6. Kraftar

Kraftar (e. force) eru vigrar, þ.e. kraftar hafa bæði stærð og stefnu. Einingin fyrir krafta er Newton. Eitt Newton er sá kraftur sem þarf til þess að gefa \(1 \text{ kg}\) massa hröðunina \(1 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\) . Kraftar eru margfeldi massa og hröðunar og því má Newton, \(1\text{ N} = 1 \text{ kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\) .

Athugasemd

Athugið að massi (e. mass) er ekki það sama og þyngd. Massi hlutar lýsir því hve mikið efni er í honum og er eins sama hvar í alheiminum hann er. Þyngd (e. weight) hlutar er stærð þyngdarkraftsins sem á hann verkar, margfeldi massans við þyngdarhröðunina \(g\).

Kraftar eru yfirleitt táknaðir með \(F\) eða \(f\).

Athugasemd

Þyngdarkraftur og aðrir kraftar sem beitt er á hluti er oft táknaðir með stórum staf: \(F\) en viðbragðskraftar (t.d. núningur) með litlum \(f\) . Táknmálið er hinsvegar ekki heilagt en skýrist yfirleitt á samhengi.

6.1. Lögmál Newtons

Enski eðlisfræðingurinn Isaac Newton setti fram þrjú kraftalögmál á 17. öld.

6.1.1. Fyrsta lögmál Newtons

„Hlutur sem enginn kraftur verkar á helst kyrr eða ferðast áfram á jöfnum hraða.“

Þetta lögmál er oft nefnt tregðulögmálið Ef summa allra krafta sem verka á hlutinn er núll \(\left(\sum\overline{F} = 0 \right)\) þá er heildarhröðunin \(\overline{a}=0\). Hröðun er afleiða hraðans, svo ef hröðunin er núll er hraðinn \(\overline{v}\) er fasti. Munið að fasti hraðinn \(v=0\) þýðir að hluturinn er kyrr.

6.1.2. Annað lögmál Newtons

\[\overline{F} = m \overline{a}\]

Kraftur sem verkar á hlut er margfeldi massa hlutarins og hröðunar sem hann verður fyrir. Kraftur og hröðun eru vigrar sem hafa sömu stefnu og massi er einskonar hlutfallsstuðull milli krafts og hröðunar. Þannig má túlka massa sem tregðustuðul, þ.e. fyrir mikinn massa fæst lítil hröðun fyrir gefinn kraft.

6.1.3. Þriðja lögmál Newtons

\[\overline{F}_{AB} = -\overline{F}_{BA}\]

„Sérhvert átak á sér gagnátak.“ \(F_{AB}\) er kraftur sem hlutur A veldur á B og \(F_{BA}\) er verkun B á A. Kraftarnir eru jafnstórir en stefna gegn hvorum öðrum.

6.2. Normalkraftur

Hlutur sem liggur kyrrstæður á borði hlýtur að vera í kraftajafnvægi (fyrst hann er ekki á hreyfingu getur ekki verið nein hröðun) og samkvæmt fyrsta lögmálinu mun hann vera kyrrstæður áfram meðan svo er. Þó að hluturinn se kyrrstæður þýðir það samt ekki að engir kraftar verki á hann. Þyngdarkrafturinn togar hann niður að borðinu og samkvæmt þriðja lögmálinu er jafnstór kraftur frá borðinu sem ýtir hlutnum upp. Sá kraftur er kallaður normalkraftur, oft táknaður \(f_{n}\) .

_images/normal.svg

Normalkraftar eru hornréttir á yfirborðið sem þeir koma frá.

6.3. Núningskraftur

Núningskraftar eru kraftar sem verða á milli yfirborða og vinna gegn hreyfingu þeirra miðað við hvort annað. Núningur finnst í nær öllum kerfum, hann er ástæða þess við getum farið um á hjóli; það er kraftur milli dekkjanna og malbiksins sem ýtir hjólinu áfram þegar dekkin snúast. Annars myndi hjólið spóla og standa í stað, eins og gerist þegar það er mikil hálka. Skautasvell er einmitt dæmi um kerfi þar sem er nær enginn núningur og hefur afar lítil áhrif á útreikninga dæmisins. Ef núningurinn er mjög lítill getum við leyft okkur að hunsa hann.

Ábending

(a) Ásta ætlar að toga þungan kassa eftir steypugólfi og beitir til þess krafti \(F_{tog}\) á kassann. Kassinn hreyfist ekki. Af hverju ekki?

(b) Ásta togar fastar og kassinn fær hröðun í átt til hennar. Hvaða kraftar verka á kassann og Ástu?

Lausn

(a) Fyrst kassinn hreyfist ekki er hraði hans fasti (í núlli), og því hlýtur heildarkrafturinn sem verkar á hann að vera núll. Skoðum kraftana betur:

Kassinn verður fyrir þyngdarkrafti \(F_g\) og gólfið ýtir á móti með jafnstórum en gagnstefna normalkrafti \(f_n\). Kraftarnir tveir stytta hvorn annan út og það helst óbreytt þó Ásta togi í kassann.

Fyrst kassinn hreyfist ekki þýðir það að summa kraftanna sem verka á hann er núll. Því hlýtur að vera núningskraftur sem er að toga á móti þegar Ásta togar í kassann. Á meðan kassinn hreyfist ekki er núningskrafturinn jafnstór togkraftinum sem Ásta beitir.

_images/asta.svg

(b) Þar sem kassinn fær hröðun er heildarkrafturinn á hann ekki lengur núll. Togkraftur Ástu er núna meiri en núningskrafturinn. Þetta eru þó ekki allir kraftarnir sem verka í þessum aðstæðum. Samkvæmt 3. lögmáli Newtons koma kraftar í pörum jafnsstórra og andstæðra krafta. Þegar Ásta togar í kassann verður því líka til kraftur jafnstór togkraftinum sem verkar á hana. Ef hún stæði á sleipu gólfi myndi hún fá hröðun í átt að kassanum (og sennilega detta á hausinn), því núningskraftur hennar við gólfið yrði ekki nægur til að vega á móti togkraftinum.

Því eru fjórir kraftar sem verka á Ásta og kassann: togkraftapar á milli þeirra og núningskraftur undir þeim báðum. Auk þess, auðvitað, verða bæði Ásta og kassinn fyrir þyngdarkrafti og normalkrafti frá gólfinu.

_images/asta2.svg

Ábending

Hokkípökkur með massa \(m = 0.15\) kg rennur á svelli með hraðanum \(\overline{v}_0 = 5 \text{m/s}\) . Núningskrafturinn milli hokkípökksins og svellsins er \(\overline{f}_{nún} = 0.3 \text{N}\) og verkar á þann hátt að hann hægir á pökknum.

Hvaða kraftar verka á pökkinn? Hversu langt rennur pökkurinn áður en hann stöðvast?

Lausn

Byrjum á að teikna kraftamynd.

_images/hockey.svg

Pökkurinn verður fyrir þyndarkrafti \(f_g\) og normalkrafti \(f_n\) vegna hans, auk núningskraftsins \(f_{nún}\).

Upphafshraðinn \(v_0\) er merktur inn rauður.

Þyngdarkrafturinn og normalkrafturinn eru jafnstórir og gagnstefna og stytta því hvorn annan út. Það er því engin hreyfing í \(y\) stefnu og við megum gera ráð fyrir að það muni vera þannig áfram.

Það er því bara hreyfing í eina stefnu, eftir x-ásnum, svo við getum sleppt hinum víddum kraftanna. Þá þarf ekki að pæla í stefnu vigranna, þeir sem benda í eina átt fá jákvætt gildi, en þeir sem benda í hina fá neikvætt gildi. Höfum því hraðann jákvæðan og núningskrafturinn neikvæðan.

Látum pökkinn byrja í miðju hnitakerfisins, svo \(x_0 = 0\) . Notum annað lögmál Newtons til að finna hröðunina sem núningskrafturinn gefur pökknum, þ.e. hve mikið hann hægir á honum.

\[f_{nún} = m a \Rightarrow a = \frac{f_{nún}}{m} = \frac{-0.3 \text{N}}{0.15 \text{kg}} = -2 \text{m/s}^2\]

Takið eftir að hröðunin er neikvæð eins og krafturinn. Notum nú eina af hreyfijöfnunum til að finna lokastaðsetninguna:

\[\begin{aligned}v^2 - v_0^2 &= 2 a (x - x_0) \\ (0 \text{m/s})^2 - (5 \text{m/s})^2 &= 2(-2\text{m/s}^2)(x-0\text{m}) \\ \Rightarrow x &= \frac{25 \text{m}^2\text{/s}^2}{4\text{m/s}^2} = 6.25 \text{m}\end{aligned}\]

Pökkurinn rennur því \(6.25\) m á svellinu áður en hann stöðvast vegna núningskraftsins.

Ábending

5 kg kassi liggur kyrrstæður á skáplani með hallann \(\theta = 30°\) . Hver er núningskrafturinn á milli kassans og skáplansins \(f_{nún}\)?

Lausn

Byrjum á að teikna kraftamynd.

_images/skaplan.svg

Þar sem kassinn er kyrrstæður er heildarkrafturinn núll. Núningskrafturinn \(f_{nún}\) liggur samsíða skáplaninu upp eftir því. Á kassann verkar þyngdarkraftur \(f_g\) beint niður. Normalkrafturinn \(f_n\) ýtir á kassann, hornrétt af yfirborði skáplansins.

Skilgreinum hnitakerfið þannig að x-ásinn sé samsíða skáplaninu og y-ásinn hornrétt á hann.

_images/skaplanhnit.svg

Liðum þyngdarkraftinn í þann hluta sem er samsíða skáplaninu, \(f_{g,x}\) og þann sem er hornrétt á það, \(f_{g,y}\)

_images/lidunkrafta2.svg

Til þess að kassinn haldist kyrr þurfa samanlagðir kraftar í hvora stefnu, \(x\) - og \(y\), að vera núll. Því þarf normalkrafturinn að vera jafnstór \(y\) - þætti þyngdarkraftsins og núningskrafturinn að vera jafnstór \(x\) þættinum.

Þyngdarkrafturinn er

\[F_g = m \cdot g = 5 \text{kg} \cdot 9.8 \text{m/s} = 49 \text{N}\]

Þá er þáttur hans samsíða skáplaninu

\[F_{g,x} = F_g \sin{\theta} = 49 \text{N} \cdot \sin{30°} = 24.5 \text{N}\]

Þar með hlýtur núningskrafturinn að vera \(f_{nún} = F_{g,x}= 24.5 \text{N}\) .