7. Orka

Varðveisla orku er eitt af mikilvægustu lögmálum eðlisfræðinnar.

Orku er ekki hægt að búa til eða eyða. Hún getur hvorki birst upp úr þurru, né horfið sporlaust. Orka varðveitist í öllum ferlum en getur breytt um form. Birtingarmyndum orku má skipta í tvo meginflokka, mættisorku og hreyfiorku.

Mættisorka er geymd á einhvern máta:

  • efnaorka (í efnatengjum)
  • kjarnorka (í atómum)
  • stöðuorka (t.d. vegna þyngdar- og segulsviða)
  • spennuorka (t.d. í teygðum og þjöppuðum gormum)

Hreyfiorka finnst hvar sem hlutir eru á hreyfingu:

  • varmarorka (titrandi atóm)
  • hljóð (titrandi efni)
  • rafsegulorka (ljós)
  • raforka (rafeindir á hreyfingu)

Ábending

Orka breytir um form.

Bolti sem fellur til jarðar hefur stöðuorku vegna þyngdarsviðs jarðar, sem breytist í hreyfiorku á meðan fallinu stendur. Við lendinguna losnar hreyfiorka boltans sem hreyfiorka loftsins í kringum hann í formi hljóðbylgja og mögulega varma. Eftir því sem boltinn er hærra yfir yfirborðinu, því meiri stöðuorku hefur hann, og þar af leiðandi meiri hreyfiorku og hraða þegar niður er komið.

Þegar sprengja springur losnar mikil hreyfiorka, varmaorka og rafsegulorka (ljós) á stuttum tíma, en öll sú orka var í sprengjunni fyrir, bundin t.d. í formi efnaorku.

7.1. Vinna

Kraftur \(F\) er sagður vinna vinnu (e. work) þegar hann flytur hlut um vegalengd (e. displacement) \(s\) . Vinna er oft táknuð með \(W\) :

\[W=F\cdot s\]

Einingin fyrir vinnu er Joule, táknað J.

\[1 \text{ J} = 1 \text{ N} \cdot 1 \text{ m} = 1 \frac{\text{kg}\text{ m}^2}{\text{s}^2}\]

Vinna er innfeldi kraftavigursins og færsluvigursins:

\[\begin{aligned} W&=\overline{F}\cdot\overline{s} \\ W&= Fs\cos(\phi) \end{aligned}\]

þar sem \(\phi\) er hornið á milli vigranna.

_images/vinna5.svg

Athugasemd

Vinna getur verið jákvæð, neikvæð eða núll.

  • Þegar krafturinn er í sömu stefnu og færslan, þ.e. ef hann er að vinna með hreyfingunni, er vinnan jákvæð. Ef \(-90°<\phi<90°\) þá er \(\cos(\phi)>0\) .
_images/vinna2.svg
  • Ef krafturinn er gagnstefna færslunni, þ.e. að vinna gegn hreyfingunni, þá er vinnan neikvæð. Ef \(90°<\phi< 270°\) þá er \(\cos(\phi)<0\).
_images/vinna3.svg
  • Ef krafturinn er hornréttur á færsluna þá er vinna kraftsins á hlutinn núll. Ef \(\phi=90°\) eða \(\phi=270°\) þá er \(\cos(\phi)=0\).
_images/vinna4.svg

Ábending

Vinna togkrafts \(T=25 \text{ N}\) við að flytja hlut vegalengdina \(s=10 \text{ m}\) er

\[W=F\cdot s = 25 \text{ N} \cdot 10 \text{ m} = 250 \text{ J}\]

7.2. Afl

Afl er breyting á vinnu á tímabili, eða tímaafleiða vinnu:

\[P_{meðal} = \frac{\Delta W}{\Delta t}\]
\[P=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{dW}{dt}\]

Einingin fyrir afl er Watt, táknað W.

\[1 W=\frac{1 \text{ J}}{1\text{ s}}\]

7.3. Hreyfiorka

Hlutir með massann \(m\) sem fara á hraðanum \(v\) hafa hreyfiorku (e. kinetic energy) \(K\) :

\[K= \frac{1}{2}mv^2\]

Hreyfiorka og vinna tengjast með þeim hætti að vinna krafts er jöfn breytingunni sem verður á hreyfiorkunni.

\[W=\Delta K=K_2-K_1 = \frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2\]

Ábending

Sleði með massann \(m=20\) kg rennur eftir sléttum, láréttum snjó. Þar er lítill núningur, en samt nóg til þess að hægja á sleðanum. Hver er vinna núningsins ef upphafshraði sleðans er \(v_1 =10\) m/s og lokahraðinn er \(v_2=5\) m/s?

Lausn

Við vitum að vinnan \(W\) er jöfn breytingunni á hreyfiorkunni. Hreyfiorkan í upphafi er

\[K_1= \frac{1}{2} mv_1^2 = 1000 \text{ J}\]

Hreyfiorkan í lokin er

\[K_2=\frac{1}{2} mv_2^2 = 250 \text{ J}\]

Því er vinnan

\[\begin{aligned} W=K_2-K_1 &= 250 \text{ J}- 1000 \text{ J} \\ W&= -750 \text{ J} \end{aligned}\]

Vinnan er neikvæð því krafturinn vinnur gegn hreyfingunni.

7.4. Stöðuorka

Þegar hlutir eru í þyngdarsviði, þ.e. nálægt yfirborði miklu stærri hlutar (eins og jarðarinnar) hafa þeir þyngdarstöðuorku (e. gravitational potential energy) \(U\) :

\[U = mgy\]

þar sem \(y\) er hæð massans yfir einhverjum tilteknum viðmiðunarpunkti, sem er oft yfirborð jarðarinnar.

7.5. Orkuvarðveisla

Orka er einn eðliseiginleika sem er varðveittur, þ.e. hún getur aldrei birst upp úr þurru né horfið sporlaust. Hún getur aðeins breytt um form, t.d. þá getur stöðuorka orðið að hreyfiorku og öfugt.

Þegar hlutur fellur til jarðar úr einhverri hæð minnkar stöðuorka hans, en á móti kemur að hann fer hraðar, þ.e. hreyfiorka hlutarins eykst. Sé ekki núningur er öll orka kerfisins annað hvort stöðuorka eða hreyfiorka og þá gildir að:

\[K_1+U_1 = K_2+U_2\]

Ábending

0.5 kg steinn fellur úr kyrrstöðu í 20 metra hæð til jarðar. Hver er hraði hans rétt áður en hann skellur á yfirborði jarðarinnar?

Lausn

Gerum ráð fyrir að loftmótsstaðan hafi engin áhrif, þ.e. að það verði ekki núningur milli steinsins og loftsins sem umlykur hann.

Í upphafi er hreyfiorka steinsins núll (\(K_1=0\)), fyrst hann fellur úr kyrrstöðu, en stöðuorka hans er:

\[U_1=mgy=0.5 \text{ kg}\cdot 9.8 \text{m/s}^2\cdot 20 \text{ m} = 98 \text{ J}\]

Rétt áður en steinninn skellur á yfirborði jarðarinnar í 0 metra hæð er stöðuorkan orðin að núlli (\(U_2=0\)), en steinninn er á fleygiferð. Öll stöðuorka steinsins í upphafi er nú orðin að hreyfiorku. Því er:

\[\begin{aligned} K_1+U_1&=K_2+U_2\\ 0+ U_1&=K_2+0 \\ U_1 &= \frac{1}{2}mv_2^2 \\ 2 \cdot U_1 / m &= v_2^2 \\ v&=\sqrt{2\cdot98\text{ J} /20\text{ kg}} = 3.13 \text{m/s} \end{aligned}\]
_images/steinn.svg