9. Verklegar tilraunir

The principle of science, the definition, almost, is the following: The test of all knowledge is experiment. Experiment is the sole judge of scientific „truth“. But what is the source of knowledge? Where do the laws that are to be tested come from? Experiment, itself, helps to produce those laws, in the sense that it gives us hints. But also needed is imagination to create from these hints the great generalizations - to guess at the wonderful, simple, but very strange patterns beneath them all, and then to experiment to check again whether we have made the right guess. (Richard Feynman)

Til er saga af ítalska vísindamanninum Galileo Galilei frá um 1590. Hann var þá stærðfræðiprófessor við háskólann í Pisa. Á þessum tíma var viðtekin kenning Aristótelesar um þyngdaraflið, að hlutir féllu til jarðar með hraða sem færi eftir massa hlutarins. Galileo var ósammála þessu og vildi meina að fallhraði væri óháður massa. Til þess að komast til botns í þessu segir sagan að hann hafi tekið sér stöðu efst í hinum fræga skakka turni í Pisa með tvo eins en misþunga bolta. Ef þeim væri sleppt á sama tíma myndu þeir, samkvæmt kenningu Galileos, lenda á sama tíma, sem var einmitt það sem gerðist þegar hann lét þá gossa niður af turninum. Þar með hafði Galileo tekist að afsanna þyngdaraflskenningu Aristótelesar.

Sagan er líklega ekki alveg sönn, en góð er hún engu að síður því hún sýnir hversu mikilvægar tilraunir eru eðlisfræði. Eina leiðin til að komast að vísindalegum sannleik er að prófa hann með tilraunum. Ef tilraunir fella kenningu er hægt að þurrka hana af borðinu og hefja leit að nýrri og betri.


Ein tilraunanna sem framkvæmd er verklega hluta Eðlisfræði 1 snýst um einfalda pendúla og hreyfingu þeirra. Það er vel þekkt fyrirbæri og hefur verið rannsakað í þaula. Með mörgum tilraunum og úrvinnslu gagnanna var hægt að smíða líkan sem lýsir raunveruleikanum svo vel að hægt er að tala um vísindalegan sannleik. Þið fáið svo tækifæri til að spreyta ykkur á prófun þessa líkans og í leiðinni æfa ykkur í vísindalegum aðferðum við tilraunir.

9.1. Verklegar æfingar

Í námskeiðunum Eðlisfræði 1V, Verklegri eðlisfræði 1R og Eðlisfræði B verða framkvæmdar nokkrar tilraunir. Miklu máli skiptir að lesa verkseðilinn fyrirfram, mæta vel undirbúin/n og á réttum tíma. Verkseðlar og upplýsingar um röðun nemenda í hópa munu birtast á heimasvæði Ara Ólafsonar í upphafi kennslumisseris ( Eðlisfræði 1 , Eðlisfræði B ).

Þetta skjal fjallar um meðferð og úrvinnslu gagna og er þess virði að lesa.

Á heimasvæði Martins Swift má nálgast allskonar ítarefni um verklegar tilraunir.

9.2. Verkbækur

Hver hópur þarf að halda vinnubók yfir allar tilraunirnar, þar skal safna saman öllu sem við kemur tilraununum. Rúðustrikuð stílabók, A4 eða A5, hentar vel í verkið. Efni sem er skráð á laus blöð skal hefta eða líma inn í bókina.

Helstu efnisatriði vinnubókar eru:

  • Skilgreining á tilraun og aðstæðum ásamt rissmynd af uppstillingu
  • Skilgreining og algebraisk nöfn á allar mældar og afleiddar stærðir
  • Frumgögn
  • Gagnavinnsla, grafisk framsetning gagna og túlkun
  • Samanburður við líkön ef við á og ályktun um samræmi/misræmi mælinga og líkans.
  • Slóðin frá frumgögnum til ályktana þarf alltaf að vera skýr og óslitin.

Meira um verkbækur af síðu Martins.

9.3. Markverðir stafir

Ef þú myndir mæla þykkt kennslubókarinnar í Eðlisfræði 1 með venjulegri reglustriku myndirðu geta sagt að hún væri 2.7 cm á þykkt. Þú mættir ekki segja að hún væri 2.70 cm þykk, því reglustrikan er ekki nógu nákvæm, bókin gæti allt eins verið 2.68 cm eða 2.73 cm án þess að það sæist í mælingunni. Ef þú myndir síðan mæla þykktina aftur en nú með skíðmáli myndirðu komast að því að hún væri 2.723 cm þykk. Munurinn sem væri á mælingunum tveimur væri sá að óvissa (e. uncertainty) eða skekkja (e. error) skíðmálsins er minni en óvissa reglustrikunnar.

Við táknum nákvæmni (e. accuracy) mældrar stærðar með tákninu \(\pm\) (plús-mínus). Mæling reglustrikunnar á þykkt bókarinnar myndum við tákna með \(2.7 \pm 0.1\) cm, en mælinguna með skíðmálinu með \(2.723 \pm 0.001\) cm. Reglustrikan myndi gefa þykkt bókarinnar með tveimur markverðum stöfum, en skíðmálið með fjórum.

Þegar stærðir eru margfaldaðar saman þá má útkoman ekki hafa fleiri markverða stafi en sú tala sem hafði fæsta markverða stafi.

Ábending

\[\frac{0.745\cdot 2.2}{3.885} = 0.42\]

Sú tala sem hefur fæsta stafi í þessu dæmi er 2.2, sem hefur 2 markverða stafi. Því er rétt að gefa svarið með 2 markverðum stöfum, 0.42, þó að flestar reiknivélar myndu gefa svarið \(0.4218790219\).

Þegar stærðir eru lagðar saman þá má útkoman ekki hafa minni óvissu en sú sem hafði mesta óvissu. Markverðir stafir í samlagningu fer því eftir aukastöfum stærðanna, en ekki óvissu þeirra.

Ábending

Hér hefur talan 138.2 mesta óvissu (fæsta aukastafi aftan við kommu) svo gefa þarf svarið með jafn mikilli óvissu, þ.e. einum aukastaf á eftir kommu. Flestar reiknivélar myndu gefa svarið 153.613.

\[27.153 + 138.2-11.74=153.6\]

Athugasemd

Reglur þessar um meðferð markverðra stafa eiga við um alla útreikninga í eðlisfræði, bæði verklegum og fræðilegum.

9.4. Staðalform

Staðalform (e. scientific notation) er gjarnan til þess að lýsa stærðum í eðlisfræði. Þá er komman færð fram um \(n\) bil og talan margfölduð með \(10^n\) . Þetta skýrist best með dæmum:

Ábending

Ljóshraðinn, með níu markverðum stöfum, er \(c=299792458\) m/s. Á staðalformi er ljóshraðinn skrifaður \(c=2.99792458\cdot10^8\) m/s.

Í flestum tilvikum er nógu nákvæmt að vinna með þrjá markverða stafi: \(c=3.00\cdot10^8\) m/s og er það yfirleitt gert.

\[\begin{aligned} 11.2 &= 1.12\cdot 10^1 & \text{þrír markverðir stafir}\\ 0.0000045&=4.5\cdot 10^{-6} & \text{tveir markverðir stafir} \end{aligned}\]

9.5. Óvissureikningar

Látum \(A \pm \Delta A\) og \(B \pm \Delta B\) vera mælistærðir með óvissum og látum \(k\) vera fasta. Þegar \(A \pm \Delta A\) er margfölduð með fastanum \(k\) þá fæst að

\[k \cdot \left( A \pm \Delta A \right)= kA \pm k\Delta A\]

Þegar \(A \pm \Delta A\) og \(B \pm \Delta B\) eru lagðar saman fáum við:

\[\left( A \pm \Delta A \right) + \left( B \pm \Delta B \right) = \left( A + B \right) \pm \left( \Delta A + \Delta B \right)\]

Þegar \(A \pm \Delta A\) og \(B \pm \Delta B\) eru dregnar frá hvor annarri fáum við:

\[\left( A \pm \Delta A \right) - \left( B \pm \Delta B \right) = \left( A - B \right) \pm \left( \Delta A + \Delta B \right)\]

Þegar \(A \pm \Delta A\) og \(B \pm \Delta B\) eru margfaldaðar saman fáum við:

\[\left( A \pm \Delta A \right) \cdot \left( B \pm \Delta B \right) = AB \pm \Delta A B \pm A \Delta B \pm \Delta A \Delta B\]

Þar sem \(\Delta A\) og \(\Delta B\) eru yfirleitt litlar stærðir í samanburði við \(A\) og \(B\) leyfum við okkur að sleppa \(\Delta A \Delta B\) liðnum. Þá höfum við fengið að:

\[\left( A \pm \Delta A \right) \cdot \left( B \pm \Delta B \right) = AB \pm B \Delta A \pm A \Delta B\]

Svona má reikna óvissuna á margfeldi mældra stærða. Oft getur þó verið gagnlegra að koma henni á eftirfarandi form (með því að taka \(AB\) út fyrir sviga):

\[\left( A \pm \Delta A \right) \cdot \left( B \pm \Delta B \right) = AB \left( 1 \pm \left( \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B} \right) \right)\]

Fyrir deilingu tveggja mældra stærða \(A \pm \Delta A\) og \(B \pm \Delta B\) fáum við:

\[\frac{\left( A \pm \Delta A \right)}{\left( B \pm \Delta B \right)} = \frac{A}{B}\left( 1 \pm \left( \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B} \right) \right)\]

Gerum loks ráð fyrir að við höfum stærð \(x \pm \Delta x\) og fall \(f(x)\). Óvissuna í \(f(x)\) má reikna með eftirfarandi hætti (Taylor-liðun):

\[f(x \pm \Delta x) = f(x) \pm f'(x)\Delta x\]

þar sem að \(f'(x)\) er gildi afleiðu \(f\) í \(x\). Hér eftir verða gefin nokkur dæmi um slíka reikninga:

Skjal um meðferð gagna af síðu Ara Ólafssonar

Almennt um óvissur af síðu Martins Swifts.

Afleiddar óvissur af síðu Martins Swifts.

Óvissa hallatölu af síðu Ara Ólafssonar.