snúa á hlið. Þeir hafa formið \(ay^2+by+c=x\) .

Tengsl við eðlisfræði

3.5.2. Sporöskjur

Sporöskjuren: ellipse
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eru myndir sem lýsa má með jöfnu á forminu:

\[\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} =1\]

Miðja sporöskju er í punktinum \((x_0, y_0)\) . Tölurnar \(a\) og \(b\) lýsa lengstu fjarlægð ferilsins frá miðju í \(x\) - og \(y\) -stefnu.

Sporöskjur hafa tvo brennipunktaen: focal point
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.


Ef \(a>b\) þá er brennipunktarnir á \(x\) -ás sporöskjunnar, í fjarlægð \(c=\sqrt{a^2-b^2}\) frá miðju.

_images/sporaskja1.svg

Ef \(a<b\) þá er brennipunktarnir á \(y\) -ás sporöskjunnar, í fjarlægð \(c=\sqrt{b^2-a^2}\) frá miðju.

_images/sporaskja2.svg

Dæmi

1. Skoðum sporöskju með \(a=3\) og \(b=2\) og miðju í punktinum \((2,2)\) og finnum graf hennar. Þar sem \(a>b\) þá eru brennipunktarnir hægra og vinsta megin við miðjuna, í fjarlægðinni \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\) .

Formúla sporöskjunnar er:

\[\frac{(x-2)^2}{(3)^2} + \frac{(y-2)^2}{(2)^2} =1\]

Skoðum graf sporöskjunnar

_images/sporaskja3.svg

2. Skoðum graf sporöskju og finnum formúlu hennar.

_images/sporaskja4.svg

Miðjan er í punktinum \((\frac{3}{2},0)\) . Lengsta fjarlægð ferilsins frá miðjunni í \(x\) - stefnu er \(a=2\) . Lengsta fjarlægð ferilsins frá miðjunni í \(y\) - stefnu er \(b=3\) .

Þar sem \(b>a\) eru brennipunktarnir ofan og neðan við miðjuna, í fjarlægðinni \(c=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\) .

Formúla sporöskjunnar er því:

\[\frac{(x-\frac{3}{2})^2}{(2)^2} + \frac{(y)^2}{(2)^2} =1\]

Tengsl við eðlisfræði

3.5.3. Hringir

Hringiren: circle
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eru sértilvik af sporöskjum þegar \(a=b\) , það er, brennipunktarnir lenda saman í miðjunni. Algengur ritháttur fyrir jöfnu hrings er \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\) . Þá er miðja hringsins í punktinum \((x_0,y_0)\) og allir punktarnir eru í fjarlægðinni \(r\) frá miðjunni. Hringur með miðju í \((0,0)\) og radíus \(r=1\) kallast einingarhringuren: unit circle
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
.

_images/hringur.svg

3.5.4. Breiðbogar

Breiðbogaren: hyperbola
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
eru myndir sem lýsa má með jöfnu á forminu

\[\frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)^2}{b^2} =\pm 1\]

Ferillinn er tveir samhverfir bogar sem fara út í óendanleikann og fylgja að lokum aðfellunum \(y=\pm \frac{b}{a}(x-x_0)+y_0\) .

Breiðbogar skera annað hvort \(x\) eða \(y\) -ásinn, eftir því hvort það er plús eða mínus 1 í lok jöfnunnar.

Aðfellurnar skerast í miðjunni \((x_0,y_0)\) og tölurnar \(a\) og \(b\) lýsa hallatölum þeirra.

Ef það er plús í lokin á jöfnunni lýsir \(a\) skurðpunkti ferlanna við \(x\) - ás en ef það er mínus lýsir \(b\) skurðpunkti ferlanna við \(y\) - ás.

Tengsl við eðlisfræði

3.6. Flatarmyndir

Flatarmál rétthyrningsen: rectangle
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er \(F=a\cdot b\) og ummálið er \(U=2a+2b\), þar sem \(a, b\) eru hliðarlengdirnar.

_images/fl_rett.svg

Flatarmál samsíðungsen: parallelogram
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er \(F=g\cdot h\) þar sem \(g\) stendur fyrir grunnlínu og \(h\) fyrir hæð.

_images/fl_sams.svg

Flatarmál hrings er \(F=r^2\cdot\pi\) og ummáliðen: circumference
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er \(U=2r\pi\) þar sem \(r\) er geislinn og \(\pi\) fastinn \(3,14159...\), skilgreindur sem hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings.

_images/fl_hring.svg

Flatarmál sporöskju er \(F=a\cdot b\cdot\pi\) þar sem \(a, b\) eru lengstu fjarlægðir ferilsins frá miðju í x- og y-stefnu.

_images/fl_spor.svg

Flatarmál þríhyrningsen: triangle
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er \(F=\frac{1}{2}g\cdot h\) .

_images/fl_thri1.svg

Rúmmál kúluen: sphere
Smelltu fyrir ítarlegri þýðingu.
er \(R=\frac{4}{3}\pi r^3\) og yfirborðsflatarmál hennar er \(Y=4\pi r^2\).

_images/fl_kula.svg